第一章 函数、极限与连续
由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数.
极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述.
第一节 变量与函数
一、变量及其变化范围的常用表示法
在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????；
满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即
(,){|}a b x a x b =<<；
满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即
(,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
左开右闭区间与右开左闭区间统称为半开半闭区间，实数a ，b 称为区间的端点.
以上这些区间都称为有限区间.数b a -称为区间的长度.此外还有无限区间：
(){|}x x -∞+∞=-∞<<+∞=R ，，
(,{|}b x x b -∞=-∞<≤??，
(,){|}b x x b -∞=-∞<<， ){|}a x a x +∞=≤<+∞??，
， (){|}a x a x +∞=<<+∞，，
等等. 这里记号“-∞”与“+∞”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”.
邻域也是常用的一类区间.
设0x 是一个给定的实数，δ是某一正数，称数集:
{}00|x x δx
x δ-<<+为点0x 的δ邻域，记作0(,)U x δ.即(){}000,|U x δx x δx x δ=-<<+
称点0x 为该邻域的中心，δ为该邻域的半径(见图1-1).称{}00(,)U x δx -为0x 的去心δ邻域，记作0(,)x δo
U ，即
{}00(,)|0U x δx x x δ?
=<-<
图1-1
下面两个数集
(){}000,|U x δx x δx x ?
-
=-<<，
(){}00
0,|U x δx x
x x δ?
+=<<+，
分别称为0x 的左δ邻域和右δ邻域.当不需要指出邻域的半径时，我们用0()U x ，0()x o
U 分别表
示0x 的某邻域和0x 的某去心邻域，(
)
,x δ-
o
U ，()
,U x δ?
+
分别表示0x 的某左邻域和0x 的某右邻域.
二、函数的概念
在高等数学中除了考察变量的取值范围之外，我们还要研究在同一个过程中出现的各种彼此相互依赖的变量，例如质点的移动距离与移动时间.曲线上点的纵坐标与该点的横坐标，弹簧的恢复力与它的形变，等等.我们关心的是变量与变量之间的相互依赖关系，最常见的一类依赖关系，称为函数关系.
定义 1 设A ，B 是两个实数集，如果有某一法则f ，使得对于每个数x A ∈，均有一个确定的数y B ∈与之对应，则称f 是从A 到B 内的函数.习惯上，就说y 是x 的函数，记作
()y f x = ()x A ∈
其中，x 称为自变量，y 称为因变量，()f x 表示函数f 在x 处的函数值.数集A 称为函数f 的定义域，记为()D f ；数集
{}()|(),f A y y f x x A B ==∈?
称为函数f 的值域，记作()R f .
从上述概念可知，通常函数是指对应法则f ，但习惯上用“() ,y f x x A =∈”表示函数，此时应理解为“由对应关系()y f x =所确定的函数f ”.确定一个函数有两个基本要素，即定义域和对应法则.如果没有特别规定，我们约定：定义域表示使函数有意义的范围，即自变量的取值范围.在实际问题中，定义域可根据函数的实际意义来确定.例如，在时间t 的函数()f t 中，t 通常取非负实数.在理论研究中，若函数关系由数学公式给出，函数的定义域就是使数学表达式有意义的自变量x 的所有可以取得的值构成的数集.对应法则是函数的具体表现，它表示两个变量之间的一种对应关系.例如，气温曲线给出了气温与时间的对应关系，三角函数表列出了角度与三角函数值的对应关系.因此，气温曲线和三角函数表表示的都是函数关系.这种用曲线和列表给出函数的方法，分别称为图示法和列表法.但在理论研究中，所遇到的函数多数由数学公式给出，称为公式法.例如，初等数学中所学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数都是用公式法表示的函数.
从几何上看，在平面直角坐标系中，点集
()(){(,)|,}x y y f x x D f =∈
称为函数()y f x =的图像（如图1-2所示）.函数()y f x =的图像通常是一条曲线，()y f x =也称为这条曲线的方程.这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；相反，一些几何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨.
现在我们举一个具体函数的例子.
图1-2
例1
求函数y . 解 要使数学式子有意义，x 必须满足
> ,2
40,
10x x ?-≥??
-??
即 >2,
1.x x ?≤????
由此有 12x <≤，
因此函数的定义域为(12??，.
有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为
分段函数.下面给出一些今后常用的分段函数.
例2 绝对值函数
<,0,
,0.x x y x x x ≥?==?
-? 的定义域()()D f =-∞+∞，
，值域()[0,)R f =+∞，如图1-3所示. 例3 符号函数
<>1,0,sgn 0,0,1,0x y x x x -??
===???
的定义域()()D f =-∞+∞，
，值域()11{0}R f =-，，，如图1－4所示.
图1-3 图1-4
例4 最大取整函数y x =????，其中x ????表示不超过x 的最大整数.例如，113??-=-????
，00=????
，
1=，π3=????等等.函数y x =????的定义域()()D f =-∞+∞，，值域(){}R f =整数.一般地，y x n ==????，1n x n ≤<+，
120,,n =±±，，如图1-5所
示.
图1-5
在函数的定义中，对每个()x D f ∈，对应的函数值y 总是唯一的，这样定义的函数称为单值函数.若给定一个对应法则g ，对每个()x D g ∈，总有确定的y 值与之对应，但这个y 不总
关系的，如高度为一定值的圆柱体的体积与其底面圆半径r 的关系，就是通过另外一个变量其底面圆面积S 建立起来的对应关系.这就得到复合函数的概念.
定义2 设函数()y f u =的定义域为()D f ，函数()u g x =在D 上有定义，且()()g D D f ?.则由下式确定的函数
()()y f g x =，x D ∈
称为由函数()y f u =与函数()u g x =构成的复合函数，记作
()()()()y f g x f g x =?=，x D ∈，
它的定义域为D ，变量u 称为中间变量.
这里值得注意的是，D 不一定是函数()u g x =的定义域()D g ，但()D D g ?.D 是()D g 中
所有使得()()g x D f ∈的实数x 的全体的集合.例如，()y f u u ==， ()21u g x x =
=-.显然，
u 的定义域为(),-∞+∞，而()(0,)D f =+∞.因此，11,D -????＝，而此时1()0,R f g ?=????.
两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形.
例如， log a μx
u y x a ==()10a a >≠且可看成由指数函数u y a =与log a u μx =复合而成.又形
如()log ()()()a v x u x v x y u x a ==()0u x ????＞()10a a >≠且的函数称为幂指函数，它可看成由w
y a =与
()log ()a w v x u x =复合而成. 而y =可看成由y =sin u v =，2v x =复合而成.
例5 设()1
x
f x x =+()1x ≠-，求()()()
f f f x
解 令()y f w =，()w f u =，()u f x =，则()()()
f f f x 是通过两个中间变量w 和u 复合而成的复合函数，因为
()11
1
1
21
x x x x u
x
w f u u x ++===
=
+++，12x ≠-；
()2121
,1
1
31
x x x x w
x
y f w w x ++===
=
+++13x ≠-，
所以 ()()()
31x f f f x x =+，111
,,23
x ≠---.
定义3 设给定函数()y f x =，其值域为()R f .如果对于()R f 中的每一个y 值，都有只从关系式()y f x =中唯一确定的x 值与之对应，则得到一个定义在()R f 上的以y 为自变量，x 为因变量的函数，称为函数()y f x =的反函数，记为()1
x f
y -=.
从几何上看，函数()y f x =与其反函数()1
x f y -=有同一图像.但人们习惯上用x 表示自变量，y 表示因变量，因此反函数()1x
f y -=常改写成()1y f x -=.今后，我们称()1y f x -=为
()y f x =的反函数. 此时，由于对应关系1
f
-未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反
函数()1
y f
x -=与直接函数()y f x =的图像关于直线y x =对称，如图 1 - 6所示.
图1-6
值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数2y x =的定义域为()-∞+∞，，值
域为，但)0+∞??，
对每一个()0y ∈+∞，，有两个x 值即1x =和2x =因此x 不是y 的函数，从而2y x =不存在反函数.事实上，由逆映射存在定理知，若f 是从()D f 到()
R f 的一一映射，则f 才存在反函数1f -.
例6 设函数(1)1
x
f x x +=+ ()1x ≠-，求()11f x -+.
解 函数()1y f x =+可看成由()y f u =，1u x =+复合而成.所求的反函数()
1
1y f x -=+可看成由()1
y f
u -=，1u x =+复合而成.因为
()1
1x u f u x u
-=
=+，0u ≠， 即1u y u -=，从而，()11u y -=-， 11u y
=-，
所以 ()1
1
1y f u u
-==-， 因此 ()1111
,01(1)f x x x x
-+=
=-≠-+.
三、函数的几种特性
1. 函数的有界性
设函数()f x 在数集D 上有定义，若存在某个常数L ，使得对任一x D ∈有
()f x L ≤（或()f x L ≥），
则称函数()f x 在D 上有上界（或有下界），常数L 称为()f x 在D 上的一个上界（或下界）；否则，称()f x 在D 上无上界（或无下界）.
若函数()f x 在D 上既有上界又有下界，则称()f x 在D 上有界；否则，称()f x 在D 上无
界.若()f x 在其定义域D f （）上有界，则称()f x 为有界函数.容易看出，函数()f x 在D 上有界
的充要条件是：存在常数M>0，使得对任一x D ∈，都有
()f x M ≤.
例如，函数sin y x =在其定义域()-∞+∞，内是有界的，因为对任一()x ∈-∞+∞，都有sin 1x ≤，函数1
y x
=
在()10,内无上界，但有下界. 从几何上看，有界函数的图像界于直线y M =±之间.
2. 函数的单调性
设函数()f x 在数集D 上有定义，若对D 中的任意两数12,x x 12()x x <，恒有
()()12f x f x ≤ [或()()12f x f x ≥]，
则称函数()f x 在D 上是单调增加（或单调减少）的.若上述不等式中的不等号为严格不等号，则称为严格单调增加（或严格单调减少）的.在定义域上单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数.如图1-7所示.
图1-7
例如，函数()3
f x x =在其定义域()-∞+∞，
内是严格单调增加的；函数()cos f x x =在π0,（）内是严格单调减少的.
从几何上看，若()y f x =是严格单调函数，则任意一条平行于x 轴的直线与它的图像最多
交于一点，因此()y f x =有反函数.
3. 函数的奇偶性
设函数()f x 的定义域()D f 关于原点对称（即若()x D f ∈，则必有()x D f -∈.若对任意的()x D f ∈，都有
()()f x f x -=-[或()()f x f x -=]，
则称()f x 是()D f 上的奇函数（或偶函数）.
奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于y 轴，如图1－11所示.
图1-8
例7 讨论函数()(ln f x x =的奇偶性. 解 函数()f x 的定义域()-∞+∞，
是对称区间，因为
()(ln
ln f x x ??-=-= (
()ln x f x =-+=-
所以，()f x 是()-∞+∞，
上的奇函数. 4. 函数的周期性
设函数()f x 的定义域为()D f ，若存在一个不为零的常数T ，使得对任意()x D f ∈，有
x T D f ±∈（）（），且f x T f x +=（）（），则称()f x 为周期函数，其中使上式成立的常数T 称为
()f x 的周期，通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正数T T （如
果存在的话）.
例如，函数sin f x x =（）
的周期为π2；()tan f x x =的周期是π. 并不是所有函数都有最小正周期，例如，狄利克雷（Dirichlet ）函数
为数为无数
10 ,) (,x D x x ?=??有理，理.
任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小正周期.
四、函数应用举例
下面通过几个具体的问题，说明如何建立函数关系式.
例8 火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算.如从上海到某地每千克以0.15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0.25元收费.试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像.
解 当500x <≤时，150.y x =；当50x >时，1552550.00.(0)y x =?+-. 所以函数关系式为：
0.15, 050;7.50.25(50),50.x x y x x <≤?=?+->?
这是一个分段函数，其图像如图1－9所示.
图1-9
例9 某人每天上午到培训基地A 学习，下午到超市B 工作，晚饭后再到酒店C 服务，早、晚饭在宿舍吃，中午带饭在学习或工作的地方吃.A B C ，，位于一条平直的马路一侧，且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km ，酒店与超市相距5km ，问该打工者在这条马路的A 与
B 之间何处找一宿舍（设随处可找到）
，才能使每天往返的路程最短. 解 如图1-10所示，设所找宿舍D 距基地A 为x （km ），用f x （）表示每天往返的路程函数.
图1-10
当D 位于A 与C 之间，即30x ≤≤时，易知
()()8823222f x x x x x =++-+-=-（）， 当D 位于C 与B 之间，即38x ≤≤时，则
()882312()()0.f x x x x x =++-+-=+ 所以
22,03;()102,38.x x f x x x -≤≤?=?+≤≤?
这是一个分段函数，如图1-11所示，在30,????上，()f x 是单调减少，在38,????上，()f x 是单调增加.从图像可知，在3x =处，函数值最小.这说明，打工者在酒店C 处找宿舍，每天走的
路程最短.
图1-11
五、基本初等函数
初等数学里已详细介绍了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数，以上我们统称为基本初等函数.它们是研究各种函数的基础.为了读者学习的方便，下面我们再对这几类函数作一简单介绍.
1. 幂函数 函数
μy x = (μ是常数)
称为幂函数.
幂函数μy x =的定义域随μ的不同而异，但无论μ为何值，函数在()0+∞，
内总是有定义的. 当0μ>时，μy x =在)0+∞??，
上是单调增加的，其图像过点0,0（）及点()1,1，图1-12列出了1
2
μ=
，1μ=，2μ=时幂函数在第一象限的图像. 当0μ<时，μy x =在()0+∞，上是单调减少的，其图像通过点()1,1，图1-13列出了1
2
μ=-，
1μ=-，2μ=-时幂函数在第一象限的图像.
图1-12 图1-13
2. 指数函数 函数
x y a =(a 是常数且10a a >≠，)
称为指数函数.
指数函数x y a =的定义域是()-∞+∞，
，图像通过点()10,，且总在x 轴上方. 当时1a >，x y a =是单调增加的；当10a <<时，x y a =是单调减少的，如图1-14所示.
以常数e 271828182.=为底的指数函数
e x y =
是科技中常用的指数函数.
图1-14
3. 对数函数
指数函数x y a =的反函数，记作
log a y x =（a 是常数且10,a a >≠)，
称为对数函数.
对数函数log a y x =的定义域为()0+∞，，图像过点()1,0.当1a >时，log a y x =单调增加；当10a <<时，log a y x =单调减少，如图1-15所示.
科学技术中常用以e 为底的对数函数
e log y x =，
图1-15
它被称为自然对数函数，简记作
ln y x =.
另外以10为底的对数函数
1log 0y x =，
也是常用的对数函数，简记作g l y x =.
4. 三角函数 常用的三角函数有
正弦函数sin y x =， 余弦函数cos y x =， 正切函数tan y x =， 余切函数 cot y x =，
其中自变量x 以弧度作单位来表示.
它们的图形如图1-16，图1-17，图1-18和图1-19所示，分别称为正弦曲线，余弦曲线，正切曲线和余切曲线.
图1-16
图1-17
正弦函数和余弦函数都是以π2为周期的周期函数，它们的定义域都为(),-∞+∞，值域都为1,1-????.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
图1-18 图1-19
由于πcos sin 2x x ??=+ ??
?，所以，把正弦曲线sin y x =沿x 轴向左移动π2个单位，就获得余
弦曲线cos y x =.
正切函数sin tan cos x
y x x
==的定义域为
()21{|(),}D f x x x n n =∈≠+R ，整为数. 余切函数cos cot sin x
y x x
==
的定义域为 ()π{,}D f x x x n n =∈≠R ｜，整为数.
正切函数和余切函数的值域都是()-∞+∞，，且它们都是以π为周期的函数，且都是奇函数.
另外，常用的三角函数还有
正割函数sec y x =； 余割函数csc
y x =.
它们都是以π2为周期的周期函数，且
1sec cos x x
=； 1c s c s i n x x =. 5. 反三角函数
常用的反三角函数有
反正弦函数 arcsin y x = (如图1-20)； 反余弦函数 arccos y x = (如图1-21)； 反正切函数 arctan y x = (如图1-22)； 反余切函数 arccot y x = (如图1-23).
它们分别称为三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =和cot y x =的反函数.
这四个函数都是多值函数.严格来说，根据反函数的概念，三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =和cot y x =在其定义域内不存在反函数，因为对每一个值域中的数y ，有多个x 与之对应.但这些函数在其定义域的每一个单调增加（或减少）的子区间上存在反函数.例如，sin y x
=在闭区间,22ππ??-????
上单调增加，从而存在反函数，称此反函数为反正弦函数arcsin x 的主值，记作y =arcsin x .通常我们称arcsin y x =为反正弦函数.其定义域为11,-????，值域为,22ππ??-????
.反正弦函数arcsin y x =在11,-????上是单调增加的，它的图像如图1-20中实线部分所示. 类似地，可以定义其他三个反三角函数的主值arccos arctan ,y x y x ==和arccot y x =，它们分别简称为反余弦函数，反正切函数和反余切函数.
反余弦函数arccos y x =的定义域为1,1-????，值域为π0,????，在1,1-????上是单调减少的，其图像如图1-21中实线部分所示.
反正切函数arctan y x =的定义域为(),-∞+∞，值域为ππ22??- ???
，，在()-∞+∞，
上是单调增加的，其图像如图1-22中实线部分所示.
反余切函数arccot y x =的定义域为()-∞+∞，，值域为π0,（）
，在()-∞+∞，上是单调减少的，其图像如图1-23中实线部分所示.
图1-20 图1-21
图1-22 图1-23
六、初等函数
由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能用一个式子表示的函数，
称为初等函数.例如，23sin4y x x =+，(ln y x =+，3arctan22sin 1
x
y x x =+
等等都是初等函数.分段函数是按照定义域的不同子集用不同表达式来表示对应关系的，有些分段函数也可以不分段而表示出来，分段只是为了更加明确函数关系而已.例如，绝对值函数也可
以表示成y x =1,,()0,x a f x x a ? 也可表示成1()12f x ? = ??
.这两个函数也是初等函数.
七、双曲函数与反双曲函数
1. 双曲函数
双曲函数是工程和物理问题中很有用的一类初等函数.定义如下：
双曲正弦 sh e e 2x x
x --= ()x -∞<<+∞，
双曲余弦 ch e e 2
x x
x -+= ()x -∞<<+∞，
双曲正切 th e e e e sh ch x x
x x
x x x ---==
+ ()x -∞<<+∞， 其图像如图1-24和图1-25所示
图1-24 图1-25
.
双曲正弦函数的定义域为()x -∞<<+∞，它是奇函数，其图像通过原点()0,0且关于原点对称.在()x -∞<<+∞内单调增加.
双曲余弦函数的定义域为()x -∞<<+∞，它是偶函数，其图像通过点()10,且关于y 轴对称，在(),0-∞内单调减少；在()0+∞，
内单调增加. 双曲正切函数的定义域为()x -∞<<+∞，它是奇函数，其图像通过原点()0,0且关于原点对称.在()x -∞<<+∞内是单调增加的.
由双曲函数的定义，容易验证下列基本公式成立.
()sh sh ch ch sh x y x y x y ±=±，
()ch ch ch sh sh x y x y x y ±=±，
sh22sh ch x x x =，
2222ch2ch sh 12sh 2ch 1x x x x x =+=+=-，
22ch sh 1x x -=.
2. 反双曲函数
双曲函数的反函数称为反双曲函数，sh y x =，ch y x =和th y x =的反函数，依次记为
反双曲正弦函数 a rsh y x =， 反双曲余弦函数 arch y x =， 反双曲正切函数 a rth y x =.
反双曲正弦函数a rsh y x =的定义域为()-∞+∞，，它是奇函数，在()-∞+∞，内单调增加，由sh y x =的图像，根据反函数作图法，可得a rsh y x =的图像，如图1-26所示.利用求反函数
的方法，不难得到
(
a rsh ln y x x ==+.
反双曲余弦函数arch y x =的定义域为)1+∞??，，在)1+∞??，
上单调增加，如图1-27所示，利用求反函数的方法，不难得到
(
arch ln y x x ==.
图1-26 图1-27
反双曲正切函数a rtanh y x =的定义域为11()-，，它在11()-，内是单调增加的.它是奇函数，其图像关于原点(00)，对称，如图1-28所示.容易求得
a rth 1ln 1x
y x x
+==-.
图1-28
第二节 数列的极限
一、数列极限的定义
定义1 如果函数f 的定义域()*{}D f N ==，
，，123，则函数f 的值域()(){}**|f N f n n N =∈中的元素按自变量增大的次序依次排列出来，就称之为一个无穷数列，
简称数列，即()()()12,,f f f n ，，.通常数列也写成12,n x x x ，，，，并简记为{}n x ，其中数列中的每个数称为一项，而()n x f n =称为一般项.
对于一个数列，我们感兴趣的是当n 无限增大时，n x 的变化趋势.
我们看下列例子：
数列 12,,,
,231
n
n + (1－2－1) 的项随n 增大时，其值越来越接近1；
数列 2462 n ，，，，， (1－2－2)
的项随n 增大时，其值越来越大，且无限增大；
数列 111
1(1)0,n n
-+-，，，， (1－2－3)
的各项值交替地取1与0；
数列 ()11
111
,,,
,
,23n n
--- (1－2－4) 的各项值在数0的两边跳动，且越来越接近0；
数列 2222，，，，， (1－2－5)
各项的值均相同.
在中学教材中，我们已知道极限的描述性定义，即“如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}
n x 的一般项n x 无限地趋近于某一个常数a （即n x a -无限地接近于0），那么就说a 是数列{}n x 的极限”.于是我们用观察法可以判断数列{}
1n n -，1(1)n n -??-????
，{}2都有极限，其极限分别为1,
20，.但什么叫做“n x 无限地接近a ”呢？在中学教材中没有进行理论上的说明.
我们知道，两个数a 与b 之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值b a -来度量.在数轴
上b a -表示点a 与点b 之间的距离，b a -越小，则a 与b 就越接近，就数列(1-2-1)来说，因为
111n x n n
-=-
=， 我们知道，当n 越来越大时，1n 越来越小，从而n x 越来越接近1.因为只要n 足够大， 1
1n x n
-=
就可以小于任意给定的正数，如现在给出一个很小的正数1
100
，只要n 100>即可得
1
1100
n x -<，11120,0,n =
如果给定1
10000
，则从10001项起，都有下面不等式
1
110000
n x -<
成立.这就是数列1
n n x n
-=12 (,,)n =，当n →∞时无限接近于1的实质.
一般地，对数列{}n x 有以下定义.
定义2 设{}n x 为一数列，若存在常数a 对任意给定的正数ε(无论多么小)，总存在正整数
N ，当n N >时，有不等式
n x a ε-<
即(,)n x U a ε∈，则称数列{}n x 收敛，a 称为数列{}n x 当n →∞时的极限，记为
lim n n x a →∞
=或n x a →()n →+∞.
若数列{}n x 不收敛，则称该数列发散.
定义中的正整数N 与ε有关，一般说来，N 将随ε减小而增大，这样的N 也不是唯一的.显然，如果已经证明了符合要求的N 存在，则比这个N 大的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如无特殊声明，N 均表示正整数.此外，由邻域的定义可知，()n x U a ε∈，等价于n x a ε-<.
我们给“数列{}n x 的极限为a ”一个几何解释： 将常数a 及数列123,,,
,,
n x x x x 在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a 的
ε邻域，即开区间(,)a εa ε-+，如图1-29所示
图1-29
因两个不等式 ||n x a ε-<， n a εx a ε-<<+
等价，所以当n N >时，所有的点n x 都落在开区间(,)a εa ε-+内，而只有有限个点（至多只有
N 个点）在这区间以外.
为了以后叙述的方便，我们这里介绍几个符号，符号“?”表示“对于任意的”、“对于所有的”或“对于每一个”；符号“?”表示“存在”；符号“{}ax m X ”表示数集X 中的最大数；
符号“{}min X ”表示数集X 中的最小数.数列极限lim n n x a →∞
=的定义可表达为：
lim n n x a →∞
=0ε??>，?正整数N ，当n N >时，有n x a ε-<.
例1 证明 1
l i m 02
n n →∞=.
证 0ε?>(不防设1ε<)，要使11022
n
n ε-=<，只要21n
ε>，即ln ln21/n ε>（）. 因此，0ε?>，取ln /ln21N ε????= ???????
，则当n N >时，有102n ε-<.由极限定义可知
1
lim 02
n n →∞=. 例2 证明 π
1l i m c o s 0
4
n n n →∞=. 证 由于ππ111cos 0cos 44n n n n n -=≤，故0ε?>，要使π1cos 04
n εn -<，只要1
εn <，
即1n ε
>.
因此，0ε?>，取1N ε??=????
，则当n N >时，有π1cos 04n εn -<.由极限定义可知 π1lim cos 04
n n n →∞=. 用极限的定义来求极限是不太方便的，在本章的以后篇幅中，将逐步介绍其他求极限的方法.
二、数列极限的性质
定理1（惟一性） 若数列收敛，则其极限惟一. 证 设数列{}n x 收敛，反设极限不惟一：即lim n n x a →∞
=，lim n n x b →∞
=，且a b ≠，不妨设a b <，
由极限定义，取2b a ε-=
，则10N ?＞，当1n N >时，2
n b a
x a --<，即 322n a b a b
x -+＜＜， （1-2-6） 20N ?>，当2n N >时，2n b a
x b --<，即
322
n a b b a
x +-＜＜， (1-2-7) 取{}12m ,N ax N N =，则当n N >时，(1-3-6)，(1-3-7)两式应同时成立，显然矛盾.该矛盾证明
了收敛数列{}n x 的极限必惟一.
定义3 设有数列{}n x ，若存在正数M ，使对一切12,,
n =，有n x M ≤，则称数列{}
n x 是有界的，否则称它是无界的.
对于数列{}n x ，若存在常数M ，使对12n =，，，有n x M ≤，则称数列{}n x 有上界；若存在常数M ，使对12,,
n =，有n x M ≥，则称数列{}n x 有下界.
显然，数列{}n x 有界的充要条件是{}n x 既有上界又有下界. 例3 数列
{}
211
n +有界；数列{}
2n 有下界而无上界；数列{}
2
n -有上界而无下界；数列{
}11n
n --（）既无上界又无下界.
定理2（有界性） 若数列{}n x 收敛，则数列{}n x 有界.
证 设lim n n x a →∞
=，由极限定义，0ε?>，且1ε<，0N ?>，当n N >时，1||n x a ε-<<，
从而<1n x a +.
取{}
12m 1,,,,N M ax a x x x =+?，则有n x M ≤，对一切123,,,n =，成立，即{}n x 有
界.
定理2 的逆命题不成立，例如数列{}
1()n -有界，但它不收敛.
定理3（保号性） 若l i m n n x a →∞
=，0a >（或0a <）
，则0N ?>，当n N >时，0n x >（或0n x <）.
证 由极限定义 ，对02
a
ε=
>，0N ?>，当n N >时，2n a x a -<，即322n a x a <<，故当
n N >时，02
n a
x >>.
类似可证0a <的情形.
推论 设有数列{}n x ，0N ?> ，当n N >时，0n x > (或0n x <)，若lim n n x a →∞
=，则必有
0a ≥ (或0a ≤).
在推论中，我们只能推出0a ≥ (或0a ≤)，而不能由0n x > (或0n x <)推出其极限(若存在)
也大于0(或小于0).例如10n x n
=
>，但1
lim lim 0n n n x n →∞→∞==.
下面我们给出数列的子列的概念.
定义4 在数列{}n x 中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数列，
称它为{}n x 的一个子列
在选出的子列中，记第1项为1n x ，第2项为2n x ，…，第k 项为k n x ，…，则数列{}n x 的子列可记为{}
k n x .k 表示k n x 在子列{}
k n x 中是第k 项，k n 表示k n x 在原数列{}n x 中是第k n 项.显
然，对每一个k ，有k n k ≥；对任意正整数h ，k ，如果h k ≥，则h k n n ≥；若h k n n ≥，则h k
≥
由于在子列{}k n x 中的下标是k 而不是k n ，因此{}
k n x 收敛于a 的定义是：0ε?>，0K ?>，当k K >时，有k n x a ε-<.这时，记为lim k n k x a →+∞
= .
定理4 l i m n k x a →∞
=的充要条件是：{}n x 的任何子列{k n x }都收敛，且都以a 为极限
证 先证充分性.由于{}n x 本身也可看成是它的一个子列，故由条件得证
下面证明必要性
由lim
n k x a →∞
=，0ε?>，0N ?>，当n N >时，有
n x a ε-<.
今取K N =，则当k K >时，有k K N n n n N >=≥，于是
k n x a ε-<.
故有
lim k n k x a →∞
=.
定理4用来判别数列{}n x 发散有时是很方便的.如果在数列{}n x 中有一个子列发散，或者有两个子列不收敛于同一极限值，则可断言{}n x 是发散的
例4 判别数列{}
*πsin ,8
n n x n N =∈的收敛性
解 在{}n x 中选取两个子列：
{}
*
8π
sin ,8k k N ∈，即{}πππ8168sin ,sin ,sin ,888
k ??????； ()*164πsin ,8k k N +??∈????，即()ππ16420sin ,sin ,88k ??+??
????????????
. 显然，第一个子列收敛于0，而第二个子列收敛于1，因此原数列{}
πsin 8
n 发散.
三、收敛准则
定义5 数列{}n x 的项若满足121n n x x x x +≤≤≤≤≤
，则称数列{}n x 为单调增加数列；
若满足121n n x x x x +≥≥
≥≥≥
，则称数列{}n x 为单调减少数列.当上述不等式中等号都不成
立时，则分别称{}n x 是严格单调增加和严格单调减少数列.
收敛准则 单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限. 该准则的证明涉及较多的基础理论，在此略去证明.
例5 证明数列11n
n ??
????+?? ??????
?收敛.
证 根据收敛准则，只需证明11n
n ??
????+?? ??????
?单调增加且有上界（或单调减少且有下界）.
由二项式定理，我们知道
1221111(1)1n n n n n n n
x C C C n n n n =+=++++ 111121121
11(1)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!!n n n n n n n n -=++-+--++---，
1121
11112
11111(1)111(1)(1)n n n n n n n x C C C n n n n +++++++=+=++++++++ 11112
11(1)(1)(1)2!13!11n n n =++
-+--++++ 1121(1)(1)(1)
!111n n n n n -+--++-+++ 112(1)(1)(1)(1)!111
n n n n n +--++-++++， 逐项比较n x 与1n x +的每一项，有
1n n x x +<，1,2,
.n =
这说明数列{}n x 单调增加，又
111112!3!!n x n <++
+++ 2111
11222
n <+++++
1
11121331212
n
n --=+
=-<-. 即数列11n n ??????+?? ???????有界，由收敛准则可知11n
n ??
????+?? ???????
收敛.
我们将11n
n ??
????+?? ???????
的极限记为e ，即
e 1
lim 1n
n n →∞??+= ???
. 第三节 函数的极限
函数概念反映了客观事物相互依赖的关系.它是从数量方面来描述这种关系，但在某些实际
问题中，仅仅知道函数关系是不够的，还必须考虑在自变量按照某种方式变化时，相应的函数值的变化趋势，即所谓的函数极限，才能使问题得到解决.正如我们对数列极限的定义，数列{}n x 可看做自变量为正整数n 的函数：
()n x f n =， *n N ∈，
所以，数列的极限可视为函数极限的特殊类型.下面介绍函数极限的一般类型.
一、x →∞时函数的极限
当自变量x 的绝对值无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的只是自变量的变化可以是连续的.
定义1 设函数()f x 在区间[,)a +∞上有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数X ，使得当x 满足不等式x X >时，对应的函数值()f x 都满足不等式
()f x A ε-<，
那么，称函数()f x 当x 趋于+∞时极限存在并以A 为极限，记作
lim ()x f x A →∞
= 或()f x A → ()x →+∞.
在定义中正数X 的作用与数列极限定义中的正整数N 类似，说明x 足够大的程度，所不同的是，这里考虑的是比X 大的所有实数x ，而不仅仅是自然数n ，因此，当x →+∞时，函数()f x 以A 为极限意味着：A 的任何邻域必含有f 在某个区间),X +∞??的所有函数值.
定义1的几何意义如图1-30所示，作直线y A ε=-和y A ε=+，则总有一个正数X 存在，使得当x X >时，函数()y f x =图形位于这两条直线之间.
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
第一章函数与极限复习提纲 一、函数 知识点：1、函数的定义域、性质的判断（有界性、奇偶性、单调性、周期性） 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会！！ 4、函数关系的建立 如1、下列函数中属于偶函数的是（ D. ） A. x x y sin +=； B. x x y sin 2+=； C . x x y cos +=； D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成？ （1）x x f 2ln )(= 解：u y ln =，x u 2= （2）x y 2cos = 解：2u y = ，x u cos = （3）5)13(+=x y 解：5u y =， 13+=x u （4）3 2 1-= x y 解：3 1u y =，12-=x u （5）x y 2cos ln = 解：u y ln =，v u cos =，x v 2= 3、旅客乘坐火车时，随身携带物品，不超过20公斤免费；超过20公斤部分，每公斤收费0.20元；超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。 解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品，总成本为C 元，其中固定成本为200元，每多生产一单位产品，成本增加10元，又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大？ 解 成本函数C （x ）=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一，又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在，所以当15=x 时，() L x
第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????； 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<； 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤
第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为
第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点： (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素：定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件，无此条件，函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系，“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系，但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则，“f”是一个记号，不是一个数，不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的，则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式，表示函数还可以用其他的形式，不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号，f(a)是函数值的记号，是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数，当其定义域相同，对应法则一样时，此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性： 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点： (1) 并不是函数都具有这些特性，而是在研究函数时，常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”，与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数，其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数，则f(0)=0。存在着既是奇函数，又是偶函数的函数，例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期，但不是任何周期函数都有最小周期。
一、P21：1；5 1.设），（），（∞+∞=55--A ，） ，【310-B =，写出 B A B A B A -=\,A B ，及)()\(\B A A B A A --=的表达式。 解：),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=（ B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中，函数)(x f 和）x g (是否相同？为什么？ （1） x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解：不同。定义域不同，),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。 （2） 2 )(,)(x x g x x f == 解：不同。对应法则不同，即：值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。 （3） 3 3 4 )(x x x f -=， 3 1)(-?=x x x g 解：相同。因为定义域和对应法（或值域）则相同。 （4） x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解：不同。定义域不同，R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。 二、P21：4（1）、（3）、（5）、（7）、（9）；6；7（2）； P22：10（1）、（4）、(5)；11（1）、（3）、（5）；15（1）、（3）；16. 4.求下列函数的自然定义域：
（1） 23+=x y ； 解：32023-≥?≥+x x 。即：),3 2 [+∞-=D 。 （3）211x x y --=； 解：???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即：]1,0()0,1[ -=D 。 （5） x y sin =； 解：0≥x 。即：),0[+∞=D （7）)3arcsin(-=x y ； 解：42131≤≤?≤-≤-x x 。即：]4,2[=D 。 （9）)1ln(+=x y 解：101->?>+x x 。即：),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥
课 时 授 课 计 划 课次序号： 03 一、课 题：§1.3 函数的极限 二、课 型：新授课 三、目的要求：1.理解自变量各种变化趋势下函数极限的概念； 2.了解函数极限的性质． 四、教学重点：自变量各种变化趋势下函数极限的概念． 教学难点：函数极限的精确定义的理解与运用． 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–3 1（2），2（3），3，6 八、授课记录： 九、授课效果 分析： 第三节 函数的极限 复习 1.数列极限的定义：lim 0,N,N n n n x a n x a εε→∞ =??>?>-<当时，； 2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系． 在此基础上，今天我们学习应用上更为广泛的函数的极限． 与数列极限不同的是，对于函数极限来说，其自变量的变化趋势要复杂的多． 一、x →∞时函数的极限 对一般函数y ?f （x ）而言，自变量无限增大时，函数值无限地接近一个常数的情形与数列极限类似，所不同的是，自变量的变化可以是连续的．
定义1 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →+∞ f （x ）?A ． 若?ε＞0，?X ＞0，当x ＜?X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →?∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →-∞ f （x ）?A ． 例1 证明lim x 0． 证 0 -，故?ε＞00-＜εε， 即x ＞21 ε．因此，?ε＞0，可取X ?21ε，则当x ＞X 0-＜ε，故由定义1得 lim x ?0． 例2 证明lim 100x x →-∞ =． 证 ?ε＞0，要使100x -?10x ＜ε，只要x ＜l gε．因此可取X ?｜l gε｜?1，当x ＜?X 时，即有｜10x ?0｜＜ε，故由定义1得lim x →+∞ 10x ?0． 定义2 若?ε＞0，?X ＞0，当｜x ｜＞X 时，相应的函数值f （x ）∈U （A ，ε）（即|f (x )?A |<ε），则称x →∞时，f （x ）以A 为极限，记为lim x →∞ f （x ）?A ． 为方便起见，有时也用下列记号来表示上述极限： f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →?∞）；f （x ）→A （x →∞）． 注 若lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x A f x A →∞→+∞→-∞ ===或或，则称y A =为曲线()y f x =的水 平渐近线． 由定义1、定义2及绝对值性质可得下面的定理． 定理1 lim x →∞f （x ）?A 的充要条件是lim x →+∞f （x ）?lim x →-∞ f （x ）?A ． 例3 证明2lim 1 x x x →∞--?1．
考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限
极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。
第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: （1）函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. （2 ）函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________； （3）若)(x f 的定义域是[0，1]，则)1(2+x f 的定义域是 {0} . （4）设b ax x f +=)(，则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . （5）若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ，=)]}([{x f f f x . （6）函数2 x x e e y --=的反函数为 。 （7 ）函数y =: x ≥0，值域: 0≤y <1 ，反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: （1）下列正确的是：(B ，C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数，则)()(x f x f -+必为偶函数，)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . （2）)sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数； B. 周期函数； C. 奇函数； D. 偶函数. （3）设54)(2 ++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 为( B ). A.1； B.–1； C.2； D.–2. （4）函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是（ ）
随堂练习 一 第一章 函数与极限 一、填空题 1、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 2、函数x x y sin = 有间断点 ，其中 为其可去间断点。 3、若当0≠x 时 ，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续 ，则=)0(f 。 4、=++++∞→3 52352) 23)(1(lim x x x x x x 。 5、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 6、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 7、当+∞→x 时， x 1 是比 3-+x 8、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 9、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 10、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的 间断点。 11、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为 时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 12、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ，则a= 。 13、设? ??>≤+=0,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ，则常数a= 。 二、计算题 1、计算下列极限 （1）)2141211(lim n n ++++ ∞ → ； （2）2)1(321lim n n n -++++∞→ ；
（3）35lim 22-+→x x x ； （4）1 1 2lim 221-+-→x x x x （5）)12)(11(lim 2x x x -+ ∞ → ； （6）x x x 1 sin lim 20→ ； （7）x x x x +---→131lim 21 ； （8）)1(lim 2 x x x x -++∞ → ； 2、计算下列极限 （1）x wx x sin lim 0→ ； （2）x x x 5sin 2sin lim 0→ ； （3）x x x cot lim 0→ ； （4）x x x x )1( lim +∞→ ； （5）1 )11(lim -∞→-+x x x x ； （6）x x x 1 )1(lim -→ ； 3、比较无穷小的阶 （1）32220x x x x x --→与，时 ； （2）)1(2 1 112 x x x --→与，时 ； (3)当0→x 时 ， 232-+x x 与x 。 4、利用等价无穷小性质求极限 （1）30sin sin tan lim x x x x -→ ； （2）),()(sin ) sin(lim 0是正整数m n x x m n x → ； 5、讨论函数的连续性 。 在? ??=>-≤-=11,31 ,1)(x x x x x x f 6、利用函数的连续性求极限 （1）)(lim 22 x x x x x -- ++∞ →； （2）x x x sin ln lim 0 → （3）x x x 2)11(lim + ∞→； （4）)1 1 (lim ,)1(lim )(1 --=+ →∞→t f n x x f t n n 求设 （5）)1(lim 2 x x x x -++∞ → ； （6）1)1232( lim +∞→++x x x x ； （7）3 0sin tan lim x x x x -→ ； 7、设函数???≥+<=0 ,0 ,)(x x a x e x f x 应当怎样选择a ，使得) ()(∞+-∞，成为在x f 内的连续函数。 8、证明方程135 =-x x 至少有一个根介于1和2之间。 9、设????? ≤+>=0 ,0,1sin )(2 x x a x x x x f 要使),()(∞+-∞在x f 内连续， 应当怎样选择数a ？
高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有 （A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 （A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 （C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1-，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( C ) A ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e
5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( C )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1； B.∞； C.2-e ； D.2e 7．极限：∞ →x lim 332x x +=（ A ） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0 -+→ =（ C ） A.0； B.∞； C 2 1； D.2． 9. 极限：)(lim 2x x x x -+∞ +→=（ D ） A.0； B.∞； C.2； D. 2 1 ． 10．极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=（ C ） A.0； B.∞； C. 16 1； D.16． 二. 填空题 11．极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续，则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________； 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__； 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________； 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ，则它的间断点是___________2___1_____
多元函数的极限与连续习题 1. 用极限定义证明:14)23(lim 1 2=+→→y x y x 。 2. 讨论下列函数在（0,0）处的两个累次极限，并讨论在该点处的二重极限的存在性。 （1）y x y x y x f +-=),(； (2) y x y x y x f 1s i n 1s i n )(),(+=； (3) y x y x y x f ++=23 3),(； (4) x y y x f 1 s i n ),(=。 3. 求极限 （1）2 20 ) (lim 22 y x x y x y +→→； （2）1 1lim 2 2 220 0-+++→→y x y x y x ； （3）2 20 01 sin )(lim y x y x y x ++→→； （4）22220 0) sin(lim y x y x y x ++→→。 4. 试证明函数?? ???=≠+=0 0)1ln(),(x y x x xy y x f 在其定义域上是连续的。
1. 用极限定义证明:14)23(lim 2 1 2=+→→y x y x 。 因为1,2→→y x ，不妨设0|1|,0|2|<-<-y x ， 有54|2||42||2|<+-≤+-=+x x x ， |22123||1423|2 2 -+-=-+y x y x |1|2|2|15|1|2|2||2|3-+-<-++-≤y x y x x |]1||2[|15-+-
第一讲函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与Taylor级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1. （等价小量与洛必达） 2.已知
（洛必达） 3. （重要极限） 4.已知a、b为正常数， （变量替换）5. 解：令 6. （变量替换）
7.已知在x=0连续，求a 解：令（连续性的概念） 三、补充习题（作业） 1.（洛必达） 2.（洛必达或Taylor） 第二讲导数、微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理 会用定理证明相关问题 3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法
A.导数微分的计 算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求 2.决定，求 解：两边微分得x=0时，将x=0代入等式得y=1 3.决定，则 B.曲线切法线问题5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求，等式取x->0的极限有：f(1)=0 C.导数应用问题 6.已知， ，求点的性质。 解：令，故为极小值点。 7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )； 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )； 若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( )； 若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:
答案： 一.选择题 1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一：任一原函数可表示为 ?+=x C dt t f x F 0 )()(，且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时，有)()(x F x F =-，于是)()1()(x F x F '=-?-'，即 )()(x f x f =--，也即)()(x f x f -=-，可见 f(x)为奇函数； 反过来，若f(x)为奇函数，则? x dt t f 0 )(为偶函数，从而 ?+=x C dt t f x F 0 )()(为偶函数，可见(A)为正确选项. 方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D 【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限. 【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点. 且 ∞=→)(lim 0 x f x ，所以 x=0为第二类间断点； 0)(lim 1=+ →x f x ，1)(lim 1 -=- →x f x ，所以x=1为第一类间断点，故 应选(D).
【评注】 应特别注意：+∞=-+ →1 lim 1x x x ，.1 lim 1-∞=-- →x x x 从而 +∞=-→+ 1 1lim x x x e ，.0lim 1 1 =-→- x x x e 3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C ∵x →∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”： 原式 = 2 1111lim )11() 11)(11(lim 0 =++=++++-+→→x x x x x x x . （有理化法） 9 D 10 C 解 原式 16 1821lim )2()cos 1(tan lim 32 030=?=-=→→x x x x x x x x . ▌ 注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极 的每项作等价替换，则 原式0)2(l i m 3 =-=→x x x x .
第一章 函数与极限 一 函数（见§1.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）在中学已有函数知识的基础上，加深对函数概念的理解和函数性质（奇偶性、单调 性、周期性和有界性）的了解。 （ⅱ）理解复合函数的概念，了解反函数的概念，了解分段函数的概念。 （ⅲ）记忆基本初等函数的图象，了解初等函数的概念，自学双曲函数及反双曲函数。 （ⅳ）学会建立简单实际问题中的函数关系式。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）有关确定函数定义域的题型 1．（4分）1 )2ln()(+-= x x x f 的定义域为 21<<-x 2．（4分）) 2ln(1 )(x x x f -+= 的定义域为 [))2,1(1,1Y - 3．（4分）)32arcsin(-=x y 的定义域为--------------- （ D ） A )2,1( B )2,1[ C ]2,1( D ]2,1[ 4．设)(x f 的定义域D = ]1,0[，求下列各函数的定义域： （1）（6分）)(2 x f []1,1-∈x （2）（6分）)2(x f (]0,∞-∈x （3）（7分）)31 ()31(-++x f x f ?? ????∈32,31x （ⅱ）有关确定函数（反函数）表达式的题型 5．（4分）已知： x x f cos 1)2 (sin +=，则)(x f =)1(22 x - 6．（4分）设???????>=<-=0,10,00,1)(x x x x f ，则=)]([x f f ??? ? ???>=<-=0,10,00,1)(x x x x f 7．求下列函数的反函数 （1）（4分）31+=x y 1,13 3-=-=x y y x （2）（4分）x x y +-= 11 x x y y y x +-=+-=11,11 )1(-≠x
第一章 函数.极限和连续 第一节 函数 1. 决定函数的要素：对应法则和定义域 2. 基本初等函数：（六类） （1） 常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）； （3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1） （5）三角函数；（6）反三角函数。 注:分段函数不是初等函数。特例：y =√x 2是初等函数 《 3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。 4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。 5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。 第二节 极限 1.分析定义 ?&>0(任意小) ??>0 当|x |>e（或0<|x ?x 0|
第一章函数与极限 区间 [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 x (D为非空实数集) 函数y=f(x)、y=F(x) D D为函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。 函数的有界性 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有 ， 则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。 如果函数在区间(a,b)内随着x增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x1及x2，当x1＜x2时，有 ， 则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。 函数的奇偶性 如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数； 如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。注意：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称,若奇函数定义
域中含有0，则F(0)=0。f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0。 函数的周期性 对于函数，若存在一个不为零的数l ，使得关系式 对于定义域内任何x 值都成立，则叫做周期函数，l 是的周期。 注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 反函数 反函数的定义： 设函数)(x f y =，其定义域为D ，值域为M. 如果对于每一个M y ∈，有惟一的一个D x ∈与之对应，并使)(x f y =成立，则得到一个以y 为自变量，x 为因变量的函数，称此函数为y=f(x)的反函数，记作 )(1y f x -= 显然，)(1 y f x -=的定义域为M ，值域为D. 由于习惯上自变量用x 表示，因变量用y 表示， 所以)(x f y =的反函数可表示为 )(1x f y -= 反函数的存在定理 若在(a ，b)上严格增(减)，其值域为 R ，则它的反函数必然在R 上确定，且严格增(减). 注：严格增(减)即是单调增(减) 反函数的性质 在同一坐标平面内， 与 )(1 x f y -=的图形是关于直线y=x 对称。 关于直线y=x 对称的。如右图所示： 复合函数的定义 若y 是u 的函数： ，而u 又是x 的函数： ，且 的函数值的全部或部分在 的定义域内，那末，y 通过u 的联系也是x 的函数，我们称后一个函数是由函数 及 复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u 叫做中间变量。 注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。 分段函数：？？？？