毕业设计(论文)
课题名称泰勒公式的验证及其应用
学生姓名易必蓉
学号0840819081
系、年级专业08级信息与计算科学专业
指导教师陈继业
职称教授
2012年5 月15 日
摘要：数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。在现代数学中Taylor公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法
关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项极限级数
目录
一、预备知识 (4)
1.1泰勒公式的表达式 (4)
1.2泰勒公式余项 (4)
1.3泰勒公式的意义 (4)
二、泰勒公式的证明 (5)
2.1带有皮亚诺型余项的泰勒式 (5)
2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (6)
2.3带有柯西型余项的泰勒公式 (7)
2.4积分型泰勒公式 (8)
2.5二元函数的泰勒公式 (9)
三、泰勒公式的实际应用 (10)
3.1利用泰勒公式求近似值和极限 (10)
3.2利用泰勒公式求高阶导数 (11)
3.3利用泰勒公式判断敛散性 (12)
3.4利用泰勒公式证明中值定理 (13)
3.5利用泰勒公式证明不等式 (14)
3.6泰勒公式在方程中的应用 (15)
结论 (16)
参考文献 (17)
一、预备知识
1.1泰勒公式的表达式
对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构造一个n 次多项式，
n
T ()0x =f 0()x +
00()()
1!
f x x x '-+
2
00()()
2!
f x x x ''-+…+
()
00()
()!n n
f
x x x n -称为函数f
在点0x 出的泰勒（Taylor ）多项式， Tn(x)的各项系数()
0()
(1,2,...,)!
k f
x k n k =称为
泰勒系数。
1.2泰勒公式余项
若函数f 在点0x 存在直到n 阶导数，则有f （x ）=T(n)+o(0()n
x x -);即f(x)=
f 0()x +
00()()1!
f x x x '-+
2
00()()2!
f x x x ''-+…+
()
00()
()!
n n f
x x x n - +o(0()n
x x -)
其中()R n x =f(x)- ()T n x 称为泰勒公式的余项。
形如o(0()n
x x -)的余项称为佩亚诺型余项。
特殊的当x=0时；()f x =f(0)+ (0)f x '+
2
(0)2!
f x ''+…+
()
(0)
!
n n f
x n +()
n
o x
称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林（Maclaurin ）公式。
1.3泰勒公式的意义
我们在学习导数和微分概念时知道，如果函数在一点处可导0x ，则有在这点附近用一次多项式去逼近函数)(x f ，其误差为的高阶无穷小量))((0n x x o -。再用二次多项式或高于二次多项式去逼近。我们可以看出二次切线或者高次切线与曲线的接近程度比一次切线要好，当然次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度越来越高。
泰勒公式的意义就是，用一个n 次多项式来逼近函数()f x ，而多项式具有形式简单，易于计算、近似程度高等优点。
二、泰勒公式的证明
我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。
2.1带皮亚诺型余项的Taylor 公式的证明
函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即
"
'
2
00000()()()()()()2!
f x f x f x f x x x x x =+-+
-+?
()
00()
()!
n n
f
x x x n +
-0(())n
x x +ο-.
(2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n
次多项式，
"
()
'
2
0000000()()
()()()()()()2!
!
n n
n f x f
x T x f x f x x x x x x x n =+-+
-+?+
- （3）
称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，
()n T x 的各项系数()
0()
!
k f
x k (1,2,,)k n =?称
为Taylor 系数。从上易知()f x 与其Taylor 多项式()n T x 在点0x 有相同的函数值和相同的直至n 阶导数值，即
()()
00()()k k n f x T x =，1,2,,k n =?. （4）
证明：设()()()n n R x f x T x =-，0()()n n Q x x x =-，
现在只要证
()
()
lim n x x n
R x Q
x →=
由关系式（4）可知，')
000()()()0n n n n
R x R x R x ==?==（ 并易知 '1)000()()()0n n n n
Q x Q x Q x -==?==（，()
0()!n n Q x n =
因为()0()n f x 存在，所以在点0x 的某邻域0()U x 内f 存在1n -阶导函数()f x 。于是，当x U ο
∈且0x x →时，允许接连使用洛必达法则1n -次， 得
到
0'
(1)
'
(1)
()
()
()()
()
()
lim lim lim
n n n n n x x x x x x n
n
n
R x R x R x Q
x Q
x Q
x --→→→=
=?=
(1)
(
1)
(
)
00
0()()()()
(1)2()l i m
n n n
x x f
x f
x f
x x x n n x x --→---=-?-
(1)
(
1)
()
000
()()
1
[
()]!
lim n n n x x f
x f x f
x n x x --→-=
--
0=
()()()n n R x f x T x =-称为Taylor
公式的余项，形如0(())n x x ο-的余项称为
佩亚诺型余项，所以（2）式又称为带有皮亚诺型余项的Taylor 公式。
2.2带有拉格朗日型余项的Taylor 公式的证明
若函数f 在[,]a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(,)a b 内存在(1)n +阶导函数，则对任意给定的x ，0x ∈[,]a b ，至少存在一点ξ∈(,)a b ，使得
"
'
2
00000()()()()()()2!
f x f x f x f x x x x x =+-+
-+?
()
(1)
1
0000()
()
()()
!
(1)!
n n n
n f
x f
x x x x x n n +
++
-+
-+ （1）
证明：作辅助函数
()
'
()
()()[()()()()]!
n n
f
t F t f x f t f t x t x t n =-+-+?+
-
1()()n G t x
t +=- 所需证明的（1）式即为 (1)
00()
()()(1)n f
F x
G x n ξ+=
+！
或
(1)
00()()
()
(1)n F x f
G x n ξ+=
+！
不妨设0x x <，则()F t 与()G t 在0[,]x x 上连续，在0(,)x x 内可导，且
(1)
'
()
()()!
n n
f
t F t x t n +=-
-，
'()(1)()0
n
G t n x t =-+-≠ 又因()()0F x G x ==，所以由柯西中值定理证得
'
(1)
00'00()()()()()
()
()()
()
(1)n F x F x F x F f
G x G x G x G n ξξξ+-=
==
-+！
，
其中0(,)(,)x x a b ξ∈?。 它的余项为
(1)
1
00()
()()()()
(1)!
n n n n f
x R x f x T x x x n ++=-=
-+
00()x x x ξθ=+- (01)θ<<，
()()()n n R x f x T x =-称为拉格朗日余项。所以（1）式又称为带有拉格朗日
型余项的Taylor 公式。
2.3 柯西型Taylor 公式的证明
若函数f 在[,]a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(,)a b 内存在(1)n +阶导函数，则对任意给定的x ，0x ∈[,]a b ，使得 "
()
'
2
0000000()()
()()()()()()2!
!
n n
f x f
x f x f x f x x x x x x x n =+-+-+?+
- ()n R x + （5）
(1)
(
1)
00
01()(())(1
)()!
n n
n n R x f
x x x x x
n θ
θ++=
+--- 证明：作辅助函数
()
'
()
()()[()()()()]!
n n
f
t F t f x f t f t x t x t n =-+-+?+
-
()G t x t =-
应用柯西中值定理可得，存在0(,)(,)x x a b ξ∈?，使得
'
(1)
01
'
0()()()()()()()()
()
!
n n
n n R x F x F x F x f
x x
G x G x G x n ξξ++--=
=
=
-
令x ξθ=(01)θ<< 即可得到（5）式。
2.4积分型Taylor 公式的证明
如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n +的导数, 则当x 在(,)a b 内时, ()f x 可表示为0()x x -的一个n 次多项式与一个余项()n R x 之和:
"
()
'
2
0000000()()
)()()()()()2!
!
()(n n
n f x f
x f x x x x x x x R x n f x f x +-+
-+?+
-+=
其中 10
(1)
112
1
()()n o
o
x
x x n n n n x x x x f
x dx dx dx R +++=
????
?
证明：由New ton Leibniz -公式得：
'
011)()()(x x f x d x
f x f x =
-?
即 0
'
011)()()(x x f x d x
f x f x +
=
?
1
''022)"()()(x x f x dx f x f x +=?
20
""'''
033
)()()(x x f
x d x f x f x +
=?
0
()
(
)
(
1)
011
)()()(n x n n n n n x f
x dx f
x f
x +++
+
=?
从而有
1
'
'
"01100221()()()()[()()]x
x
x x x x f x f x f x dx f x f x f x dx dx =+=++???
100'"
000221()()()()x x x x f x f x x x f x dx dx =+-+??
120
'"
'''
00003321()()()[()()]x x x x x x f x f x x x f x f x dx dx dx =+-++
??
?
120
"
'
2
'''
000003321()()()()()()2!
x
x x x x x f x f x f x x x x x f x dx dx dx =+-+
-+
???
……
"
()
'
2
0000000()()
()()()()()()2!
n n
n f x f
x f x f x x x x x x x R x n =+-+
-+?+
-+！
其中 10
(1)
112
1
()()n o
o
x
x x n n n n x x x x f
x dx dx dx R +++=????
?
2.5 二元函数的Taylor 公式的证明
若函数f 在点000(,)p x y 的某邻域0()U p 内有直到1n +阶的连续偏导数，则对
0()U p 内的任一点00(,)x h y k ++，存在相应的(0,1)θ∈，使得
2
000000001(,)(,)(+k
)(,)(+k
)(,)2!
f x h y k f x y h
f x y h
f x y x
y x
y
????++=++
+?+
????
1
0000
11(+k
)(,)(+k
)
(,)!
(1)!
n
n h
f x y h f x h y k n x
y
n x
y
θθ+????+
++??+?? （6） （6）式称为二元函数f 在点0p 的n 阶Taylor 公式，其中
0000(+k
)
(,)(,)m m
m
i
i m i m
i m i
i h
f x y C
f x y h k x y
x y θ
--=???=
????∑
证明：作辅助函数 00,)()(th y tk t f x ++Φ=
由定理的假设，一元函数()t Φ在[0,1]上满足一元函数Taylor 定理条件，
于是有
'
"
(
)
(1)
(0)(0)(0)()
(1)
(0)+1!2(1)!
n n n n θ+ΦΦΦ
ΦΦ=Φ+++?+
+！！
(01)θ<< （7） 应用复合函数求导法则，可求得()t Φ的各阶导数： ()00()()(,)m m
t h
k
f x th y tk x y
??Φ=+++?? (1,2,+1m n
=?
当0t =时，则有 ()00(0)()(,)m m
h
k
f x y x y
??Φ=+?? (1,2,)m n =? （8）
及 (1)1
00()()
(,)n n h
k
f x h y k x
y
θθθ++
??Φ=+++?? （9）
将（8），（9）式代入（7）式就得到了Taylor 公式（6）。
三、泰勒公式的实际应用
3.1利用泰勒公式求近似值和极限 3.1.1计算近似值
例1、计算e 的值，使其误差不超过610-。 解：由公式得
111112!3!
!(1)!
e
e n n =++
+++
+
+ (01)θ<<
故0
3
(1)(1)!
(1)!
n e
R n n =
<
++，当9n =时，便有
6
93
3
(1)10
10!3628800
R -<
=
<
略去9(1)R 求得e 的近似解为
11111 2.718285
2!3!9!
e ≈++
+++
≈
3.1.2计算极限
例2、求极限2
2
11lim (
)
sin x x
x
→-
解：2
2
2
2
2
2
11sin lim (
)lim
sin sin x x x x x
x
x x
→→--
=
又21cos 2sin 2
x
x -=
，将cos 2x 用Taylor 公式展开
2
4
4
41621()2!
4!
x
x Cos x x ο=-
+
+
则4
4
22
2
2
4
()sin 13
lim (
)lim sin 3
x x x
x x x x x
x
ο→→+-==
3.2利用泰勒公式求高阶导数
例3、设cot y arc x =，求()(0)n y 。
分析：这道题若直接求高阶导数比较困难，因此我们考虑在0x =处的麦克劳林展开式。 解：'2
1'(cot )1y arc x x
==-
+
2462
(1(1))n n x x x x =--+-++-+ 1x < （１０）
3
5
721
1111[(1)]35721n
n n
y x x x x x +=--
+-++-++ 3
5
7
21
1111(1)
3
5
7
21
n n n
x x x x x
+=-+
-
+
---+
1x <
又()f x 在0x =处的麦克劳林展开式为
()
(0)
()!
n n
n f
y f x x n ∞
===
∑
（１１）
比较（１０），（１１）中n x 的系数可得， (2
)
(0)
0k f
=，1
(21)
1
(1)
(0)(21)!
(1)
(2)!21
k k k f
k k k +++-=+=-+
由Taylor 展开的唯一性，并有Taylor 公式的各项系数
()
0()
(1,2,)!
k k f
x a k k =
= 则可得到高阶导数()
0()
k f
x ，即
()
0()!k k f
x k a =(1,2,)k = 。
3.3利用泰勒公式判断敛散性
在判定广义积分?
+∞
a
dx x f )(敛散性时, 通常选取广义积分)
0(1>?
+∞
p dx x
a
p
进行比较, 在此通过研究无穷小量)()(+∞→x x f 的阶来有效地选dx x
a
p
?
+∞
1中的
p
值，从而简单地判定?
+∞
a
dx x f )(的敛散性（注意到：如果dx x f a
?
+∞
)(得收敛，
则dx x f a
?
+∞)(得收敛）
。 例4、广义积分dx x x x ）（?+∞
--++4
233的敛散性.
解 ： )(!
2)
1(112
2
x o x x x +-+
+=+αααα）（
)
(4
92
))1(
1*
8
91*
2
31())1(1
*
8
91*2
31(2)31()31(233)(2
32
32
2
2
2
21
21
-
-+-=-++
-
++-
+=
--++
=
--++=
x o x x
o x
x
x
o x
x
x x
x x x x x x f
因此，4
9)(lim
2
3=
-+∞
→x
x f x ，即0)(→x f 是)(1+∞→x x
的
2
3阶，而dx
x
?
∞
+-
4
2
3收敛，
故dx x f ?
+∞
4
)(收敛，从而dx x x x ?+∞
--+
+4
233）（。
例5、广义积分?
-1
arctan sin dx
x
x x x 是否收敛？
解 )(!
31sin 4
3
x o x x x +-
=
)
(3)(!51!31))
(!
31
(arctan sin )(2
6
534
3x o x x
x o x x x x o x x x x
x x x x f +=
-++-+-
=
-=
)
(13)(lim
x f x x f x ∴=-→， 是)0(1
+
→x x
的一阶无穷大量，又?
1
1dx x
发散，
?
-∴
1
arctan sin dx
x
x x x 也发散。
3.4利用泰勒公式证明中值定理
例6、设f （x ）在[],a b 上三次可导，试证：(,)c a b ?∈使得 f(b)=f(a)+ ()(
)2
a b f b a +'-+
()
3
()
1()24n f
c b a - (1)
证：（待定常数法）设k 为使下式成立的实数
()()()3
1f b -f a (
)()0
2
24a b f b a k b a +'---
-= （2）
这时，我们的问题归为证明：(,)c a b ?∈使得k=()f c ''' （3） 令g(x) =f(x)-f(a)- ()3
1()()
2
24
a x f x a k x a +'--
- (4)
则g(a)=g(b)=0
根据罗尔定理，(),a b ξ?∈，使得()g ξ'=0，由（4）式，即：
()()2202228
a a a k
f f f ξξξξξ++-??????''''----= ? ? ?
?????? （5）
这是关于k 的方程，注意到()f ξ'在点
2
a ξ+处的泰勒公式：
()()2
1222
22a a a
a f f f f c ξξξξξ++--????????
'''''''=++ ? ?
? ?????????
（6） 其中(),c a b ∈，比较（5），（6）可得式（3）证毕。
3.5利用泰勒公式证明不等式 3.5.1证明积分不等式
例7、设()f x 是[0,]a 上的连续正值函数，且"()0f x ≥，0a >，证：
()()2
a a
f x dx af ≥?
。
证明：将()f x 在2
a x =
点展开为一阶Taylor 展式
"
'
2
()()()()()()222
2!
a
a
a
f f x f f x x a ξ=+-+
-
'
(
)()()222a
a a f f x ≥+- ((,))
2
a x ξ∈ '0
0()[()()()]222
a a
a a
a f x dx f f x dx
≥+-?
?
'1(
)[()()]0
2222a a
a a a f f x =+-()
2a
af =。
3.5.2 证明导数不等式
例8、设函数()f x 在[0,1]上二次可微，且(0)(1)0f f ==，01
min ()1x f x ≤≤=-，
试证存在一点(0,1)ξ∈使"()8f ξ≥。
分析：函数()f x 在[0,1]上二次可微，且最小值10-≠，所以在(0,1)内一定存在极值点，该点的导数为0，题中可知()f x 二次可微，我们可以想到Taylor 展式，并且是在最小值点0x 处展开。
解：不妨设在0(0,1)x ∈为()f x 在[0,1]上的最小值点，则0()1f x =-，
'
0()0
f x =，
()f x 在0x 处的Taylor
展开得：
"
'
2
0000()()()()()()2!
f f x f x f x x x x x ξ=+-+
-
"
2
0()10()2!
f x x ξ=-++
-，ξ是介于x 与0x 之间的某个数，
当0x =时，"
2
0()(0)102!f f x ξ=-+
=，即"
12
2()f x ξ=
当1x =时，"
2
0()(1)1(1)02!
f f x ξ=-+
-=，即"
22
02()(1)
f x ξ=
-。
所以，当01
(0,)2x ∈时，"12
2()8
f x ξ=
≥
当01
(,1)2
x ∈时，"22
02()8(1)
f x ξ=
≥-。
终上所述，存在一点(0,1)ξ∈使"()8f ξ≥。
3.6泰勒公式在方程中的应用
例9、设f （x ）在(),-∞+∞ 内有连续三阶导数，且满足方程
()()();01f x h f x hf x h θθ'+=++<< （θ 与h 无关） （1）
试证：f(x)是一次或二次函数
证：问题在于证明：()0f x ''≡ 或()0f x '''≡ ，为此将（1）式对h 求导，
注意θ 与h 无关。
我们有：()()()f x h f x h hf x h θθθ''''+=+++ （2） 从而，
()()()()
()f x h f x f x f x h f x h h
θθθ''''+-+-+''=+
令0h →取极限，得
()()()f x f x f x θθ''''''-=，()()2f x f x θ''''=
若θ12
≠
，由此()0f x ''≡，f （x ）为一次函数；若θ=
12
，（2）式给出
()111222f x h f x h hf x h ???
?''''+=+++ ? ????
?
此式两端同时对h 求导，减去()f x ''；除以h ，然后令0h →取极限，即
得
()0f x '''≡；
∴f （x ）为二次函数
总结
文章主要对泰勒公式的证明进行简要的叙述，然后借助数学软件（mathematica）利用计算机模拟的方法对泰勒公式的正确性进行验证。
归纳整理泰勒公式在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。
从而体现泰勒公式式在微分学中占有很重要的地位。
参考文献
[1] 何勤. 泰勒公式和泰勒级数的应用[J]. 新教育, 2008,(12).
[2] 冯平, 石永廷. 泰勒公式在求解高等数学问题中的应用[J]. 新疆职业大学学报, 2003,(04).
[3] 刘 生. 泰勒公式的另一种形式[J]. 宜春学院学报, 2005,(S1).
[4] 费德霖. 泰勒公式的应用及技巧[J]. 皖西学院学报, 2001,(04).
[5] 傅秋桃. 谈谈泰勒公式的几点应用[J]. 郧阳师范高等专科学校学报, 2006,(03).
[6] 谭康. 泰勒公式及泰勒级数之妙用[J]. 高等数学研究, 2010,(03).
[7] 董延武. 泰勒级数与泰勒公式刍议[J]. 林区教学, 2009,(12).
[8] 徐香勤, 张小勇. 关于泰勒(Taylor)公式的几点应用[J]. 河南教育学院学报(自然科学版), 2005,(02).
[9] 黄炳生. 泰勒公式中ξ位置的确定[J]. 东南大学学报, 1995,(03).
[10] 林距华. 浅谈泰勒公式的应用[J]. 廊坊师范学院学报, 1997,(03)