平面几何100题
1.非等腰锐角三角形ABC 的外接圆为ω，H 为△ABC 的垂心，M 是AB 的中点。在不含C 的圆弧AB 上取点P、Q，使得∠ACP=∠BCQ＜∠ACQ，过H 分别作CQ、CP 的垂线，垂足为R、S。证明：P，Q，R，S 共圆且点M 是该圆的圆心。
2.在△ABC 中，点M、N、K 分别在边BC、CA、AB 上且不与顶点重合，若∠BAC=∠KMN 且∠ABC=∠KNM，则称△MNK 为完美三角形。证明：如果在△ABC 中有两个具有共同顶点且不重合的完美三角形，则△ABC 是直角三角形。
3.四边形ABCD 满足AD//BC，∠ABC>90?，M 是线段AB 上不同于A、B 的一点，设△MAD、△MBC 的外心分别为21,O O 。△D MO 1的外接圆不同于M 的交点为N。求证：点N 在直线21O O 上。
4.在凸四边形（非平行四边形）ABCD 的对角线上分别取点B′、C′，使得△ACB′、△BDC′都为正三角形，其中点B 和B′位于AC 的同侧，点C 和C′位于BD 的同侧，如果CD AB C B +=''，求∠BAD+∠CDA 的值。
5.给定一个凸六边形ABCDEF，其中AB//DE，BC//EF，CD//FA。设BD 和AE、AC 和DF、CE 和BF 的交点分别为M、N、K。证明：过M、N、K 分别作AB、CD、EF 的垂线交于同一点。
6.圆内接四边形ABCD 的对角线交于点K，点M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点，△ADM 和△BCM 的外接圆交于点M、L，证明：K，L，M，N（这些点两两不重合）四点共圆。
7.圆内接四边形ABCD 的外接圆为圆Ω且AB=AD，在线段BC、CD 上分别取点M、N，使得MN=BM+DN。直线AM 交圆Ω于点P （不同于A），直线AN 交圆Ω于点Q （不同于A）。求证：△APQ 的垂心在MN 上。
8.给定四边形ABCD，其中∠B=∠D=90?，在线段AB 上取点M 使得AD=AM。直线DM 和CB 交于点N，过D 作AC 的垂线垂足为H，过C 作AN 的垂线垂足为K。求证：∠MHN=∠MCK。
9.在凸四边形ABCD 中，边AB、BC、CD、DA 的中点分别为K、L、M、N，设直线KM 分别与对角线AC、BD 交于点R、S。求证：若AP?PC=BQ?QD，则AR?RC=BS?SD。
10.两个相离的圆21,ωω的圆心分别为21,O O ，21A A 是两圆的一条外公切线且11ω∈A ，22ω∈A ，设线段21A A 的中点为K，过K 分别作圆21,ωω的切线21,KB KB （2211,A B A B ≠≠）且2211,ωω∈∈B B 。直线11B A 与22B A 交于点L，直线KL 与21O O 交于点P，求证：L P B B ,,,21四点共圆。
11.三角形ABC 的边AB、AC 上分别取点D、E 满足DE//BC，设21,O O 分别为△ABE，△ACD 的外心。直线21O O 交AC 于点P，交AB 于点Q。设O 为△APQ 的外心，M 为AO 延长线与BC 的交点。证明：M 为BC 的中点。
12.在凸四边形ABCD 内部有一点M，使得∠MBC=∠MDC，∠MBA=∠MCD。若∠BAC=∠DAC，试证：∠ADC 等于∠BMC 或∠AMB 中的一个。
13.在△ABC 的AB、AC 边上分别取点K、L 使得BK=CL，设BL 与CK 交于点P，M 在直线AC 上，使得MP 平行于∠BAC 的内角平分线，试证：CM=AB。
14.已知△ABC，△CDE 都有等边三角形且C 在线段AE 上，点B、D 位于AE 的同侧，设△ABC、△CDE 的外接圆圆心分别为21O O 、，1O Θ与2O Θ不同于C 的交点为F，21O O 和AD 交于点K，求证：AK=BF。
15.设△ABC 的内切圆圆心为I，⊙I 与AB 边切于点D，线段AB、CD 的中点分别为M、N，求证：M，I，N 三点共线。
16.在凸六边形ABCDEF 中，对角线AD、BE、CF 交于同一点M，△ABM、△BCM、△CDM、△DEM、△EFM 和△FAM 都是锐角三角形，并且这些三角形的外心在同一个圆上，求证：四边形ABDE、BCEF 和CDFA 的面积相同。
17.圆21,ωω的圆心分别为21,O O ，且这两个圆外离，设点1C 在圆1ω上，点2C 在圆2ω上且点21,C C 位于直线21O O 的同侧，射线11C O 与圆2ω交于点22,B A ，射线22C O 与圆1ω交于点11,B A 。求证：222111B O A B O A ∠=∠当且仅当2121//O O C C 。
18.设M 是直角三角形ABC 斜边AB 上的中点，过点C、M 的圆交线段BC,AC 分别于点P,Q(P≠C，Q≠C)。以P 为圆心，BP 为半径的圆为圆1C ；以Q 为圆心，AQ 为半径的圆为圆2C 。求证：圆1C ,圆2C ,△ABC 的外接圆交于同一点。
19.在△ABC 中，以A 为圆心作圆ω，该圆与线段AB、AC 相交，设圆ω与△ABC 外接圆的公共弦交AB、AC 分别于点X、Y。线段CX,BY 分别与圆ω交于点S,T，△ACT 与△BAS 的外接圆交于点A，P。求证：CX，BY，AP 三线共点。
20.四边形ABCD 是圆外切四边形，对角线AC 与BD 交于点L，设△ABC 的内心为B I ，△ADC 关于∠D 的旁切圆圆心为D I 。求证：L，B I ，D I 三点共线。21.在△ABC 中，边AC、AB 的中点分别为11C B 、，过B 作△ABC 外接圆的切线交1CC 于点K，过C 作△ABC 外接圆的切线交1BB 于点L，求证：∠BAK=∠CAL。22.设圆ω是△ABC 的内切圆，过其圆心I 作BC 的平行线交圆ω于点C B A A ,(B A 与B 在AI 的同侧），直线B BA 与C CA 交于点1A ，类似定义1B 和1C 。证明：111,,CC BB AA 三线共点。
23.设AH、CH 是锐角三角形ABC 的高线，∠B 的内角平分线交AH、CH 于点11P L 、，外角平分线交AH、CH 于点22P L 、。求证：2211,P HL P HL ??的垂心与B 三点共线。
24.设△ABC 的内心为I，内切圆与BC 切于点K，△ACI、△ABI 的垂心分别为C B H H ,。求证：K H H C B ,,三点共线。
25.给定△ABC，以AB 为底边向外作等腰三角形ABC′其中∠C′=120?。再以AB 为边向内作正三角形ACB′，设线段BB′的中点为K，求△KCC′各角的角度。26.设AD 是梯形ABCD 的一条平行边，△ABC 的外心位于直线BD 上，求证：△ABD 的外心在直线AC 上。
27.设四边形ABCD 是凸四边形且AC=BD=AD ，AB 、CD 的中点分别为E 、F ，对角线AC 与BD 交于点O 。求证：△AOD 的内切圆与OA ，OD 的切点在直线EF 上。
28.在平行四边形ABCD 的AB 、BC 边上分别取点K 、L 使得∠AKD=∠CLD ，求证：△BKL 的外心与A 、C 等距。
29.设圆1ω与圆2ω交于点A,B ，圆3ω与圆21ωω、都外切，直线AB 交圆3ω于点C,D 。求证：过C ，D 作圆3ω的切线与圆21ωω、的公切线平行。
30.设在以O 为圆心，AD 为直径的圆上有两点B 、C(位于AD 的同侧)。△ABO,△CDO 的外接圆分别与直线BC 交于点F,E （F ≠B ，E ≠C ）。求证：DE AF R ?=2，其中R 是⊙O 的半径。
31.设锐角三角形ABC 的内心为I ，内切圆与AB 、BC 、CA 分别切于点D 、E 、F 。若四边形ADIF 、BDIE 有内切圆且圆心分别为21J J 、，直线21J J 交AB 于点M ，求证：CD ⊥IM 。
32.设锐角△ABC 的外接圆在A,B 两点的切线交于点D ，过D 作BC 、CA 、AB 的垂线，三个垂足的外接圆与AB 的第二个交点为C ′，类似定义A ′,B ′。求证：AA ′,BB ′,CC ′三线共点。
33.在△ABC 的各边上分别取点A ′,B ′,C ′使得AA ′,BB ′,CC ′共点于P ，△PA ′B ′的外接圆分别交AC 、BC 于点M 、N 。△PC ′B ′与△PA ′C ′的外接圆分别再次交AC,BC 于点K,L ，直线c 通过线段MN 和KL 的中点，类似定义直线a 和b 。求证：a,b,c 三线共点。
34.设A,B 为两圆的交点，CD 为这两个圆的外公切线（C,D 为切点），设b a O O ,分别为△CAD ，△CBD 的外心。证明：线段b a O O 的中点位于直线AB 上。
35.在正方形ABCD 的内部有两个圆，这两个圆分别与∠A,∠B 的两边相切，且两圆直径之和等于正方形的边长，求证：它们的一条内公切线经过AB 的中点。
36.设四边形ABCD 是正方形，P 为其外接圆的劣弧CD 上的一点，PA 交BD 于点K ，PB 交AC 于点L 。过点K 、L 分别作CD 的垂线，垂足为M 、N ，直线KN 交LM 于点Q 。求证：PQ 平分线段AB 。
37.平行四边形ABCD 的对角线交于点O ，过O 作△BOC 外接圆的切线交CB 于点F ，直线BC 与△FOD 的外接圆不同于F 的交点为G 。证明：AG=AB 。
38.设H 是锐角三角形ABC 的垂心，在过点H 作△BHC 外接圆的切线上取点A X ，使得A AX AH =且A X H ≠，点B X 和C X 的定义类似。证明：△C B A X X X 与△ABC 的垂足三角形相似。
39.设△ABC 的外心、内心分别为点O 、I ，过I 作OI 的垂线交AB 、∠C 的外角平分线分别于
点X 、Y ，求XI ：IY 的值。
40.圆2ω的圆心在圆1ω上，过圆1ω上的任意一点X 作圆2ω的切线XP 、XQ （P,Q 是切点），且直线XP 、XQ 交圆1ω分别于点R 、S ，证明：PQ 平分线段RS 。
41.梯形ABCD 的两条腰交于点P ，两条对角线交于点Q ，点M 在BC 上且AM=MD 。证明：∠PMB=∠QMB 。
42.圆内接四边形ABCD 的对角线交于点M ，有一圆ω与四边形ABCD 的外接圆内切于点X ，且圆ω与MA 、MD 分别切于点P 、Q 。证明：点X 在⊙ACQ 与⊙BDP 的根轴上。
43.在△ABC 的边AB 、AC 上分别有两点P 、Q 使得PQ//BC ，点M 在△APQ 的内部，MB 、MC 交PQ 分别于点E 、F ，设△PMF 、△QME 的外接圆不同于M 的交点为N 。证明：A,M,N 三点共线。
44.设△ABC 的内心、关于∠A 的旁心分别为点a I I 、，AA ′是△ABC 的外接圆直径，BC AA ⊥1于点1A 。证明：a a I IA I IA 1∠='∠。
45.设'''??C B A ABC ,具有共同的内切圆和外接圆，点P 位于这两个三角形的内部。证明：点P 到ABC ?各边的距离之和等于点P 到'''?C B A 各边的距离之和。
46.给定△ABC ，∠A 的外角平分线交BC 于点K ，△ABC 的外接圆上弧AC （不含B ）的中点为M ，∠C 的内角平分线上取点N 使得AN//BM 。证明：M,N,K 三点共线。
47.设△ABC 是非等腰三角形，∠A 的内角平分线交BC 于点1A ，△ABC 的内切圆与BC 的切点为2A ，点2121,,,C C B B 类似定义。△ABC 的外心、内心分别为O 、I ，证明：三圆⊙21A AA ，⊙21B BB ，⊙21C CC 的根心在直线OI 上。
48.在平行四边形ABCD 中，分别作出∠A 、∠B 的三等分线，设最靠近AB 的三等分线交于点O ，AO 与∠B 的另一条三等分线（不同于BO ）交于点1A ，BO 与∠A 的另一条三等分线（不同于AO ）交于点1B 。线段11B A 的中点为M ，直线MO 交AB 于点N 。证明：N B A 11?是等边三角形。
49.给定△ABC ，作两个都过点A 且都与BC 相切（切点分别为B 、C ）的圆，这两个圆不同于A 的交点为D （A 比D 更接近BC ），若BC=2BD ，证明：∠DAB=2∠ADB 。
50.在等腰梯形ABCD 中，BC//AD ，对角线AC 与BD 垂直，作DE ⊥AB 于点E ，CF ⊥DE 于点F 。证明：∠DBF=2
1∠FCD 。51.设锐角三角形ABC 的垂心为H ，线段BH 的垂直平分线交BA 、BC 分别于点00,C A 。求证：00OC A ?的周长（O 是△ABC 的外心）等于AC 。
52.各边不等的锐角三角形ABC 中，点21,A A 分别为∠A 的内外角平分线与对边交点关于BC
中点的对称点。以21A A 为直径的圆为圆α，同理得到圆β，γ。求证：三个圆α,β,γ有两个公共点。
53.四边形ABCD 内接于圆心为O 的圆ω，设AB 、CD 的中点分别为点21,M M ，21M OM ?的外接圆为圆Ω，圆ω与圆Ω交于点21,X X 。21,ABM CDM ??的外接圆与圆Ω的第二个交点分别为点21,Y Y 。求证：2121//Y Y X X 。
54.凸四边形ABCD 有内切圆且半径为r ，求2211BD
AC +的最大值。55.在四边形ABCD 的AB 边上有一点M 使得四边形AMCD 、BMDC 分别有圆心为21,O O 的内切圆，若直线21O O 与MD 、MC 的两交点和点M 形成以∠M 为顶点的等腰三角形，求证：四边形ABCD 是圆内接四边形。
56.在△ABC 的AB,AC 边上分别取点11,B C 使得11CC BB ⊥，然后在△ABC 的内部取点X 使得CA C XCA BA B XBC 11,∠=∠∠=∠，求证：A XC B ∠-=∠0
1190。
57.给定△ABC ，点P 在其外接圆上移动且满足线段BC 与AP 相交，AP 将△BPC 分成两个三角形，其内心分别为点21,I I ，直线21I I 交BC 于点Z 。求证：所有这样的直线ZP 都过定点。
58.凸四边形ABCD 的对角线互相垂直，△ABD 、△BCA 、△CDA 、△DAC 的外心分别为A ′、B ′、C ′、D ′，求证：AA ′,BB ′,CC ′,DD ′共点。
59.设△ABC 是非等腰锐角三角形，其高线AA ′,BB ′交于点H ，△AHB 的垂心为点M 。若CM 平分线段A ′B ′，求∠C 的值。
60.在锐角△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点C B A A 、，设C B A AA ?的外心为点a O ，类似定义点C B O O ,。求证：c b a O O O ?的外接圆与△ABC 的外接圆相切。
61.在△ABC 中边BC 、CA 、AB 的中点分别为111C B A 、、，线段11CA BA 、的中点分别为22C B 、。1C 关于B 的对称点为3B ；1B 关于C 的对称点为3C 。
求证：32B BB ⊙与32C CC ⊙的一个交点在△ABC 的外接圆上。
62.在非等腰锐角三角形ABC 中，其高线为1AA 、1BB 、1CC ，边BC 、CA 、AB 与其相应的旁切圆分别切于点222C B A 、、，若直线11C B 与△ABC 的内切圆相切，求证：点1A 在222C B A ?的外接圆上。
63.设△ABC 的垂心、外心分别为点H 、O ，BC 的中垂线交△AOH 的外接圆于点1A （O A ≠1），
类似定义点11,C B 。求证：111,,CC BB AA 三线共点。
64.位于正方形ABCD 的AB 、BC 、CD 、DA 边上的点K 、L 、M 、N 是另一个正方形的顶点，直线DK 交NM 于点E ，直线KC 与LM 交于点F ，求证：EF//AB 。
65.直角三角形ABC 的内切圆分别与直角边AC 、BC 切于点11A B 、，与斜边切于点1C ，直线11A C 交CA 于点0B ；直线11B C 交CB 于点0A ，求证：00BA AB =。
66.圆心分别为21O O 、的圆21ωω、外切于点O ，在圆21ωω、上分别取点X 、Y 使得射线X O 1与射线Y O 2平行且同向。过点X 作圆2ω的两条切线，再过点Y 作圆1ω的两条切线。求证：这四条切线与过点O 的一个圆相切。
67.⊙I 内切于四边形ABCD ，△AIC 的外接圆在A 、C 处的切线交于点X ，△BID 的外接圆在B 、D 处的切线交于点Y ，求证：X,I,Y 三点共线。
68.给定三角形ABC 和任意一点D ，过点D 作DA 、DB 、DC 的垂线分别与BC 、AC 、AB 交于点111C B A 、、，求证：线段111,,CC BB AA 的中点共线。
69.设11,CC AA 为△ABC 的高线，过B 作AC 的垂线交△ABC 的外接圆于点0B ，△ABC 与011B C A ?的外接圆不同于0B 的交点为Q ，求证：BQ 是△ABC 的B-陪位中线。
70.两圆1ω和2ω外切于点P ，设点A 在圆2ω上且不在连心线上，AB 、AC 是圆1ω的切线其中B 、C 是切点。直线BP 、CP 第二次与圆2ω交于点E 、F ，求证：直线EF,过A 关于圆2ω的切线与过P 的公切线共点。
71.设四边形ABCD 是圆外切四边形，其内切圆ω与BC 、DA 分别切于点E 、F 。已知AB,FE,CD 三线共点，△AED 、△BFC 的外接圆交于点11F E 、且这两个交点也在圆ω上，求证：11//F E EF 。
72.在以O 为圆心的圆上有一条弦AB ，设AB 的中点为M ，点M 关于点O 的对称点为K 。点P 是圆上任意不同于A 、B 的点，它在AB 上的射影为点H 。再取点Q 使得QA ⊥AB ，QP ⊥PK ，求证：直线QB 平分线段PH 。
73.在四边形ABCD 中，∠A 和∠C 都是直角，直径为AB 、CD 的两个圆交于点X 、Y 。求证：直线XY 经过AC 的中点。
74.在△ABC 中，点H 是其垂心且点H 在△ABC 的内切圆上。求证：以A,B,C 为圆心都过点H 的三个圆具有共同的切线。
75.已知一个等腰三角形的顶点和外心位于正方形的四个不同的边上，求这个等腰三角形各角的度数。
76.给定圆和圆上的弦AB ，设劣弧AB 的中点为W ，在优弧AB 上任取一点C ，过C 作圆的切线交过A 、B 的切线分别于点X 、Y ，直线WX 、WY 分别交AB 于点N 、M ，求证：线段NM 的长度不依赖于点C 。
77.非等腰三角形ABC 的内切圆I ⊙与AB 切于点C ′，直径为BC ′的圆与I ⊙、∠B 的内角平分线的第二个交点分别为点21A A 、，直径为AC ′的圆与I ⊙、∠A 的内角平分线的第二个
交点分别为点21B B 、。求证：2211,,B A B A AB 三线共点。
78.三个圆γβα,,两两外切，另外还有一个圆Ω与这三个圆都相切，切点分别为111,,C B A 。圆α和圆β的内公切线与不含1C 的弧11B A 交于点2C ，类似定义22,B A 。求证：21A A ，21B B ，21C C 三线共点。
79.在直角三角形ABC （∠B=90?）中，关于∠A 的旁切圆分别与AB 、AC 的延长线切于点21A A 、，类似定义点21C C 、，求证：过点A,B,C 分别作21C C ,11C A ,21A A 的垂线共点。
80.在△ABC 中，关于∠A 、∠B 的旁切圆分别与BC 、AC 切于点21T T 、，若△ABC 的内心关于线段AB 的中点的对称点在△21T CT 的外接圆上，求∠BCA 。
81.△ABC 的内切圆与AB 切于点C ′，设△ACC ′的内切圆分别与AB,AC 切于点11,B C .△BCC ′的内切圆分别与AB,BC 切于点22,A C .求证：,,2211C A C B CC ′三线共点。
82.在直角梯形ABCD （∠A=∠D=90?）中，对角线AC 、BD 的中点分别为点M 、N 。△ABM 的外接圆与BC 不同于B 的交点为Q ；△CDM 的外接圆与BC 不同于C 的交点为R 。求证：点Q 、R 与线段MN 的中点等距。
83.在△ABC 中，其内切圆分别与BC 、CA 、AB 切于点A ′、B ′、C ′，过内心I 作关于△ABC 的C-中线的垂线与A ′B ′交于点K ，求证：CK//AB 。
84.在△ABC 的三边AB 、BC 、CA 上分别取点111B A C 、、使得111,,CC BB AA 三线共点，射线1111C B A B 、分别与△ABC 的外接圆交于点22C A 、。求证：22C A 和1BB 的交点，线段22C A 的中点，A ，C 四点共圆。
85.设△ABC 是非等腰三角形，其内切圆与AB 、AC 、BC 边分别切于点D 、E 、F ，关于∠A 的旁切圆与BC 切于点N ，AN 与△ABC 的内切圆最接近N 的交点为T ，直线DE 和FT 的交点为K ，求证：AK//BC 。
86.在△ABC 中，设三条陪位中线的交点为L ，BH 是△ABC 的高，若∠ALH=180?-2∠BAC ，求证：∠CLH=180?-2∠ACB 。
87.设AD,BE,CF 是△ABC 的中线，点F 关于AD 、BE 的对称点分别为X 、Y ，求证：△BEX 和△ADY 的外接圆圆心是同一点。
88.在凸六边形ABCDEF 中，AD=BC+EF ，BE=AF+CD ，CF=DE+AB.求证：
BC
EF AF CD DE AB ==。89.设圆ω是△ABC 的外接圆，过AB 的中点M 的直线为KL （K,C 位于AB 的异侧），过点L 、M 的圆与CK 交于点P 、Q （Q 位于线段KP 上），直线LQ 交△KMQ 的外接圆于点R （R ≠Q ），求证：四边形APBR 是圆内接四边形。
90.一个圆与矩形ABCD 的各边均有两个交点，矩形ABCD 的每一个顶角与其最近的两个交点形成一个直角三角形，设这四个直角三角形的斜边中点分别为0000,,,D C B A ，求证：
0000D B C A =。
91.在直角三角形ABC 中，0C 是斜边AB 的中点，∠A 、∠B 的角平分线分别是11,BB AA （1A 在BC 上，1B 在AC 上），I 是△ABC 的内心，求证：I C 0与11B A 的交点在过C 作AB 的垂线上。
92.以正方形ABCD 的AD 边为底边作等腰三角形AED ，顶点E 位于正方形内，设AF 是△AED 外接圆的直径，G 在线段CD 上使得CG=DF ，证明：2
AED BGE ∠<∠。93.设AA ′、BB ′、CC ′为锐角三角形ABC 的高，C ′关于AA ′、BB ′的对称点分别为b a C C 、，类似定义a c c b B B A A 、、、，证明：c a b c a b A C C B B A 、、互相平行。
94.设321CH BH AH 、、是△ABC 的高，线段32H H 的中点为M ，直线AM 交12H H 于点K.求证：K 在关于△ABC 的平行AC 的中位线上。
95.设△ABC 的外心位O ，点D 、X 在三角形各边上的射影位于直线'l l 、上，且XO l //。求证：直线'l 与四边形ABCD 对角线的夹角相等。
96.给定△ABC ，设点1C 是边AB 上任意的一点，在线段BC 、AC 上分别取点11B A 、使得ACB A BC B AC ∠=∠=∠1111，直线1AA 与1BB 交于点2C ，求证：所有的直线21C C 都经过同一点。
97.四边形ABCD 既外切于以I 为圆心的圆ω，又内接于圆Γ，直线AB 和CD 相交于点P ，直线BC 和AD 相交于点Q ，证明：△PIQ 的外接圆与圆Γ正交。
98.分别在等腰三角形ABC 的腰AB 、AC 上选点M 、K ，在底面BC 上选点D ，使得四边形AMDK 为平行四边形，直线MK 与BC 交于点L 。过D 作BC 的垂线，分别与AB 、AC 交于点X 、Y ，证明：以L 为圆心，LD 为半径的圆与△AXY 的外接圆相切。
99.设M 为△ABC 的AC 边上的中点，作MD ⊥AB 于点D ，ME ⊥BC 于点E ，求证：△ABE 、△BCD 的外心之间的距离等于4
AC 。100.给定圆内接四边形ABCD ，点a L 在△BCD 的内部，使得它到△BCD 各边的距离与相应边的长度之比相等，类似作出点d c b L L L ,,。若四边形d c b a L L L L 是圆内接四边形，求证：四边形ABCD 中有两条边是平行的。
ABC ABC V :V 2017中考平面几何题目 （北京）28.在等腰直角ABC ?中，090ACB ∠=，P 是线段BC 上一动点 （与点B C 、不重合），连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ CP =，过点Q 作QH AP ⊥于点H ，交AB 于点M . （1）若PAC α∠=，求AMQ ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明.( CP =) （成都）20. 如图，在ABC ?中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，连接DE 交线段OA 于点F . （1）求证：DH 是圆O 的切线； （2）若A 为EH 的中点，求EF FD 的值； 23 EF FD = （3）若1EA EF ==，求圆O 的半 径.( 1,,EA EF OD OF r BD BE BF ====== )1,,1,1EA FD r BF r AF r ===+=- 111EA AF r BF FD r r -=?=+ ,r = （安徽）23.已知正方形ABCD ，点M 为边AB 的中点. （1）如图1，点G 为线段CM 上的一点，且90AGB ∠=?，延长AG ，BG 分别与边BC ，CD 交于点E ，F . ② 证：BE CF =； ②求证：2BE BC CE =?.(,CEG CGB CG FC BE ==V :V ) （2）如图2，在边BC 上取一点E ，满足2BE BC CE =?，连接AE 交CM 于点G ，
连接BG延长交CD于点F，求tan CBF ∠的值. ( 51 tan 2 CBF - ∠=) H （CH=BE,CH/AM=CG/GM=FC/MB,FC=CH=BE,设BC=1,BE=x,得 51 x 2 -=,） （福州）24．（12分）如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=6，P，Q分为线段AC、BC上一点，且四边形PDRQ是矩形， （1）若PDC V为等腰三角形，求AP；(三种情况，PD=DC时，取PC的中垂线较好。) （2）若AP=2，求线段RC的长。（△PND∽△QMP→△PQR∽△ABC∽△PMC，→PRCQ共圆，∠PCR=90°，△KRC∽△PMC，三边符合3：4：5，算 出RC=3 2 4 ） N K M （白银）27．如图，AN是M e的直径，// NB x轴，AB交M e于点C． （1）若点()()0 0,6,0,2,30 A N ABN ∠=，求点B的坐标；(3,2) （2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是M e的切线． （天水） （BC=62） （广东）25．如题25图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩
一、等腰直角三角形 题一 ∠ACB=90°,AC=BC,ED ⊥DF,D 为AB 中点 ①②12 S △ABC =S △EDF +S △EFC ③S △EDF = 1 2 S △ABC +S △EFC ①另知：DE ⊥AC, DF ⊥BC ②E 、F 分别在AC 、BC 内 ②E 、F 分别在AC 、BC 外
题二 已知∠BAC=90°,CD 平分∠ACB ，AC=AB,CD ⊥AE,求证：CD=2（OA+OD ） 题三： 已知∠BAC=90°, AC=AB,D 为AB 中点， CD ⊥AE,求证：∠BDE=∠CDA 换说法：求证A 到DE 的距离等于OA 题四： 已知∠BAC=90°, AC=AB,D 为AC 中点， CF ∥AB,求证：CF=AD
题五： 已知∠ACB=90°, AC=BC,DA 平分∠BAC ，H 为AB 中点， BE ⊥AD,求证：CF=EC 。 判断：①AF=BE ，②AF=2BD ，③AF 垂直平分BE ，④AC+CF=AB ，⑤S △ACG = S △AHG ⑥AG=BD 垂直角平分线 题六： 已知AB=AE ，BC=CA ，BC ⊥CA ，AD 平分∠BAC ，H 为AB 的中点。求证：①△AFC ≌△BCE ②2DE=AF ，③判断△BDG 的形状并证明 垂直角平分线 题七： 已知∠B=45°，∠C=30°，DE ⊥CA ，AE=AF ，GE=DF ，求证：①△ADG 为等腰直角三角形，②GC=2BD ，③∠BAD=15° F A C E D B H G F A C E D B H G F A B D C G E F
平面几何练习题 一. 选择题： 1. 如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（ ） A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 相等且互补 2. 如图，l l 12//，AB l ABC ⊥∠=1130， ，则∠=α（ ） A. 60 B. 50 C. 40 D. 30 A l 1 B l 2 α C 3. 如图，l l 1211052140//，，∠=∠= ，则∠=α（ ） A. 55 B. 60 C. 65 D. 70 l 1 1 α 2 l 2 4. 如图，能与∠α构成同旁内角的角有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 5个 D. 4个 α 5. 如图，已知AB CD //，∠α等于（ ） A. 75 B. 80 C. 85 D. 95 A B 120° α 25°C D 6. 如图，AB CD MP AB MN ////，，平分∠∠=∠=A M D A D ，，4030 ，则 ∠N M P 等于（ ）
A. 10 B. 15 C. 5 D. 75. B M C A N P D 7. 如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30 ，那么这两个角是 （ ） A. 42138 、 B. 都是10 C. 42138 、或4210 、 D. 以上都不对 二. 证明题： 1. 已知：如图，∠=∠∠=∠123，，B AC DE //，且B 、C 、D 在一条直线上。 求证：AE BD // A E 3 12 4 B C D 2. 已知：如图，∠=∠CDA CBA ，DE 平分∠C D A ，BF 平分∠C B A ，且∠=∠ADE AED 。 求证：DE FB // D F C A E B 3. 已知：如图，∠+∠=∠=∠BAP APD 18012 ，。 求证：∠=∠E F
线、角、相交线、平行线 规律1.如果平面上有≥(2)n n 个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出-1(1)2 n n 条. 规律2.平面上的n 条直线最多可把平面分成??++????1(1)12n n 个部分.规律3.如果一条直线上有n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为-1(1)2n n 条. 规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半. 例：如图，B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是BC 的中点. 求证：MN =12 AC 证明：∵M 是AB 的中点，N 是BC 的中点 ∴AM =BM = 12AB ,BN =CN =12BC ∴MN =MB +BN =12AB +12BC =12(AB +BC )∴MN =12AC 练习：1.如图，点C 是线段AB 上的一点，M 是线段BC 的中点. 求证：AM =12 (AB +BC ) 2.如图，点B 在线段AC 上，M 是AB 的中点，N 是AC 的中点.求证：MN =12 BC 3.如图，点B 在线段AC 上，N 是AC 的中点，M 是BC 的中点.求证：MN =12 AB 规律5.有公共端点的n 条射线所构成的交点的个数一共有-1 (1)2n n 个. 规律6.如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2(1)－n n 个. 规律7.如果平面内有n 条直线都经过同一点，则可构成-(1)n n 对对顶角.
规律8.平面上若有≥(3)n n 个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出--11()(2)6n n n 个. 规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90o . 规律10.平面上有n 条直线相交，最多交点的个数为-1(1)2 n n 个. 规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半. 规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直. 例：如图，以下三种情况请自行证明. 规律13.已知AB ∥DE ,如图⑴～⑹,规律如下： (1)360ABC BCD CDE ∠+∠+∠=? (2)BCD ABC CDE ∠=∠+∠ (3)BCD CDE ABC ∠=∠-∠ (4)BCD ABC CDE ∠=∠-∠
初中数学平面几何建系专题 一.创设问题情境，引入新课 1．一位居民打电话给供电部门：“卫星路第8根电线杆的路灯坏了，”维修人员很快修好了路灯。 2．地质部门在某地埋下一个标志桩，上面写着“北纬44.2°，东经125.7°”。 3．某人买了一张8排6号的电影票，很快找到了自己的座位。 分析以上情景，他们分别利用那些数据找到位置的。 你能举出生活中利用数据表示位置的例子吗？ 二、新课讲授 1、由学生回答以下问题： (1)引入：影院对观众席所有的座位都按“几排几号”编号，以便确定每 个座位在影院中的位置，观众根据入场券上的“排数”和“号数”准确入座。 （2）根据下面这个教室的平面图你能确定某同学的坐位吗？对于下面这个根据教师平面 图写的通知，你明白它的意思吗？“今天以下座位的同学放学后参加数学问题讨论：（1,5），（2，4），（4，2），（3，3）,(5,6）。” 学生通过合作交流后得到共识:规定了两个数所表示的含义后就可以表示座位的位置. 思考: (1)怎样确定教室里坐位的位置 ?
（2）排数和列数先后顺序对位置有影响吗？（2，4）和（4，2）在同一位置。 （3）假设我们约定“列数在前，排数在后”，你在图书6 1-1上标出被邀请参加讨论的同学的座位。 让学生讨论、交流后得到以下共识： （1）可用排数和列数两个不同的数来确定位置。 （2）排数和列数先后顺序对位置有影响。（2，4）和（4，2）表示不同的位置，若约定“列数在前排数在后”则（2，4）表示第2列第4排，而（4，2）则表示第4列第2排。因而这一对数是有顺序的。（3）让学生到黑板贴出的表格上指出讨论同学的位置。 2、有序数对：用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示 不同的含义，我们把这种有顺序的两个数a与b组成的数 对，叫做有序数对,记作（a,b） 利用有序数对，可以很准确地表示出一个位置。 3、常见的确定平面上的点位置常用的方法 （1）以某一点为原点（0，0）将平面分成若干个小正方形的方格，利用点所在的行和列的位置来确定点的位置。 （2）以某一点为观察点，用方位角、目标到这个点的距离这两个数来确定目标所在的位置。（以后学习） 巩固练习：1、教材65页练习 2．如图，马所处的位置为（2，3）. （1）你能表示出象的位置吗？ （2）写出马的下一步可以到达的位置。
解析几何基础100题 一、选择题： 1. 若双曲线22 221x y a b -=-的离心率为54，则两条渐近线的方程为 A 0916X Y ±= B 0169X Y ±= C 034X Y ±= D 043 X Y ±= 解 答：C 易错原因：审题不认真，混淆双曲线标准方程中的a 和题目中方程的a 的意义。 2. 椭圆的短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆的中心到其准线的距离是 解 答：D 易错原因：短轴长误认为是b 3．过定点（1，2）作两直线与圆2222150x y kx y k ++++-=相切，则k 的取值范围是 A k>2 B -3
A 2 B 2或 3 解答：D 易错原因：忽略条件0 a b >>对离心率范围的限制。 5．已知二面角β α- -l的平面角为θ，PAα ⊥，PBβ ⊥，A，B为垂足，且PA=4，PB=5，设A、B到二面角的棱l的距离为别为y x,，当θ变化时，点) , (y x的轨迹是下列图形中的 A B C D 解答： D 易错原因：只注意寻找,x y的关系式，而未考虑实际问题中,x y的范围。 6．若曲线y=(2) y k x =-+3有两个不同的公共点，则实数 k 的取值范围是 A 01 k ≤≤ B 3 4 k ≤≤ C 3 1 4 k -<≤ D10 k -<≤ 解答：C 易错原因：将曲线y=转化为224 x y -=时不考虑纵坐标的范围；另外没有看清过点(2,-3)且与渐近线y x =平行的直线与双曲线的位置关系。 7．P(-2,-2)、Q(0,-1)取一点R(2,m)使︱PR︱＋︱RQ︱最小，则m=（）
立体几何100题 1.如图，三角形中， ， 是边长为l 的正方形，平面 底面 ， 若 分别是 的中点. （1）求证：底面； （2）求几何体 的体积. 2．在三棱锥P ABC -中， PAC ?和PBC ? 2AB =， ,O D 分别是,AB PB 的中点. （1）求证： //OD 平面PAC ； （2）求证: OP ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥D ABC -的体积. 3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 0 90BAC ∠=， 2AB AC ==，点,M N 分别 为111,AC AB 的中点. （1）证明： //MN 平面11BB C C ； （2）若CM MN ⊥，求三棱锥M NAC -的体积.. 4．如图，在三棱柱中， 平面，点是与 的交点，点在线段上，平面 . （1）求证： ；
（2）若,求点到平面的距离. 5．如图，四棱锥P A B C -中，底面ABCD 是直角梯形， 1 ,//,2 AB BC AD BC AB BC AD ⊥== ， PAD ?是正三角形， E 是PD 的中点． （1）求证： AD PC ⊥； （2）判定CE 是否平行于平面PAB ，请说明理由． 6．如图，在四棱锥S ABCD -中，侧面SAD ⊥底面ABCD ， SA SD =， //AD BC ， 22AD BC CD ==， M ， N 分别为AD ， SD 的中点． （1）求证： //SB 平面CMN ；（2）求证： BD ⊥平面SCM ． 7．如图，在矩形中， ， 平面 ， 分别为 的中点，点 是 上一个动点． (1) 当是 中点时，求证:平面 平面 ； (2) 当时，求的值． 8．如图，在正三棱柱111A B C ABC -中，点,D E 分别是1,AC AB 的中点． 求证： ED ∥平面11BB C C
初中平面几何145个知识点 几何要想取得好成绩，几何公式一定要烂熟于胸。几何公式是做好几何题的根基，因此同学们一定要在几何公式上多下功夫。 线 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 … 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行初中几何公式： 角 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 ? 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 初中几何公式：三角形 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 ] 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22 边角边公理有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 } 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二） 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二） 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC 的 延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
F 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线 EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
平面几何100题 1.非等腰锐角三角形ABC 的外接圆为ω，H 为△ABC 的垂心，M 是AB 的中点。在不含C 的圆弧AB 上取点P、Q，使得∠ACP=∠BCQ＜∠ACQ，过H 分别作CQ、CP 的垂线，垂足为R、S。证明：P，Q，R，S 共圆且点M 是该圆的圆心。 2.在△ABC 中，点M、N、K 分别在边BC、CA、AB 上且不与顶点重合，若∠BAC=∠KMN 且∠ABC=∠KNM，则称△MNK 为完美三角形。证明：如果在△ABC 中有两个具有共同顶点且不重合的完美三角形，则△ABC 是直角三角形。 3.四边形ABCD 满足AD//BC，∠ABC>90?，M 是线段AB 上不同于A、B 的一点，设△MAD、△MBC 的外心分别为21,O O 。△D MO 1的外接圆不同于M 的交点为N。求证：点N 在直线21O O 上。 4.在凸四边形（非平行四边形）ABCD 的对角线上分别取点B′、C′，使得△ACB′、△BDC′都为正三角形，其中点B 和B′位于AC 的同侧，点C 和C′位于BD 的同侧，如果CD AB C B +=''，求∠BAD+∠CDA 的值。 5.给定一个凸六边形ABCDEF，其中AB//DE，BC//EF，CD//FA。设BD 和AE、AC 和DF、CE 和BF 的交点分别为M、N、K。证明：过M、N、K 分别作AB、CD、EF 的垂线交于同一点。 6.圆内接四边形ABCD 的对角线交于点K，点M 和N 分别是对角线AC 和BD 的中点，△ADM 和△BCM 的外接圆交于点M、L，证明：K，L，M，N（这些点两两不重合）四点共圆。 7.圆内接四边形ABCD 的外接圆为圆Ω且AB=AD，在线段BC、CD 上分别取点M、N，使得MN=BM+DN。直线AM 交圆Ω于点P （不同于A），直线AN 交圆Ω于点Q （不同于A）。求证：△APQ 的垂心在MN 上。 8.给定四边形ABCD，其中∠B=∠D=90?，在线段AB 上取点M 使得AD=AM。直线DM 和CB 交于点N，过D 作AC 的垂线垂足为H，过C 作AN 的垂线垂足为K。求证：∠MHN=∠MCK。 9.在凸四边形ABCD 中，边AB、BC、CD、DA 的中点分别为K、L、M、N，设直线KM 分别与对角线AC、BD 交于点R、S。求证：若AP?PC=BQ?QD，则AR?RC=BS?SD。 10.两个相离的圆21,ωω的圆心分别为21,O O ，21A A 是两圆的一条外公切线且11ω∈A ，22ω∈A ，设线段21A A 的中点为K，过K 分别作圆21,ωω的切线21,KB KB （2211,A B A B ≠≠）且2211,ωω∈∈B B 。直线11B A 与22B A 交于点L，直线KL 与21O O 交于点P，求证：L P B B ,,,21四点共圆。 11.三角形ABC 的边AB、AC 上分别取点D、E 满足DE//BC，设21,O O 分别为△ABE，△ACD 的外心。直线21O O 交AC 于点P，交AB 于点Q。设O 为△APQ 的外心，M 为AO 延长线与BC 的交点。证明：M 为BC 的中点。
高中数学联赛难度几何题100道 第一题：学习证明角平分 (4) 第二题：学习证明四点共圆 (5) 第三题：学习证明角的倍数关系 (6) 第四题：证明线与圆相切 (7) 第五题：证明垂直 (8) 第六题：证明线段相等 (9) 第七题：证明线段为比例中项 (10) 第八题：证明垂直 (11) 第九题：证明线段相等 (12) 第十题：证明角平分 (13) 第十一题：证明垂直 (14) 第十二题：证明线段相等 (15) 第十三题：证明角相等 (16) 第十四题：证明中点 (17) 第十五题：证明线段的二次等式 (18) 第十六题：证明角平分 (19) 第十七题：证明中点 (20) 第十八题：证明角相等 (21) 第十九题：证明中点 (22) 第二十题：证明线段相等 (23) 第二十一题：证明垂直 (24) 第二十二题：证明角相等 (25) 第二十三题：证明四点共圆 (26) 第二十四题：证明两圆相切 (27) 第二十五题：证明线段相等 (28) 第二十六题：证明四条线段相等 (29) 第二十七题：证明线段比例等式 (30) 第二十八题：证明角的倍数关系 (31) 第二十九题：证明三线共点 (32) 第三十题：证明平行 (33) 第三十一题：证明线段相等 (34) 第三十二题：证明四点共圆 (35) 第三十三题：证明三角形相似 (36) 第三十四题：证明角相等 (37) 第三十五题：证明内心 (38) 第三十六题：证明角平分 (39) 第三十七题：证明垂直 (40) 第三十八题：证明面积等式 (41) 第三十九题：证明角平分 (42) 第四十题：证明角相等 (43)
第四十二题：证明中点 (45) 第四十三题：证明角相等 (46) 第四十四题：证明垂直 (47) 第四十五题：证明角相等 (48) 第四十六题：证明垂直 (49) 第四十七题：证明四点共圆 (50) 第四十八题：证明四点共圆 (51) 第四十九题：证明四点共圆 (52) 第五十题：证明角平分 (53) 第五十一题：证明线段相等 (54) 第五十二题：证明两圆外切 (55) 第五十三题：证明垂直 (56) 第五十四题：证明垂直 (57) 第五十五题：证明垂直 (58) 第五十六题：证明垂直 (59) 第五十七题：证中点 (60) 第五十八题：证明角相等 (61) 第五十九题：证明角相等 (62) 第六十题：证明四点共圆 (63) 第六十一题：证明四点共圆 (64) 第六十二题：证明四点共圆 (65) 第六十三题：证明角相等 (66) 第六十四题：证明角的倍数关系 (67) 第六十五题：证明中点 (68) 第六十六题：伪旁切圆 (69) 第六十七题：证明垂直 (70) 第六十八题：证明平行 (71) 第六十九题：证明圆心在某线上 (72) 第七十题：证明三线共点 (73) 第七十一题：证明垂直 (74) 第七十二题：证明垂直 (75) 第七十三题：证明中点 (76) 第七十四题：证明垂直 (77) 第七十五题：证明垂直 (78) 第七十六题：证明三线共点 (79) 第七十七题：证明平行 (80) 第七十八题：证明平行 (81) 第七十九题：证明三线共点、证明垂直 (82) 第八十题：证明三点共线（牛顿定理） (83) 第八十一题：证明角平分 (84) 第八十二题：证明角相等 (85) 第八十三题：证明三点共线 (86) 第八十四题：证明四圆共点 (87)
1、设I是△ABC的内心，D是边BC上的一点，E是BC延长线上一点，且满足BD DC =BE EC .设H是 D到直线IE的垂足，证明：∠AHE=∠IDE. B
2、设O、H分别是△ABC的外心和垂心，点A关于直线OH的对称点是P，点P和点A不在直线BC的同侧，E、F分别在AB和AC上，满足BE=PC，CF=PB，直线AP、OH相交于点K，证明：EK⊥FK. B C P
3、设正△ABC的外接圆和内切圆分别是Γ、ω，P为ω上一动点，P1、P2、P3分别为P在BC、CA、AB上的射影，圆ω1、ω2、ω3分别与BC、CA、AB切于P1、P2、P3且与Γ内切（它们的圆心与A、B、C分别在BC、CA、AB的异侧）.证明：圆ω1、ω2、ω3两两外公切线的长度之和是一个定值. A
4、设正△ABC内接于⊙O，E、F分别是AC，BC上一点，使得AE=2CE，BF=2CF. P为⊙O上的一点，PD⊥EF于D，交AB于K，作PS⊥BC于S，连接SK并交AO于T.证明：DS=DT. T
5、设E、F分别位于△ABC的AC，AB边上，BE、CF交于D，△AEF的外接圆交△ABC的外接圆于点A、P，△AEF的外接圆在A处的切线交△ABC于A、Q两点，设N、M分别为AQ、BC的中点.证明：∠APD=∠MNQ. Q
6、已知△ABC的外心为O，A′、B′、C′分别是边BC、CA、AB上的点，且满足A、B′、C′、O共圆，C、A′、B′、O共圆.以B′为圆心，B′C为半径的圆和以C′为圆心，BC′为半径的圆的根轴为l a.类似定义l b、l c.证明：直线l a、l b、l c交出的三角形垂心与△ABC的垂心重合.
61.设ω是△ABC的外接圆，ΓA是与线段AB、AC相切且与ω内切的圆，Γ B是与线段BA、BC相切且与ω内切的圆，ΓC是与线段CA、CB相切且与ω内切的圆．设过B、C且与Γ A 相切的圆（不同于ω）切ΓA于X，过C、A且与ΓB相切的圆（不同于ω）切ΓB于Y，过A、 B且与ΓC相切的圆（不同于ω）切ΓC于Z．证明：AX、BY、CZ三线共点．
62.设⊙I是△ABC的内切圆，⊙u、⊙v、⊙w分别是过点B和点C且与⊙I相切的圆、过点A和点C且与⊙I相切的圆、过点B和点A且与⊙I相切的圆．设P、Q、R、S、T、U分别是⊙w与BC、⊙v与BC、⊙v与AB、⊙u与AB、⊙u与CA、⊙w与AC的交点（均不同于A、B、C）．I1、I2分别是△ARQ、△BST的内心，类似定义I3、I4、I5、I6．I A是△AST∠ SAT内的旁心，类似定义I B、I C．求证∶△I A I2I3、△I B I6I1、△I C I4I5的欧拉线共点．
63.以凸四边形ABCD为边长向外作正方形AE1E2B、BF1F2C、CG1G2D、DH1H2A．连接AF1、BG1、CH1、DE1交出四边形A'B'C'D'，连接DF2、AG2、BH2、CE2交出四边形A''B''C''D''．证明∶A'A''、B'B''、C'C''、D'D''交出的四边形是正方形．
64.圆内接四边形ABCD中，直线AC、BD交于E，直线AB、CD交于F，直线BC、DA交于G．设△ABE的外接圆与直线CB交于B、P两点，△ADE的外接圆与直线CD交于D、Q两点．设直线FP、GQ交于点M，证明∶AM⊥AC．
高联难度平面几何 100题实用文档
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目录 第一题：证明角平分 (10) 第二题：证明四点共圆 (11) 第三题：证明角的倍数关系 (12) 第四题：证明线与圆相切 (13) 第五题：证明垂直 (15) 第六题：证明线段相等 (16) 第七题：证明线段为比例中项 (17) 第八题：证明垂直 (18) 第九题：证明线段相等 (19) 第十题：证明角平分 (21) 第十一题：证明垂直 (22) 第十二题：证明线段相等 (23) 第十三题：证明角相等 (24) 第十四题：证明中点 (25) 第十五题：证明线段的二次等式 (26) 实用文档
第十六题：证明角平分 (27) 第十七题：证明中点 (28) 第十八题：证明角相等 (29) 第十九题：证明中点 (30) 第二十题：证明线段相等 (31) 第二十一题：证明垂直 (32) 第二十二题：证明角相等 (34) 第二十三题：证明四点共圆 (35) 第二十四题：证明两圆相切 (36) 第二十五题：证明线段相等 (37) 第二十六题：证明四条线段相等 (38) 第二十七题：证明线段比例等式 (39) 第二十八题：证明角的倍数关系 (40) 第二十九题：证明三线共点 (42) 第三十题：证明平行 (43) 第三十一题：证明线段相等 (44) 实用文档
第三十二题：证明四点共圆 (45) 第三十三题：证明三角形相似 (46) 第三十四题：证明角相等 (47) 第三十五题：证明内心 (48) 第三十六题：证明角平分 (49) 第三十七题：证明垂直 (50) 第三十八题：证明面积等式 (51) 第三十九题：证明角平分 (52) 第四十题：证明角相等 (53) 第四十一题：证明中点 (55) 第四十二题：证明中点 (56) 第四十三题：证明角相等 (57) 第四十四题：证明垂直 (58) 第四十五题：证明角相等 (60) 第四十六题：证明垂直 (61) 第四十七题：证明四点共圆 (63) 实用文档
高联难度平面几何100题第一题分析与解答 第一题：证明角平分 已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。 求证：PCE PCD ∠=∠。
法一、调和路线 ()1(2):(3):??????? 方向:对边乘积相等两切一割调和四边形方向圆上再取一点与调和四顶点相连，得新的调和线束 方向一组对顶点处的切线与另一组对角线，三线共点 123????????????? 方向：用直线截得调和点列调和线束方向：用圆截得调和四边形 垂直，角平分方向：特殊的调和线束平行，中点 证明：由于PE ,PF 圆O 的切线，PBC 是圆O 的切线，所以四边形EBFC 是调和四边形. 又因为，A 在圆O 上，所以，(AE ,AF ;AB ,AC )是调和线束 设直线AC 与DE 交于点K ,则直线截调和线束(AE ,AF ;AB ,AC )于点E ,D ,B ,K . 于是(E ,D ,;B ,K )是调和点列，所以，(CE ,CD ,;CB ,CK )是调和线束. 又因为AB 是圆O 的直径，所以，CK ⊥CB ，所以，CB 平分角ECD ,结论得证。 法二、角和边的推导 1.整体思路： =EB AF D AB E F O P D C E F P PB O C =?????????=? ??图形基础，，，圆、、的关系结论切线切线 2.关键步骤： ,,,.=EB AF D A B E F D P E F P PB O C =????=? 把的边和角的关系，推到至、切线切线 3.难点突破：寻找点P 、D 的关系. 证明过程：
平面几何练习一 一、填空: 1. 在同一平面内不相交的两条直线叫( ). 2. 12个正方形可以摆成( )种不同形式的长方形. 3. 在等腰三角形中,如果顶角为124°,底角各是( ),这个三角形是 ( )角三角形. 4. 把两个边长都是2厘米的正方形拼成一个长方形,这个长方形的周长是 ( ),面积是( ). 5. 一个平行四边形,底是24厘米,高2分米,面积是( ). 6. 一个等边三角形,周长是12.6厘米,它的边长是( )厘米. 7. 周长是28厘米的长方形,长是10厘米,面积是( ). 8. 一个梯形的面积是10平方分米,高是4分米,上底是 2.2分米,下底是 ( )分米. 9. 一个圆,周长是6.28分米,它的面积是( ). 二、判断: 1. 小明画了一条25厘米长的直线. 2. 等边三角形和等腰三角形都是锐角三角形. 3. 两个面积相等的三角形一定可以拼成一个平行四边形. 4. 平行四边形和长方形的周长相等,它们的面积也相等. 5. 半径是2厘米的圆,它的周长和面积相等. 6. 半圆的周长是和它等半径的圆周长的一半. 7. 平行四边形不是对称图形,没有对称轴. 8. 一个四边形,四个角相等,四条边也相等,这个四边形是正方形. 9. 钝角三角形只有一组底和高. 10. 一个三角形中,不可能有两个钝角. 三、选择: 1. 从一点引出两条( )就组成一个角.A 直线 B 线段 C 射线 2. 一个四边形只有一组对边平行,这个四边形是( ). A 平行四边形 B 任意四边形 C 梯形 3. 把长方形拉成一个四条边长度保持不变的平行四边形后,它的面积 ( ).A 比原来大 B 比原来小 C 与原来相等 4. 下列图形中,( )的对称轴有无数条. A 正方形 B 等边三角形 C 圆 5. 用两根同样长的铁丝,分别围成一个正方形和一个圆.正方形的面积和圆的面积 相比较,( ).A 正方形的面积大 B 同样大 C 圆的面积大 四、操作题: 1. 过一条直线外一点,画出这条直线的垂线和平行线. 2. 分别画出下列三角形的三条高. 3、计算下面图形的周长和面积:(单位:厘米) 五、应用题: 1. 一个运动场(如图),两头是半圆形,中间是长方形,这个运动场的周长是多少 米?面积是多少平方米? 2. 一个长方形养鸡场,一条长边利用原有墙,其余三面是竹篱笆,已知篱笆共长 24米,宽是长的 2 1 ,鸡场的面积是多少平方米? 3. 抗日战争时期王庄民兵自制一种土雷,爆炸时,有效杀伤距离是15米,它的有 效杀伤面积是多少平方米? 4. 张村有一块边长是56米的正方形苹果园,苹果树的株距是4米,行距7米,这 块地共有苹果树多少棵?如果每棵平均可以收苹果165千克,这个果园一年共收苹果多少千克? 5. 一块长1米20厘米,宽90厘米的铝皮,剪成直径是30厘米的铝锅底,最多可 以剪几块 ?
1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ． 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形． 3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、 CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、 BC 的延长线交MN 于E 、F ． 求证：∠DEN ＝∠F ． A P C D B A F G C E B O D D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C B D A A 1 B
F 1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二） 2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 引圆的两条直线，交圆于B 、C 及D 、E ，直线 EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二） 4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形 CBFG ，点P 是EF 的中点． 求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．
ABC ABC 2017中考平面几何题目 （北京）28.在等腰直角ABC ?中，090ACB ∠=，P 是线段BC 上一动点 （与点B C 、不重合），连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ CP =，过点Q 作QH AP ⊥于点H ，交AB 于点M . （1）若PAC α∠=，求AMQ ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明.( CP =) （成都）20. 如图，在ABC ?中，AB AC =，以AB 为直径作圆O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH AC ⊥于点H ，连接DE 交线段OA 于点F . （1）求证：DH 是圆O 的切线； （2）若A 为EH 的中点，求EF FD 的值； 23 EF FD = （3）若1EA EF ==，求圆O 的半 径.( 1,,EA EF OD OF r BD BE BF ====== )1,,1,1EA FD r BF r AF r ===+=- 111EA AF r BF FD r r -=?=+ ,r = （安徽）23.已知正方形ABCD ，点M 为边AB 的中点. （1）如图1，点G 为线段CM 上的一点，且90AGB ∠=?，延长AG ，BG 分别与边BC ，CD 交于点E ，F . ② 证：BE CF =； ②求证：2BE BC CE =?.(,CEG CGB CG FC BE ==) （2）如图2，在边BC 上取一点E ，满足2BE BC CE =?，连接AE 交CM 于点G ，
连接BG延长交CD于点F，求tan CBF ∠的值. ( 51 tan 2 CBF - ∠=) H （CH=BE,CH/AM=CG/GM=FC/MB,FC=CH=BE,设BC=1,BE=x,得 51 x 2 -=,） （福州）24．（12分）如图，矩形ABCD中，AD=8，AB=6，P，Q分为线段AC、BC上一点，且四边形PDRQ是矩形， （1）若PDC为等腰三角形，求AP；(三种情况，PD=DC时，取PC的中垂线较好。) （2）若AP=2，求线段RC的长。（△PND∽△QMP→△PQR∽△ABC∽△PMC，→PRCQ共圆，∠PCR=90°，△KRC∽△PMC，三边符合3：4：5，算 出RC=3 2 4 ） N K M （白银）27．如图，AN是M的直径，// NB x轴，AB交M于点C． （1）若点()()0 0,6,0,2,30 A N ABN ∠=，求点B的坐标；(3,2) （2）若D为线段NB的中点，求证：直线CD是M的切线． （天水） （BC=62） （广东）25．如题25图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCD是矩
欢迎阅读 经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ． 2 3CC 1、DD 14的延长 1 （1 （22、设D 、E ， 直线3P 、Q ． 4， 点P 123、设P 4、D ．求证：12、设P
3、设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD · 4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二） 经典难1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，L ＝PA ＋PB ＋ 2 3、P 4EBA ＝2001.即△2. △3.连接由A 2∠GE B 2+∠Q=90,所以∠GE B 2=∠GFQ 又∠B 2FC 2=∠A 2EB 2 ， 可得△B 2FC 2≌△A 2EB 2 ，所以A 2B 2=B 2C 2 ， 又∠GFQ+∠HB 2F=900和∠GFQ=∠EB 2A 2 , 从而可得∠A 2B 2 C 2=900 ， 同理可得其他边垂直且相等， 从而得出四边形A 2B 2C 2D 2是正方形。 4.如下图连接AC 并取其中点Q ，连接QN 和QM ，所以可得∠QMF=∠F ，∠QNM=∠DEN 和∠QMN=∠QNM ，从而得出∠DEN ＝∠F 。 经典难题（二） D
1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF, 又∠F=∠ACB=∠BHD， 可得BH=BF,从而可得HD=DF， 又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM (2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200， 从而可得∠BOM=600, 所以可得OB=2OM=AH=AO, 得证。 3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。 由于 2 2 AD AC CD FD FD AB AE BE BG BG ====， ∠4.过 由△1. 推出∠ 又∠ 2.连接由 又∠ 3.作FG 令 tan∠BAP=tan∠EPF=X Y = Z Y X Z -+ ，可得YZ=XY-X2+XZ， 即Z(Y-X)=X(Y-X) ，既得X=Z ，得出△ABP≌△PEF ， 得到PA＝PF ，得证。 经典难题（四）1.顺时针旋转△ABP 600，连接PQ ，则△PBQ是正三角形。 可得△PQC是直角三角形。 所以∠APB=1500。 2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.
平面几何经典难题及解答
经典难题（一） 1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ． 2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内一点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形． A P C D A F G C E B O D
3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正 方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点． 求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二） 4、已知：如图，在四边形ABCD ， M 、N 分别是AB 、、BC 的延长线交MN 于求证：∠DEN ＝∠F ． D 2 C 2 B 2 A 2 D 1 C 1 B 1 C D A A 1 B
经典难题（二） 1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M． （2）若∠BAC＝600，求证： 二） 2、设MN是圆O外一直线，过O 于A，自A D、E，直线EB及CD分别交 求证：AP＝AQ．（初二）
3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题： 设MN是圆O的弦，过 任作两弦BC、DE，设CD、 于P、Q． 求证：AP＝AQ．（初二） 4、如图，分别以△ABC的 CBFG，点P是EF
求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二） 经典难题（三） 1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F． 求证：CE＝CF．（初二）Array 2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，