《线性代数》公选课复习题
一、填空题
１．行列式120
10
2123
D =第二列元素的代数余子式分别是 ， ， ．
２．12 3 ,A A A A ==－设是4阶矩阵，且，则＝．
３．已知矩阵102A 110212?? ?
= ? ???
，则A I(2(2))I(1,2)＝ ．
４．设(1,1,1,0),(1,2,0,3),(3,4,2,3)αβη===，则{,,}R αβη= ．
５．已知010001000A ??
??=??????
，则3A = ．
６．已知矩阵1112A 3512536λ-??
?
=- ? ???
，若齐次方程组0T A X =存在非零解，则λ= ．
７．A m n B n m m>n AB =??设为矩阵，为矩阵，且，则 ．
８．若５×４矩阵A 的每一行元素之和等于零，且()3r A =，则方程组AX=0的一个基础解系为 ． ９．如果非齐次线性方程组AX b =无解，且()r A r =，则(,)r A b = ．
１０．齐次方程组1234240
0x x x x x x --+=??-=?
的解空间的维数等于 ．
1１．计算行列式2
2
2
1
11
a
b c a b c =___________． 1２．矩阵123102144A ?? ?
= ? ???
等价标准形为 ．
1３．设A 是３阶方阵，且2A =，2A ＝ ．
1４．设,A B 分别是m n ?和n m ?矩阵，则当m n >时，AB =_______．
1５．已知矩阵102A 110212?? ?
= ? ???
，则I(1,2)AI(2,3(1))=_______．
1６．设线性无关向量组12,,,s ααα可由向量组12,,,m βββ线性表出，则s 与m 的关系
为 ．
1７．设矩阵12
428366A λ
λ?? ?
= ? ?+??，且()2r A =，则λ＝ ． 1８．已知矩阵1021A 1134215t ??
?
= ?
???
，若齐次方程组0T A X =存在非零解，则t = ．
1９．设F m n A ?∈，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充要条件是 ． 20．3
R 中的向量(1,2,2)α=-在基1(1,0,0)ε=，2(0,1,1)ε=，3(0,1,1)ε=-下的坐标X ＝ ． 二、判断题：、
（ ）１．若行列式中有两行元素对应成比例，则该行列式一定等于零． （ ）２．若n 阶矩阵A 与B 都可逆，则111()AB A B ---=． （ ）３．若12,,,r ααα线性相关，则12,,,r ααα中任一个向量都可以表示成其余1r -个向
量的线性组合．
（ ）４．用r 表示矩阵的秩，则()()()r A B r A r B +≤+．
（ ）５．可逆矩阵一定可以表示成一系列初等矩阵的乘积．
（ ）6．奇数阶的反对称矩阵的行列式的值一定为零． （ ）7．设,,A B C 都是n 阶方阵且ABC E =，则有CAB BCA E ==． （ ）8．设,A B 都是n 级矩阵，若有AB A =，则有B E =．
（ ）9．任意1n +个n 维向量一定是线性相关的．
（ ）10．设A 、B 是两个同型矩阵，则A ～B 的充分必要条件是R(A)＝R(B)． 三、单项选择题（共5道小题，每道小题2分，计１０分）
１．设A 为n 阶方阵,且()R A r n =<, 那么在A 的n 个列向量中（ ）
A ． 必有r 个列向量线性无关
B ． 任何一个列向量都可以由其它r 个列向量线性表出
C ． 任意r 个列向量线性无关
D ． 任意r 个列向量都构成极大线性无关组 ２．设B A ,均为n 阶方阵，则（ ）．
A ． 00
B AB A ==则或＝０ B ．0B 0A AB ≠≠≠且０则
C ． 00B AB A ==则或＝０
D ． 00B AB A ≠≠≠则或０
３．设线性无关的向量组12,,,s ααα可以由12,,,t βββ线性表示，则,s t 关系为（ ）
． A ． s t < B ． s t ≤ C ．
s t > D ． s t ≥ ４．A B C n ABC E 设，，都是阶矩阵，且＝，则下列一定成立的是（）．
A CA
B E B BA
C E C ACB E
D CBA
E ．＝ ．＝ ． ＝ ． ＝
５．设12
4293910A λλ????=??
??+??
，若()2r A =，则λ=（ ）． A ． 0 1或－ B ． 1 10或 C ．
1 5或 D ． 10 5或 6．A m n B n m n A ． A B 0 ＝ B. AB C. 0BA = D. AB A B ＝ 7．设F m n A ?∈，且()R A r =，对于非齐次线性方程组AX b =，下述结论正确的是（ ）． A ．r n =时，方程组AX b =有唯一解 B ．m n =时，方程组AX b =有唯一解 C ．r n <时，方程组AX b =有无穷多解 D ．r m =时，方程组AX b =一定有解 8．设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是（ ）． A ．A 的列向量线性无关 B ．A 的列向量线性相关 C ．A 的行向量线性无关 D ．A 的行向量线性相关 9．设11 121321 2223 21 222311 12 1331 32 333111 3212 3313,a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ???? ? ?== ? ? ? ?+++???? ，12(12),(31(1))P E P E ==， 则有（ ）． A ．12APP B = B ．21AP P B = C ．12PP A B = D ．21 P PA B = 10．设向量,,αβγ线性无关，,,αβδ线性相关，则下列说法正确的是（ ）． A ． α必可由,,βγδ线性表示 B. β必不能由,,αγδ线性表示 C. δ必可由,,αβγ线性表示 D. δ必不能由,,αβγ线性表示 四、计算行列式的值 （１）． 1 111 1 248 139271 41664， （２）．n a b b b b a b b D b b a b b b b a = 五、解矩阵方程2AX X A =+，其中110011101A -?? ? =- ? ?-?? ． 六、λ取何值时，非齐次线性方程组12312312 3(1)0(1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ +++=?? +++=??+++=? (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个 解，并在有无穷多解时求出其通解． 七、求下列行列式的值 （１） 1234 2 341 3412412 3 D = （２） n x a a a a x a a D a a x a a a a x = 八、设矩阵033A=110123?? ? ? ?-?? ，求解矩阵方程2AX A X =+． 九、当λ取何值时，非齐次线性方程组123123212322 22x x x x x x x x x λλ ?-++=-? -+=??+-=?有解？并求出它的解． 复习题答案 一、填空题 １．－1 ，3 ，－2 ２． 162 1 2 ３．012220122?????????? ４． 2 ５．000000000?? ???????? ６． 1 ７． 0 ８．（1，1，1，1） ９． 1 r + １０． 2 11．()()()b a c a c b --- 12． 100010000?????????? 13． 16 14． __0___ 15．111102213?? ???????? 16． s m ≤ 1７． ４或６ 18． ５ 19． ()8()r A Ab n == 20． (1,0,2)- 二、判断题：在正确结论前的括号内打√，否则打?． １．（ √ ） ２．（ × ） ３．（ × ） ４．（ √ ） ５．（ √ ） 6．（ √ ） 7．（ √ ） 8．（ × ） 9．（ √ ） 10．（ √ ） 三、单项选择题 １．A ２．C ３．B ４．A ５．C 6．Ａ 7．Ｄ 8．Ａ 9．Ｃ 10．Ｃ 四、计算行列式的值 （１）． 1111 1 248 139271 41664 ， （２）．n a b b b b a b b D b b a b b b b a = 解：（１）．此行列式是范德蒙行列式，因此 1 111 1248 (21)(31)(41)(32)(42)(43)12139271 41664=------=； （２）．n a b b b b a b b D b b a b b b b a =1(n 1)(n 1)(n 1)(2,3,, ) i a b a b a b b a b r r i n b b a +-+-+-+= 111=[(n 1)] b a b a b b b a + -11100[(n 1)] a b a b a b -+--= (n 1)[(n 1)]()a b a b -+--=． 五、解矩阵方程2AX X A =+，其中110011101A -?? ? =- ? ?-?? ． 解法一：由2AX X A =+得到(2)A I X A -=，且2A I -可逆，所以1(2)X A I A -=-； 又 110011101A -?? ?=- ? ?-??， 则 1102011101A I --?? ? -=-- ? ?--??， 所以 11111(2)1112111A I ---?? ? -=-- ? ?--?? ， 因此 1110011110111(2)111101************ A I A --?? ?----???? ? ? =-=--=- ? ? ? ?-- ? ?-??-???? ． 解法二：110100011(2,)011010111001011010011111010A I A ---???? ? ? -=--????→- ? ? ? ?---?-??--?初等行变换， 因此 011101110X -?? ? =- ? ?-?? ． 六、λ取何值时，非齐次线性方程组12312312 3(1)0 (1)3(1)x x x x x x x x x λλλλ +++=?? +++=??+++=? (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个 解，并在有无穷多解时求出其通解． 解： (,)A b 对增广矩阵作初等行变换 ()()()1110111(,)11130311100313A b λ λλ λλλ λλλλλλλ++?? ?? ? ?=+????→-- ? ? ? ?+-+-+???? 初等行变换 （１）03(,)()3r A b r A λλ≠≠-==当且时，，则方程组有惟一解； （２）(,)2()1r A b r A λ=≠=当＝0时，，则方程组无解； （３）3(,)()23r A b r A λ-==当＝时，＜，则方程组无穷多解， 此时方程组的增广矩阵初等行变换为 11231011(,)0336011200000000r r A b ----???? ? ???→-??→-- ? ? ? ????? 其同解方程组为 13 23 12x x x x =-+??=-+?， 令30x =，求出一个特解0(1,2,0)T η=--， 再令31x =代入导出组的同解方程组，求出一组基础解系为：(1,1,1)T ξ=， 因此方程组的通解为 0X k ηξ=+，k （其中为任意常数）． 七、求下列行列式的值 （１） 1234 2 341 3412412 3 D = （２） n x a a a a x a a D a a x a a a a x = 解：⑴ 123412342 3411341103412141241 2 31 1 23 D = 各列都加到第一列并提出公因子 123401131002230111------＝ 12340113 10 00430 004 ---＝160＝． （２）n x a a a x a D a a x =1(n 1)(n 1)(n 1)(2,3, , )i x a x a x a a x a r r i n a a x +-+-+-+= 111=[(n 1)] a x a x a a a x + -11100[(n 1)] x a x a x a -+--= (n 1)[(n 1)]()x a x a -+--=． 八、设矩阵033A=110123?? ? ? ?-?? ，求解矩阵方程2AX A X =+． 解法一：由 2AX A X =+ 得到(2)A I X A -=，且2A I -可逆，所以1(2)X A I A -=-； 又 033A=110123?? ? ? ?-?? ， 则 2 33 2110121A I -?? ? -=- ? ?-?? ， 所以 11331(2)1132111A I --?? ? -=- ? ?-??， 因此 11330330331(2)1131101232111123110X A I A --?????? ??? ? =-=-=- ??? ? ??? ?--?????? ． 解法二：233033100033(2,)110110010123121123001110A I A -???? ? ? -=-????→- ? ? ? ?--????初等行变换， 因此 033123110X ?? ? =- ? ??? ． 九、当λ取何值时，非齐次线性方程组123123212322 22x x x x x x x x x λλ ?-++=-? -+=??+-=?有解？并求出它的解． 解：(,)A b 对增广矩阵作初等行变换 212121122(,)121011(1)3112000(1)(2)A b λλλλλλ-?? --?? ? ? ?=---- ? ? ? - ??? -+?? ?????→初等行变换 根据方程组有解的充要条件(,)()R A b R A =，必须使(1)(2)0λλ-+=， 从而得 1,2λλ==-， 当1λ=时，方程组的增广矩阵的行最简形为 1011 1100000 -?? ? - ? ??? 此时方程组的通解为1213111010x x k x ?????? ? ? ? =+ ? ? ? ? ? ??????? （1k 为任意常数） 当2λ=-时, 方程组的增广矩阵的行最简形为 1 012 1120000 -?? ? - ? ?? ? 此时方程组的通解为1223121210x x k x ?????? ? ? ? =+ ? ? ? ? ? ??????? （2k 为任意常数） 线性代数知识点总结 第一章 行列式 1. n 阶行列式()() 12 1212 11121212221212 1= = -∑ n n n n t p p p n p p np p p p n n nn a a a a a a D a a a a a a 2.特殊行列式 () () 1112 11222211221122010 n t n n nn nn nn a a a a a D a a a a a a a = =-= 1 2 12 n n λλλλλλ=， () ()1 12 2 121n n n n λλλλλλ-=- 3.行列式的性质 定义 记 11121212221 2 n n n n nn a a a a a a D a a a =，11211 1222212n n T n n nn a a a a a a D a a a = ，行列式T D 称为行列式D 的转置行列式。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行() ?i j r r 或列() ?i j c c ，行列式变号。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。 性质3 行列式某一行（列）中所有的元素都乘以同一数()?j k r k ，等于用数k 乘此行列式； 推论1 D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D 的外面; 推论2 D 中某一行（列）所有元素为零，则=0D 。 性质4 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则 1112111212222212 () ()()i i n i i n n n ni ni nn a a a a a a a a a a D a a a a a '+'+='+11121111121121222221222212 12 i n i n i n i n n n ni nn n n ni nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''=+ ' 性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去， 《线性代数》习题集（含答案） 第一章 【1】填空题 （1） 二阶行列式 2a ab b b =___________。 （2） 二阶行列式 cos sin sin cos αα α α -=___________。 （3） 二阶行列式 2a bi b a a bi +-=___________。 （4） 三阶行列式x y z z x y y z x =___________。 （5） 三阶行列式 a b c c a b c a b b c a +++=___________。 答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2 a b -；4.3 3 3 3x y z xyz ++-；5.4abc 。 【2】选择题 （1）若行列式12 5 1 3225x -=0，则x=（）。 A -3； B -2； C 2； D 3。 （2）若行列式11 1 1011x x x =，则x=（）。 A -1 ， B 0 ， C 1 ， D 2 ， （3）三阶行列式2 31 503 2012985 23 -=（）。 A -70； B -63； C 70； D 82。 （4）行列式 000 000 a b a b b a b a =()。 A 4 4 a b -；B () 2 2 2a b -；C 4 4 b a -；D 44 a b 。 （5）n 阶行列式0100 0020 0001000 n n - =（）。 A 0； B n ！； C （-1）·n ！； D () 1 1!n n +-?。 答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。 【3】证明 33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b z x y bz ax bx ay by az y z x ++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。 【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。 答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。 （2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。 （3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。 【5】计算下列的逆序数： （1）135 （2n-1）246 （2n ）；（2）246 （2n ）135 （2n-1）。 答案：（1） 12n （n-1）；（2）1 2 n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号： 共10页第 1 页 线性代数复习题 一．填空题 1．求下列各排列的逆序数t ： 3 5 2 1 4 ，t = ；3 4 2 5 1 ，t = ；2 5 4 3 1 ，t = 。 2．计算三阶行列式 ==0 142012k k D ；当=k 、 时，得8-=D 。 3．已知矩阵?? ? ???=??????=c b b a B y x A ,。 =T A ，=B A T ，=BA A T 。 4．已知二阶方阵 )0(≠??????--+=a b a b b b a A 。=A ，=*A ，=-1A 。 5．设A 、B 都是三阶方阵，已知2,3=-=B A 。 =A 2 ，=B 3 ，=AB 2 。 6．已知三阶方阵 ?? ?? ? ?????--=507312123A 。=A ，=)(A R ，一个最高阶非零子式 。 7．n 元线性方程组b Ax =无解的充要条件是)(A R ，有唯一解的充要条件是)(A R ，有无限多解的充要条件是)(A R 。 8．已知向量组A 构成的矩阵为 A ?? ?? ? ?????---==k k k a a a 111111),,(321。当≠k 、 、 时，向量组A 线性无关。 9．已知向量组T T a a A ),2(,)3,1(:21α=-=；向量T b )3,(β=。当α 、β 时，b 不能由A 线性表示；当α 时，b 可由A 线性表示且表示式唯一。 10．已知三阶方阵 ?? ?? ??????---=80202020 1A 。 计算： 一阶主子式= ，二阶主子式= ，三阶主子式= 。 11．求下列各排列的逆序数t ： 1 2 3 4 ，t = ；3 4 2 1 ，t = ；2 4 1 3 ，t = 。 12．计算三阶行列式 =-=k k k k D 111 11 ；当=k 、 时，得4=D 。 13．已知三阶方阵 ?? ?? ??????--=??????????--=150421321 ,111111111B A 。 =AB ，=-A AB 23 ，=B A T 。 14．已知二阶方阵 ? ?? ???-=a a A 12。=A ，=*A ，=-1A 。 15．设A 、B 都是三阶方阵，已知1,2-=-=B A 。 =A 3 ，=B 2 ，=AB 。 16．已知三阶方阵 ?? ?? ??????--=43121101 3A 。=A ，=)(A R ，一个最高阶非零子式 。 17．n 元齐次线性方程组O Ax =有非零解的充要条件是)(A R ，线性方程组b Ax =有解的充要条件是)(A R ，矩阵方程B AX =有解的充要条件是 )(A R 。 复习重点： 第一部分行列式 1. 排列的逆序数（P.5例4; P26第2、4题） 2. 行列式按行（列）展开法则（P.21例13；P.28第9题） 3. 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分矩阵 1. 矩阵的运算性质 2. 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；P.78第5题） 3. 伴随阵的性质（P.41例9; P56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116） 4. 矩阵的秩的性质（P.69至71; P100例13、14、15） 第三部分线性方程组 1. 线性方程组的解的判定（P71定理3; P.77定理4、5、6、7）,带参数的方程组的解的判定 （P.75 例13 ; P80 第16、17、18 题） 2. 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3. 非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）1?向量组的线性表示 2. 向量组的线性相关性 3. 向量组的秩第五部分方阵的特征值及特征向量 1. 施密特正交化过程 2. 特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10; P.135第7至13题） 3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23题） 要注意的知识点： 线性代数 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、A j和a j的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0; ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ; 3. 代数余子式和余子式的关系：M j （ 1y j A j A j （ 1/ j M j 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号填“√”，错误的在括号填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ￡ s ￡ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）范德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） （3）AB=O不能推出A=O或B=O。 2、转置的性质（5条） （1）（A+B）T=A T+B T （2）（kA）T=kA T （3）（AB）T=B T A T （4）|A|T=|A| （5）（A T）T=A （二）矩阵的逆 3、逆的定义： AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1 注：A可逆的充要条件是|A|≠0 4、逆的性质：（5条） （1）（kA）-1=1/k·A-1 (k≠0) （2）（AB）-1=B-1·A-1 （3）|A-1|=|A|-1 （4）（A T）-1=（A-1）T （5）（A-1）-1=A 线性代数B 复习资料 (一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式中可能不成立的是（ A ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2 )( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A) 线性代数知识点总结 第一章行列式 （一）要点 1、 二阶、三阶行列式 2、 全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理） ，n 阶行列式的定义 3、 行列式的性质 4、 n 阶行列式 ^a i j ，元素a j 的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理 5、 克莱姆法则 （二）基本要求 1 、理解n 阶行列式的定义 2、掌握n 阶行列式的性质 3 、会用定义判定行列式中项的符号 4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即 a 1i A Ij ' a 2i A 2 j ' a ni A nj ^ 5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、 掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组 7、 了解n 个方程n 个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件 第二章矩阵 （一）要点 1、 矩阵的概念 m n 矩阵A =（a j ）mn 是一个矩阵表。当 m =n 时，称A 为n 阶矩阵，此时由 A 的 元素按原来排列的形式构成的 n 阶行列式，称为矩阵 A 的行列式，记为 A . 注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。 2、 几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵 a i 1A j 1 ■ a i2A j 2 ? a in A jn = 〔 D ' 3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 (1矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。如果两矩阵A与B相乘，有AB = BA ,则称矩阵A与B可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 (2)方阵的幕：对于n阶矩阵A及自然数k， A k=A A A , 1 k个 规定A° = I ,其中I为单位阵. (3) 设多项式函数(J^a^ k?a1?k^l Z-心律??a k，A为方阵，矩阵A的 多项式(A) = a0A k?a1A k' …-?-a k jA ■ a k I ,其中I 为单位阵。 (4)n阶矩阵A和B ,贝U AB=IAB . (5)n 阶矩阵A ,则∣∕Λ =λn A 4、分块矩阵及其运算 5、逆矩阵：可逆矩阵(若矩阵A可逆，则其逆矩阵是唯一的)；矩阵A的伴随矩阵记 * 为A , AA* = A*A = AE 矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。 6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价 意义下的标准形；矩阵A可逆的又一充分必要条件：A可以表示成一些初等矩阵的乘积； 用初等变换求逆矩阵。 7、矩阵的秩：矩阵的k阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩 8、矩阵的等价 (二)要求 1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质 3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质 4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当A 可逆时，会用伴随矩阵求逆矩阵 5、了解分块矩阵及其运算的方法 (1)在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。 (2)特殊分法的分块矩阵的乘法，例如A m n, B nl,将矩 《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件； 《线性代数》复习提纲 第一部分：基本要求（计算方面） 四阶行列式的计算； N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）； 矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）； 求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程； 含参数的线性方程组解的情况的讨论； 齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）； 讨论一个向量能否用和向量组线性表示； 讨论或证明向量组的相关性； 求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表 示； 将无关组正交化、单位化； 求方阵的特征值和特征向量； 讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵； 通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化； 写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵； 判定二次型或对称矩阵的正定性。 第二部分：基本知识 一、行列式 1．行列式的定义 用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。 （1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； （2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法 定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特殊情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： Ⅰ行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： 《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα 2008年线性代数必考的知识点 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2 (1) n n -? -； ③、上、下三角行列式（ = ◥◣）：主对角元素的乘积； ④、 ◤和 ◢：副对角元素的乘积(1)2 (1)n n -? -； ⑤、拉普拉斯展开式： A O A C A B C B O B ==、 (1)m n C A O A A B B O B C ==- ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 5. 证明0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1. A 是n 阶可逆矩阵： ?0A ≠（是非奇异矩阵）； ?()r A n =（是满秩矩阵） ?A 的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组0Ax =有非零解； ?n b R ?∈，Ax b =总有唯一解； ?A 与E 等价； ?A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A 的特征值全不为0； ?T A A 是正定矩阵； ?A 的行（列）向量组是n R 的一组基； ?A 是n R 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n 阶矩阵A ：**AA A A A E == 无条件恒成立； 3. 1**111**()()()()()()T T T T A A A A A A ----=== *** 111()()()T T T AB B A AB B A AB B A ---=== 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A 、B 可逆： 8线性代数练习题(带解题过程) ０ 线性代数试题 一 填空题 ◆1． 设 A 为3阶方阵且 2 =A ，则 = -*-A A 231 ； 【分析】只要与* A 有关的题，首先要想到公式， E A A A AA ==**，从中推 你要的结论。这里1 1* 2--==A A A A 代入 A A A A A 1)1(231311-= -=-=---*- 注意： 为什么是3 )1(- ◆2． 设1 33322211 ,,α+α=βα+α=βα+α=β， 如 3 21,,ααα线性相关，则3 21,,βββ线性 ______(相关) 如 3 21,,ααα线性无关，则 3 21,,βββ线性 ______(无关) 【分析】对于此类题，最根本的方法是把一个向量组由另一个向量表示的问题转化为矩阵乘 １ 法的关系，然后用矩阵的秩加以判明。 ?? ?? ? ?????=110011101],,[],,[321321αααβββ，记此为AK B = 这里)()()(A r AK r B r ==， 切不可两边取行列式！！因为矩阵不一定 是方阵！！ ◆3． 设非齐次线性方程b x A m =?4 ，2)(=A r ，3 2 1 ,,ηη η是 它的三个解，且 T T T )5,4,3,2(,)4,3,2,1(,)7,6,4,3(133221=+=+=+ηηηηηη 求该方程组的通解。(答案： T T T k k x )2,2,1,1()1,1,1,1()6,5,3,2(2 1 21++= ，形式不 唯一) 【分析】对于此类题，首先要知道齐次方程组基础解系中向量的个数（也是解空间的维数） 是多少，通解是如何构造的。其次要知 道解得性质（齐次线性方程组的任意两解的线性 线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。 线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1. 行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 1122,, 0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?=?++=?≠?? L ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 11221122***0**0*00 nn nn b b A b b b b = =L M O L ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *= =* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1(1)n n k n k k k E A S λλλ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明0A =的方法： 线性代数练习题 第二章 矩 阵 系专业班 姓名学号 §2.4 逆矩阵 一．选择题 1 ． 设 * A 是n 阶矩阵 A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1-*=A A A （B ）1 -* =n A A （C ）**=A A n λλ)( （D ）0)(=**A 2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ）A A λλ= （B ）A A λλ= （C ）A A n λλ= （D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 二、填空题： 1．已知A B AB =-，其中??? ? ??-=1221B ，则=A 2．设??? ? ??=???? ??12643152X ，则X = 3．设A ，B 均是n 阶矩阵，2=A ，3-=B ，则1 2-* B A = 46 n - 4．设矩阵A 满足042 =-+E A A ，则= --1 )(E A 22 A E + 三、计算与证明题： 1． 设方阵A 满足022 =--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并求1 -A 和1 2-+)(E A 答案： 2． 设??? ? ? ??---=14524 3121A ，求A 的逆矩阵1-A 答案： 线性代数复习要点 第一部分 行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 1.行列式的计算： ① (定义法)1212121112121222() 1212()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ= = -∑ L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. ③ (化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. ④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 ==()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O *==* *=-1 ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 () n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 12111112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 ⑦ a b -型公式：1 [(1)]()n a b b b b a b b a n b a b b b a b b b b a -=+--L L L M M M O M L ⑧ (升阶法)在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ⑨ (递推公式法) 对n 阶行列式n D 找出n D 与1n D -或1n D -,2n D -之间的一种关系——称为递推公式，其中 n D ,1n D -,2n D -等结构相同，再由递推公式求出n D 的方法称为递推公式法. (拆分法) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和， 使问题简化以例计算. ⑩ (数学归纳法) 2. 对于n 阶行列式A ，恒有：1 (1)n n k n k k k E A S λλ λ-=-=+-∑，其中k S 为k 阶主子式； 3. 证明 0A =的方法： ①、A A =-； ②、反证法； ③、构造齐次方程组0Ax =，证明其有非零解； ④、利用秩，证明()r A n <； ⑤、证明0是其特征值. 4. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 第二部分 矩阵 1.矩阵的运算性质 2.矩阵求逆 3.矩阵的秩的性质 4.矩阵方程的求解 1. 矩阵的定义 由m n ?个数排成的m 行n 列的表1112121 22212n n m m mn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? L L M M M L 称为m n ?矩阵. 线性代数复习题 一：判断题 1. 任何一个非零向量组均可以进行施密特正交化 2. n 个n+1维向量组一定线性相关 3. 若 n 元线性方程组的系数矩阵的秩小于n, 则此方程组有无穷多解. 4. 若 n 元齐线性方程组有非零解，则这个方程组有无穷多个解。 5. 任何一个n 阶矩阵都相似于一个n 阶对角矩阵. 6. k 重特征值必有k 个线性无关的特征向量. 7. 如果n 阶行列式中有n n -2个（以上的）元素为0， 则该行列式的值为0。 8. 秩为r 的矩阵的所有r 阶子式都不为零. 9. 向量组线性无关当且仅当其中任一向量均不能被其他向量线性表出. 10. 如果两个同阶矩阵有相同的特征值，则他们相似。 二：选择题 1. 如果D = ??? ?? ??333231232221131211 a a a a a a a a a ，且D = M, D 1 = ??? ? ? ?? 333231232221 131211222222222a a a a a a a a a , 则1D = ( ) A. 2 M B.-2 M C. 8 M D. -8 M 2．设A, B 为2个n 阶矩阵，则关于矩阵的秩，下列式子不正确的是： （ ） A. )}(),(min{)(B r A r AB r ≤ B. )()()(B r A r B A r +≤+ C. )()()(B r A r B A r -≤- D. )()(*A r A r ≤ 3.设A 为四(三，二)阶矩阵且|A|=a, 则其伴随矩阵A *的行列式|A *|为: ( ) A. a B.a 2 C.a 3 D.a 4 4.下列结论中不正确的是: ( ) A.若向量α与β正交,则对任意实数a,b, a α与b β也正交. B 若向量β与向量α1, α2正交,则β与α1, α2的任一线性组合也正交. C.若向量α与β正交,则α与β中至少有一个是零向量. D.若向量α与任意同维向量正交,则α是零向量. 5. 21,λλ都是n 阶距阵A 的特征值且21,λλ≠，21,X X 分别是对应于21,λλ 的特征向量，下面哪个条件使得2211X k X k X += 复习重点： 第一部分 行列式 1． 排列的逆序数（P .5例4；P .26第2、4题） 2． 行列式按行（列）展开法则（P .21例13；P .28第9题） 3． 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题） 第二部分 矩阵 1． 矩阵的运算性质 2． 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P .56第17、18题；P .78第5题） 3． 伴随阵的性质（P .41例9；P .56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P .116） 4． 矩阵的秩的性质（P .69至71；P .100例13、14、15） 第三部分 线性方程组 1． 线性方程组的解的判定（P .71定理3；P.77定理4、5、6、7），带参数的方程组的解的 判定（P.75例13；P .80第16、17、18题） 2． 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3． 非齐次线性方程组的解的结构（通解） 第四部分 向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换） 1．向量组的线性表示 2．向量组的线性相关性 3．向量组的秩 第五部分 方阵的特征值及特征向量 1．施密特正交化过程 2．特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10；P.135第7至13题） 3．矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P .135第15、16、19、23题） 要注意的知识点： 线性代数 1、行列式 1. n 行列式共有2n 个元素，展开后有!n 项，可分解为2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、ij A 和ij a 的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A ； 3. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ij M A A M ++=-=- 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积；线性代数知识点总结
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