第十二章 微分方程
§12-1 微分方程的基本概念
一、判断题
1.y=ce x 2(c 的任意常数)是y '=2x 的特解。 ( )
2.y=(y '')3是二阶微分方程。 ( )
3.微分方程的通解包含了所有特解。 ( )
4.若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解。 （ ）
5.微分方程的通解中任意常数的个数等于微分方程的阶数。 （ ） 二、填空题
1. 微分方程.(7x-6y)dx+dy=0的阶数是 。
2. 函数y=3sinx-4cosx 微分方程的解。
3. 积分曲线y=(c 1+c 2x)e x 2中满足y x=0=0, y 'x=0=1的曲线是 。 三、选择题
1．下列方程中 是常微分方程
（A ）、x 2+y 2=a 2 (B)、 y+0)(arctan =x
e dx d (C)、22x a ??+22y
a ??=0 （D ）、y ''=x 2+y 2
2.下列方程中 是二阶微分方程
（A ）（y ''）+x 2y '+x 2=0 (B) (y ') 2+3x 2y=x 3 (C) y '''+3y ''+y=0 (D)y '-y 2=sinx
3.微分方程2
2dx
y d +w 2
y=0的通解是 其中c.c 1.c 2均为任意常数 （A ）y=ccoswx (B)y=c sinwx (C)y=c 1coswx+c 2sinwx (D)y=c coswx+c sinwx
4. C 是任意常数，则微分方程y '=3
23y 的一个特解是 （A ）y-=(x+2)3 (B)y=x 3+1 (C) y=(x+c)3 (D)y=c(x+1)3 四、试求以下述函数为通解的微分方程。
1．22C Cx y +=（其中C 为任意常数） 2.x
x e C e C y 3221+=（其中21,C C 为任意常数）
五、质量为m 的物体自液面上方高为h 处由静止开始自由落下，已知物体在液体中受的阻力与运动的速度成正比。用微分方程表示物体，在液体中运动速度与时间的关系并写出初始条件。
12-2 可分离变量的微分方程
一、求下列微分方程的通解
1． sec 2.tacydx+sec 2ytanxdy=0
2． (x+xy 2)dx-(x 2y+y)dy=0
3． (e x+y -e x )dx+(e x+y -e y )dy=0
4． y '=cos(x-y).(提示令.x-y=z)
二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解
1． cosydx+(1+e -x )sinydy=0. y x=0=
4
π 2.
1.1sec 2
32
-==+=
πx y xdx dy y
x
三 、设f(x)=x+?x
0f(u)du,f(x)是可微函数，求f(x)
四、求一曲线的方程，曲线通过点（0.1）,且曲线上任一点处的切线垂直于此点与原点的连线。
五、船从初速v 0=6米/秒而开始运动，5秒后速度减至一半。已知阻力与速度成正比，试求船速随时间变化的规律。
12-3 齐次方程
一、求下列齐次方程的通解 1 y x '-xsin 0=x y 2 (x+ycos )x y dx-xcos x
y
dy=0
二 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解 1．xy
ax
dy =x 2+y 2
y x=e =2e 2.x
2
dy+(xy-y 2)dx=0y x=1=1
三、求方程：（x+y+1）dx=(x-y+1)dy 的通解
四、设有连结点O(0，0)和A （1，1）一段向上凸的曲线孤A O ?对于A O ?
上任一点 P （x ，y ）,曲线孤与P O ?直线段OP -
所围图形的面积为x 2，求曲线孤A O ?
的方程。
12.4 一阶线性微分方程
一、求下列微分方程的通解
1.x y '+y=xe x
2.y '+ytanx=sin2x
3.y '+x
x
y x sin 1= 4.y e y x y dx dy 3+=
二、求下列微分方程满足初始条件的特解 1．y 'cosy+siny =x y
4
0π
=
=x 2.(2x+1)e y y '2e y =4 y
00
==x
三、已知f(π),曲线积分b
a ?[]
dy x f dx x
y
x f x )()(sin +-与路径无关，求函数f(x).
四、质量为M
0克的雨滴在下落过程中，由于不断蒸发，使雨滴的质量以每秒m 克的速率减少，且所受空气阻力和下落速度成正比，若开始下落时雨滴速度为零，试求雨滴下落的速度与时间的关系。
求下列伯努利方程的通解
1．y ′+x y x
=1
2y 5 2. xy ′+y-y 2lnx=0
12-4 全微分方程
一、求下列方程通解
1．[cos(x+y 2)+3y]dx+[2ycos(x+y 2)+3x]dy=0
2.(xcosy+cosx)y-ysinx+siny=0
3.e y dx+(xe y -2y)dy=0
二、利用观察法求出下列方程的积分因子，并求其通解 1 ydx-xdy+y 2xdx=0
2 y(2xy+e x )dx-e x dy=0
三、[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f(x)+x 2y]dy=0为全微分方程，其中函数f(x)连续可微，f(0)=0,试求函数f(x)，并求该方程的通解。
12-7 可降阶的高阶微分方程
一、求下列各微分方程的通解
1．y ''=xsinx 2. y ''-y '=x
3.y y ''+(y ')2=y '
4. y ''(1+e x )+y '=0
二、求下列各微分方程满足所给初始条件的特解 1．2y ''=sin2y y
2
π
=
=x y '
10
==x
2. x y ''-y 'ln y '+y 'lnx=0 y
21
==x y '
21
e x ==
三、函数f(x)在x>0内二阶导函数连续且f(1)=2，以及f '(x)-
0)()(21=-?dt t
t f x x f x ,求f(x).
四、一物体质量为m,以初速度Vo 从一斜面上滑下，若斜面的倾角为α，摩擦系数为u,试求物体在斜面上滑动的距离与时间的函数关系。
12-8 高阶线性的微分方程
一、选择题
1．下列方程中 为线性微分方程
（A ）（y '）+x y '=x (B)y x y y =-'2
(C) x e y x y x y =+'-''22
2 (D)y xy y y cos 3=-'-''
2.已知函数y 1=2
21x
x e
+
，y 1=2
21x x e
-
，y 3=e (x-
2
)1x
则 （A ）仅y 1与y 2线性相关 （B ）仅y 2与y 3线性相关 （C ）仅y 1与y 3线性相关 （D ）它们两两线性相关
3．若y 1和y 2是二阶齐次线性方程，y ''+p(x)y '+4(x)y=0两个特解，c 1c 2为任意常数，则y=c 1y 1+c 2y 2 (A)一定是该方程的通解 （B ）是该方程的特解 （C ）是该方程的解 （D ）不一定是方程的解 4．下列函数中哪组是线性无关的
（A ）lnx, lnx 2 (B)1， lnx (C)x, ln2x (D)ln x , lnx 2 二、证明：下列函数是微分方程的通解
1y=c 1x 2+c 2x 2lnx(c 1 c 2是任意常数)是方程x 2y ''-3x y '+4y=0的通解
2y=c 1e -x +c 2e x e x
+2
(c 1c 2是任意常数)是方程2x e y y 2='+'''的通解
三、设y 1(x)y 2(x)是某个二阶线齐次线性微分方程的三个解，且y 1(x)y 2(x).y 3(x).线性无关， 证明：微分方程的通解为：)()1()()(3212211x y c c x y c x y c y --++=
四、试求以y=1(1
c x
e x +c 2e -x )+2x e (c 1,c 2是任意常数)为通解的二阶线性微分方程。
12-9 二阶常系数齐次线性微分方程
一、选择题
1以y 1=cosx,y 2=sinx 为特解的方程是
（A ）0=-''y y (B)0=+''y y (C)0='+''y y (D)0='-''y y 2．微分方程20=-'+''y y y 的通解是 （A ）x
x
e
c e c y 221--=（B ）2
21x x
e c e
c y -=-（C ）2
21x x
e
c e c y -
-= (D)x x
e c e
c y 221+=-
3．常微分方程0)(2121=+'++''y y y λλλλ，（其中21,λλ是不等的系数），在初始条件y 1x=0=0
='=x y 特解是
（A ）y=0 (B)y=x
x e c e c 2121λλ+ (C)
221x y λλ= （D ）221)(x y λλ+=
4．x
e y 2=是微分方程06=+'+''y y p y 的一个特解，则此方程的通解是 （A ）x x e c e c y 3221-+= （B ）x e xc c y 221)(+=
（C ）x x
e c e
c y 3221+= （D ）)3cos 3sin (212x c x c e y x +=
5．x
x
e
c e c y -+=21是微分方程 的通解
（A ）0=+''y y （B ）0=-''y y （C ）0='+''y y （D ）0='-''y y 二、求下列微分方程的通解
1．05='-''y y 2．044=+'-''y y y
3．04=+'+''y y y 4．065=+'-''y y y
5．01036=+'+''-'''y y y y 5. 02)
4(=''+'''-y y y
三、求下列微分方程满足初始条件的特解
1．0102=+'+''y y y 10==x y 201==x y
2．032=-+x dt
dx
dt x d 00
==t x 10
='
=t x
四、一质量为m 的质点由静止（t=0,v=0）开始滑入液体，下滑时液体阻力的大小与下沉速度的大小成正比（比例系
数为k ），求此质点的运动规律。
12-10 二阶常数非齐次线性微分方程
一、选择题
1微分方程，形式为的特解*
2y x y y ='-''
(A)ax (B)ax+b (C)ax 2
(D)bx ax +2
2.微分方程形式为的特解*
1
y e y y x +=-'' （A ）b ae x + （B ）b axe x + （C ）bx ae x + （D ）bx axe x
+ 3．微分方程x
xe u y 22='-''的特解y *形式为 （A ）x
e b ax x 2)(+ （B ）x
e
b ax 2)(+ （C ）x
xe
2 （D ）x
e c bx ax 22)(++
4．微分方程x y y 2cos 4=+''的特解y *形式为
（A ）acos2x (B)axcos2x (C) x(acos2x+bsin2x) (D)acos2x+bsin2x
5. 微分方程x x y y 2
sin =-''的特解形式为y*= （A ）（ax+b ）sin 2x (B)(ax+b)sin 2x+(cx+d)cos 2x
（C ）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x （D ）(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x+ex+f
6. 微分方程x e y y y x
5sin 54+=-'-''-的特解形式为
（A ）x b ae
x
5sin +- (B)x c x b ae x 5sin 5cos ++- （C ）x b axe x 5sin +- （D ）x c x b axe x
5sin 5cos ++-
二、求下列各方程的通解
1．x
xe y y y =+'+''2 2．x y y y sin 67=+'-''
3．x e y y y x
sin 52=+'-'' 4．x x y y cos +=+''
三、求微分方程x y y cos 9=+''满足02
2
='===ππx x y y 的特解
四、已知二阶常系数微分方程)2(+=+'+''x y y y γβα有特解x x e y x 612
*--+=，求γβα,,的值，并求该方程的通解
五、k 为常数。试求x
e y k y k y =+'-''22的通解。
六、设?
?-+
=x
x
dt t f x dt t f x x f 0
)()(sin )(，其中f(x)为连续的数，求f(x)。
七、一链长18cm ，挂在光滑的圆钉上，一边垂下8cm ，另一边垂下10cm ，问整个链子滑过钉子需要多少时间？
第十二章自测题一
一、 填空题
1．已知曲线y=y(x)过点（0，
2
1
）且其上任一点（x,y ）处的切线斜率为xln(1+x 2)，则f(x)= 2．以()12
2
=++y c x 为通解的微分方程是 （其中为任意常数） 3。微分方程ydx+(c 2-4x)dy=0的通解为 4．微分方程ax x y y =++'ln 的通解为 ]
5．已知某四阶线性齐次方程有四个线性无关的解e -x ,e x ,sinx,cosx,则该微分方程为 二、选择题
１．已知函数y=f(x)在任意点x 处的增量?y=α++?2
1x
x
y 且当?x →o 时，α是比?x 更高阶的无穷小量，y(o)=π，则y(1)等于
（A ）2π （B ）π （C ）4
πe （D ）4
ππe 2 y=y(x)是微分方程0sin =-'-''x
e
y y 的解，且0)(0='x f ，则f(x)在
（A ） x ０的某个邻域内单调增加 （B ）x ０的某个邻域内单调减少 （C ）x ０处的取极小值 （D ）x ０处取极大值
3．一曲线通过点m(4.3),且该曲线上任意一点p 处的切线在y 轴上的截距等于原点到p 的距离，则此曲线方程为
（A ）252
2
=+y x （B ）1022x y +=（C ）25)9()9(2
2=+-+y x （D ）16
42x y -=
4．下列方程中可利用y p '=,y p ''='降为p 的一阶微分方程的是
（Ａ）0)(2=-'+''x y x y （Ｂ）02
=+'+''y y y y （C ）02
2
=-'+''x y y y y (D) 0=+'+''x y y y 三、求解下列微分方程
1.求ydx+(x 2y-x)dy=0，满足11==x y 的特解，
2.求x
e
y y +=
'+''11
的通解
四、求x x y y sin +='+''的通解。
五、已知x x e xe y 21+=，x
x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
六、已知函数f(x)可微 ，且对任意实数x,y 满足：f(x+y)=)()(x f e y f e y
x +,求此函数f(x).
七、火车沿水平直线轨道运动，设火车质量为m,机车牵引力为F,阻力为a+bv,其中a,b 为常数，v 为火车的速度，若已知火车的初速度与初位移均为零，求火车的运动规律s=s(t).