必修 1
引入课题
今天我们学习高中数学的第一章集合与函数，初中我们就学习过函数，高中我们将在集合的背景下重新学习函数，所以我们从今天开始先学习集合，（板书）下面请咱班的全体同学把课本翻到第二页，在这里，咱班的全体同学就构成了一个集合。小学和初中我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，不等式解的集合，平面内到一条线段两个端点距离相等的点的集合。那么集合的含义是什么呢？
阅读课本P2-5内容，附加（9）我国的小河流；（10）全班成绩好的学生
其中（1）--（8）都是把一些确定的元素组成的总体叫集合，而（9），（10）其研究对象含糊不清，不明确，不能作为一个集合
二、新课教学
1，集合的有关概念
一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。
比如说咱们班全体同学构成了一个集合，其元素是每一位同学。
同学们举例-----
2，关于集合的元素的特征
教室内帅气的男生能否构成一个集合？
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
今天上了哪些课程？今天数学是联排课，数学用不用说两遍？
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
咱班的同学按照姓氏笔画排列一遍，再按照年龄大小排列一遍，是不是同一个集合？
无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关。
练习：判定是否是集合？
（1）方程x*2-2x+1=0的解集（2）鲁迅，π，上海
说明：其中前两个性质作为集合的判定定理
3，元素与集合的关系；
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a?A
会不会有第三种关系，即不确定属于不属于？（确定性）
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。
4．集合与元素的字母表示：
集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示；集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示。
5．常用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；（自然英文首字母）
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z；（zheng）
有理数集，记作Q；（QQ交朋友）
实数集，记作R；（真实的英文首字母）
区分有理数，无理数：
有理数：整数，分数，小数，无限循环小数
，π，e
6,我们可以用自然语言来描述一个集合，比如说“四大洋”，这个集合有几个元素？元素个数比较少，我们可以一一列举出来，这就是集合的表示方法之一，列举法，再比如2，4，6，7这四个数构成的集合，用自然语言描述不好描述，用列举法就很简单，
下面我们看看列举法的一般的书写格式
列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“
{}”括起来表示集合的方法叫列举法。
如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
例1．（课本例1）用列举法表示下列集合：
（1）小于10的所有自然数组成的集合；
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合；
（3）由1到20以内的所有质数组成的集合；
（4）方程组
20;
20.
x y
x y
+=
?
?
-=
?的解组成的集合
说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
2．各个元素之间要用逗号隔开；
3．元素不能重复；
4．集合中的元素可以数，点，代数式等；
5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清
楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{} 1,2,3,4,5,......
6，{实数集}，{R}也是错误的，这里的{ }已包含“所有”的意思。
思考：你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗？无法用列举法（元素个数无限多，而且不容易写出规律加省略号），但是这些元素共同的性质很容易概括，x<10 得出描述法的定义：
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{ }内。
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
一般格式：{}
() x A p x
∈
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x ︳直角三角形}，…；
例2．（课本例2）试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）方程x2—2=0的所有实数根组成的集合；
（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合；
（3）方程组3;1.x y x y +=??-=-?的解。
描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}， {x|y= x2+3x+2}, {y/3|y= x2+3x+2}是不同的集合，
探究：课本P5最后一段话；生活的的例子适合用自然语言，比如说我们班的全体同学，元素个数有限且较少更适合列举法，元素个数多或则无法一一列举适合但共同属性很容易概括适用于描述法
归纳小结：1---6
提升：集合是高中数学的一个重要平台，学好集合基本知识，为我们在这个平台上施展抱负做好准备。
一、复习回顾：
1.提问：集合的两种表示方法？ 如何用适当的方法表示下列集合？
（1）10以内3的倍数； （2）1000以内3的倍数
2.用适当的符号填空： 0 N ； Q ； -1.5 R 。
思考1：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
二、新课教学
比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：
（1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =；
（2）{}C =汝城一中高一 班全体女生，{}D =汝城一中高一 班全体学生；
（3）{|}E x x =是两条边相等的三角形，{}F x x =是等腰三角形
由学生通过观察得结论。
1． 子集的定义：
对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集。
记作： ()A B B A ??或
读作：A 包含于B ，或B 包含A
当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ?
用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：
如：（1）中A B ? 2． 集合相等定义：
如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ??且，则A B =。（可以类比两个实数相等） 如（3）中的两集合E F =。（相等，子集两种写法都对）
3． 真子集定义：
若集合A B ?，但存在元素,x B x A ∈?且，则称集合A 是集合B 的真子集。
记作：A B （或B A ）
读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）
如：（1）和（2）中A B ，C D ；（子集，真子集两种写法都对）
探究A 是B 的子集可能包含了什么情况？
4． 空集定义：方程x*2+1=0的解集？你还能举出不含任何元素的集合吗？
不含有任何元素的集合称为空集，记作：?。
5． 几个重要的结论：
（1） 空集是任何集合的子集；
（2） 空集是任何非空集合的真子集；
（3） 任何一个集合是它本身的子集；
（4） 对于集合A ，B ，C ，如果A B ?，且B C ?，那么A C ?。
（5） 例3，练习1，
注意：1）分类讨论要不重不漏，有逻辑性，可以按照元素的个数分类，
2) 归纳法有猜想的成分，不严谨，我们学习了排列组合可以严谨证明
应用：（1，2）真含于A 含于（1，2，3，4，5）求满足条件的集合A 的个数
变式：（1，2）真含于A 含于（1，2，3，4，5，6，7）
B
A
课本P 7练习2，3
注意：集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；
归纳小结：
本节课从实例入手，非常自然贴切地引出子集、真子集、空集、相等的概念及符号；并用Venn 图直观地把这种关系表示出来；注意包含与属于符号的运用。
提升：集合已经学习了两节课，学习了不少概念，集合是数学的基本语言，同学们现在好比是牙牙学语的幼儿，希望同学们理解并记牢，快速成长！
算
一、复习回顾：
1．已知A={1，2，3}，S={1，2，3，4，5}，则A S ；{x|x ∈S 且x ?A}= 。
2．用适当符号填空：
0 {0}； 0 Φ； Φ {x|x 2＋1＝0,x ∈R}
{0} {x|x<3且x>5}； {x|x>6} {x|x<－2或x>5} ； {x|x>－3} {x>2} 同学们两个实数之间有四则运算，两个集合之间是否也有类似运算吗？
二、新课教学
思考：考察下列集合，说出集合C 与集合A ，B 之间的关系：
（1）{1,3,5}A =，{}{2,4,6},1,2,3,4,5,6B C ==；
（2）{}A x x =是有理数，{}{},
B x x
C x x ==是无理数是实数；由学生通过观察得结论。
1．并集的定义： 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与集合B 的并集（union set ）。记作：A ∪B （读作：“A 并B ”），即
用Venn 图表示：
这样，在问题（1）（2）中，集合A ，B 的并集是C ，即
A B ?= C
说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。
课本例4，例5
例5，数轴求并集1）画线高低错落，2）空心实心毫不含糊，3）求并有线就行
讨论：A∪B与集合A、B有什么特殊的关系？
A∪A＝ , A∪Ф＝ , A∪B B∪A
A∪B＝A ? , A∪B＝B? .
引入：1，（2，4，6，8，10）（3，5，8，12）（8）
2，女同学，高一学生，高一女同学
2．交集的定义：
一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，叫作集合A、B的交集（intersection set），记作A∩B（读“A交B”）即：
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
用Venn图表示：（阴影部分即为A与B的交集）
巩固练习（口答）：
①．A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∩B＝ ;
②．A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝ ;
③．A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∩B＝。（双线才算）
讨论：A∩B与A、B、B∩A的关系？
A∩A＝ A∩Ф＝ A∩B B∩A
A∩B＝A ? A∩B＝B?
3.全集、补集概念及性质的教学：
研究问题时，我们经常要确定研究对象的范围，例如，从小学到初中，我么研究数的范围逐步由自然数，整数，有理数，实数过度不同范围研究同一个问题时，可能有不同结果，例如方程。(X-2)(X*2-3)=0的解在有理数范围只有一个解，在实数范围下就有三个解，所以研究问题时，我们常常需要设定前提范围，这就是全集。
1）、全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集,记作U，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。（看书上的例题练习题，全集是因题而异的，是人为设定的）
2）、补集的定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合，叫作集合A相对于全集U的补集，记作：
C A，读作：“A在U中的补集”，即
U
用Venn图表示：（阴影部分即为A在全集U中的补集）
巩固练习：例8，例9，练习题1，2，3，4
第四题：1）添加一问介绍反衍律，画图证明2）介绍四块地的集合表示
归纳小结：交，并，补
提升：到现在为止集合的概念运算已经都学完了，集合是数学的基本语言，同学们现在好比是牙牙学语的幼儿，已经初步掌握了这门语言，希望同学们认真练习，熟练运用！
一、复习准备：
初中我们都学习了哪些函数？一次，二次，反比例，其图像为：---混入一个竖直的直线，一个开口向右的抛物线，引出初中函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。
二、讲授新课：
（一）函数的概念：
函数的定义：
设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：
问题1，初高中定义的相同点和不同点？相同点：关键词任意唯一每变，不同点：高中定义中提到了集合。
问题2，集合在定义中扮演什么角色？“口袋”作用就是把X,Y 的取值装入两个集合口袋一个叫集合A 一个叫集合B ，比如说我们初中学习的一次函数，二次函数用高中定义来说——
练习1，是否是A 到B 的函数？
总结：任意唯一，是函数需遍取A 中任意一个元素，不是函数只要在A 中找到一个元素在B 中没有对应，或对应多于一个。 完善定义：其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域，与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域。显然，值域是集合B 的子集。
探究：值域是集合B 的子集？
练习2，下列是A 到B 的函数的是A=[0，6] B=[0，2]（ ）
Af:y=x/4 B f:y=x/3 Cf:y=x/2
练习3，下列是A 到B 的函数（1）f: y^2=x, A:x ≥0，y ∈R （2）x^2+y^2=1 A,B=[-1，1]
练习4，A=[三角形] B=[正实数] f:求该三角形的面积
这就是我们高中函数的定义，其中定义域值域是初中定义每涉及的，下面我们就研究初中接触的函数的定义域和值域
（1）一次函数y=ax+b (a ≠0)的定义域是R ，值域也是R ；
（2）二次函数2
y ax bx c =++ (a ≠0)的定义域是R ，值域是B ；当a>0时，值域244ac b B y y a ??-??=≥??????；当a ﹤0时，值域244ac b B y y a ??-??=≤?????
?。 （3）反比例函数(0)k y k x
=≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。 （二）区间及写法：
设a 、b 是两个实数，且a
（1） 满足不等式a x b ≤
≤的实数x 的集合叫做闭区间，表示为[a,b]； （2） 满足不等式a x b <
<的实数x 的集合叫做开区间，表示为（a,b ）； （3） 满足不等式a x b a x b ≤<<≤或的实数x 的集合叫做半开半闭区间，表示为[)(],,,a b a b ；
这里的实数a 和b 都叫做相应区间的端点。（数轴表示见课本P 17表格）
符号“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”。
我们把满足的实数x 的集合分别表示为
[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习：
用区间表示R 、{x|x ≥1}、,,,x a x a x b x b ≥>≤<{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0}
（学生做，教师订正）
（三）例题讲解：
例1：求下列函数的定义域（用区间表示）
⑴ f(x)=23
2--x x ； ⑵ ⑶ f(x)=1+x －x
x -2； 学生试求→订正→小结：定义域求法（分式、根式、组合式）
说明：求定义域步骤：列不等式（组） → 解不等式（组）→写成集合或区间
例2，已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(a)、f(2a+1)、f(x-1)、f(g(x))的值。
说明：秘诀：整体打包代入
例3．（课本P 18例2）下列函数中哪个与函数y=x 相等？
（1）2y =； （2）y =；
（3）y = （4） 2
x y x =。
说明：相同三要素完全相同，不同一个要素不同就不同。
探究：三要素是有关系的，我们是否可以判定两要素相同就说是同一个函数？
总结：函数的定义
提升：从初中函数的概念到高中函数的概念，我们在更高的平台上对函数有了进一步的了解，好比同学们的学习，一个又
一个台阶，不断进步！
一、复习准备：
1．提问：函数的概念？函数的三要素？
2．讨论：初中所学习的函数三种表示方法？试举出日常生活中的例子说明.
二、讲授新课：
（一）函数的三种表示方法：
结合课本P 15 给出的三个实例，说明三种表示方法的适用范围及其优点：
优点：简明扼要；给自变量求函数值。
优点：直观形象，反映两个变量的变化趋势。
优点：不需计算就可看出函数值，如股市走势图； 列车时刻表；银行利率表等。
例1．（课本P 19 例3）某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需
要y 元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．
例2：（课本P 20 例4）下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度六次数学测试的成
绩及班级平均分表：
第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 甲
98 87 91 92 88 95 乙
90 76 88 75 86 80 丙
68 65 73 72 75 82 班平均
分 88．2 78．3 85．4 80．3 75．7 82．6
请你对这三们同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．
（二）分段函数的教学：
分段函数的定义：
在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数，如以下的例3的函数就是分段函数。
说明：
（1）．分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对应法则；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分别作出；
（2）．分段函数只是一个函数，只不过x 的取值范围不同时，对应法则不相同。 例3：（课本P 21 例6）某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
（1）5公里以内（含5公里），票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里的俺公里计算）。
如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。
例4．已知f(x)＝???+∞∈+-∞∈+),0[,12)
0,(,322x x x x ，求f(0)、f[f(-1)]的值
导入：对比函数的定义
函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两
个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射。
（三） 映射的概念教学：
定义：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射。记作：
讨论：映射有哪些对应情况？一对多是映射吗？
例7）以下给出的对应是不是从A到集合B的映射？
例1．（课本P
22
（1）集合A={P | P是数轴上的点}，集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；
（2）集合A={P | P是平面直角坐标系中的点}，B= {}
x y x R y R
∈∈，对应关系f：平
(,),
面直角坐标系中的点与它的坐标对应；
（3）集合A={x | x是三角形}，集合B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；
（4）集合A={x | x是新华中学的班级}，集合B={x | x是新华中学的学生}，对应关系：每一个班级都对应班里的学生。
例2．设集合A={a,b,c}，B={0,1} ，试问：从A到B的映射一共有几个？并将它们分别表示出来。
（四）、归纳小结：
本节课归纳了函数的三种表示方法及优点；讲述了分段函数概念；了解了函数的图象可以是一些离散的点、线段、曲线或射线。
1.3.1单调性与最大（小）值
一、复习准备：
下图是神州号飞船飞行的高度关于时间的图像
问题1，是定义在t∈[0，8]的函数图像吗？
问题2，观察函数图像，你能了解神州号飞船的飞行规律吗？上升下降，最高最低点
这就是我们本节课要学习的两个方面，单调性与最值（写课题）
引导1，在t∈[0，2]上图像是如何变化的？上升的
引导2，图像是上升的，很好的感性的认识，但一般不会作为严格的官方定义，如何定义呢？
随着x的变大y变大
引导3，随着x的变大y变大，也就是说如果x1 定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1 如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间。 探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义； （有的同学描述减函数的定义时漏掉任意，任意二字在定义中是无关痛痒，还是必须加上？） 一次函数、二次函数和反比例函数单调性？取值任意性 暴露的书写规范问题：1，f(x)＝3x＋2单调递增。2，反比例函数单调区间用并集符号了（定义域和值域用并，）。3，f(x)＝x2区间端点开闭问题（区间局部性） 例1（P29例1）如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 探究：在区间-5到0上是单调递增吗？学生答：先减后增故不是单调递增，这样不严谨，概念辨析题，还得回归概念本身 总结：单调递增的判定，不是单调递增的判定（找到一个反例就行，可以类比函数的判定） 证明单调性：一次函数，二次函数，反比例函数，对勾函数 暴露问题：1，“由图可知”，作为一个证明题肯定是不够严密的，应当回归定义用代数手段证明，可示范一题。（出单调性证明的四个步骤，实际上就是做差法比大小）2，用单调性证明单调性。3，不会变形，总结常见的变形手段，通分，因式分解---目的：化整为零，定各个因式的符号，因式分解越彻底，定号越容易。好不生活中我们想做一件事比较繁琐----- 总结：1，理论支持：单调性的定义 2，步骤：四步走 3，原理：做差比大小 4，难点：变形手段 5，易错：“由图易知”“由单调性证单调性” 引入：烟花问题，1，单调性？2，还有哪些性质？ 人们总是希望在最高点看到烟花爆炸，这就是我们接下来研究的最值 本题如何求最大值？最大值如何定义？最大值可以说是30吗？ 最大值的定义，类比说出最小值的定义， 练习初等函数在定区间上的最值，题后总结：定义三方面：任意，存在，常数 讨论：y=2有最值吗？题后总结：概念辨析题一定要回归概念本身，不能做“看脸族” 总结：单调性的定义，最值的定义，单调性的证明 提升：学会理性推理，比如：1）证明单调性不能由图可知而要用单调性的定义证明2）y=2有最值？做题一定会用官方的概念定义公式来处理，不要随性想当然，这和做人是一个道理！ 1.3.2奇偶性 复习准备，引入正课： 1.提问：什么叫增函数、减函数？最大（小）指？ 2.指出f(x)＝x 2－1的单调区间及单调性。 →变题：f(x)＝|x 2－1|的单调区间 3.这两个函数有什么共同特征？关于Y 轴对称。 4.其函数值有什么规律？比如f(1),f(-1),f(2),f(-2).回答：f(1)=f(-1),f(2)=f(-2). 5.关于Y 轴对称我们可得到f(1)f(-1),f(2)=f(-2)，反过来，由f(1)=f(-1),f(2)=f(-2)，能得到图像关于Y 轴对称吗？回答：不能，需满足任意性 定义偶函数：一般地，对于函数 ()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数.其图像关于Y 轴 对称。 练习：为什么函数f(x)＝|x 2－1|图像关于Y 轴对称？ 下面我们观察两个函数1）Y=2X, 2)Y=1/X 这两个函数有什么共同特征？这两个函数都是关于原点对称，我们称这样的函数是奇函数，类比偶函数想想奇函数的定义？ 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数。 课本思考题：P35,思考题（2）已知f(x)是偶函数，它在y 轴左边的图像如图所示，画出它右边的图像。（假如f(x)是奇函数?） 判断下列函数是否是偶函数．思考题（1），课本例题5,外加32()1x x f x x -=- 用框图总结判定奇偶性的步骤------画框图时同步说明以下几个问题： 1，奇偶函数定义域特点？ 2，即奇有偶函数举例？ 3，非奇非偶如何生成的？ 总结：奇偶函数的代数定义和几何意义 提升：奇偶性是研究函数图像整体的对称性，上一节所学的单调性是研究图像局部的增减性，由局部到整体我们将对函数有更进一步的认识，希望同学们认真体会！ 引入：今天我们学习第二章基本初等函数，我们初中学习了哪些初等函数？ 高中还要学习一些新的函数，因为函数应用太广泛了，大到科研如神州号飞船飞行高度是关于飞行时间的函数，碳14衰变函数可以较比准确预测古董年份，小到我们生活中的一些小问题，比如一直困扰我的拉面问题，2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32-----大约拉4，5次就可以了，2^2=4,我们称2是4的？算术平方根，4的平方根呢？还有±2，2^3=8,我们称2是8的立方根，8的立方根只有2吗？只有2，可以类比平方根，立方根，还有四次方根，五次方根-----的定义，（±2）^4=16，我们称16的四次方根为±2，,2^5=32，我们称32的五次方根是2，讲授新课:定义n次方根：一般地，若n x a =,那么x叫做a的n次方根.( n th root ),其中 ∈N例如：328=2 n>,n* 1 探究：同学们可能发现：N次方根有时候有两个，有时候有一个，何时两个何时一个？ 学生答：偶次方根有两个,奇次方根有一个. 问：这个结论正确吗？ 答：不正确，例如：-16的四次方根不存在，n次方根有几个不但和n的奇偶有关，还和a 的正负有关 问：到底分几种情况？ 答：a是正数，负数，n是奇数，偶数，可以组合出四种情况 总结： a 上面表中的结论再用语言描述：正数奇次方根有一个为正，正数的偶次方根有两个互为相反数，负数的奇次方根有一个为负，负数的偶次方根不存在，0的n次方根始终为0 n叫做根指数，a叫做被开方数. 练习：请按照讨论的结论编出各种情况的题目，同桌互相考察！ 探究： n、n n a的结果？怎样研究会全面客观？还是按照a是正数，负数，n是奇数， 偶数把情况想全！ 结论：n a =. 当n 是奇数时，a a n n =；当n (0)||(0)a a a a a ≥?==?- 引例：a >0 1025 a a == → ?；根式是能表示成分数指数幂的形式 ，当被开方的指数不能被根指数整除时根式是否也能表示成分数指数幂的形式？3 23332 32)(a a a == → ?.这样规定的合理性？使得理论体系得以推广健全。 定义分数指数幂： 规定*0,,,1)m n a a m n N n =>∈> ；*1 0,,,1)m n m n a a m n N n a -=>∈> 随堂练习：A. 将下列根式写成分数指数幂形式：(0,,1)a m n N n *>∈> B. 求值 2327； 255； 436-； 52 a -. 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？ 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 指数幂的运算性质：0,0,,a b r s Q >>∈ r a ·s r r a a +=； rs s r a a =)(； s r r a a ab =)(． 教学例题： （1）、（P 51，例2） 解：① 2 22 3323338(2)224?====，② 1 1 12()21222125(5)555 --?--==== ③ 5151(5)1()(2)2322 ----?-===，④334()344162227()()()81338-?--=== 总结：有两种思路：1）直接将分数指数幂转化成根式。但这样做有时比较麻烦，如④。2）把底数先写成分数指数幂的形式，这样新老幂之间可能约分化简，较好！ （2）、（P 51，例3）用分数指数幂的形式表或下列各式（a ＞0） 解：11 7 333222a a a a a +=?==， 22 8 222333 a a a a a +?== （3）（P 52例5）计算下列各式 （1）÷22 (a ＞0） 无理指数幂的教学 .（结合教材P 58利用逼近的思想理解无理指数幂意义） 无理数指数幂),0(是无理数αα>a a 是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？ 归纳小结： 1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a x 是的次方根,n 为奇数时, n 为偶数时，x = 2．掌握两个公式：(0),||(0) n a a n n a a a ≥?==? - 2.1.2 指数函数及其性质 一、复习准备： 1. 提问：分数指数幂是怎样定义的？ 2. 提问：有理指数幂的运算法则可归纳为几条？ 讲新课之前我想提一个一直困扰我的拉面问题，2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16,2^5=32-----实际上就是一个函数关系2x y =，大约拉4，5次就可以了，正是这个函数把我从人生的困惑中解脱出来，这就是我们今天指数函数。 二、讲授新课： 举例：生活中其它指数模型？ A ．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x 次分裂得到y 个细胞，那么细胞个数y 与次数x 的函数关系式是什么？ B ．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x 年为自变量，残留量y 的函数关系式是什么？ 讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？ 定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是 自变量，函数的定义域为R . 讨论：为什么规定a ＞0且a ≠1呢？否则会出现什么情况呢？讨论：你能类比前面讨论函数性质时的思路，提出研究指数函数性质的内容和方法吗？研究方法：画出函数的图象（有图有真相），结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 如何做出一个新函数的图像？描点法或者图像变换 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 2x y = 1()2x y =（师生共作→小结作法） 函数2x y =与1()2x y =的图象有什么关系？如何由2x y =的图象画出1()2x y =的图象？根据两 函数的图象的特征，归纳出这两个指数函数的性质. → 变底数为3或1/3等后？ 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P 56) 3、例题讲解 例1：（P 56 例6）已知指数函数()x f x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值. 例2：（P 56例7）比较下列各题中的个值的大小 （1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1 总结：比较大小的常见方法：做差，做商，单调性，中间量-------- 教学指数函数的应用模型： ① 出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的 世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策． (Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？ (Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？ （师生共同读题摘要→讨论方法→师生共练→小结：从特殊到一般的归纳法） ②练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍？→变式：多少年后产值能达到120亿？ ③小结指数函数增长模型：原有量N，平均最长率p，则经过时间x后的总量y=？→一般形式：涉及到指数型函数的应用，形如x =（a＞0且a≠1）. y ka 归纳小结 1、指数函数的定义 2、指数函数图像和性质 提升：思想方法：分类讨论，数形结合，这是高中数学较比重要的思想希望同学们能有所体会！而且展示了研究一个新学函数方法，这位我们以后的学习起到了示范作用。 2.2.1对数与对数运算 复习准备： 今天我们学习2.2，在2.1中我们学习了哪些内容？根式与分数指数幂。指数函数对于这两节内容我们简单复习一下： 问题1.X^2=4,X=±2？.X^2=5，X=±√5？为什么X=±√5？这个方程的根X真实存在，但在有理数范围内是无解的，于是我们规定了n次方根的定义，从而就可以把这两个解书写出来，可以说就是为了解方程的需要人为发明的一个符号标记。 问题2。对于指数函数2x y=，Y=8,X=?, Y=30,X=?, X存在吗？唯一确定吗？你能估测其所在区间吗？虽然方程的根唯一确定但我们现在是无法说出x等于什么，怎么办？人为标记一个符号，怎么标记？同学们尝试发明创造-------，大家的创造能力很强，和合理，但生不逢时，这个已经被数学前辈发明了，16世纪苏格兰数学家纳皮尔，发明了对数，对数的发明是数学历史上的重大事件，天文学家，航海家为之欣喜若狂，恩格斯把对数的发明，解析几何，微积分并称17世纪数学的3大创造，伽利略说过，给我空间时间和对数我就能创造一个宇宙！！！ 定义：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）. 记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数 用定义说明： 2x y ==30,X=?, 定义：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N → 认识：lg5 ; lg3.5； ln10； ln3 练习课本例1.互化，添加两题（7）lg （-1）= (8)lg0= (9)lg1= (10)lg10= 结论：负数与零没有有对数？（原因：在指数式中 N > 0 ） log 1?a =， log ?a a = 例2--------- 指数有哪些运算律？对数也应当有自己的运算律，如果我们发现将是对对数体系是重大完善！ ① 引例： 由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？ 设log a M p =, log a N q =，由对数的定义可得：M =p a ，N =q a ∴MN =p a q a =q p a + ∴a log MN =p +q ，即得a log MN =a log M + a log N ② 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？ 如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则 a a a log (MN)=log M +log N ; a a a M log =log M -log N N ； ()n a a log M =nlog M n R ∈ 性质的证明思路？（对数定义，用定义证明是证明的根本，学过了哪些？证明单调性，奇偶性）自然语言如何叙述三条性质？ 例1. 判断下列式子是否正确，（a ＞0且a ≠1，x ＞0且a ≠1，x ＞0，x ＞y ）， （1）log log log ()a a a x y x y ?=+ （2）log log log ()a a a x y x y -=- （3）log log log a a a x x y y =÷ （4）log log log a a a xy x y =- （5）(log )log n a a x n x = （6）1log log a a x x =- （71log a x n = 例2（ P 65例3例4）：用log a x ，log a y ，log a z 表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值. （1）log a xy z （2）log a （3）75log (42)z ? （4） 对数在生活中的应用是很强的，看课本P66，我国人口问题达到18亿的年份，如何求，这里是非特殊值需要计算机，但问题来了，计算器上都是以10，e,为底的，所以我们需要把这个结果转化成以10或e,为底的。 换底公式，查计算机算出本题。从计算器求对数这个角度可以看出换底公式的重要性。 换底公式的推论：log log m n a a n b b m =；1log log a b b a = 接下来继续见证对数的神奇：长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？ 归纳小结： 对数的定义：log (b N a a N b a =?=＞0且a ≠1） 对数的性质公式： 提升：同学们本节课大家见证了对数的发明与发展，这个过程神奇但也入情入理，希望同学们在数学上投入兴趣多做研究，将来也能成为一名伟大的数学家！ 一、复习准备： 对数的定义和运算，对数是17世纪数学史的重大发明，恩格斯把对数的发明，解析几何，微积分并称17世纪数学的3大创造，伽利略说过，给我空间时间和对数我就能创造一个宇宙。比如教材P 73例， 对每一个碳14的含量P 的取值，通过对应关系 log t P =，生物死亡年数t 都有唯一的值 与 之对应，从而t 是关于P 的函数，这个函数在考古年代断定上有无以伦比的作用，这个函数就 是今天要学习的对数函数。 二、讲授新课： 定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数(logarithmic function).自变量是x ； 函数的定义域是（0，+∞） 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？ 研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质． 研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性． 如何做出一个新函数的图像？描点法，图像变换 同一坐标系中画出下列对数函数的图象 x y 2log =；0.5log y x =（可以通过将x y 2log =得到关 于X 轴对称）根据图象，你能归纳出对数函数的哪些性质？ 例1：（P71例7）求下列函数的定义域 （1）2log a y x = （2）log (4)a y x =- （a ＞0且a ≠1） 例2. （P72例8）比较下列各组数中的两个值大小 （1）22log 3.4,log 8.5 （2）0.30.3log 1.8,log 2.7 （3）log 5.1,log 5.9a a （a ＞0，且a ≠1） 例3. （P72例9）：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH 的计算公式lg[]pH H +=-，其中[]H +表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. （Ⅰ）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？ （Ⅱ）纯净水7[]10H +-=摩尔/升，计算纯净水的酸碱度. 总结：用函数思想解决实际应用问题的步骤： 第一步:抽象出的函数模型。（建函数）（本题是直接给出函数） 第二步：如何应用函数模型解决问题？（用函数）（单调性，由X 求Y ） 第三步：汇报实际结论。（跳出函数） 过度：PH 值分别是8，9，10求对应的氢离子的浓度，分别将函数值代入8，9，10再指对互化分别求出自变量，但这样运算有重复的嫌疑，指对互化了3次，我们可以先指对互化得到一个新函数，对于这个新函数的自变量分别代入8，9，10这样会简单些。 原函数：PH 值关于氢离子浓度的函数，新函数：氢离子浓度关于PH 值的函数 这两个函数有什么变化？自变量和因变量颠倒。这就是我们下面要学习的反函数 数学汇总 第一章 集合与函数概念 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ? 说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n ( N * ；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ） ； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的 对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。阅读课本P-P内容 23二、新课教学（一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。 3. 思考1：课本P的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，3对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。 4. 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 5. 元 课题：§1.1 集合 1 2 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学3 的一个重要的基础。许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基4 础上。此外，集合理论的应用也变得更加广泛。 5 课型：新授课 6 课时：1课时 7 教学目标：1.知识与技能 8 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属9 于”关系； 10 （2）牢记常用的数集及其专用的记号。 11 （3）理解集合中的元素具有确定性、互异性、无序性。 12 （4）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述13 法）描述不同的问题。 14 2.过程与方法 15 （1）学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过16 程，深入理解集合的含义。 17 （2）学生自己归纳本节所学的知识点。 18 3.情感态度价值观 19 使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数20 学学习的兴趣。 教学重点：集合的概念与表示方法。 教学难点：对待不同问题，表示法的恰当选择。 21 教学过程： 22 一、引入课题 23 军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试24 问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 25 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是26 高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习27 一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 28 阅读课本P 2-P 3 内容 29 二、新课教学 30 （一）集合的有关概念 31 1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全32 体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个33 总体。 34 2.一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素35 组成的总体叫做集合（set）（简称为集）。 36 3.关于集合的元素的特征 37 （第1课时） 课题 §2.1数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 三角形数：1，3，6，10，… 正方形数：1，4，9，16，25，… Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“ 3 1 ”是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 1 51 413121 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1 = 来表示其对应关系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系 人教版数学必修I 测试题（含答案） 一、选择题 １、设集合{}{}{}1,2,3,4,5,1,2,3,2,5U A B ===,则()U A C B =（ ) A 、{}2 B 、{}2,3 C 、{}3 D 、{}1,3 2、已知集合{}{}0,1,2,2,M N x x a a M ===∈,则集合 M N （ ) A 、{}0 B 、{}0,1 C 、{}1,2 D 、{}0,2 3、函数()21log ,4y x x =+≥的值域是 （ ) A 、[)2,+∞ B 、()3,+∞ C 、[)3,+∞ D 、(),-∞+∞ 4、关于A 到B 的一一映射,下列叙述正确的是 ( ) ① 一一映射又叫一一对应 ② A 中不同元素的像不同 ③ B 中每个元素都有原像 ④ 像的集合就是集合Ｂ A 、①② B 、①②③ C 、②③④ D 、①②③④ 5、在221 ,2,,y y x y x x y x ===+=,幂函数有 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6、已知函数()213f x x x +=-+,那么()1f x -的表达式是 ( ) A 、259x x -+ B 、23x x -- C 、259x x +- D 、21x x -+ 7、若方程0x a x a --=有两个解，则a 的取值范围是 ( ） A 、()0,+∞ B 、()1,+∞ C 、()0,1 D 、? 8、若21025x =，则10x -等于 ( ) A 、15- B 、15 C 、150 D 、 1 625 ９、若()2log 1log 20a a a a +<<，则a 的取值范围是 ( ) 高中数学必修一教案全套 Last revision date: 13 December 2020. 『高中数学·必修1』第一章集合与函数概念 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方 面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于” 关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不 同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合； 教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8 月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高 一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新 的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 阅读课本 P-P内容 二、新课教学 （一）集合的有关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能 意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set）， 也简称集。 ——————————————第 1 页（共 70页）—————————————— 2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案（完整版） 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点 重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形； (5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题： 判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； 第一章集合与函数概念 §1．1集合 1.1.1集合的含义与表示（第一课时） 教学目标：1.理解集合的含义。 2.了解元素与集合的表示方法及相互关系。 3.熟记有关数集的专用符号。 4.培养学生认识事物的能力。 教学重点：集合含义 教学难点：集合含义的理解 教学方法：尝试指导法 教学过程： 引入问题 （I）提出问题 问题1：班级有20名男生，16名女生，问班级一共多少人？ 问题2：某次运动会上，班级有20人参加田赛，16人参加径赛，问一共多少人参加比赛？ 讨论问题：按小组讨论。 归纳总结：问题2已无法用学过的知识加以解释，这是与集合有关的问题，因此需用集合的语言加以描述（板书标题）。 复习问题 x-< 问题3：在小学和初中我们学过哪些集合？（数集，点集）（如自然数的集合，有理数的集合，不等式73的解的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合，到一条线段的两个端点距离相等的点的集合等等）。（II）讲授新课 1．集合含义 通过以上实例，指出： （1）含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）。 说明：在初中几何中，点，线，面都是原始的，不定义的概念，同样集合也是原始的，不定义的概念，只可描述，不可定义。 （2）表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 问题4：由此上述例中集合的元素分别是什么？ 2. 集合元素的三个特征 由以上四个问题可知，集合元素具有三个特征： （1） 确定性： 设A 是一个给定的集合，a 是某一具体的对象，则a 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种而且只有一种成立。 如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋） “中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P 周围的点”一般不构成集合 元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?两种) 若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A ，记作a ∈A ； 若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a ?A 。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32?A.(请学生填充)。 （2） 互异性：即同一集合中不应重复出现同一元素。 说明:一个给定集合中的元素是指属于这个集合的互不相同的对象.因此,以后提到集合中的两个元素时,一定是指两个不同的元素. 如:方程(x-2)(x-1)2 =0的解集表示为{1,-2 },而不是{ 1,1,-2 } （3）无序性: 即集合中的元素无顺序,可以任意排列，调换. 。 3.常见数集的专用符号 （III ）课堂练习 （IV ）课时小结 1.集合的含义； 2.集合元素的三个特征中，确定性可用于判定某些对象是否是给定集合的元素，互异性可用于简化集合的表示，无序性可用于判定集合的关系。 人教版高中数学必修1 全册教案 目录 第一章集合与函数概念 §1.1.1集合的含义与表示 §1.1.2集合间的基本关系 §1.1.3集合的基本运算 §1.2.1函数的概念 §1.2.2映射 §1.2.2函数的表示法 §1.3.1函数的单调性 §1.3.1函数的最大（小）值 §1.3.2函数的奇偶性 第二章基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1指数（2） §2.1.1指数（3） §2.1.2指数函数及其性质（1） §2.1.2指数函数及其性质（2） §2.2.1对数与对数运算（1） §2.2.1对数与对数运算（2） §2.2.2对数函数及其性质（第一、二课时） §2.2.2对数函数及其性质（第三课时）§2.3幂函数 §第2章小结与复习 第三章函数的应用 §3.1.2用二分法求方程的近似解 §3.2.1几类不同增长的函数模型 §3.2.2函数模型的应用实例（1） §3.2.2函数模型的应用实例（2） §3.2.2函数模型的应用实例（3） 第一章集合与函数概念 一. 课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交流的能力 . 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集 . 7. 能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 13. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论，只将集合作为一种语言来学习，要求学生能够使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，从而体会集合语言的简洁性和准确性，发展运用数学语言进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识，通过列举丰富的实例，使学生了解集合的含义，理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，这样比较符合学生的认识规律，同时有利于培 集合与函数基础测试 一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（ ） A ．递减函数 B ．递增函数 C ．先递减再递增 D ．选递增再递减． 2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ） A ．)}1,1{( B ．}1,1{ C ．（1，1） D ．}1{ 3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是 （ ） A. a B. {a ，c } C. {a ，e } D.{a ，b ，c ，d } 4．下列图形中，表示N M ?的是 （ ） 5．下列表述正确的是 （ ） A.}0{=? B. }0{?? C. }0{?? D. }0{∈? 6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参 加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A ?B C.A ∪B D.A ?B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（ ） A.（a+b ）∈ A B. (a+b) ∈B C.(a+b) ∈ C D. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个 8．函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（ ） A ．a ≥5 B ．a ≥3 C ．a ≤3 D ．a ≤－5 9.满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 10.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是 （ ） A. A B B. B A C. B C A C U U D. B C A C U U 11.下列函数中为偶函数的是（ ） A ．x y = B ．x y = C ．2x y = D ．13+=x y 12. 如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是 （ ） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定 二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上) 13．函数f （x ）＝2×2－3｜x ｜的单调减区间是___________． 14．函数y ＝1 1＋x 的单调区间为___________． 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{a b a ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a . 16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合 M N A M N B N M C M N D 高中数学必修4教案按住Ctrl键单击鼠标打开教学视频动画全册播放 1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标 1．提高学生的推理能力； 2．培养学生 应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合 的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入：1．回顾角的定义①角的第一种定义是 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕 着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念：①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．②角 的名称：始边 B 终边③角的分类： O A 顶点正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角④注意：⑴在不引 起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”；⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．⑤练习：请说出角α、β、γ各是多 少度? 2．象限角的概念：①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角 分别属于第几象限角？ y y B 145° 30° x x o60 O O B 2B 3⑵ ⑴ 例2．在直 角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． 1 高中数学必修4教案⑴ 60°；⑵ 120°；⑶ 240°； ⑷ 300°；⑸ 420°；⑹ 480°；答：分别为1、2、3、 高一年级数学必修一教案 课题：§1.1 集合 教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方 面，很多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。另一方面，集合论及其所 反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。 课型：新授课 教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体 问题，感受集合语言的意义和作用； 教学重点：集合的基本概念与表示方法； 教学难点：使用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，准确表示一些简单的集合；教学过程： 一、引入课题 军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合实行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？ 在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。 二、新课教学 （一）集合的相关概念 1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体， 人们能意识到这 些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。 2. 一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体 叫集合（set），也简 称集。 3. 关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者 是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的 个体（对象），所以，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样 4. 元素与集合的关系； （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A， 记作aA（或a A） 5. 常用数集及其记法 非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+； 整数集，记作Z 有理数集，记作Q 高一数学必修1（人教版A）基本知识点回顾 一、集合 1．集合的概念描述：集合的元素具有______性、______性和______性．如果a是集合A的元素，记作________． 2．常用数集的符号：自然数集______；正整数集______；整数集______；有理数集______；实数集______． 3．表示集合有两种方法：______法和______法．______法就是把集合的所有元素一一列举出来，并用_____号“_____”起来；______法是用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体的方法是：在______号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条______，在此后面写出这个集合中元素所具有的_____性质．4．集合间的关系：A?B?对任意的x∈A有______，此时我们称A是B的______；如果_______，且_______，则称A是B的真子集，记作______；如果______ ，且______，则称集合A与集合B相等，记作_______；空集是指____________的集合，记作_____．5．集合的基本运算：集合{ x | x∈A且x∈B }叫做A与B的______ ，记作_______；集合{ x | x∈A或x∈B }叫做A与B的______，记作_______；集合{ x | x?A且x∈U }叫做A 的_____ ，记作____；其中集合U称为_____．6．性质：①A ?A，??A； ②若A ?B，B ?C，则A ?C； ③A∩A＝A∪A＝A； ④ A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A； ⑤A∩?＝?；A∪?＝A； ⑥A∩B＝A?A∪B＝B ?A ?B； ⑦A∩C U A＝?；A∪C U A＝U； ⑧C U (C U A)＝A；⑨C U (A∪B)＝C U A∩C U B． 7．集合的图示法：用韦恩图分析集合的关系、运算比较直观，对区间的交并、补、可用于画数轴分析的方法． 8．补充常用结论：①若集合A中有n (n∈N)个元素，则集合A的所有不同的子集个数为2n（包括A与?）；②对于任意两个有限集合，其并集中的元素个数可用“容斥原理”计算： card(A∪B)＝card A + card B - card(A∩B) 9．易错点提醒：①注意不要用错符号“∈”与“?”；②当A ?B时，不要忘了A ＝?的情况讨论； 二、函数及其表示法 1．函数的定义：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的_________ f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有____________的数f ( x ) 和它对应，则称f为从集合A到集合B的函数，记作_________．函数的三要素是指函数的_____________、_____________和______________． 2．函数的表示法：_____________法、____________法和____________法． 3．解有关函数定义域、值域的问题，关键是把握自变量与函数值之间的对应关系，函数图象是把握这种对应关系的重要工具．当只给出函数的解析式时，我们约定函数的定义域是使函数解析式_____________的全体实数． 4．求函数解析式的常用方法：①待定系数法，②换元法，③赋值法（特殊值法），等（试各举一例）． 5．函数图象的变换：根据函数图象的变换规律，可以由基本初等函数的图象为基础画出更多更复杂的函数图象，以便利用函 高一数学必修一教案（北师大版） 第一章集合 §1集合的含义与表示 学习目标： 1、了解集合的含义，体会元素与集合的关系。能选择恰当的方法表示一些简单的集合。 2、了解集合元素的性质，掌握常用数集及其专用符号。 教学过程： 一、板书课题，揭示目标 师：同学们，今天我们来学习集合的含义与表示。 请看本节的学习目标：（投影） 二、自学指导： 师：同学们，如何完成本节的学习目标呢？主要依靠大家的自学，请认真看自学指导。（投影） 自学指导： 请认真看课本P3-P5的内容，弄清以下几个问题： 1、集合的概念. 2、集合元素的性质. 3、元素与集合的关系. 4、常用数集的专用符号. 5、集合的表示方法. 6、集合的分类. 8分钟后检测，比谁能做对与例题类似的习题。 三、学生自学 教师督促，使每一位学生紧张自学，注意学生看书速度。 四、检测 1、检测题 ○1请举出两个集合的例子 ○2所有的高个子能否表示为集合？ ○3A={2，2，4}表示是否准确？ ○4做练习题P5，1、2、3 2、指名学生板演，其他学生认真做在练习本上。 五、更正讨论 1、更正 请同学们认真看板演的内容，能够发现问题并能更正的同学请举手。（指名更正） 2、讨论 先看第①题，举的例子正确吗？为什么？引导学生总结集合的定义 ②题，回答的正确吗？为什么？引导学生归纳集合的特征：确定性 ③题，回答的正确吗？为什么？引导学生归纳集合的特征：互异性 【集合的元素的基本性质】 （1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合． （2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素． (3) 无序性：集合中的元素没有顺序。 ④题第一题，这道题都是运用了课本中的哪个知识点？引导学生回答：运用的是常用数集的相关知识。 再看第二题，运用的方法恰当、正确吗？为什么？并规范集合的表示。 第三题，结果正确吗？为什么？纠正学生对空集的认识。 3、学生归纳总结，识记概念。 六、当堂训练 师：请同学们运用本节所学内容独立完成作业。 作业：P6 T2、3 §2集合的基本关系 学习目标： 1、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集. 2 、掌握并能使用Venn图表达集合关系，加强学生从具体到抽象的思维能力。 教学过程： 一、板书课题，揭示目标 师：同学们，今天我们来学习集合的基本关系。 请看本节的学习目标：（投影） 高一数学知识总结 必修一 一、集合 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合 {H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一 个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太 平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球 队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：B A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2） A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A?B那就说集合A是集合B的 真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 二、函数 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q) (a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q) (ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q) 第一章：空间几何体 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 一、教学目标 1. 知识与技能 (1) 通过实物操作，增强学生的直观感知。 (2) 能根据几何结构特征对空间物体进行分类。 (3) 会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。 (4) 会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2. 过程与方法 (1) 让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出拄、锥、台、球的几何结构特征。 (2) 让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3. 情感态度与价值观 (1) 使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提鬲学生的观察能力。 (2) 培养学生的空间想象能力和抽象括能力。 二、教学重点、难点 重点：让学生感受大董空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。 难点：柱、锥、台、球的结构特征的槪括。 三、教学用具 (1) 学法：观察、思考、交流、讨论、槪括。 (2) 实物模型、投影仪 四、教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1. 教师提出问题：在我们生活周围中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗这些建筑的几何结构特征如何引导学生回忆，举例和相互交流。教师对学生的活动及时给予评价。 2. 所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，(展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体)，你能通过观察。根据某种标准对这些空间物体进行分类吗这是我们所要学习的内容。 (二)、研探新知 1. 引导学生观察物体、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。 2. 观察棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么它们的共同 特点是什么 3. 组织学生分组讨论，每小组选出一名同学发表本组讨论结果。在此基础上得出棱柱的主要结构特征。(1)有两个面互相平行；(2)其余各面都是平行四边形；(3)毎相邻两上四边形的公共边互相平 1．1集__合 1．1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义 集合的概念 [提出问题] 观察下列实例： (1)某公司的所有员工； (2)平面内到定点O 的距离等于定长d 的所有的点； (3)不等式组? ???? x ＋1≥3， x 2≤9的整数解； (4)方程x 2－5x ＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学． 问题1：上述实例中的研究对象各是什么？ 提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学． 问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？ 提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定． 问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？ 提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念 定义 表示 元素 一般地，我们把研究对象统称为元素 通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示 集合 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示 [化解疑难] 准确认识集合的含义 (1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的． (2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. 元素的特性及集合相等 [提出问题] 问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3. 问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？ 提示：2,3. 问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？ 提示：相等． [导入新知] 1．集合相等 只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等． 2．集合元素的特性 集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． [化解疑难] 对集合中元素特性的理解 (1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的． (2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素． (3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合. 元素与集合的关系及常用数集的记法[ 某中学2017年高一年级20个班构成一个集合． 问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？高中数学必修一集合的基本运算教案
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