（第3题）
（第6题）
2017年高考模拟试卷(9)
南通市数学学科基地命题
第Ⅰ卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．
1． 全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}1,3,4A =，则U C A = ▲ ．2． 设复数i z a b =+（a b ∈，R ，i 是虚数单位），若()2i i z -=则a b +的值为 ▲ ．
3． 在如图所示的算法流程图中，若输出的y 的值为26，
则输入的x 的值为 ▲ ．
4． 概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ．
5． 顶点在原点且以双曲线13
22
=-y x 的右准线为准线的抛物线 方程是 ▲ ．
6． 为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n 名学
生的课外阅读时间，所得数据都在[50，150]中， 其频率分布直方图如图所示．已知在[50 100)，
中 的频数为24，则n 的值为 ▲
． 7． 甲，乙两种食物的维生素含量如下表：
100，120单位，则混合物重量的最小值为 ▲ kg ．
8． 60°，则该棱锥的体积
为 ▲ ．
9．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：22(3)2x y +-=，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，
AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 长的取值范围为 ▲ ． 10．若函数 0,
2,()0ln ,≤x x x f x x ax x ?+=?>-?
在其定义域上恰有两个零点，则正实数a 的值为 ▲ ．
12．扇形AOB 中，弦1AB =，C 为劣弧
AB 上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ?
的最小值是 ▲ ．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知(cos sin )A αα，
，(cos sin )B ββ，
是直线y =上的两点，则tan()αβ+的值为 ▲ ．
14．已知函数3()2f x x a a =--+-有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a 的
取值集合为 ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分. 15．(本小题满分14分)
已知tan α＝2，cos β＝－ 72
10
，且α，β∈(0，π)， （1）求cos2α的值； （2）求2α－β的值． 16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ABCD -中，△ACD 是正三角形，BD 垂直平分AC ，垂足为M ，
ABC ∠=120° ，=1PA AB =，2PD =，N 为PD 的中点．
（1）求证：AD ⊥平面PAB ； （2）求证：CN ∥平面PAB ．
17. （本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知A B ，分别是椭圆2
2
221(0)y
x a b a b
+=>>的上、下顶点，
点()
102M ，为线段AO
的中点，AB =.
（1）求椭圆的方程；
（2）设(2)N t ，（0t ≠），直线NA ，NB 分别
交椭圆于点P Q ，，直线NA ，NB ，PQ 的斜率分别为1k ，2k ，3k . ① 求证：P M Q ，，三点共线； D
（第16题）
P
A
P
B
P
C
M N
18．(本小题满分16分)
如图，一个角形海湾AOB ，∠AOB ＝2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l （l 为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择： 方案一：如图1，围成扇形养殖区OPQ ，其中⌒
PQ ＝l ； 方案二：如图2，围成三角形养殖区OCD ，其中CD ＝l ；
（1）求方案一中养殖区的面积S 1 ；
（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S 2＝l 2
4tan θ
；
（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．
19．（本小题满分16分）
已知数列{}n a 的首项为2，前n 项的和为n S ，且111241n n n a a S +-=-（*n ∈N ）．
（1）求2a 的值； （2）设1n
n n n
a b a a +=
-，求数列{}n b 的通项公式；
（3）若m p r a a a ，，（*m p r ∈，，N ，m p r <<，）成等比数列，试比较2p 与
mr 的大小，并证明．
20．（本小题满分16分）
已知函数2
()ln )x
f x e a x b x
=+
+（，其中,a b R ∈． 2.71828e =是自然对数的底数． （1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)y e x =-．求实数,a b 的值；
（2）① 若2a =-时，函数()y f x =既有极大值，又有极小值，求实数b 的取值范围； ② 若2a =，2b ≥-．若()f x kx ≥对一切正实数x 恒成立，求实数k 的最大值
l
l
A
O
B
A
O
B
图1
Q P
A
O
B
C D 图2
（第18题）
2θ
2θ
2θ
1O
2O A
B
P
Q
D
C
第II 卷（附加题，共40分）
21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题．．．．．．．区域内作答．．．．．
. A ，（选修4-1；几何证明选讲）
如图，1O ，2O 交于两点P Q ，，直线AB 过点P ，与1O ，2O 分别交于点A B ，，
直线CD 过点Q ，与1O ，2O 分别交于点C D ，． 求证：AC ∥BD ． B ．（选修4-2：矩阵与变换）
若二阶矩阵M 满足：12583446M ????
= ? ?????
. (1）求二阶矩阵M ；
(2）若曲线2
2
:221C x xy y ++=在矩阵M 所对应的变换作用下得到曲线C '
，求曲线C '
的方程.
C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）
已知点(1)P αα-（其中[
)0,2)απ∈，点P 的轨迹记为曲线1C ，以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q 在曲线21:)
4
C ρπ
θ=
+
上． (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程;
(2)当0,02ρθπ≥≤<时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标． D ．（选修4-5：不等式选讲）
已知实数0x >，0y >，0z >，证明：1239()()2462
y
x z x y z ++++≥．
【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.
22．已知正六棱锥S ABCDEF -的底面边长为2，高为1．现从该棱锥的7个顶点中随机
选取3个点构成三角形，设随机变量X 表示所得三角形的面积．
（1）求概率(P X 的值；
（2）求X 的分布列，并求其数学期望()E X ．
23.已知数列{a n }满足：a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＝(1＋
1n 2
＋n
)a n ＋12n ．
（1）求证：当n ≥2时，a n ≥2；
（2）利用“?x ＞0，ln(1＋x )＜x ”，证明：a n ＜2e 34
(其中e 是自然对数的底数)．
2017年高考模拟试卷(9)参考答案
南通市数学学科基地命题
一、填空题
1. {}2,5．
2. 15.
3.-
4. 4. 0.
5. 5. 26y x =-.
6. 60.
7. 30. 线性规划或待定系数法，设甲、乙混货物分别为x ,y 克，由题意3x+4y 100
5x+2y 120≥??≥?,
设x+y=34)(52)x y x y λ
μ+++（，解得，31==1414
λμ，，即可. 8.
. 9.
[3. 设CA=x,则
PQ=2CPcos PQ ≤<. 10. 1e . 易知函数()f x 在(],0-∞上有一个零点，所以由题意得方程ln 0ax x -= 在()0+∞，上恰有一解，即ln x a =在()0+∞，上恰有一解. 令ln ()x g x x =，2 1ln ()0x g x x -'==，得e x =，当()0,e x ∈时，()g x 单调递增，当()e ,+x ∈∞时，()g x 单调递减，所以()1e e a g ==. 11．9. 223331212922k x x x x x =+ =++≥,也可以求导. 12. 1 16-.设弦AB 中点为M ，则()OP BP OM MP BP MP BP ?=+?=? ， 若MP BP ，同向，则0OP BP ?> ；若MP BP ，反向，则0OP BP ?< ， 故OP BP ? 的最小值在MP BP ，反向时取得， 此时1||||2MP BP += ，2||||1||||()216 MP BP OP BP MP BP +?=-?-=- ≥， 当且仅当 1||||4 MP BP == 时取等号，即OP BP ? 的最小值是116-． 13 ． （方法一）由题意，得sin sin ααββ?=+??=+?? 所以αβ， 是方程sin x x 即方程( ) πsin 3x -5ππ()26k k αβ +=+∈Z ，所以tan()αβ+= （方法二）同上，αβ， sin 0x x -的两根． 设()sin f x x x - ()cos f x x x '=-． 令()0f x '= ，得0tan x =，所以02x αβ+=，所以 （方法三）直线210x y +-=交单位圆于A B ，两点， 过O 作OH AB ⊥，垂足为H ，易知OH = 因为OC 60COH ∠=?，即1502 αβ +=?， 所以tan()tan300αβ+=?= 14．9?-??? .32()322x x a x f x x a x a x ?--?=??--+- ，≥，，， 当x a ≥时，320x x --=，得11x =-，23x =， 结合图形知， ① 当1a <-时，313x -， ，成等差数列，则35x =-，代入3220x a --+-=得，9a =-； ② 当13a -≤≤时，方程3220x a x --+-=，即22(1)30x a x +-+=的根为34x x ， ， 则343x x =，且3432x x +=，解得4x ，又342(1)x x a +=-，所以a . ③ 当3a >时，显然不符合. 所以a 的取值集合95?-??? . 二?解答题:本大题共6小题，共90分． 15． (1)因为tan α＝2，所以 sin α cos α ＝2，即sin α＝2cos α． 又sin 2α＋cos 2α＝1，所以5cos 2α＝1，即cos 2α＝1 5． 所以 cos2α＝2cos 2α－1＝－3 5 ． (2)由α∈(0，π)，且tan α＝2＞1，得α∈(π4，π2)，所以2α∈(π 2，π). 由题知cos2α＝－35，所以sin2α＝4 5． 又因为β∈(0，π)，cos β＝－7210∈(－1，0)，所以β∈(π 2 ，π)， 所以sin β＝ 210，且2α－β∈(－π2，π 2 )． 因为sin(2α－β)＝sin2αcos β－cos2αsin β＝45×(－7210)－(－35)×210＝－2 2， 所以2α－β＝－π 4 ． 16.（1）因为BD 垂直平分AC ，所以BA BC =， 在△ABC 中，因为120ABC ∠=?， 所以30BAC ∠=?． 因为△ACD 是正三角形，所以60DAC ∠=?， 所以90BAD ∠=?，即AD AB ⊥． 因为=1AB ，120ABC ∠ =?，所以AD AC == 又因为1PA =，2PD =，由222PA AD PD +=， 知90PAD ∠=?，即AD AP ⊥． 因为AB AP ?，平面PAB ，AB AP A = ， 所以AD ⊥平面PAB ． （2）（方法一）取AD 的中点H ，连结CH ，NH ． 因为N 为PD 的中点，所以HN ∥PA ， 因为PA ?平面PAB ，HN ?平面PAB ， 所以HN ∥平面PAB ． 由△ACD 是正三角形，H 为AD 的中点， 所以CH AD ⊥． 由（1）知，BA AD ⊥，所以CH ∥BA ， 因为BA ?平面PAB ，CH ?平面PAB ， H P A B C D M N 因为CH HN ?，平面CNH ，CH HN H = ， 所以平面CNH ∥平面PAB ． 因为CN ?平面CNH ， 所以CN ∥平面PAB ． （方法二）取PA 的中点S ， 过C 作CT ∥AD 交AB 的延长线于T ，连结ST ，SN ． 因为N 为PD 的中点，所以SN ∥AD ，且12 SN AD =， 因为CT ∥AD ，所以CT ∥SN ． 由（1）知，AB AD ⊥，所以CT AT ⊥， 在直角△ CBT 中，1BC =，60CBT ∠=? ， 得CT = 由（1）知，AD 12CT AD =， 所以CT SN =． 所以四边形SNCT 是平行四边形， 所以CN ∥TS ． 因为TS ?平面PAB ，CN ?平面PAB ， 所以CN ∥平面PAB ． 17．（1）由题意知，124()2b b =-=， 解得a =1b =， 所以椭圆的方程为2 212x y +=. （2）① 由(2)N t ，，(01)A ， ，(01)B -，，则 直线NA 的方程为11y x t =+， 直线NB 的方程为31y x t =-. P A B C D M N T S 由221122y x t x y ?=+???+=?，得，222422.2t x t t y t ?=-?+?-?=+? ， ，故() 2224222t t t t P -- ++，. 由223122y x t x y ?=-???+=?，得，22 2121818.18t x t t y t ?=?+?-?=+? ， ，故() 222 12181818t t t t Q -++，. 所以直线PM 的斜率22 2 2162482 PM t t t k t t t ---+== -+， 直线QM 的斜率222 181261812818 QM t t t k t t t ---+==+， 所以PM QM k k =，故P M Q ，，三点共线. ② 由①知，11k t =，213k t =，2 368t k t -=. 所以2 1323122 463182t k k k k k k t t t -+-=?-=-， 所以132312k k k k k k +-为定值12 -. 18．(1)设OP ＝r ，则l ＝r ·2θ，即r ＝l 2θ ，所以 S 1＝12lr ＝l 24θ，θ∈(0，π 2 )． (2)设OC ＝a ，OD ＝b ．由余弦定理，得l 2＝a 2＋b 2－2ab cos2θ，所以 l 2≥2ab －2ab cos2θ． 所以 ab ≤l 2 2(1－cos2θ)，当且仅当a ＝b 时“＝”成立． 所以S △OCD ＝12ab sin2θ≤l 2sin2θ4(1－cos2θ)＝l 24tan θ ，即S 2＝l 2 4tan θ． (3)1S 2－1S 1＝4l 2(tan θ－θ)，θ∈(0，π 2 )，． 令f (θ)＝tan θ－θ，则f '(θ)＝(sin θcos θ)'－1＝sin 2θ cos 2θ ． 当θ∈[0，π2)时，f '(θ)＞0，所以f (θ)在区间[0，π 2 )上单调增． 所以，当θ∈(0，π2)时，总有f (θ)＞f (0)＝0，即1S 2－1 S 1 ＞0，即S 1＞S 2． 19． （1）易得2143 a =． （2）由111241n n n a a S +-=-，得11241 n n n n n a a a a S ++-=-， 所以1 1241n n n n n a a S a a ++-= -①． 所以12 121 241n n n n n a a S +++++-= ②， 由②-①，得12112112n n n n n n n n n a a a a a a a a a +++++++= ---． 因为10n a +≠，所以22112n n n n n n a a a a a a ++++= - --． 所以121112n n n n n n a a a a a a +++++ -=--，即12111n n n n n n a a a a a a ++++-=--， 即11n n b b +-=，所以数列{}n b 是公差为1的等差数列． 因为1 1213a b = =，所以数列{}n b 的通项公式为14n b n =-． （3）由（2）知， 114n n n a n a a +=--，所以114311 414 n n a n a n n ++=+=--， 所以1n n a a +=，所以数列41n a n ?? ??-?? 是常数列． 由 1 2a =，所以2(41)3n a n =-． （方法一）由m p r a a a ，，（m p r <<）成等比数列， 则41m -，41p -，41r -成等比数列，所以2(41)(41)(41)p m r -=--， 所以2168164()0p p mr m r --++=，即2424()0p p mr m r --++=（*）． （途径一）（* ）式即为2424()4p p mr m r mr -=-+<-， 所以2211(2))22p -< ，即11222p -<， 所以p <2p mr <． （途径二）（*）式即为24241 p p r m r -+=-． 2222 所以2p mr <． （方法二）由m p r a a a ，，（m p r <<）成等比数列， 则41m -，41p -，41r -成等比数列， 记4m α=，4p β=，4r γ=（1αβγ<<<）， 则有1α-，1β-，1γ-成等比数列， 所以2(1)(1)(1)βαγ-=--，即22()ββαγαγ-=-+． 若2βαγ=，即2p mr =时，则2αγβ+=，所以αβγ==，矛盾； 若2βαγ>，则22()0βαγβαγ-+=->，所以1()12βαγ>+>， 所以[][]2221(2)()()()()()024 αγ ββαγαγαγαγαγαγ+---+>-+--+=->， 矛盾． 所以2βαγ<，即2p mr <． 20． (1) 由题意知曲线()y f x =过点(1,0)，且'(1)e f =； 又因为2 22'()ln e x a f x a x b x x +=- + +? ? ?? ? ， 则有(1)e(2)0,'(1)e()e, f b f a b =+==+=?? ?解得3,2a b ==-. (2) ①当2a =-时，函数()y f x =的导函数2 2'()e 2ln 0x f x x b x =-- +=?? ?? ? ， 若'()0f x =时，得2 22ln b x x =+， 设2 2 ()2ln g x x x =+ (0)x > . 由233 2424 '()x g x x x x -=-=0=，得x =1ln 2g =+. 当0x << 时，'()0g x <，函数()y g x =在区间() 上为减函数，()(1ln 2,)g x ∈++∞1ln 2b >+()b g x =x 2x 12()x x <. 此时，函数()y f x =既有极大值，又有极小值. ②由题意2e ln x a x b x kx + +??≥ ?? ? 对一切正实数x 恒成立，取1x =得(2)e k b ≤+. 下证2e ln e (2)x a x b x b x + +??≥+ ?? ? 对一切正实数x 恒成立. 首先，证明e e x x ≥. 设函数()e e x u x x =-，则'()e e x u x =-，当1x >时，'()0u x >； 当1x <时，'()0u x <；得e e (1)0x x u -=≥，即e e x x ≥，当且仅当都在1x =处取到等号. 再证1ln 1x x + ≥. 设1()ln 1v x x x =+ -，则21'()x v x x -= ，当1x >时，'()0v x >； 当1x <时，'()0v x <；得()(1)0v x v =≥，即1ln 1x x +≥， 当且仅当都在1x =处取到等号. 由上可得2e ln (2)e x a x b x b x + +??≥+ ?? ? ，所以min ()(2)e f x b x ?? =+ ???， 即实数k 的最大值为(2)e b +. 数学Ⅱ（附加题） 21． A. 连结PQ ， 因为四边形ACQP 是1O 的内接四边形， 所以A PQD ∠=∠， 又在2O 中，PBD PQD ∠=∠，所以A PBD ∠=∠， 所以AC ∥BD ． B ．（1） 设1234A ?? = ??? ，则12234A = =-， 1213122A --?? ?∴= ? -?? ， 21582131461122M -?????? ?∴== ? ? ?-???? ?? ． (2）11112x x x x x M M y y y y y -'''-????????????=∴== ? ? ? ? ???'''-???????????? ， 即,2, x x y y x y ''=-??''=-+? 代入22 221x xy y ++=可得 () ()()()2 2 22221x y x y x y x y ''''''''-+--++-+=，即22451x x y y ''''-+=， 故曲线C '的方程为2 2 451x xy y -+=． C. (1)曲线1C ：22(1)2x y ++=，极坐标方程为22cos 10ρθ+-= 曲线2C 的直角坐标方程为1y x =-； (2) 曲线1C 与曲线2C 的公共点的坐标为(0,1)-，极坐标为3(1,)2 π ． D. 因为0x >，0y >，0z >， 所以123x y z ++， 2463y x z ++， 所以1239()()y x z ++++≥． 当且仅当::1:2:3x y z =时，等号成立． 22．（1）从7个顶点中随机选取3个点构成三角形， 共有3 7=35C 种取法．其中X ABF ， 这类三角形共有6个． 因此(3 7 6 6 35 P X C == = ． （2）由题意，X 2 ， 其中X ABF ，这类三角形共有6个； 其中2X =的三角形有两类，如△P AD (3个)，△P AB (6个)，共有9个； 其中X PBD ，这类三角形共有6个； 其中X =CDF ，这类三角形共有12个； 其中X =BDF ，这类三角形共有2个． 因此(635P X = ，()9235 P X ==， (6 35P X = ，(12 35P X ==，(235 P X ==． 所以随机变量X 的概率分布列为： 所求数学期望 ()E X 69612223535353535+?+++． 23． (1)①当n ＝2时，a 2＝2，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2)时不等式成立，即a k ≥2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝(1＋1k (k ＋1))a k ＋1 2k ＞2． 所以，当n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据①，②可知，对所有n ≥2，a n ≥2成立． (2)当n ≥2时，由递推公式及(1)的结论有a n ＋1＝(1＋1n 2＋n )a n ＋12n ≤(1＋1n 2＋n ＋1 2 n ＋1)a n (n ≥2)． 两边取对数，并利用已知不等式ln(1＋x )＜x ，得 ln a n ＋1≤ln(1＋1n 2＋n ＋12n ＋1)＋ln a n ＜ln a n ＋1n 2＋n ＋1 2n ＋1， 故 ln a n ＋1－ln a n ＜1n 2＋n ＋1 2 n ＋1(n ≥2)， 求和可得ln a n －ln a 2＜12?3＋1 3?4＋…＋1 (n －1)n ＋123＋12 4＋…＋1 2n ＝(12－13)＋(13－14)＋…＋(1n －1－1n )＋12 3·1－12n －2 1－12＝12－1n ＋122－12n ＜3 4． 由(1)知，a 2＝2，故有ln a n 2＜3 4，即a n ＜2e 34(n ≥2)， 而a 1＝1＜2e 34，所以对任意正整数n ，有a n ＜2e 3 4．
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