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高数第三章习题答案习题3-1(A)

高数第三章习题答案习题3-1(A)
高数第三章习题答案习题3-1(A)

《高等数学教程》第三章 习题答案

习题3-1 (A)

1. 34=

ξ 2. 14

-=

π

ξ

习题3-2 (A)

1. (1)31 (2) 8

1

- 1)12()11()10(1)9(31)8(21)7()6(21)5(1)4(3)3(31

e e --∞ 习题3-2 (B)

1. n a a a e

e 21)8(1

)7(0)6(2)5(21)4(32)3(1281)2(41)

1(--

2. 连续 4. )(a f '' 5. )0()1(g a '=

???

???

?=+''≠--+'='0

]

1)0([210

]c o s )([]s i n

)([)()2(2

x g x x x x g x x g x x f

(3) 处处连续.

习题3-3

1. 432)4()4(11)4(37)4(2156)(-+-+-+-+-=x x x x x f

2. 193045309)(23456+-+-+-=x x x x x x x f

3. )40(,

)

(cos 3]2)()[sin sin(31tan 4

523<<+++=θθθθx x x x x x x

4.

)10()]

4(4[16!4)4(15)4(5121)4(641)4(41243

2<<-+--

-+---+=θθx x x x x x

5. )10()

(!

)1(2132

<<+-++++=θn n

x

x O n x x x x xe

6. 645.1≈e

7. 430533103.1;3090.018sin )2(1088.1;10724.330)1(--?<≈?<≈R R

8. 12

1)3(2

1)

2(2

3

)

1(-

习题3-4 (A)

1. 单调减少

2. 单调增加

3. .),2

3()23

,()1(内单调下降在内单调上升;在+∞-∞ .),2[]2,0()2(内单调增加在内单调减少;在+∞ .),()3(内单调增加在+∞-∞

.),2

1()21,()4(内单调增加在内单调减少;在+∞-∞ .),[]0[)5(内单调下降

在上单调上升;,在+∞n n 7. (1) 凸 (2) 凹 (3)内凸内凹,在在),0[]0,(+∞-∞ (4)凹

8. ),(内凹,拐点内凸,在)在(82),2[]2,(1-+∞-∞ ),(内凹,拐点内凸,在)在(22

2),2[]2,(2e

+∞-∞

内凹,无拐点)在(),(3+∞-∞

),(),(:内凹,拐点,内凸,在),,)在(2ln 1;2ln 1]11[1[]1,(4--∞+--∞

,(内凸,拐点内凹,在)在(3arctan 2

1),21[]21,(5e +∞-∞ ),(凹,拐点),、凸,在、)在(001[]0,1[]1,0[]1,(6∞+---∞

9. 2

9,32

=

-=b a 10. a = 3, b = -9, c = 8

11. a = 1, b = -3, c = 24, d = 16

习题3-4 (B)

1. .)1,2

1(),1()21

,0()0,()1(内单调增加在内单调减少;、、在∞+-∞

.]22,32[]32,2[)2(内单调下降

在内单调上升;在π

ππππππ+++k k k k .],32

[),[]32,()3(内单调下降

在内单调上升;、在a a a a ∞+-∞ 2. .1

)3(10)2(1)1(是有一个实根时有两个实根时无实根e

a e a e a =<<>

3. .)2

,

0(内只有一个实根在π

8. .9

3

20时及当=

≤k k 9. 在)(凹,拐点凹,在2,),[],(a b b b +∞-∞ 12. 8

2

±

=k 习题3-5 (A)

1. .1)2(,5)0()1(==y y 极小值极大值 .0)0(,4)2()2(2==-y e y 极小值极大值 .25)16(,1)4()3(==y y 极小值极大值

.205101)512(

)4(=y 极大值 .4

5

)43()5(=y 极大值

.0)0()6(=y 极小值

(7) 没有极值. .)

()8(1

e e e y =极大值

.3)1()9(=y 极大值 .0)5()1(,188

81)21()10(3

==-=

y y y 极小值极大值 2. .14)2(,11)3()1(-==y y 最小值最大值

.22)2ln 2

1(,2)1()2(1=-+=-y e e y 最小值最大值 .2ln )4

1(,0)1()3(-==y y 最小值最大值

3. 提示:可导函数的极值点必为驻点,.在题设条件下无驻点

所以可证明y ' 4. .29)1(-=y 最大值 5. .27)3(=-y 最小值 6. .3)3

2

(,2为极大值==f a 7. .2

1,2-=-=b a 8. 长为100m ,宽为5m. 9. .1:1:;22,233

===h d v h v r π

π 10. .44π

πππ++a

a ,正方形周长为圆的周长为

11. .3

8

43a a h π时,最小体积为锥体的高为= 12. .22.1.77

6

小时时间为公里处应在公路右方 13. .6000)2(1000

)1(==x x

14. .45060075.3元件,每天最大利润为元,进货量为定价为 15. .167080,101利润=p

习题3-5 (B)

1. 1,0,4

3

,41==-==

d c b a 2. x = 1为极小点,y (1) = 1为极小值

3. 当c = 1时,a = 0,b = -3,当c = -1时,a = 4,b = 5.

4. 296)(23++-=x x x x P

5. (1) f (x ) 在x = 0处连续;(2) 当e

x 1

=时,f (x ) 取极小值;当 x = 0时f (x ) 取极大值. 6. 3

10=

x 当时,三角形面积最小

7. 32

3)2()

(11)1(03

2

=

--

=-

l x x x x y 8. .1222-≥

b

c a 2 11. c a e b

d L a

e b

d q -+-=+-=)

(4)(,)(2)1(2最大利润

eq

ed

d -=

η)2( e

d q 21)3(=

=得当η 12. 2)2()4(2

5

)1(=-=

t t x

13. 156250元

14. (1) 263.01吨 (2) 19.66批/年 (3)一周期为18.31天 (4)22408.74元 15. 2)2()1

11(1)()1(-+-+=

e n n n n M n

16. 提示:.)1()1(ln )1()(22是极小值,证明令f x x x x f ---=

习题3-6 (A)

1. (1) x = 0, y = 1; (2) x = -1, y = 0; (3) x = -1, x = 1, y = 0 ; (4) x = 1, x = 2, x = -3.

2. 略

习题3-6 (B)

1. e

x y e x 1,1)1(+

=-= (2)x= -1,x=1,y= -2 (3)y=x, x=0 (4)y= -2, x=0 4

121,21)5(-=-=x y x 2. 略

习题3-7 (A)

1. k=2

2. x x k sec ,cos ==ρ

3. 0

2sin 32

t a k =

4. a a k t 4,41

,==

=ρπ 5. 2

33)22ln ,22(处曲率半径有最小值- 习题3-7 (B)

1. 略

2. ???

? ??++=)2(),2(,

33232313232

3131

x a y y a x axy

R 曲率圆心

3. 8)2()3(22=++-ηξ

4. 约1246 (N) [提示:作匀速圆周运动的物体所受的向心力为R

mv F 2

=]

5. 16

125

)49()410(22=

-+--ηπξ 习题3-8

1.

19.018.0<<ξ 2. 19.020.0-<<-ξ 3. 33.032.0<<ξ 4. 51.250.2<<ξ

总复习题三

一. (1)B (2)B (3)B (4)D (5)C (6)B (7)C (8)B (9)C (10)C] 二. 2

5

)

8(/82)7()0,1()6(3)5(63)4()22,22()3(2ln 1)2(2)1(3s cm π+--

x x x x

e

y

x y 4)1(,)

1(4)10()9(222

2+++

=

三. 9)3(0)2(3)1(,754

1,6,

50,40,31,22

1

,12

3--

-

e

??????

?=-''≠++-'='-0

)1)0((2

10

)1()()()()1(,82x g x x e x x g x g x x f x

上连续在),()()2(+∞-∞'x f 9, 略

四、证明题和应用题 6.)027.0,025.0()2(450449)1(

7.)2,2(

b a P

8.

12ln 3

1

,2ln 3121-+ 9.%82.0%13)3(17

3)

2(20)

1(总收益增加,时,若价格上涨当=-p p

p

10.略

高等数学下试题及参考答案

高等数学下试题及参考 答案 内部编号:(YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128)

华南农业大学期末考试试卷(A 卷 ) 2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学A Ⅱ 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =,(4,1,10)b =-,c b a λ=-,且a c ⊥,则λ= 。 3.经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4.设yz u x =,则du = 。 5.级数11 (1)n p n n ∞ =-∑,当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.微分方程2()'xy x y y +=的通解是 ( ) A .2x y Ce = B .22x y Ce = C .22y y e Cx = D .2y e Cxy =

2 .求极限(,)(0,0)lim x y →= ( ) A .14 B .12- C .14- D .12 3.直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 ( ) A .直线L 平行于平面π B .直线L 在平面π上 C .直线L 垂直于平面π D .直线L 与平面π斜交 4.D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ,则D σ= ( ) A .33()2 b a π- B .332()3 b a π- C .334()3 b a π - D . 3 33()2 b a π- 5.下列级数收敛的是 ( ) A .11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B .2111n n n ∞=++∑ C .1 1 21n n ∞ =-∑ D .n ∞ = 三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =,2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ,其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

高数习题集(附答案)

第一章 函数与极限 §1 函数 必作习题 P16-18 4 (5) (6) (8),6,8,9,11,16,17 必交习题 一、一列火车以初速度0v ,等加速度a 出站,当速度达到1v 后,火车按等速运动前进;从 出站经过T 时间后,又以等减速度a 2进站,直至停止。 (1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式; (2) 作出函数)(t v v =的图形。 二、 证明函数1 2+= x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性: (1)x x x f 1sin )(2= ; (2)1 212)(+-=x x x f ; (3))1ln()(2++=x x x f 。 四、 证明:若)(x f 为奇函数,且在0=x 有定义,则0)0(=f 。

§2 初等函数 必作习题 P31-33 1,8,9,10,16,17 必交习题 一、 设)(x f 的定义域是]1,0[,求下列函数的定义域: (1))(x e f ; (2))(ln x f ; (3))(arcsin x f ; (4))(cos x f 。 二、(1)设)1ln()(2x x x f +=,求)(x e f -; (2)设23)1(2+-=+x x x f ,求)(x f ; (3)设x x f -= 11)(,求)]([x f f ,})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x

三、设)(x f 是x 的二次函数,且1)0(=f ,x x f x f 2)()1(=-+,求)(x f 。 四、设???>+≤-=0, 20, 2)(x x x x x f ,???>-≤=0, 0,)(2x x x x x g ,求)]([x g f 。

高等数学下册试题及答案解析word版本

高等数学(下册)试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则 =++?? ∑ ds y x )122 ( 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续; (B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C ) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时,是无穷小; (D )0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于( ) (A )4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ;

高等数学1(理工类)第1章答案

高等数学第一章习题 一、填空 1.设)(x f y =的定义域是]1,0(,x x ln 1)(-=?,则复合函数)]([x f y ?=的定义域为),1[e 2. 设)(x f y =的定义域是[1,2],则)1 1 ( +x f 的定义域 [-1/2,0] 。 3.设?? ?≤<-≤≤=2 11 101 )(x x x f , 则)2(x f 的定义域 [0,1] 。 5.设)(x f 的定义域为)1,0(,则)(tan x f 的定义域 Z k k k x ∈+ ∈,)4 ,(π ππ 6. 已知2 1)]([,sin )(x x f x x f -==φ,则)(x φ的定义域为 22≤≤-x 。 7. 设()f x 的定义域是[]0,1,则()x f e 的定义域(,0]-∞ 8.设()f x 的定义域是[]0,1,则(cos )f x 的定义域2,22 2k k π πππ?? -+ ??? ? 9. x x sin lim x ∞→= 0 10.()()()=+-+∞→17 6 1125632lim x x x x 176 5 3。 11.x x x )2 1(lim -∞ →= 2 e - 12.当∞→x 时, x 1 是比3-+x 13.当0→x 时,1132-+ax 与1cos -x 为等价无穷小,则=a 2 3- 14.若数列}{n x 收敛,则数列}{n x 是否有界 有界 。 15.若A x f x x =→)(lim 0 (A 为有限数),而)(lim 0 x g x x →不存在, 则)]()([lim 0 x g x f x x +→ 不存在 。 16.设函数)(x f 在点0x x =处连续,则)(x f 在点0x x =处是否连续。( 不一定 ) 17.函数2 31 22 ++-= x x x y 的间断点是-1、-2 18. 函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在该点处有定义的充分条件;函数)(x f 在0x 处有定义是)(x f 在该点处有极限的无关条件。(填:充要,必要,充分,既不充分也不必要,无关)。 19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的 充要 条件,是函数连续的 必要 条件。(填:充分、必要、充要、既不充分也不必要)

高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题:(本题共5小题,每小题4分,满分20分,把答案直接填在题中横线上) 1、已知向量a 、b 满足0a b +=,2a =,2b =,则a b ?= .

2、设ln()z x xy =,则32 z x y ?=?? . 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 . 4、设()f x 是周期为2π的周期函数,它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =,则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ,在x π=处收敛于 . 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段,则 ()L x y ds +=? . ※以下各题在答题纸上作答,答题时必须写出详细的解答过程,并在每张答题纸写上:姓名、学号、班级. 二、解下列各题:(本题共5小题,每小题7分,满分35分) 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程. 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积. 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛?如果是收敛的,是绝对收敛还是条件收敛? 4、设(,)sin x z f xy y y =+,其中f 具有二阶连续偏导数,求2, z z x x y ?????. 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部. 三、(本题满分9分) 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆,求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值. (本题满分10分) 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? , 其中m 为常数,L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>. 四、(本题满分10分) 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数.

最新高等数学下考试题库(附答案)

《高等数学》试卷1(下) 一.选择题(3分?10) 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ). A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2,则有( ). A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是( ). A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1n n n x 的收敛域为( ). A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞=?? ? ??02在收敛域内的和函数是( ).

A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ). A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题(4分?5) 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ,则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题(5分?6) 1.设v e z u sin =,而y x v xy u +==,,求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定,求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径). 四.应用题(10分?2) 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱,问长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省? . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.

大学高等数学下考试题库(及答案)

一.选择题(3分?10) 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M ( ). A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2,则有( ). A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是( ). A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为( ). A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是( ). A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为( ). A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题(4分?5) 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ,其中点()1,1,2-B ,则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ,则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题(5分?6) 1.设v e z u sin =,而y x v xy u +==,,求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定,求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ,其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图,求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积(R 为半径). 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题(10分?2)

高数第一章深刻复习资料

第一章 预备知识 一、定义域 1. 已知()f x 的定义域为(,0)-∞ ,求(ln )f x 的定义域。答案:(0,1) 2. 求32233 ()6 x x x f x x x +--=+- 的连续区间。提示:任何初等函数在定义域范围内都是连续的。 答案:()()(),33,22,-∞--+∞ 二、判断两个函数是否相同? 1. 2 ()lg f x x = ,()2lg g x x = 是否表示同一函数?答案:否 2. 下列各题中,()f x 和()g x 是否相同?答案:都不相同 ()2ln 1 (1) (),()1 1 (2) (),()sin arcsin (3) (),()x x f x g x x x f x x g x x f x x g x e -==-+==== 三、奇偶性 1. 判断()2 x x e e f x --= 的奇偶性。答案:奇函数 四、有界性 , 0?∈?>x D K ,使()≤f x K ,则()f x 在D 上有界。 有界函数既有上界,又有下界。 1. ()ln(1)f x x =- 在(1,2) 内是否有界?答案:无界 2. 221x y x =+ 是否有界?答案:有界,因为2 2 11<+x x 五、周期性 1. 下列哪个不是周期函数(C )。 A .sin , 0y x λλ=> B .2y = C .tan y x x = D .sin cos y x x =+ 注意:=y C 是周期函数,但它没有最小正周期。 六、复合函数 1. 已知[]()f x ? ,求()f x 例:已知10)f x x x ??=> ??? ,求()f x 解1:

高数下试题及答案

第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分,共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑(a >0),当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 ( ) (A )通过y 轴 (B )通过x 轴 (C )垂直于y 轴 (D )平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y ',()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 ( ) (A )充要条件 (B )充分但非必要条件 (C )必要但非充分条件 (D )既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+,则10 x y dz ===( ) (A )e (B )()e dx dy +

(C )1()e dx dy -+ (D )()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛, 则此级数在2x =处( ) (A )敛散性不确定 (B )发散 (C )条件收敛 (D )绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是( ) (A )212 1x y e =- (B )212 1x y e -=- (C )212 x y Ce -= (D )212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-,而且通过直线43521 x y z -+==, 求该平面方程. 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数, 试求z x ??和2z x y ???. 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???, 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤. 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?,

高等数学-第一章-1-5-作业答案

第49页 习题1-5 1 计算下列极限 (1)225 lim 3 x x x →+- 将2x =代入到25 3x x +-中,由于解析式有意义,因此 222525 lim 9323x x x →++==--- (2 )2231 x x x -+ 将x =223 1 x x -+中,解析式有意义,因此 ()22 2 233 01 1 x x x --= =++ (3)22121 lim 1 x x x x →-+- 将1x =代入到解析式中,分子为0,分母为0,因此该极限为 型,因式分解,可得 ()()()()()2 221111121 0lim lim lim 011112 x x x x x x x x x x x →→→---+====-+-+ (4)322042lim 32x x x x x x →-++ 将0x =代入到解析式中,分子为0,分母为0. 因此该极限为 型,因式分解,可得 ()()()() 22322000421421421lim lim lim 3232322x x x x x x x x x x x x x x x x →→→-+-+-+===+++ (5)()2 2 lim h x h x h →+- 将0h =代入到解析式中,分子为0,分母为0. 因此该极限为 型,因式分解,可得 ()()()2 2 2lim lim lim 22h h h x h x x h h x h x h h →→→+-+==+=

(6)211lim 2x x x →∞ ??- + ??? 由于lim 22x →∞ =,1lim 0x x →∞??- = ???,22lim 0x x →∞?? = ??? 因此由极限四则运算法则可知 221112lim 2lim 2lim lim 2002x x x x x x x x →∞ →∞→∞→∞?????? - +=+-+=++= ? ? ??????? (7)221 lim 21 x x x x →∞--- 当x →∞时,分子→∞,分母→∞,因此该极限为∞ ∞ 型,分子分母同时除以x 的最高次项,也就是2 x ,再利用极限四则运算法则,可知: 2 2 2 2221 1 1lim1lim 1101lim lim 1111 212002 2lim 2lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞- ---====-------- (8)242lim 31 x x x x x →∞+-+ 当x →∞时,分子→∞,分母→∞,因此该极限为∞ ∞ 型,分子分母同时除以x 的最高次项,也就是4 x ,再利用极限四则运算法则,可知: 2 2323422424 1111lim lim 00lim lim 0113131100 13lim1lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞++++====-+-+-+-+ (9)22468 lim 54 x x x x x →-+-+ 4x =代入到解析式中,分子为0,分母为0. 因此该极限为 型,因式分解,可得 ()()()()2244424682422 lim lim lim 54141413 x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+---- (10)211lim 12x x x →∞ ???? + - ???????

高数第一章答案

第一章 函数,极限与连续 第一节 函数 一、集合与区间 1.集合 一般地说,所谓集合(或简称集)是指具有特定性质的一些事物的总体,组成这个集合的事物称为该集合的元素。 由有限个元素组成的集合称为有限集。 由无穷多个元素组成的集合称为无限集。 不含任何元素的集合称为空集。 数集合也可以称为(数轴上的)点集。区间是用得较多的一类数集。 设a,b 为实数,且a0。开区间),(δδδ+-a a 称为点a 的δ邻域,记作),(δa U ,即}|{),(δδδ+<<-=a x a x a U 。其中a 叫作这个邻域的中心,δ称为这个邻域的半径。 在点a 的领域中去掉中心后,称为点a 的去心邻域,记作),(),(}||0|{),(),,(0 0δδδδδ+?-=<-<=a a a a a x x a U a U 即 二、函数概念 定义:设x 和y 是两个变量,若对于x 的每一个可能的取值,按照某个法则f 都有一个确定的y 的值与之对应,我们称变量y 是变量x 的函数,记为y =)(x f .这里称x 为自变量,y 为因变量。自变量x 的所以可能取值的集合称为定义域,记为D(f);因变量y 的相

高等数学下册试题及参考答案

高等数学下册试题 一、选择题(每题4分,共20分) 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点,向量 AB 的模是:( A ) A )5 B ) 3 C ) 6 D )9 解 ={1-1,2-0,1-2}={0,2,-1}, |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2},求c =3a -2b 是:( B ) A ){-1,1,5}. B ) {-1,-1,5}. C ) {1,-1,5}. D ){-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2},求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; ( A ) A )-i -2j +5k B )-i -j +3k C )-i -j +5k D )-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是:(C ) A )2π B )4π C )3 π D )π 解 由公式(6-21)有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α, 因此,所求夹角 32 1 arccos π α= =. 5. 求平行于z 轴,且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程.是:(D ) A )2x+3y=5=0 B )x-y+1=0 C )x+y+1=0 D )01=-+y x . 解 由于平面平行于z 轴,因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点,所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,,以此代入所设方程并约去)0(≠D D ,便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6.微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

高等数学上册第六版课后习题图文详细答案第一章

高等数学上册第六版课后习题详细答案(图文) 习题1-1 1. 设A =(-, -5)?(5, +), B =[-10, 3), 写出A ?B , A B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +), A B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +), A \(A \ B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A B ) C =A C ?B C . 证明 因为 x (A B )C x ?A B x ?A 或x ?B x A C 或x B C x A C ?B C , 所以 (A B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A X , B X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A B )f (A )f (B ). 证明 因为 y f (A ?B )x ∈A ?B , 使f (x )=y (因为x ∈A 或x ∈B ) y f (A )或y f (B ) y f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y f (A B )x ∈A B , 使f (x )=y (因为x ∈A 且x ∈B ) y f (A )且y f (B ) y f (A )f (B ), 所以 f (A B )f (A )f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x X , 有I X x =x ; 对于每一个y Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y Y , 有x =g (y )X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射. 又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2)g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射. 对于映射g : Y →X , 因为对每个y Y , 有g (y )=x X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射. 5. 设映射f : X →Y , A X . 证明: (1)f -1(f (A ))?A ;

高等数学(下册)期末复习试题及答案演示教学

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题(共21分 每小题3分) 1.曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z . 2.直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π. 3.设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=,则= )1,1,1(grad f }6,4,2{. 4.设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛,则=∞ →n n u lim 0 . 5.设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+. 6.全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =. 7.写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*. 二、解答题(共18分 每小题6分) 1.求过点)1,2,1(-且垂直于直线? ??=+-+=-+-020 32z y x z y x 的平面方程. 解:设所求平面的法向量为n ,则{ }3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2.将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分,其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z +=所围成的区域. 解: πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3.计算二重积分??+-= D y x y x e I d d ) (22,其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-= 20 20 d d 2 r r e I r π θ??--=-202 20)(d d 212 r e r πθ?-?-=202 d 22 1r e π)1(4--=e π 三、解答题(共35分 每题7分) 1.设v ue z =,而2 2y x u +=,xy v =,求z d . 解: )2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2.函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定,求 y z x z ????,. 解:令xyz e z y x F z -=),,(, (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??, xy e xz F F y z z z y -=-=??. (7分) 3.计算曲线积分?+-L y x x y d d ,其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段. 解:添加有向辅助线段OA ,有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ,根据格 林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)

《高等数学一》第一章-函数--课后习题(含答案解析)

第一章函数 历年试题模拟试题课后习题(含答案解析)[单选题] 1、 设函数,则f(x)=() A、x(x+1) B、x(x-1) C、(x+1)(x-2) D、(x-1)(x+2) 【正确答案】B 【答案解析】 本题考察函数解析式求解. ,故 [单选题] 2、 已知函数f(x)的定义域为[0,4],函数g(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域是(). A、[1,3] B、[-1,5] C、[-1,3] D、[1,5] 【正确答案】A 【答案解析】x是函数g(x)中的定义域中的点,当且仅当x满足0≤x+1≤4且0≤x-1≤4 即-1≤x≤3且1≤x≤5也即1≤x≤3,由此可知函数g(x)的定义域D(g)={x|1≤x≤3}=[1,3]. [单选题] 3、 设函数f(x)的定义域为[0,4],则函数f(x2)的定义域为(). A、[0,2] B、[0,16] C、[-16,16] D、[-2,2] 【正确答案】D 【答案解析】根据f(x)的定义域,可知中应该满足: [单选题] 4、 函数的定义域为(). A、[-1,1] B、[-1,3] C、(-1,1) D、(-1,3) 【正确答案】B 【答案解析】 根据根号函数的性质,应该满足: 即 [单选题]

写出函数的定义域及函数值(). A、 B、 C、 D、 【正确答案】C 【答案解析】 分段函数的定义域为各个分段区间定义域的并集, 故D=(-∞,-1]∪(-1,+∞). [单选题] 6、 设函数,则对所有的x,则f(-x)=(). A、 B、 C、 D、 【正确答案】A 【答案解析】本题考察三角函数公式。 . [单选题] 7、 设则=(). A、 B、

高等数学 第一章 1.1 作业答案

习题1-1 第34页 第4题 求下列函数的自然定义域 (1)由题意知:320x +≥,解得23x ≥-. 因此x 的定义域为)2,3?-+∞?? 备注:偶次根式的被开方数应该大于等于零。 (2)由题意知:2 10x -≠,解得:1x ≠±. 因此x 的定义域为()()(),11,11,-∞-?-?+∞ 备注:分式的分母不能为零 (3)由题意可知: 2010x x ≠??-≥? 解得 011 x x ≠??-≤≤? 因此,函数的自然定义域为[)(]1,00,1-? 备注:偶次根式的被开方数应该大于等于零;分式的分母不能为零 (4)由题意可知: 224040 x x ?-≥??-≠?? 解得:22x -<< 因此函数的自然定义域为()2,2- 备注:偶次根式的被开方数应该大于等于零;分式的分母不能为零 (5)由题意知 0x ≥ 因此函数的自然定义域为[)0,+∞ 备注:偶次根式的被开方数应该大于等于零 (6)由题意可知: 12x k π π+≠+,k Z ∈ 解得:12x k π π≠+-

因此函数的自然定义域为1,2x x k k Z ππ? ?≠+-∈???? 备注:tan x 的定义域为,2x x k k Z ππ? ?≠+∈???? (7)由题意知: 131x -≤-≤ 解得:24x ≤≤ 因此函数的自然定义域为[]2,4 备注:arcsin x 的定义域为[]1,1- (8)由题意可知: 300 x x -≥??≠? 解得:30x x ≤?? ≠? 因此函数的自然定义域为()(],00,3-∞? 备注:偶次根式的被开方数应该大于等于零;分式的分母不能为零 arctan x 的自然定义域为R (9)由题意知: 10x +> 解得:1x >- 因此函数的自然定义域为()1,-+∞ 备注:对数函数的真数要大于零

高等数学下册试卷及答案

高等数学(下册)考试试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 2 2 >+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则 =++?? ∑ ds y x )122 ( 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是( ) (A )),(y x f 在),(00y x 处连续; (B )),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C ) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时,是无穷小; (D )0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A )y x +; (B )x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于( )

高数第一章答案

高数第一章 -Microsoft-Word- 文档

1.解:⑴相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R;由X2x知两函数的对应法则也相同;所以两函数相 (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数f(x)的定义域是{XX R,X 1},而函数g(x) 的定义域是实数集R,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2.解:(1)要使函数有意义,必须 4x0 x 0 所以函数的定义域是( (2)要使函数有意义 x 3 0 lg(1 x) 0 x 4 即x 0 ,0) U(0,4] ■必须 即 所以函数的定义域是[-3,0) U (0,1). (3)要使函数有意义x2 1 0 即x 1 所以函数的定义域是( (4)要使函数有意义

1 x 0 ,1)U( 1,1)U(1, 必须 1 s i n x 1 2si nx 1 即 2 n 5 n 7 n 2k n x 2k n 2k n x 2k n 6 或6 6 必须 ,(k 为整数).

所以函数的定义域是[i k n ,6k n , k 为整数. 3. 解:由已知显然有函数的定义域为 (-s ,+x), i . i 又当x 0时,X 可以是不为零的任意实数,此时,sin x 可以取遍[-1,1]上所有的值,所以函数的值域为 [-1,1]. 为反函数. 1 X x 1 __y 8.解:(1)由y 「解得 1 y , 1 x 1 x 所以函数y 「的反函数为y c (x 1) . (2)由 y ln(x 2) 1 得 x e y 1 2, 所以函数y ln(x 2) 1的反函数为y e x1 2 (x R). 也即 n k n x n k n 6 6 (k 为整数). 4.解: 1 f(0) - 1 0 1 0 f( x) 1 ( x) 1 ( x) 1, 1 x 1 0 5.解: f(x 1) (x 1) 1, 0 x 1 2 6.解: f (g(x)) 2g(x) ?xl nx 1 丄 X x 1 Fl g(f(x)) f(f(x)) g(g(x)) g(x)ln g(x) xlnxln(xln x). 7.证:由y 2x 3 1 解得x 故函数 f (x) 2 x 3 g(x) G 1 是同一个函数,所以f(x) 1 的反函数是 x 1 2 (x R) ,这与 2x 3 1 和 g(x) 1 x' 1, 0 x 1 x, 1 x 3 f(x)ln f(x) 2x ln2x (xln 2) 2x , 2f(x) ?2x y 1 y

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