南京师范大学泰州学院毕业论文（设计）
（一三届）
题目：漫谈圆周率π值的计算
院（系、部）：数学科学与应用学院
专业：数学与应用数学
姓名：
学号
指导教师：
南京师范大学泰州学院教务处制
摘要：圆周率π在数学中是一个非常重要的常数，受到广泛关注。古今中外一代代的数学家为计算π献出了自己的智慧和劳动，人类对π值的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。本文首先研究圆周率计算的发展历程，然后给出了利用计算机求解圆周率的三种算法的基本原理。借助Mathematica软件编程给出了每一种算法的计算结果和误差分析，利用Matlab软件对所得数据进行了分析和比较，对三种算法的优缺点进行了讨论，最后阐述了从计算圆周率的过程中得到的启示。
关键词：圆周率；计算；近似值；数学实验
Abstract:πis one of the most important constant in mathematics. It has been intensively studied recently. In this paper, we first discuss the development process of the calculating of π,and then we give the basic principles of three algorithms to calculate πby computer. Using Mathematica and Matlab, we give the results of the three algorithms and discuss the advantages and disadvantages. Finally, we get some inspiration from the above research.
Keywords:π；calculation；approximation；mathematical experiment
1 绪论 (3)
1.1研究意义 (3)
1.2国内外研究现状 (4)
1.3本文的研究方法和主要解决问题 (4)
2 圆周率简介和圆周率计算的四个时期 (5)
2.1圆周率的简史及其重要性 (5)
2.2圆周率计算的四个时期 (6)
2.2.1无算法记录时期 (6)
2.2.2几何推算时期 (7)
2.2.3解析计算时期 (9)
2.2.4计算机运算时期 (10)
3借助计算机求解圆周率的方法 (12)
3.1数值积分法 (12)
3.1.1 算法原理 (12)
3.1.2 计算结果及误差分析 (14)
3.2泰勒级数法 (17)
3.2.1 算法原理 (17)
3.2.2 计算结果及误差分析 (18)
3.3蒙特卡洛法 (21)
3.3.1正方形内投点法 (21)
3.3.2蒲丰投针法 (25)
3.3.3 随机整数互素法 (27)
4从圆周率计算中得到的启示 (30)
谢辞 (31)
参考文献 (32)
附录 (33)
我们知道，平面上圆的周长与直径之比是一个常数，称为圆周率，记作π。在日常生活中，人们经常与π打交道，π的计算伴随着人类的进步而发展，许多数学家在其计算上发费了巨大的精力。有些数学家甚至说：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量一个国家当时数学发展的一面旗帜[1]”。我国伟大的科学家祖冲之（公元429—500年）在前人的基础上深入地研究了圆周率，经过长期坚持不懈的努力，求出了当时世界上最好的近似值，他利用割圆术，求出了精确到小数点后七位数字的圆周率，并且明确指出了圆周率的取值在3.1415926和3.1415927之间，这一举世瞩目的成就在世界上领先了一千多年。在很长一个时期里，计算的π值是数学上一件重要的事情。本课题将从圆周率的简史和重要性开始，了解人们为什么这么执着的计算着圆周率。接着分析圆周率计算的四个时期，更清楚的知道人们为探索圆周率花费的心血，使我们当代大学生受益匪浅，启发我们不仅要学习前人的数学思维方式，更要学习他们孜孜不倦，开拓进取，为科学奋斗终身的精神。最后，利用我们所学的数学知识，运用数学实验方法，结合积分，迭代，随机试验等，在计算机的帮助下，介绍了三种计算圆周率的快捷方法：数值积分法，泰勒级数法和蒙特卡罗法。借助Mathematica软件编程给出了每一种算法的计算结果和误差，利用Matlab软件对所得数据进行了分析，对三种算法的优缺点进行了讨论，
1.1研究意义
作为数学上的一个重要常数, π不仅用于圆的计算, 而且也在很多的公式中出现, 就我们现在的中学数学教材来说, 数学中的初等几何、高中的立体几何、代数中的三角函数、统计学等等都要用到π, 它是我们最熟悉的无理数；在物理学科中也有很多的公式要用到π, 比如单摆周期T的公式、库仑研究的两个带电质点的相互作用力的公式中也有它的身影, 还有其他的科学分支中也要用到π, 在科学史上有重要的地位。同时从其发展史可以看出在计算圆周率的过程中用到了极限的概念、微积分的思想、概率统计的理论, 我们还要有实数的理论,除了这些以外, 还要靠数学和科学技术的发展, 它展示了数学思想、方法的发展历程, 在寻求圆周率的计算过程中也发现了很多的问题, 从而推动了数学的发展, 促使人们不断为提高计算速度而寻找新的计算方法、改进计算的手段。正如前文中提到的“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度, 可以作为衡量这个国家当时数学发展的一个标志。”因此, 圆周率的发展历史从一个侧面反映了数学的发展历史尤其是算法的发展史, 而且还是计算机科学的发展史, 代表了当时的计算
机科学的水平[2]。
几千年来作为数学家们的奋斗目标，古今中外一代代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动。在中国有刘徽、祖冲之等，在国外有阿基米德、卡西等。近代科学家如华罗庚、严士健等在其数论论文中也对圆周率问题进行了探讨。古往今来，从未有哪一个数学常数能向圆周率那样吸引众多的学者。圆周率在各个时期的文明中都像一颗闪耀的明珠，它往往能够在一定程度上折射出该文明数学发展的水平[3]。为求得圆周率的值，人
类走过了漫长而曲折的道路，它的历史是饶有趣味的。通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这充分显示了数学方法的奇异美。也使我们充分认识到数学的奥秘，促使我们从多角度思考解决问题，不断的创新以满足数学科学的发展。
1.2国内外研究现状
由于对圆周率的认识过程在一定程度上反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面，因此圆周率的相关问题一直受到古今中外众多学者的关注，如263年刘徽在注释《九章算术》时求得了π的近似值，南北朝时代祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值。15世纪初卡西在求得圆周率17位精确小数值，打破祖冲之保持近千年的记录。此后，在数学家的探索下，到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值，成为人工计算圆周率值的最高记录。随着计算机的发展，数学算法的不断创新，π的计算更加精确。进入新世纪以来，国内许多学者开始借助计算机来探讨圆周率的计算[3-9]，他们设计了许多的算法，取得了很好的结果，例如利用 Excel软件产生随机数来模拟撒芝麻的试验来估计圆周率的值；利用Mathematica 软件，借助随机数的思想，利用蒙特卡洛法研究圆周率的近似值等。
1.3本文的研究方法和主要解决问题
本课题将首先通过查阅文献法研究圆周率的发展历程，首先了解一下什么是圆周率和圆周率计算经历的四个时期：经验型获得时期、几何推算时期、解析计算时期和计算机运算时期。通过这些历史漫谈古今中外圆周率的计算史。接着，借助借助Mathematica 和Matlab软件，利用数学实验的方法研究利用计算机求解圆周率π的算法，主要研究三种算法：数值积分法、泰勒级数法和蒙特卡罗法。针对每一种算法，我们利用Mathematica软件编程给出每一种算法的计算结果和误差，利用Matlab软件对所得数据进行了绘图分析，并对三种算法的优缺点进行比较、讨论，最后运用归纳总结法，阐述从计算圆周率的过程中得到的启示。
2 圆周率简介和圆周率计算的四个时期
2.1圆周率的简史及其重要性
所谓圆周率, 通俗地说, 就是圆的周长与直径之比, 它是一个常数。 这个数不仅是无理数, 而且是超越数[3]。 在距今天4000年前的巴比伦王国它已被发现, 当时认为圆周率的值是3或81
3。 大约2600年前,就提出“化圆为方”问题即“作与圆相等面积
的正方形”，此问题成为世界三大难题之一。公元前3世纪，古希腊数学、物理学家阿基米德（Archimdes,B.C.287-B.C.212）提出“将圆的半径作为高，将圆周的长度作为底边的三角形的面积就等于圆的面积”，通过这种方法得到圆面积的计算公式为2r π。 作为圆周率的符号，目前全世界都在使用π。π的语源是希腊语περι?ερεια的第一个字母。计算圆周率π的方法虽然很多，但归纳起来主要有4种：割圆术（又称为古典算法）、分析法、“沙-波法”、椭圆积分法。这里只重点列举几位很有影响的数学家的结果。
利用割圆术阿基米德科学而准确地首次确定
7
2271
223<
<π,取两位实用值为3.14或
7
22,在理论上指出了利用割圆术可以求得任意准确度的π值,第一次在科学中提出误差
估计及其精确度和如何确定的问题。中国南北朝时期南朝的科学家、数学家祖冲之(429—500)算出的密率为
113
335,精确度是6位小数,化为循环小数时实际上循环节达到
112位。祖冲之的密率不但当时最准,而且领先了世界1000多年。335/113便于记忆,将最小的奇数1,3,5各重复一次后“平均”斩为两段,再让大的“住楼上”小的“住楼下”即可。有趣的是,它的分子和分母,都可以用完全平方数简单地表示出来:
2
2
2
2
2
8
71597113
335+++=
。更有趣的是7,8,9是连续的自然数,而且1587=+。
分析法算π主要是将π展开为无穷幂级数来求π值,在分析法算π的大军中有著名的数学家莱布尼茨、牛顿、欧拉等。“沙—波法”即相关二次算法,其代表人物是欧仁·沙拉明(EugeneSalamin)和理查德·波伦特(Richard Brent )。椭圆积分法是建立在椭圆积分变换的理论上,其代表人物是印度传奇的数学家拉马努金(1887-1920)。
“人工”算π经历了三个世纪,最高记录是由美国数学家列维·史密斯(LeviSmith )和雷恩奇在1949年6月算出的1121位π值。自从1946年有了第一台电子计算机，数学家们便开始了用各种公式借助电子计算机算π的历程。据统计到2002年12月,利用计算机已算出12411亿位π值。 1995年,美国的达维德·贝利和加拿大的彼德·波尔文、西蒙·普洛菲(Simon Plouffe )
发表了一个以三人的姓氏命名的算法,简称BBP 公式[4]
:
??
? ??+-+-+-+??? ??=
∑∞
=68158148218416
10
i i i i i i
π 它打破了传统的算π法,可以计算π的16进制数字任意第n 位而不用算前面的1-n 位。
π与“无穷”关系密切,其中π的无穷表达式主要指无限连分式(数)、无穷乘积、无穷级数、反正切式等。π与“化圆为方”、超越数、希尔伯特第7问题、近似计算、逼近理论、空隙、转圈悖论、伯努利难题、欧拉公式、黄金分割、弧度制、曲线长度、曲线图形面积、旋转体体积等有关。
对π的深入研究,扩充、发展了数系理论；对π计算的方法和思路可以引发新的概念和思想；能否计算出位数越来越多的π值,已成了许多专家用来检验计算机可靠性、精确性、运算速度及计算容量的有力方法、手段和衡量计算进展的指标；π的研究成果,在一定程度上反映出一个国家的数学水平。仅从这里就可以看出,π在自然科学中有着多么重要的地位和作用。
2.2圆周率计算的四个时期
古往今来,从没有哪一个数学常数能象圆周率那样吸引众多的学者。关于圆周率确切值的计算，几千年来它都是数学家的奋斗目标之一，一代又一代的数学家为此献出了自己的智慧和劳动，回顾圆周率计算的发展历程，大致可分为四个时期。
2.2.1无算法记录时期
该阶段的特点是,π的获得并没有理论上的根据,而是从实际经验中得到的,一般说来,精确度是不高的。
古埃及和巴比仑的π属于经验性获得阶段。在古埃及所留下的两批草纸之一的莱登草纸上有一个例子：“有一块9凯特(即直径为9)的圆形土地,其面积多大?今取其直径的九分之一,即1,则余8,作8乘以8,得64,这个大小就是面积。”[3]由此可见,他们认为圆的面积等于一个边长为此圆直径的九分之八的正方形面积,通过简单的推算,就可得出圆周长与其直径之比是
81
256,大约是3.1605。在巴比仑,他们把圆的面积取为圆周平方
的十二分之一,由此似乎可以看出,他们认为圆周是直径的三倍即π取3。但在给出正六边形及外接圆周长之比时,实际上又用了
8
25即3.125作为π的值。以上的时间大约是公
元前2000年左右。
在希腊,公元五世纪以后,希腊人为了解决 “化圆为方”问题,对计算圆面积和圆周率作出了很大努力,其中有数学家Hippocrates ，Anaxagoras ，Antiphon,Eudoxus 等人,他们的工作为阿基米德的进一步的研究开辟了道路,欧几里得的《几何原本》虽集古希腊几何之大成,但在圆周率上却无贡献。在阿基米德之前,希腊人的圆周率仍然是经验性的。
公元前416年,罗马取代希腊成为地中海一带的统治者。罗马人的数学是不值一提的。Viruvius Pollio 是罗马著名的建筑师,他应该熟知阿基米德的工作,可他却使用
125.3=π,其误差比
7
22大了十几倍,显然罗马的圆周率是经验性的。
在中国,成书大约在一世纪的《周髀算经》上记述了周公和商高的问答,在商高曰“数之法出于圆方”下,有赵爽 (公元220年)注（“周三而径一”）
。东汉科学家张衡提出
π=
而在西汉缉为定本的中国古典数学名著《九章算术》中仍沿用周三径一之说,
其精度比不上古埃及和巴比仑,这种状况一直延续到公元三世纪的魏晋时期,因为数学家刘徽的出现而得以改变。
在古印度,宗教活动中的庙宇和祭坛等的建筑设计,需要用到数学知识,在梵文经典《测绳的法规》中对此作了总结,所包含的内容可以上溯到公元前五世纪或更早的年代,
其中使用π的值往往用复杂的式子[3]
表示如:
0044.3152142
=??? ?
?
-=π
(
)
0883.3123114
2
=?
?
?
??
?-+=
π
显然,这些近似值比3强不了多少,并且也都是经验性。印度这种使用经验性π值的年代一直延续到公元六世纪数学家阿耶波多。
2.2.2几何推算时期
从几何上推算出圆周率近似值的应该首推古希腊的Archimedes (287-212 BC ),他得到的圆周率是大于223/71而小于22/7,他是用96边的圆内接正多边形和圆外切正多边形来进行推算的。下面简单地介绍Archimedes 的推算。
半径为1的圆,分别内截和外切正132n -?边形,设它们周长的一半分别为n a 和n b ，如图2-1是当2n =时的情形。当n 递
增时可以得到递增的数列12,,,,n a a a ,和递减的数列12,,,,n b b b ,此二数列有相同的极限π,显然有,
K
K a n π
tan
=，K
K b n π
sin
=和K
K a n 2tan
21π
=+，K
K b n 2sin
21π
=+
这里132n K -=?，由上式可以推导出下式[2]:
1
211+=
+n n
n
a b a （2-1）
()2
11n n n a b b ++= （2-2）
333
tan
31==π
a ，2
333
sin
31=
=π
b
由（2-1）得到2a ，再由（2-2）得到2b ，又通过（2-1）得到3a ，通过（2-2）得到3b ，如此一直得到6a 和6b 。而66a b π<<。
需要说明的是,Archimedes 并不是用我们这里的代数和三角符号而是用纯几何的方法推导的,并且也没有使用我们现在使用的小数表示(小数的正式使用是在十六、十七世纪的事),所以他从1a ,1b 出发推导出6a ，6b 是极为烦琐的,计算量是惊人的。
在公元前150年左右,希腊的天文学家Ptolemy 制作了一份弦表,以半径的
60
1作为
长度单位,每一单位分为60分,每一分又分为50秒。他算出了圆心角1度所对弦长为1单位2分50秒,于是圆内接360边形的周长与直径之比是(1360?单位2分50秒)÷120单位,即
2
8303773 3.141660
60
120
π=+
+=
=
这该是自Archimedes 以来的巨大进步。
印度在公元500—1000年间,出现了四、五个有名的数学家,印度数学由此而出现了繁荣的景象。对圆周率得出最好近似值的是阿耶波多,他所得到的近似值是3.1416,但直到十二世纪前后印度数学家始终没有使用过该值。在他的《阿耶波多书》里,他是这样说的:100加4,乘以8,再加62000,结果是直径为20000的圆周的近似值,这就导致了圆周率为 3.1416,由于书中没有一处地方提示过证明的方法,所以我们无从得知他是如何得出该结果的,但从其准确性上看,他应该是通过推算得出的。出生于1119年的巴士卡拉给圆周率提出了两个值,“当圆的直径乘以3927再除以1250时,商就接近于圆周,要么乘以22再除以7,便是大致的圆周了。”因此,我们自然会认为巴士卡拉能够推算出圆周率的值是:
3927
223.1416
3.1429
1250
7
π=<<
≈ 下面看中国,刘徽是三世纪中国著名的数学家,他是用割圆术来求圆周率的。作圆内
接正n 和2n 边形,设n L 为内接n 边形的周长，
n S 为内接n 边形的面积,S 表示圆的面积,L 表示圆的周长,圆的半径为r 。如下的式子[2]成立:
()22,n n n L r S S L L n ?÷=→→→∞
从而有2S L r =?÷
他算到192边形时得到314.1024100314.2704π<<。刘徽用
14
.350
157=表示圆周率，被
称为“徽率”。刘徽所建立的一般公式()222n n n n S S S S S <<+-可以把圆周率计算到任意的精度，它比阿基米德用内接和外切双方逼近的方法更为简洁。在刘徽之后两百年，南
北朝人祖冲之应用刘徽的割圆术，在刘徽的基础上继续推算，球出了精确的七位有效数字的圆周率的值：3.1415926 3.1415927π<<。在《中国科学技术史》中,李约瑟博士指：
“在这个时期,中国人不久赶上了希腊人,并且在公元五世纪祖冲之和他的儿子祖暅的计算中又出现了跃进,从而使他们领先了一千年。”
祖冲之所得圆周率的精度保持了记录达一千年,直到十五世纪中亚数学家al-Kashi 和十六世纪法国数学家Viete 才计算出更精确的值,前者到第十四位,后者到第九位。到欧洲文艺复兴之前,圆周率的最好结果是公元1600年V an Ceulen 所得的第35位。
2.2.3解析计算时期
欧洲的文艺复兴带来了一个崭新的数学世界π,数学公式的出现使圆周率的计算进入了一个新的阶段,最早的公式之一是数学家Willis 所得的:
2
133557224466π
?????=
?????
二最著名的公式是：
111143
5
7
π
=-
+
-
+
该公式有时被归功于Leibniz (1646-1716),但首先发现该公式的似乎应该是数学家 James Gregory (1638-1675)。
在当时这些公式是令人惊奇的,原因是等式的右边完全是算术的,而π是从几何中来的,在以前的计算中一直使用的是几何的方法。但从计算π的角度看,这些公式其实并没有太大的价值。例如,在Gregory 的公式中,要使π的准确度达到小数点后4位,要求误差小于0. 00005=1/20000,这将需要计算到级数的第10000项。但是Gregory 给出的一个一
般的公式却在计算π时非常有用,该公式[2]是：
1111
6335337333π
?
=
-+-+????????
该结果右边的级数收敛是很快的,其第10
1它小于0.00005,所以只要计
算到级数第9项,就可以得到至少小数点后4位准确值,利用下面的公式也可以计算出π的值,只需要把
2
1和
3
1分别代如前面的Gregory 的一般公式就可以了。
1
111tan
tan 423π
--????=+ ? ?????如果能够找到一个形如1111tan tan 4a b π--????
=+ ? ?????
具有较大的数
a
和b ,这样利用一般公式时就能得到较快收敛的级数,在1706年Machin 发现了一个这样的公式：
1
1
114tan
tan 45239π
--????=- ?????
??
在这里插入符号π的由来。在1647年的时
候,Oughtred 曾使用符号
π
d
来表示圆的直径与周长之比,在1697年,David Gregory 曾用
r
π
表示圆的周长与半径之比,首次用π表示现在意义的是数学家WilliamJones 在1706年
使用的,大数学家Euler 在1737年采用了该符号,接着它便很快成为了标准的符号。
由于计算公式己经有了,除了需要耐心外,π的计算已经没有什么困难了,而追求更高精度的计算其实没有什么太大的意义了。但还是有一些人花费了巨大的时间和精力用于对π的计算。一个相当典型的例子就是英国人Shanks ,他用二十多年的时间算出了小数点后707位,其结果于1837年发表,遗憾的是1945年,Ferguson 发现只有前572位是正确的。
在Shanks 的结果发表之后不久,中国著名的科学家、数学家李善兰在用尖锥术求圆面积时得到了如下式子: 1
1
11131
442
324
5246
7π???
=-?+
?+
?+ ??????
这也是中国在这一时期圆周率计算的代表之一。
在Shanks 己知道π是一个无理数。因为早在1761年数学家Lambert 就己证明该结果。在Shanks 计算π之后不久,Lindemann 证明了π是一个超越数,这就意味着π不可能是任何整系数多项式方程的解,这也说明了所谓的“化圆为方”是不可能。
通过纸笔计算去追求圆周率的更高精度,既没意义,也需要太多的精力,并且所得精度也是有限度的,表2-1给出了此时期几个有名的成果[5],Shanks 的527的精度保持了很长时间的世界记录,一直到现代计算机的运用。
表2-1 解析法计算圆周率的成果
年代 计算人 国籍 位数 1665 I.Newton 英国 16 1699 A.Sharp 英国 72 1706 J.Machin 英国 100 1719 T.de Lagny 法国 127 1794 G .V ega 奥地利 140 1844 J.Dase 德国 205 1873 W.Shanks 英国 527 1946 D.Ferguson 英国 620 1948
J.Wrench
美国
808
2.2.4计算机运算时期
前面长达3000多年的时代,数学家们都是用手计算π值,有的甚至花毕生的精力来做这些繁杂的计算工作,多少代数学家的努力,在1948年两个美国人将记录推至小数点后808位,这是人工手算圆周率的新的记录。但是,随着1945年第一台电子计算机问世后,π值的计算不断迈入新的阶段,记录不时被刷新,1949年,三位美国科学家利用计算机将圆周率算至小数点后2037位,前后花去70个小时的上机时间（见表2-2）。随着数学的发展,数学家们在进行数学研究时有意无意的发现了许多计算圆周率的公式,运用数学分析和计算机技术使得π值越来越精确,2002年12月日本东京大学的金田康正教授宣布,耗费601小时56分更新了圆周率计算位数的全球记录,最新的为12411亿位。
在使用计算机计算的时代,圆周率的计算公式和计算方法也不断更新,其中基于1914年印度数学家拉玛奴扬(Ramanujan,S.1887-1920年)的文章 “模方程和π的逼近”中提出的当时计算π值最快的公式,建立了椭圆积分变换理论上的计算方法在日本由金田教授和日立共同开发的名为分解有理数化法(DRM 法)的计算方法。
表2-2 借助计算机计算圆周率部分结果
年代所用计算机计算者国籍计算位数
1949 ENIAC 美国2035
1955 NORC 美国3089
1957 PEGASUS 英国7480
1958 IBM704 法国10000
1959 IBM704 法国16167
1959 IBM7090 英国20000
1961 IBM7090 美国100265
1966 IBM7030 法国250000
1967 CDC6600 法国500000
1986 CLAY-2 美国29360000
1987 SX-2 日本133326000
1988 HIT ACS-820/80 日本201326000 事实上,我们在实际运算中往往只取π的前几位数就可以了,但是人们为什么仍然
对π的精确推算乐此不疲呢?德国的一位数学家曾经说过：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度,可以作为衡量这个国家当时数学发展的一个标志。”纵观π的计算发展史,可见此话确有一番道理.在计算机技术高度发达的今天,计算π值又被认为对测试计算机的性能具有科学价值,如上述提到的日立公司认为通过计算圆周率,可以进一步提高编译器、数值计算和节点间通信的程序库、磁记录设备的输入输出性能调节以及长时间高速稳定运行技术。
3借助计算机求解圆周率的方法
在1000多年前祖冲之就把圆周率精确的计算到小数点后六位。作为一个现代的大学生，我们所知道的数学知识比祖冲之所知多得多，并且有高性能的计算机作为辅助工具,所以我们有理由相信自己一定能够找到求圆周率精度更高的方法。下面我们来介绍一下三种计算圆周率的数学实验方法。
3.1数值积分法
3.1.1 算法原理
半径为1的圆称为单位圆，它的面积等于π。只要算出单位圆的面积，就算出了π。 以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G 是一个
扇形，由曲线[])0,1y x =∈及两条坐
标轴围成，它的面积4
S π
=
。算出了S 的近似值，
它的4倍就是π的近似值。
怎样计算扇形G 的面积S 的近似值？如
图3-1，作平行于y 轴的直线将x 轴上的区间[0,1]（也就是扇形在x 轴上的半径）分成n 等份（图3–1中21=n ）相应地将扇形G 分成n 个同样宽度
n
1的部分k
G （n k ≤≤1）。每部分k G 是一个曲边梯形：
它的左方、右方的边界是相互平行的直线段，类似于梯形的两底；上方边界为一段曲线，因此称为曲边梯形。如果n 很大，每个曲边梯形k G 的上边界可以近似的看成直线段，从而将k G 近似的看成一个梯形来计算它的面积k S ：梯形的高（也就是它的宽度）n
h 1=，
两条底边的长分别是2
111?
?
?
??--=
-n k y k 和2
1?
?
? ??-=
n k y k ，于是这个梯形面积
()n
y y T k
k k 1
2
11
+=
-可以作为曲边梯形面积k S 的近似值。所有这些梯形面积的和T 就可
以作为扇形面积S 的近似值：
110
121
4
12k n k n
n n S S S S T T T y y y y y n
π
-==++++≈+++++?
?=++++? ??
?
n 越大，计算出来的梯形面积之和T 就越接近扇形面积S ，而4T 就越接近π的准确值。
图3-1中的扇形面积S 实际上就是定积分4
1102π
=-?dx x 。与π有关的定积分很多，比
如211x +的定积分411102π=+?dx x
就比2
1x -的定积分更容易计算，更适合于用来计算π。
一般的，要计算定积分()dx
x f S b
a
?=
，也就是计算曲线()x f y =与直线
b
x a x y ===,,0所围成的曲边梯形G 的面积S 。为此，用一组平行于y 轴的直线
()b x x x x x a n i x x n n i =<<<<<=-≤≤=-1210,11 将曲边梯形T 分成n
个小曲边梯形，
总面积S 分成这些小曲边梯形的面积之和，如果取n 很大，使每个小曲边梯形的宽度都很小，可以将它上方的边界()()i i x x x x f ≤≤-1近似的看作直线段，将每个小曲边梯形近似的当作梯形来求面积，就得到梯形公式。如果更准确些，将每个小曲边梯形的上边界近似的看作抛物线段，就得到辛普森公式，具体公式如下：
梯形公式：设分点11,-n x x 将积分区间[]b a ,分成n 等份，即()n
a b i a x i -+
=，
n i ≤≤0。所有的曲边梯形的宽度都是n
a b h -=
。记()i i x f y =则第i 个曲边梯形的面积i
S 近似的等于梯形面积
().
2
11
h y y i i +-将所有这些梯形面积加起来就得到：
0121()2
n
n y y b a S y y y n
-+-≈
++++
这就是梯形公式[3]。 辛普森公式：仍用分点()n
a b i a x i -+
=，11-≤≤n i 将区间[]b a ,分成n 等份，直线
()11-≤≤=n i x x i 将曲边梯形分成
n 个小曲边梯形，在作每个小区间[]i i x x ,1-的中点
.212
1n a b i a x
i -??
? ??
-+=-
将第
i 个小曲边梯形的上边界()()i i x x x x f y ≤≤=-1近似的看作经
过三点()()????
?
?
=-
-i
i i x x x x x f x ,,21,1的抛物线段，则可求得 ,46211???
? ??
++-≈
--i i i i y y y n a b S
其中.21
2
1???
?
??=-
-
i i x f y
于是得到 ().42621232
11210???
?
???
?
???? ??
++++
+++++-≈-
-n n n y y y y y y y y n a b S 这就是辛普森公式[5]。
3.1.2 计算结果及误差分析
我们利用Mathematica 软件,用梯形公式和Simpson 公式计算12
41dx
x
π=+?
。可以
完成相应的程序编写。详细的计算程序见附录1，计算结果见表3-1
表3-1 利用数值积分法计算圆周率结果及误差
梯形公式 3.1415924869231264 3.1415926119231266 3.141592635071275 误差 -1.66667×10-7 -4.16667×10-8 -1.85185×10-8 Simpson 公式
3.1415926535897905 3.1415926535897887 3.141592653589798 误差 -2.66454×10-15
-4.44089×10-15
4.88498×10-15
4000
5000
6000
梯形公式 3.1415926431731265 3.1415926469231263 3.1415926489601635 误差 -1.04167×10-8 -6.66667×10-9 -4.62963×10-9 Simpson 公式
3.1415926535898056 3.1415926535897905 3.1415926535897927 误差
1.24345×10-14
-2.66454×10-15
-4.44089×10-16
为方便观察，利用Matlab 软件根据表3-1中的数据进行绘图（程序见附录3-2），可得图像3-2至图3-5.通过观察发现，Simpson 公式的计算结果要明显优于梯形公式，观察图3-2和图3-3.可以看到利用梯形公式计算时，当迭代次数达到5000以上时，计算结果的精度可达到7位数，而图像3-4和3-5显示，利用Simpson 公式计算时，当迭代次数达到5000时，计算结果的精度可达到11位数。
3.2泰勒级数法
3.2.1 算法原理
利用反正切函数的泰勒级数
()
+--+-+
-
=--1
215
3
arctan 1
21
5
3
k x
x
x
x x k k （3-1）
将1=x 代入(3-1)式得到：
().1
2115
13111arctan 4
1
--+-+-≈=-n n π
（3-2） 即 1
1114(1(1)
)35
21
n n π-≈-
+-+-- 。n
越大越精确。利用Mathematica 软件编程（程
序见附录3-3）计算发现花费的时间很长，所得到的结果的准确度却很差。分析其原因
是由于当1=x 时得到的1arctan 的展开式(3-2)收敛得太慢。
为使泰勒级数（3-1）收敛得快，应当使x 的绝对值小于1，最好是远比1小，这样，随着指数的增加，x 的幂快速接近于0，泰勒级数就会快速收敛。比如，取2
1=
x 得到的
2
1arctan
就收敛的快。例如：
()1
21
3
211211213121
21
tan --?
?
? ??--++??? ??-≈n n n ara 中取6312=-n 得到的2
1arctan
的近似值
的误差就小于
65
2
1，准确度已经非常非常高。
令2
1arctan =α，α
π
β-=
4
，则
.312
11121
1tan 4tan 1tan 4tan
4tan tan =?
+-
=
+-=??? ??-=απαπ
απβ 因此,31arctan =β即3
1
arctan 21arctan 4=-π，从而得到
.3
1
arctan 21arctan 4+=π (3-3)
31arctan 比21arctan 收敛的更快。利用泰勒级数计算出21arctan 与3
1
arctan 的近似值再
相加，然后再乘以4，就得到π的近似值。
还可以考虑用5
1arctan
=α来计算π。由5
1tan =
α易算出
.
239
1arctan
4
4.239111912011
119120
4tan 4tan 14tan
4tan 44tan ,
119
1204tan ,12
52tan =-
=+-=+-=??? ??-=
=
π
απαπαπααα
从而得到
239
1arctan
45
1arctan
16-=π （3-4）
利用x arctan 的泰勒展开式求出239
1arctan
,51arctan 的近似值，再代入公式（3-4）就
可以求出π的近似值。
3.2.2 计算结果及误差分析
我们利用Mathematica 软件,可以完成相应的程序编写（见附录3-3）。计算结果如
下表3-2和表3-3：
表3-2 利用泰勒级数法计算圆周率结果及误差(4(arctan(1/2)+arctan(1/3))
展开项数 1
2
3
计算结果 3.333333333 3.117283951 3.145576132 误差
0.191740680 -0.024308703 0.003983478 展开项数 4
5
6
计算结果 3.140850562 3.141741197 3.141561588 误差 -0.000742092 0.000148544 -0.000031066 展开项数 7
8
9
计算结果 3.141599341 3.141591184 3.141592981 误差
6.687×10-6
-1.469×10-6
3.28×10-7
表3-3利用泰勒级数法计算圆周率结果及误差(16arctan(1/5)-4arctan(1/239))
展开项数 1
2
3
误差 0.029630368 -0.013035802 -0.012011802 展开项数 4
5
6
计算结果 3.129551594 3.129552504 3.129552475 误差 -0.012041059 -0.012040149 -0.012040179 展开项数 7
8
9
计算结果 3.129552476 3.129552476 3.129552476 误差
-0.012040178
-0.012040178
-0.012040178
利用Matlab 软件根据表3-2和3-3中的数据进行绘图（程序见附录3-4），可得图
3-6、3-7、3-8和3-9。观察发现利用公式
.3
1arctan
2
1arctan
4
+=π
计算圆周率的收敛速
度很快，并且当开展项数为8项时，计算精度可达7位数，精度较高。
关于圆周率的计算 祖冲之在数学方面的突出贡献是关于圆周率的计算，确定了相当精确的圆周率值。中国古代最初采用的圆周率是“周三径一”，也就是说，π＝3。这个数值与当时文化发达的其他国家所用的圆周率相同。但这个数值非常粗疏，用它计算会造成很大的误差。随着生产和科学的发展，π＝3 就越来越不能满足精确计算的要求。因此，中外数学家都开始探索圆周率的算法和推求比较精确的圆周率值。在中国，据公元一世纪初制造的新莽嘉量斛（亦称律嘉量斛，王莽铜斛，是一种圆柱形标准量器，现存）推算，它所取的圆周率是3.1547 。二世纪初，东汉天文学家张衡在《灵宪》中取用π＝≈3.1466，又在球体积计算中取用π≈3.1622。三国时东吴天文学家王蕃在浑仪论说中取用π≈3.1556。以上这些圆周率近似值，比起古率“周三径一”，精确度有所提高，其中π＝ 10还是世界上最早的记录。但这些数值大多是经验结果，并没有可靠的理论依据。 在这方面最先取得突破性进展的是魏晋之际的数学家刘徽，他在《九章算术注》中创立了“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法。他所得到的圆周率值π＝3.14 与π＝＝3.1416，都很精确，在当时世界上是很先进的，至今仍在经常使用。继刘徽之后，祖冲之则将圆周率推算到更加精确的程度。据《隋书·律历志》记载，祖冲之确定了π的不足近似值 3.1415926 和过剩近似值 3.1415927，π的真值在这两个近似值之间，即 3.1415926＜π＜3.1415927 精确到小数 7 位。这是当时世界上最先进的数学成果，直到约一千年后，才为 15 世纪中亚数学家阿尔·卡西（Al—? kash1）和16世纪法国数学家韦达（F.Vièta，1540—1603）所超过。 关于他得到这两个数值的方法，史无明载，一般认为是基于刘徽割圆术。通过现代计算验证，如果按照割圆术计算，要得到小数 7 位准确的圆周率值，必须求出圆内接正12288 边形的边长和 24576边形的面积，这样，就要对9位数进行上百次加减乘除和开方运算，还要选择适当的有效数字，保证准确的误差范围。对于用算筹计算的古代数学家来说，这绝不是一件轻而易举的事情，只有掌握纯熟的理论和技巧，并具备踏踏实实和一丝不苟的研究精神，才能取得这样的杰出成就。祖冲之的这项记录在中国也保持了一千多年。 中国古代数学家和天文学家还往往用分数表示常量的近似值。为此，祖冲之确定了π的两个分数形式的近似值：约率π＝22/7≈3.14 ，密率π＝355/113 ≈3.1415929。这两个数值都是π的渐近分数。刘宋天文学家何承天及古希腊阿基米德等都已用到过。密率355/113 是π的分母小于10000的最佳近似分数，则为祖冲之首创。关于密率355/113是如何得到的，今人有“调日法”术，连分数法，解同余式或不定方程，割圆术等种种推测，迄今尚无定论。在欧洲，π＝ 355/113 是16世纪由德国数学家奥托（V.Otto，1550（？）—1605）和荷兰工程师安托尼兹（A.Anthonisz，1527—1607）分别得到，后通称“安托尼兹率”，但这已是祖冲之以后一千多年的事情了。自从我国古代灿烂的科学文化逐渐得到世界公认以来，一些学者就建议把π＝ 355 称为“祖率”，以纪念祖冲之的杰出贡献。 关于球的体积公式及其证明： 祖冲之的另一项重要数学成就是关于球的体积公式及其证明。各种几何体的体积计算是古代几何学中的基本内容。《九章算术》商功章已经正确地解决了
常用数学公式大全 1、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 小学数学图形计算公式 1、正方形C周长S面积a边长周长＝边长×4C=4a面积=边长×边长S=a×a 2、正方体V:体积a:棱长表面积=棱长×棱长×6S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3、长方形 C周长S面积a边长 周长=(长+宽)×2C=2(a+b) 面积=长×宽S=ab 4、长方体 V:体积s:面积a:长b:宽h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高V=abh 5三角形s面积a底h高 面积=底×高÷2s=ah÷2 三角形高=面积×2÷底 三角形底=面积×2÷高 6平行四边形 s面积a底h高 面积=底×高s=ah 7梯形 s面积a上底b下底h高 面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)×h÷2 8圆形 S面积C周长∏d=直径r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9圆柱体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高 （4）体积＝侧面积÷2×半径 10圆锥体 v:体积h:高s;底面积r:底面半径 体积=底面积×高÷3 总数÷总份数＝平均数
圆周率计算公式Revised on November 25, 2020
12 π= 22 π= 32 π= 42 π= 52 π= 62 π= 72 π= 82 π= 92 π= 102 π=314 112 π= 122 π= 132 π= 142 π= 152 π= 162 π= 172 π= 182 π= 192 π= 202 π=1256 212 π= 222 π= 232 π= 242 π= 252 π= 262 π= 272 π= 282 π= 292 π= 302 π=2826 312 π= 322 π= 332 π= 342 π= 352 π= 362 π= 372 π= 382 π= 392 π= 402 π=5024 412 π= 422 π= 432 π= 442 π=
452 π= 462 π= 472 π= 482 π= 492 π= 502 π=7850 512 π= 522 π= 532 π= 542 π= 552 π= 562 π= 572 π= 582 π= 592 π= 602 π=11304 612 π= 622 π= 632 π= 642 π= 652 π= 662 π= 672 π= 682 π= 692 π= 702 π=15386 712 π= 722 π= 732 π= 742 π= 752 π= 762 π= 772 π= 782 π= 792 π= 802 π= 812 π= 822 π= 832 π= 842 π= 852 π= 862 π= 872 π= 882 π=
892 π= 902 π=25434 912 π= 922 π= 932 π= 942 π= 952 π= 962 π= 972 π= 982 π= 992 π= 1002 π=31400 12~1002 12=1 22=4 32=9 42=16 52=25 62=36 72=49 82=64 92=81 102=100 112=121 122=144 132=169 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 202=400 212=441 222=484 232=529 242=576 252=625 262=676 272=729 282=784 292=841 302=900 312=961 322=1024 332=1089 342=1156 352=1225 362=1296 372=1396 382=1444 392=1521 402=1600 412=1681 422=1764 432=1849 442=1936 452=2025
圆周率的计算方法 古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外，还有很多其他公式和由这些经典公式衍生出来的公式，就不一一列举了。 ?Machin公式 这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 Machin.c 源程序 还有很多类似于Machin公式的反正切公式。在所有这些公式中，Machin公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，Machin 公式就力不从心了。下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT(Fast Fourier Transform)算法。FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O(n2)缩短为O(nlog(n))。 关于FFT算法的具体实现和源程序，请参考Xavier Gourdon的主页 ?Ramanujan公式 1914年，印度数学家Srinivasa Ramanujan在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式，这是其中之一。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
圆周率π的计算历程及意义 李毫伟 数学科学学院数学与应用数学学号:080412047 指导老师:王众杰 摘要: 圆周率π这个数,从有文字记载的历史开始,就引起了人们的兴趣.作为一个非常重要的常数,圆周率π最早是出于解决有关圆的计算问题.仅凭这一点,求出它的尽量准确的近似值,就是一个极其迫切的问题了.几千年来作为数学家们的奋斗目标,古今中外的数学家为此献出了自己的智慧和劳动.回顾历史,人类对π的认识过程,反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面.π的研究在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平. 关键词: 圆周率; 几何法; 分析法; 程序 1、实验时期 通过实验对π值进行估算,这是计算π的第一个阶段.这种对π值的估算基本上都是以观察或实验为根据,是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出来 π=这个数据,最早见于有文字记载的基督教《圣经》的.在古代,实际上长期使用3 中的章节,其上取圆周率π为3.这一段描述的事大约发生在公元前950年前后.其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值.在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传.我国第一部《周髀算经》中,就记载有“圆周三径一”这一结论.在我国,木工师傅有两句从古流传下来的口诀:叫做:“周三径一,方五斜七,”意思是说,直径为1的圆,周长大约是3,边长为5的正方形,对角线之长约为7,这正反应了人们早期对π和2这两个无理数的粗略估计.东汉时期,官方还明文规定圆周率取3为计算圆的面积的标准,后人称之为古率. 早期的人们还使用了其它的粗糙方法.如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上,以数粒数与方形对比的方法取得数值.或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此,得到圆周率π的稍好些的值.如古埃及人应用了约四千年的()≈2984 3.1605.在印度,公元前六世纪,曾取π≈10≈3.162.在我国东、西汉之
怎样计算 姓名： 学号 班级：数学与应用数学4班
实验报告 实验目的：自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值，并学会计算的近似值的方法。 实验环境：Mathematica软件 实验基本理论和方法： 方法一：数值积分法（单位圆的面积是，只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值） 其具体内容是：以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系，则单位圆在第一象限内的部分G是一个扇形， 由曲线（）及坐标轴围成，它的面积是，算出了S的近似值，它的4倍就是的近似值。而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图
图一 扇形G中，作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0，1]（也就是扇形在x轴上的半径）分成n等份（n=20），相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分（）。每部分是一个曲边梯形：它的左方、右方的边界是相互平行的直线段，类似于梯形的两底；上方边界是一段曲线，因此称为曲边梯形。如果n很大，每个曲边梯形的上边界可以近似的看成直线段，从而将近似的看成一个梯形来计算它的面积；梯形的高（也就是它的宽度）h=1/n，两条底边的长分别是和，于是这个梯形面积可以作为曲边梯形面积的近似值。所有这些梯形面积的和T就可以作为扇形面积S的近似值： n越大，计算出来的梯形面积之和T就越接近扇形面积S，而4T就越接近的准确值。 方法二：泰勒级数法 其具体内容是：利用反正切函数的泰勒级数 计算。 方法三：蒙特卡罗法
其具体内容是：单位正方形的面积=1，只要能够求出扇形G 的面积S在正方形的面积中所占的比例，就能立即得到S，从而得到的值。而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值，方法是在正方形中随机地投入很多点，使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投的点的总数n的比可以作为k的近似值。能够产生在区间[0，1]内均匀分布的随机数，在Mathematica中语句是 Random[ ] 产生两个这样的随机数x，y，则以（x，y）为坐标的点就是单位正方形内的一点P，它落在正方形内每一个位置的机会均等。P落在扇形内的充分必要条件是。这样利用随机数来解决数学问题的方法叫蒙特卡罗法。 实验内容、步骤及其结果分析： 问题1：在方法一中，取n=1000，通过计算图一中扇形面积计算的的近似值。 分析：图一中的扇形面积S实际上就是定积分。 与有关的定积分很多，比如的定积分
圆周率的来源和2000位 “圆周率”即圆的周长与其直径之间的比率。关于它的计算问题，历 来是中外数学家极感兴趣、孜孜以求的问题。德国的一位数学家曾经说过：“历史上一个国家所算得的圆周率的准确程度，可以作为衡量这个国家当时数学发展的一个标志。”我国古代在圆周率的计算方面长期领先于世界水平，这应当归功于魏晋时期数学家刘徽所创立的新方法一一“割圆术”。 所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。 中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即）的数值来进行有关圆的计算。但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证, 从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。 在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，
做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。如此不断地分割下去，一直到圆周无法再分割为止，也就是到了圆内接正多边形的边数无限多的时候，它的周长就与圆周“合体”而完全一致了。 按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072 边形，并由此而求得了圆周率为3.14和3.1416这两个近似数值。这个结果是当时世界上圆周率计算的最精确的数据。刘徽对自己创造的这个“割圆术”新方法非常自信，把它推广到有关圆形计算的各个方面，从而使汉代以来的数学发展大大向前推进了一步。 以后到了南北朝时期，祖冲之在刘徽的这一基础上继续努力，终于求得了圆周率：精确到了小数点以后的第七位。在西方，这个成绩是由法国数学家韦达于1593年取得的，比祖冲之要晚了一千一百多年。祖冲之还求得了圆周率的两个分数值，一个是“约率”22/7 ,另一个 是“密率” 355/113 ,其中355/113 这个值，在西方是由德国的奥托和荷兰的安东尼兹在16世纪末才得到的，都比祖冲之晚了一千一一百年。刘徽所创立的“割圆术”新方法对中国古代数学发展的重大贡献，历史是永远不会忘记的。 答应了大宝，教她点东西，才知道自己才疏学浅，不知道教她什么。偶尔看到巧计圆周率，就截图下来和她一起背，呵呵还真的有效，花三
圆周率计算公式 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
12 π= 22 π= 32 π= 42 π= 52 π= 62 π= 72 π= 82 π= 92 π= 102 π=314 112 π= 122 π= 132 π= 142 π= 152 π= 162 π= 172 π= 182 π= 192 π= 202 π=1256 212 π= 222 π= 232 π= 242 π= 252 π= 262 π= 272 π= 282 π= 292 π= 302 π=2826 312 π= 322 π= 332 π= 342 π= 352 π= 362 π= 372 π= 382 π= 392 π= 402 π=5024 412 π= 422 π= 432 π= 442 π=
452 π= 462 π= 472 π= 482 π= 492 π= 502 π=7850 512 π= 522 π= 532 π= 542 π= 552 π= 562 π= 572 π= 582 π= 592 π= 602 π=11304 612 π= 622 π= 632 π= 642 π= 652 π= 662 π= 672 π= 682 π= 692 π= 702 π=15386 712 π= 722 π= 732 π= 742 π= 752 π= 762 π= 772 π= 782 π= 792 π= 802 π= 812 π= 822 π= 832 π= 842 π= 852 π= 862 π= 872 π= 882 π=
12π=3.14 22π=12.56 32π=28.26 42π=50.24 52π=78.5 62π=113.04 72π=153.86 82π=200.96 92π=254.34 102π=314 112π=379.94 122π=452.16 132π=530.66 142π=615.44 152π=706.5 162π=803.84 172π=907.46 182π=1017.36 192π=1133.54 202π=1256 212π=1384.74 222π=1519.76 232π=1661.06 242π=1808.64 252π=1962.5 262π=2122.64 272π=2289.06 282π=2416.76 292π=2640.74 302π=2826 312π=3017.54 322π=3215.36 332π=3419.46 342π=3629.84 352π=3846.5 362π=4069.44 372π=4298.66 382π=4534.16 392π=4775.94 402π=5024 412π=5278.34 422π=5538.96
432π=5805.86 442π=6079.04 452π=6358.5 462π=6644.24 472π=6936.26 482π=7234.56 492π=7593.14 502π=7850 512π=8167.14 522π=8490.56 532π=8820.26 542π=9456.24 552π=9498.5 562π=9847.04 572π=10201.86 582π=10562.96 592π=10930.34 602π=11304 612π=11683.94 622π=12070.16 632π=12462.66 642π=12861.44 652π=13266.5 662π=13677.84 672π=14095.46 682π=14519.36 692π=14949.54 702π=15386 712π=15828.74 722π=16277.76 732π=16733.06 742π=17194.64 752π=17662.5 762π=18136.64 772π=18617.06 782π=19103.76 792π=19596.74 802π=200.96 812π=20601.54 822π=21113.36 832π=21631.46 842π=22155.84 852π=22686.5 862π=23223.44
历史上一些圆周率计算方法 从古至今，计算圆周率一直挑战着人类的探索能力极限，人们为此提出了效率越来越高的计算方法。可是，你知道多少圆周率的另类计算法呢？今天我们就来和大家分享一下，历史上出现的几个最奇怪的圆周率计算法。 功亏一篑的人肉计算记录 电脑计算圆周率屡破记录，但新时代对机器的信任和依赖使得人们已经主动放弃了自己手动演算的能力。为了打破手算圆周率的记录，让人们重新拾回对自己演算能力的信心，澳大利亚一个 16 岁的小伙子决定人肉计算圆周率的前 100 位。他挑选了圆周率的一个广义连分数公式，准备了 2000 张草稿纸，并精心地规划了一番。从此开始，他总是把这厚厚的一叠草稿纸带在身边。不管是在家还是在学校，他都端坐在草稿纸面前，不停地挥动着手中的笔。他很快成为了学校的一道风景线——无视上下课铃声，雷打不动地做着枯燥的加法和除法。 2 年后的某堂历史课上，就在他书写最后一个除法竖式时，悲剧发生了：新来的代课老师发现他有小动作，点名叫他起来回答问题。当他无视老师继续埋头苦算时，不明真相的代课老师一怒之下抢过草稿纸，并撕成了无数碎片。 最辗转的计算方法 在一本统计学读物中，为了告诉读者在日常生活中数字无处不在，作者统计出了自家厕所的卷筒纸平均每多少天换一次，乘以平均每天的大便次数，乘以平均每次大便需要扯下来的卫生纸张数，乘以每一截卫生纸的长度，乘以把一长截卫生纸对折 10 次的厚度，除以 1024 ，除以自动切割机从卷筒纸最外层切到最里层（厚度为 R-r ）的时间，除以切完整个卷筒纸（剩余的 R+r ）还需要的时间，除以切割机移动的速度，得出了圆周率近似值。 作者顺便指出，若读者愿意，还可以在末尾乘以平均每个男人拥有的 jj 根数。 用生命换来的圆周率 这个多少有些标题党了，但实际情况就是如此——这个 3.14 真的是由无数人的鲜血换来的。 2003 年，美国纽约警方搜集了 30 年来发生在斑马线上的车祸，从里面抽取了所有身高在 5 英尺 6 英寸到 8 英寸之间（大概从 1.68 米到 1.73 米）的遇难行人，统计了他们的尸体与斑马线相交的概率，并应用Buffon 投针实验理论得到了圆周率的近似值。纽约警方还专门发表了文章，称由此他们得出，行人被撞事故是完全随机的，一切都是遵循大自然的规律的。文章末尾请求出行人看开一些，生命在规律面前弱不禁风，该发生的总会发生。 凶案现场也有圆周率
圆周率π的计算方法 圆周率的计算方法 古人计算圆周率，一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。Archimedes用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度；刘徽用正3072边形得到5位精度；Ludolph Van Ceulen 用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大，速度慢，吃力不讨好。随着数学的发展，数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。 1、 Machin公式 这个公式由英国天文学教授John Machin于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。Machin公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 用马青公式计算Pi至小数点后100位程序 program Pi_Value; {$APPTYPE CONSOLE} //将Pi计算精确小数点后100位 //Machin公式
//Pi=16arctan(1/5)-4arctan(1/239) uses SysUtils; const N=100; S=2*N+50; aNum=5; bNum=239; type Num=array [1..S] of byte; //初始化数组 procedure AZero(var arr:Num); var i:smallint; begin for i:=1 to S do arr:=0; end; //除法 procedure Division(var arr:Num;const b:smallint); var c,y,i:smallint; begin c:=0; for i:=1 to S do begin y:=arr+c*10; c:=y mod b; arr:=y div b; end; end; //加法 procedure Addition(var arr:Num;const b:Num); var i,y,c:smallint; begin c:=0; for i:=S downto 1 do
圆锥体计算方法 圆锥体的体积=底面积×高×1/3(圆锥的体积是等底等高圆柱体的三分之一)=1/3πr2h 圆柱体的表面积=高×底面周长+底面积×2 即S圆柱体=(π×d×h)+(π×r2×2) 圆锥的体积 一个圆锥所占空间的大小，叫做这个圆锥的体积. 根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr2h)，得出圆锥体积公式： V=1/3Sh(V=1/3SH) S是底面积，h是高，r是底面半径。 圆锥的表面积 一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积. S=πl2×(n/360)+πr2或(α*l^2)/2+πr2(此α为角度制)或πr(l+r)(L表示圆锥的母线) 圆锥的计算公式 圆锥的侧面积=母线的平方×π×360百分之扇形的度数 圆锥的侧面积=1/2×母线长×底面周长 圆锥的侧面积=π×底面圆的半径×母线 圆锥的侧面积=高的平方*3.14*百分之扇形的度数 圆锥的表面积=底面积+侧面积S=πr2+πrl (注l=母线) 圆锥的体积=1/3底面积×高或1/3πr2h 圆锥的母线：圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离。 圆锥的其它概念 圆锥的高： 圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的距离叫做圆锥的高圆锥只有一条高。 圆锥的侧面积： 将圆锥的侧面积不成曲线的展开，是一个扇形 圆锥的母线： 圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离。一般用字母L表示。 知识总结：一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。 要知道了锥度的计算公式,你的问题就都可以解决了. 公式是C=（D-d)/L C表示锥度比D 表示大端直径d表示小端直径L表示锥的长度①已知锥度比C，小头直径d，总长L，则
大头直径D=C*L+d ②已知大头直径D，锥度比C，总长L，则小头直径d=D-C*L ③已知大头直径D，小头直径d，锥度比C，则总长L=(D-d)/C ④已知大头直径D，小头直径d，总长L，则锥度比C=（D-d)/L 各种管材理论重量计算公式、钢材理论重量计算公式1、角钢：每米重量=0.00785×（边宽+边宽—边厚）×边厚 2、管材：每米重量=0.02466×壁厚×（外径—壁厚） 3、圆钢：每m重量=0.00617×直径×直径(螺纹钢和圆钢相同） 4、方钢：每m重量=0.00786×边宽×边宽 5、六角钢：每m重量=0.0068×对边直径×对边直径 6、八角钢：每m重量=0.0065×直径×直径 7、等边角钢：每m重量=边宽×边厚×0.015 8、扁钢：每m重量=0.00785×厚度×宽度 9、无缝钢管：每m重量=0.02466×壁厚×(外径-壁厚) 10、电焊钢：每m重量=无缝钢管 11、钢板：每㎡重量=7.85×厚度 12、黄铜管：每米重量=0.02670×壁厚×（外径-壁厚） 13、紫铜管：每米重量=0.02796×壁厚×（外径-壁厚) 14、铝花纹板：每平方米重量=2.96×厚度 15、有色金属密度：紫铜板8.9 黄铜板8.5 锌板7.2 铅板11.37 16、有色金属板材的计算公式为：每平方米重量=密度×厚度 17、方管: 每米重量=(边长+边长)×2×厚×0.00785 18、不等边角钢：每米重量=0.00785×边厚(长边宽+短边宽--边厚) 19、工字钢：每米重量=0.00785×腰厚[高+f（腿宽-腰厚）] 20、槽钢：每米重量=0.00785×腰厚[高+e（腿宽-腰厚）]
怎样计算 姓名: 学号 班级:数学与应用数学4班 实验报告 实验目的:自己尝试利用Mathematica软件计算的近似值,并学会计算的近似值的方法。 实验环境:Mathematica软件 实验基本理论与方法: 方法一:数值积分法(单位圆的面积就是,只要计算出单位圆的面积也就计算出了的值) 其具体内容就是:以单位圆的圆心为原点建立直角坐标系,则单位圆在第一象限内的部分G就是一个扇 形, 由曲线()及坐标轴围成,它的面积就是,算出了S的近似值,它的4倍就就是的近似值。而怎样计算扇形G的面积S的近似值呢?如图
图一 扇形G中,作平行于y轴的直线将x轴上的区间[0,1](也就就是扇形在x轴上的半径)分成n等份(n=20),相应的将扇形G分成n个同样宽度1/n的部分()。每部分就是一个曲边梯形:它的左方、右方的边界就是相互平行的直线段,类似于梯形的两底;上方边界就是一段曲线,因此称为曲边梯形。如果n很大,每个曲边梯形的上边界可以近似的瞧成直线段,从而将近似的瞧成一个梯形来计算它的面积;梯形的高(也就就是它的宽度)h=1/n,两条底边的长分别就 是与,于就是这个梯形面积 可以作为曲边梯形面积的近似值。所有这些梯形面积的与T就可以作为扇形面积S的近似值: n越大,计算出来的梯形面积之与T就越接近扇形面积S,而4T就越接近的准确值。 方法二:泰勒级数法
其具体内容就是:利用反正切函数的泰勒级数 计算。 方法三:蒙特卡罗法 其具体内容就是:单位正方形的面积=1,只要能够求出扇形G 的面积S在正方形的面积中所占的比例,就能立即得到S,从而得到的值。而求扇形面积在正方形面积中所占的比例k的值,方法就是在正方形中随机地投入很多点,使所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等,瞧其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点的个数m与所投的点的总数n的比可以作为k 的近似值。能够产生在区间[0,1]内均匀分布的随机数,在Mathematica 中语句就是 Random[ ] 产生两个这样的随机数x,y,则以(x,y)为坐标的点就就是单位正方形内的一点P,它落在正方形内每一个位置的机会均等。P落在扇形内的充分必要条件就是。这样利用随机数来解决数学问题的方法叫蒙特卡罗法。 实验内容、步骤及其结果分析: 问题1:在方法一中,取n=1000,通过计算图一中扇形面积计算的 的近似值。
圆周率的几种计算方法 姓名李至佳 学号 06205013 专业基础数学 摘要：本文简要的介绍了圆周率的起源及其计算方法，正是圆周率这个数的特殊性，致使从古到今许多数学家为之奉献毕生的经历来研究的精确值。因此，用什么样的方法计算使其值更加精确，这是一个很值得研究的问题。 关键词：圆周率，计算方法，正多边形，连分数 一、很早以前就有了 从人类祖先的祖先诞生在这个地球上算起，经历了几千万年的时间。我们看见的太阳几乎总是圆的，而月亮由于地球的遮挡，有圆有缺。 椭圆、抛物线，双曲线等都是很晚才发现的曲线。地球诞生之前,太阳就是圆形的。月亮大概是和地球同时诞生的. 在使用工具和火不久,人类对太阳和月亮，或者对动物和鱼类的眼睛是圆的,也就是说对圆这种形状一定感到很奇妙。远古，数刚诞生时，肯定只在1和许多个之间有区别。而且，很早以前，就只考虑1和2这两个数。以后因为1个人有2只脚和2只手，2个人就有4只脚和4只手，1头家畜有4只脚，2头家畜有8只脚，等等。不久，就知道了比例的概念。 到了这个阶段人们自然关顾圆周的长度与圆的直径之间一定的比例常数。尽管圆有大有小，但对一个圆来说，其周长与直径之间的比例常数就是圆周率 二、的几种计算方法 有一个关于圆周率的歌谣，盛行于古代："山巅一寺一壶酒，尔乐苦煞吾，把酒吃，酒杀尔，杀不死，乐而乐。" 圆周率是圆的周长与直径之比，表示的是一个常数，符号是希腊字母。人们为了计算圆周率，公元前便开始对它进行计算。魏晋时期刘徽曾于公元263年用割圆术的方法求到3.14，这被称为"徽率"。 在公元460年，祖冲之应用了刘徽的割圆术（也就是下面提到的正多边形的方法），算得圆周率为3.1415926。祖冲之所求的值，保持了1000多年的世界纪录。 1596年，荷兰数学家鲁道夫经过长期的努力和探索，把值推算到15位小数，打破了祖冲之长达1000多年的纪录，后来他本人又把这个数推进到35位。 18世纪初，圆周率达到72位。19世纪时，圆周率又求到140位、200位、500位。1873年，威廉欣克用了几十年时间，将π值算到707位。 到了1946年，世界上第一台电子计算机(ENIAC)问世美国，有人在计算机上用了70个小时，算出圆周率达到2035位。1955年达到10 017位，1962年达到10万位。1973年达到100万位，1981年日本数学家把它推算到200万位。1990年美国数学家继续新的计算，将值推到新的顶点4.8亿位。 经过长时间艰苦的计算，值只是个近似值，这是一个永不循环的数学计算，也是数学史上的马拉松。 下面介绍几种计算的方法： （一）公元前利用正多边形计算 公元前1650年，埃及人著的兰德纸草书中提出＝（4/3） 3=3.1604。但是对的第一次科学的尝试应归功于阿基米德。阿基米德计算值是采用内接和外切正多边形的方法。数学上一般把它称为计算机的古典方法。
《C程序设计》 课程设计报告（2015 —2016 学年第2学期） 题目：计算圆周率П 学院：电气与电子工程学院 班级：电气1309 学号：1304080053 姓名：余康 指导教师：罗涛华老师 时间：起2015.4.27 止2015.4.30
一、课程设计基本信息 课程代码：05190124 课程名称：计算机基础课程设计 课程英文名称: Computer-based Course Design 课程所属单位（院（系）、教研室）：数学与计算机学院计算机基础课程群 课程面向专业：食品科学与工程学院、机械工程学院、电气与电子工程学院、土建学院、动物科学与营养工程学院、化学与环境工程学院、工商管理类、国际经济与贸易、旅游管理、金融学、行政管理、汉语言文学、英语、护理学、康复治疗专业、生物科学类、制药工程、制药工程(生物制药)、药物制剂、物流管理 课程类型：必修课 先修课程：大学计算机基础通识选修课程、程序设计课程 学分：1 总学时：1周 二、课程设计目标 掌握所学语言程序设计的方法，熟悉所学语言的开发环境及调试过程，熟悉所学语言中的数据类型，数据结构、语句结构、运算方法，巩固和加深对理论课中知识的理解，提高学生对所学知识的综合运用能力。通过综合设计要求达到下列基本技能：1．培养查阅参考资料、手册的自学能力，通过独立思考深入钻研问题，学会自己分析、解决问题。 2．通过对所选题目方案分析比较，确立方案，编制与调试程序，初步掌握程序设计的方法，能熟练调试程序。 3．系统设计编程简练，可用，功能全面，并有一定的容错能力。用户界面良好，有较好的输出功能。在完成课题基本要求后，具有创新型设计，具有一定的实用价值。 4．根据个人的设计调试过程，撰写设计报告。 三、课程设计内容 熟练掌握所学语言的基本知识：数据类型（整形、实型、字符型、指针、数组、结构等）；运算类型（算术运算、逻辑运算、自增自减运算、赋值运算等）；程序结构（顺序结构、判断选择结构、循环结构）；大程序的功能分解方法（即函数的使用）等。进一步掌握各种函数的应用，包括时间函数、绘图函数，以及文件的读写操作等。 四、课程设计要求 1.要求每个同学都要认真对待，积极参与。 2.课程设计结束时，提交完成的所有源程序、相关文件和可执行文件。同时填写并 完成《课程设计报告册》。 3.不符合要求的程序、设计报告、抄袭的设计报告或源程序代码、在设计中完全未 参与的将作不及格处理。 五、考核方式 指导老师负责验收程序的运行结果，并结合学生的工作态度、实际动手能力、创新精神
圆周率π的计算及简单应用 一、π的来历 π即圆周率，定义为：圆的周长与直径之比，是一个常数。通常用希腊字母π来表示。英国人琼斯在1706年首次创用π代表圆周率。但是，他的符号并未立刻被采用，后来，欧拉予以提倡，才渐渐被推广开来。此后π才成为圆周率的专用符号。π的历史是饶有趣味的。对π的研究程度，在一定程度上反映一个地区和时代的数学水平，。 实际上，在古代长期使用π＝３这个数值，古巴比伦、古印度、古中国都是如此。直到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。后来东汉的数学家又将π值改为约为3.16。然而直正使圆周率的计算建立在科学的基础上，应归功于阿基米德。他用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于22/7而大于223/71，为此专门写了一篇论文《圆的度量》，同时这也是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。但是第一次用正确方法计算π值的，是中国魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法即穷竭法，算得π值约为 3.14。在我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，也将圆周率称为徽率。 公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把π值算到小点后第七位即3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。同时，祖冲之还找到了两个分数，分别是22/7和355/113。用
分数来代替π，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。 由中国南朝数学家祖冲之计算出的圆周率，保持了一千多年的世界记录。直到在1596年，才由荷兰数学家卢道夫打破了。他把π值推到小数点后第15位小数，后来又推到了第35位。人们在他1610年去世后，为了纪念他的这项成就，为此在他的墓碑上刻上： 3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为"卢道夫数"。 之后，随着数学的发展，尤其是微积分的发现，西方数学家计算π的工作，有了飞速的进展。1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出了808位小数的π值。π的人工计算时代随着电子计算机的问世而宣告结束。在20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的π，在70年代又突破这个记录，算到了150万位。到90年代初，用新的计算方法，算到的π值已到4.8亿位。至2010年最新记录是2000万亿。π的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着算法和技术的革新。 二、π的定义 圆周率（Pi）是圆周长与直径的比值，一般用希腊字母π表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。π也等于圆形之面积与半径平方之比。因此，π是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学里，π可以严格地定义为满足0 x的 sin= 最小正实数x。
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int main(intargc, char *argv[]) { cout<< "正在计算 . . . (0%)"; intlpi[N+1],lls[N+1],lsl[N+1],lp[N+1]; int *pi=lpi,*ls=lls,*sl=lsl,*p=lp; for (int i=0;i<=N;i++)*(pi+i)=*(ls+i)=*(sl+i)=*(p+i)=0; memset(pi,0,sizeof(pi)); memset(ls,0,sizeof(ls)); memset(sl,0,sizeof(sl)); memset(p,0,sizeof(p)); *pi=*ls=*sl=1; for (int i=1;true;i++) { mult(ls,i,sl); divi(sl,2*i+1,ls); incr(pi,ls,p); if (eqs(pi,p)) { cout<< "\b\b\b\b100%)\n"; break; } int *t; t=p; p=pi; pi=t; //if (i%1000==0) cout<< i << " "; if(i%1000 == 0) { /*cout<< i/1000 << "% "; if(i%5000 == 0) cout<
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