01log .1=a 1log .2=a a
b n b a n a log log .3= b n
b a a n log 1log .4= a b b a log 1log .5=
N M N M a a a log log )(log .6+=? N M N
M a a a log log log .7-= b a b a =log :.8对数恒等式 a
b b
c c a log log log .9=换底公式： N b b a a N =?=log .10指对互换公式 （注意：公式成立的条件；公式正用与逆用。如x x a a log 2log 2=）
11.解指数方程：先化成同底指数，)()()()(x g x f a a x g x f =?=
12. 解对数方程：先化成同底对数，??
???=>>?=)()(0)(0)()(log )(log x g x f x g x f x g x f a a
13. 解指数不等式：先化成同底指数，)()(x g x f a a >
（1）当10< （2）当1>a 时，原不等式同解于)()(x g x f >。 14. 解对数不等式：先化成同底对数数，)(log )(log x g x f a a < （1）当10< ???>>>)()(0)(0)(x g x f x g x f ； （2）当1>a 时，原不等式同解于?? ???<>>)()(0)(0)(x g x f x g x f 。 15.形如02=++c bk ak x x （或02>++c bk ak x x ）：换元，令t k x =，先解t 再解x 。 16. 形如0log )(log 2=++c x b x a k k （或0log )(log 2<++c x b x a k k ）： 换元，令t x k =log ，先解t 再解x 。 教案 对数的运算法则 【教学目标】 知识目标： ⑴ 理解对数的概念，了解常用对数的概念． ⑵ 掌握对数的运算法则． 能力目标： 会运用对数的运算法则进行计算． 【教学重点】 对数的概念和对数的运算法则． 【教学难点】 对数的运算法则． 【教学过程】 一、课程导入 以复习指数的相关知识导入新课．（板书，提问等．5分钟） 问题1：2的多少次幂等于8？ 问题2：2的多少次幂等于9？ 显然，这是同一类问题．就是已知底数和幂如何求指数的问题．为了解决这类问题，我们引进一个新数——对数． 二、新课教学 1．新概念 法则1 lg lg lg MN M N =+（M >0，N >0）. 法则2 lg lg lg M M N N =-（M >0，N >0）. 法则3 lg n M =n lg M （M >0，n 为整数）. 上述三条运算法则，对以)1,0(≠>a a a 为底的对数，都成立. 2．概念的强化 例4 （讲授）用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1）lg xyz ；（2）lg x yz ；（3）z . 解 （1） lg xyz =lg x +lg y +lg z ； （2） lg x yz =lg lg lg lg lg x yz x y z -=-+（）=lg lg lg x y z --； （3） z 2lg x +3lg z -=2lg x +2 1lg y 3lg z -. 例5 （启发学生回答或提问）已知2ln =0.6931，3ln =1.0986．计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）)34ln(75?； （2）18ln . 分析 关键是利用对数的运算法则，将所求的对数用2ln 与3ln 来表示. 解 （1）)34ln(75?=54ln +73ln =54ln +73ln =522ln +73ln （2）18ln =2118ln =2192ln ?=2 1（2ln +9ln ）=21（2ln +23ln ） =0986.16931.02 1+?=1.44515≈1.4452. 例6 求下列各式的值： （1）lg2lg5+； （2）lg600lg2lg3--． 分析 逆向使用运算法则，再利用性质lg101=进行计算． 解 （1）lg2lg5lg(25)lg101+=?==； （2）2600lg600lg2lg3lg( )lg100lg102lg10223 --=====?． 3．巩固性练习 练习3.3.3 ( 12分钟) 1．用lg x ，lg y ，lg z 表示下列各式： （1） （2）lg xy z ； （3）2lg()y x ； （4） 2．已知2ln =0.6931，3ln =1.0986，计算下列各式的值（精确到0.0001）： （1）ln 36； （2）ln 216； （3）ln12； （4）911ln(23)?． 答案：1．（1）1lg 2 x ；（2）lg lg lg x y z +-；（3）2lg 2lg y x -；（4）111lg lg lg 243x y z +-. 2．（1） 3.5834；（2）5.3751；（3）1.2424；（4）18.3225. 三、小结（讲授，5分钟） 1．本节内容 对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 对数的四则运算法则： 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质 例1．已知x = 4 9 时，不等式 log a (x 2–x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x = 49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )349 2)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16 39 . 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为??? ? ???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ，解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5 ,2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2)–f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---2 1221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1 122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2 1 12211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数 例3．已知f (x ) = log a (a –a x ) (a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为( -∞,1)， 而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1. 则log a (a –a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数. 指数函数及对数函数重难点 根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根.即，若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n . ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 幂的有关概念： ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ， 2）)0(10 ≠=a a ， n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）， 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）， 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ） （注）上述性质对r 、∈s R 均适用. 例 求值 （1） 3 28 （2）2 125 - （3）()5 21- （4）() 43 8116- 例.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数) (1)43a a ? （２）a a a （３）32 )(b a - （４）43 )(b a + （５）32 2b a ab + （6）42 33 )(b a + 例.化简求值 （1）0 121 32322510002.08 27）（）（）（）（-+--+---- （2）2 11 5 3125.05 25 .231 1.0)32(256) 027.0(?? ????+-+-????? ?-- （3）=?÷ ?--3133 73 32 9a a a a （4）21 1511336622263a b a b a b ??????-÷- ??? ??????? = （5 ）= 指数函数的定义： ①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ， 2）函数的值域为),0(+∞， 3）当10<a 时函数为增函数. 提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？ （1）2 2 x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =- （4）x y π= （5）2y x = （6）2 4y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠） 例：比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.7 3 ( 2 )0.1 0.8 -与0.2 0.8 - ( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 例：已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求 (0),(1),(3)f f f -的值. 思考：已知0.7 0.9 0.8 0.8,0.8, 1.2,a b c ===按大小顺序排列,,a b c . 例 如图为指数函数x x x x d y c y b y a y ====)4(,)3(,)2(,)1(，则 d c b a ,,,与1的大小关系为 b n m b a m a n log log =对数运算法则公式 1、b a b a =log 2、n m n m a a a log log )(log +=? 3、n m n m a a a log log )(log -= 4、b n b a n a log log ?= 5、b n b a a n log 1log = 6、a b b c c a log log log =(换底公式） 7、1log log =?a b b a 1、求值： 1、log 89log 2732 2、lg 243 lg9 3、44912log 3log 2log 32?- 4、9 1log 81log 251log 532?? 5、4839(log 3log 3)(log 2log 2)++ 6、2345log 3log 4log 5log 2 7、0.21log 35 - 8、log 427·log 94＋log 44 64； 9、(log 2125＋log 425＋log 85)(log 52＋log 254＋log 1258) 10、log 932·log 6427＋log 92·log 427. 1．82log 9log 3 的值是 2．34 3的值是 3．2323223log 2log 3(log 2log 3)log 3log 2 +--的值是 4．若02log 2log m n >>时，则m 与n 的关系是 A ．1m n >> B ．1n m >> C ．10m n >>> D ．10n m >>> 5．233351log 5log 15log 5log 3 ?--的值是 A ．0 B ．1 C ．5log 3 D ．3log 5 6．若3log 124 x =，则x ＝_____________． 7．有下列五个等式，其中a>0且a ≠1，x>0 , y>0 ①log ()log log a a a x y x y +=+， ②log ()log log a a a x y x y +=?， ③1log log log 2 a a a x x y y =-， ④log log log ()a a a x y x y ?=?， ⑤22log ()2(log log )a a a x y x y -=- 将其中正确等式的代号写在横线上______________． 8．化简下列各式： (1)14lg 23lg5lg 5+- (2)3lg lg 70lg 37+- (3) 2lg 2lg5lg 201+?- 对数函数运算公式集团文件发布号：（9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY- 1 、b a b a =log 2、 b b a a =log 3、N a M a MN a log log log += 4、N a M a N M a log log log -= 5、M a M a n n log log = 6、M a M a n n log 1log = 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(a^b)=b 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M) 推导 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b ，即a^(log(a)(b))=b 。 2、因为a^b=a^b 令t=a^b 所以a^b=t ，b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 3、MN=M×N 由基本性质1(换掉M 和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 4、与（3）类似处理 MN=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 5、与（3）类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) a^[log(a)(M^n)] = {a^[log(a)(M)]}^n 由指数的性质 a^[log(a)(M^n)] = a^{[log(a)(M)]*n} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 基本性质4推广 log(a^n)(b^m)=m/n*[log(a)(b)] 推导如下： 由换底公式（换底公式见下面）[lnx是log(e)(x)，e称作自然对数的底] 对数公式的运用 1．对数的概念 如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即a b=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：log a N=b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 由定义知： ①负数和零没有对数； ②a>0且a≠1，N>0； ③log a1=0，log a a=1，a logaN=N(对数恒等式)，log a a b=b。 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N，简记为lgN； 以无理数e(e=2．718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作log e N，简记为lnN． 2．对数式与指数式的互化 式子名称a b=N 指数式a b=N(底数)(指数)(幂值) 对数式log a N=b(底数) (真数) (对数) 3．对数的运算性质 如果a>0，a≠1，M>0，N>0，那么 (1)log a(MN)=log a M+log a N． (2)log a（M/N）=log a M-log a N． (3)log a M n=nlog a M(n∈R)． 问：①公式中为什么要加条件a>0，a≠1，M>0，N>0? ②log a a n=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较．(学生填表) 式子a b=N，log a N=b名称：a—幂的底数b—N— a—对数的底数b—N— 运算性质： a m·a n=a m+n a m÷a n= a m-n (a>0且a≠1，n∈R) log a MN=log a M+log a N log a MN= log a M n= (n∈R) (a>0，a≠1，M>0，N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a＞0，，且a≠1? 理由如下： ①a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28=? ②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数? ③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数? 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数? 对数的运算法则 教学目标 1．理解并掌握对数性质及运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题． 2．通过法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括思想，渗透化归思想及逻辑思维能力．3．通过法则探究，激发学生学习的积极性．培养大胆探索，实事求是的科学精神． 教学重点是对数的运算法则及推导和应用难点是法则的探究与证明． 一. 引入新课 我们前面学习了对数的概念，那么什么叫对数呢?通过下面的题目来回答这个问题 如果看到这个式子会有何联想? 由学生回答(1)(2) (3)(4)． 也就要求学生以后看到对数符号能联想四件事．从式子中，可以总结出从概念上讲，对数与指数就是一码事，从运算上讲它们互为逆运算的关系．既然是一种运算，自然就应有相应的运算法则，所以我们今天重点研究对数的运算法则． 二．对数的运算法则(板书) 对数与指数是互为逆运算的，自然应把握两者的关系及已知的指数运算法则来探求对数的运算法则，所以我们有必要先回顾一下指数的运算法则． 由学生回答后教师让学生看：，，． 然后直接提出课题：若是 否成立? 由学生讨论并举出实例说明其不成立(如可以举而 )，教师在肯定结论的正确性的同时再提出 可提示学生利用刚才的反例，把5改写成应为，而32 =2，还可以让学生再找几个例子， ．之后让学生大胆说出发现有什么规律? 由学生回答应有成立． 现在它只是一个猜想，要保证其对任意都成立，需要给出相应的证明，怎么证呢? 你学过哪些与之相关的证明依据呢? 学生经过思考后找出可以利用对数概念，性质及与指数的关系，再找学生提出证明的基本思路，即对数问题先化成指数问题，再利用指数运算法则求解．找学生试说证明过程，教师可适当提示，然后板书． 证明：设则，由指数运算法则 得， 即．(板书) 法则出来以后，要求学生能从以下几方面去认识： (1) 公式成立的条件是什么?(由学生指出．注意是每个真数都大于零，每个对数式都有意义为使用前提条件)． 对数函数公式的推导（全） 由指数函数 (01)n a a a b >≠=且，可推知：log a n b =，从而： ()log a b a b =对数恒等式 性质1、log ()log log a a a MN M N =+ <证法1> 由于m n m n a a a +?= 设 ,m n M a N a == 则： log a M m = l o g a N n = m n MN a += 于是： ()log log log a a a M N MN m n =+=+ <证法2> log log log a a a M N M N M N M N a a a =?=?对数恒等式 即： log log log a a a MN M N a a +=由于指数函数是单调函数，故： log ()log log a a a MN M N =+ 性质2、log log log M a a a N M N =- <证明> log log log log log M M N a a a a N a M N a M M N N a a a -== =对数恒等式 由于指数函数是单调函数，故：log log log M a a a N M N =- 性质3、log log ()(0,1)log b b a N N a b b >≠= 换底公式 特例：1log log a b b a = <证明> 由对数恒等式可知：log log a b N N N a b ==，log b a a b = log log log log a b b a N a N a N b b ???→==?? log log log b b a N a N N b b ?→== 由于指数函数是单调函数，故：log log log b b a N a N =? 故：log log log b b a N N a = 性质4、log log n a a M n M = 特例：1 log log n a a n M M = 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 对数运算、对数函数 二. 重点、难点： 1. 对数运算 0,0,1,1,0,0>>≠≠>>N M b a b a （1）x N a =log N a x =? （2）01log =a （3）1log =a a （4）N a N a =log （5）N M N M a a a log log )(log +=? （6）N M N M a a a log log log -= （7）M x M a x a log log ?= （8）a M M b b a log /log log = （9）b x y b a y a x log log = （10）1log log =?a b b a 2. 对数函数x y a log =，0>a 且1≠a 定义域 （+∞,0） 值域 R 单调性 ↓∈)1,0(a ↑+∞∈),1(a 奇偶性 非奇非偶 过定点 （1，0） 图象 x y a log =与x y a 1log =关于x 轴对称 【典型例题】 [例1] 求值 （1）=7 log 3) 9 1( ； （2）=-++4log 20log 2 3 log 2log 151515 15 ； （3）=+?+18log 3log 2log )2(log 66626 ； （4）=?81log 16log 329 ； （5）=+?++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384 ； （6）=+?+2)2(lg 50lg 2lg 25lg 。 解： （1）原式49 173 3) 3(27log 7 log 27 log 22 333= ====---- （2）原式115log 15== （3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++?= 236 log 18 log 2log 666==+= （4）原式58 )3log 54()2log 24(23=?= （5）原式8 15 )2log 23()5log 23()3log 65(532=??= （6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++= 2 100lg 2 lg 225lg ==+= [例2] 若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33 1322 12y x =)]z (log [log log 55 15= 0=，试比较z y x 、、的大小关系。 解：log 2〔log 21 (log 2x)〕＝0?log 2 1(log 2x)＝1?log 2x ＝21?x ＝2＝(215 )1. 同理可得 y ＝33＝(310) 30 1 ,z ＝5 5＝(56) 30 1 . ∵310 >215 >56 ，由幂函数y ＝x 30 1 在(0，+∞)上递增知，y>x>z. [例3] 若==2121log log b b a a ……λ==n a b n log ，则=?)(log 21)(21n a a a b b b n 。 解：由已知λ 11a b =，λ λn n a b a b == 22 ∴ λ)()(11n n a a b b = ∴ λ=)(log 21)(1n a a b b b n 1对数的概念 如果a(a>0，且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaN=b,其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 由定义知： ①负数和零没有对数; ②a>0且a≠1,N>0; ③loga1=0,logaa=1,alogaN=N,logaab=b. 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作log10N,简记为lgN；以无理数e(e=2.718 28…)为底的对数叫做自然对数，记作logeN，简记为lnN. 2对数式与指数式的互化 式子名称abN指数式ab=N(底数)(指数)(幂值)对数式logaN=b(底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 如果a>0,a≠1,M>0,N>0,那么 (1)loga(MN)=logaM+logaN. (2)logaMN=logaM-logaN. (3)logaMn=nlogaM (n∈R). 问：①公式中为什么要加条件a>0,a≠1，M>0,N>0? ②logaan=? (n∈R) ③对数式与指数式的比较.(学生填表) 式子ab=NlogaN=b名称a—幂的底数 b— N—a—对数的底数 b— N—运 算 性 质am?an=am+n am÷an= (am)n= (a>0且a≠1,n∈R)logaMN=logaM+logaN logaMN= logaMn=(n∈R) (a>0,a≠1,M>0,N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a＞0,，且a≠1? 理由如下： ①若a＜0，则N的某些值不存在，例如log-28 ②若a=0，则N≠0时b不存在；N=0时b不惟一，可以为任何正数 ③若a=1时，则N≠1时b不存在；N=1时b也不惟一，可以为任何正数 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数 解题方法技巧 1 指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数， 负对数似然(negative log-likelihood) negative log likelihood文章目录negative log likelihood似然函数(likelihood function)OverviewDefinition离散型概率分布(Discrete probability distributions)连续型概率分布(Continuous probability distributions)最大似然估计(Maximum Likelihood Estimation,MLE)对数似然(log likelihood)负对数似然(negative log-likelihood)Reference似然函数(likelihood function)Overview在机器学习中，似然函数是一种关于模型中参数的函数。“似然性(likelihood)”和"概率(probability)"词意相似，但在统计学中它们有着完全不同的含义：概率用于在已知参数的情况下，预测接下来的观测结果；似然性用于根据一些观测结果，估计给定模型的参数可能值。 Probability is used to describe the plausibility of some data, given a value for the parameter. Likelihood is used to describe the plausibility of a value for the parameter, given some data. ? —from wikipedia[3] ^[3] [ 3] 其数学形式表示为： 假设X XX是观测结果序列，它的概率分布fx f_{x}f x? 依赖于参数θ thetaθ，则似然函数表示为 ?L(θ∣x)=fθ(x)=Pθ(X=x) L(theta|x)=f_{theta}(x)=P_{theta}(X=x)L(θ∣x)=f θ? (x)=P θ? (X=x) 一.教学内容： 对数运算、对数函数 二.重点、难点： 1.对数运算 （1）x N a =log N a x =? （2）01log =a （3）1log =a a （4）N a N a =log （5）N M N M a a a log log )(log +=? （6）N M N M a a a log log log -= （7）M x M a x a log log ?= （8）a M M b b a log /log log = （9）b x y b a y a x log log = （10）1log log =?a b b a 2.对数函数x y a log =，0>a 且1≠a 定义域 （+∞,0） 值域 R 单调性 ↓∈)1,0(a ↑+∞∈),1(a 奇偶性 非奇非偶 过定点 （1，0） 图象 x y a log =与x y a 1log =关于x 轴对称 【典型例题】 [例1]求值 （1）=7log 3)9 1(； （2）=-++4log 20log 2 3log 2log 151515 15； （3）=+?+18log 3log 2log )2(log 66626； （4）=?81log 16log 329； （5）=+?++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384； （6）=+?+2)2(lg 50lg 2lg 25lg 。 解： （1）原式49 1733)3(27log 7log 27log 22333= ====---- （2）原式115log 15== （3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++?= （4）原式5 8)3log 54()2log 24(23=?= （5）原式8 15)2log 23()5log 23()3log 65(532=??= （6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++= [例2]若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33132212y x =)]z (log [log log 55 15= 0=，试比较z y x 、、的大小关系。 解：log 2〔log 21(log 2x)〕＝0?log 2 1(log 2x)＝1?log 2x ＝21?x ＝2＝(215)301. 同理可得y ＝33＝(310)301,z ＝55＝(56)301. ∵310>215>56，由幂函数y ＝x 301 在(0，+∞)上递增知，y>x>z. [例3]若==2121log log b b a a ……λ==n a b n log ，则=?)(log 21)(21n a a a b b b n 。 解：由已知λ11a b =，λλn n a b a b == 22 ∴λ)()(11n n a a b b = ∴λ=)(log 21)(1n a a b b b n [例4]图中四条对数函数x y a log =图象，底数a 为10 1,53,34,3这四个值，则相对应的C 1，C 2，C 3，C 4的值依次为（） A.101,53,34,3 B.53,101,34,3 C.101,53,3,34 D.5 3,101,3,34 答案：A [例5]求下列函数定义域 （1）)]lg[lg(lg x y = （2）)43lg(2--=x x y （3）)1(log 2 1-=x y 解： （1）1lg 0]lg[lg =>x ∴1lg >x ∴),10(+∞∈x （2）0432>--x x ),4()1,(+∞?--∞∈x （3）110≤- 对数的运算法则 市级一等奖旬阳中学谢道仁 一、概述 对数的运算法则是北师大版高中《数学》（必修1）第三章第4.1节第（二）部分。本课需要学生掌握对数的运算法 则，能初步运用对数的性质和运算法则解题；通过对法则的 探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括，归纳总结思想， 使学生自主、探究地开展学习活动。 二、学习目标分析 1、知识与技能 掌握对数的运算法则，能初步运用对数的性质和运算法则解题； 2、过程与方法 通过对法则的探究与推导，培养学生从特殊到一般的概括，归纳总结思想，使学生自主、探究地开展学习活动 3、情感态度价值观 通过了解我国古代在对数研究方面的成就，激发热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情。 [学习重点和难点] 对数的运算法则的推导和应用是本节课的重点，，法则的探究与证明是本节课的难点． 三、教学策略的选择与设计 学习过程中，通过课件创设的情境充分调动学生各知觉器官，做到＂细观察、多动手、勤思考，善总结＂．通过观察、猜想、探究、 推理、模仿、体验，质疑等方法完成本节知识的学习。本节课采用“问题导学，自主探索，归纳总结” 的教学模式，采用情境探究法、谈话法等，使学生在自主探究的过程中完成学习的任务。 四、资源 （1）教师自制的多媒体课件； （2）教师准备的关于对数背景知识的小卡片，每组一套； （3）上课环境为多媒体大屏幕环境。 五、教学流程图 六、教学过程实录： 引入新课 1、 复习指数运算法则：n m n m a a a +=?，n m n m a a a -=，mn n m a a =)(并用文字语言叙述指数的运算法则。 2、 从指数、对数的关系入手，研究对数是否有自身的运算特 点和规律。 对数运算法则 对数与指数互为逆运算，自然要把握两者之间的关系，由已知的指数的运算法则来探究对数的运算法则。 考察实例P 81，动手实践1中的第一组 对数 来自维基百科 各种底数的对数: 红色函数底数是e, 绿色函数底数是10，而紫色函数底数是1.7。在数轴上每个刻度是一个单位。所有底数的对数函数都通过点（1,0），因为任何数的0次幂都是1，而底数β的函数通过点（β, 1），因为任何数的1次幂都是自身1。曲线接近y轴但永不触及它，因为x=0的奇异性。 在数学中，数?x（对于底数?β）的对数是βy?的指数?y，使得?x=βy。底数?β?的值一定不能是1或0(在扩展到复数的复对数情况下不能是1的方根)，典型的是e、?10或2。数x(对于底数β)的对数通常写为 。 当x和β进一步限制为正实数的时候，对数是1个唯一的实数。例如，因为 ， 我们可以得出 ， 用日常语言说，对81以3为基的对数是4。 对数函数 函数log αx依赖于α和x二者，但是术语对数函数在标准用法中用来称呼形如log αx的函数，在其中底数α是固定的而只有一个参数x。所 以对每个基的值（不得是负数、0或1）只有唯一的对数函数。从这个角度看，底数α的对数函数是指数函数y= αx的反函数。词语“对数”经常用来称呼对数函数自身和这个函数的1个特定值。 对数函数图像和指数函数图像关于直线y=x对称，互为逆函数。 对数函数的性质有： 1.都过(1,0)点； 2.定义域为|R|≠0，值域为R； 3.α>1，在(0,+∞)上是增函数；1>α>0时，在(0,+∞)上是减函数。常用公式 ?和差 ?基变换 ?指系 ?还原 ?互换 ?倒数 链式 有理和无理指数 如果n是有理数，βn表示等于β的n个因子的乘积: 。 但是，如果β是不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数n（参见幂）。类似的，对数函数可以定义于任何正实数。对于不等于1的每个正底数β，有一个对数函数和一个指数函数，它们互为反函数。 对数函数运算公式标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N] 1 、b a b a =log 2、 b b a a =log 3、N a M a MN a log log log += 4、N a M a N M a log log log -= 5、M a M a n n log log = 6、M a M a n n log 1log = 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(a^b)=b 3、log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N); 4、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 5、log(a)(M^n)=nlog(a)(M) 6、log(a^n)M=1/nlog(a)(M) 推导 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b ，即a^(log(a)(b))=b 。 2、因为a^b=a^b 令t=a^b 所以a^b=t ，b=log(a)(t)=log(a)(a^b) 3、MN=M×N 由基本性质1(换掉M 和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] =(M)*(N) 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 两种方法只是性质不同,采用方法依实际情况而定 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 4、与（3）类似处理 MN=M÷N 由基本性质1(换掉M 和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 5、与（3）类似处理 M^n=M^n 由基本性质1(换掉M) 性质 ①loga(1)=0； ②loga(a)=1； ③负数与零无对数. 2对数恒等式 a^logaN=N (a>0 ，a≠1） 3运算法则 ①loga(MN)=l ogaM+l ogaN； ②loga(M/N)=l ogaM－logaN； ③对logaM中M的n次方有=nlogaM； 如果a=e^m，则m为数a的自然对数，即lna=m，e=2.718281828…为自然对数 的底。定义：若a^n=b(a>0且a≠1) 则n=log(a)(b) 基本性质： 1、a^(log(a)(b))=b 2、log(a)(MN)=l og(a)(M)+l og(a)(N); 3、log(a)(M÷N)=log(a)(M)-log(a)(N); 4、log(a)(M^n)=nl og(a)(M) 5、log(a^n)M=1/nl og(a)(M) 推导： 1、因为n=log(a)(b)，代入则a^n=b，即a^(log(a)(b))=b。 2、MN=M×N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(MN)] = a^[log(a)(M)]×a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(MN)] = a^{[log(a)(M)] + [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(MN) = log(a)(M) + log(a)(N) 3、与（2）类似处理 M/N=M÷N 由基本性质1(换掉M和N) a^[log(a)(M÷N)] = a^[log(a)(M)]÷a^[log(a)(N)] 由指数的性质 a^[log(a)(M÷N)] = a^{[log(a)(M)] - [log(a)(N)]} 又因为指数函数是单调函数，所以 log(a)(M÷N) = log(a)(M) - log(a)(N) 对数运算和对数函数 对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>。 常用对数与自然对数 常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． 对数函数及其性质 类型一、对数公式的应用 1计算下列对数 =-3log 6log 22 =?3 1log 12 log 2 22 2 =+2lg 5lg =61000lg =+64log 128log 22 =?)24(log 432 =++)2log 2)(log 3log 3(log 9384 =++3log 23log 2242 =?16log 27log 32 =+-2log 90log 5log 333 =++c b a 842log log log =+++200 199lg 43lg 32lg =++32log 8log 8log 842 =+25.0log 10log 255 =-64log 325log 225 =)))65536(log (log (log log 2222 2 解对数的值： 18lg 7lg 37lg 214lg -+- 0 =-+-1)21 (2lg 225lg -1 1 3 341log 2log 8?? -? ??? 的值0 提示：对数公式的运算 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 （1）加法：log log log ()a a a M N MN += （2）减法：log log log a a a M M N N -= （3）数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ （4）log a N a N = （5）log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ （6）换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 （7）1log log =?a b b a （8）a b b a log 1log = 类型二、求下列函数的定义域问题 1函数)13lg(13)(2 ++-= x x x x f 的定义域是)1,31 (- 2设()x x x f -+=22lg ，则?? ? ??+??? ??x f x f 22的定义域为 ()()4,11,4 -- 3 函数()f x =的定义域为（ ]1,0()0,1( - ） 提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1 ≠= x x y 。教案对数的运算法则
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