第三讲 极限存在准则 两个重要极限 无穷小的比较
教学目的 1.了解两个极限存在准则.
2．理解掌握并会运用两个重要极限.
3．了解无穷小阶概念，会用等价无穷小求极限.
教学重点 两个重要极限及等价无穷小的概念. 教学难点 用两个重要极限和等价无穷小求极限. 教学时数 2学时. 教学过程
一、极限存在准则
准则I 如果数列{n
X }，{n Y }及{n Z }满足下列条件：
(1)
)
,3,2,1.( =≤≤n Z X
Y n n
n ,
(2) a
y n n =∞
→lim ，a
Z n n =∞
→lim ,那么数列{n
X }的极限存在，且a
X
n
n =∞
→lim .
证 因为a
y n n =∞
→lim
所以0,ε?>?正整数N 1，当1N n >时，有ε<-a y n ,又a Z n n =∞→lim ，所以对上述
0>ε，?正整数2N ，当2N n >时，ε<-a Z n ，取},m a x {21N N N =，则当N n >时，
有
ε
ε<-<-a Z a y n n ,
同时成立，即
.εε+<<-a y a n .
εε+<<-a Z a n ,又因为
n
X 介于
n
Y 和
n
Z 之间，
所以当N n >时，有.
εε+<≤≤<-a Z X y a n n n 即ε<-a X n 成立，这就证明了
a
X n n =∞
→lim
将数列极限存在准则推广到函数的极限： 准则I 如果
(1) 当
)
,(0r x U x
∈(或
M
x >)时，有)()()(x h x f x g ≤≤,
(2)
A
x g x x x =∞→→)(lim )
(0，
A x h x x x =∞→→)(lim )
(0，那么
)
(lim )
(0
x f x x x ∞→→存在，且等于A ．以上称为夹
逼准则．
准则II 单调有界数列必有极限．
单调增数列：如果数列{n X }满足条件
≤≤≤≤≤≤+1321n n x x x x x ,
单调减数列：如果数列{n X }满足条件
1321+≥≥≥≥≥n n x x x x x .
准则II 可具体为：单调增数列有上界或单调减数列有下界时必有极限．
准则II 设函数)(x f 在点0x 的某个左领域内单调并且有界,则)(x f 在0x 的左极限)(0-
x f 必定存在．
例1 求证：1
cos lim 0
=→x x .
证 当20π
<
2 )2(22 sin 2cos 11cos 02 2 2 x x x x x = ?<=-=-<，即 2c o s 102 x x < -<, 当0→x 时，0 2 2 →x ,由准则' I ，有0 )cos 1(lim 0 =-→x x ,所以1 cos lim 0 =→x x . 注 用准则I 时，必须构造出两个具有相同极限的函数，并且在要求的函数的两侧． 二、两个重要极限 1． 1 sin lim =→x x x 函数 x x x f sin )(= 对于一切0≠x 都有定义，当0→x 求极限时可限制x 为锐角．如 图1所示的单位圆中，设圆心角) 20(π < <=∠x x AOB ，点A 处的切 线与OB 的延长线相交于D ，又OA BC ⊥，则 s i n ,,t a n x C B x A B x A D ===．因为AOB ?的面积<圆扇形 AOB 的面积A O D ?<面积，所以x x x t a n 2121s i n 2 1< < ，即 x x x t a n s i n << 将上述不等式两边都除以x sin ，就有 x x x cos 1sin 1< < 或 1 sin cos << x x x ，因为当x 用x -代替时，x cos 与 x x sin 都不变，所以上面的不等式对于开区间 ) 0,2 (π - 内的一切x 也 是成立的．由例1知1 cos lim 0 =→x x ，1 1lim 0 =→x ,由极限存在准则I ' 知 1 sin lim =→x x x . (1) 公式 1sin lim =→x x x ， 1 cos 1sin lim tan lim =?=→→x x x x x x x . (2) 1 1sin sin 1lim lim 1x t x t x t x t = →→∞ =??→. (3) 注意公式的形式 1 sin lim =? ?→?. 例2 求x x x tan lim 0→. 解 1 cos sin lim tan lim 0=?=→→x x x x x x x . 例3 求x x x 2sin lim →. 解 =→x x x 2sin lim 2 22sin 2lim =→x x x . 注 一定要符合重要极限形式．因为0→x 时02→x ，按公式有1 22sin lim 2=→x x x . 例4 求2 0cos 1lim x x x -→. 解 =-→2 cos 1lim x x x 2 1 2sin 2lim 2 2 =→x x x 21)2(2sin lim 22 =→x x x . 例5 求x x x arcsin lim 0→. 解 令x t arcsin =，则t x s i n =．当0→x 时，有0→t ,于是有 x x x a r c s i n lim →=1sin lim 0=→t t x . 例6 求 ) 0(,sin sin lim ≠→b bx ax x . 解 bx ax x sin sin lim 0→==→x bx x ax x sin sin lim 0b a bx bx ax ax b a x =→sin sin lim 0. 注 在求极限时，可上下同除非零数x ． 2. 1lim (1)x x e x →∞+ = 考虑x 取正整数n 而趋于∞+的情形． 设n n n x ) 11(+ =，则(1){n X }单调增加． 因 为 n n n x ) 11(+ == n n n n n n n n n n n n n n n n 1 !)1()1(1!3)2)(1(1!2)1(1!1132?+--++?--+?-+?+ =) 11()21)(11(!1)21)(11(!31)11(!2111n n n n n n n n -- - - + +- - + - + + 类似地 = +1n x ++- +- + +- + +)1 21)(1 11(!31)1 11(!2111n n n ??? ??+-??? ?? +-++??? ??+--??? ??+-??? ??+-+ 11111)!1(1111121111!1n n n n n n n n n 比较n x ，1 +n x 的展开式，可以看到除两项外，n x 的每一项都小于 1 +n x 的对应项，并且 1 +n x 还多了最后一项，其值大于0，因此 n x <1+n x ，这就说明数列{n x }是单调增加的． 又 因 为 3 2 1321121 112 12 111! 1! 31! 21111 1 <-=- -+ =+ ++ +<+ ++ + +<--n n n n n x ，数列{ n x } 有界． 由数列存在准则Ⅱ，这个数列{ n x }的极限存在，通常用字母e 来表示它，即 e x x x =+ ∞ →) 11(lim .可以证明，当x 取实数而趋于∞+或∞-时，函数 x x ) 11(+ 的极限都存在 且等于e ．因此 e x x x =+ ∞ →) 11(lim ，这个e 是无理数，它的值是e=2.71828. (1) 这个重要极限必须是∞ 1型，且第二项与幂指数为到数关系： e =? + ? ∞ →?) 11(lim . (2) =- ∞ →x x x ) 11(lim 1 1 } )] 1(1{[lim ---∞ →=- +e x x x . (3) x t x x x 1)11(lim = + ∞ →=1 lim (1)t t o t e →+=，这是重要极限的等价形式． 例7 求x x x ) 21(lim + ∞ →. 解 ∞→x lim (1+x 2)x x .=∞→x lim [(1+x 2)2x ]2=e 2 . 例8 求∞→x lim (1-x 31 )x . 解 ∞→x lim {[1+??? ??-x 31]x 3-}31-=e 31-. 注 必须是1 ∞ 型，且第二项与幂指数为倒数关系才能用重要极限公式,即∞ →-x 3lim [1+)3(1 x -] ) 3(x -=e. 例9 求0lim →x (1+2x)x 1 . 解 0lim →x (1+2x)x 1= 0lim →x [(1+2x) x 21]2=e 2 . 注 这里用的是公式：02lim →x (1+2x)x 21=e. 三、无穷小的比较 由无穷小的概念知：0 lim →x x=0, lim →x x 2 =0,0lim →x x 3=0．当x →0时，x ，x 2，2x ，x 3 均为 无穷小， 它们商的极限可以是各种情况．如 lim →x 2 3x x =0， lim →x 2 x x =∞,0lim →x x x 2=2,即可以是无穷小， 也可以是常数．其商的极限也可以不存在．两个无穷小之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度不同． 定义 设α,β是在同一变化过程中的无穷小且α≠0．lim αβ 也是在这个变化过程中 的极限 (1) 如果lim αβ =0,就是说β是比α高阶的无穷小，记作β=o(α), (2) 如果lim αβ =∞,就是说β是比α低阶的无穷小， (3) 如果lim αβ =c ≠0,就是说β与α同阶的无穷小， (4) lim 0 ≠=c k α β ,k>0,就说是β关于α的k 阶无穷小, (5) 如果lim β ααβα β ~,1是等价无穷小，记做 与就说=. 注 (1) 等价无穷小是同阶无穷小的特殊情况，c=1． (2) 已知等价无穷小有：x →0时，x s i n ～x , x tan ～x ,x x ~arcsin x x ac ~tan , (3) 由复合函数的极限运算法则知，当0)(→Φx 时，sin )(x Φ )(x Φ,说明等价无 穷小的公式可以灵活运用．例如x 时0→,x x ~sin ,3 3~sin x x ,x x ~ sin 等等． 例10 求证： 2~ cos 12 x x - (x 0→). 证 因为0 lim →x 2 cos 12 x x -= 1 2 2lim 2 2sin lim 22 2 2 ==→→x x x x x x . 所以由等价定义可知x 2~ cos 102 x x -→时，． 注 由 x o →时, 2 1cos ~ 2 x x -,可得 2 ~1c o s 2 x x - -., 2~ cos 1x x -, 2~cos 14 2 x x -等等． 例11 证明：当x n x x n ~ 110-+→时，. 证：因为 1 ] 1......) 1() 1([1 )1(lim 11lim 2 1 =++++ +-+=-+--→→n n n n n n x n x x x n x x n x x ， 所以x n x x n ~ 110-+→时，. 注 比较常用的特例有：当n=2时， 2~ 11x x -+． 当n=3时 3~ 113 x x -+. 定理一 β与α是等价无穷小的充分必要条件为：)(αοαβ+=. 证 必要性 设0 )1lim( lim ,~=-=-α βα αββα则. 所以βααβαοα--=是比高阶的无穷小量，即（）. 所以βαοα=+（） 充分性 设 1 ) (lim lim ),(=+=+=α αοαα βαοαβ则 所以~αβ 定理2 设,~,~' 'ββαα且 αβlim 存在，则 ' 'lim lim αβ α β=． 证 lim lim lim . . lim ' ' ' '' β βα αα ββ βα β ==' '' ' ' lim lim αβ α α αβ=. 注 求两个无穷小之比的极限时，分子分母都可以用等价无穷小来代替，这是一种求00 型的极限的一种有效方法. 例12 求x x x 5sin 2tan lim 0→. 解 当x 0→时，x x 2~tan ;x x 5~5sin , 5252lim 5sin 2tan lim 0==→→x x x x x x . 注 此题也可以用重要极限公式去求．但用等价无穷小代换来求极限比较方便简单. 例13 求1 cos 1 ) 1(lim 3 /12 --+→x x x . 解 当x 0→时，(1+x 2 ) . 2 ~1cos ,3 ~ 12 2 3 /1x x x - -- 原式= 3/2213 1lim 22 -=-→x x x . 例14 求x x x x 3sin lim 3 0+→. 解 当x 0→时，x x ~sin ,无穷小x ，所以与它本身显然是等价的 x 33 + x x x x 3sin lim 3 +→=313 1lim 3lim 2 3 0= +=+→→x x x x x x . 例15 求x x x x 3 sin sin tan lim -→. 解 x x x x 3 sin sin tan lim -→=21 cos 1.tan lim ) cos 1(tan lim 20 3 =-=-→→x x x x x x x x x . 注 在用等价无穷小替换求函数极限时要注意在乘积(商)的情况可直接代其中的因式，在和或差的情况下不能代其中的项． 四、总结 1．极限存在的两个准则，两个重要极限公式都是求极限的方法； 2．等价无穷小替换是求极限的又一重要方法； 3．两个重要极限公式在运用时一定要注意结合它们的形式． 柯西极限存在准则 柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了数列收敛的充分必要条件。数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，存在着这样的正整数N，使得当m>N,n>N时就有|Xn-Xm|<ε这个准则的几何意义表示，数列{Xn}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数ε，在数轴上一切具有足够大号码的点Xn中，任意两点间的距离小于ε . 充分性证明： (1)、首先证明Cauchy列有界 取ε=1,根据Cauchy列定义，存在自然数N，对一切n>N，有 Ia(n)-a(N+1)I<1。 令M=max{|a(1)|,|a(2)|，…，|a(N)|，|a(N+1)|+1} 则对一切n，成立|a(n)|≤M。 所以Cauchy列有界。 （2)、其次在证明收敛 因为Cauchy列有界，所以根据Bolzano-Weierstrass定理（有界数列有收敛子列）存在一个子列aj(n)以 A为极限。那么下面就是要证明这个极限A也就是是Cauchy列的极限。（注意这种证明方法是实数中常用 的方法：先取点性质，然后根据实数稠密性，考虑点领域的性质，然后就可以证明整个实数域的性质了） 因为Cauchy列{a(n)}的定义，对于任意的ε>0，都存在N,使得m、n>N时有 |a(m)-a(n)|<ε/2 取子列{aj(n)}中一个j(k),其中k>N,使得 |aj(k)-A|<ε/2 因为j(k)>=k>N,所以凡是n>N时，我们有 |a(n)-A|<=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|<ε/2+ε/2=ε 这样就证明了Cauchy列收敛于A. 即得结果：Cauchy列收敛 迫敛准则在极限求解中的应用 中文摘要：在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关，并且在实际问题中，极限也占有很很要的地位.同样在数学分析中，极限对我们来说也很重要，它是我们解决问题的一个工具.在这篇文章中，我主要介绍迫敛准则在极限求解中的应用，迫敛准则，我们有时也称它为夹挤定理或两边夹法则，它是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质，对我们求解极限和证明极限是一个很好的工具.本文给出迫敛准则的一些直接应用，并进行了一些推广. 关键词：迫敛准则；极限求解；应用 Abstract：In advanced mathematics, there are a lot of important concepts and methods and to the limit,and in the actual problem, the limit also plays the position.Also in mathematical analysis, limit is also important for us, it is a tool for us to solve the problem, in this article, I'll focus on the of approximate convergence criteria limit solving.The approximate convergence criteria, we sometimes call it the squeeze theorem or folder on both sides of the law, it is the calculus limit the theoretical part of a very important nature, solving strength and proof limit is a good tool for us.In this paper, squeeze criteria applied directly,and some promotion. Keywords: forced convergence criteria; ultimate solving;application 1. 引言 迫敛性是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质，它在许多极限问题的计算和证明中有很重要的应用.然而，在实际应用中，要寻找到满足条件的{}n x和{}n y经常是困难的，这给迫敛性的应用也带来了一定的不便. 第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞< 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε -定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立 -∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x = 25 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() () ) 12102(65) 2062(103lim 2 23223 2 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =) 65() 103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44( lim 2 2 x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足： 数学学习计划（基础阶段） 高等数学01 第一单元学习计划——函数极限连续 计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版 本单元中我们应当学习—— 1.函数的概念及表示方法； 2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性； 3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念； 4.基本初等函数的性质及其图形； 5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系； 6.极限的性质及四则运算法则； 7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法； 8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限； 9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型； 10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），会用这些性质. 第一单元学习计划调整任务 第二单元学习计划——一元函数微分学 计划对应教材：高等数学上册同济大学数学系编高等教育出版社第六版 本单元中我们应当学习—— 1.导数和微分的概念、关系，导数的几何意义、物理意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，函数的可导性与连续性之间的关系； 2.导数和微分的四则运算法则，复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，一阶微分形式的不变性； 3.高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数； 4.会求以下函数的导数：分段函数、隐函数、由参数方程所确定的函数、反函数； 5.罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、泰勒(Taylor)定理、柯西(Cauchy)中值定理，会用这四个定理证明； 6.会用洛必达法则求未定式的极限； 7.函数极值的概念，用导数判断函数的单调性，用导数求函数的极值，会求函数的最大值和最小值； 8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，会求函数的水平、铅直和斜渐近线； 极限存在准则两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】 从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列的极限 1、1000个0相加，极限等于0。 2、无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、，其中，，极限不能确定。对于 2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则： 一、极限存在准则1、夹逼准则准则Ⅰ 如果数列及满足下列条件:那么数列的极限存在, 且、证： 取上两式同时成立, 当时，恒有上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当 (或)时,有那么存在, 且等于、准则 I和准则 I称为夹逼准则。 【注意】 利用夹逼准则求极限的关键是构造出与，并且与的极限是容易求的。例1 求解： 由夹逼定理得： 【说明】 夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用2、单调有界准则准则Ⅱ 单调有界数列必有极限、如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；如果数列满足条件，就称数列是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。几何解释:例2 证明数列（重根式）的极限存在 【分析】 已知，，求。首先证明是有界的，然后证明是单调的，从而得出结论证： 1、证明极限存在a) Afr .-f-e 第一早第八节 极限存在准则两个重要极限 【教学目的】 1、 了解函数和数列的极限存在准则； 2、 掌握两个常用的不等式； 3、 会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、 夹逼准则； 2、 单调有界准则； 3、 两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。 难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】 从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（ 3分钟）。首先给出极限存在准 则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（ 5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类 型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（ 10分钟）；课堂练习（5分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列的极限 1000 3、lim X n ,其中 x n = 、.、3+ x n-1， N = '、3，极限不能确定。 对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则: 一、极限存在准则 1. 夹逼准则 准则I 如果数列X n ,y n 及Z n 满足下列条件 (1) y n X n Z n (n 1,2,3 ) (2) lim y n a, lim z n a, n n 那么数列X n 的极限存在，且lim X n a . n 证： y a, z a, 0, N 1 0, N 2 0,使得 1、 lim n n 2 1000个0相加，极限等于 0。 2、 lim n ——2一无穷多个 .n i 0”相加，极限不能确定。 当n N1时恒有y n a ,当n N2时恒有Z n 取N 二max{N j , N 2},上两式同时成立，即a _1_ n 2 2 【说明】 夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 2. 单调有界准则 准则n 单调有界数列必有极限 几何解释： X 2 X 3 X n X n 1 A 1 - 3—X n , X 1 ,3，求lim X n 。首先证明是有界的，然后证明是单 n 调的，从而得出结论 证：1、证明极限存在 例2证明数列 X n .3 '/L 3 ( n 重根式)的极限存在 当n > N 时，恒有 a y n x n z n a ,即 X n a 成立, lim x n a. n 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 o 准则I '如果当X U (x 0,)(或x M )时，有 (1) g(x) f(x) h(x), ⑵』m g(x) A ，』m h(x) A, x x x x (x ) (x ) 那么lim f (x)存在，且等于A . x x 0 (x ) 准则 和准则'称为夹逼准则。 【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出 y n 与z n ，并且y n 与z n 的极限是容易求的。 解: 又lim n 1 1 求 lim( + =+ L n “n 2+ 1 、n 2 + 2 + J 2 ： ). .n + n 1 + . < ..n 2 + n lim n 1, lim 一n - n lim n 1, 1 2 y n a 由夹逼定理得: -)1- n 如果数列x n 满足条件X 1 加的；如果数列 x n 满足条件X 1 x 2 x 3 少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。 X 2 X 3 X n X n X n 1 X n 1 ，就称数列 x n 是单调增 ,就称数列x n 是单调减 【分析】已知X n 书中这样定义： 设函数y = f[g(x)]是由函数u = g(x)与函数y = f(u)复合而成，f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，若lim(x->x0)g(x) = u0, lim(u->u0)f(u) = A，且存在δ > 0,当x属于x0的去心δ邻域时，有g(x)不等于u0，则lim(x->x0)f[g(x)] = A u 与u0的接近程度是用0 < |u - u0| < δ描述的，u -> u0的过程中不等于u0 函数在某点的极限值是自变量逼近这一点时函数值无限接近的一个值，这个值与函数在这一点的函数值无关 如果能进一步针对这条举出反例就更好了， g(x)=xsin(1/x) 若u≠0，f(u)=0 若u=0，f(u)=1 在0的去心邻域中，f(g(x))有定义 (*) 对任意的正数δ，在0的去心δ邻域中，都有无数个点使得g(x)=0, 而f(g(x))=f(0)=1 lim{x→0}g(x)=0 lim{u→0}f(u)=0 而根据(*)，lim{x→0}f(g(x))不存在。 可见这个条件确实不能去掉。如果f(u)在u0处连续，那么这个复合函数的极限运算法则仍然是成立的，g(x)是否在其他点取值u0并无影响，因而很多时候在实际应用这条法则时并不去验证这条，因为我们通常面对的是连续函数。确实是这样的，因为g(x)在0的任意去心邻域内总是存在使得g(x)为0的点，而f(0) = 1 =/= lim(u->0)f(u)。所以就不存在0的某个去心邻域使得|f(g(x))-0|能够小于任意ε>0，自然极限也就不存在了。 另一种情况：设lim(u->u0)f(u) = A，且f(u)在u0的某个去心邻域是连续函数，那么就有f(u0) = lim(u->u0)f(u) = A，再设lim(x->x0)g(x) = u0，那这时候就不用考虑在x0的某个去心邻域中，g(x) =/= u0这个条件了，因为g(x) =u0时，|f(g(x)) - A| = 0 < 任意ε>0 。 第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重 要的内容，要掌握求极限的集中方法） 第一节映射与函数（一般章节） 一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解） 注：P1--5 集合部分只需简单了解 P5--7不用看 P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界 P17--20 不用看 P21 习题1.1 1、2、3大题均不用做 4大题只需做（3）（5）（7）（8） 5--9 均做 10大题只需做（4）（5）（6） 11大题只需做（3）（4）（5） 12大题只需做（2）（4）（6） 13做14不用做15、16重点做 17--20应用题均不用做 第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看） 一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解） P26--28 例1、2、3均不用证 p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解 P30 定理4不用看 P30--31 习题1-2 1大题只需做（4）（6）（8） 2--6均不用做 第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题） 一、（了解）二、（了解） P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可 P35 例6 要会做例7 不用做 P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看 p37习题1--3 1--4 均做5--12 均不用做 第四节（重要） 一、无穷小（重要）二、无穷大（了解） p40 例2不用做 p41 定理2不用证 p42习题1--4 1做 2--5 不全做 6 做 7--8 不用做 第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在) p43 定理1、2的证明要理解 p44推论1、2、3的证明不用看 p48 定理6的证明不用看 p49 习题1--5 1题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14) 2、3要做4、5重点做6不做 第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明 p50 准则1的证明要理解 p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限) p53另一个重要极限的证明可以不用看 p55--56柯西极限存在准则不用看 p56习题1--7 1大题只做(1)(4)(6) 2全做3不用做4全做，其中(2)(3)(5)重点做 第七节(重要） p58--59 定理1、2的证明要理解 p59 习题1--7 全做 第八节（基本必考小题） p60--64 要重点看第八节基本必出考题 p64 习题1--8 1、2、3、4、5要做其中4、5要重点做 6--8不用做 教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞ →lim ,01lim .若求极限的函 数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数 二 0）. 说明：当三 例1 求)3(lim 2 2 x x x +→ 例2 求1 1 2lim 2 31 ++-→x x x x 例3 求4 16lim 2 4 --→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数4 16 2 --= x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变成4+x ，由此即 可求出函数的极限. 例4 求1 33lim 22 ++-∞ →x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、2 总结：lim x x o →lim x ∞ →例5 求lim ∞ →x 分析：同例计算了。 四 （1）lim 2 1 → x （3）lim 4 →x 1 432 1 -+→x x x （5）1 1lim 2 1 +--→x x x （6）9 65lim 2 2 3 -+-→x x x x （7）1 3322lim 2 3 2 +--+∞ →x x x x x （8）5 2lim 3 2 --∞ →y y y y 五 小结 1 有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）； 2 函数的运算法则成立的前提条件是函数 )(),(x g x f 的极限存在，在进行极限运算时， 要特别注意这一点. 3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 4 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限. 六 作业（求下列极限） （1） lim -→x 2 （4）lim 0 →x （7）lim 2 →x （10）x → （13）1 3lim 2 4 3 +++∞ →x x x x x （14）2 3 3 2 )2 312( lim -+→x x x （15）3 526113lim 2 2 1 --+-→x x x x x （16） 3 526113lim 22 --+-∞ →x x x x x （17） 3 2 320 3526lim x x x x x x x ----→ （18） 3 2 323526lim x x x x x x x ----∞ → 函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件： 2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划 《高等数学》上册（一----七） 第一单元、函数极限连续 使用教材：同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版； 同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版；核心掌握知识点： 1.函数的概念及表示方法； 2.函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性； 3.复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念； 4.基本初等函数的性质及其图形； 5.极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系； 6.极限的性质及四则运算法则； 7.极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法； 8.无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限； 9.函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型； 10.连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最 小值定理、介值定理），会用这些性质. 天数学 习 时 间 学 习 章 节 学习知识点 习 题 章 节 必做题目 巩固习题 （选做） 备注 第一天2 h 第 1 章 第 1 节 映 射 与 函 数 函数的概念 函数的有界性、单调性、 周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段 函数和隐函数 初等函数具体概念和形 式，函数关系的建立 习 题 1 － 1 4(3) (6) (8),5(3)★, 9(2),15(4) ★,17★ 4(4)(7),5(1), 7(2),15(1) 本节有两部分内容 考研不要求，不必 学习： 1. “二、映射”； 2. 本节最后—— 双曲函数和反双曲 函数 第二天3 h 1 章 第 2 节 数 列 的 极 限 数列极限的定义 数列极限的性质(唯一 性、有界性、保号性) 习 题 1 － 2 1(2) (5) (8) ★ 3(1) 1. 大家要理解数 列极限的定义中各 个符号的含义与数 列极限的几何意 义； 2. 对于用数列极 限的定义证明，看 懂即可。 第 1 章 第 3 节 函 数 的 极 限 函数极限的概念 函数的左极限、右极限与 极限的存在性 函数极限的基本性质（唯 一性、局部有界性、局部 保号性、不等式性质，函 数极限与数列极限的关 系等） 习 题 1 － 3 2,4★3, 1. 大家要理解函 数极限的定义中各 个符号的含义与函 数极限的几何意 义； 2. 对于用函数极 限的定义证明，看 懂即可。 第三天3 h 第 1 章 第 4 节 无 穷 小 与 无 穷 大 无穷小与无穷大的定义 无穷小与无穷大之间的 关系 习 题 1 － 4 4,6★1,5 大家要搞清楚无穷 大与无界的关系 函数极限的十种求法 信科2班江星雨250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使 得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件： §3 函数极限存在的条件 与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性。下面的定理只 对这种类型的函数极限进行论述，但其结论对其它类型的函数极限也是成立的。下述归结原则有 时成为海涅（Heine）定理。 定理3.8（归结原则）设在内有定义。存在的充要条件是：对任何含于 且以为极限的数列，极限都存在且相等。 证 [必要性] 设，则对任给的，存在正数，使得当时， 有。 另一方面，设数列且，则对上述的，存在 ，使得当时， 有，从而有。这就证明了。 (充分性) 设对任何数列且，有，则可用反证法推出 事实上，倘若当时不以为极限，则存在某，对任何（不论多么小），总存在 一点，尽管，但有。现依次取，， ，…，，…，则存在 相应的点，，，…,…,使得，而，。 显然数列且，但当时不趋于 。这与假设相矛盾，所以必 有。 注1 归结原则也可简述为： 对任何（）有。 注2若可找到一个以为极限的数列，使不存在，或找到两个都以为极限的数列 注3与，使与都存在而不相等， 则不存在。 例1 证明极限不存在。 证设，（），则显然有 ，（） ，（）。 故有归结原则即得结论。 函数的图象如图3-4所示。由图象可见，当时，其函数值无限地在-1与1的范围内振 荡，而不趋于任何确定的数。 归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限来处理。从而，我们能应用归结原则和数列极限的有 关性质来证明上一节中所述的函数极限的所有性质。 对于，，和这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可表示为更强的 形式，现以这种类型为例阐述如下： 定理3.9设函数在点的某空心右邻域有定义。的充要条件是：对任何以 为极限的递减数列，有。 这个定理的证明可仿照定理3.8进行，但在运用反证法证明充分性时，对 的取法要作适当的修改， 以保证所找到的数列能递减地趋于。证明的细节留给读者作为练习。 相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理。现以这种类型为例叙述如下： 定理3.10设是定义在上的单调有界函数，则右极限存在。 证不妨设在上递增。因在上有界，由确界原理， 存在，记为。 下证。 事实上，任给，按下确界定义，存在，使得。 取，则由 的递增性，对一切=，有 另一方面，由，更有。从而对一切有 高数课本同济六版 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988） 第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重第二章要的内容，要掌握求极限的集中方法） 第三章 第四章第一节映射与函数（一般章节）第五章一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解）第六章注：P1--5集合部分只需简单了解第七章 P5--7不用看第八章 P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界第九章 P17--20不用看第十章 P21习题1. 1 第十一章 1、2、3大题均不用做第十二章 4大题只需做（3）（5）（7）（8）第十三章 5--9均做第十四章 10大题只需做（4）（5）（6）第十五章 11大题只需做（3）（4）（5）第十六章 12大题只需做（2）（4）（6）第十七章 13做14不用做15、16重点做第十八章17--20应用题均不用做第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看） 一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解） 二、P26--28 例1、2、3均不用证 三、p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解 四、P30 定理4不用看 五、P30--31 习题1-2 六、1大题只需做（4）（6）（8） 七、2--6均不用做 第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题） 一、（了解）二、（了解） 二、P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可 三、P35 例6 要会做例7 不用做 四、P36--37 定理2、3证明不用看定理3’ 4” 完全不用看五、 六、p37习题1--3 七、1--4 均做 5--12 均不用做 第四节（重要） 第五节 第六节一、无穷小（重要）二、无穷大（了解） 第七节 第八节 p40 例2不用做 p41 定理2不用证 第九节 p42习题1--4 第十节 编号 学士学位论文二元函数极限存在的判别法 学生姓名：古丽加玛丽·图拉克 学号：20080101049 系部：数学系 专业：数学与应用数学 年级：2008-3班 指导教师：木台力甫·努尔 完成日期：2013 年05 月10 日 I 摘要 极限方法是研究函数的主要方法之一。极限理论，思想方法在许多领域有着广泛应用，函数的极限是高等数学的重点，难点的内容，二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展的，二者之间即有联系也有区别，一元函数和二元函数的四则运算是相同的，但是随着变量的个数的增加，二元函数的极限比一元函数极限变得复杂得多，本文先介绍二元函数极限的定义，二重极限与累次极限的定义，讨论了二重极限与累次极限之间的关系，并且利用二重极限与累次极限的关系给出有关二重极限存在性的一些结论，二元函数极限存在的充分条件，主要讨论不可约有理分式函数极限存在的判别法，以及齐次有理分式函数极限存在的判别法。 关键词：二元函数极限，二重极限，累次极限。 II 目 录 摘要 ............................................................... I 引言 ............................................................... 1 1.二元函数极限的基本概念 ........................................... 1 2.二重极限与累次极限之间的关系 . (4) 2.1关系1 ...................................................... 4 2.2关系2 ...................................................... 4 2.3关系3 （定理1） ............................................ 5 3.二元函数极限存在的充要条件 ....................................... 6 4.有关极限存在的结论 .. (9) 4.1结论1 ...................................................... 9 4.2结论2. ..................................................... 9 4.3结论3 ..................................................... 11 4.4结论4 ..................................................... 15 总结 .............................................................. 19 参考文献 .......................................................... 20 致谢 .. (21) 第一章第六节 极限存在准则 两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。 难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（3分钟）。首先给出极限存在准则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（10分钟）；课堂练习（5分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列的极限 1、∑ =∞ →+1000 12 1lim i n i n 1000个0相加，极限等于0。 2、∑ =∞ →+n i n i n 1 21lim 无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、n n x ∞ →lim ，其中n x = 1x = 对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则： 一、极限存在准则 1. 夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件: , lim ,lim )2() 3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n n n n ===≤≤∞ →∞ →Λ 那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞ →lim . 证：,, a z a y n n →→Θ使得,0,0,021>>?>?N N ε ,1ε<->a y N n n 时恒有当 ,2ε<->a z N n n 时恒有当 《高等数学》考研同济大学考研复习笔记和考研真题第1章函数与极限 1.1 复习笔记 一、映射与函数 1函数 （1）函数的性质（见表1-1） 表1-1 函数的性质 （2）反函数与复合函数 ①反函数的特点 a．函数f和反函数f－1的单调性一致。 b．f的图像和f－1的图像关于直线y＝x对称。 ②复合函数 g与f能构成复合函数f°g的条件是：f的定义域与g的值域的交集不能为空集。（3）函数的运算 设函数f（x），g（x）的定义域为D f，D g，且定义域有交集为D，则可定义这两个函数的下列运算 和（差）f±g：（f±g）（x）＝f（x）±g（x），x∈D。 积f·g：（f·g）（x）＝f（x）·g（x），x∈D。 商f/g：（f/g）（x）＝f（x）/g（x），x∈D\{x|g（x）＝0，x∈D}。 （4）初等函数 5类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。二、数列的极限 1数列极限的定义 数列{x n}收敛于a???ε＞0，?正整数N，当n＞N时，有|x n－a|＜ε。数列{x n}是发散?不存在。 2收敛数列的性质 （1）唯一性 如果数列{x n}收敛，则它的极限唯一。 （2）有界性 如果数列{x n}收敛，则数列{x n}一定有界。 ①有界数列：存在正数M，使得对于一切x n都满足不等式|x n|≤M。 ②无界数列：不存在正数M，使得对于一切x n都满足不等式|x n|≤M。 （3）保号性 如果，且a＞0（或a＜0），则存在正整数N＞0，当n＞N时，都有x n ＞0（或x n＜0）。 推论：如果数列{x n}从某项起有x n≥0（或x n≤0）且，则a≥0（或a≤0）。（4）收敛数列与其子数列间的关系 ①如果数列{x n}收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a。柯西极限存在准则
迫敛准则在极限求解中的应用
第一章 函数、极限与连续
求函数极限的方法
数学学习计划基础阶段
极限存在准则两个重要极限
(完整版)1极限存在准则-两个重要极限
复合函数极限条件
高数课本_同济六版
函数极限的运算法则
函数极限的十种求法
《高等数学》 详细上册答案1-7
函数极限的十种求法
3 函数极限存在的条件
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二元函数极限存在的判别法
(完整版)1极限存在准则-两个重要极限
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