浅谈怎么理解频率稳定在概率
概率是研究随机现象的一门学科。随机现象跟我们其他的现象，或者跟确定性现象有什么不同呢？
第一，就是它的不确定性，也就是在相同的条件下做一件事，可能是这个结果，也可能是那个结果。举例说，掷一枚硬币，事先谁也无法预料，到底是正面朝上还是反面朝上。
第二，就是要能够重复做实验，或者说近似地认为它可以重复做实验，不是说所有的不确定性都是用概率来解决的。那么重复做实验以后，人们发现每一次虽然无法确定，但是重复做实验中，它会呈现一种稳定性。所以有人把它叫做偶然中的规律性，我觉得是有一定的道理。如果一点规律都没有的话，可能就不会有这个学科的产生了。
那么，怎样理解频率稳定在概率，是不是试验次数越多越接近二分之一，有的学生提到的：我们猜想的是10个硬币中应该出现5正5反，结果却出现了9正1反这样的极端情况，这是为什么？现在就很好理解了，因为它是不确定的，既可以出现9正1反，甚至也可能会出现0正10反，当然这种可能性就比较小，这正是不确定性的一种体会。所以我们在教学中就可以往这方面引导：同样的
做10次，为什么我们的结果会不一样。那么，这么不确定，怎么理解正面朝上的概率是1/2呢。首先把频率和概率这两个概念分清楚。频率，是正面朝上的次数/实验总次数，它是不确定的，因为你每次做的情况不一样，当然正面朝上的次数可能不一样，再除以总次数，可能是不一样的，频率是可以变化的，概率是一个确定的值，一定要注意这个不一样，有的时候我们喜欢说概率也是不确定的，这是一种混淆，我想慢慢学习弄清楚就可以了。
什么叫大量重复实验频率稳定在概率，并不是说我做了一万次以后，统计那时候的正面朝上的次数就正好是五千次，并不是这样。而是说有这么一个趋势，所以在做概率实验中，有一个小的误区，就是现在也累加，但是就只看最后的结果。比如说做了三百次实验，算完了以后把最后三百次中的正面朝上和反面朝上拿出来，结果一个160多，一个130多，好像不是1/2，觉得差得还挺多。它不是一定就是1/2，而是说这个趋势，开始的时候波动可能是比较大的，到后来也有波动大的情况但是非常少了，它逐步逐步就稳定在这样的一种情况，即正面朝上的频率稳定在1/2。而且并不是实验次数越多就一定是越接近。
如何用频率来估计概率 在苏科版初中数学课本里所学习的概率计算问题有 以下类型：第一类是可以列举有限个等可能发生的结果的概率计算问题（一步试验直接列举，两步以上的试验可以借助树状图或表格列举），比如掷一枚均匀硬币的试验；第二类 是用试验或者模拟试验的数据计算频率，并用频率估计概率的概率计算问题，比如掷图钉的试验。在八年级的数学学习中概率的计算，主要是第二类题型，我们知道频率是研究概率的基础，所以利用频率估计概率的试题频频出现在各地的中考试卷中，下面以中考题为例，来剖析这一类题型的解法。 一、填空题中的用频率估计概率 例1.在课外活动中，小明同学在相同的条件下做了某种作物种子发芽的实验，结果如下表所示： 由此估计这种作物种子发芽率约为（精确到0.01）. 解：由公式种子的发芽率= 可求出种子的发芽率为0.939，因为精确到0.001故答案为0.94. 点评：本题考察了百分率问题（1）种子的发芽率= ；（2）注意括号的中的要求为精确到0.01 例2.有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共1000个.为了估计这两种颜色的球各有多少个，小明将箱子
里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，据此可以估计红球的个数约为. 解：解：∵摸到红球的频率约为0.6，∴红球所占的百分比是60%.∴1000×60%=600. 故答案为：600. 点评：本题考查用频率估计概率，因为多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率约为0.6，所以红球所占的百分比也就是60%，根据总数可求出红球个数. 二、选择题中的用频率估计概率 例3.“六?一”儿童节，某玩具超市设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购买活动.顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品.下表是该活动的一组统计数据：下列说法不正确的是（） A.当n很大时，估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70 B.假如你去转动转盘一次，获得铅笔的概率大约是0.70 C.如果转动转盘2000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有600次 D.转动转盘10次，一定有3次获得文具盒 解：由表中提供的信息可知，只有“转动转盘10次，
认识概率知识讲解 LEKIBM standardization office【IBM5AB- LEKIBMK08- LEKIBM2C】
认识概率--知识讲解 【学习目标】 1.通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确的判断； 2.理解概率的定义，通过具体情境了解概率的意义； 3.理解频率与概率的关系，能利用频率与概率的关系解决实际问题. 【要点梳理】 要点一、确定事件与随机事件 1.不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． 2.必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 3.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 要点诠释： （1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型. （2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 要点二、频率与概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率.
事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即， 其中P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存 在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附 近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的 稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率 m 会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事 n 件发生的频率作为其概率的估计值. 要点诠释： ①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； ③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 【典型例题】 类型一、确定事件与随机事件 1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件哪些是必然事件哪些是随机事件
利用频率估计概率》教案1 第一课时 ★新课标要求知识与技能： 1．当事件的试验结果不是有限个或结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率． 2．通过试验，理解当试验次数较大时试验频率稳定于理论概率，进一步发展概率观念．过程与方法： 通过试验及分析试验结果、收集数据、处理数据、得出结论的试验过程，体会频率与概率的联系 与区别，发展学生根据频率的集中趋势估计概率的能力． 情感态度与价值观： 1．通过具体情境使学生体会到概率是描述不确定事件规律的有效数学模型，在解决问题中学会用数学的思维方式思考生活中的实际问题的习惯． 2．在活动中进一步发展合作交流的意识和能力． 教学重点：理解当试验次数较大时，试验频率稳定于理论概率．教学难点：对概率的理解． 设计教学程序： 一、问题情境： 教师提出问题：周末市体育场有一场精彩的篮球比赛，老师手中只有一张球票，小强与小明都 是班里的篮球迷，两人都想去．我很为难，真不知该把球给谁．请大家帮我想个办法来决定把球票 给谁． 学生：抓阄、抽签、猜拳、投硬币，…… 教师对同学的较好想法予以肯定．（学生肯定有许多较好的想法，在众多方法中推举出大家较认 可的方法．如抓阄、投硬币） 追问，为什么要用抓阄、投硬币的方法呢由学生讨论：这样做公平．能保证小强与小明得到球票 的可能性一样大．在学生讨论发言后，教师评价归纳． 用抛掷硬币的方法分配球票是个随机事件，尽管事先不能确定“正面朝上” 还上“反面朝 上”，但同学们很容易感觉到或猜到这两个随机事件发生的可能性是一样的，各占一半，所以小强、小 明得到球票的可能性一样大． 质疑：那么，这种直觉是否真的是正确的呢引导学生以投掷壹元硬币为例，不妨动手做投掷硬币 的试验来验证一下．说明：现实中不确定现象是大量存在的，新课标指出：“学生数学学习内容应当 是现实的、有意义、富有挑战的” ，设置实际生活问题情境贴近学生的生活实际，很容易激发学生的 学习热情，教师应对此予以肯定，并鼓励学生积极思考，为课堂教学营造民主和谐的气氛，也为下 一步引导学生开展探索交流活动打下基础． 二、合作游戏： 1．教师布置试验任务． （1）明确规则． 把全班分成10 组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学作记录，其余同学观察试验必须在 同样条件下进行． （2）明确任务，每组掷币50 次，以实事求是的态度，认真统计“正面朝上”的频数及“正面朝 上”的频率，整理试验的数据,并记录下来． 2．教师巡视学生分组试验情况． （1）观察学生在探究活动中，是否积极参与试验活动、是否愿意交流等，关注学生是否积极思考、勇于克服困难. （2）要求真实记录试验情况?对于合作学习中有可能产生的纪律问题予以调控. 3 ?各组汇报实验结果. 由于试验次数较少，所以有可能有些组试验获得的“正面朝上”的频率与先前的猜想有出入.
知识点归纳 （1）事件可分为：必然事件、不可能事件（确定事件）、随机事件（不确定事件）。 （2）一件事件发生的可能性的大小的数值，叫做这件事件的概率。概率通常用大写P表示。（3）0≤ P（A事件）≤1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0 随机事件的概率 一、事件 1．在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件． 2．在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件． 3．在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件． 二、概率和频率 1．用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据． 2．在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现 的次数n A为事件A出现的频数，称事件A出现的比例f n(A)＝n A n 为事件A出现的频率． 3．对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率f n(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率f n(A)来估计概率P(A)． 三、事件的关系与运算 四、概率的几个基本性质 1．概率的取值范围：0≤P(A)≤1. 2．必然事件的概率P(E)＝1. 3．不可能事件的概率P(F)＝0. 4．概率的加法公式： 如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． 5．对立事件的概率： 若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)． 1.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上．则下列结果正确的是( ) A．P(M)＝1 3 P(N)＝ 1 2 B．P(M)＝1 2 P(N)＝ 1 2 C．P(M)＝1 3 P(N)＝ 3 4 D．P(M)＝1 2 P(N)＝ 3 4 解析：选D 由条件知事件M包含：(正、反)、(反、正)．事件N包含：(正、正)、(正、反)、(反、正)． 故P(M)＝1 2 ，P(N)＝ 3 4 . 2．(2012·)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球 解析：选D A中的两个事件不互斥，B中两事件互斥且对立，C中的两个事件不互斥，D 25.3用频率估计概率 教学目标 【知识与技能】 理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用统计频率的方法估计概率. 【过程与方法】 经历利用频率估计概率的学习，使学生明白在同样条件下，大量重复试验时，根据一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数，可以估计这个事件发生的概率? 【情感态度】 通过研究如何用统计频率求一些现实生活中的概率问题，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值. 【教学重点】 对利用频率估计概率的理解和应用. 【教学难点】 利用频率估计概率的理解. 教学过程 一、情境导入，初步认识 问题1400个同学中，一定有2个同学的生日相同（可以不同年）吗？那么300个同学中一定有2个同学的生日相同吗？ 有人说：“50个同学中，就很可能有2个同学的生日相同这话正确吗？调查全班同学，看看有无2个同学的生日相同. 问题2要想知道一个鱼缸里有12条鱼，只要数一数就可以了.但要估计一个鱼塘里有多少条鱼，该怎么办呢？ 【教学说明】在前面我们学习了能列举所有可能的结果，并且每种结果的可能性相等的随机事件的概率的求法?那么这里的两个问题情境中，很容易让学生想到这些事件的结果不容易完全列举出来，而且每种结果出现的可能性也不一定是相同的.从而引发学生的求知欲，对于这类事件的概率该怎样求解呢，引入课题. 二、思考探究，获取新知 1.利用频率估计概率 试验：把全班同学分成10组，每组同学掷一枚硬币50次，整理同学们获得的试验数据，并记录在下表中： 填表方法：第1组的数据填在第1行；第1,2组的数据之和填在第2行，…, 10个组的数据之和填在第10行. 如果在抛掷n次硬币时，出现m次“正面向上”，则随机事件“正面向上” 出现的频率为m/n. 【教学说明】分组是为了减少劳动强度加快试验速度，当然如果条件允许， 组数分得越多，获得的数据就会越多，就更容易观察出规律.让学生再次经历数据的收集，整理描述与分析的过程，进一步发展学生的统计意识，发现数据中隐藏的规律. 请同学们根据试验所得数据想一想：“正面向上”的频率有什么规律？历史 上，有些人曾做过成千上万次抛掷硬币的试验，试验结果如下： 10.1《用频率估计概率》导学提纲 一、情境切入———激活思维现涟漪 我们在七年级时曾用掷硬币的方法决定小明和小丽谁去看周末的电影：任意掷一枚均匀的硬币，如果正面朝上，小丽去；如果反面朝上，小明去． 1、这样决定对双方公平吗？ 2、如果是连续掷两次均匀的硬币，会出现几种等可能的结果，出现“一正一反”的概率为多少呢？ 二、学海导航———提纲挈领把方向 1、学会根据问题的特点，用统计来估计事件发生的概率，培养分析问题，解决问题的能力。 2、通过对问题的分析，理解用频率来估计概率的方法，渗透转化和估算的思想方法。 3、通过对试际问题的分析，培养使用数学的良好意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值。 三、完全解读———品尝知识享盛宴 （一）试验探究： 准备两枚质地均匀、大小相同的硬币，做下面的掷币试验： 1、抛掷其中一枚硬币，落定后，正面朝上的概率是多少？你是怎样求出来的？ 2、连续抛掷两枚硬币，落定后，可能出现几种不同的结果？你认为这几种结果出现的可能性相同吗？ 3、连续抛掷两枚硬币，称为一次试验，如果做100次试验，猜一猜各种结果可能分别出现多少次？如果做200次试验呢？ （二）合作探究 1、每两名同学一组，由一名同学连续抛掷两枚硬币，做50次试验，另一 名同许分别记录落地后各种结果出现的次数，然后二人交换，再进行试验，分别统计100次试验中各种结果发生的频数与频率，将数据填入下表中： 2、将两个小组的试验次数分别相加，相当于做了多少次试验？分别统计三种结果发生的频数与频率，然后填写在下表中。 3、将全班所有小组的试验次数分别相加，这相当于做了多少次试验？请统计“两枚硬币正面均朝上”发生的频数与频率，分别汇总4个小组、6个小组、8个小组......的试验结果,然后填写在下表中 “两枚硬币正面均朝上”试验结果 【温馨提示】： 试验时要避免走两个极端既不能为了追求精确的概率而把试验的次数无限的增多,也不能为了图简单而使试验次数很少。由于众多微小因素的影响，每次测得的结果虽不尽相同，但大量重复试验所得的结果却能反应客观规律。 4、利用上表，根据“两枚硬币正面均朝上”出现的频率，绘制折线统计图。 第8章认识概率(本章复习) ·知识清单复习 1.在特定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是 . 2.在特定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是 . 3. 和都是确定事件. 4.在特定条件下，生活中也有很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情 是 . 5.不可能事件发生的可能性最小，等于 ;必然事件发生的可能性最大，等 于 . 6.一般地，随机事件发生的可能性 . 7.一个事件发生的的大小的数值称为这个事件的概率.如果用字母A表示一个事件，那么表示事件发生的概率. 8.通常规定必然事件A的概率为1,记作 ;不可能事件A的概率为0，记作 ;随机事件A发生的概率P(A)是0和1之间的一个数. 9.在实际工作中，人们常把试验次数很大时事件发生的作为概率的近似值. ·知识大闯关复习 8.1 确定事件与随机事件 1.(2013湖北天门中考)下列事件中,是必然事件的为( ) A、抛掷一枚质地均匀的硬币,落地后正面朝上; B、江汉平原7月份某一天的最低气温是－2℃; C、通常加热100℃到时,水沸腾; D、打开电视,正在播放节目《男生女生向前冲》. 2.下列事件中属于不可能事件的是( ) A. 小明买体育彩票中大奖; B. 任意抛两枚正方体的骰子,点数和为1; C. 太阳从东方升起; D. 明天会下雨. 3.(2013山东聊城中考)下列事件：①在足球赛中，弱队战胜强队；②抛掷一枚硬币，落地后正面朝上；③任取两个正整数，其和大于1；④长分别为3、5、9厘米的三条线段能围成一个三角形.其中确定事件的个数是( ) A.1; B.2; C.3; D.4. 4.同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6．下列事件中是必然事件的是（） A．两枚骰子朝上一面的点数和为6; B．两枚骰子朝上一面的点数和不小于2; C．两枚骰子朝上一面的点数均为偶数; D．两枚骰子朝上一面的点数均为奇数. 5.(2014江苏兴化期中)下列事件：（1）如果A．b都是实数，那么a+b=b+a；（2）从分别标有数字1～10的10张小标签中任取1张，得到8号签；（3）同时抛掷两枚骰子，向上一面的点数之和为13；（4）射击1次，中靶．其中随机事件的个数有( ) A．0个 B．1个 C．2 个 D．3个 6.（2015江苏泰州中学月考,14,★★☆）下列4个事件:①异号两数相加,和为负数;②异号两数相减,差为正数;③异号两数相除,商为负数;④异号两数相乘,积为正数.必然事件 是(将事件的序号填上即可). 7.（2015江苏徐州,5,★☆☆）一只不透明的袋子中装有4个黑球、2个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（） 第二课时随机事件的频率与概率 一、教学目标：1．理解随机事件在大量重复试验的情况下，它的发生呈现的规律性；2．掌握概率的统计定义及概率的性质． 二、教学重点：随机事件的概念及其概率．教学难点：随机事件的概念及其概率． 三、探究讨论法 四、教学过程 （一）、新课引入 1．观察下列日常生活中的事件发生与否，各有什么特点？（1）金属丝通电时，发热；（2）抛一块石头，下落；（3）在常温下，焊锡熔化；（4）在标准大气压下且温度低于00C时，冰融化；（5）掷一枚硬币，出现正面；（6）某人射击一次，中靶． 分析结果： （1）（2）是必然要发生的，（3）（4）不可能发生，（5）（6）可能发生也可能不发生 2．（1）“如果a＞b，那么a－b＞0”; （2）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”； （3）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”； （4）“没有水份，种子能发芽”； 分析结果：（略） 3．男女出生率 一般人或许认为：生男生女的可能性是相等的，因而推测出男婴和女婴的出生数的比因当是1：1，可事实并非如此．公元1814年，法国数学家拉普拉斯（Laplace 1794---1827）在他的新作《概率的哲学探讨》一书中，记载了一下有趣的统计．他根据伦敦，彼得堡，柏林和全法国的统计资料，得出了几乎完全一致的男婴和女婴出生数的比值是22：21，即在全体出生婴儿中，男婴占51．2%，女婴占48．8%．可奇怪的是，当他统计1745---1784整整四十年间巴黎男婴出生率时，却得到了另一个比是25:24，男婴占51．02%，与前者相差0．14%．对于这千分之一点四的微小差异！拉普拉斯对此感到困惑不解，他深信自然规律，他觉得这千分之一点四的后面，一定有深刻的因素．于是，他深入进行调查研究，终于发现：当时巴黎人”重男轻女”，又抛弃女婴的陋俗，以至于歪曲了出生率的真相，经过修正，巴黎的男女婴的出生比率依然是22：21． 4．π中数字出现的稳定性（法格逊猜想） 在π的数值式中，各个数码出现的概率应当均为1/10．随着计算机的发展，人们对π的前一百万位小数中各数码出现的频率进行了统计，得到的结果与法格逊猜想非常吻合． 用频率估计概率 1．理解试验次数较大时试验频率趋于稳定这一规律． 2．结合具体情境掌握如何用频率估计概率． 3．通过概率计算进一步比较概率与频率之间的关系． 一、情境导入 养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个鱼塘里养的是同一种鱼)，先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条，发现其中带标记的鱼有10条，塘里大约有鱼多少条？ 二、合作探究 探究点一：频率 【类型一】频率的意义 某批次的零件质量检查结果表： 抽检 个数801002003004006008001000 优等品 个数6083154246312486634804 优等品 频率 (1)计算并填写表中优等品的频率； (2)估计从该批次零件中任取一个零件是优等品的概率． 解析：通过计算可知优等品的频率稳定在0.8附近，可用这个数值近似估计该批次中优等品的概率． 解：(1)填表如下： 抽检 个数801002003004006008001000 优等品 个数 60 83 154 246 312 486 634 804 优等品 频率 0.75 0.83 0.77 0.82 0.78 0.81 0.7925 0.804 (2)0.8 【类型二】频率的稳定性 在“抛掷正六面体”的试验中，正六面体的六个面分别标有数字“1”、“2”、“3”、 “4”、“5”和“6”，如果试验的次数增多，出现数字“1”的频率的变化趋势是________________________． 解析：随着试验的次数增多，出现数字“1”的频率愈来愈接近于一个常数，这个常数即为它的概率．故答案是：接近1 6 . 探究点二：用频率估计概率 【类型一】用频率估计概率 掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是( ) A ．可能有5次正面朝上 B ．必有5次正面朝上 C ．掷2次必有1次正面朝上 D ．不可能10次正面朝上 解析：掷一枚质地均匀的硬币1次，出现正面或反面朝上的概率都是错误!，因此，平均每两次中可能有1次正面向上或有1次反面向上．选项B 、C 、D 不一定正确，选项A 正确，故选A . 方法总结：随机事件的频率，指此事件发生的次数与试验总次数的比值，当试验次数很多时，它具有一定的稳定性，即稳定在某一常数附近，而偏离的它可能性很小． 【类型二】推算影响频率变化的因素 “六·一”期间，小洁的妈妈经营的玩具店进了一纸箱除颜色外都相同的散装塑 料球共1000个，小洁将纸箱里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；搅匀后再随机摸出一个球记下其颜色，把它放回纸箱中；……多次重复上述过程后，发现摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，由此可以估计纸箱内红球的个数约是________个． 解析：因为大量重复摸球实验后，摸到红球的频率逐渐稳定在0.2，说明红球大约占总数的0.2，所以球的总数为1000×0.2＝200，故答案为：200. 方法总结：解题的关键是知道在大量重复摸球实验后，某个事件发生的频率就接近于该事件发生的概率．概率与频率的关系是：(1)试验次数很大时，频率稳定在概率附近；(2)用频率估计概率． 【类型三】 频率估计概率的实际应用 为了估计鱼塘中鱼的条数，养鱼者首先从鱼塘中打捞30条鱼做上标记，然后放归鱼塘，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中，再打捞200条鱼，发现其中带标记的鱼有5条，则鱼塘中估计有________条鱼． 解析：设鱼塘中估计有x 条鱼，则5∶200＝30∶x ，解得：x ＝1200，故答案为：1200. 方法总结：求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想． 条件概率（conditional probability）就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P（A|B），读作“在B条件下A的概率”。 联合概率表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为或者或者。 边缘概率是某个事件发生的概率。边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。这称为边缘化（marginalization）。A的边缘概率表示为P（A），B的边缘概率表示为P（B）。 需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间序列关系。A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。 例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。 换句话说，如果A与B是相互独立的，那么A在B这个前提下的条件概率就是A自身的概率；同样，B在A的前提下的条件概率就是B自身的概率。 考虑概率空间Ω(S, σ(S))，其中σ(S)是集S上的σ代数，Ω上对应于随机变量X的概率测度（可以理解为概率分布）为PX；又A ∈σ(S)，PX(A)≥0（这里可以理解为事件A，A不是零测集）。则?E∈σ(S)，可以定义集函数PX|A如下： PX|A(E)=PX(A∩E)/PX(E)。 易知PX|A也是Ω上的概率测度，此测度称为X在A下的条件测度（条件概率分布）。 独立性：设A，B∈σ(S)，称A，B在概率测度P下为相互独立的，若P(A∩E)=P(A)P(E)。 若想分辨某些个体是否有重大疾病，以便早期治疗，我们可能会对一大群人进行检验。虽然其益处明显可见，但同时，检验行为有一个地方引起争议，就是有检出假阳性的结果的可能：若有个未得疾病的人，却在初检时被误检为得病，他可能会感到苦恼烦闷，一直持续到更详细的检测显示他并未得病为止。而且就算在告知他其实是健康的人后，也可能因此对他的人生有负面影响。 初二认识概率-知识点-测试题及答案 认识概率 知识点归纳 （1）事件可分为：必然事件、不可能事件（确定事件）、随机事件（不确定事件）。 （2）一件事件发生的可能性的大小的数值，叫做这件事件的概率。概率通常用大写P表示。（3）0≤ P（A事件）≤1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0；0 大时，事件发生的频率与概率的差异可能很大。事件发生的频率不能简单地等同于其概率，要通过多次试验，用一事件的频率来估计这一事件发生的概率。 1、确定事件和随机事件。 （1）“必然事件”是指事先可以肯定一定会发生的事件。 （2）“不可能事件”是指事先可以肯定一定不会发生的事件。 （3）“不确定事件”或“随机事件”是指结果的发生与否具有随机性的事件。 2、可能性的大小 （1）很可能发生：如果事件发生的可能性很大，我们也说事件很可能发生.不大可能发生：如果事件发生地可能性很小，我们也说事件不大可能发生。 （2）事件的频数、频率。设总共做n次重复实验，而事件A发生了m次，则称事件A发生的次数m为频数。称比值m/n为A发生的频率。（3）概率：某事件发生的可能性也叫做事件发生的概率。必然事件发生概率为1，不可能事件发生的概率为0，不确定事件发生的概率在0到 1之间。一般地，如果一个实验有n个等可能的结果，而事件A包含其中k个结果，我们定义P （A）=k/n=事件A包含的可能结果数/所有可能结果数。对概率计算应注意：分清所有基本事件的总和（n）和事件A所包含的基本事件总和（k）. 3、频率与概率的关系。 （1）事件发生的频率会呈现逐渐稳定的趋势。（2）频率和概率可以非常接近，单不一定相等（3）如何用频率估计机会的大小。 4、树状图与列表法求解概率 测试题 一、填空题（共10个小题，每题给出四 个答案，只有一个是正确的，请将正 确答案填在下面的方框内,每题3分，共30分）1. 下列成语所描述的事件是必然发生的是（） A. 水中捞月 B. 拔苗助长 C. 守株待免 D. 瓮中捉鳖 2.一个事件的概率不可能是（） 2.3 用频率估计概率 一、仔仔细细，记录自信 1．公路上行驶的一辆汽车车牌为偶数的频率约是（）A．50% B．100% C．由各车所在单位或个人定D．无法确定 2．实验的总次数、频数及频率三者的关系是（）A．频数越大，频率越大 B．频数与总次数成正比 C．总次数一定时，频数越大，频率可达到很大 D．频数一定时，频率与总次数成反比 3．在一副（54张）扑克牌中，摸到“A”的频率是（） A．1 4 B． 2 27 C． 1 13 D．无法估计 4．在做针尖落地的实验中，正确的是（） A．甲做了4000次，得出针尖触地的机会约为46%，于是他断定在做第4001次时，针尖肯定不会触地 B．乙认为一次一次做，速度太慢，他拿来了大把材料、形状及大小都完全一样的图钉，随意朝上轻轻抛出，然后统计针尖触地的次数，这样大大提高了速度C．老师安排每位同学回家做实验，图钉自由选取 D．老师安排同学回家做实验，图钉统一发（完全一样的图钉）．同学交来的结果，老师挑选他满意的进行统计，他不满意的就不要 二、认认真真，书写快乐 5．通过实验的方法用频率估计概率的大小，必须要求实验是在的条件下进行． 6．某灯泡厂在一次质量检查中，从2 000个灯泡中随机抽查了100个，其中有10个不合格，则出现不合格灯泡的频率是，在这2 000个灯泡中，估计有个为不合格产品． 7．在红桃A至红桃K这13张扑克牌中，每次抽出一张，然后放回洗牌再抽，研究恰好抽到的数字小于5的牌的概率，若用计算机模拟实验，则要在的范围中产生随机数，若产生的随机数是，则代表“出现小于5”，否则 就不是． 8．抛一枚均匀的硬币100次，若出现正面的次数为45次，那么出现正面的频率是． 三、平心静气，展示智慧 9．一个口袋中有10个红球和若干个白球，请通过以下实验估计口袋中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程．实验中总共摸了200次，其中有50次摸到红球． 10．如图，某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： （1）计算并完成表格： 转动转盘的次数n100 150 200 500 800 1 1000 落在“铅笔”的次数m68 111 136 345 564 701 落在“铅笔”的频率 m n （2）请估计，当n很大时，频率将会接近多少？ （3）假如你去转动转盘一次，你获的铅笔的概率是多少？ 认识概率知识讲解 It was last revised on January 2, 2021 认识概率--知识讲解 【学习目标】 1.通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确的判断； 2.理解概率的定义，通过具体情境了解概率的意义； 3.理解频率与概率的关系，能利用频率与概率的关系解决实际问题. 【要点梳理】 要点一、确定事件与随机事件 1.不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． 2.必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 3.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 要点诠释： （1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型. （2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 要点二、频率与概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中 P(必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1. 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率m n 会在 某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 要点诠释： ①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； ③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 【典型例题】 类型一、确定事件与随机事件 1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件哪些是必然事件哪些是随机事件 ①若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c； ②没有空气，动物也能生存下去； ③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾； 一、基础知识： 用频率估计概率 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某一个常数p的附近，那么事件A发生的概率P(A)=p.其中0≤p≤1 条件是：在同等条件下，需要做大量的重复试验。 关键是：通过大量重复试验找出频率的稳定值。 二、重难点分析 本课教学重点：通过对事件发生的频率的分析来估计事件发生的概率。 本课教学难点：合理设计模拟试验，分析频率稳定值从而得到该事件的概率。 通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法。培养使用数学的良好意识,激发学习兴趣,体验数学的应用价值。 典型例题分析 例1、绿豆在相同条件下的发芽试验，结果如下表所示： 则绿豆发芽的概率估计值是（）A．0.96 B．0.95 C．0.94 D．0.90 率=频数与总情况数之比． 例2、一个不透明的口袋中放有若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，将袋中的球摇均匀．每次从口袋中取出一只球记录颜色后放回再摇均匀，经过大 1，求：（1）取出白球的概率是多少？ 量的实验，得到取出红球的频率是 4 （2）如果袋中的白球有18只，那么袋中的红球有多少只？ 三、感悟中考 1、（2014?河北）某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 条件概率 示例：就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。 若只有两个事件A，B，那么，P(A|B) = P(AB)/P(B)。 条件概率示例：就是事件A在另外一个事件B已经发生条件下的发生概率。条件概率表示为P(A|B)，读作“在B条件下A的概率”。 联合概率：表示两个事件共同发生的概率。A与B的联合概率表示为P(AB) 或者P(A,B),或者P（A∩B）。 边缘概率：是某个事件发生的概率，而与其它事件无关。边缘概率是这样得到的：在联合概率中，把最终结果中不需要的那些事件合并成其事件的全概率而消失（对离散随机变量用求和得全概率，对连续随机变量用积分得全概率）。这称为边缘化（marginalization）。A的边缘概率表示为P(A)，B的边缘概率表示为P(B)。 需要注意的是，在这些定义中A与B之间不一定有因果或者时间顺序关系。A可能会先于B发生，也可能相反，也可能二者同时发生。A可能会导致B的发生，也可能相反，也可能二者之间根本就没有因果关系。条件概率公式例如考虑一些可能是新的信息的概率条件性可以通过贝叶斯定理实现。 定理1 设A，B 是两个事件，且A不是不可能事件，则称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般地，，且它满足以下三条件： （1）非负性；（2）规范性；（3）可列可加性。 定理2 设E 为随机试验，Ω为样本空间，A，B 为任意两个事件，设P(A)>0，称 为在“事件A 发生”的条件下事件B 的条件概率。 上述乘法公式可推广到任意有穷多个事件时的情况。 设A1，A2，…An为任意n 个事件（n≥2）且P（A1A2…An-1）>0，则P（A1A2…An）=P（A1）P（A2|A1）…P（An|A1A2…An-1）定理3(全概率公式1) 设B1，B2，…Bn是一组事件,若（1）BiBj≠j，i≠j，i，j=1，2，…，n;（2）B1∪B2∪…∪Bn=Ω则称B1，B2，…Bn样本空间Ω的一个部分，或称为样本空间Ω的一个完备事件组。 定理4(全概率公式2) 设事件组B1，B2是样本空间Ω的一个划分，且P（Bi）>0（i=1，2，…n），则对任一事件B，有 25.3用频率估计概率教学设计 【教材分析】 《利用频率估计概率》是人教版九年级上册第二十五章《概率初步》的第三节。它是学习了前两节概率和用列举法求概率的基础上，即学习了理论概率后，进一步从试验的角度来估计概率，让学生再次体会频率与概率间的关系，通过这部分内容的学习可以帮助学生进一步理解试验频率和理论概率的关系。概率与人们的日常生活密切相关，应用十分广泛。纵观近几年的中考题，概率已是考查的热点，同时，对此内容的学习，也是为高中深入研究概率的相关知识打下坚实基础。 【教学目标】 根据新课程标准的要求，课改应体现学生身心发展特点；应有利于引导学生主动探索和发现；有利于进行创造性的教学。因此，我把本节课的教学目标确定为以下三个方面： 知识目标： 1.理解当事件的试验结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，要用频率来估计概率，进一步发展概率观念。 2.进一步理解概率与频率之间的联系与区别，培养学生根据频率集中趋势估计概率的能力。方法与过程目标： 1.选择生活中的实例进行教学，使学生在解决实际问题过程中加强对概率的认识，突出用频率的集中趋势估计概率的思想，体现数学与生活的紧密联系. 2.通过对问题的分析,理解用频率来估计概率的方法,渗透转化和估算的思想方法. 情感态度与价值观目标: 1.利用生活实例，介绍数学史，激发学生学习数学的热情和兴趣。 2.结合试验的随机性和规律性，让学生理解试验频率和理论概率的关系。 【重点与难点】 重点：1.体会用频率估计概率的必要性和合理性。 2.学会依据问题特点，用频率来估计事件发生的概率。 难点：1.理解频率与概率的关系，2.用频率估计概率解决实际问题。 【学生分析】 学习统计概率的学生并不是难在用频率估计概率，而是难在多大程度上感受用频率估计概率的必要性以及体会用频率估计概率所蕴含的基本思想，然后自觉地运用到实际生活中。所以，要发动学生积极参与，动手实验，在实践中感悟。 【教学方法】 树立以学生为本的思想，通过创设问题情境，利用《问题生成评价单》，以多媒体为教学平台，通过精心设计的问题串和活动系列，采取精讲多练、讲练结合的方法来落实知识点并不断地制造思维兴奋点，让学生脑、嘴、手动起来，充分调动了学生的学习积极性，达到事半功倍的教学效果。而学生在教师的鼓励引导下小结方法，克服思维定势，并通过小组讨论、组际竞赛等多种方式增强学习的成就感及自信心，从而培养浓厚的学习兴趣。 【设计理念】 激发学生的学习兴趣，发展学生的数学才能，在教学过程中充分运用启发和讨论方式，发扬教学民主，关注知识的形成和发展过程，创设情境，培养学生用数学的眼光看世界的意识，发展搜集和处理信息的能力，运用所学的数学知识解释生活中发生的某些现象，从中建立起数学模型，抽象为数学问题，探究和发展其中的变化规律。 【教师准备】 《问题导读---评价单》、《问题生成---评价单》、《问题训练---评价单》 认识概率--知识讲解 【学习目标】 1. 通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件、不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确的判断； 2. 理解概率的定义，通过具体情境了解概率的意义； 3. 理解频率与概率的关系，能利用频率与概率的关系解决实际问题^ 【要点梳理】 要点一、确定事件与随机事件 1. 不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件. 2. 必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件.必然 事件和不可能事件都是确定事件. 3. 随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 要点诠释： （1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型^ （2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机 事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同^ 要点二、频率与概率 1. 概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件 的概率（probability）. 如果用字母A表示一个事件，那么P（A）表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0,且小于等于1的数，即0 < ，其中P（必然 事件）=1 , P（不可能事件）=0 , 0 v P（随机事件）v 1. 所以有：P（不可能事件）v P（随机事件）v P（必然事件）. 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是 随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小^ 2. 频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且 随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性^ 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率—会在某一 n 个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 要点诠释： ①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； ③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件 发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正随机事件的概率知识点总结
25.3用频率估计概率(教案)
(完整版)用频率估计概率讲解
(完整版)苏科版数学八年级下册第8章认识概率(本章复习)
北师大版高中数学必修三第二课时随机事件的频率与概率教案(精品教学设计)
用频率估计概率(1)
条件概率公式
初二认识概率-知识点-测试题及答案
《用频率估计概率》练习1(有答案)
认识概率知识讲解
用频率估计概率(含答案)
条件概率公式
25.3用频率估计概率教学设计
认识概率--知识讲解
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