完全平方公式专项练习
知识点：
完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2
两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)2
2、能否运用完全平方式的判定
①有两数和（或差）的平方
即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2
②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。
即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2
-a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2
专项练习：
1．（a ＋2b ）2
2．（3a －5）2
3.．（－2m －3n ）2
4. （a 2－1）2－（a 2＋1）2
5.（－2a ＋5b ）2
6.（－
21ab 2－3
2c ）2 7.（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）
8.（2a ＋3）2＋（3a －2）2
9.（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）；
10.（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2；
11.（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2．
12. 972；
13. 20022；
14. 992－98×100；
15. 49×51－2499．
16.（x －２y ）（x ＋２y ）－（x ＋２y ）2
17.（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ）
18.（２a ＋１）2－（１－２a ）2
19.（３x －y ）2－（２x ＋y ）2＋５x （y －x ）
20.先化简。再求值：（x ＋２y ）（x －２y ）（x 2－４y 2），其中x ＝２，y ＝－１.
21.解关于x 的方程：（x ＋41）2－（x －41）（x ＋41）＝4
1. 2
2.已知x －y ＝９，x ·y ＝５，求x 2＋y 2的值.
23.已知a （a －１）＋（b －a 2）＝－７，求22
2b a +－ab 的值.
24.已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值．
25.已知2a －b ＝5，ab ＝
2
3，求4a 2＋b 2－1的值．
26.已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值． 27.已知 2
()16,4,a b ab +==求22
3a b +与2()a b -的值。 28.已知()5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。
29.已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
30.已知224,4a b a b +=+=求22a b 的值。
31.已知6,4a b ab +==，求22223a b a b ab ++的值。
32. 已知222450x y x y +--+=，求
21(1)2x xy --的值。 33.已知16x x
-=，求221x x +的值。 34.试说明不论x,y 取何值，代数式226415x y x y ++-+的值总是正数。
35.已知m 2+n 2-6m+10n+34=0，求m+n 的值
36.已知0136422=+-++y x y x ，y x 、都是有理数，求y x 的值。
37.已知 2()16,4,a b ab +==求a 2+b 2的值。
38.要使x 2－６x ＋a 成为形如（x －b ）2的完全平方式，则a ，b 的值为多少？
39．如果x ＋x 1＝8，且x >x 1，求x －x
1 的值。
40. 已知m 2＋21m
＝14 求（m ＋m 1）2的值。
41.利用完全平方公式化简(a+b+c+d)2
42.证明：(m-9)2-(m+5)2是28的倍数，其中m 为整数.(提示：只要将原式化简后各项均能被28整除)
43.化简（1-x 2）（1-y 2）-4xy
44.求证：对于任意自然数n ，n(n+5)-(n-3)×(n+2)的值都能被6整除．
45.试证代数式 (2x+3)(3x+2)-6x(x+3)+5x+16的值与x 的值无关．
46.(x+2)2-(x+1)(x-1),其中x=1.5
47.[]x y y x y x y x 25)3)(()2(22÷--+-+,其中21
,2=-=y x
48.)2)(2(2))(2()2(2b a b a b a b a b a +--+--+，其中2,21-==
b a .
49. (2a －3b)(3b ＋2a)－（a －2b ）2,其中：a=－2,b=3
50.有这样一道题，计算：2（x+y ）(x －y)+[（x+y ）2－xy]+ [（x －y ）2
+xy]的值，其中x=2006，y=2007；某同学把“y=2007”错抄成“y=2070”但他的计算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说明理由。 51.已知三角形 ABC 的三边长分别为a,b,c 且a,b,c 满足等式22223()()a b c a b c ++=++，请说明该三角形是什么三角形？
完全平方公式为： 注：1.完全平方公式和平方差公式不同： 形式不同． 结果不同：完全平方公式的结果是三项，即 （a ?b ）2＝a 2 ?2ab+b 2 ; 平方差公式的结果是两项， 即（a+b ）（a?b ）＝a 2?b 2. 2. 解题过程中要准确确定a 和b ，对照公式原形的两边, 做到不丢项、 不弄错符号、2ab 时不少乘2。 3. 口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。 例1 用完全平方公式计算： （1）(2x ?3)2 ； (2) (4x +5y )2 ; (3) (mn ?a )2 练习： 1、计算：2 )221 (y x - (n +1)2－n 2 (2x 2－3y 2)2 2、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 （1）()()x y y x +-+ （2）()()a b b a -- （3）()()ab x x ab +--33 （4）()()n m n m +-- 例2.计算： （1）(-1-2x )2 （2）()()n m n m +--22 （3）)432)(432(-++-y x y x （4）22)32 1()321(b a b a +-
练习： (1)()2c b a -+ (2) (-2x +1) 2 （3))4)(2)(2(22y x y x y x --+ （4）??? ??+-??? ??-b a b a 32132 1 拓展：1.已知31=+ x x ，则=+221x x ________________ 2. 已知131-=x y ，那么2323122-+-y xy x 的值是________________ 3、已知2216)1(2y xy m x +-+是完全平方公式，则m = 4、若22()12,()16,x y x y xy -=+=则=
平方差公式专项练习题 一、选择题 1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a） D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9； ④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 5．计算： （1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）； （2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2． 6．利用平方差公式计算：2009×2007－20082． （1）一变： 22007 200720082006 -?．（2）二变： 2 2007 200820061 ?+． 7．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3，（1－x）（1+x+x2+x3）=1－x4 …… （1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+……+x n）=______．（n为正整数） （2）根据你的猜想计算： ①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ② 2+22+23+……+2n=______（n为正整数）． ③（x－1）（x99+x98+x97+……+x2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a－b）（a+b）=_______． ②（a－b）（a2+ab+b2）=______． ③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______．
半期复习（3）—— 完全平方公式变形公式及常见题型 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二：a b b a b a 4)()(22=--+ ()()22 2222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：杨辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 (1)1=+y x ，则222 121y xy x ++= (2)已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2 222)()1(则= (二）公式变形 (1)设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= (2)若()()x y x y a -=++22，则a 为 (3)如果2 2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 (4)已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 (5)若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是
平方差公式和完全平方 公式练习题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
一、选择题1．平方差公式（a+b）（a－b）=a － b 中字母a，b表示（） A．只能是数 B．只能是单项式 C．只能是多项式 D．以上都可以 2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a） B．（－a+b）（a－b） C．（ a+b）（b－a） D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a －4；②（2a －b）（2a +b）=4a －b ； ③（3－x）（x+3）=x －9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x －y ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若x －y =30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题 5．（－2x+y）（－2x－y）=______． 6．（－3x +2y ）（______）=9x －4y ． 7．（a+b－1）（a－b+1）=____________ 8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____． 9．利用平方差公式计算： （1）2009×2007－2008 ．（2）． 10. 解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）
11．（规律探究题）已知x≠1，计算（1+x）（1－x）=1－x2，（1－x）（1+x+x2）=1－x3， （1－x）（?1+x+x2+x3）=1－x4． （1）观察以上各式并猜想：（1－x）（1+x+x2+…+x n）=______．（n为正整数）（2）根据你的猜想计算： ①（1－2）（1+2+22+23+24+25）=______． ②2+22+23+…+2n=______（n为正整数）． ③（x－1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=_______． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a－b）（a+b）=_______． ②（a－b）（a2+ab+b2）=______． ③（a－b）（a3+a2b+ab2+b3）=______． 12，判断正误 （1）（a-b）=a - b ( ) （2）（-a-b）=（a+b） =a+2ab+b ( ) （3）（a-b）=（b-a） =b-2ab+a （） ( 4) （1）（2x+5y）（2）（ m - n） (3) (x-3) (4)(-2t-1) (5)( x+ y) (6)(-cd+ ) （7）（a+b+c）（8）（a+b+c+d） （1）代数式2xy-x -y =( ) A、（x-y） B、（-x-y） C、（y-x） D、-（x-y） （2）（）-（）等于（） A、xy B、2xy C、 D、0
姓名 ------------- 平方差公式：语言叙述：两数的。 (5+6x)(5-6x)中是公式中的a，是公式中的b ， (5+6x)(-5+6x)中是公式中的a，是公式中的b (x-2y)(x+2y)中是公式中的a，是公式中的b. (-m+n)(-m-n)中是公式中的a，是公式中的 （a+b+c）(a+b-c)中是公式中的a，是公式中的b，（a-b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b （a+b+c）(a-b-c)中是公式中的a，是公式中的b 一、判断题 1．．（） 2．．（） 3．．（） 4．．（） 5．．（） 6．．（） 7．．（） 填空题：(1)a2-4ab+( )＝(a-2b)2 2．．3．．4．． 5．．6．． 7．． 8．． 9．． 10．，则 11．． 12、(2x-1)( )=4x2-1 13、(-4x+ )( -4x)=16x2-49y2 直接运用公式 1.（a+3）(a-3) 2..( 2a+3b)(2a-3b) 3. (1+2c)(1-2c) 4. (-x+2)(-x-2) 5. (2x+1 2 )(2x- 1 2 ) 6. (a+2b)(a-2b) 7. (2a+5b)(2a-5b) 8. (-2a-3b)(-2a+3b)
9、 1998×2002 10、498×502 11、999×1001 12、1.01×0.99 13、30.8×29.2 14、（100-13）×（99-23） 15、（20-19）×（19-8 9 ） 完全平方公式(1) ：(2) 语言叙述：两数的 。 1.填空题 (1)a 2-4ab+( )＝(a-2b)2 (2)(a+b)2-( )＝(a-b)2 2.选择题 (1)下列等式能成立的是( ). A.(a-b)2＝a 2-ab+b 2 B.(a+3b)2＝a 2+9b 2 C.(a+b)2＝a 2+2ab+b 2 D.(x+9)(x-9)＝x 2-9 (2)(a+3b)2-(3a+b)2计算的结果是( ) A.8(a-b)2 B.8(a+b)2 C.8b 2-8a 2 D.8a 2-8b 2 一、计算： 1、2)(y x += 2、2)23(y x - = 3、2)21 (b a + = 4、2)12(--t = 5、2)313(c ab +- = 6、2)2332(y x += 7、2)121 (-x = （8）1022 = （9）1972 = （10）22)3(x x -+= （11）22)(y x y +-= （12）()()2 ()x y x y x y --+- = （13）)4)(1()3)(3(+---+a a a a = （14）22)1()1(--+xy xy = （15）)4)(12(3)32(2+--+a a a = （16）)3)(3(-+++b a b a = （17）)2)(2(-++-y x y x = （18）)3)(3(+---b a b a = （19）2 )72(y x -= （20）2 )52(--a = （21）2 (34)y -= （22）2 (23)m n += （23）2 1(4)2 x y += （24）2 1(3)3 a b += （25）2 13()52 a b + = （26）2(63)m n -=
完全平方公式的综合应用（习题） ? 例题示范 例1：已知12x x - =，求221x x +，441x x +的值． 【思路分析】 ① 观察题目特征（已知两数之差和两数之积11x x ? =，所求为两数的平方和），判断此类题目为“知二求二”问题； ② “x ”即为公式中的a ，“ 1x ”即为公式中的b ，根据他们之间的关系可得：2 221112x x x x x x ??+=-+? ???； ③ 将12x x -=，11x x ?=代入求解即可； ④ 同理，24224221112x x x x x x ??+=+-? ???，将所求的221x x +的值及2211x x ?=代入即可求解． 【过程书写】 例2：若2226100x x y y -+++=，则x =_______，y =________． 【思路分析】 此题考查完全平方公式的结构，“首平方，尾平方，二倍乘积放中央”．
观察等式左边，22x x -以及26y y +均符合完全平方式结构，只需补全即可，根据“由两边定中间，由中间凑两边”可配成完全平方式，得到22(1)(3)0x y -++=． 根据平方的非负性可知：2(1)0x -=且2(3)0y +=，从而得到1x =，3y =-． ? 巩固练习 1. 若2(2)5a b -=，1ab =，则224a b +=____，2(2)a b +=____． 2. 已知3x y +=，2xy =，求22x y +，44x y +的值． 3. 已知2310a a -+=，求221a a +，441a a +的值. 4. （1）若229x mxy y ++是完全平方式，则m =________． （2）若22916x kxy y -+是完全平方式，则k =_______． 5. 多项式244x +加上一个单项式后，能使它成为一个整式的平方，则可以加上 的单项式共有_______个，分别是__________ ______________________________．
乘法公式的拓展及常见题型整理 一．公式拓展： 拓展一：ab b a b a 2)(222-+=+ ab b a b a 2)(222+-=+ 2)1(1222-+=+a a a a 2)1(1222+-=+a a a a 拓展二：a b b a b a 4)()(22=--+ ()()222222a b a b a b ++-=+ ab b a b a 4)()(22+-=+ ab b a b a 4)()(22-+=- 拓展三：bc ac ab c b a c b a 222)(2222---++=++ 拓展四：辉三角形 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 4322344464)(b ab b a b a a b a ++++=+ 拓展五： 立方和与立方差 ))((2233b ab a b a b a +-+=+ ))((2233b ab a b a b a ++-=- 二．常见题型： （一）公式倍比 例题：已知b a +=4，求ab b a ++2 2 2。 ⑴如果1,3=-=-c a b a ，那么()()()2 22a c c b b a -+-+-的值是 ⑵1=+y x ，则222 121y xy x ++= ⑶已知xy ２y x ，y x x x -+-=---2222)()1(则 = (二）公式组合 例题：已知(a+b)2=7,(a-b)2=3, 求值: (1)a 2+b 2 (2)ab
⑴若()()a b a b -=+=22 713，，则a b 22+=____________，a b =_________ ⑵设（5a ＋3b ）2=（5a －3b ）2＋A ，则A= ⑶若()()x y x y a -=++22，则a 为 ⑷如果2 2)()(y x M y x +=+-，那么M 等于 ⑸已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于 ⑹若N b a b a ++=-22)32()32(，则N 的代数式是 ⑺已知,3)(,7)(22=-=+b a b a 求ab b a ++22的值为 。 ⑻已知实数a,b,c,d 满足53=-=+bc ，ad bd ac ，求) )((2222d c b a ++ （三）整体代入 例1：2422=-y x ，6=+y x ，求代数式y x 35+的值。 例2：已知a= 201x ＋20，b=201x ＋19，c=20 1x ＋21，求a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ac 的值 ⑴若499,7322=-=-y x y x ，则y x 3+= ⑵若2=+b a ，则b b a 422+-= 若65=+b a ，则b ab a 3052++= ⑶已知a 2＋b 2=6ab 且a ＞b ＞0，求 b a b a -+的值为 ⑷已知20042005+=x a ，20062005+=x b ，20082005+=x c ，则代数式ca bc ab c b a ---++222的值是 ．
完全平方公式专项练习 知识点： 完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 1、完全平方公式也可以逆用，即a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 2、能否运用完全平方式的判定 ①有两数和（或差）的平方 即：(a+b)2或(a-b)2或(-a-b)2或(-a+b)2 ②有两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。 即：a2+2ab+b2或a2-2ab+b2 -a2-2ab-b2或-a2+2ab-b2 专项练习： 1．（a＋2b）2 2．（3a－5）2 3.．（－2m－3n）2 4. （a2－1）2－（a2＋1）2
5.（－2a ＋5b ）2 6.（－21ab 2－32 c ）2 7.（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ） 8.（2a ＋3）2＋（3a －2）2 9.（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 10.（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2； 11.（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2． 12. 972； 13. 20022； 14. 992－98×100； 15. 49×51－2499． 16.（x －２y ）（x ＋２y ）－（x ＋２y ）2 17.（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ） 18.（２a ＋１）2－（１－２a ）2 19.（３x －y ）2－（２x ＋y ）2＋５x （y －x ） 20.先化简。再求值：（x ＋２y ）（x －２y ）（x 2－４y 2），其中x ＝２，y ＝－１. 21.解关于x 的方程：（x ＋41）2－（x －41 ）（x ＋41）＝41.
完全平方公式专项练习 专项练习： 1（3a －5）2 2．（－2m －3n ）2 3. （a 2－1）2－（a 2＋1）2 4.（－2a ＋5b ）2 5.（－21ab 2－3 2 c ）2 6.（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ） 7.（2a ＋3）2＋（3a －2）2 8.（a －2b ＋3c ）（a ＋2b －3c ）； 9.（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2； 10.（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2． 11. 992－98×100； 12. 49×51－2499； 13.（x －２y ）（x ＋２y ）－（x ＋２y ）2 14.（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ） 15.（２a ＋１）2 －（１－２a ）2 16.（３x －y ）2 －（２x ＋y ）2 ＋５x （y －x ） 17. 先化简，再求值：（x ＋２y ）（x －２y ）（x 2 －４y 2 ），其中x ＝２，y ＝－１. 18.已知x －y ＝９，x ·y ＝５，求x 2＋y 2 的值. 19.(1)已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值．(2).已知a （a －１）＋（b －a 2 ）＝ －７，求2 2 2b a +－ab 的值. 20.(1).已知2a －b ＝5，ab ＝ 2 3 ，求4a 2＋b 2－1的值． (2).已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2 ＋b 2 ，ab 的值．(3).已知 2 ()16,4,a b ab +==求223 a b +与2 ()a b -的值。 21.(1)已知()5,3a b ab -==求2 ()a b +与2 2 3()a b +的值。 (2).已知6,4a b a b +=-=求 ab 与22a b +的值。(3).已知224,4a b a b +=+=求22a b 的值。 (4).已知6,4a b ab +==， 求2 22 2 3a b a b ab ++的值。
完全平方公式专项练习 知识点： 姓名： 完全平方公式：(a+b)2=a 2+2ab+b 2 (a-b)2=a 2-2ab+b 2 两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。 1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2=(a+b)2 a 2-2ab+b 2=(a-b)2 2、能否运用完全平方式的判定： ① 两数和（或差）的平方 即：(a+b)2或 (a-b)2或 (-a-b)2或 (-a+b)2 ② 两数平方，加上（或减去）它们的积的2倍，且两数平方的符号相同。 即：a 2+2ab+b 2或a 2-2ab+b 2 -a 2-2ab-b 2或 -a 2+2ab-b 2 专项练习： 1．（a ＋2b ）2 2.（3a －5）2 3.．（－2m －3n ）2 4. （a 2－1）2－（a 2＋1）2 5.（－2a ＋5b ）2 6.（－21ab 2－3 2c ）2 7.（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ） 8.（2a ＋3）2＋（3a －2）2 9.（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； 10.（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2； 11.（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2． 12. 972； 13. 20022； 14. 992－98×100； 15. 49×51－2499； 16.（x －２y ）（x ＋２y ）－（x ＋２y ）2 17.（a ＋b ＋c ）（a ＋b －c ） 18. (a+b+c+d)2 19.（２a ＋１）2－（１－２a ）2 20.（３x －y ）2－（２x ＋y ）2＋５x （y －x ）
§1．6 完全平方公式（2） 班级： 姓名： 【学习重点、难点】 重点： 1、弄清完全平方公式的结构特点； 2、会进行完全平方公式恒等变形的推导． 难点：会用完全平方公式的恒等变形进行运算． 【学习过程】 ● 环节一：复习填空 ()2_____________a b += ()2_____________a b -= ● 环节二： 师生共同推导完全平方公式的恒等变形 ①()222_______a b a b +=+- ②()222_______a b a b +=-+ ③()()22_______a b a b ++-= ④()()22_______a b a b +--= ● 典型例题及练习 例1、已知8a b +=，12ab =，求22a b +的值 变式训练1：已知5a b -=，22=13a b +，求ab 的值 变式训练2：已知6ab =-，22=37a b +，求a b +与a b -的值 方法小结：
提高练习1：已知+3a b =，22+30a b ab =-，求22a b +的值 提高练习2：已知210a b -=，5ab =-，求224a b +的值 例2、若()2=40a b +，()2=60a b -，求22a b +与ab 的值 小结： 课堂练习 1、（1）已知4x y +=，2xy =，则2)(y x -= （2）已知2()7a b +=，()23a b -=，求=+22b a ________，=ab ________ （3）()()2222________a b a b +=-+ 2、（1）已知3a b +=，4a b -=，求ab 与22a b +的值 （2）已知5,3a b ab -==求2()a b +与223()a b +的值。 （3）已知224,4a b a b +=+=，求22a b 与2()a b -的值。
完全平方公式 典型提高练习题 一、点击公式 1、()2a b ±= ，()2 a b --= ，()()a b b a --= . 2、()222a b a b +=++ =()2a b -+ .3、()()22a b a b +--= . 二、公式运用 1、计算化简 （1） ()()()2222x y x y x y ??+-+-?? （2）2)())((y x y x y x ++--- (3)2)21(1x --- （4）()()z y x z y x 3232+--+ （5）()()2121a b a b -+-- 2、简便计算： （1）（-69.9）2 （2）472-94×27+272 3、公式变形应用： 在公式（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2中，如果我们把a+b ，a-b ，a 2+b 2，ab 分别看做一个整体，那么 只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值． （1）已知a+b =2，代数式a 2-b 2+2a +8b +5的值为 ，已知11 25 ,,7522x y ==代数式 （x +y ）2-（x -y ）2的值为 ，已知2x -y -3=0，求代数式12x 2-12xy +3y 2的值
是 ，已知x=y +4，求代数式2x 2-4x y+2y 2-25的值是 . （2）已知3=+b a ，1=ab ，则22b a +＝ ，44a b += ；若5a b -=，4a b =，则2 2b a +的值为______；()28a b -=，()22a b +=，则ab =_______. （3）已知：x+y =-6，xy =2，求代数式（x-y ）2的值． （4）已知x+y =-4，x-y =8，求代数式x 2-y 2的值． （5已知a+b =3， a 2+b 2=5，求ab 的值. （6）若()()222315x x -++=，求()()23x x -+的值. （7）已知x-y =8，xy =-15，求的值. （8）已知：a 2+b 2=2，ab =-2，求：（a-b ）2的值．
平方差公式专项练习题 A卷：基础题 一、选择题 1．平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2中字母a，b表示（） A．只能是数B．只能是单项式C．只能是多项式D．以上都可以2．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是（） A．（a+b）（b+a）B．（－a+b）（a－b） C．（1 3 a+b）（b－ 1 3 a）D．（a2－b）（b2+a） 3．下列计算中，错误的有（） ①（3a+4）（3a－4）=9a2－4；②（2a2－b）（2a2+b）=4a2－b2； ③（3－x）（x+3）=x2－9；④（－x+y）·（x+y）=－（x－y）（x+y）=－x2－y2． A．1个B．2个C．3个D．4个 4．若x2－y2=30，且x－y=－5，则x+y的值是（） A．5 B．6 C．－6 D．－5 二、填空题 5．（－2x+y）（－2x－y）=______． 6．（－3x2+2y2）（______）=9x4－4y4． 7．（a+b－1）（a－b+1）=（_____）2－（_____）2． 8．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是_____． 三、计算题 9．利用平方差公式计算：202 3 ×21 1 3 ． 10．计算：（a+2）（a2+4）（a4+16）（a－2）．
B卷：提高题 一、七彩题 1．（多题－思路题）计算： （1）（2+1）（22+1）（24+1）…（22n+1）+1（n是正整数）； （2）（3+1）（32+1）（34+1）…（32008+1）－ 4016 3 2 ． 2．（一题多变题）利用平方差公式计算：2009×2007－20082． （1）一变：利用平方差公式计算： 22007 200720082006 -? ． （2）二变：利用平方差公式计算： 2 2007 200820061 ?+ ． 二、知识交叉题 3．（科内交叉题）解方程：x（x+2）+（2x+1）（2x－1）=5（x2+3）． 三、实际应用题 4．广场内有一块边长为2a米的正方形草坪，经统一规划后，南北方向要缩短3米，东西方向要加长3米，则改造后的长方形草坪的面积是多少？ 四、经典中考题 5．（2007，泰安，3分）下列运算正确的是（） A．a3+a3=3a6B．（－a）3·（－a）5=－a8 C．（－2a2b）·4a=－24a6b3D．（－1 3 a－4b）（ 1 3 a－4b）=16b2－ 1 9 a2
完全平方公式提升练习题 一、完全平方公式 1、（－ 21ab 2－3 2c ）2； 2、（x －3y －2）（x ＋3y －2）； 3、（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； 4、若k x x ++22是完全平方式，则k =____________. 5、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 6、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N = 7、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 二、公式的逆用 8．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 9．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 10．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 11．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 12．代数式xy －x 2－4 1y 2等于（ ）2 三、配方思想 13、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____. 14、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 15、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2x xy --=_______.
16、已知x 、y 满足x 2十y 2十 45＝2x 十y ，求代数式y x xy +=_______. 17．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 四、完全平方公式的变形技巧 18、已知 2 ()16,4,a b ab +==求22 3a b +与2()a b -的值。 19、已知2a －b ＝5，ab ＝2 3，求4a 2＋b 2－1的值． 20、已知16x x -=，求221x x +，441x x + 21、0132=++x x ，求（1）221x x +（2）441x x +
半期复习（3）——完全平方公式变形公式及常见题型一．公式拓展： 2a2b2(a b)22ab 22 拓展一：a b(a b)2ab 11211 2 2 2 a(a)2a(a)2 22 a a a a 2a b2a b22a22b2 2 拓展二：(a b)(a b)4ab 22(a b)2(a b)24ab (a b)(a b)4ab 2222 拓展三：a b c(a b c)2ab2ac2bc 拓展四：杨辉三角形 33232 33 (a b)a a b ab b
444362243 4 (a b) a a b a b ab b 拓展五：立方和与立方差 3b a b a ab b 3223b3a b a ab b 22 a()()a()() 第1页（共5页）
二．常见题型： （一）公式倍比 。 2 2 a b 例题：已知 a b =4，求ab 2 1 1 (1) x y 1，则 2 2 x xy y = 2 2 2 2 x y 2 ) 2 (2) 已知x x x y ，xy ( 1) ( 则= ２ ( 二）公式变形 (1) 设（5a＋3b）2=（5a－3b）2＋A，则A= 2 2 (2) 若( x y) ( x y) a ，则a 为 (3) 如果 2 ( ) 2 (x y) M x y ，那么M等于(4) 已知(a+b) 2=m，(a —b) 2=n，则ab 等于 2 (2 3 ) 2 ( ，则N的代数式是(5) 若2a b a b N 3 ) （三）“知二求一” 1．已知x﹣y=1，x 2+y2=25，求xy 的值． 2．若x+y=3 ，且（x+2）（y+2）=12． （1）求xy 的值； 2+3xy+y 2 的值． （2）求x
完全平方公式 知识梳理（在第二页） 1．（a ＋2b ）2＝a 2＋_______＋4b 2． 2．（3a －5）2＝9a 2＋25－_______． 3．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 4．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 5．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 6．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 7．（－2m －3n ）2＝_________． 8．（41s ＋31t 2）2＝_________． 9．4a 2 ＋4a ＋3＝（2a ＋1）2＋_______． 10．（a －b ）2＝（a ＋b ）2－________． 11．a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－______＝（a －b ）2 －__________． 12．（a －b ＋c ）2＝________________________． 13．（a －2b ＋3c －d ）（a ＋2b －3c －d ）＝[（a －d ）－（_____）][（a －d ）＋（_____）]＝（ ）2－（ ）2． 14．（a 2－1）2－（a 2＋1）2 ＝[（a 2－1）＋（a 2＋1）][（a 2 －1）－（______）]＝__________． 15．代数式xy －x 2－ 4 1y 2 等于……………………（ ） （A ）（x －21y ）2 （B ）（－x －21y ）2 （C ）（21y －x ）2 （D ）－（x －2 1y ）2 16．已知x 2（x 2－16）＋a ＝（x 2－8）2，则a 的值 是…………………………（ ） （A ）8 （B ）16 （C ）32 （D ）64 17．如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N 等于……………………… （ ） （A ）18 （B ）±18 （C ）±36 （D ）±64 18．若（a ＋b ）2＝5，（a －b ）2＝3，则a 2＋b 2与ab 的值分别是………………（ ） （A ）8与21 （B ）4与2 1 （C ）1与4 （D ）4与1 19．（1）（－2a ＋5b ）2； （2）（－21ab 2－3 2 c ）2； （3）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； （4）（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； （5）（2a ＋3）2＋（3a －2）2； （6）（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； （7）（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2； （8）（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2． 20．用简便方法计算： （1）972； （2）20022； （3）992－98×100； （4）49×51－2499． 21．求值： （1）已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值． （2）已知2a －b ＝5，ab ＝2 3 ，求4a 2＋b 2－1的值． （3）已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值．
完全平方公式练习题 一、点击公式 1、2 a b = ，2 a b = ，a b b a = . 2、222a b a b + =2a b + . 3、22a b a b = . 二、公式运用 1、计算化简 （1）2222x y x y x y （2）2)())((y x y x y x (3)2 )21(1x （4）z y x z y x 3232（5）2121 a b a b 2、简便计算： （1）（-69.9）2 （2）472-94×27+272 3、公式变形应用： 在公式（a ±b ）2=a 2±2ab+b 2中，如果我们把a+b ，a-b ，a 2+b 2，ab 分别看做一个整体，那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值． （1）已知a+b =2，代数式a 2-b 2+2a+8b+5的值为，已知11 25 ,,7522x y 代数式 （x+y ）2-（x-y ）2的值为，已知2x-y-3=0，求代数式12x 2-12xy+3y 2的值是，已知x=y +4，求代数式2x 2-4xy+2y 2-25的值是. （2）已知3b a ，1ab ，则22b a ＝，44a b = ；若5a b ，4ab ，则2 2b a 的值为______；28a b ，2 2a b ，则ab=_______. （3）已知：x+y =-6，xy=2，求代数式（x-y ）2的值．
（4）已知x+y =-4，x-y=8，求代数式x 2-y 2的值．（5已知a+b =3，a 2+b 2 =5，求ab 的值. （6）若222315x x ，求23x x 的值. （7）已知x-y=8，xy=-15，求的值. （8）已知：a 2+b 2=2，ab=-2，求：（a-b ）2 的值．4、配方法（整式乘法的完全平方公式的反用） （1）如果 522x x y ，当x 为任意的有理数，则y 的值为（）A 、有理数 B 、可能是正数，也可能是负数 C 、正数 D 、负数（2）多项式192x 加上一个单项式后成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式是 ．(填上所有你认为是正确的答案)（3）试证明：不论 x 取何值，代数x 2+4x+92的值总大于0．（4）若2x 2-8x+14=k ，求k 的最小值．
第1页/共3页 完全平方公式提升练习题 一、完全平方公式 （1）（－21ab 2－3 2c ）2； （2）（x －3y －2）（x ＋3y －2）； （3）（x －2y ）（x 2－4y 2）（x ＋2y ）； （4）（2a ＋3）2＋（3a －2）2 （5）（a －2b ＋3c －1）（a ＋2b －3c －1）； （6）（s －2t ）（－s －2t ）－（s －2t ）2；（7）（t －3）2（t ＋3）2（t 2＋9）2． 8.已知x 2－5x +1=0,则x 2+ 21 x =________. 二、完全平方式 1、若k x x ++22是完全平方式，则k = 2、.若x 2－7xy +M 是一个完全平方式，那么M 是 3、如果4a 2－N ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则N = [来源:学#科#网] 4、如果224925y kxy x +-是一个完全平方式，那么k = 三、公式的逆用[来源:Z+xx+https://www.doczj.com/doc/65816685.html,] 1．（2x －______）2＝____－4xy ＋y 2． 2．（3m 2＋_______）2＝_______＋12m 2n ＋________． 3．x 2－xy ＋________＝（x －______）2． 4．49a 2－________＋81b 2＝（________＋9b ）2． 5．代数式xy －x 2－4 1 y 2等于（ ）2 四、配方思想 1、若a 2+b 2－2a +2b +2=0,则a 2004+b 2005=_____. 2、已知0136422=+-++y x y x ，求y x =_______. 3、已知222450x y x y +--+=，求21(1)2 x xy --=_______. 4、已知x 、y 满足x 2十y 2十4 5 ＝2x 十y ，求代数式 y x xy +=_______. 5．已知014642222=+-+-++z y x z y x ，则z y x ++= ． 五、完全平方公式的变形技巧 1、已知 2 ()16,4,a b ab +==求22 3 a b +与2()a b -的值。
完全平方公式的变形与应用 提高培优完全平方公式 222222()2,()2a b a a b b a b a a b b 在使用时常作如下变形： (1) 222222()2,()2a b a b a b a b a b a b (2) 2222()()4,()()4a b a b a b a b a b a b (3) 2222 ()()2()a b a b a b (4) 2222 1 [()()]2a b a b a b (5) 22 1 [()()]2a b a b a b (6) 222222 1 [()()()]2a b c a b b c ca a b b c c a 例1 已知长方形的周长为 40，面积为75，求分别以长方形的长和宽为边长的正方形面积之和是多少？ 解设长方形的长为α，宽为b ，则α+b=20，αb=75. 由公式(1)，有： α2+b 2=(α+b)2-2αb=202-2×75=250. (答略，下同) 例2 已知长方形两边之差 为4，面积为12，求以长方形的长与宽之和为边长的正方形面积. 解设长方形长为 α，宽为b ，则α-b=4，αb=12.由公式(2)，有：(α+b)2=(α-b)2+4αb=42+4×12=64. 例3 若一个整数可以表示为两个整数的平方和， 证明：这个整数的2倍也可以表示为两个整数的平方和 . 证明设整数为x ，则x=α2+b 2(α、b 都是整数).
由公式(3)，有2x=2(α2+b 2)=(α+b)2+(α-b)2.得证 例4 将长为64cm 的绳分为两段，各自围成一个小正方形，怎样分法使得两个正方形面积之和最小？ 解设绳被分成的两部分为x 、y ，则x+y=64. 设两正方形的面积之和为 S ，则由公式(4)，有：S=(x 4)2+(y 4)2=116 (x 2+y 2) =132 [(x+y)2+(x-y)2] =132 [642+(x-y)2]. ∵(x-y)2 ≥０，∴当x=y 即(x-y)2=0时，S 最小，其最小值为 64232=128(cm 2). 例5 已知两数的和为 10，平方和为52，求这两数的积. 解设这两数分别为α、b ，则α+b =10，α2+b 2 =52. 由公式(5)，有： αb=12 [(α+b)2-(α2+b 2)] =12 (102-52)=24. 例6 已知α=x+1,b=x+2,c=x+3. 求：α2+b 2+c 2-αｂ-bc-c α的值. 解由公式(6)有： α2+b 2+c 2-αｂ-bc-αｃ =12 [(α-b)2+(b-c )2+(c-α）2] =12 [(-1)2+(-1)2+22] =12×(1+1+4)=3.