第一章概率论的基本概念
在现实世界中发生的现象千姿百态，概括起来无非是两类现象：确定性的和随机性的.例如：水在通常条件下温度达到100℃时必然沸腾，温度为0℃时必然结冰；同性电荷相互排斥，异性电荷相互吸引等等，这类现象称为确定性现象，它们在一定的条件下一定会发生.另有一类现象，在一定条件下，试验有多种可能的结果，但事先又不能预测是哪一种结果，此类现象称为随机现象.例如：测量一个物体的长度，其测量误差的大小；从一批电视机中随便取一台，电视机的寿命长短等都是随机现象.概率论与数理统计，就是研究和揭示随机现象统计规律性的一门基础学科.
这里我们注意到，随机现象是与一定的条件密切联系的.例如：在城市交通的某一路口，指定的一小时内，汽车的流量多少就是一个随机现象，而“指定的一小时内”就是条件，若换成2小时内，5小时内，流量就会不同.如将汽车的流量换成自行车流量，差别就会更大，故随机现象与一定的条件是有密切联系的.
概率论与数理统计的应用是很广泛的，几乎渗透到所有科学技术领域，如工业、农业、国防与国民经济的各个部门.例如，工业生产中，可以应用概率统计方法进行质量控制，工业试验设计，产品的抽样检查等.还可使用概率统计方法进行气象预报、水文预报和地震预报等等.另外，概率统计的理论与方法正在向各基础学科、工程学科、经济学科渗透，产生了各种边缘性的应用学科，如排队论、计量经济学、信息论、控制论、时间序列分析等.
第一节样本空间、随机事件
1. 随机试验
人们是通过试验去研究随机现象的，为对随机现象加以研究所进行的观察或实验，称为试验.若一个试验具有下列三个特点：
1°可以在相同的条件下重复地进行；
2°每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以明确试验所有可能出现的结果；
3°进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.
则称这一试验为随机试验（Random trial），记为E.
下面举一些随机试验的例子.
E1：抛一枚硬币，观察正面H和反面T出现的情况.
E2：掷两颗骰子，观察出现的点数.
E3：在一批电视机中任意抽取一台，测试它的寿命.
E4：城市某一交通路口，指定一小时内的汽车流量.
E5：记录某一地区一昼夜的最高温度和最低温度.
2.样本空间与随机事件
在一个试验中，不论可能的结果有多少，总可以从中找出一组基本结果，满足：
1°每进行一次试验，必然出现且只能出现其中的一个基本结果.
2°任何结果，都是由其中的一些基本结果所组成.
随机试验E的所有基本结果组成的集合称为样本空间（Sample space），记为Ω.样本空间的元素，即E的每个基本结果，称为样本点.E k(k=1,2,3,4,5)的样本空间Ωk:
Ω1:{H ,T }；
Ω2:{(i ,j )｜i ,j =1,2,3,4,5,6}；
Ω3:{t ｜t ≥0}；
Ω4:{0,1,2,3,…}；
Ω5:{(x ,y )｜T 0≤x ≤y ≤T 1}，这里x 表示最低温度,y 表示最高温度，并设这一地区温度不会小于T 0也不会大于T 1.
随机试验E 的样本空间Ω的子集称为E 的随机事件（Random event ），简称事件①，通常
用大写字母A ，B ，C ，…表示.在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生.例如，在掷骰子的试验中，可以用A 表示“出现点数为偶数”这个事件，
若试验结果是“出现6点”，就称事件A 发生.
特别地，由一个样本点组成的单点集，称为基本事件.例如，试验E 1有两个基本事件{H }、{T }；试验E 2有36个基本事件{（1，1）}、{（1，2）}、…、{（6，6）}.
每次试验中都必然发生的事件，称为必然事件.样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，每次试验中都必然发生，故它就是一个必然事件.因而必然事件我们也用Ω表示.在每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件.空集?不包含任何样本点，它作为样本空间的子集，在每次试验中都不可能发生，故它就是一个不可能事件.因而不可能事件我们也用?表示.
3．事件之间的关系及其运算
事件是一个集合，因而事件间的关系与事件的运算可以用集合之间的关系与集合的运算来处理.
下面我们讨论事件之间的关系及运算.
1°如果事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件A 包含于事件B （或称事件B 包含
事件A ），记作A ?B (或B ?A ）.
A ?
B 的一个等价说法是，如果事件B 不发生，则事件A 必然不发生.
若A ?B 且B ?A ，则称事件A 与B 相等（或等价），记为A =B .
为了方便起见，规定对于任一事件A ，有??A .显然，对于任一事件A ，有A ?Ω. 2°“事件A 与B 中至少有一个发生”的事件称为A 与B 的并（和），记为A ∪B . 由事件并的定义，立即得到：
对任一事件A ，有
A ∪Ω＝Ω；Α∪?=A .
A = n i i A 1
=表示“A 1，A 2，…，A n 中至少有一个事件发生”这一事件.
A = ∞
=1
i i A 表示“可列无穷多个事件A i 中至少有一个发生”这一事件.
3°“事件A 与B 同时发生”的事件称为A 与B 的交（积），记为A ∩B 或（AB ）.
由事件交的定义，立即得到：
对任一事件A ，有
A ∩Ω=A ； A ∩?=?.
①严格地说，事件是指Ω中满足某些条件的子集.当Ω是由有限个元素或由无穷可列个元素组成时，每个子集都可作为一个事件.若Ω是由不可列无限个元素组成时，某些子集必须排除在外.幸而这种不可容许的子集在实际应用中几乎不会遇到.今后，我们讲的事件都是指它是容许考虑的那种子集.
B = n
i i B 1
=表示“B 1，…，B n n 个事件同时发生”这一事件. B = ∞
=1
i i B 表示“可列无穷多个事件B i
同时发生”这一事件. 4°“事件A 发生而B 不发生”的事件称为A 与B 的差，记为A -B .
由事件差的定义，立即得到：
对任一事件A ，有
A -A =?； A -?＝A ； A -Ω=?.
5°如果两个事件A 与B 不可能同时发生，则称事件A 与B 为互不相容（互斥），记作A ∩B =?.
基本事件是两两互不相容的.
6°若A ∪B =Ω且A ∩B =?，则称事件A 与事件B 互为逆事件（对立事件）.A 的对立事件记为A ，A 是由所有不属于A 的样本点组成的事件，它表示“A 不发生”这样一个事件.
显然A =Ω-A .
在一次试验中，若A 发生，则A 必不发生（反之亦然），即在一次试验中，A 与A 二者只能发生其中之一，并且也必然发生其中之一.显然有A =A.
对立事件必为互不相容事件，反之，互不相容事件未必为对立事件.
以上事件之间的关系及运算可以用文氏（V enn)图来直观地描述.若用平面上一个矩形表示样本空间Ω，矩形内的点表示样本点，圆A 与圆B 分别表示事件A 与事件B ，则A 与B 的各种关系及运算如下列各图所示（见图1-1~图1-6）.
图1-1 图1-2 图1-3
图1-4 图1-5 图1-6
可以验证一般事件的运算满足如下关系：
1°交换律 A ∪B=B ∪A ， A ∩B=B ∩A ；
2°结合律 A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C ，
A ∩(
B ∩C)=(A ∩B)∩
C ；
3°分配律 A ∪(B ∩C)=(A ∪B)∩(A ∪C)，
A ∩(
B ∪C)=(A ∩B)∪(A ∩C)；
分配律可以推广到有穷或可列无穷的情形，即
A ∩（ n i i A 1=）=)(1 n i i
A A =, A ∪(1n i i A =)= n
i i A A 1
)(=; A ∩（ ∞=1i i A ）=)(1 ∞=i i
A A , A ∪(1i i A ∞=)= ∞=1
)(i i A A . 4°A -B =A B =A -AB
；
5°对有穷个或可列无穷个A i ，恒有
;,1111
n i i n i i n i i
n i i A A A A ====== ;,1
111 ∞=∞=∞=∞===i i i i i i
i i A A A A
例1.1 设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算式表示下列事件：
（1） A 发生而B 与C 都不发生：A C B 或A -B -C 或A -（B ∪C ）.
（2） A ，B 都发生而C 不发生：AB 或AB -C .
（3） A ，B ，C 至少有一个事件发生：A ∪B ∪C
.
（4） A ，B ，C 至少有两个事件发生：（AB ）∪（AC ）∪（BC ）.
（5） A ，B ，C 恰好有两个事件发生：（AB C ）∪（AC B ）∪（BC A ）
.
（6） A ，B ，C 恰好有一个事件发生：（A C B ）∪（B C A ）∪（C B A ）
.
（7） A ，B 至少有一个发生而C 不发生：（A ∪B ）C .
（8） A ，B ，C 都不发生：C B A 或C B A
.
例1.2 在数学系的学生中任选一名学生.若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员.
（1） 叙述AB C 的意义.
（2） 在什么条件下ABC =C 成立？
（3） 在什么条件下B A ?成立？
解 （1） 该生是三年级男生，但不是运动员
.
（2） 全系运动员都是三年级男生.
（3） 全系女生都在三年级
.
例1.3 设事件A 表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，求其对立事件A
.
解 设B=“甲种产品畅销”，C =“乙种产品滞销”，则A =BC ，故
C B BC A ===“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.
第二节 概率、古典概型
除必然事件与不可能事件外，任一随机事件在一次试验中都有可能发生，也有可能不发生.人们常常希望了解某些事件在一次试验中发生的可能性的大小.为此，我们首先引入频率的概念，它描述了事件发生的频繁程度，进而我们再引出表示事件在一次试验中发生的可能性大小的数——概率.
1.频率
定义1.1 设在相同的条件下，进行了n 次试验.若随机事件A 在n 次试验中发生了k 次，则比值k /n 称为事件A 在这n 次试验中发生的频率（Frequency ），记为f n (A )= k /n . 由定义1.1容易推知，频率具有以下性质：
1° 对任一事件A ，有0≤f n (A )≤1；
2° 对必然事件Ω，有f n (Ω)=1；
3° 若事件A ，B 互不相容，则
f n (A ∪B )=f n (A )+f n (B )
一般地，若事件A 1，A 2，…，A m 两两互不相容，则
∑===m
i i n m i i n A f A f 11)()( .
事件A 发生的频率f n (A )表示A 发生的频繁程度，频率大，事件A 发生就频繁，在一次试验中，A 发生的可能性也就大.反之亦然.因而，直观的想法是用f n (A )表示A 在一次试验中发生可能性的大小.但是，由于试验的随机性，即使同样是进行n 次试验，f n （A ）的值也不一定相同.但大量实验证实，随着重复试验次数n 的增加，频率f n （A ）会逐渐稳定于某个常数附近，而偏离的可能性很小.频率具有“稳定性”这一事实，说明了刻画事件A 发生可能性大小的数——概率具有一定的客观存在性.（严格说来，这是一个理想的模型，因为我们在实际上并不能绝对保证在每次试验时，条件都保持完全一样，这只是一个理想的假设）.
历史上有一些著名的试验，德·摩根（De Morgan ）蒲丰（Buffon)和皮尔逊（Pearson)曾
进行过大量掷硬币试验，所得结果如表1-1所示.
表1-1
可见出现正面的频率总在0.5附近摆动，随着试验次数增加，它逐渐稳定于0.5.这个0.5就反映正面出现的可能性的大小.
每个事件都存在一个这样的常数与之对应，因而可将频率f n (A )在n 无限增大时逐渐趋向稳定的这个常数定义为事件A 发生的概率.这就是概率的统计定义.
定义1.2 设事件A 在n 次重复试验中发生的次数为k ,当n 很大时，频率k /n 在某一数值p 的附近摆动，而随着试验次数n 的增加，发生较大摆动的可能性越来越小，则称数p 为事件A 发生的概率，记为P （A ）=p .
要注意的是，上述定义并没有提供确切计算概率的方法，因为我们永远不可能依据它确切地定出任何一个事件的概率.在实际中，我们不可能对每一个事件都做大量的试验，况且我们不知道n 取多大才行；如果n 取很大，不一定能保证每次试验的条件都完全相同.而且也没有理由认为，取试验次数为n +1来计算频率，总会比取试验次数为n 来计算频率将会更准确、更逼近所求的概率
.
为了理论研究的需要，我们从频率的稳定性和频率的性质得到启发，给出概率的公理化定义.
2.概率的公理化定义
定义1.3 设Ω为样本空间，A 为事件，对于每一个事件A 赋予一个实数，记作P （A ），如果P （A
）满足以下条件：
1°非负性：P （A ）≥0；
2°规范性：P （Ω)=1；
3°可列可加性：对于两两互不相容的可列无穷多个事件A 1，A 2，…，A n ，…，有
∑∞
=∞==11)()(n n n n A P A P
则称实数P （A ）为事件A 的概率（Probability ）.
在第五章中将证明，当n →∞时频率f n (A )在一定意义下接近于概率P （A ）.基于这一事实，我们就有理由用概率P （A ）来表示事件A 在一次试验中发生的可能性的大小. 由概率公理化定义，可以推出概率的一些性质
.
性质1 P (?
)=0
证 令 A n =? (n =1,2,…),
则
∞=1n n A
=?,且A i A j =?（i ≠j ,i ,j =1,2,…）.
由概率的可列可加性得
P (?)=∑∑∞
=∞=∞===111)()(n n n
n n P A P A P (?), 而P （?)≥0及上式知P （?)=0.
这个性质说明：不可能事件的概率为0.但逆命题不一定成立，我们将在第二章加以说明. 性质2 (有限可加性) 若A 1，A 2，…，A n 为两两互不相容事件，则有
.)()(11∑===n
k k n k k A P A P
证 令A n +1=A n +2=…=?，则A i A j =?.当i ≠j ，i ,j =1,2,…时，由可列可加性，得
.)()()()(1111∑∑=∞======n
k k k k n k k n k k A P A P A P A P
性质3 设A ，B 是两个事件，若A ?B ，则有
);()()(A P B P A B P -=- 或 ()()
P A P B ≤. 证 由A ?B ,知B =A ∪(B -A ）且A ∩（B -A ）=?.
再由概率的有限可加性有
P （B ）=P （A ∪(B -A ))=P (A )+P (B -A ),
即 P （B -A ）=P （B ）-P （A ）；
又由P (B -A ）≥0，得P （A ）≤P （B ）
性质4 对任一事件A ，P （A ）≤1
证 因为A ?Ω，由性质3得P （A ）≤P (Ω)=1
性质5 对于任一事件A ，有
)(P =1-P （A ）
证 因为A ∪A =Ω，A ∩A=?
由有限可加性，得
1=P （Ω）=P （A ∪A ）=P （A ）+P （A ），
即 P （A )=1-P (A )
性质6（加法公式） 对于任意两个事件A ,B 有
P (A ∪B )=P (A )+P (B )-P (AB )
证 因为A ∪B =A ∪(B -AB )且A ∩（B -AB ）=?.
由性质2，3得
P （A ∪B ) =P (A ∪(B -AB )) =P (A )+P (B -AB )=P (A )+P (B )-P (AB )
性质6还可推广到三个事件的情形.例如，设A 1，A 2，A 3为任意三个事件，则有
P (A 1∪A 2∪A 3) =P （A 1）+P （A 2）+P （A 3）-P （A 1A 2）
-P （A 1A 3）-P （A 2A 3）+P （A 1A 2A 3）
一般地，设A 1，A 2，…，A n 为任意n 个事件，可由归纳法证得
P （A 1∪…∪A n ) =).()1()()()(211111n n n k j i k
j i n i n j i j i i A A A P A A A P A A P A P ???-+???-+--≤<<≤=≤<≤∑∑∑
例1.4 设A ，B 为两事件，P （A ）=0.5,P (B )=0.3,P (AB )=0.1，求：
（1） A 发生但B 不发生的概率；
（2） A 不发生但B 发生的概率；
（3） 至少有一个事件发生的概率；
（4） A ，B 都不发生的概率；
（5） 至少有一个事件不发生的概率.
解（1） P （A B ）=P （A -B ）=P （A -AB ）=P （A ）-P （AB ）=0.4；
（2） P （A B ）=P （B -AB ）=P （B ）-P （AB ）=0.2；
(3) P (A ∪B )=0.5+0.3-0.1=0.7；
(4) P (B A )=P (B A )=1-P (A ∪B )=1-0.7=0.3；
(5) P (A ∪B ）=P (AB ）=1-P (AB )=1-0.1=0.9.
3. 古典概型
定义1.4 若随机试验E 满足以下条件：
1°试验的样本空间Ω只有有限个样本点，即
Ω={ω1,ω2，…，ωn }；
2°试验中每个基本事件的发生是等可能的，即
P （{ω1}）=P （{ω2}）=…=P （{ωn }）,
则称此试验为古典概型，或称为等可能概型.
由定义可知{ω1},{ω2},…,{ωn }是两两互不相容的，故有
1=P （Ω)=P ({ω1}∪…∪{ωn })=P ({ω1})+…+P ({ωn }), 又每个基本事件发生的可能性相同，即
P （{ω1}）=P （{ω2}）=…=P ({ωn })，
故 1=nP ({ωi }),
从而 P （{ωi })=1/n ,i=1,2,…,n
设事件A 包含k 个基本事件
即 A ={ωi 1}∪{ωi 2}∪…∪{ωik }, 则有
P （A ）=P （{ωi 1}∪{ωi 2}∪…∪{ωik })=P ({ωi 1})+P ({ωi 2})+…+P ({ωik })
=
个
k n n n /1/1/1+++=k /n 由此，得到古典概型中事件A 的概率计算公式为
P （A ）=k /n =A 所包含的样本点数/Ω中样本点总数 (1.1)
称古典概型中事件A 的概率为古典概率.一般地，可利用排列、组合及乘法原理、加法原理的知识计算k 和n ，进而求得相应的概率.
例1．5 将一枚硬币抛掷三次，求：
（1） 恰有一次出现正面的概率；
（2） 至少有一次出现正面的概率.
解 将一枚硬币抛掷三次的样本空间
Ω={HHH ，HHT ，HTH ，THH ，HTT ，THT ，TTH ，TTT }
Ω中包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同.
（1） 设A 表示“恰有一次出现正面”，
则 A ={HTT ，THT ，TTH }，
故有 P （A ）=3/8.
（2） 设B 表示“至少有一次出现正面”， 由B ={TTT }，得
P （B ）=1-P （B ）=1-1/8=7/8
当样本空间的元素较多时，我们一般不再将Ω中的元素一一列出，而只需分别求出Ω中与A 中包含的元素的个数（即基本事件的个数），再由（1.1)式求出A 的概率.
例1.6 一口袋装有6只球，其中4只白球，2只红球.从袋中取球两次，每次随机地取一只.考虑两种取球方式：
（a ） 第一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再任取一球.这种取球方式叫做
有放回抽取.
（b ） 第一次取一球后不放回袋中，第二次从剩余的球中再取一球.这种取球方式叫做不放回抽取.
试分别就上面两种情形求：
（1）
取到的两只球都是白球的概率；
（2）
取到的两只球颜色相同的概率；
（3） 取到的两只球中至少有一只是白球的概率.
解 （a ）有放回抽取的情形：
设A 表示事件“取到的两只球都是白球”，B 表示事件“取到的两只球都是红球”，C 表示事件“取到的两只球中至少有一只是白球”.则A ∪B 表示事件“取到的两只球颜色相同”，而C =B .
在袋中依次取两只球，每一种取法为一个基本事件，显然此时样本空间中仅包含有限个元素，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同，因而可利用（1.1）式来计算事件的概率.
第一次从袋中取球有6只球可供抽取，第二次也有6只球可供抽取.由乘法原理知共有6×6种取法，即基本事件总数为6×6.对于事件A 而言，由于第一次有4只白球可供抽取，第二次也有4只白球可供抽取，由乘法原理知共有4×4种取法，即A 中包含4×4个元素.同理，B 中包含2×2
个元素，于是
P （A ）= (4×4)/(6×6）=4/9，
P （B ）= (2×2)/(6×6）
=1/9
由于AB =Φ
P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=5/9
，
P （C ）=P （B ）=1-P （B ）=8/9.
(b)
不放回抽取的情形：
第一次从6只球中抽取，第二次只能从剩下的5只球中抽取，故共有6×5种取法，即样本点总数为6×5.对于事件A 而言，第一次从4只白球中抽取，第二次从剩下的3只白球中抽取，故共有4×3种取法，即A 中包含4×3个元素，同理B 中包含2×1个元素，于是
P （A ）= (4×3)/(6×5) =26
24P P =2/5， P (B )=(2×1)/(6×5) =26
22P P =1/15. 由于AB=Φ
P (A ∪B )=P （A ）+P （B ）=7/15，
P (C )=1-P （B ）=14/15.
在不放回抽取中，一次取一个，一共取m 次也可看作一次取出m 个，故本例中也可用组合的方法，得
P （A ）=26
2
4C C =2/5，
P （B ）=26
2
4C C
=1/15. 例1.7 箱中装有a 只白球，b 只黑球，现作不放回抽取，每次一只
.
（1） 任取m +n 只，恰有m 只白球，n 只黑球的概率（m ≤a ,n ≤b ）;
(2) 第k 次才取到白球的概率（k ≤b +1）;
（3） 第k 次恰取到白球的概率
.
解 （1）可看作一次取出m +n 只球，与次序无关，是组合问题.从a +b 只球中任取m +n
只，所有可能的取法共有n m
b a ++C 种，每一种取法为一基本事件且由于对称性知每个基本事件
发生的可能性相同.从a 只白球中取m 只，共有m
a C 种不同的取法，从
b 只黑球中取n 只，
共有n b C 种不同的取法.由乘法原理知，取到m 只白球，n 只黑球的取法共有m
a C n
b C 种，于是所求概率为
p 1=n m b
a n
b m a
++C C C
. (2) 抽取与次序有关.每次取一只，取后不放回，一共取k 次，每种取法即是从a+b 个不
同元素中任取k 个不同元素的一个排列，每种取法是一个基本事件，共有k b a +P 个基本事件，
且由于对称性知每个基本事件发生的可能性相同.前k -1次都取到黑球，从b 只黑球中任取
k -1只的排法种数，有1P -k b 种，第k 次抽取的白球可为a 只白球中任一只，有1P a 种不同的取
法.由乘法原理，前k -1次都取到黑球，第k 次取到白球的取法共有11P P a k b -种，于是所求概率
为
p 2=k b
a a k
b +-P P P 11
. (3) 基本事件总数仍为k b a +P .第k 次必取到白球，可为a 只白球中任一只，有1P a
种不同的取法，其余被取的k -1只球可以是其余a+b -1只球中的任意k -1只，共有11P --+k b a 种不同的
取法，由乘法原理，第k 次恰取到白球的取法有111k a a b P P -+
-
p 3=111k a a b k a b P P a P a b
-+-+=+
. 例1.7(3)中值得注意的是p 3与k 无关，也就是说其中任一次抽球，抽到白球的概率都跟第一次抽到白球的概率相同，为b
a a +，而跟抽球的先后次序无关（例如购买福利彩票时，尽管购买的先后次序不同，但各人得奖的机会是一.
例1.8 有n 个人，每个人都以同样的概率1/N 被分配在N （n 求恰好有n 个房间，其中各住一人的概率. 解 每个人都有N 种分法，这是可重复排列问题，n 个人共有N n 种不同分法.因为没有指定是哪几间房，所以首先选出n 间房，有n N C 种选法.对于其中每一种选法， 每间房各住一人共有n !种分法，故所求概率为 p =n n N N n !C . 许多直观背景很不相同的实际问题，都和本例具有相同的数学模型.比如生日问题：假设每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的，那么随机选取n (n ≤365)个人，他们的 生日各不相同的概率为 p 1=n n n 365 !C 365, 因而n 个人中至少有两个人生日相同的概率为 p 2=1-n n n 365!C 365. 例如n =64时p 2=0.997，这表示在仅有64人的班级里，“至少有两人生日相同”的概率与1相差无几，因此几乎总是会出现的.这个结果也许会让大多数人惊奇，因为“一个班级中至少有两人生日相同”的概率并不如人们直觉中想象的那样小，而是相当大.这也告诉我 们，“直觉”并不很可靠，说明研究随机现象统计规律是非常重要的. 例1.9 12名新生中有3名优秀生，将他们随机地平均分配到三个班中去，试求： （1） 每班各分配到一名优秀生的概率； （2） 3名优秀生分配到同一个班的概率. 解 12名新生平均分配到三个班的可能分法总数为 34448412) !4(!12C C C = （1） 设A 表示“每班各分配到一名优秀生” 3名优秀生每一个班分配一名共有3！种分法，而其他9名学生平均分配到3个班共 有3 )!3(!9种分法，由乘法原理，A 包含基本事件数为 3！·3)!3(!9=2) !3(!9 故有 P （A ）=2)!3(!9/3 )!4(!12=16/55 （2） 设B 表示“3名优秀生分到同一班”，故3名优秀生分到同一班共有3种分法，其他9名学生分法总数为!4!4!1!9C C C 444819=，故由乘法原理，B 包含样本总数为3·! 4!4!1!9. 故有 P （B ）=()2！4!9·3/() 3！4!12=3/55 4 ．几何概型 上述古典概型的计算，只适用于具有等可能性的有限样本空间，若试验结果无穷多，它显然已不适合.为了克服有限的局限性，可将古典概型的计算加以推广. 设试验具有以下特点： （1） 样本空间Ω是一个几何区域，这个区域大小可以度量（如长度、面积、体积等），并把Ω的度量记作m （Ω） . （2） 向区域Ω内任意投掷一个点，落在区域内任一个点处都是“等可能的”.或者设落在Ω中的区域A 内的可能性与A 的度量m (A )成正比，与A 的位置和形状无关 . 不防也用A 表示“掷点落在区域A 内”的事件，那么事件A 的概率可用下列公式计算： P （A ）=m (A )/m (Ω)， 称它为几何概率. 例1．10 在区间（0，1）内任取两个数，求这两个数的乘积小于1/4的概率 . 解 设在（0，1）内任取两个数为x ,y ，则 0＜x ＜1,0＜y ＜1 图 1-7 即样本空间是由点（x ，y ）构成的边长为1的正方形Ω，其面积为 1. 令A 表示“两个数乘积小于1/4”，则 A ={（x ,y ）｜0＜xy ＜1/4,0＜x ＜1,0＜y ＜1} 事件A 所围成的区域见图1-7，则所求概率 P (A ) = 2ln 2 141d 414311d )411(11d d 114/114/111/411/4+=+-=--=-????x x x x y x x 图1-8 例1．11 两人相约在某天下午2∶00~3∶00在预定地方见面，先到者要等候20分钟，过时则离去. 如果每人在这指定的一小时内任一时刻到达是等可能的，求约会的两人能会到 面的概率. 解 设x ,y 为两人到达预定地点的时刻，那么，两人到达时间的一切可能结果落在边长为60的正方形内，这个正方形就是样本空间Ω,而两人能会面的充要条件是｜x -y ｜≤20，即 x-y ≤20且y-x ≤20. 令事件A 表示“两人能会到面”，这区域如图1-8中的A .则 P (A ) =.9 5604060)()(222=-=Ωm A m 第三节 条件概率、全概率公式 1. 条件概率的定义 定义1.5 设A ，B 为两个事件，且P （B ）＞0,则称P （AB ）/P （B ）为事件B 已发生的条件下事件A 发生的条件概率，记为P （A |B ），即 P （A ｜B )= P (AB )/P (B ) 易验证，P （A ｜B )符合概率定义的三条公理，即： 1° 对于任一事件A ，有P (A ｜B )≥0; 2° P (Ω｜B )=1; 3°,)()(11∑∞ =∞==i i i B A P B A P 其中A 1，A 2，…，A n ，…为两两互不相容事件. 这说明条件概率符合定义1.3中概率应满足的三个条件，故对概率已证明的结果都适用于条件概率.例如，对于任意事件A 1，A 2，有 P （A 1∪A 2|B ）=P （A 1|B ）+P （A 2|B ）-P （A 1A 2|B ） 又如，对于任意事件A ，有 P （A |B ）=1-P （A |B ）. 例1.12 某电子元件厂有职工180人，男职工有100人，女职工有80人，男女职工中非熟练工人分别有20人与5人.现从该厂中任选一名职工，求：1） 该 工人的概率是多少？（2） 若已知被选出的是女职工，她是非熟练工人的概率又是多少？ 解 题（1）的求解我们已很熟悉，设A 表示“任选一名职工为非熟练工人”的事件，则 P （A ）=25/180=5/36 而题（2）的条件有所不同，它增加了一个附加的条件，已知被选出的是女职工，记“选出女职工”为事件B ，则题（2）就是要求出“在已知B 事件发生的条件下A 事件发生的概率”，这就要用到条件概率公式，有 P （A ｜B ) =P (AB )/P (B )/=(5/180)/(80/180)= 1/16 此题也可考虑用缩小样本空间的方法来做，既然已知选出的是女职工，那么男职工就可排除在考虑范围之外，因此“B 已发生条件下的事件A ”就相当于在全部女职工中任选一人，并选出了非熟练工人.从而ΩB 样本点总数不是原样本空间Ω的180人，而是全体女职工人数 80人，而上述事件中包含的样本点总数就是女职工中的非熟练工人数5人，因此所求概率为 P （A ｜B ）=5/80=1/16 例1.13 某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁的概率. 解 设A 表示“活到20岁以上”的事件，B 表示“活到25岁以上”的事件，则有 P （A ）=0.7,P (B )=0.56且B ?A. 得 P （B ｜A ）=P (AB )/P (A ) =P (B )/P (A ) =0.56/0.7=0.8. 例1.14 一盒中装有5只产品，其中有3只正品，2只次品，从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品条件下，第二次取到的也是正品的概率. 解 设A 表示“第一次取到正品”的事件，B 表示“第二次取到正品”的事件 由条件得 P （A ）=(3×4)/(5×4)= 3/5， P (AB )= (3×2)/(5×4)= 3/10， 故有 P （B ｜A ）=P （AB ）/P （A ）=(3/10)/( 3/5)= 1/2. 此题也可按产品编号来做，设1，2，3号为正品，4，5号为次品，则样本空间为Ω={1，2，3，4，5}，若A 已发生，即在1，2，3中抽走一个，于是第二次抽取所有可能结果的集合中共有4只产品，其中有2只正品，故得 P （B ｜A ）=2/4=1/2. 2.乘法定理 由条件概率定义P （B ｜A ）=P （AB ）/P （A ），P （A ）＞0,两边同乘以P （A ）可得P （AB ）=P （A ）P （B ｜A ），由此可得 定理1.1（乘法定理） 设P （A ）＞0，则有 P （AB ）=P （A ）P （B ｜A ） 易知，若P （B ）＞0，则有 P （AB ）=P （B ）P （A ｜B ） 乘法定理也可推广到三个事件的情况，例如，设A ，B ，C 为三个事件，且P （AB ）＞0，则有 P （ABC ）=P （C ｜AB ）P （AB ）=P （C ｜AB ）P （B ｜A ）P （A ） 一般地，设n 个事件为A 1，A 2，…，A n ，若P （A 1A 2…A n -1)＞0,则有 P （A 1A 2…A n ）=P （A 1）P （A 2｜A 1）P （A 3｜A 1A 2）…P （A n ｜A 1A 2…A n -1）. 事实上，由A 1?A 1A 2?…?A 1A 2…A n -1，有 P （A 1）≥P （A 1A 2）≥…≥P （A 1A 2…A n -1）＞0 故公式右边的条件概率每一个都有意义，由条件概率定义可知 P （A 1）P （A 2｜A 1）P （A 3｜A 1A 2）…P （A n ｜A 1A 2…A n -1) =P (A 1)) ()()()()()(1212121321121-???n n A A A P A A A P A A P A A A P A P A A P =P (A 1A 2…A n ) 例1.15 一批彩电，共100台，其中有10台次品，采用不放回抽样依次抽取3次，每次抽一台，求第3次才抽到合格品的概率. 解 设A i (i =1,2,3)为第i 次抽到合格品的事件，则有 )(321A A A P =)()()(21312A A A P A A P P =10/100·9/99·90/98≈0.0083. 例1.16 设盒中有m 只红球，n 只白球，每次从盒中任取一只球，看后放回，再放入k 只与所取颜色相同的球.若在盒中连取四次，试求第一次，第二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概率. 解 设R i (i =1,2,3,4)表示第i 次取到红球的事件，i R (i =1,2,3,4)表示第i 次取到白球的事件.则有 .32) ()()()()(32142131214321k n m k n k n m n k n m k m n m m R R R R P R R R P R R P R P R R R R P +++?++?+++?+== 例1.17 袋中有n 个球，其中n -1个红球，1个白球.n 个人依次从袋中各取一球，每人取一球后不再放回袋中，求第i （i =1,2,…,n ）人取到白球的概率. 解 设A i 表示“第i 人取到白球”（i=1,2,…,n )的事件， 显然P （A 1）=1/n. 由21A A ?，故A 2=1A 2，于是 P （A 2）=P （1A A 2）=P （1A P （A 2｜1A ）= 1 11-?-n n n =1/n. 类似有 P （A 3）=P （1A 2A A 3）=P （1A ）P （2A ｜1A ）P （A 3｜1A 2A ） = n n 1-·12--n n ·2 1-n =1/n. P (A n ) =P (1A 2A …1-n A A n )=n n 1-·12--n n ·…·21·1=1/n 因此，第i 个人（i =1,2,…,n )取到白球的概率与i 无关，都是1/n . 这个例题与例1.7(3)实际上是同一个概率模型. 3. 全概率公式和贝叶斯公式 为建立两个用来计算概率的重要公式，我们先引入样本空间Ω的划分的定义. 定义1.6 设Ω为样本空间，A 1，A 2，…，A n 为Ω的一组事件，若满足 1°A i A j =Φ, i ≠j ,i ,j =1,2,…,n ， 2° n i i A 1= =Ω， 则称A 1，A 2，…，A n 为样本空间Ω的一个划分. 例如：A ，A 就是Ω的一个划分. 若A 1，A 2，…，A n 是Ω的一个划分，那么，对每次试验，事件A 1，A 2，…，A n 中必有一个且仅有一个发生 . 定理1.2（全概率公式） 设B 为样本空间Ω中的任一事件，A 1，A 2，…，A n 为Ω的一个划分，且P （A i )＞0 (i =1,2,…,n )，则有 P （B ）=P （A 1）P （B ｜A 1）+P （A 2）P （B ｜A 2）+…+P （A n )P (B ｜A n )= .)()(1∑=n i i i A B P A P 称上述公式为全概率公式. 全概率公式表明，在许多实际问题中事件B 的概率不易直接求得，如果容易找到Ω的一个划分A 1，…，A n ，且P （A i ）和P （B |A i ）为已知，或容易求得，那么就可以根据全概率公式求出P （B ） . 证 P （B ）=P （B Ω）=P （B （A 1∪A 2∪…∪A n ））=P （BA 1∪BA 2∪…∪BA n ） =P （BA 1）+P （BA 2）+…+P （BA n ) =P (A 1)P (B ｜A 1)+P (A 2)P (B ｜A 2）+…+P （A n ）P （B ｜A n ） 另一个重要公式叫做贝叶斯公式 . 定理1.3(贝叶斯（Bayes ）公式) 设样本空间为Ω，B 为Ω中的事件，A 1，A 2，…，A n 为Ω的一个划分，且P （B ）＞0，P （A i )＞0,i =1,2,…,n ，则有 P （A i ｜B )=∑=n j j j i i A P A B P A P A B P 1)()() ()(, i=1,2,…,n. 称上式为贝叶斯（Bayes)公式，也称为逆概率公式. 证 由条件概率公式有 P （A i ｜B ) =∑==j j j i i i A P A B P A B P A P B P B A P 1)()() ()()()(，i =1,2,…,n. 例1.18 某工厂生产的产品以100件为一批，假定每一批产品中的次品数最多不超过4件，且具有如下的概率： 一批产品中的次品数 0 1 2 3 4 概率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验，从每批中随机取出10件来检验，若发现其中有次品，则认为该批产品不合格，求一批产品通过检验的概率. 解 以A i 表示一批产品中有i 件次品，i =0,1,2,3,4,B 表示通过检验，则由题意得 P （A 0）=0.1， P (B ｜A 0)=1, P (A 1)=0.2， P (B ｜A 1)= 10100 10 99C C =0.9, P (A 2)=0.4， P (B ｜A 2)= 10100 10 98C C =0.809, P (A 3)=0.2， P (B ｜A 3)= 10100 10 97C C =0.727, P (A 4)=0.1， P (B ｜A 4)= 10100 10 96C C =0.652. 由全概率公式，得 P （B ）=)()(40 i i i A B P A P ∑==0.1×1+0.2×0.9+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814. 例1.19 设某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，产量依次占全厂的45%， 35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%，现在从一批产品中检查出1个次品，问该次品是由哪个车间生产的可能性最大？ 解 设A 1，A 2，A 3表示产品来自甲、乙、丙三个车间，B 表示产品为“次品”的事件，易知A 1，A 2，A 3是样本空间Ω的一个划分，且有 P （A 1）=0.45， P (A 2)=0.35， P (A 3)=0.2， P (B ｜A 1)=0.04， P (B ｜A 2)=0.02， P (B ｜A 3)=0.05. 由全概率公式得 P （B ）=P （A 1）P （B ｜A 1）+P （A 2）P （B ｜A 2）+P （A 3）P （B ｜A 3） =0.45×0.04+0.35×0.02+0.2×0.05=0.035. 由贝叶斯公式得 P （A 1｜B ）=(0.45×0.04)/0.035=0.514， P (A 2｜B )=(0.35×0.02)/0.035=0.200， P (A 3｜B )=(0.20×0.05)/0.035=0.286 由此可见，该次品由甲车间生产的可能性最大. 例1.20 由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0.95 自然人群进行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性， 该被诊断者确有癌症的概率. 解 设A 表示“患有癌症”，A 表示“没有癌症”，B 表示“试验反应为阳性”，则由条件得 P （A ）=0.005, P (A )=0.995， P (B ｜A )=0.95, P (B ｜A ）=0.95 由此 P （B ｜A ）=1-0.95=0.05 由贝叶斯公式得 P （A ｜B ）=)()()()() ()(A B P A P A B P A P A B P A P =0.087. 这就是说，根据以往的数据分析可以得到，患有癌症的被诊断者，试验反应为阳性的概率为95%被诊断者，试验反应为阴性的概率为95%，都叫做先验概率.而在得到试验结果反应为阳性，该被诊断者确有癌症重新加以修正的概率0.087叫做后验概率.此项试验也表明，用它作为普查，正确性诊断只有8.7%（即1000人具有阳性反应的人中大约只有87人的确患有癌症），由此可看出，若把P （B ｜A ）和P （A ｜B ）搞混淆就会造成误诊的不良后果. 概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式称为条件概率的三个重要公式.它们在解决某 些复杂事件的概率问题中起到十分重要的作用. 第四节 独立性 1.事件的独立性 独立性是概率统计中的一个重要概念，在讲独立性的概念之前先介绍一个例题. 例1.21 某公司有工作人员100名，其中35岁以下的青年人40名，该公司每天在所有工作人员中随机选出一人为当天的值班员，而不论其是否在前一天刚好值过班.求： （1） 已知第一天选出是青年人，试求第二天选出青年人的概率； （2） 已知第一天选出不是青年人，试求第二天选出青年人的概率； （3） 第二天选出青年人的概率. 解 以事件A 1，A 2表示第一天，第二天选得青年人，则 P （A 1）=40/100=0.4， P (A 1A 2)= 40/100·40/100=0.16 故 （1） 为P （A 2｜A 1）=P （A 1A 2）/P （A 1）=0.4. (2) 为P （A 2｜A ）=P （A 21A ）/P （1A )=100 60 1004010060? =0.4. (3) 为P （A 2）=P （A 1A 2)+P (1A A 2)=0.4×0.4+0.6×0.4=0.4. 设A 1，A 2为两个事件，若P （A 1）＞0，则可定义P （A 2｜A 1），一般情形，P （A 2）≠P (A 2｜A 1),即事件A 1的发生对事件A 2发生的概率是有影响的.在特殊情况下，一个事件的发生对另一事件发生的概率没有影响，如例1.21有 P （A 2）=P （A 2｜A 1）=P （A 2｜1A ）. 此时乘法公式P （A 1A 2）=P （A 1）P （A 2｜A 1）=P （A 1）P （A 2）. 定义1.7 若事件A 1，A 2满足 P （A 1A 2）=P （A 1）P （A 2）， 则称事件A 1，A 2是相互独立的. 容易知道，若P (A )>0，P (B )>0，则如果A ，B 相互独立，就有P (AB )=P (A )P (B )>0，故AB ≠?，即A ，B 相容.反之，如果A ，B 互不相容，即AB =?，则P (AB )=0，而P (A )P (B )>0，所以P (AB )≠P (A )P (B )，此即A 与B 不独立.这就是说，当P （A ）>0且P （B ）>0时，A ，B 相互独立与A ，B 互不相容不能同时成立. 定理1.4 若事件A 与B 相互独立，则下列各对事件也相互独立： A 与 B ，A 与B ，A 与B . 证 因为A =A Ω＝A （B ∪B ）=AB ∪A B ，显然（AB ）（A B ）=? 故P（A）=P（AB∪A B）=P（AB）+P（A B）=P（A）P（B）+P（A B）， 于是P（A B）=P（A）-P（A）P（B）=P（A）[1-P(B)]=P(A)P(B). 即A与B相互独立.由此可立即推出,A与B相互独立，再由B=B，又推出A与B相互独立. 定理1.5若事件A，B相互独立，且0＜P（A）＜1,则 P（B｜A）=P（B｜A）=P（B）. 定理的正确性由乘法公式、相互独立性定义容易推出. 在实际应用中，还经常遇到多个事件之间的相互独立问题，例如：对三个事件的独立性可作如下定义. 定义1.8设A1，A2，A3是三个事件，如果满足等式 P（A1A2）=P（A1）P（A2）， P（A1A3）=P（A1）P（A3）， P（A2A3）=P（A2）P（A3）， P（A1A2A3）=P（A1）P（A2）P（A3）， 则称A1，A2，A3为相互独立的事件. 这里要注意，若事件A1，A2，A3仅满足定义中前三个等式，则称A1，A2，A3是两两独立的.由此可知，A1，A2，A3相互独立，则A1，A2，A3是两两独立的.但反过来，则不一定成立. 例1.22设一个盒中装有四张卡片，四张卡片上依次标有下列各组字母： XXY，XYX，YXX，YYY， 从盒中任取一张卡片，用A i表示“取到的卡片第i位上的字母为X”（i=1,2,3)的事件.求证：A1，A2，A3两两独立，但A1，A2，A3并不相互独立. 证易求出 P（A1）=1/2，P（A2）=1/2，P（A3）=1/2 P（A1A2）=1/4，P（A1A3）=1/4，P（A2A3）=1/4 故A1，A2，A3是两两独立的. 但P（A1A2A3）=0，而P（A1）P（A2）P（A3）=1/8，故 P（A1A2A3）≠P(A1）P(A2)P(A3) 因此，A1，A2，A3不是相互独立的. 定义1.9对n个事件A1，A2，…，A n，若以下2n-n-1个等式成立： P（A i A j)=P(A i)P(A j),1≤i＜j≤n; P(A i A j A k)=P(A i)P(A j)P(A k),1≤i＜j＜k≤n; ……………… P(A1A2…A2）=P（A1）P（A2）…P（A n）， 则称A1，A2，…，A n是相互独立的事件. 由定义可知， 1°若事件A1，A2，…，A n（n≥2）相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也相互独立. 2°若n个事件A1，A2，…，A n(n≥2)相互独立，则将A1，A2，…，A n中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立. 在实际应用中，对于事件相互独立性，我们往往不是根据定义来判断，而是按实际意义 来确定. 例1.23 设高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少门这种高射炮同时独立 发射（每门射一次）才能使击中飞机的概率达到95%. 解 设需要n 门高射炮，A 表示飞机被击中，A i 表示第i 门高射炮击中飞机（i =1,2,…,n ).则 P (A )=P (A 1∪A 2∪…∪A n )=1-P (n A A A 21)=1-P (1A )P (2A )…P (1A )=1-(1-0.2)n 令1-（1-0.2）n ≥0.95,得0.8n ≤0.05，即得 n ≥14. 即至少需要14门高射炮才能有95%以上的把握击中飞机. 图1-9 例1.24 设电路如图1-9所示，其中1，2，3，4，5为继电器接点，设各继电器接点闭合与否相互独立，且每一继电器闭合的概率为p ,求L 至R 为通路的概率. 解 设事件A i (i =1,2,3,4,5)表示“第i 个继电器接点闭合”，于是 A =（A 1A 2）∪（A 3A 4）∪（A 3A 5） 设A 表示“L 至R 为通路”，则 P （A ）=P （（A 1A 2）∪（A 3A 4）∪（A 3A 5）） =P (A 1A 2)P (3A 4) P (3A 5) P (1A 2A 3A 4) -P (A 1A 2A 3A 5)-P (A 3A 4A 5)+P (A 1A 2A 3A 4A 5） 由A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立性可知 P （A ）=3p 2-2p 4-p 3+p 5 2.贝努里（Bernoulli)试验 随机现象的统计规律性只有在大量重复试验（在相同条件下）中表现出来.将一个试验 重复独立地进行n 次，这是一种非常重要的概率模型. 若试验E 只有两个可能结果：A 及A ，则称E 为贝努里试验.设P (A )=p (0 这里“重复”是指每次试验是在相同的条件下进行，在每次试验中P （A ）=p 保持不变；“独立”是指各次试验的结果互不影响，即若以C i 记第i 次试验的结果，C i 为A 或A ，i=1,2,…,n ，“独立”是指 P （C 1C 2…C n ）=P (C 1)P （C 2）…P （C n ）. n 重贝努里试验在实际中有广泛的应用，是研究最多的模型之一.例如，将一枚硬币抛掷一次，观察出现的是正面还是反面，这是一个贝努里试验.若将一枚硬币抛n 次，就是n 重贝努里试验.又如抛掷一颗骰子，若A 表示得到“6点”，则A 表示得到“非6点”，这是一个贝努里试验.将骰子抛n 次，就是n 重贝努里试验.再如在N 件产品中有M 件次品，现从中任取一件，检测其是否是次品，这是一个贝努里试验.如有放回地抽取n 次，就是n 重贝努 第一章 概率论的基本概念练习题 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立？举例说明。 7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立？举例说明。 8. 设 31)(=A P ，21 )(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ?， （3） 81 )(=AB P . 9. 已知 41)()()(===C P B P A P ，161 )()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”； =G “颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。 11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求： （1）（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2）（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。 12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率： {}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。 13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份； 概率论与数理统计总复习 第一章 概率论的基本概念 1. 事件的关系及运算 互不相容事件：AB =Φ 即A,B 不能同时发生。 对立事件：A B =ΩU 且AB =Φ 即A B B ==Ω- 差事件：A B - 即 A 发生但B 不发生的事件 切记： ()A B AB A AB A B B -==-=-U 2. 概率的性质 单 调 性 ： 若 B A ?，则 )()()(A P B P A B P -=- 加法定理：)()()() (AB P B P A P B A P -+=Y )()()()()(AB P C P B P A P C B A P -++=Y Y )()()(ABC P CA P BC P +-- 例1 设 ,,()0.7,()0.4,A C B C P A P A C ??=-= ()0.5P AB =，求()P AB C -。 解：()()()P A C P A P AC -=- ()()P A P C =- （AC C =Q ） 故 ()()()0.70.40.3P C P A P A C =--=-= 由此 ()()()P AB C P AB P ABC -= - ()()P AB P C =- （ABC C =Q ） 0.50.30.2=-= 注：求事件的概率严禁画文氏图说明，一定要用概率的性质 计算。 3. 条件概率与三个重要公式 乘法公式 全概率公式 1()()(/)n i i i P A P B P A B ==∑ 贝叶斯公式（求事后概率） 例2、（10分）盒中有6个新乒乓球，每次比赛从其中任取两个球来用，赛后仍放回盒中，求第三次取得两个新球的概率。 解：设A i ——第2次摸出i 个新球(i =0,1,2), B ——第3次摸出两个新球 ∵ A 0，A 1，A 2构成Ω的一个划分 ∴ 由全概率公式 其中 故 ; )/()()(A B P A P AB P =()(/) (/)() i i i P B P A B P B A P A = 2 ()()(|) k k k P B P A P B A ==∑201102 244224012222 666186(),()()151515C C C C C C P A P A P A C C C ======202002 334242012222 666631 (|)(|)(|)151515 C C C C C C P B A P B A P B A C C C ======4 ()0.16 25 P B == 第一章 概率论的基本概念 一、随机事件其运算 1．随机试验、样本点和样本空间 (1)随机试验 随机试验具有如下特点的试验． 1、在相同的条件下，试验可以重复进行． 2、试验的所有可能结果是预先知道的，并且不止一个． 3、每一次试验出现那一个结果事先不能确定． (2)样本点和样本空间 随机试验的每一个可能的(不可分解的)结果，称为这个随机试验的一个样本点，记为ω． 随机试验的所有样本点组成的集合，称为这个随机试验的样本空间，记为． Ω2．随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件 在随机试验中，可能发生也可能不发生的事情称为该试验的随机事件，记为A ,B 等． 随机试验的随机事件可以表示为它的一些样本点组成的集合．在一次试验中，若试验结果是随机事件A 中的一个样本点，则称在一次试验中事件A 发生． 只包含一个样本点的事件称为基本事件． 在任何一次试验中都发生的事件，称为必然事件，它就是Ω所表示的事件，因而用Ω表示必然事件． 在任何一次试验中都不发生的事件，称为不可能事件，它就是由φ所表示的事件，因而用φ表示不可能事件． 3．事件之间的关系和运算 (1)包含关系 设A ,B 为二事件，若A 发生必导致B 发生，则称事件A 包含于事件B ，或事件B 包含事件A ，记为B A ?．B A ??A ∈?ω必有B ∈ω，见图1—1． (2)相等关系 设A ,B 为二事件，若B A ?并且A B ?，则称A 与B 相等，记为B A =，见图1—2． (3)事件的并 设A ,B 为二事件， 称事件“A ,B 至少一个发生(A 发生或B 发生)”为A ,B 的并(或和)，记为．B A ∪B A ∪}|{B A ∈∈=ωωω或．见图1—3． (4)事件的交 设A ,B 为二事件，称事件“A ,B 同时发生(A 发生且B 发生)”为A ,B 的交(或积)．记为或B A ∩AB ．AB }|{B A ∈∈=ωωω且．见图1—4． (5)事件的差 设A ,B 为二事件， 称事件“A 发生且B 不发生”为A 减去B 的差，记为B A ?．B A ? }|{B A ?∈=ωωω且．见图1—5． (6)互不相容关系 第一章概率论的基本概念 教学内容： 1.随机试验 2.样本空间、随机事件 3.频率与概率 4.等可能概率（古典概率） 5.条件概率 6.独立性 教学目标： 1.了解样本空间、随机事件的概念, 理解事件之间的关系与运算； 2.了解频率、统计频率以及主观概率的定义，掌握古典概率, 几何概率的计算方法，理解概率的公理化定义。掌握概率的性质并且会应用性质进行概率计算； 3.理解条件概率的概念, 掌握条件概率公式，乘法公式，全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式并会用这些公式进行概率计算阵； 4.理解事件独立性的概念, 掌握贝努里概型并会应用它进行概 率计算. 教学重点： 事件之间的关系与运算、古典概率、几何概率、概率的公理化定义与概率的性质、条件概率公式、全概率公式、贝叶斯公式和事件的独立性。 教学难点：全概率公式和贝叶斯公式及其应用。教学方法：讲授法、演示法、练习法。 教学手段：多媒体+板书。 课时安排：10课时。 教学过程： §1.1 随机实验 一、概率论的诞生及应用 1654年, 法国一个名叫梅累的骑士(一个上流社会的赌徒兼业余哲学家)就“两个赌徒约定赌若干局, 且谁先赢c局便算赢家,若在一赌徒胜a局(c a<), 另一赌徒胜b局(c b<)时便终止赌博,问应如何分赌本”为题求教于帕斯卡,帕 斯卡与费马通信讨论这一问题,于1654 年共同建立了概率论的第一个基本概念——数学期望. 概率论是数学的一个分支，它研究随机现象的数量规律，概率论的应用几乎 遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预报、产品的抽样调查，在通讯工程 中概率论可用以提高信号的抗干扰性、分辨率等等. 二、随机现象 1.确定性现象 在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象，称为确定性现象。 如：太阳不会从西边升起、水从高处流向低处等。 2.统计规律性 在一定条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而在试验或观 察之前不能预知确切的结果，但人们经过长期实践并深入研究之后，发现在大量 重复试验或观察下，他的结果却呈现处某种规律性.这种在大量重复试验或观察 中所呈现出来来的固有规律性，称为统计规律性。 3.随机现象 这种在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果有具有 统计规律性的现象称为随机现象。 简言即：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象. 如：在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反结果，有可能出现正面也可 能出现反面；抛掷一枚骰子，观察出现的点数，结果有可能为: 1、2、3、4、5、6等 注：1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系, 其数量关系无法用 函数加以描述； 第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=? 11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?. 第一章概率论的基本概念 一、重点、难点概要复述 随机事件的定义及事件间的关系；概率的定义及性质；常见的三大概率模型：古典概型，几何概型，贝努利概型；条件概率与三大公式：乘法公式，全概公式，贝叶斯公式；事件的独立性。 1.设事件表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则表示_________________. 2.设为事件，则都发生可表示为___________________；发生但与不发生可表示为_______________；中不多于一个发生可表示为 ________________. 3．设为随机事件，则。 A．B． C．D． 4. 设为随机事件，则。 A． B． C． D． 5.设事件满足，则 _______. 6.将20本书随机放入书架，则指定的某3本书挨在一起的概率是 ____________. 7.向半径为的圆内随机抛一质点，则质点落入圆内接正方形区域的概率为__________. 8.将一枚骰子连续抛掷100次，则事件“出现1点或6点”至少发生2次的概率为_______. 9. 一批灯泡共100只，其中10只为次品。做不放回抽取，每次取1只，则第3 次才取到正品的概率为___________. 10. 三个箱子，第一个箱子有4个黑球、1个白球，第二个箱子有3个黑球、3个白球，第三个箱子有3个黑球、5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中任取一个球，则这个球为白球的概率为 ___________。若已知取得的球为白球，则此球属于第二个箱子的概率 为__________. 二、常见问题及解法 (一) 随机事件的表示： 1．随机事件的表示：设为随机事件，则 i）同时发生可表示为； ii）至少有一个发生可表示为； iii）发生但不发生可表示为 （二）随机事件概率的求法 1．利用加法公式： 2. 应用乘法公式：，其中. ，其中。 注：若，则由乘法公式可得 从而，也即与可以相互转换。又因 ； 故，可相互转换。 3. 在古典概型中求事件的概率： 4. 在几何概型中求事件概率： 5. 在贝努利概型中求事件的概率：在重貝努利试验中，事件每次发生的 概率为，则事件 恰发生次的概率为：，。 6. 利用全概公式与逆概公式求概率：设是完备事件组，，是任一个事 件，则 （i）全概公式: （ii）逆概公式：，其中。 （三）事件独立性的判断 1. 根据实际问题直观判断 2. 根据定义来判断或证明：事件相互独立当且仅当。 三、拓展练习 1.设事件满足求 2.设事件满足，已知，求。 3．设事件满足，，， 求至少有一个发生的概率为。 4. 设事件满足 则有 （A） （B） （C） （D） 5. 设事件满足则 第一章概率论的基本概念 第一节随机事件、频率与概率 一、教学目的： 1.通过本节起始课序言简介,使学生初步了解概率论简史、特色，从 而引导学生了解本课程概况及学习本课程的思想方法 2.通过本次课教学，使学生理解随机事件概念、频率与概率的概念， 了解随机试验、样本空间的概念，掌握事件的关系和运算，掌握 概率的基本性质及其运算 二、教学重点：概率的概念 三、教学难点：事件关系的分析与运算 四、教学内容： 1.序言：⑴简史⑵学法 2.§1.随机试验: ⑴实例⑵确定性现象⑶随机现象 3.§2.样本空间、随机事件: ⑴样本空间⑵随机事件⑶事件关系 与运算 4.§3. 频率与概率⑴频率定义、性质⑵概率定义、性质 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第二节古典概型、条件概率 一、教学目的： 通过本节教学使学生了解古典概型的定义，理解条件概率的概念，并能够解决一些古典概型、条件概率的有关实际问题． 二、教学重点：古典概率、条件概率计算 三、教学难点：古典概型与条件概率分析与建模 四、教学内容： 1.§４.古典概型 2.§５.条件概率（一） 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第三节乘法公式、全概率公式、Bayes公式、独立性 一、教学目的： 1.通过本节教学使学生在理解条件概率概念的基础上,掌握乘法公 式、全概率公式、Bayes公式以及能够运用这些公式进行概率计算。 2.理解事件独立性概念，掌握用独立性概念进行计算． 二、教学重点： 1.乘法公式及其使用 2.独立性概念及其应用 三、教学难点：应用公式分析与建模 四、教学内容： １.§５.条件概率（二、三）２.§６.独立性 五、小结： 六、布置作业： 标准化作业第一章题目 第四节习题课 一、教学目的： 通过本习题课教学使学生全面系统对概率论的基本概念进一步深化，同时熟练掌握本章习题类型，从而提高学生的分析问题与解决问题的能力． 二、教学重点： 1.知识内容系统化 2.几类问题解决方法 三、教学难点：实际问题转化为相应的数学模型 四、教学内容： 1.本章知识内容体系归纳 2.习题类型： ⑴古典概型计算 ⑵事件关系与运算 ⑶条件概率计算 ⑷乘法公式、全概率公式、Bayes公式使用与计算． ⑸独立性问题的计算 五、讲练习题 第二章随机变量及其分布 第一节随机变量、离散型随机变量的概率分布 一、教学目的： 通过本节教学使学生理解随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布及其性质，掌握二项分布、泊松分布，并会计算有关事件的概率及其分布． 第1章 概率论的基本概念 §1 .8 随机事件的独立性 1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。 A B L R C D 1. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。 第1章作业答案 §1 .8. 1： 用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性 P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D) 424222p p p p p -=-+= 2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88. 第2章 随机变量及其分布 §2.2 10-分布和泊松分布 1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求 (1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率； 2 设随机变量X 有分布律： X 2 3 , Y ～π(X), 试求： p 0.4 0.6 （1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。 §2.3 贝努里分布 2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？ §2.6 均匀分布和指数分布 2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。 §2.7 正态分布 1 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(2 第一章 随机事件及其概率 一、选择题： 1．设A 、B 、C 是三个事件，与事件A 互斥的事件是： （ ） A ．A B A C + B ．()A B C + C ．ABC D ．A B C ++ 2．设B A ? 则 （ ） A ．()P A B =1-P （A ） B ．()()()P B A P B A -=- C ． P(B|A) = P(B) D ．(|)()P AB P A = 3．设A 、B 是两个事件，P （A ）> 0，P （B ）> 0,当下面的条件（ ）成立时，A 与B 一定独立 A ．()()()P A B P A P B = B ．P （A|B ）=0 C ．P （A|B ）= P （B ） D ．P （A|B ）= ()P A 4．设P （A ）= a ，P （B ）= b, P （A+B ）= c, 则 ()P AB 为： （ ） A ．a-b B ．c-b C ．a(1-b) D ．b-a 5．设事件A 与B 的概率大于零，且A 与B 为对立事件，则不成立的是 （ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 互不独立 D ．A 与B 互不相容 6．设A 与B 为两个事件，P （A ）≠P （B ）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（ ） A ．P （A| B ）=1 B ．P(B|A)=1 C ．(|A)1p B = D ．(A|)1p B = 7．设A 、B 为任意两个事件，则下列关系式成立的是 （ ） A ．()A B B A -= B ．()A B B A -? C ．()A B B A -? D ．()A B B A -= 8．设事件A 与B 互不相容，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （AB ）=0 C ．A 与B 互不相容 D ．A+B 是必然事件 经典习题—古典概率部分 1、设,A B 为随机事件，且0(),()()()1P A P B P A P B <<+≤。 ⑴．若,A B 相互独立，则()()(),()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P A P B ==+-U ； ⑵．若,A B 互斥，则()0,()()()P AB P A B P A P B ==+U ； ⑶．若已知(),()P A P B ，则{}()()1()min (),()P A P B P AB P A P B +-≤≤； ⑷．若已知(),(),()P A P B A P A B ，则 ()() ()()()()(),()() P A P B A P AB P A P B A P B P A B P B P A B ===， []()() ()()()1()() P A P B A P B A P B P AB P A B P A B -=-= -， []()()()()1()P A B P A P AB P A P B A -=-=-， []() ()()()1()() P A P A B P A P B A P B A P A B =+-= +U 。 ■ 2、设,A B 为随机事件，且0(),()1P A P B <<，证明: ⑴.若()()P B A P B A =，则,A B 独立； ⑵.若()()P A B P A ≥，则()()P B A P B ≥。 证明:由于0(),()1P A P B <<，故 ⑴.若()()P B A P B A =，则 ()()()() ()()()()1() P AB P AB P B P AB P B A P B A P A P A P A -====-， 故()()()P AB P A P B =，即,A B 独立； ⑵.若()()P A B P A ≥，则()()()()()P AB P B P A B P A P B =≥，故 ()()() ()()()() P AB P A P B P B A P B P A P A = ≥=。 ■ 3、设()()1P A P B +=，则()()P AB P AB =。 证明:()()1()1()()()()P AB P A B P A B P A P B P AB P AB ==-=--+=U U 。 4、进行n 次独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率都是()0P A α=>，若A 发生k 次，则B 发生的概率为,0,1,...,k k n β=，求B 发生的概率。 解: 用k A 表示在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次，则()(1)k k n k k n P A C αα-=-，故 概率论的基本概念 1.1 随机试验 1.随机现象在一定条件下具有多个可能的结果，个别几次观察中结果呈现出随机性（不确定性），在大量重复观察中结果又呈现出固有的客观规律性的自然现象称为随机现象. 随机现象的三大特点： （1）在一定条件下具有多个可能的结果，所有可能的结果已知； （2）在一次观察中，结果呈现出随机性，不能确定哪一个结果将会出现； （3）在大量的重复观察（相同条件下的观察）中，结果的出现又呈现出固有的客观规律性. 2.随机试验具有以下几个特点的实验称为随机实验，常用E 来表示 1）可以在相同的条件下重复进行； 2）试验的结果不止一个，并且能事先明确试验所有可能的结果； 3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 注：随机试验即可在相同条件下重复进行的针对随机现象的试验. 1.2 样本空间与随机事件 1. 样本空间与随机事件的概念 1) 样本空间 随机试验E的所有可能结果E的样本空间，记为S. 样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点. 样本空间依据样本点数可分为以下三类 （1）有限样本空间：样本空间中样本点数是有限的； （2）无限可列样本空间：样本空间中具有可列无穷多个样本点； （3）无限不可列样本空间：样本空间中具有不可列无穷多个样本点. 2) 随机事件一般，称随机试验E的样本空间S的任何一个子集为E的随机事件，简称为事件. 在一次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生. 注：（1）：随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生； （2）：由一个样本点构成的单点集，称为基本事件； （3）：样本空间S是必然事件，空集 是不可能事件，它们两个发生与否不具有随机性，为了方便将它们两个也称为随机事件。 经典习题—古典概率部分 1、设,A B 为随机事件，且0(),()()()1P A P B P A P B <<+≤。 ⑴．若,A B 相互独立，则()()(),()()()()()P AB P A P B P A B P A P B P A P B ==+-； ⑵．若,A B 互斥，则()0,()()()P AB P A B P A P B ==+； ⑶．若已知(),()P A P B ，则{}()()1()min (),()P A P B P AB P A P B +-≤≤； ⑷．若已知(),(),()P A P B A P A B ，则 ()() ()()()()(),()() P A P B A P AB P A P B A P B P A B P B P A B ===， []()() ()()()1()() P A P B A P B A P B P AB P A B P A B -=-= -， []()()()()1()P A B P A P AB P A P B A -=-=-， []() ()()()1()() P A P A B P A P B A P B A P A B =+-= +。 ■ , 2、设,A B 为随机事件，且0(),()1P A P B <<，证明: ⑴.若()()P B A P B A =，则,A B 独立； ⑵.若()()P A B P A ≥，则()()P B A P B ≥。 证明:由于0(),()1P A P B <<，故 ⑴.若()()P B A P B A =，则 ()()()() ()()()()1() P AB P AB P B P AB P B A P B A P A P A P A -====-， 故()()()P AB P A P B =，即,A B 独立； ⑵.若()()P A B P A ≥，则()()()()()P AB P B P A B P A P B =≥，故 ()()() ()()()() P AB P A P B P B A P B P A P A = ≥=。 ■ 3、设()()1P A P B +=，则()()P AB P AB =。 证明:()()1()1()()()()P AB P A B P A B P A P B P AB P AB ==-=--+=。 ; 4、进行n 次独立重复试验，每次试验中事件A 发生的概率都是()0P A α=>，若A 发生k 次，则B 发生的概率为,0,1,...,k k n β=，求B 发生的概率。 解: 用k A 表示在n 次独立重复试验中事件A 发生k 次，则()(1)k k n k k n P A C αα-=-，故 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 《概率论与数理统计》作业解答 第一章 概率论的基本概念习题（P24-28） 1. 写出下列随机试验的样本空间S ： (1) 记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）. (2) 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数. (3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”.如连续查出了2件次品，就停止检查，或检查了4件产品就停止检查. 记录检查的结果. (4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标. 分析 要写出随机试验的样本空间，就要明确所有的样本点，即随机试验时直接产生的所有可能的结果. 解 (1) 我们考察一个班数学考试平均分的所有可能. 为此，我们先明确平均分的计算：全班的总分除以班级学生数. 设该班有n 个学生，则全班总分的所有可能为0到100n 的所有整数i . 其平均分为i n . 故，所求样本空间为：:1,2,,100i S i n n ??==??????? . (2) 由已知，生产的件数至少为10（刚开始生产的10件均为正品），此后，可以取大于等于10的所有整数. 故所求样本空间为：{}10,11,12,S =???. (3) 若记0＝“检查的产品为次品”，1＝“检查的产品正品”，0，1从左到右按检查的顺序排列，则所求样本空间为： (5) 所求样本空间为：{} 22(,):1S x y x y =+< 2. 设,,A B C 为三个事件，用,,A B C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 发生，B 与C 不发生. (2) A 与B 都发生，而C 不发生. 第一章概率论的基本概念 §概率的定义 一、概率的性质 （1）1 P. ≤A ) ( 0≤ （2）0 ) P，1 φ (= P. S ) (= （3）()()()() P A B P A P B P AB. ?=+- （4）) A P- =. P (A ( 1 ) （5）) P A B B A = P P- -.特别地，若A = ( ) ( ) ( P (AB ) A B?，-，) = P- ( ) B P A P≥. (A ( B ( ) ) ) P A P (B 例设,A B为随机事件, ()0.4,()0.3 P A B ?= P A P B A，则()_____. =-= 解：,3.0 A P B B P()()()()0.7 P A B P A P B P AB ?=+-= P -AB ( ) ( ) (= = - ) § 条件概率 一、 条件概率 定义 设B A ,是两个事件，且0)(>A P ，称)|(A B P = ) () (A P AB P 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。 二、全概率公式 全概率公式：12,,,n A A A 为样本空间S 的一个事件组，且满足： （1）12,, ,n A A A 互不相容，且),,2,1(0)(n i A P i =>; (2) 12?? ?=n A A A S . 则对S 中的任意一个事件B 都有 ) ()()()()()()(2211n n A B P A P A B P A P A B P A P B P +++= 例设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为20 1 ,151,101，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率 解 以1A 、2A 、3A 表示诸事件“取得的这箱产品分别是甲、乙、丙厂生产”；以B 表示事件“取得的产品为正品”，于是： ;20 19 )|(,1514)|(,109)|(,0102)(,103)(,105)(321321====== A B P A B P A B P A P A P A P 按全概率公式 ，有： 112233()(|)()(|)()(|)() =++P B P B A P A P B A P A P B A P A 92.010 2 20191031514105109=?+?+?= 三、 贝叶斯公式 设B 是样本空间S 的一个事件，12,,,n A A A 为S 的一个事件组， 且满足：（1）12,, ,n A A A 互不相容，且),,2,1(0)(n i A P i =>; (2) 12?? ?=n A A A S . 则 ) ()()()()()()() ()|(11n n k k k k A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P ++= = 这个公式称为贝叶斯公式。 例：有甲乙两个袋子，甲袋中有4个白球，5个红球，乙袋中有4个白球，4个红球．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球， 第一章随机事件及其概率 一、选择题： 1．设A、B、C是三个事件，与事件A互斥的事件是：（） A．AB AC +B．() + A B C C．ABC D．A B C ++ 2．设B A ?则（） A．() =1-P（A）B．()()() P A B -=- P B A P B A C．P(B|A) = P(B) D．(|)() P A B P A = 3．设A、B是两个事件，P（A）> 0，P（B）> 0,当下面的条件（）成立时，A与B一定独立 A．()()() = B．P（A|B）=0 P A B P A P B C．P（A|B）= P（B）D．P（A|B）= () P A 4．设P（A）= a，P（B）= b, P（A+B）= c, 则() P A B为：（）A．a-b B．c-b C．a(1-b) D．b-a 5．设事件A与B的概率大于零，且A与B为对立事件，则不成立的是（）A．A与B互不相容B．A与B相互独立 C．A与B互不独立D．A与B互不相容 6．设A与B为两个事件，P（A）≠P（B）> 0，且A B ?，则一定成立的关系式是（）A．P（A|B）=1 B．P(B|A)=1 C．(|A)1 p B= p B=D．(A|)1 7．设A、B为任意两个事件，则下列关系式成立的是（）A．() -? A B B A -= A B B A B．() C．() A B B A -= D．() A B B A -? 8．设事件A与B互不相容，则有（） A．P（AB）=p（A）P（B）B．P（AB）=0 C．A与B互不相容D．A+B是必然事件 9．设事件A 与B 独立，则有 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ） C ．P （AB ）=0 D ．P （A+B ）=1 10．对任意两事件A 与B ，一定成立的等式是 （ ） A ．P （A B ）=p （A ）P （B ） B ．P （A+B ）=P （A ）+P （B ） C ．P （A|B ）=P （A ） D ．P （AB ）=P （A ）P （B|A ） 11．若A 、B 是两个任意事件，且P （AB ）=0，则 （ ） A ．A 与 B 互斥 B ．AB 是不可能事件 C ．P （A ）=0或P （B ）=0 D ．AB 未必是不可能事件 12．若事件A 、B 满足A B ?，则 （ ） A ．A 与 B 同时发生 B ．A 发生时则B 必发生 C ．B 发生时则A 必发生 D ．A 不发生则B 总不发生 13．设A 、B 为任意两个事件，则P （A-B ）等于 （ ） A ． ()()P B P AB - B ．()()()P A P B P AB -+ C ．()()P A P AB - D ．()()()P A P B P AB -- 14．设A 、B 、C 为三事件，则AB BC AC 表示 （ ） A ．A 、 B 、 C 至少发生一个 B ．A 、B 、C 至少发生两个 C ．A 、B 、C 至多发生两个 D ．A 、B 、C 至多发生一个 15．设0 < P (A) < 1. 0 < P (B) < 1. P(|B)+P(A B A )=1. 则下列各式正确的是（ ） A ．A 与 B 互不相容 B ．A 与B 相互独立 C ．A 与B 相互对立 D ．A 与B 互不独立 16．设随机实际A 、B 、C 两两互斥，且P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，P （C ）=0.4，则P A B C -= （）（ ）. A ．0.5 B ．0.1 C ．0.44 D ．0.3 17掷两枚均匀硬币，出现一正一反的概率为 （ ） A ．1/2 B ．1/3 C ．1/4 D ．3/4 18．一种零件的加工由两道工序组成，第一道工序的废品率为 1p ，第二道工序的废品率 为2p ，则该零件加工的成品率为 （ ） A ．121p p -- B ．121p p - C ．12121p p p p --+ D ．122p p -- 19．每次试验的成功率为)10(< 概率统计（1） 附“标准正态分布函数值”：(2.0)0.9772, (3.08)0.999, (0.5)0.6915Φ=Φ=Φ= 一．填空题：(共 8小题，每小题 3分，共24 分) 1．设()0.5,()0.7P B P A B == ，则()P A B = . 2. 已知随机变量X 服从正态分布N （1，2），F(x )为其分布函数，则)(x F '= . 3 若随机变量X 的概率密度为2 4 ()x X p x -= ，则2()E X = . 4设随机变量X 概率密度为2100 , 100()0, 100x p x x x ?>? =??≤? ，以Y 表示对X 的四次独立重复 观察中事件{X ≤200}出现的次数，则P{Y=2}= . 5.若二维随机变量（X,Y ）在区域{(,)/01,01}D x y x y =<<<<内服从均匀分布，则 1()2 P X Y X ≥ >= . 6．若随机变量X 与Y 相互独立，且()()1,9,2,4X N Y N 服从正态分布服从正态分布，则2X Y -服从________分布. 7．设随机变量X 与Y 相互独立且均服从二项分布B(10, 0.2), 则由切贝雪夫不等式有{2}P X Y -≤( ) 8. 设~(0,4)X N ,~(1,5)Y N ，且X 与Y 相互独立，则Z X Y =-的分布函数()z F z =（ ）。 。 二．选择题：(共 小6题，每小题 2分，共12 分) 1．若当事件A 与B 同时发生时，事件C 一定发生，则（ ）. ()()()() 1 ()()()()1()()() ()()() a P C P A P B b P C P A P B c P C P AB d P C P A B ≤+-≥+-== 2． 设F 1(x )与F 2(x )分别为随机变量X 1与X 2的分布函数，为使12()()()F x aF x bF x =-是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（ ） (a ) 5 2,53- == b a (b) 3 2,3 2= = b a (c) 2 3,2 1= - =b a (d) 2 3,2 1-== b a 3．设随机变量X 服从正态分布2 (,)N μσ，则随着σ的增大，概率() P X μσ-< 概率论与数理统计重要数学概念英汉对照 Chapter 2 Sample Space：样本空间 Random event: 随机事件 Simple event:; 基本事件 Independent : 独立 Dependent: 不独立 Mutually exclusive or disjoint : 互斥，互不相容 Axiom: 公理 Union: 并 Intersection: 交 Complement: 补 The law of Total Probability: 全概率公式 Bayes’ Theorem: 贝叶斯原理 Chapter 3 Discrete random variable (rv) : 离散型随机变量 Continuous random variable : 连续型随机变量 Probability distribution : 概率分布 Parameter: 参数 Family of probability distribution: 分布族 Probability mass function (pmf): 概率质量函数 Cumulative distribution function (cdf) : 累积分布函数（分布函数）Step function: 阶梯函数 Expected value: 期望 Variance: 方差 Standard deviation: 标准差 Binomial distribution: 二项分布 Hypergeometric distribution: 超几何分布 Negative binomial distribution: 负二项分布 Geometric distribution: 几何分布 Poisson distribution: 泊松分布 Chapter 4 Probability density function(pdf): 概率密度函数 Uniform distribution: 均匀分布 Percentile of a continuous distribution: 连续型分布的百分位数Normal distribution: 正态分布 Probability Plots: 概率图 Sample percentiles: 样本百分位数 Chapter 5 Joint probability mass function: 联合概率（质量）函数第一章 概率论的基本概念练习题
概率论与数理统计总复习 公式概念定理
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第一章 概率论的基本概念习题答案
第一章 概率论的基本概念重点和难点
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