用导数求切线方程的四种类型
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点0
()P x y ，及斜率，其求法为：设0
()P x y ，是曲线()y
f x =上的一点，则以P
的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-
=-．若曲线()
y f x =在点0
(())P x f x
，的切
线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0
x x =
．
下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()
f x '，并代入点斜式方程即可．
例1 曲线3
231y x x =-+在点(11)
-，处的切线方程为（ ）
Ａ．34
y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y
x =-+ Ｄ．45
y
x =-
解：由
2
()36f x x x
'=-则在点(11)-，处斜率(1)3
k f '==-，故所求的切线方程为
(1)3(1)
y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．
类型二：已知斜率，求曲线的切线方程
此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240
x y -+=的平行的抛物线2
y
x
=的切线方程是（ ）
Ａ．230
x y -+= Ｂ．230
x y --= Ｃ．210x y -
+=
Ｄ．210
x y -
-=
解：设0
()P x y ，为切点，则切点的斜率为0
022
x x y x ='==|
．
01x =∴．
由此得到切点(11)，
．故切线方程为12(1)y x -=-，即210
x y --=，故选Ｄ．
评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y
x b
=+，代入2
y
x
=，得2
20
x
x b --=，又因为0
?
=，得1b =-，故选Ｄ．
类型三：已知过曲线上一点，求切线方程
过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待
定切点法．
例3 求过曲线3
2y
x x
=-上的点(11)-，的切线方程．
解：设想0
()P x y ，为切点，则切线的斜率为0
2
032
x x y x ='=-|
．
∴
切线方程为2
000(32)()
y y x x x -
=--．
3
2
0000(2)(32)()y x x x x x --=--．
又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得32
0001(2)(32)(1)
x x x x ---=--．
解得0
1x
=，或012
x =-
．
故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或1
3112842y x ?????
?--
+=-+ ? ? ??
????
?，即
20
x y --=，或5410x y +-=．
评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，
为切点，实际上是经过了点(11)
-，且以1728??
-
???
，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，
解决此类问题可用待定切点法．
类型四：已知过曲线外一点，求切线方程
此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．
例4 求过点(20)，
且与曲线1y x
=相切的直线方程．
解：设0
()P x y ，为切点，则切线的斜率为0
2
1x x y x ='=-|
． ∴
切线方程为002
1()y y x x x -
=-
-，即02
11
()y x x x x -
=-
-．
又已知切线过点(20)，
，把它代入上述方程，得02
11(2)x x x -=-
-．
解得0
00
111x
y x ==
=，，即20x y +-=．
评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切
位置，充分反映出待定切点法的高效性．
例 5 已知函数3
3y x x
=-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方
程．
解：曲线方程为3
3y
x x
=-，点(016)A ，
不在曲线上．
设切点为0
()M x y ，，
则点M 的坐标满足3
00
3y x x =-．
因
2
00()3(1)
f x x '=-，
故切线的方程为2
0003(1)()y y x x x -
=--．
点(016)A ，
在切线上，则有32
00016(3)3(1)(0)
x x x x --=--．
化简得30
8x
=-，解得02
x =-．
所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160
x y -+=．
评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
题型一：利用导数去切线斜率 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为 解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，． 类型二：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 类型三：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例3 求过点(20)，且与曲线1y x =相切的直线方程． 题型二：利用导数判断函数单调性 总结求解函数f(x)单调区间的步骤: 练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求f(x)的导数f'(x)； （3）解不等式 f'(x)>0 ，解集在定义域内的部分为 增区间； （4）解不等式 f'(x)<0 ，解集在定义域内的部分为 减区间． 例1.：已知导函数 的下列信息： 注意： x x x f x x x f x x x x f ln 2 1 )()3(7 62)()2(),0(,sin )()1(223-=+-=∈-=π图像的大致形状。 试画出或当或当当)(0)(,1,40)(,1,40)(,41x f x f x x x f x x x f x ='==<'<>>'<<3211 11(1)2231(11)y x y x x =-+-=-+-练习：、在，处的切线方程 、在，处的切线方程1(01)x y xe =+-3、曲线在，处的切线方程sin 20x y x e x =++=5、曲线在处的切线方程
利用导数求切线的方程 第I 卷（选择题） 一、选择题 1．已知曲线21y x =-在0x x =处的切线与曲线31y x =-在0x x =处的切线互相平行，则0x 的值为（ ） A ．0 B C ．0 D 2．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点A 处的切线方程是（ ） A.02=-y x B.02=+y x C.0144=+-y x D.0144=++y x 3．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） A B 、22e C 、2e D 4．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ） A.)1(2-=x e y B.1-=ex y C.)1(-=x e y D.e x y -= 5．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-距离的最小值为（） A ．1 B C D 6处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ） A D 7处的切线平行于x 轴, 则()0f x =（ ） A C D ．2e 8上一动点00(,())P x f x 处的切线斜率的最小值为（ ） A B ．3 C D ．6 第II 卷（非选择题） 二、填空题 9在点()1,1处的切线与曲线x y e =在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 __________.
10．曲线cos y x x =-在点___________． 11．已知直线01=+-y x 与曲线的值为 ． 12．若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线，则实数b 的值为 ． 13．若直线y x b =+是曲线 14．已知函数()tan f x x =，则__________. 15在点()()1,1f 处的切线方程是 . 16．设曲线3()2f x ax a =-在点()1,a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为______． 17．已知曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则实数a b +的值为____________． 18．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为________． 19__________． 三、解答题 20．求曲线3 =y=f(x)(2x-2)在点（2,8）处的切线方程（一般式） 参考答案
用导数求切线方程的四种类型 浙江 曾安雄 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为 (1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --= 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|． 01x =∴． 由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用?法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0?=，得1b =-，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．
高二数学A层学案导数求切线方程专题训练 一、典型例题 （一）已知曲线方程和切点坐标，求切线方程例1、求y = 4x3在点P 16,8处的切线方程. ［反思总结】__________________________________________________________________ （二）已知曲线方程和切点斜率，求切线方程例2、已知y = f x，求与直线y - -2x -4垂直的切线方程. ［反思总结】__________________________________________________________________ （三）已知曲线方程和曲线外一点，求切线方程例3、过原点做曲线y =e x的切线，求切线斜率和切线方程. ［反思总结】__________________________________________________________________ （四）已知曲线方程和曲线上一点，求过该点的切线方程 例4、求曲线y =3x -X3过点A2,-2的切线方程. ［反思总结】__________________________________________________________________
二、当堂检测 1.求过曲线y = -X3- x上过点1,0的切线方程. 2.求经过原点且与曲线"汽相切的曲线方程. 3.求过曲线y E x3? )2上一点0,0的切线方程. 4.若直线ex y -e -^0与曲线y =1 -ae x相切，求a的值. 2 x 5.已知函数f x；=—-1a>0在x=1处的切线为丨，求丨与两坐标轴围成的S的最小值. a
用导数求切线方程 一、教学目标： (1)知识与技能： 理解导数的几何意义. 能够应用导数公式及运算法则进行求导运算. (2)过程与方法： 掌握基本初等函数的导数公式及运算法则求简单函数的导数. (3)情感态度与价值观： 通过导数的几何意义的探索过程，掌握计算简单函数的导数，培养学生主动探索、勇于发现之间的联系的精神，渗透由特殊到一般的思想方法. 二、重点、难点 重点：能用导数的几何意义求切线方程. 难点：用导数求切线方程. 三、学情分析 学生在前面已学习导数的概念，能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，本节课进一步研究和学习导数的几何意义与切线方程之间的联系。根据学生好动、观察能力强的特点，让他们采用小组合作、讨论的形式归纳本节课的知识，突出本节课的重点、难点。 四、教学过程： 【知识回顾】 1. 导数的概念 函数()y f x =在0x x =处的导数是 _____________________.
2. 导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(00x f x 处的切线的斜率，即________=k . 3. 基本初等函数的导数公式: 1）若()f x c =(c 为常数)，则()________'=x f ； 2）若()f x x α=,则()________'=x f ; 3）若()sin f x x =,则()________'=x f ； 4）若()cos f x x =,则()________'=x f ; 5）若()x f x a =,则()________'=x f ； 6）若()x f x e =,则()________'=x f ； 7）若()log x a f x =,则()________'=x f ； 8）若()ln f x x =,则()________'=x f . 4. 导数的运算法则 1）()()[]_______________'=±x g x f 2）()()[]_________________'=?x g x f 3）()_______________________')(=?? ????x g x f 4）()'________cf x =???? 【新课引入】 1. 用导数求切线方程的四种常见的类型及解法： 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =-- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=
本章节知识提要 考试要求 1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝ x 1，y ＝x 的导数； (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数. 3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)； (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 4.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念； (2)了解微积分基本定理的含义 导数（1）：求导与切线 【知识点梳理】 1. 求导公式与求导法则：
0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -= x x 1)'(ln = ； x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2. 法则1 )(.))'(('=x f c x cf 法则2 ''' [()()]()()f x g x f x g x ±=±． 法则3 [()()]'()()()'()f x g x f x g x f x g x '=+, [()]'()cf x cf x '= 法则4：'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠ ??? 3．利用导数求曲线的切线方程：函数()y f x =在点0x 的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线斜率是0()f x '，切线的方程为000()()y y f x x x '-=- 曲线f (x )在A （m,n ）处的切线方程求法： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②求值：f ′(m )得过A 点的切线的斜率 ③由点斜式写出切线方程：y –n = f ′(m )(x-m) 【精选例题】 例1．求下列函数的导函数 1. x x f =)( 2.2)(e x f = 3.y=2x+3 4.x x f = )( 5.y=x 2+3x-3 6. 1y x = 7. x x x f ln 2)(= 8. 32)sin()(x x x f += 9. x x x x f 2ln )(+= 例2：.求函数12+=x y 在－1,0，1处导数。
利用导数求函数切线方程 摘要：导数是高中数学学习中分析和解决问题的有效工具，其中，导数在求解函数切线方程的应用中有很强的功能。本文采用“目标法”，通过对几个用导数求函数切线方程的例子的剖析，给出这类题的解题思路和技巧，让大家更深入地理解如何用“目标法”解决用导数求函数切线方程的问题，并在解题过程中通过“目标法”寻找策略，发现疏漏，同时展示高考题中用导数求切线方程的缜密的数学逻辑思维过程。 关键词：导数；切线方程；目标法；解题思路；数学逻辑 前言 导数作为高中教材必学内容之一，无论是在高中生的平时学习或者是在高考试题中，都毫无疑问的占有一席之地，已经有很多的教育工作者对有关导数在高中学习中的重要性和应该注意的一些问题进行了研究。付禹[1]采用问卷调查法，通过分析学生在测试中出现的问题和错误，对学生在学习“导数及其应用”中遇到的困难进行了分析。在高考试题中，导数已经从作为解决问题的辅助地位上升为分析和解决问题必不可少的工具[2]。而且，导数的广泛应用，也成为新教材高考试题的热点和命题的增长点[3]。可见，导数在高中学习中占有重要的位置。应用导数求函数的切线方程，这是导数的一个重要应用，对于高中生来说，也还存在一些解题误区，高春娇[4]对此做了分析。针对导数在求函数的切线方程中的重要性和高中生在学习过程中遇到的问题，作者主要想从一个高中生的视角，结合自己的解题经验，总结利用导数求函数切线方程的要点，并发现了解决导数问题的有效工具——“目标法”，同时在应用时体现数学的逻辑。希望对正在学习导数及其应用的高中学生有一定的帮助。文中选取的一些例题，主要来源于参考文献[5]，作者从另一角度给出了解题的思路和步骤，以及解答的过程，同时给出了解题中应该要注意到的诸多的细节问题，以期读者能掌握良好的做题习惯，感受强大的数学逻辑。 1用“目标法”解决用导数求函数的切线方程
本章节知识提要 考试要求1.导数概念及其几何意义(1)了解导数概念的实际背景； (2)理解导数的几何 意义. 2.导数的运算 (1)能根据导数定义，求函数y ＝c (c 为常数)，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝ x 1，y ＝x 的导数； (2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数. 3.导数在研究函数中的应用 (1)了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)； (2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 4.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题. 5.定积分与微积分基本定理 (1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念； (2)了解微积分基本定理的含义 导数（1）：求导与切线 ?知识点梳理? 1. 求导公式与求导法则：
0'=C ； 1)'(-=n n nx x ； x x cos )'(sin =； x sin )'(cos -= x x 1)'(ln = ； x x e e =)'( a a a x x ln )'(= 2. 法则1 )(.))'(('=x f c x cf 法则2 '''[()()]()()f x g x f x g x ±=±． 法则3 [()()]'()()()f x g x f x g x f x g x '= +, [()]'(cf x cf x '= 法则4：'2()'()()()'()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠ ??? 3．利用导数求曲线的切线方程：函数()y f x =在点0x 的导数的几何意义就是曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线的斜率，也就是说，曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线斜率是0()f x '，切线的方程为000()()y y f x x x '-=- 曲线f (x )在A （m,n ）处的切线方程求法： ①求函数f (x )的导数f ′(x ). ②求值：f ′(m )得过A 点的切线的斜率 ③由点斜式写出切线方程：y –n = f ′(m )(x-m) ?精选例题? 例1．求下列函数的导函数 1. x x f =)( 2.2)(e x f = 3.y=2x+3 4.x x f = )( 5.y=x 2+3x-3 6. 1y x = 7. x x x f ln 2)(= 8. 32)sin()(x x x f += 9. x x x x f 2ln )(+= 例2：.求函数12+=x y 在－1,0，1处导数。 例3：已知曲线313y x =上一点P （2，38 ），求点P 处的切线的斜率及切线方程？
利用导数求曲线的切线和公切线 一.求切线方程 【例1】.已知曲线f(x)=x3-2x2+1. (1)求在点P（1,0）处的切线l 1 的方程； (2)求过点Q（2,1）与已知曲线f(x)相切的直线l 2 的方程. 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 二.有关切线的条数 【例2】．（2014?北京）已知函数f（x）=2x3﹣3x． （Ⅰ）求f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值； （Ⅱ）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切，求t的取值范围；（Ⅲ）问过点A（﹣1，2），B（2，10），C（0，2）分别存在几条直线与曲线y=f（x）相切？（只需写出结论） 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2x3﹣3x得f′（x）=6x2﹣3， 令f′（x）=0得，x=﹣或x=， ∵f（﹣2）=﹣10，f（﹣）=，f（）=﹣，f（1）=﹣1， ∴f（x）在区间[﹣2，1]上的最大值为． （Ⅱ）设过点P（1，t）的直线与曲线y=f（x）相切于点（x 0，y ）， 则y 0=2﹣3x ，且切线斜率为k=6﹣3， ∴切线方程为y﹣y 0=（6﹣3）（x﹣x ）， ∴t﹣y 0=（6﹣3）（1﹣x ），即4﹣6+t+3=0，设g（x）=4x3﹣6x2+t+3， 则“过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切”，等价于“g（x）有3个不同的零点”．∵g′（x）=12x2﹣12x=12x（x﹣1）， ∴g（0）=t+3是g（x）的极大值，g（1）=t+1是g（x）的极小值． ∴g（0）＞0且g（1）＜0，即﹣3＜t＜﹣1， ∴当过点过点P（1，t）存在3条直线与曲线y=f（x）相切时，t的取值范围是（﹣3，﹣1）． （Ⅲ）过点A（﹣1，2）存在3条直线与曲线y=f（x）相切； 过点B（2，10）存在2条直线与曲线y=f（x）相切； 过点C（0，2）存在1条直线与曲线y=f（x）相切．
导数切线方程练习题 1、曲线212y x =在点1(1,)2 处切线的倾斜角为________________ 2、曲线在点(1,1)处的切线方程为____________________． 3、曲线3y x =在点(1,1)处的切线与x 轴、直线2x =所围成的三角形面积为__________． 4．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为________________ 5．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________________ 6．曲线在点A 处的切线与直线平行，则点A 的坐标为________________ 7．设曲线在点处的切线与直线垂直，则等于 ________________ 8．曲线y=2sinx 在点P （π，0）处的切线方程为 ________________ 9．设曲线在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为,则的值为20．函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程为，则=______ 10．直线2y x b =+与曲线3ln y x x =-+相切，则b 的值为 . 11．已知函数()x f x xe =.（1）求这个函数的导数；（2）求这个函数的图象在点1x =处的切线方程. 12．已知函数()()0≠++=x b x a x x f ，其中R b a ∈,.若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数()x f 的解析式； 13．已知函数．（1）求曲线在点(2,6)-处的切线方程； （2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标． 14.已知函数b ax x x f ++=2)(，)()(d cx e x g x +=若曲线)(x f y =和曲线)(x g y =都过点)2,0(P ，且在点P 处有相同的切线24+=x y . 求a ，b ，c ，d 的值； 15.设函数x be x ae x f x x 1 ln )(-+=，曲线)(x f y =在点处的切线方程为))1(,1(f 2)1(+-=x e y 求b a , 16.已知函数32()f x x ax bx c =+++，()124g x x =-，若(1)0f -=，且()f x 的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为()y g x =．（1）求实数a ，b ，c 的值； 17. 已知2()21f x x =-，求过点(1,0)的与函数的切线方程 21x y x =-e x y =30x y -+=11 x y x +=-(3,2)10ax y ++=a 1*()n y x n N +=∈n x 12n x x x ???L 22 1+=x y )1()1(f f '+3 ()16f x x x =+-()y f x =l ()y f x =l
利用导数求曲线的切线和公切线 一. 求切线万程 【例11 .已知曲线f(x)=x 3-2x 2+1. (1) 求在点P (1,0 )处的切线l 1的方程； ⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程. 提醒：注意是在某个点处还是过某个点！ 二. 有关切线的条数 【例21.( 2014?北京)已知函数f (x ) =2x 3 - 3x . (I)求f (x )在区间［-2, 1］上的最大值； (n)若过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切，求t 的取值范围; (川)问过点 A (- 1, 2), B (2, 10), C (0, 2)分别存在几条直线与曲线 y=f (x )相切？(只需写出结论) 【解答1 解：(I)由 f (x ) =2x 3 - 3x 得 f '( x ) =6x 2- 3, 令 f '(x ) =0 得，x= -^_或 x=」, ?- f (-2) =- 10, f (-=) =：-：, f (斗)=-::,f (1) =- 1, .f (x )在区间［-2, 1］上的最大值为：.：. (n)设过点P (1, t )的直线与曲线y=f (x )相切于点(X 。，y °), 则y °=2诃-3X 0，且切线斜率为k=6爲-3, .切线方程为 y -y o = (6-,- - 3)(x - x o ), +t+3=0，设 g (x ) =4x 3 - 6x 2+t+3 , 则“过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切”，等价于“ g (x )有3 个不同的零点”.T g '(x ) =12x 2- 12x=12x (x - 1), .g (0) =t+3是g (x )的极大值，g (1) =t+1是g (x )的极小值. .g (0)> 0 且 g (1)v 0,即-3v t v- 1, .当过点过点P (1, t )存在3条直线与曲线y=f (x )相切时，t 的取值范围是 (-3,- 1). (rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x )相切； 过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x )相切； 过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x )相切. (6 t - y o = -3)( 1-X 。)，即卩 4嗚 2 O
切线方程的求法 ●基础知识总结和逻辑关系 一、 函数的单调性 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: 1) 确定函数的()f x 的定义区间； 2) 求'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根； 3) 把函数()f x 的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来， 然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间； 4) 确定'()f x 在各个区间内的符号，由'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区 间内的单调性. 二、 函数的极值 求函数的极值的三个基本步骤 1) 求导数'()f x ； 2) 求方程'()0f x =的所有实数根； 3) 检验'()f x 在方程'()0f x =的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则() f x 在这个根处取得极大（小）值. 三、 求函数最值 1) 求函数()f x 在区间(,)a b 上的极值； 2) 将极值与区间端点函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就 是最小值. 四利用导数证明不等式 1） 利用导数得出函数单调性来证明不等式 我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：
① 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减） 区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立. ② 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目 的. 2） 利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式. 导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题. ●解题方法总结和题型归类 1导数的几何意义及切线方程的求法 1）曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别： 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 2）解决方案：解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程. 【题】求过曲线cos y x =上点1 (,)32 P π且与在这点的切线垂直的直线方程. 【答案】：22032 x π--+= 【难度】* 【点评】
用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．例1 曲线在点处的切线方程为（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ． 类型二：已知斜率，求曲线的切线方程 此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ） Ａ．Ｂ． Ｃ．Ｄ． 解：设为切点，则切点的斜率为． ． 由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ． 评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ． 类型三：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3 求过曲线上的点的切线方程． 解：设想为切点，则切线的斜率为． 切线方程为． ． 又知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，或．
故所求切线方程为，或，即，或． 评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 类型四：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点且与曲线相切的直线方程． 解：设为切点，则切线的斜率为． 切线方程为，即． 又已知切线过点，把它代入上述方程，得． 解得，即． 评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性． 例5 已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程． 解：曲线方程为，点不在曲线上． 设切点为， 则点的坐标满足． 因， 故切线的方程为． 点在切线上，则有． 化简得，解得． 所以，切点为，切线方程为． 评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．
用导数方法求圆锥曲线的切线 求解函数图象上过某点的函数图象的切线的方程，是导数的一个重要应用。有心圆锥曲线一般情形下都不是函数图象，所以习惯上，一般我们不用导数方法求解圆锥曲线的切线问题，而是利用传统的方法，即判断直线和圆锥曲线方程所组成的方程组的解的情况来解决，但是有时候这种解法会比较烦琐，特别是含有参数的时候计算量较大。而我们可以将圆锥曲线分成“几个函数”来分别讨论，这样就可以实现用导数的方法来求曲线的切线了。本文将用导数的方法证明一个有心圆锥曲线的性质。 引理1：过椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的该椭圆的切线方程为12020=+b y y a x x ； 证明：我们先考虑当的情形；0>y ,022x a a b y y -=>时，，22'x a a bx y --= ，20200|'x a a bx y x x --== b ay x a x a a b y 0202220,=--=所以而 ,,|'000 2020的斜率）的切线（即为椭圆过l y x P y a x b y x x -=∴= )(:00 2020x x y a x b y y l --=-∴切线 .1,20202202202020222 022020202=++=++=+b y y a x x b y a x b y y a x x b a y a x b y y a x x b ，即得 两边同除以化简得 当0 用导数求切线方程的四种类型 题型一：利用导数去切线斜率 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3 231 y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为 解：由2 ()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-， 故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，． 类型二：已知过曲线上一点，求切线方程 过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例2 求过曲线3 2y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 类型三：已知过曲线外一点，求切线方程 此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例3 求过点(20)，且与曲线1 y x =相切的直线方程． 题型二：利用导数判断函数单调性 总结求解函数f(x)单调区间的步骤: 3211 11(1)2 231(11)y x y x x =-+-=-+-练习：、在，处的切线方程 、在，处的切线方程 1(01)x y xe =+-3 、曲线在，处的切线方程sin 20x y x e x =++=5、曲线在处的切线方程 练习：判断下列函数的单调性，并求出单调区间。 （1）确定函数f(x)的定义域； （2）求f(x)的导数f'(x)； （3）解不等式 f'(x)>0 ，解集在定义域内的部分为 增区间； （4）解不等式 f'(x)<0 ，解集在定义域内的部分为 减区间． 例1.：已知导函数 的下列信息： 注意： （1）由原函数的图像画导函数的图像看原函数的单调性，决定导函数的正负。 （2）由导函数的图像画原函数的图像看导函数的正负，决定原函数的单调性。 练习.：如果函数的图像如下图 , 那么导函数的图像可能是（ ） x x x f x x x f x x x x f ln 2 1 )()3(7 62)()2(),0(,sin )()1(223-=+-=∈-=π图像的大致形状。 试画出或当或当当)(0)(,1,40)(,1,40 )(,41x f x f x x x f x x x f x ='==<'<>>'<< 用导数求切线方程的一个误区 导数的几何意义是：设s=s(t)是位移函数，则'0s (t )表示物体在0t t =时刻的瞬时速度；设v=v(t)是速度函数，则'0v v (t )=表示物体在0t t =时刻的加速度；设函数在点处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线的相应点处的切线斜率。 所以我们常用导数“求某点处的切线方程”和“求过某点的切线方程”。但是它们有没有区别呢？下面以例说明。 例 若曲线31y x 3=上一点P(2, 83 )，求⑴点P 处的切线方程 ⑵过点P 的切线方程 解：⑴∵'2y x = ∴当x=2时'y =4 ∴点P 处的切线方程为8y 4(x 2)3- =- 即12x-3y-16=0 ⑵设所求的切线与曲线31y x 3 =相切于 点00(x ,y )，则切线斜率为20x ，由直线方程点斜式得切线方程为32000x y x (x x )3-=-，又因为所求切线过点P ，则有32000x 8x (2x )33 -=-，解此三次方程得0x 2=或-1，从而过点的切线斜率为4或1，可求出切点为(2, 83)，1(1,)3 --，相应的过点的切线方程为12x-3y-16=0或3x-3y+2=0 从这道题可以看出第⑴问的结果是直线CD ，第⑵问的结果是直线AB 和直线CD 。所以我们可得出这样的一个结论：过曲线上一点的切线不一定只是以该点为切点的切线，可能还有别的符合题意的直线。所以 “求在某点的切线方程”和“求过某点的切线方程”的含义是不同的。同学们在解这种问题时要分清题意，否则往往容易漏解。 针对性练习题：已知曲线方程为314y x 33= +，求过点P （2，4）的切线方程。 答案：4x-y-4=0或x-y+2=0 【新高考数学】导数的切线方程 【套路秘籍】 1. 导数的几何意义：切线的斜率 2. 求斜率的方法 （1）公式：/12 012 tan ()y y k f x x x α-== =- 0απ为直线的倾斜角，范围[0,),x 是切点的横坐标 （2）当直线l 1、l 2的斜率都存在时：1212l l k k ?=，12120l l k k ⊥??= 3. 切线方程的求法 （1）求出直线的斜率 （2）求出直线上的一点或切点 （3）利用点斜式00()y y k x x -=-写出直线方程。 【套路修炼】 考向一 斜率（或倾斜角）与切点互求 【例1】（1）曲线y ＝1 3x 3在x ＝1处切线的倾斜角为 。 (2)设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =______________． 【举一反三】 1.已知在曲线2y x =上过点00(),P x y 的切线为l ． （1）若切线l 平行于直线45y x =-，求点P 的坐标； （2）若切线l 垂直于直线2650x y -+=，求点P 的坐标； （3）若切线l 的倾斜角为135?，求点P 的坐标． 考向二 在某点处求切线方程 【例2】设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________． 【举一反三】 1.函数f (x )＝e x cos x 在点(0，f (0))处的切线方程为 。 2.曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2)处的切线方程为_ __. 考向三 过某点处求切线方程 【例3】已知函数()3 f x x =，则过（1,1）的切线方程为__________． 【举一反三】 考点分析：以解答题的形式考查函数的单调性和极值；近几年高考对导数的考查每年都有，选择题、填空题、解答题都出现过，且最近两年有加强的趋势。 知识点一：常见基本函数的导数公式 （1）（C为常数），（2）（n为有理数）， （3），（4）， （5），（6）， （7），（8）， 知识点二：函数四则运算求导法则 设，均可导（1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数：（） 知识点三：复合函数的求导法则 1.一般地，复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即或 题型一：函数求导练习 例一：函数y=e x sinx的导数等于． 例二：函数y=（x2+1）e x的导数为． 例三：函数f （x ）=cos （2﹣3x ）的导数等于 _________ ． 变式练习： 1．求函数y=的导数． 2．求函数y=（1+cos2x ）2的导数． 3．求y=e 2x cos3x 的导数． 题型二：用导数求切线方程的四种类型 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线 方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =． 下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程 此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(1 1)-，处的切线方程为（ ） 用导数求切线方程 课前练习 1．求函数()ln f x x x =在． 点(1,0)出的切线方程 2. 求函数()ln f x x =过． 点(0,0)的切线方程 3．求与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程 例 已知函数2 (),()2ln f x x c g x x =+=.当c 为何值时，()f x ，()g x 的图象有公共点且在公共点处切线 相同. 课堂练习 1.已知函数2()2f x x ax =+与2()g x bx c =+的图象都过点P （2，0），且在点P 处有公共切线。 求()f x 和()g x 的表达式； 课堂练习： 1.求过点(20)，且与曲线1y x =相切的直线方程 2.已知函数21()4ln 2 f x x x =-，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； 3.已知函数322()f x x ax a x =--，其中0a ≥.若(0)4f '=-，求a 的值，并求此时曲线()y f x =在 点(1,(1))f 处的切线方程； 4.设函数2()ln ,,=-∈R f x a x bx a b .若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为12 =-y ,求实数,a b 的值； 5.(选做题)已知曲线21:C y x =与()22:2C y x =--，若直线l 与1C ，2C 都想且，求直线l 的方程 6. 设函数()b f x ax x =-，曲线()y f x =在()2,(2)f 处的切线方程为74120x y --= (1)求()y f x =的表达式； (2)证明：曲线()y f x =上任一点处的切线与直线0x =和直线y x =所围成的三角形面积为定值，并求此定值用导数求切线方程的四种类型
用导数求切线方程的一个误区
【新高考数学】导数的切线方程
求导公式练习及导数与切线方程
利用导数求切线方程
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