三角函数的公式
一、扇形的公式
若扇形的圆心角为α（α为弧度制），半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l=______________;C=___________________;S=________________ 二、三角函数的定义
（1）设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P 的坐标是（x, y ），它与原点的距离是
r,则sin α=_________;cos α=________;tan α=____________.
（2）设α是一个任意大小的角，α的终边与单位圆的交点P 的坐标是（x, y ），它与原点的距
离是r,则sin α=_________;cos α=________;tan α=____________. 三、 同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin α
cos α＝tan α.
四、诱导公式 诱导公式（一）
tan )2tan(cos )2(cos sin )2sin(ααπα
απααπ=+=+=+k k k
诱导公式（二）
)tan()cos( sin )sin(=+=
+-=+απαπααπ
诱导公式（三）
)tan(cos )cos( )sin(=-=-=-αα
αα
诱导公式（四）
tan )tan()cos( )sin(ααπαπαπ-=-=
-=-
诱导公式（五）
=-=-)2
cos( cos )2sin(
απ
ααπ
诱导公式（六）
=+=+)2cos( cos )2sin(απ
ααπ 【方法点拨】 把α看作锐角
前四组诱导公式可以概括为：函数名不变，符号看象限
符号。
看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名
的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,,
, ),Z (2-+-∈+k k
公式（五）和公式（六）总结为一句话：函数名改变，符号看象限 口诀： 变 不变，符号看象限
五：求特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值
1、则θ在 ( ) A.第一、二象限
B.第一、三象限
C.第一、四象限
D.第二、四象限
2、一扇形的中心角为2，中心角所对的弦长为2，则此扇形的面积为（ ）
A ．2
B ．1
C ．21sin 1
D ．2
1
cos 1
3、已知，，则( )
A.
B. C. D.
4、,2,4,81cos sin ???
??∈=
ππααα=-ααcos sin __________ 5、已知，则的值等于 （ ）
A. B. C.
D.
,0sin tan >θθ??
?
??-
∈0,2πα53cos =a =αtan 4343-3434
-
3
1
)4sin(=
-
π
α)4cos(απ+32
2322-31-3
1
6、已知函数
sin ,4()6(1),4
x x f x f x x π
?
B ．
C ．
D ．1
7、已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合终边在直线上，则
( ) A ．-2
B ．2
C ．0
D ．
8. 2
2
sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)?+?+?--?+-? 9. ??
?
??-++425tan 325cos 613sin
πππ 10.已知sin(
)sin()sin()
2
()sin(3)cos(
)
2
f π
απαπααπ
παα+?+?-=
-?-．
（1）化简； （2）若13tan ()2
2
παπα=<<,求的值
（3）若sin 61)4
(2=
+π
α, 求cos ??? ?
?
-42πα的值
θx 02=-y x =----++)
sin()2
sin()cos()23sin(
θπθπ
θπθπ
32()f
α()f α
11、已知,5
5
2sin -=α且0tan <α （1）求αtan 的值；（2）求)
2
3sin()2cos()
2cos()sin(2απ
πααππα+---++的值；
12（本题满分14分）
已知是关于的方程“”的两根 1）求实数的值； 2）求sin()sin 2
π
θθ-+的值.
θθcos ,sin x 025
24
22
=-+mx x m
第一章第三节三角函数的作图及性质（一）
一、作图：五点作图法
例、画出下列函数的简图：
(1)；(2)；例、作出与的图象
二、图像的应用
1、解方程和解不等式
例、在上，满足的的取值范围是( )
A. B. C. D.
例、求函数的定义域．
π)≥1
例、解不等式2sin(2x+
4
2、函数的零点
例、方程的实根有（）
A.1个
B.3个
C.2个
D.无穷多个
三、函数的性质
1、奇偶性与周期性
例题
（1）函数的( )
A.最小正周期是
B.图象关于轴对称
C.图象关于原点对称
D.图象关于轴对称（2）函数的最小正周期T＝__________．
（3）已知函数，则下列说法正确的是( )
【课题】5.6三角函数的图像和性质（第一课时） 【教学目标】 知识目标： (1) 理解正弦函数的图像和性质； (2) 理解用“五点法”画正弦函数的简图的方法； (3) 了解余弦函数的图像和性质． 能力目标： (1) 认识周期现象，以正弦函数、余弦函数为载体，理解周期函数； (2) 会用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图； (3) 通过对照学习研究，使学生体验类比的方法，从而培养数学思维能力． 情感目标 培养学生的审美能力，作图能力，激发学习数学的兴趣，探究其他作图的方法． 【教学重点】 （1）正弦函数的图像及性质； 0,2π上的简图． （2）用“五点法”作出函数y=sin x在[] 【教学难点】 周期性的理解． 【教学设计】 （1）结合生活实例，认识周期现象，介绍周期函数； （2）利用诱导公式，认识正弦函数的周期； （3）利用“描点法”及“周期性”作出正弦函数图像； （4）观察图像认识有界函数，认识正弦函数的性质； （5）观察类比得到余弦函数的性质． 【教学备品】 课件，实物投影仪，三角板，常规教具． 【课时安排】 1课时．(45分钟) 【教学过程】 一、揭示课题 5.6三角函数的图像和性质 二、创设情景兴趣导入 1、问题 观察钟表，如果当前的时间是2点，那么时针走过12个小时后，显示的时间是多少呢？
再经过12个小时后，显示的时间是多少呢？L L ． 2、解决 每间隔12小时，当前时间2点重复出现． 3、推广 类似这样的周期现象还有哪些？ 三动脑思考 探索新知 概念 对于函数()y f x =，如果存在一个不为零的常数T ，当x 取定义域D 内的每一个值时,都有x T D +∈,并且等式()()f x T f x +=成立，那么，函数()y f x =叫做周期函数，常数T 叫做这个函数的一个周期． 由于正弦函数的定义域是实数集R ，对α∈R ，恒有2π()k k α+∈∈R Z ，并且 sin(2π)=sin ()k k αα+∈Z ，因此正弦函数是周期函数，并且 2π，4π， 6π，L 及2π-，4π-，L 都是它的周期． 通常把周期中最小的正数叫做最小正周期，简称周期，仍用T 表示．今后我们所研究的函数周期，都是指最小正周期．因此，正弦函数的周期是2π． 四、构建问题 探寻解决 说明 由周期性的定义可知,在长度为2π的区间（如[]0,2π，[]2,0-π,[]2,4ππ）上，正弦函数的图像相同，可以通过平移[]0,2π上的图像得到．因此，重点研究正弦函数在一个周期内，即在[]0,2π上的图像． 1、问题 用“描点法”作函数x y sin =在[]0,2π上的图像． 2、解决 把区间[]0,2π分成12等份，并且分别求得函数x y sin =在各分点及区间端点的函数值，列表如下：（见教材） 以表中的y x ,值为坐标，描出点(,)x y ，用光滑曲线依次联结各点，得到[]sin 0,2y x =π在上的图像．（见教材） 3、推广 将函数sin y x =在[]0,2π上的图像向左或向右平移2π，4π，L ，就得到sin ,y x =∞+∞在（-）上的图像，这个图像叫做正弦曲线．（见教材） 五、动脑思考 探索新知 1、概念 正弦曲线夹在两条直线1y =-和1y =之间，即对任意的角x ，都有sin 1x …成立，函数的这种性质叫做有界性． 一般地，设函数)(x f y =在区间),(b a 上有定义，如果存在一个正数M ，对任意的
初等函数 1、基本初等函数及图形 基本初等函数为以下五类函数： (1) 幂函数μx y=，μ是常数； 1.当u为正整数时，函数的定义域为区间 ) , (+∞ -∞ ∈ x，他们的图形都经过原点，并当u>1时 在原点处与X轴相切。且u为奇数时，图形关于原点对称；u为偶数时图形关于Y轴对称； 2.当u为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数。 3.当u为正有理数m/n时，n为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。函数的图形均经过原点和（1 ,1）. 如果m>n图形于x轴相切,如果m (2) 指数函数 x a y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ； 1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减. 2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方. 3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点. (3) 对数函数 x y a log =(a 是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞； (4) 三角函数 正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ， 1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0) 2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区 间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数.a<1在实用中很少用到/ 三角函数的图象与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ω x ＋φ)或y ＝A cos(ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin ()x ?+（0≤?<π）是R 上的偶函数，则?等于（ ） A.0 B ． 4π C ．2 π D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()(); y A x k k Z ??π=+=∈(1)若是奇函数，则 sin()+ (); 2 y A x k k Z π ??π=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()(); 2 y A x k k Z π ??π=+=+ ∈(3)若是奇函数，则 cos()(); y A x k k Z ??π=+=∈(4)若是偶函数，则 tan()().2k y A x k Z π ??=+= ∈(5)若是奇函数，则 .()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ） A.0 B ．1 C ．1- D ．1 ± 2.0()cos()()R f x x x R ???∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ） A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 D ．无关条件 3.()sin()0()f x x f x ω?ω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ） A.(0)1f = B ．(0)0f = C ．'(0)1f = D ．'(0)0 f = 2.()sin(2)()()2f x x x R f x π =-∈例设，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π 最小正周期为 的奇函数 D ．2π 最小正周期为的偶函数 2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( ) A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数 D ．π最小正周期为2的偶函数 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） － 三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 三角函数的奇偶性（人教A版） 一、单选题(共15道，每道6分) 1.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 2.下列函数中是奇函数的是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 3.下列函数中是偶函数的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 4.函数，( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性 5.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：余弦函数的奇偶性 6.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数也不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：正切函数的奇偶性 7.函数( ) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既不是奇函数又不是偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 8.已知函数，，则( ) A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数，是偶函数 D.是偶函数，是奇函数 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：三角函数的奇偶性 9.已知函数，，则( ) A.与都是奇函数 B.和都是偶函数 C.是奇函数，是偶函数 D.是偶函数，是奇函数 答案：C 解题思路： 正弦函数图象 梁翠琼 一、教学目标： 1．知识与技能的掌握 (1)学会用列表、描点、连线的方法作出正弦函数的图象； (2)掌握五点法作正弦函数的简图； (3)掌握形如sin y k x b =+的函数图象简图的画法。 2．过程与方法的思考 (1)学会画图的一般步骤，培养动手能力； (2)会用“五点法”画正弦函数。 3．情感态度与价值观的培养 通过本节课的学习学会善于寻找,观察数学知识之间的内在联系.培养学生从特殊到一般与从一般到特殊的辩证思想方法。 二、重点和难点： 1．用列表、描点、连线的方法作出正弦函数的图象以及利用五点法画正弦函数的简图为本节课的教学重点； 2．用五点法画形如sin y k x b =+的函数图象简图。 三、学习过程 1. 情境导入 问题一：如何画一般函数的图象？ 学生思考回答作图步骤：(Ⅰ)列表； (Ⅱ)描点 (Ⅲ)连线。 问题二：那我们能否通过描点法画正弦函数在[0,2]π内的图像, 教师与学生一起尝试描点法画图. 描点法在取函数值时，取得点越多，画出的函数图象就会越准确。 2．学导结合 (1)描点法画图： 列表------- 描点---- 连线 6 π 3 π2 π 3 2π6 5ππ 67π34π23π35π6 11ππ 20 2 12 30 1 2 1-2 3 - 2 12 30 2 1-23 -1-x y [] π2,0,sin ∈=x x y （2）如何作正弦函数y ＝Sinx, x ∈R 的图象呢？ 学生思考,老师点拨. 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以 sin ,[2,2(1)),,0y x x k k k Z k ππ=∈+∈≠的图像,与函数 sin ,[0,2)y x x π=∈一致.于是我们 只要将sin ,[0,2)y x x π=∈的图像像左向右平行移动(每次2π个单位长度)就可以得到正弦函数y ＝Sinx ，x ∈R 的图象 （3）探究深化 ①“五点法”作简图： 教师提出问题：观察y=Sinx ，x ∈[0，2π]的图象，在作图连线过程中起关键作用的是哪几个点？ 能否利用这些点作出正弦函数的简图？ 引导学生得到五个关键点。 学生回答：关键五点：（0，0）、（2 π ，1）、（π，0）、 （32π ，-1）、（2π，0）。 教师总结：事实上，只要指出这五个点，y=Sinx ，x ∈[0，2π]的图象形状就基本定位了。因此在精确度要求不高时，我们就常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图。 注：五个关键点中，重点应突出点的横坐标，纵坐标即相应函数值； 画简图时应掌握曲线的形状及弯曲的“方向”。 五点法画正弦交流电波 形图 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT “五点法”画正弦交流电波形图 叶和人（辽宁丹东市技师学院辽宁丹东118002） 摘要：已知解析式画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图。“五点法”画波形图的方法：一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图；二、由u=Umsinωt确定t值得出波形图。无论哪种方法，都要记住正弦曲线的基本形状，知道“五点”是哪五点，纵坐标总是0、Um、0、－Um、0不变。 关键词：正弦交流电“五点”坐标平移波形图 “五点法”画正弦曲线，学生在数学课中学习过，对其波形图形状已熟知。《电工基础》课教学中，要求学生掌握正弦交流电的三种表示法：解析式、波形图、相量图。教材中没有介绍具体画法，本文将介绍用“五点法”画正弦交流电波形图的方法。会画波形图将对学生在正弦交流电路的相关计算和今后正弦交流电路分析时有所帮助。 正弦交流电解析式的一般表达式为： i=Ims in(ωt+i) u=Umsin(ωt+u) e=Emsin(ωt+e) 在已知解析式的条件下，画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图，下面以正弦交流电压波形图为例讲解“五点法”画波形图的方法。 一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图 1、u-ωt波形图？ （1）u=Umsinωt的波形图（初相位0） ①波形图的五点坐标为：（0、0）、（、Um）、（π、0）、（、-Um）、(2π、0)。 ②由五点画出波形图为： ？ 上述五点坐标和波形图在数学课中已为学生所熟知。 （2）初相大于0，即u=Umsin(ωt+)的波形图 ①由u=Umsinωt波形图向左平移角，五点横坐标变为-、-、π-、-、2π-，即初相为0时横坐标均减去；纵坐标不变。 ②画出五点，描绘出波形图为: ？ “五点法”画正弦交流电波形图 叶和人（辽宁丹东市技师学院辽宁丹东118002） 摘要：已知解析式画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图。“五点法”画波形图的方法：一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图；二、由u=Umsinωt确定t 值得出波形图。无论哪种方法，都要记住正弦曲线的基本形状，知道“五点”是哪五点，纵坐标总是0、Um、0、－Um、0不变。 关键词：正弦交流电“五点”坐标平移波形图 “五点法”画正弦曲线，学生在数学课中学习过，对其波形图形状已熟知。《电工基础》课教学中，要求学生掌握正弦交流电的三种表示法：解析式、波形图、相量图。教材中没有介绍具体画法，本文将介绍用“五点法”画正弦交流电波形图的方法。会画波形图将对学生在正弦交流电路的相关计算和今后正弦交流电路分析时有所帮助。 正弦交流电解析式的一般表达式为： i=Imsin(ωt+i) u=Umsin(ωt+u) e=Emsin(ωt+e) 在已知解析式的条件下，画波形图一般有两种，一是u-ωt波形图，二是u-t波形图，下面以正弦交流电压波形图为例讲解“五点法”画波形图的方法。 一、由u=Umsinωt左右平移角得出波形图 1、 u-ωt波形图 （1）u=Umsinωt的波形图（初相位0） ①波形图的五点坐标为：（0、0）、（、Um）、（π、0）、（、-Um）、(2π、0)。 ②由五点画出波形图为： 上述五点坐标和波形图在数学课中已为学生所熟知。 （2）初相大于0，即u=Umsin(ωt+)的波形图 ①由u=Umsinωt波形图向左平移角，五点横坐标变为-、-、π-、-、2π-，即初相为0时横坐标均减去；纵坐标不变。 ②画出五点，描绘出波形图为: 三角函数的奇偶性和对称性 奇偶性 判断一个三角函数既不是奇函数又不是偶函数和判断函数奇偶性是一样的， 都是有两个条件（1）函数的定义域要关于原点对称（这是一个奇函数或偶函数的前提条件） （2）在（1）成立的基础上判断f(-x)=-f(x)成立，那函数一定是奇函数，若f(-x)=f(x),那函数一定是偶函数 你所问的三角函数既不是奇函数又不是偶函数方法：上边（1）不满足的情况下，三角函数既不是奇函数又不是偶函数；（1）条件满足就要看（2）条件当f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)这两个等式都不成立时，三角函数既不是奇函数又不是偶函数。 1 设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数，则t的一个可能值是_________ f(x+t)=sin(x+t)=sin(2x+2t) 若要使f(x+t)为偶函数则： 2t=kπ+π/2 所以： t=(1/2)*kπ+π/4 2 （1）若f(x)=sin(x+a)为偶函数，求a的值； (2)已知函数sin(x+a)+更3cos(x+a)为偶函数，求a的值 1.f(x)是偶函数，则有f(x)=f(-x),即sin（x+a)=sin(-x+a), 所以sinxcosa+cosxsina=- sinxcosa+cosxsina, ∴sinxcosa=0对x∈R恒成立.∴cosa=0 ∴a=π÷2+kπ,其中k∈Z. 2.同上,f(x)=f(-x)，且f(x)=sin(x+a)+√3cos(x+a)=2sin(x+a+π÷3）， 则同1，有a+π÷3=π÷2+kπ，k∈Z， 即a=π÷6+kπ，k∈Z。 3 已知f(x)是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，若f（a-2)-f(4-a2)＜0，求实数a的取值范围。 我光列了一个， a-2|＜|4-a2| 应该能用两边平方来解但我不会 应该还有别的不等式我认为是 |a-2|＞-1 |4-a2|＜1 对不？说说你们的做法 a-2|＜|4-a2| a-2|＜|（a-2）（a+2）| 当a不等于2时候可以消去（a-2） 1＜|a+2| 下面的|a-2|＞-1 |4-a2|＜1 就不对了 幂函数的图形 指数函数的图形 对数函数的图形 三角函数的图形 各三角函数值在各象限的符号 sin α·csc α cosα·secα tan α·cot α 三角函数的性质 函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R ｛x ｜x ∈R 且 x≠kπ+ ,k ∈Z ｝ 2 ｛x ｜x ∈R 且 x≠kπ,k ∈Z ｝ 值域 ［-1，1］x=2k π+ 时 2 y max =1 x=2kπ- 时 y min =-1 2 ［-1,1］ x=2kπ 时 y max =1 x=2kπ+π 时 y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为 2π 周期为 2π 周期为 π 周期为 π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 在［2kπ - 2 ,2kπ+ 2 ］在(kπ- 2 ，kπ+ 2 )内都 上都是增函数；在是增函数(k∈Z) ［2kπ+ 2 ,2kπ+ 2 3 π］上 都是减函数(k∈Z) 反三角函数的图形 反三角函数的性质 名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数 定义 y=sinx(x∈〔- , 22 〕的反函数，叫做反 正弦函数，记作 x=arsiny y=cosx(x∈〔0,π〕) 的反函数，叫做反 余弦函数，记作 x=arccosy y=tanx(x∈(- , ) 22 的反函数，叫做反正切 函数，记作x=arctany y=cotx(x∈(0,π))的 反函数，叫做反余 切函数，记作 x=arccoty 理解 arcsinx表示属于［- , ］ 22 且正弦值等于x的角 arccosx表示属于 ［0，π］，且余弦 值等于x的角 arctanx表示属于(- , 2 )，且正切值等于x 2 的角 arccotx表示属于 (0，π)且余切值等于 x 的角 性 质 定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞) 值域［- ，］ 22 ［0，π］(- ，) 22 (0，π) 单调性 在〔-1，1〕上是增函 数 在［-1，1］上是减 函数 在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减 函数 奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π- arccosx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccotx 周期性都不是同期函数 单调性 在［2kπ-π，2kπ］上都是 增函数；在 ［2kπ，2kπ+π］上都是 减函数(k∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都 是减函数(k∈Z) 学习必备 欢迎下载 三角函数的图像与性质 1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y=sinx 和余弦函数y=cosx 的图象的作图方法：五点法。 先取横坐标分别为0，3,, ,22 2π πππ的五点，再用光滑的曲线把这 五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2、一般三角函数的图像与性质 练习：①求函数 ) 6π 2sin(2+=x y 在区间[0，上的值域 ②求下列函数的值域． y ＝sin2x －cosx+2； y ＝2sinxcosx －(sinx ＋cosx)； x x y cos 3sin 1--= ③若αβαcos 2sin 2sin 22=+，求βα2 2sin sin +=y 的最大、最 小值 ④若 3sin )(x x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f +++ +＝___ ⑤函数4()cos f x x =2sin cos x x -4 sin x -的最小正周期为____ ⑥已知函数3 1f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则 5f ()-=______ 3、关于形如sin()y A x ω?=+的函数： （1）几个物理量：A ―振幅； 1 f T = ―频率（周期的倒数）； x ω?+―相位；?―初相； （2）函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由 周期确定；?由特殊点确定。 练习：①已知函数 ()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所 示，则712 f π??= ??? ———— ②已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中 0,0,02 A πω?>><< ）的周期为 π ，且图象上一个最低点为2(,2) 3M π-.（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ） 当 [0, ] 12 x π∈，求()f x 的最值. （3）函数sin()y A x ω?=+图象的画法： ① 五点法：设X x ω?=+，令X ＝0，3,, ,22 2π π ππ 求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象； ② 图象变换法：这是作函数简图常用方法。 （4）函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的变换： 练习：①要得到函数cos()24x y π=-图象，只需把函数 sin 2x y =图象向__平移__个单位 ②将函数sin 2y x =的图象向左平移4π 个单位, 再向上平移1个单 位,所得图象的函数解析式是( ) A. cos 2y x = B.2 2cos y x = C. ) 4 2sin(1π+ +=x y D. 2 2sin y x = ③若将函数) 0)(4 tan(>+ =ωπ ωx y 的图像向右平移6π 个单位长度 后，与函数 ) 6tan(π ω+ =x y 的图像重合，则ω的最小值为 ____ （5）研究函数sin()y A x ω?=+性质的方法：类比于研究 sin y x =的性质，只需将sin()y A x ω?=+中的x ω?+看成sin y x =中的x ，但在求sin()y A x ω?=+的单调区间时，要特 别注意A 和ω的符号，通过诱导公式先将ω化正。 练习：①函数 23y sin(x ) π =-+ 的递减区间是_____ ②对于函数 ()2sin 23f x x π? ?=+ ? ??给出下列结论：①图象关于原点成中心对称；②图象关于直线 12x π = 成轴对称；③图象可由函数 2sin 2y x =的图像向左平移3π个单位得到；④图像向左平移12π 个 单位，即得到函数2cos 2y x =的图像。其中正确结论是_______ （6）绝对值或平方对三角函数周期性的影响： 一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 练习：画图y=|sinx|; y=sin 2x; y=|sin(x+π/3)+0.5| 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< 三角函数的奇偶性案例分析 南京市秦淮中学许明 [案例主题] 函数的奇偶性是函数的一个重要性质,它有助于培养学生的理解能力，推理论证能力和探索精神，在高中数学中占有重要的位置。本案例研究的主要问题有： 1、奇函数，偶函数，的图像有何特点和重要性质？ 2、及型函数的对称中心和对称轴. [案例背景] 研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要,如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数,则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像.函数的对称中心和对称轴实际上是函数奇偶性的拓展。（实际上是进一步拓宽学生的数形结合思想） 片段一:（奇偶函数的图象特点和性质探究） 师：奇函数或偶函数的图象有何特点？我们一起来看一个有趣的图形并观察有何特点？ 生：图（1）两边成对称图形，在图（2）中关于y轴对称。 师：这就是数学中的对称美，请同学们再作出y=-3x和y=x 2 +2的图象并观察有何特点？生：奇函数y=-3x的图象是一条过原点的直线，并且关于原点成中心对称图形；偶函数y=x 2 +2的图象是一条抛物线，顶点是（0，2）、开口方向向上，且关于y轴对称。 师：回答得太棒了！大家再作出y=4x和y=x 2 的图象，观察是否有类似的规律？ 生：y=4x的图象也是关于原点成中心对称图形；y=x 2 与y=x 2 +2 的图象一样也关于y轴对称。 师：到此我们猜想，奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，反之亦然；偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。 师：请同学们思考自学课本P51倒数第二段。 生：噢，原来如此。 师：根据奇、偶函数图象的特点请同学们思考如何作出函数的图象？ 生3：该函数的定义域为（0，+∞）∪（-∞，0），又是偶函数，只需作出在（0，+∞）上的图象，但我不知该怎样做？ 生4：用描点法。（主动到黑板上做图，并根据对称性做出另一部分。） 生（全体）：真棒！ 片段二:（对称中心和对称轴的探究） 师：上两节课我们学习了正余弦函数的定义域、值域、单调性、周期性和奇偶性，请大家结合函数图象讨论是否还有其他性质。我们先从正弦函数开始。 生1：正弦函数图象关于原点对称，因为它是奇函数。 生2：正弦函数关于直线对称 生3：因正弦函数是周期函数，我发现还关于直线 …对称，关于点对称，他们之间都相差的整数倍 生4：不对，我觉得应该是关于直线…对称，关于点对称，他们之间都相差的整数倍。师：太棒了。 （余弦函数的对称中心和对称轴的探究略） §1.4.1正弦函数、余弦函数的图象 学习目标：1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象. 2.能熟练运用“五点法”作图. 学习重点：运用“五点法”作图 学习难点：借助于三角函数线画y=sinx的图象 学习过程： 一、情境设置 遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法，那么，一般采用什么方法画图象？ 二、探究研究 问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线. 问题2. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示），把单位圆中12个角的正弦线进行右移. 问题 3. 通过刚才描点（x0,sinx0）,把一系列点用光滑曲线连结起来，能得到什么？ 问题4. 观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？ 问题5. 如何作y=sinx,x∈R的图象（即正弦曲线）？ 问题6. 用诱导公式cosx=________（用正弦式表示），y=cosx的图象（即余弦曲线）怎样得到？问题7. 关键五个点.三、例题精讲 例1：用“五点法”画下列函数的简图 (1)y=1+sinx ，x∈[]π2,0 (2) y=-cosx， x∈[]π2,0 思考：（1）从函数图象变换的角度出发，由y=sinx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ，x∈[]π2,0的图像？由y=cosx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=-cosx，，x∈[]π2,0的图像？ 四、巩固练习 1、在[0,2π]上,满足 1 sin 2 x≥的x取值范围是( ). A. 0, 6 π ?? ?? ?? B.5, 66 ππ ?? ?? ?? C.2, 63 ππ ?? ?? ?? D.5, 6 π π ?? ?? ?? 2、用五点法作) y=1-cosx， x∈[]π2,0的图象. 3、结合图象，判断方程x sinx=的实数解的个数. 五、课堂小结 在区间] 2,0 [π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点）.函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到. 六、当堂检测 1、观察正弦函数的图象，以下4个命题： （1）关于原点对称（2）关于x轴对称（3）关于y轴对称（4）有无数条对称轴其中正确的是 A、（1）、（2） B、（1）、（3） C、（1）、（4） D、（2）、（3）（） 三角函数公式 倍角公式 2ta nA tan 2A = 2 Sin 2A=2Si nA?CosA 1-ta n 1 2A 2 2 2 2 Cos2A = CoS 2A-Si n 2A=2Cos 2 A-1=1-2si n 2A 三倍角公式 3 3 sin3A = 3sinA-4(sinA) cos3A = 4(cosA) -3cosA π π tan3a = tana? tan(—+a) ? tan(--a) 3 3 半角公式 积化和差 SinaSinb = 1 1 -[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 一 [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 2 1 COSA tan(A)=^°^=^n ^ Sina=— 两角和公式 sin( A+B) = Sin AcosB+cosAs inB cos(A+B) = cosAcosB-si nAsinB sin( A-B) = Sin ACOSB-COSAS inB COS(A-B) = cosAcosB+si nAsinB tan( A+B)= tanA tanB 1- ta nAta nB tan( A-B)= tanA 「tanB 1 tan Ata nB cot(A+B)= cotAcotB -1 cotB cotA COt(A-B)= cotAcotB 1 COtB-COtA .z A * -cos A Sin(I ) ^ 2 A cos()= 2 1 cos A tan 自 =J≡≡ A COt q ) = Sin a+s in b=2s in a 「b cos — 2 Sin a-s in b=2cos Sin a 「 b 2 cosa+cosb = 2co a —b cos — 2 COSa-COSb = -2sin Sin tan A+ta nB=si n(A+B)∕cosAcosB tan A-ta nB=si n(A-B)∕cosAcosB ctgA+ctgB=si n(A+B)∕si nAsi nB -ctgA+ctgB=si n(A+B)∕si nAsi nB a b 三角函数的周期性、奇偶性及对称性 考点一 三角函数的周期性 [典例] (1)(优质试题·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x 1＋tan 2x 的最小正周期为( ) A.π 4 B.π2 C ．π D ．2π (2)若函数f (x )＝2tan ? ? ???kx ＋π3的最小正周期T 满足1 2．有关周期的2个结论 (1)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)|，y ＝|A cos(ωx ＋φ)|，y ＝|A tan(ωx ＋φ)|的周期均为T ＝π|ω|. (2)函数y ＝|A sin(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)，y ＝|A cos(ωx ＋φ)＋b |(b ≠0)的周期均为T ＝2π|ω|. [专题训练] 1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ? ????2x ＋π6，④y ＝tan ? ? ???2x －π4中， 最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④ D ．①③ 解析：选A 因为y ＝cos|2x |＝cos 2x ， 所以该函数的周期为2π 2＝π； 由函数y ＝|cos x |的图象易知其周期为π； 函数y ＝cos ? ? ? ??2x ＋π6的周期为2π2＝π； 函数y ＝tan ? ? ???2x －π4的周期为π2，故最小正周期为π的函数是①②③. 2．若x ＝π8是函数f (x )＝2sin ? ? ???ωx －π4，x ∈R 的一个零点，且0<ω<10，则函数f (x )的最小正周期为________． 解析：依题意知，f ? ????π8＝2sin ? ???? ωπ8－π4＝0， 即ωπ8－π 4＝k π，k ∈Z ，整理得ω＝8k ＋2，k ∈Z. 又因为0<ω<10， 所以0<8k ＋2<10，得－1 4高中数学三角函数的图象与性质题型归纳总结
三角函数公式及图像
函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题
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三角函数的奇偶性测试题(人教A版)(含答案)
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