函数与导数压轴题命题
函
数
与
导
数
专题131—函数与导数压轴题命题区间
目录
第一部分构造辅助函数求解导数问题 (2)
技法一：“比较法”构造函数 (2)
技法二：“拆分法”构造函数 (3)
技法三：“换元法”构造函数 (5)
技法四：二次(甚至多次)构造函数 (8)
强化训练 (10)
第二部分利用导数探究含参数函数的性质 (14)
技法一：利用导数研究函数的单调性 (14)
技法二：利用导数研究函数的极值 (17)
技法三：利用导数研究函数的最值 (19)
强化训练 (22)
第三部分导数的综合应用 (29)
技法一：利用导数研究函数的零点或方程的根 (29)
技法二：利用导数证明不等式 (31)
技法三：利用导数研究不等式恒成立问题 (34)
技法四：利用导数研究存在性与任意性问题 (44)
技法五：利用导数研究探究性问题 (47)
强化训练 (50)
第一部分构造辅助函数求解导数问题
对于证明与函数有关的不等式，或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围、讨论一些方程解的个数等类型问题时，常常需要构造辅助函数，并求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决；题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧．技法一：“比较法”构造函数
[典例](2017·广州模拟)已知函数f(x)＝e x－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点(0,1)处的切线斜率为－1．
(1)求a的值及函数f(x)的极值；
(2)证明：当x＞0时，x2＜e x．
[解](1)由f(x)＝e x－ax，得f′(x)＝e x－a．
因为f′(0)＝1－a＝－1，所以a＝2，
所以f(x)＝e x－2x，f′(x)＝e x－2，
令f′(x)＝0，得x＝ln 2，
当x＜ln 2时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x＞ln 2时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝e ln 2－2ln 2＝2－ln 4，f(x)无极大值．
(2)证明：令g(x)＝e x－x2，则g′(x)＝e x－2x．
由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)＞0，
故g(x)在R上单调递增．
所以当x＞0时，g(x)＞g(0)＝1＞0，即x2＜e x．
[方法点拨]
在本例第(2)问中，发现“x2，e x”具有基本初等函数的基因，故可选择对要证明的“x2＜e x”构造函数，得到“g(x)＝e x－x2”，并利用(1)的结论求解．[对点演练]
已知函数f(x)＝x
e x，直线y＝g(x)为函数f(x)的图象在x＝x0(x0＜1)处的切线，
求证：f(x)≤g(x)．
证明：函数f (x )的图象在x ＝x 0处的切线方程为y ＝g (x )＝f ′(x 0)(x －x 0)＋f (x 0)． 令h (x )＝f (x )－g (x )＝f (x )－f ′(x 0)(x －x 0)－f (x 0)， 则h ′(x )＝f ′(x )－f ′(x 0)＝1－x e x －1－x 0e
0x ＝
1－x e 0x －1－x 0
e x e 0
＋x x ．
设φ(x )＝(1－x )e 0x －(1－x 0)e x ，
则φ′(x )＝－e 0x －(1－x 0)e x ， ∵x 0＜1，∴φ′(x )＜0，
∴φ(x )在R 上单调递减，又φ(x 0)＝0，
∴当x ＜x 0时，φ(x )＞0，当x ＞x 0时，φ(x )＜0， ∴当x ＜x 0时，h ′(x )＞0，当x ＞x 0时，h ′(x )＜0，
∴h (x )在区间(－∞，x 0)上为增函数，在区间(x 0，＋∞)上为减函数， ∴h (x )≤h (x 0)＝0， ∴f (x )≤g (x )．
技法二：“拆分法”构造函数
[典例] 设函数f (x )＝ae x ln x ＋be
x －1x ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为y
＝e (x －1)＋2．
(1)求a ，b ； (2)证明：f (x )＞1．
[解] (1)f ′(x )＝ae x ? ??
??ln x ＋1x ＋be x
－1
x －1x 2
(x ＞0)，
由于直线y ＝e (x －1)＋2的斜率为e ，图象过点(1,2)， 所以??? f 1＝2，f ′1＝e ，即??? b ＝2，ae ＝e ，解得???
a ＝1，
b ＝2.
(2)证明：由(1)知f (x )＝e x ln x ＋2e
x －1
x (x ＞0)，
从而f (x )＞1等价于x ln x ＞xe －x －2
e ． 构造函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ，
所以当x ∈? ?
???0，1e 时，g ′(x )＜0，
当x ∈? ????
1e ，＋∞时，g ′(x )＞0，
故g (x )在? ?
???0，1e 上单调递减，
在? ??
??
1e ，＋∞上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ? ????
1e ＝－1e ．
构造函数h (x )＝xe －x －2
e ， 则h ′(x )＝e －x (1－x )．
所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )＞0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0；
故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1
e ． 综上，当x ＞0时，g (x )＞h (x )，即
f (x )＞1． [方法点拨]
对于第(2)问“ae x ln x ＋be x －1x ＞1”的证明，若直接构造函数h (x )＝ae x ln x ＋be
x －1x
－1，求导以后不易分析，因此并不宜对其整体进行构造函数，而应先将不等式
“ae x ln x ＋be x －1
x ＞1”合理拆分为“x ln x ＞xe －x －2
e ”，再分别对左右两边构造函数，进
而达到证明原不等式的目的．
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[对点演练] 已知函数f (x )＝a ln x x ＋1＋b
x
，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为x ＋2y －3＝0．
(1)求a ，b 的值；
(2)证明：当x ＞0，且x ≠1时，f (x )＞
ln x
x －1
．
解：(1)f ′(x )＝a ? ????
x ＋1x －ln x
x ＋12
－b
x 2(x ＞0)．
由于直线x ＋2y －3＝0的斜率为－1
2，且过点(1,1)， 故?
????
f 1＝1，f ′1＝－12，即????
?
b ＝1，a 2
－b ＝－1
2.解得???
a ＝1，
b ＝1.
(2)证明：由(1)知f (x )＝
ln x x ＋1＋1
x
(x ＞0)， 所以f (x )－ln x x －1＝
11－x 2? ?
???2ln x －x 2－1x ． 考虑函数h (x )＝2ln x －x 2－1
x (x ＞0)， 则h ′(x )＝2x －2x 2－x 2－1
x 2
＝－
x －12
x 2
．
所以当x ≠1时，h ′(x )＜0．而h (1)＝0， 故当x ∈(0,1)时，h (x )＞0，可得
1
1－x 2
h (x )＞0； QQ 群 545423319 微信公众号：中学数学研讨部落
当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＜0，可得1
1－x 2h (x )＞0．
从而当x ＞0，且x ≠1时，f (x )－ln x
x －1
＞0， 即f (x )＞
ln x
x －1
． 技法三：“换元法”构造函数
[典例] 已知函数f (x )＝ax 2＋x ln x (a ∈R )的图象在点(1，f (1))处的切线与直线x ＋3y ＝0垂直．
(1)求实数a 的值；
(2)求证：当n ＞m ＞0时，ln n －ln m ＞m n －n m ． [解] (1)因为f (x )＝ax 2＋x ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋ln x ＋1，
因为切线与直线x ＋3y ＝0垂直，所以切线的斜率为3，
所以f ′(1)＝3，即2a ＋1＝3，故a ＝1． (2)证明：要证ln n －ln m ＞m n －n
m ，
即证ln n m ＞m n －n m ，只需证ln n m －m n ＋n
m ＞0． 令n m ＝x ，构造函数g (x )＝ln x －1
x ＋x (x ≥1)， 则g ′(x )＝1x ＋1
x 2＋1．
因为x ∈[1，＋∞)，所以g ′(x )＝1x ＋1
x 2＋1＞0， 故g (x )在(1，＋∞)上单调递增． 由已知n ＞m ＞0，得n
m ＞1， 所以g ? ??
??
n m ＞g (1)＝0，
即证得ln n m －m n ＋n
m ＞0成立，所以命题得证． [方法点拨]
对“待证不等式”等价变形为“ln n m －m n ＋n m ＞0”后，观察可知，对“n
m ”进行换元，变为“ln x －1x ＋x ＞0”，构造函数“g (x )＝ln x －1
x ＋x (x ≥1)”来证明不等式，可简化证明过程中的运算．
[对点演练]
已知函数f (x )＝x 2ln x ． (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)证明：对任意的t ＞0，存在唯一的s ，使t ＝f (s )；
(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为s ＝g (t )，证明：当t ＞e 2时，有2
5＜ln g t ln t
＜12．
解：(1)由已知，得f ′(x )＝2x ln x ＋x ＝x (2ln x ＋1)(x ＞0)， 令f ′(x )＝0，得x ＝
1e
．
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x ? ?
???0，1e
1
e ? ??
??1e ，＋∞ f ′(x ) － 0 ＋ f (x )
极小值
所以函数f (x )的单调递减区间是?
????0，1e ，单调递增区间是? ????1e ，＋∞． (2)证明：当0＜x ≤1时，f (x )≤0， ∵t ＞0，∴当0＜x ≤1时不存在t ＝f (s )． 令h (x )＝f (x )－t ，x ∈[1，＋∞)．
由(1)知，h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增． h (1)＝－t ＜0，h (e t )＝e 2t ln e t －t ＝t (e 2t －1)＞0． 故存在唯一的s ∈(1，＋∞)，使得t ＝f (s )成立． (3)证明：因为s ＝g (t )，由(2)知，t ＝f (s )，且s ＞1， 从而
ln g t
ln t
＝ln s ln f s ＝ln s
ln s 2ln s
＝ln s 2ln s ＋ln ln s ＝u
2u ＋ln u ， 其中u ＝ln s ． 要使25＜ln g t ln t
＜12成立，只需0＜ln u ＜u 2．
当t ＞e 2时，若s ＝g (t )≤e ，
则由f (s )的单调性，有t ＝f (s )≤f (e )＝e 2，矛盾． 所以s ＞e ，
即u ＞1，从而ln u ＞0成立．
另一方面，令F (u )＝ln u －u 2，u ＞1，F ′(u )＝1u －1
2， 令F ′(u )＝0，得u ＝2． 当1＜u ＜2时，F ′(u )＞0； 当u ＞2时，F ′(u )＜0． 故对u ＞1，F (u )≤F (2)＜0，
因此ln u ＜u
2成立．
综上，当t ＞e 2时，有25＜ln g t
ln t
＜12．
技法四：二次(甚至多次)构造函数
[典例] (2017·广州综合测试)已知函数f (x )＝e x ＋m －x 3，g (x )＝ln(x ＋1)＋2． (1)若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1，求实数m 的值； (2)当m ≥1时，证明：f (x )＞g (x )－x 3． [解] (1)因为f (x )＝e x ＋m －x 3， 所以f ′(x )＝e x ＋m －3x 2．
因为曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线斜率为1， 所以f ′(0)＝e m ＝1，解得m ＝0．
(2)证明：因为f (x )＝e x ＋m －x 3，g (x )＝ln(x ＋1)＋2， 所以f (x )＞g (x )－x 3等价于e x ＋m －ln(x ＋1)－2＞0． 当m ≥1时，e x ＋m －ln(x ＋1)－2≥e x ＋1－ln(x ＋1)－2． 要证e x ＋m －ln(x ＋1)－2＞0， 只需证明e x ＋1－ln(x ＋1)－2＞0．
设h (x )＝e x ＋1－ln(x ＋1)－2，则h ′(x )＝e x ＋1－1x ＋1
． 设p (x )＝e x ＋1－
1
x ＋1
，则p ′(x )＝e x ＋1＋1x ＋1
2＞0，
所以函数p (x )＝h ′(x )＝e x ＋1－1
x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增．
因为h ′? ????－12＝e 1
2－2＜0，h ′(0)＝e －1＞0，
所以函数h ′(x )＝e
x ＋1
－1x ＋1
在(－1，＋∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈? ????－12，0．
因为h ′(x 0)＝0，所以ex 0＋1＝1
x 0＋1，
即ln(x 0＋1)＝－(x 0＋1)． 当x ∈(－1，x 0)时，h ′(x )＜0， 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )＞0，
所以当x ＝x 0时，h (x )取得最小值h (x 0)，
所以h(x)≥h(x0)＝ex0＋1－ln(x0＋1)－2
＝
1
x0＋1＋(x0
＋1)－2＞0．
综上可知，当m≥1时，f(x)＞g(x)－x3．
QQ 群545423319 微信公众号：中学数学研讨部落[方法点拨]
本题可先进行适当放缩，m≥1时，e x＋m≥e x＋1，再两次构造函数h(x)，p(x)．[对点演练]
(2016·合肥一模)已知函数f(x)＝ex－x ln x，g(x)＝e x－tx2＋x，t∈R，其中e为自然对数的底数．
(1)求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若g(x)≥f(x)对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，求t的取值范围．
解：(1)由f(x)＝ex－x ln x，知f′(x)＝e－ln x－1，
则f′(1)＝e－1，
而f(1)＝e，
则所求切线方程为y－e＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋1．
(2)∵f(x)＝ex－x ln x，g(x)＝e x－tx2＋x，t∈R，
∴g(x)≥f(x)对任意的x∈(0，＋∞)恒成立等价于e x－tx2＋x－ex＋x ln x≥0对任意的x∈(0，＋∞)恒成立，
即t≤e x＋x－ex＋x ln x
x2对任意的x∈(0，＋∞)恒成立．
令F(x)＝e x＋x－ex＋x ln x
x2，
则F′(x)＝xe x＋ex－2e x－x ln x
x3＝
1
x2?
?
?
?
?
e x＋e－
2e x
x－ln x，
令G(x)＝e x＋e－2e x
x－ln x，
则G′(x)＝e x－2xe x－e x
x2－
1
x＝
e x x－12＋e x－x
x2＞0对任意的x∈(0，＋
∞)恒成立．
∴G(x)＝e x＋e－2e x
x－ln x在(0，＋∞)上单调递增，且G(1)＝0，
∴当x ∈(0,1)时，G (x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，G (x )＞0， 即当x ∈(0,1)时，F ′(x )＜0，当x ∈(1，＋∞)时，F ′(x )＞0， ∴F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴F (x )≥F (1)＝1， ∴t ≤1，
即t 的取值范围是(－∞，1]．
强化训练
1．设函数f (x )＝x 2e x －1＋ax 3＋bx 2，已知x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点． (1)求a ，b 的值； (2)讨论f (x )的单调性；
(3)设g (x )＝2
3x 3－x 2，比较f (x )与g (x )的大小． 解：(1)因为f ′(x )＝e x －1(2x ＋x 2)＋3ax 2＋2bx ＝xe x －1(x ＋2)＋x (3ax ＋2b )， 又x ＝－2和x ＝1为f (x )的极值点， 所以f ′(－2)＝f ′(1)＝0， 因此???
－6a ＋2b ＝0，3＋3a ＋2b ＝0，
解得?????
a ＝－13，
b ＝－1.
(2)因为a ＝－1
3，b ＝－1， 所以f ′(x )＝x (x ＋2)(e x －1－1)， 令f ′(x )＝0，
解得x 1＝－2，x 2＝0，x 3＝1．
因为当x ∈(－∞，－2)∪(0,1)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(－2,0)∪(1，＋∞)时，f ′(x )＞0． 所以f (x )在(－2,0)和(1，＋∞)上是单调递增的； 在(－∞，－2)和(0,1)上是单调递减的．
(3)由(1)可知f (x )＝x 2e x －
1－13x 3－x 2． 故f (x )－g (x )＝x 2e x －1－x 3＝x 2(e x －1－x )， 令h (x )＝e x －1－x ，则h ′(x )＝e x －1－1． 令h ′(x )＝0，得x ＝1，
因为当x ∈(－∞，1]时，h ′(x )≤0， 所以h (x )在(－∞，1]上单调递减； 故当x ∈(－∞，1]时，h (x )≥h (1)＝0； 因为当x ∈[1，＋∞)时，h ′(x )≥0， 所以h (x )在[1，＋∞)上单调递增； 故x ∈[1，＋∞)时，h (x )≥h (1)＝0． 所以对任意x ∈(－∞，＋∞)，恒有h (x )≥0； 又x 2≥0，因此f (x )－g (x )≥0．
故对任意x ∈(－∞，＋∞)，恒有f (x )≥g (x )． 2．(2015·北京高考)已知函数f (x )＝ln 1＋x
1－x ．
(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；
(2)求证：当x ∈(0,1)时，f (x )＞2? ??
??
x ＋x 3
3；
(3)设实数k 使得f (x )＞k ? ??
??
x ＋x 3
3对x ∈(0,1)恒成立，求k 的最大值．
解：(1)因为f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )(－1＜x ＜1)， 所以f ′(x )＝
11＋x ＋1
1－x
，f ′(0)＝2． QQ 群 545423319 微信公众号：中学数学研讨部落 又因为f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝2x ．
(2)证明：令g (x )＝f (x )－2? ??
??
x ＋x 3
3，
则g ′(x )＝f ′(x )－2(1＋x 2
)＝2x 4
1－x 2
．
因为g ′(x )＞0(0＜x ＜1)，
所以g (x )在区间(0,1)上单调递增． 所以g (x )＞g (0)＝0，x ∈(0,1)，
即当x ∈(0,1)时，f (x )＞2? ??
??
x ＋x 3
3．
(3)由(2)知，当k ≤2时，f (x )＞k ? ????
x ＋x 3
3对x ∈(0,1)恒成立．
当k ＞2时，令h (x )＝f (x )－k ? ????
x ＋x 33，
则h ′(x )＝f ′(x )－k (1＋x 2)＝kx 4－k ＋2
1－x 2
．
所以当0＜x ＜
4k －2
k 时，h ′(x )＜0， 因此h (x )在区间? ????
0，
4k －2k 上单调递减． 故当0＜x ＜
4k －2
k 时，h (x )＜h (0)＝0，
即f (x )＜k ? ??
??
x ＋x 3
3．
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所以当k ＞2时，f (x )＞k ? ????
x ＋x 3
3并非对x ∈(0,1)恒成立．
综上可知，k 的最大值为2．
3．(2016·广州综合测试)已知函数f (x )＝me x －ln x －1． (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)当m ≥1时，证明：f (x )＞1． 解：(1)当m ＝1时，f (x )＝e x －ln x －1， 所以f ′(x )＝e x －1
x ．
所以f (1)＝e －1，f ′(1)＝e －1．
所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －(e －1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x ．
(2)证明：当m ≥1时，
f (x )＝me x －ln x －1≥e x －ln x －1(x ＞0)． 要证明f (x )＞1，只需证明e x －ln x －2＞0．
设g (x )＝e x －ln x －2，则g ′(x )＝e x －1
x ． 设h (x )＝e x －1x ，则h ′(x )＝e x ＋1
x 2＞0，
所以函数h (x )＝g ′(x )＝e x －1
x 在(0，＋∞)上单调递增． 因为g ′? ??
??12＝e 1
2－2＜0，g ′(1)＝e －1＞0，
所以函数g ′(x )＝e x
－1x 在(0，＋∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈? ??
??
12，1．
因为g ′(x 0)＝0，所以ex 0＝1
x 0
，即ln x 0＝－x 0．
当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＜0；当x ∈(x 0，＋∞)时，g ′(x )＞0． 所以当x ＝x 0时，g (x )取得最小值g (x 0)． 故g (x )≥g (x 0)＝ex 0－ln x 0－2＝1
x 0
＋x 0－2＞0．
综上可知，当m ≥1时，f (x )＞1．
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4．(2017·石家庄质检)已知函数f (x )＝a x －x 2
e x (x ＞0)，其中e 为自然对数的底数．
(1)当a ＝0时，判断函数y ＝f (x )极值点的个数；
(2)若函数有两个零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，设t ＝x 2
x 1
，证明：x 1＋x 2随着t 的增大而
增大．
解：(1)当a ＝0时，f (x )＝－x 2
e x (x ＞0)，
f ′(x )＝
－2x ·e x －－x 2
·e x
e x 2＝
x x －2e x
，
令f ′(x )＝0，得x ＝2，
当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，y ＝f (x )单调递减， 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，y ＝f (x )单调递增， 所以x ＝2是函数的一个极小值点，无极大值点， 即函数y ＝f (x )有一个极值点．
(2)证明：令f (x )＝a x －x 2
e x ＝0，得x 3
2＝ae x ，
因为函数有两个零点x 1，x 2(x 1＜x 2)，
所以x 132
1＝aex 1，x 32
2＝aex 2，可得3
2ln x 1＝ln a ＋x 1，
3
2ln x 2＝ln a ＋x 2．
故x 2－x 1＝32ln x 2－32ln x 1＝32ln x 2
x 1
．
又x 2
x 1＝t ，则t ＞1，且?????
x 2＝tx 1，x 2－x 1＝32ln t ，
解得x 1＝32ln t t －1，x 2＝3
2t ln t
t －1．
所以x 1＋x 2＝3
2·t ＋1ln t
t －1
．①
令h (x )＝
x ＋1ln x
x －1，x ∈(1，＋∞)，
则h ′(x )＝－2ln x ＋x －1
x
x －1
2
．
令u (x )＝－2ln x ＋x －1x ，得u ′(x )＝?
????x －1x 2
． 当x ∈(1，＋∞)时，u ′(x )＞0． 因此，u (x )在(1，＋∞)上单调递增， 故对于任意的x ∈(1，＋∞)，u (x )＞u (1)＝0， 由此可得h ′(x )＞0，故h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 因此，由①可得x 1＋x 2随着t 的增大而增大．
第二部分 利用导数探究含参数函数的性质
技法一：利用导数研究函数的单调性
[典例] 已知函数g (x )＝ln x ＋ax 2＋bx ，函数g (x )的图象在点(1，g (1))处的切
线平行于x轴．
(1)确定a与b的关系；
(2)若a≥0，试讨论函数g(x)的单调性．
[解](1)依题意得g′(x)＝1
x＋2ax＋b(x＞0)．
由函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴得：g′(1)＝1＋2a＋b＝0，∴b＝－2a－1．
(2)由(1)得
g′(x)＝2ax2－2a＋1x＋1
x＝
2ax－1x－1
x．
∵函数g(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴当a＝0时，g′(x)＝－x－1 x．
由g′(x)＞0，得0＜x＜1，由g′(x)＜0，得x＞1，
当a＞0时，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝1
2a，
若1
2a＜1，即a＞
1
2，
由g′(x)＞0，得x＞1或0＜x＜1
2a，
由g′(x)＜0，得1
2a＜x＜1；
若1
2a＞1，即0＜a＜
1
2，
由g′(x)＞0，得x＞1
2a或0＜x＜1，
由g′(x)＜0，得1＜x＜1
2a，
若1
2a＝1，即a＝
1
2在(0，＋∞)上恒有g′(x)≥0．
综上可得：当a＝0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当0＜a＜1
2时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，
在? ????1，12a 上单调递减，在? ????
12a ，＋∞上单调递增； 当a ＝1
2时，函数g (x )在(0，＋∞)上单调递增， 当a ＞12时，函数g (x )在? ?
???0，12a 上单调递增，
在? ????
12a ，1上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． [方法点拨]
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点．
(3)本题(2)求解应先分a ＝0或a ＞0两种情况，再比较1
2a 和1的大小． [对点演练]
(2016·太原一模)已知函数f (x )＝x －a ln x (a ∈R )． (1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程； (2)设函数h (x )＝f (x )＋1＋a
x ，求函数h (x )的单调区间． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x －2ln x ，f (1)＝1， 即切点为(1,1)，
∵f ′(x )＝1－2
x ，∴f ′(1)＝1－2＝－1，
∴曲线y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0． (2)由题意知，h (x )＝x －a ln x ＋1＋a
x (x ＞0)， 则h ′(x )＝1－a x －1＋a x 2＝
x 2－ax －1＋a
x 2
＝
x ＋1
[x －1＋a
]x 2
，
①当a ＋1＞0，即a ＞－1时， 令h ′(x )＞0，∵x ＞0，∴x ＞1＋a ， 令h ′(x )＜0，∵x ＞0，∴0＜x ＜1＋a ．
②当a＋1≤0，
即a≤－1时，h′(x)＞0恒成立，
综上，当a＞－1时，h(x)的单调递减区间是(0，a＋1)，单调递增区间是(a＋1，＋∞)；当a≤－1时，h(x)的单调递增区间是(0，＋∞)，无单调递减区间．技法二：利用导数研究函数的极值
[典例]设a＞0，函数f(x)＝1
2x
2－(a＋1)x＋a(1＋ln x)．
(1)若曲线y＝f(x)在(2，f(2))处的切线与直线y＝－x＋1垂直，求切线方程．
(2)求函数f(x)的极值．
[解](1)由已知，得f′(x)＝x－(a＋1)＋a
x(x＞0)，
又由题意可知y＝f(x)在(2，f(2))处切线的斜率为1，所以f′(2)＝1，
即2－(a＋1)＋a
2＝1，解得a＝0，
此时f(2)＝2－2＝0，故所求的切线方程为y＝x－2．
(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋a
x＝
x2－a＋1x＋a
x
＝x－1x－a
x(x＞0)．
①当0＜a＜1时，
若x∈(0，a)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
若x∈(a,1)，则f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
若x∈(1，＋∞)，则f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．此时x＝a是f(x)的极大值点，
x＝1是f(x)的极小值点，
函数f(x)的极大值是f(a)＝－1
2a
2＋a ln a，
极小值是f(1)＝－1 2．
②当a＝1时，f′(x)＝x－12
x≥0，
所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)内单调递增，
此时f (x )没有极值点，故无极值． ③当a ＞1时，
若x ∈(0,1)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 若x ∈(1，a )，则f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 若x ∈(a ，＋∞)，则f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增．
此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点，函数f (x )的极大值是f (1)＝－12，极小值是f (a )＝－1
2a 2＋a ln a ．
综上，当0＜a ＜1时，f (x )的极大值是－1
2a 2＋a ln a ， 极小值是－1
2；当a ＝1时，f (x )没有极值；
当a ＞1时f (x )的极大值是－12，极小值是－1
2a 2＋a ln a ． [方法点拨]
对于解析式中含有参数的函数求极值，有时需要分类讨论后解决问题．讨论的思路主要有：
(1) 参数是否影响f ′(x )零点的存在；
QQ 群 545423319 微信公众号：中学数学研讨部落 (2)参数是否影响f ′(x )不同零点(或零点与函数定义域中的间断点)的大小； (3)参数是否影响f ′(x )在零点左右的符号(如果有影响，需要分类讨论)． [对点演练]
(2016·山东高考)设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R ． (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；
(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围． 解：(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，
可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞)． 所以g ′(x )＝1
x －2a ＝1－2ax x ．
当a ≤0，x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增； 当a ＞0，x ∈? ?
?
??0，12a 时，g ′(x )＞0，函数g (x )单调递增，
x ∈? ????
12a ，＋∞时，g ′(x )＜0，函数g (x )单调递减． 所以当a ≤0时，g (x )的单调增区间为(0，＋∞)；
当a ＞0时，g (x )的单调增区间为? ????0，12a ，单调减区间为? ????12a ，＋∞．
(2)由(1)知，f ′(1)＝0．①当a ≤0时，f ′(x )单调递增， 所以当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增． 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ②当0＜a ＜12时，1
2a ＞1，
由(1)知f ′(x )在? ??
??0，12a 内单调递增， 可得当x ∈(0,1)时，f ′(x )＜0，当x ∈? ?
???1，12a 时，f ′(x )＞0．
所以f (x )在(0,1)内单调递减，在? ?
???1，12a 内单调递增，
所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意． ③当a ＝12时，1
2a ＝1，
f ′(x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，
所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意． ④当a ＞12时，0＜1
2a ＜1，
当x ∈? ????
12a ，1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，
当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意． 综上可知，实数a 的取值范围为? ??
??12，＋∞．
技法三：利用导数研究函数的最值
[典例] 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)当a ＞0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．
专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ；
2008年高考数学试题分类汇编 函数与导数 一． 选择题： 1.（全国一1 ）函数y = C ） A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥ D ．{}|01x x ≤≤ 2.（全国一2）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ A ） 3.（全国一6）若函数(1)y f x =- 的图像与函数1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =（ B ） A ．21x e - B ．2x e C ．21x e + D ．22x e + 4.（全国一7）设曲线11x y x += -在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ D ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 5.（全国一9）设奇函数()f x 在(0)+∞， 上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x --<的解集为（ D ） A ．(10)(1)-+∞ ，， B ．(1)(01)-∞- ， ， C ．(1)(1)-∞-+∞ ，， D ．(10)(01)- ， ， 6.（全国二3）函数1()f x x x = -的图像关于（ C ） A ．y 轴对称 B ． 直线x y -=对称 A ． B ． C ． D ．
C ． 坐标原点对称 D ． 直线x y =对称 8.（全国二4）若13(1)ln 2ln ln x e a x b x c x -∈===，，，，，则（ C ） A ．a > B ．b a c >> C ．c a b >> D ．b c a >> 10.（北京卷3）“函数()()f x x ∈R 存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（ B ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 11.（四川卷10）设()()sin f x x ω?=+，其中0ω>，则()f x 是偶函数的充要条件是( D ) （Ａ）()01f = （Ｂ）()00f = （Ｃ）()'01f = （Ｄ）()'00f = 12.（四川卷11）设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）132 （Ｄ）213 13.（天津卷3）函数1y =04x ≤≤）的反函数是A （A ）2(1)y x =-（13x ≤≤） （B ）2(1)y x =-（04x ≤≤） （C ）21y x =-（13x ≤≤） （D ）21y x =-（04x ≤≤） 14.（天津卷10）设1a >，若对于任意的[,2]x a a ∈，都有2[,]y a a ∈满足方程log log 3a a x y +=，这时 a 的取值集合为B （A ）2{|1}a a <≤ （B ）{|}2a a ≥ （C ）3|}2{a a ≤≤ （D ）{2,3} 15.（安徽卷7）0a <是方程2210ax x ++=至少有一个负数根的（ B ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 16.（安徽卷9）在同一平面直角坐标系中，函数()y g x =的图象与x y e =的图象关于直线y x =对称。而函数()y f x =的图象与()y g x =的图象关于y 轴对称，若()1f m =-，
高中数学教案—导数、定积分 一．课标要求： 1．导数及其应用 （1）导数概念及其几何意义 ① 通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ②通过函数图像直观地理解导数的几何意义。 （2）导数的运算 ① 能根据导数定义求函数y=c ，y=x ，y=x 2，y=x 3 ，y=1/x ，y=x 的导数； ② 能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f （ax+b ））的导数； ③ 会使用导数公式表。 （3）导数在研究函数中的应用 ① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间； ② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。 （4）生活中的优化问题举例 例如，使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。 （5）定积分与微积分基本定理 ① 通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念； ② 通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义。 （6）数学文化 收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意义和价值。具体要求见本《标准》中"数学文化"的要求。 二．命题走向 导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常以解答题形式和其它数学知识结合起来，综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值. 三．要点精讲 1．导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值 x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。 如果当0→?x 时， x y ??有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
函数与导数大题训练 1已知函数.2 3)32ln()(2x x x f -+= （I ）求f (x )在[0，1]上的极值； （II ）若对任意0]3)(ln[|ln |],3 1,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的 取值范围； （III ）若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的 取值范围. 2. 设.2)(ln )()(2)(--==-- =e p qe e g x x f x f x q px x g ，且，其中（e 为自然对数的底数） （Ⅰ）求p 与q 的关系； （Ⅱ）若)(x g 在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （Ⅲ）证明：①)1(,1)(->-≤x x x f ②).2,()1(412ln 33ln 22ln 2222≥∈+--<+++n N n n n n n n Λ 3．设函数a x x a x f +++-=1)(2，]1,0(∈x ，+ ∈R a ． （1）若)(x f 在]1,0(上是增函数，求a 的取值范围； （2）求)(x f 在]1,0(上的最大值．
答案 1解：（I ）2 3)13)(1(33323)(+-+-=-+= 'x x x x x x f ， 令13 10)(-==='x x x f 或得（舍去） )(,0)(,3 10x f x f x >'<≤∴时当单调递增； 当)(,0)(,13 1x f x f x <'≤<时单调递减. ……………………………………3分 ]1,0[)(613ln )31(在为函数x f f -=∴上的极大值 ……………………………4分 （II ）由0]3)(ln[|ln |>+'+-x x f x a 得 x x a x x a 323ln ln 323ln ln ++<+->或， …………① ……………………5分 设3 32ln 323ln ln )(2 x x x x x h +=+-=， x x x x x g 323ln 323ln ln )(+=++=， 依题意知]31,61[)()(∈<>x x g a x h a 在或上恒成立， 0)32(2) 32(33)32(3332)(2>+=+?-+?+='x x x x x x x x g Θ， 03262)62(31323)(22>++=+?+= 'x x x x x x x h ，………………………………6分 ]3 1,61[)()(都在与x h x g ∴上单增，要使不等式①成立， 当且仅当.5 1ln 31ln ),61()31(<><>a a g a h a 或即或 ………………………8分 （III ）由.0223)32ln(2)(2=-+-+?+-=b x x x b x x f 令x x x x x b x x x x 329723323)(,223)32ln()(2 2+-=+-+='-+-+=??则， 当]3 7,0[)(,0)(,]37,0[在于是时x x x ??>'∈上递增；
高中高考数学专题复习<函数与导数> 1．下列函数中，在区间()0,+∞上是增函数的是 （ ） A ．1y x = B. 12x y ?? = ??? C. 2log y x = D.2x y -= 2．函数()x x x f -= 1 的图象关于( ) A ．y 轴对称 B ．直线y ＝－x 对称 C ．坐标原点对称 D ．直线y ＝x 对称 3．下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ．y y C ．y ＝4lgx 与y ＝2lgx 2 D ．y ＝lgx －2与y ＝lg x 100 4．下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数，且在)0,(-∞上为减函数的是（ ） A ．x x f ?? ? ??=23)( B ．1)(2+=x x f Ｃ．3)(x x f -= Ｄ．)lg()(x x f -= 5．已知0,0a b >>，且12 (2)y a b x =+为幂函数，则ab 的最大值为 A ． 18 B ．14 C ．12 D ．34 6．下列函数中哪个是幂函数（ ） A ．3 1-??? ??=x y B ．2 2-?? ? ??=x y C ．3 2-=x y D ．()3 2--=x y 7．)43lg(12x x y -++=的定义域为（ ） A. )43 ,21(- B. )43 ,21[- C. ),0()0,2 1(+∞?- D. ),43 []21 ,(+∞?-∞ 8．如果对数函数(2)log a y x +=在()0,x ∈+∞上是减函数，则a 的取值范围是 A.2a >- B.1a <- C.21a -<<- D.1a >- 9．曲线3 ()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）
高中数学（函数和导数）综合练习含解析 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（题型注释） 1．已知函数2()ln ()f x x ax a x a R =--∈．3253()422 g x x x x =-+-+ （1）当1a =时，求证：()12,1,x x ?∈+∞，均有12()()f x g x ≥ （2）当[)1,x ∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围． 2．已知定义域为R 的奇函数)(x f y =的导函数为)(x f y '=，当0≠x 时，0)()(>+'x x f x f ，若)1(f a =，)2(2--=f b ， )21(ln )21(ln f c =，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ） A ．b c a << B ．a c b << C ．c b a << D ．b a c << 3．函数3()3f x x ax a =-+在()0,2内有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)0,4 B ．()0,1 C ．()0,4 D ．()4,4- 4．在函数()y f x =的图象上有点列(),n n x y ，若数列{}n x 是等差数列，数列{}n y 是等比数列，则函数()y f x =的解析式可能为（ ） A ．()21f x x =+ B ．()2 4f x x = C ．()3log f x x = D ．()34x f x ??= ??? 5．设:x p y c =是R 上的单调递减函数；q ：函数()() 2lg 221g x cx x =++的值域为R ．如果“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则正实数c 的取值范围是（ ） A ．1,12?? ??? B ．1,2??+∞ ??? C ．[)10,1,2??+∞ ??? D ．10,2?? ??? 6．如果函数y ||2x =-的图像与曲线22:C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围 是（ ） A ．{2}∪(4,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．{2,4} D ．(4,)+∞
高考数学真题汇编——函数与导数 1．【2018年浙江卷】函数y=sin2x的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复． 2．【2018年理天津卷】已知，，，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 【答案】D
【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：，， ， 据此可得：.本题选择D选项. 点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 3．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A. [–1，0） B. [0，+∞） C. [–1，+∞） D. [1，+∞） 【答案】C 详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果. 4．【2018年理新课标I卷】设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 【答案】D 点睛：该题考查的是有关曲线在某个点处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果. 5．【2018年全国卷Ⅲ理】设，，则
多项式函数的导数 教学目的：会用导数的运算法则求简单多项式函数的导数 教学重点：导数运算法则的应用 教学难点：多项式函数的求导 一、复习引入 1、已知函数2)(x x f =，由定义求)4()(/ /f x f ，并求 2、根据导数的定义求下列函数的导数： （1）常数函数C y = （2）函数)(*N n x y n ∈= 二、新课讲授 1、两个常用函数的导数： 2、导数的运算法则： 如果函数)()(x g x f 、有导数，那么 也就是说，两个函数的和或差的导数，等于这两个函数的导数的和或差；常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数. 例1：求下列函数的导数： （1）37x y = （2）43x y -= （3）3 534x x y += （4）)2)(1(2-+=x x y （5）b a b ax x f 、()()(2+=为常数 )
例2：已知曲线331x y =上一点)3 82(，P ，求： （1）过点P 的切线的斜率； （2）过点P 的切线方程. 三、课堂小结：多项式函数求导法则的应用 四、课堂练习：1、求下列函数的导数： （1）28x y = （2）12-=x y （3）x x y +=2 2 （4）x x y 433-= （5）)23)(12(+-=x x y （6）)4(32-=x x y 2、已知曲线24x x y -=上有两点A （4，0），B （2，4），求： （1）割线AB 的斜率AB k ；（2）过点A 处的切线的斜率AT k ；（3）点A 处的切线的方程. 3、求曲线2432+-=x x y 在点M （2，6）处的切线方程. 五、课堂作业 1、求下列函数的导数： （1）1452+-=x x y （2）7352++-=x x y （3）101372-+=x x y （4）333x x y -+= （5）453223-+-=x x x y （6）)3)(2()(x x x f -+= （7）1040233)(34-+-=x x x x f （8）x x x f +-=2)2()( （9）)3)(12()(23x x x x f +-= （10）x x y 4)12(32-+= 2、求曲线32x x y -=在1-=x 处的切线的斜率。 3、求抛物线241x y = 在2=x 处及2-=x 处的切线的方程。 4、求曲线1323+-=x x y 在点P （2，－3）处的切线的方程。
高二数学 几种常见函数的导数 一、教学目标：熟记公式(C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=??? ??．x x 21 )'(= 二、教学重点：牢固、准确地记住五种常见函数的导数，为求导数打下坚实的基础. 教学难点：灵活运用五种常见函数的导数. 三、教学过程： （一）公式1：(C )'＝0 (C 为常数)． 证明：y ＝f (x )＝C , Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝C －C ＝0, ,0=??x y .0lim ')('0=??==∴→?x y C x f x 也就是说，常数函数的导数等于0． 公式2： 函数x x f y ==)(的导数 证明：（略） 公式3： 函数2)(x x f y ==的导数 公式4： 函数x x f y 1)(==的导数 公式5： 函数x x f y ==)(的导数 （二）举例分析 例1. 求下列函数的导数． ⑴3x ⑵21x ⑶x 解：⑴=')(3x 133-x 23x = ⑵='?? ? ??21x )(2'-x 32--=x 32x -= ⑶=')(x )(2 1'x 12121-=x 2121-=x .21x = 练习
求下列函数的导数： ⑴ y ＝x 5； ⑵ y ＝x 6； （3）;13x y = （4）.3x y = （5）x x y 2= 例2．求曲线x y 1=和2x y =在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形的面积。 例3．已知曲线2x y =上有两点A （1，1），B （2，2）。 求：（1）割线AB 的斜率； （2）在[1，1+△x ]内的平均变化率； （3）点A 处的切线的斜率； （4）点A 处的切线方程 例4．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0 的最短距离． （三）课堂小结 几种常见函数的导数公式 (C )'＝0 (C 为常数)， (x )'＝1， ( x 2 )'＝2x ， 2'11x x -=?? ? ??．x x 21)'(= （四）课后作业 《习案》作业四
高中数学函数与导数常考题型整理归纳 题型一:利用导数研究函数的性质 利用导数研究函数的单调性、极值、最值是高考的热点问题之一，每年必考，一般考查两类题型：(1)讨论函数的单调性、极值、最值，(2)利用单调性、极值、最值求参数的取值范围. 【例1】已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性； (2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求实数a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1 x －a . 若a≤0，则f′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 若a ＞0，则当x ∈? ???? 0，1a 时，f ′(x )＞0； 当x ∈? ?? ?? 1a ，＋∞时，f ′(x )＜0， 所以f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. 综上，知当a≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，f (x )在? ???? 0，1a 上单调递增，在? ?? ??1a ，＋∞上单调递减. (2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值； 当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ? ?? ??1a ＝ln 1 a ＋a ? ?? ??1－1a ＝－ln a ＋a －1. 因此f ? ?? ?? 1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0. 令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增， g (1)＝0. 于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0； 当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，实数a 的取值范围是(0，1). 【类题通法】(1)研究函数的性质通常转化为对函数单调性的讨论，讨论单调性要先求函数定义域，再讨论导数在定义域内的符号来判断函数的单调性.
1. 【 2016 高考四川文科】已知函数的极小值点，则=( ) (A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2 【答案】 D 考点：函数导数与极值. 【名师点睛】本题考查函数的极值．在可导函数中函数的极值点是方程但是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在 的解，附近，如 果时，，时，则是极小值点，如果时，，时，，则是极大值点， 2. 【 2015 高考福建，文A．充分而不必要条 件12】“对任意 B．必要而不充分条件 ，”是“ C ．充分必要条件 D ”的（） ．既不充分也不必 要条件 【答案】 B 【解析】当时，，构造函数，则 ．故在单调递增，故，则；当时，不等式等价于，构造函数 ，则，故在递增，故 ”是“，则．综上 ”的必要不充分条件，选 所述，“ 对任 意B． ，
【考点定位】导数的应用． 【名师点睛】 本题以充分条件和必要条件为载体考查三角函数和导数在单调性上的应用， 根 据已知条件构造函数，进而研究其图象与性质，是函数思想的体现，属于难题． 3. (2014 课标全国Ⅰ，文 12) 已知函数 f ( x ) ＝ ax 3 － 3 2 ＋ 1，若 f ( ) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x x x 0＞0，则 a 的取值范围是 ( ) ． A ． (2 ，＋∞ ) B ． (1 ，＋∞) C ． ( －∞，－ 2) D ．( －∞，－ 1) 答案： C 解析：当 a ＝ 0 时， f ( x ) ＝－ 3x 2＋ 1 存在两个零点，不合题意； 当 a ＞0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 ′( ) ＝ 0，得 x 1 ＝ 0， ， fx 所以 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一的零点，需 ，但这时零点 x 0 一定小于 0，不合题意； 当 a ＜0 时， f ′(x ) ＝ 3ax 2－ 6x ＝ ， 令 f ′(x ) ＝ 0，得 x 1＝0， ，这时 f ( x ) 在 x ＝0 处取得极大值 f (0) ＝ 1，在 处取得极小值 ， 要使 f ( x ) 有唯一零点，应满足 ，解得 a ＜－ 2( a ＞ 2 舍去 ) ，且这时 零点 x 0 一定大于 0，满足题意，故 a 的取值范围是 ( －∞，－ 2) ． 名师点睛：本题考查导数法求函数的单调性与极值，函数的零点，考查分析转化能力，分类讨论思想， 较难题 . 注意区别函数的零点与极值点 . 4. 【 2014 辽宁文 12】当 时，不等式 恒成立，则实数 a 的取 值范围是（）
函数与导数 1. 已知函数3 2 ()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈． （Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点． 【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、 函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。 （Ⅰ）解：当1t =时，3 2 2 ()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+- (0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =- （Ⅱ）解：2 2 ()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2 t x t x =-=或 因为0t ≠，以下分两种情况讨论： （1）若0,,2 t t t x <<-则 当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x ,2t ? ?-∞ ?? ? ,2t t ?? - ??? (),t -+∞ ()f x ' + - + ()f x 所以，()f x 的单调递增区间是(), ,,;()2t t f x ? ?-∞-+∞ ? ??的单调递减区间是,2t t ?? - ??? 。 （2）若0,2 t t t >-< 则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： x (),t -∞ ,2t t ??- ?? ? ,2t ?? +∞ ??? ()f x ' + - + ()f x
2020北京各区一模数学试题分类汇编--函数与导数 （2020海淀一模）已知函数f (x )=|x -m |与函数g (x )的图象关于y 轴对称.若g (x )在区间(1，2)内单调递减，则m 的取值范围为（ ） A. [-1，+∞) B. (-∞，-1] C. [-2，+∞) D. (-∞，-2] （2020西城一模）设函数()21010 0x x x f x lgx x ?++≤?=?>??，，若关于x 的方程()()f x a a R =∈有四个实数解()1234i x i =，，，，其中1234x x x x <<<，则()()1234x x x x +-的取值范围是（ ） A. (]0101 ， B. (]099， C. (]0100， D. ()0+∞， （2020西城一模）下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ） A. 2y x =+ B. y sinx = C. 3y x x =- D. 2x y = （2020东城一模）设函数()()120f x x x x =+ -<，则()f x （ ） A. 有最大值 B. 有最小值 C. 是增函数 D. 是减函数 （2020丰台一模）已知函数()e 1,0,,0. x x f x kx x ?-≥=?
（2020丰台一模）已知132a =，123b =，3 1log 2c =，则（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >> （2020朝阳区一模）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x = B. 21y x =-+ C. 2log y x = D. ||2x y = （2020朝阳区一模）已知函数222,1,()2ln , 1.x ax a x f x x a x x ?-+≤=?->?若关于x 的不等式()2a f x ≥在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A. (-∞ B. 3[0,]2 C. [0,2] D. （2020石景山一模）下列函数中，既是奇函数又在区间()0,∞+上单调递减的是（ ） A. 22y x =-+ B. 2x y -= C. ln y x = D. 1y x = （2020石景山一模）设()f x 是定义在R 上的函数，若存在两个不等实数12,x x R ∈，使得 ()()121222f x f x x x f ++??= ??? ，则称函数()f x 具有性质P ，那么下列函数： ①()1,00,0 x f x x x ?≠?=??=?； ②()2 f x x =；
2015专题五：函数与导数 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： (1)曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+ (2)若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之，不成立。 (3)对于可导函数()f x ，不等式()f x '0>0<（）的解集决定函数()f x 的递增（减）区间。 (4)函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：x I ?∈()f x '0≥(0)≤恒成立 (5)函数()f x 在区间I 上不单调等价于()f x 在区间I 上有极值，则可等价转化为方程 ()0f x '=在区间I 上有实根且为非二重根。 （若()f x '为二次函数且I=R ，则有0?>）。 (6)()f x 在区间I 上无极值等价于()f x 在区间在上是单调函数，进而得到()f x '0≥或 ()f x '0≤在I 上恒成立 (7)若x I ?∈，()f x 0>恒成立，则min ()f x 0>; 若x I ?∈，()f x 0<恒成立，则max ()f x 0< (8)若0x I ?∈，使得0()f x 0>，则max ()f x 0>；若0x I ?∈，使得0()f x 0<，则min ()f x 0<. (9)设()f x 与()g x 的定义域的交集为D 若x ?∈D ()()f x g x >恒成立则有[]min ()()0f x g x -> (10)若对11x I ?∈、22x I ∈，12()()f x g x >恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x >,则min min ()()f x g x >. 若对11x I ?∈，22x I ?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A,，()g x 在区间2I 上值域为B ， 若对11x I ?∈,22x I ?∈，使得1()f x =2()g x 成立，则A B ?。 (12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12x x 、，且极大值大 于0，极小值小于0. (13)证题中常用的不等式: ① ln 1(0)x x x ≤->② ln +1(1)x x x ≤>-（）③ 1x e x ≥+ ④ 1x e x -≥-⑤ ln 1 (1)12 x x x x -<>+⑥ 22 ln 11(0)22x x x x <->
高考导数大题汇编理科 答案 YUKI was compiled on the morning of December 16, 2020
一、解答题 1. 解:(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞，' 112()e ln e e e .x x x x a b b f x a x x x x --=+-+ 由题意可得' (1)2,(1) e.f f ==故1,2a b ==. （Ⅱ）由(Ⅰ)知12e ()e ln ,x x f x x x -=+从而()1f x >等价于2 ln e .e x x x x ->- 设函数()ln g x x x =，则()1ln g x x '=+，所以当1 (0,)e x ∈时，' ()0g x <; 当1(,)e x ∈+∞时，' ()0g x >,故()g x 在1(0,)e 单调递减，在1(,)e +∞单调递增， 从而()g x 在(0,)+∞的最小值为11().e e g =-. 设函数2 ()e e x h x x -=-，则'()e (1)x h x x -=-，所以当(0,1)x ∈时，'()0h x >； 当(1,)x ∈+∞时，' ()0h x <，故()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，从而()h x 在(0,)+∞的最大值为1(1)e h =- . 综上，当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. 2. 解题指南（1）根据导数公式求出函数的导数，利用分类讨论思想求解；（2）根据函数的单调性以及函数极值与导数的关系式确定函数的极值点，代入函数中求解. 解析（1）2/ 2 2 2(2)24(1) ()1(2)(1)(2)a x x ax a f x ax x ax x +-+-=-=++++ （*） 当1a ≥时，/ ()0f x >，此时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，由/ ()0f x = 得1 x = ，（2x =-舍去）． 当1(0,)x x ∈时，/()0f x <；当1(,)x x ∈+∞时，/ ()0f x >． 故()f x 在区间1(0,)x 上单调递减，在区间1(,)x +∞上单调递增． 综上所述，当1a ≥时，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增． 当01a <<时，()f x 在区间(0, 上单调递减，在区间)+∞上单调递增． 由（*）式知，当1a ≥时，/ ()0f x >，此时()f x 不存在极值点，因而要使得()f x 有两个极值点， 必有01a <<．又()f x 的极值点只可能是1 x = 2x =-，且由定义可知，1 x a >- 且2x ≠- ，所以1a ->- 且2-≠-，解得1 2 a ≠- 此时，由（*）式易知，12,x x 分别是()f x 的极小值和极大值点，而 令2a - 01x <<． 记(g x （Ⅰ）当1 - 因此，g 1()( f x f +（Ⅱ）当0 因此，(g x 1()( f x f + 综上所 3. (1)证明函数． (2)解：由条 令t = 因为 当且 因此 (3)解：令函 当x ≥1时， 因此g (x )在 由于存在x 0故1 e+e 2 --令函数() h x
高中数学题型归纳大全函数与导数题专题练习二 9．已知函数f（x）＝x（e2x﹣a）． （1）若y＝2x是曲线y＝f（x）的切线，求a的值； （2）若f（x）≥1+x+lnx，求a的取值范围． 10．已知函数f（x）＝x2+ax+b，g（x）＝e x（cx+d），若曲线y＝f（x）和曲线y＝g（x）都过点P（0，2），且在点P处有相同的切线y＝4x+2． （Ⅰ）求a，b，c，d的值； （Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围． 11．已知函数f（x）=alnx x+1 +b x，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+2y﹣3 ＝0． （Ⅰ）求a、b的值； （Ⅱ）证明：当x＞0，且x≠1时，f（x）＞lnx x?1．
12．已知函数f(x)=(a ?1 x )lnx （a ∈R ）． （1）若曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为x +y ﹣1＝0，求a 的值； （2）若f （x ）的导函数f '（x ）存在两个不相等的零点，求实数a 的取值范围； （3）当a ＝2时，是否存在整数λ，使得关于x 的不等式f （x ）≥λ恒成立？若存在，求出λ的最大值；若不存在，说明理由． 13．已知函数f （x ）＝4lnx ﹣ax +a+3 x （a ≥0） （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性； （Ⅱ）当a ≥1时，设g （x ）＝2e x ﹣4x +2a ，若存在x 1，x 2∈[1 2，2]，使f （x 1）＞g （x 2）， 求实数a 的取值范围．（e 为自然对数的底数，e ＝2.71828…） 14．已知函数f （x ）＝a x +x 2﹣xlna （a ＞0且a ≠1） （1）求函数f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；
函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ．