2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1
n (n ＋1)
，则S 5等于( )
A ．1 B.5
6 C.16D.130
B [∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1
，
∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5
6.]
3．(2016·广东中山华侨中学3月模拟)已知等比数列{a n }中，a 2·a 8＝4a 5，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 5，则数列{b n }的前9项和S 9等于( )
A ．9
B ．18
C ．36
D ．72
B [∵a 2·a 8＝4a 5，即a 25＝4a 5，∴a 5＝4， ∴a 5＝b 4＋b 6＝2b 5＝4，∴b 5＝2， ∴S 9＝9b 5＝18，故选B.]
已知等差数列{a n }中，2a 2＋a 3＋a 5＝20，且前10项和S 10＝100. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝
1
a n a n ＋1
，求数列{b n }的前n 项和． [解](1)由已知得????
?
2a 2＋a 3＋a 5＝4a 1＋8d ＝20，10a 1＋10×9
2d ＝10a 1＋45d ＝100，
解得???
a 1＝1，
d ＝2，
3分
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.5分 (2)b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝
12? ????12n －1－12n ＋1，8分 所以T n ＝12? ?
???1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1
＝12?
????1－12n ＋1＝n 2n ＋1.12分
已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝15.
(1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
2
n
n
a a ，求数列{
b n }的前n 项和T n . [解](1)设等差数列{a n }的公差为d ，首项为a 1. ∵S 3＝6，S 5＝15，
∴?????
3a 1＋12×3×(3－1)d ＝6，5a 1＋1
2×5×(5－1)d ＝15，即???
a 1＋d ＝2，a 1
＋2d ＝3， 解得?
??
a 1＝1，d ＝1.3分
∴{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×1＝n .5分 (2)由(1)得b n ＝a n 2a n
＝n
2n ，6分
∴T n ＝12＋222＋3
23＋…＋n －12n －1＋n 2n ，①
①式两边同乘1
2， 得
12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n
2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1
＝12? ?
???1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －
n 2n ＋1，10分 ∴T n ＝2－1
2n －1－n
2n .12分
一、选择题
1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1
2n ，…的前n 项和S n 的值等于( )
【导学号：31222189】
A ．n 2＋1－12n
B ．2n 2－n ＋1－12n
C ．n 2＋1－12
n －1D ．n 2－n ＋1－1
2n
A [该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋1
2n ， 则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋? ????12＋1
22＋ (12)
＝n 2＋1－1
2n .]
2．在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )
A ．100
B ．110
C ．120
D ．130
C [{a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.]
3．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )
A ．192里
B ．96里
C ．48里
D ．24里
B [由题意，知每天所走路程形成以a 1为首项，公比为1
2的等比数列，则a 1? ?
?
??1－1261－12
＝378，解得a 1＝192，则a 2＝96，即第二天走了96里．故选B.] 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝sin n π
2，n ∈N *，则S 2 016＝__________. 0 [a n ＝sin n π
2，n ∈N *，显然每连续四项的和为0. S 2 016＝S 4×504＝0.]
9．已知数列{a n }中，a 1＝1，又数列?
???
??
2na n (n ∈N *)是公差为1的等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .
[解](1)∵数列?
???
??
2na n 是首项为2，公差为1的等差数列，
∴2
na n
＝2＋(n －1)＝n ＋1，3分
解得a n ＝2
n (n ＋1).5分
(2)∵a n ＝
2n (n ＋1)＝2? ??
??1
n －1n ＋1，
∴S n ＝2??????? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????1
n －1n ＋1
＝2?
?
???1－1n ＋1＝2n n ＋1.12分 3．设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝3，a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)令b n ＝(2n －1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解](1)当n ≥2时，由a n ＋1＝2S n ＋3得a n ＝2S n －1＋3， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2S n －2S n －1＝2a n ， ∴a n ＋1＝3a n ，∴a n ＋1
a n
＝3.
当n ＝1时，a 1＝3，a 2＝2S 1＋3＝2a 1＋3＝9，则a 2
a 1
＝3.3分
∴数列{a n }是以a 1＝3为首项，公比为3的等比数列． ∴a n ＝3×3n －1＝3n .5分
(2)法一：由(1)得b n ＝(2n －1)a n ＝(2n －1)·3n ，7分 ∴T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)·3n ，① 3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)·3n ＋1，②
①－②得－2T n ＝1×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n －(2n －1)·3n ＋1 ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1 ＝3＋2×32(1－3n －1)1－3－(2n －1)·3n ＋1
＝－6－(2n －2)·3n ＋1.10分