√2
2
． 二、填空题（每小题5分，共4小题）
设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=6，S 15=15，则公差d =________． 【答案】
?52
【考点】
等差数列的性质 【解析】
利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出． 【解答】
∵a6=6，S15=15，
∴a1+5d=6，15a1+15×14
2
d=15，
∴d=?5
2
．
已知双曲线C:x2
a2?y2
b2
=1(a>0,b>0)的焦距为4，且过点(2,?3)，则它的渐近线方程
为________．【答案】
y=±√3x
【考点】
双曲线的离心率【解析】
根据双曲线的焦距为4，得a2+b2＝4；再由点(2,?3)在双曲线上得4
a2?9
b2
=1，联解得
a2＝1、b2＝3，由此即可得到b
a
=√3，得出双曲线的渐近线方程．【解答】
∵双曲线C:x2
a ?y2
b
=1(a>0,b>0)的焦距为4，
∴c＝2，得c2＝a2+b2＝4…①∵点(2,?3)在双曲线上，
∴4
a2?9
b2
=1?②
联解①②，得a2＝1，b2＝3
∴a＝1且b=√3，得b
a
=√3，
所以的渐近线方程为y＝±b
a
x，即y=±√3x
给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区
域不同色．若有4种颜色可供选择，则共有________种不同的染色方案．
【答案】
96
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，最少需要3种颜色，即AF同色，BD同色，CE同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色全部用上，即AF，BD，CE三组中有一组不同色，同样利用排列组
合知识求解该种染法的方法种数，最后利用分类加法求和．
【解答】
要完成给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是
仅用三种颜色染色，
即AF同色，BD同色，CE同色，则从四种颜色中取三种颜色有C43=4种取法，三种颜
色染三个区域有A33=6种染法，共4×6＝24种染法；
第二类是用四种颜色染色，即AF，BD，CE中有一组不同色，则有3种方案（AF不同
色或BD不同色或CE不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有A42=12种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有3×12×2＝72种染法．
∴由分类加法原理得总的染色种数为24+72＝96种．
已知抛物线y2＝2px(p>0)，F为其焦点，l为其准线，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，A′，B′分别为A，B在l上的射线，M为A′B′的中点，给出下列命题：
①A′F⊥B′F；
②AM⊥BM；
③A′F?//?BM；
④A′F与AM的交点在y轴上；
⑤AB′与A′B交于原点．
其中真命题的是________．
【答案】
①②③④⑤
【考点】
抛物线的性质
【解析】
①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A′F＝AF，B′F＝BF，从而由相等的角，由此可判断A′F⊥B′F；
②取AB中点C，利用中位线即抛物线的定义可得CM=1
2(AF+BF)=1
2
AB，从而
AM⊥BM；
③由②知，AM平分∠A′AF，从而可得A′F⊥AM，根据AM⊥BM，利用垂直于同一直线的两条直线平行，可得结论；
④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可得结论；
⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB′A′为矩形，则可得结论．
【解答】
①由于A，B在抛物线上，根据抛物线的定义可知A′A＝AF，B′B＝BF，因为A′、B′分别为A、B在l上的射影，所以A′F⊥B′F；
②取AB中点C，则CM=1
2(AF+BF)=1
2
AB，∴AM⊥BM；
③由②知，AM平分∠A′AF，∴A′F⊥AM，∵AM⊥BM，∴A′F?//?BM；
④取AB⊥x轴，则四边形AFMA′为矩形，则可知A′F与AM的交点在y轴上；
⑤取AB⊥x轴，则四边形ABB′A′为矩形，则可知AB′与A′B交于原点
三、解答题（共70分）
在直三棱柱ABC?A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，BB1＝2．
（1）求异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的正切值；
（2）求直线B 1C 与平面A 1BC 所成角的余弦值． 【答案】
以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系， B 1(0,?0,?2)，C 1(0,?1,?2)，A 1(1,?0,?2)，C(0,?1,?0)， B 1C 1→=(0,?1,?0)，A 1C →
=(?1,?1,??2)， 设异面直线B 1C 1与A 1C 所成角为θ， 则cos θ=
|B 1C 1→
?A 1C →
|
|B 1C 1→|?|A 1C →|=
√6
，∴ tan θ=√5．
∴ 异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的正切值为√5． B 1C →
=(0,?1,??2)，BC →
=(0,?1,?0)，BA 1→
=(1,?0,?2)， 设平面A 1BC 的法向量n →
=(x,?y,?z)，
则{n →
?BC →
=y =0
n →?BA 1→=x +2z =0
，取z ＝1，得n →=(?2,?0,?1)， 设直线B 1C 与平面A 1BC 所成角为α， 则sin α=
|B 1C →
?n →
|
|B 1C →|?|n →|
=
√5?√
5
=2
5， cos α=√1?(2
5
)2=
√215
． ∴ 直线B 1C 与平面A 1BC 所成角的余弦值为
√21
5
．
【考点】
直线与平面所成的角 异面直线及其所成的角 【解析】
（1）以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量
法能求出异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的正切值．
（2）求出平面A 1BC 的法向量，利用向量法能求出直线B 1C 与平面A 1BC 所成角的余弦值． 【解答】
以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系， B 1(0,?0,?2)，C 1(0,?1,?2)，A 1(1,?0,?2)，C(0,?1,?0)， B 1C 1→=(0,?1,?0)，A 1C →
=(?1,?1,??2)， 设异面直线B 1C 1与A 1C 所成角为θ， 则cos θ=
|B 1C 1→
?A 1C →
|
|B 1C 1→|?|A 1C →|=
√6
，∴ tan θ=√5．
∴ 异面直线B 1C 1与A 1C 所成角的正切值为√5． B 1C →
=(0,?1,??2)，BC →
=(0,?1,?0)，BA 1→
=(1,?0,?2)， 设平面A 1BC 的法向量n →
=(x,?y,?z)，
则{n →
?BC →
=y =0
n →?BA 1→=x +2z =0
，取z ＝1，得n →=(?2,?0,?1)， 设直线B 1C 与平面A 1BC 所成角为α， 则sin α=
|B 1C →
?n →
|
|B 1C →|?|n →|
=
√5?√5
=2
5
，
cos α=√1?(2
5
)2=
√21
5
． ∴ 直线B 1C 与平面A 1BC 所成角的余弦值为
√21
5
．
人们常说的“幸福感指数”就是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,?10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．为了解某地区居民的幸福感情况，随机对该地区的男、女居民各500人进行了调查，调查数据如表所示：
（1）在图中绘出频率分布直方图，并估算该地区居民幸福感指数的平均值；
（2）若居民幸福感指数不小于6，则认为其幸福．为了进一步了解居民的幸福满意度，调查组又在该地区随机抽取4对夫妻进行调查，用X表示他们之中幸福夫妻（夫妻二人
都感到幸福）的对数，求X的分布列及期望（以样本的频率作为总体的概率）．
【答案】
频率分布直方图如右图．
所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3
+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9＝6.46，
男居民幸福的概率为：125+125
500
＝0.5．
=0.6，
女居民幸福的概率为：175+125
500
故一对夫妻都幸福的概率为：
0.5×0.6＝0.3，
因此X的可能取值为0，1，2，3，4，
且X～B(4,?0.3)
于是P(X＝k)=C4k3k(1?0.3)4?k(k＝0,?1,?2,?3,?4)，
X的分布列为
p0.24010.41160.26460.07560.0081
∴E(X)＝np＝4×0.3＝1.2．
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
（1）由调查数据能作出频率分布直方图，并能求出该地区居民幸福感指数的平均值．（2）由已知条件得到X的可能取值为0，1，2，3，4，且X～B(4,?0.3)，由此能求出X
的分布列和期望．
【解答】
频率分布直方图如右图．
所求的平均值为0.01×2×1+0.015×2×3
+0.2×2×5+0.15×2×7+0.125×2×9＝6.46，
男居民幸福的概率为：125+125
500
＝0.5．
女居民幸福的概率为：175+125
500
=0.6，
故一对夫妻都幸福的概率为：
0.5×0.6＝0.3，
因此X的可能取值为0，1，2，3，4，
且X～B(4,?0.3)
于是P(X＝k)=C4k3k(1?0.3)4?k(k＝0,?1,?2,?3,?4)，
X的分布列为
p0.24010.41160.26460.07560.0081∴E(X)＝np＝4×0.3＝1.2．
已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，S n+1＝3S n+2，n∈N?．
（1）证明：数列{S n+1}为等比数列；
（2）已知曲线?n:x2+(19?a n)y2＝1，若?n为椭圆，求n的值；
（3）若b n＝(a n
2)×log
3
(3a n
2
)，求数列{b n}的前n项和T n．
【答案】
证明：∵S n+1＝3S n+2，∴S n+1+1＝3S n+3＝3(S n+1)，又S1+1＝a1+1＝3，
∴{S n+1}是以3为首项，以3为公比的等比数列．
由（1）可知S n+1＝3n，即S n＝3n?1，
当n≥2时，a n＝S n?S n?1＝3n?3n?1＝2?3n?1．
显然当n＝1时，上式也成立，
故a n＝2?3n?1．
∵曲线?n:x2+(19?a n)y2＝1表示椭圆，
∴19?a n>0且19?a n≠1．
∴{2?3n?1<19
2?3n?1≠18
，又n∈N×，故n＝1或n＝2．
b n＝3n?1?log
33n＝n?3n?1．
∴T n＝1?30+2?3+3?32+4?33+...+n?3n?1，①
两边同乘3可得：3T n＝1?3+2?32+3?33+4?34+...+n?3n，②
①-②可得：?2T n＝1+3+32+33+...+3n?1?n?3n=1?3n
1?3?n?3n＝(1
2
?n)?3n?
12
，
∴ T n =
2n?14
?3n +1
4．
【考点】 数列的求和
数列与解析几何的综合 【解析】
（1）对已知条件S n+1＝3S n +2两边加1即可得出结论；
（2）由（1）得出S n 的表达式，再求出a n 的通项公式，根据椭圆方程得出19?a n 的范围，从而得出n 的值；
（3）化简b n ，利用错位相减法求和． 【解答】
证明：∵ S n+1＝3S n +2，∴ S n+1+1＝3S n +3＝3(S n +1)， 又S 1+1＝a 1+1＝3，
∴ {S n +1}是以3为首项，以3为公比的等比数列． 由（1）可知S n +1＝3n ，即S n ＝3n ?1，
当n ≥2时，a n ＝S n ?S n?1＝3n ?3n?1＝2?3n?1． 显然当n ＝1时，上式也成立， 故a n ＝2?3n?1．
∵ 曲线?n :x 2+(19?a n )y 2＝1表示椭圆， ∴ 19?a n >0且19?a n ≠1．
∴ {2?3n?1
<192?3n?1≠18
，又n ∈N ×，故n ＝1或n ＝2．
b n ＝3n?1?log 33n ＝n ?3n?1．
∴ T n ＝1?30+2?3+3?32+4?33+...+n ?3n?1，①
两边同乘3可得：3T n ＝1?3+2?32+3?33+4?34+...+n ?3n ，② ①-②可得：?2T n ＝1+3+32
+33
+...+3
n?1
?n ?3n
=
1?3n 1?3
?n ?3n ＝(1
2?n)?3n ?
12
，
∴ T n =2n?14
?3n +1
4
．
已知椭圆方程为x 26+
y 23
=1．
（1）设椭圆的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上运动，求|PF 1|?|PF 2|+PF →
1?PF 2→
的值．
（2）设直线l 和圆x 2+y 2＝2相切，和椭圆交于两点，O 为原点，线段OA ，OB 分别和圆x 2+y 2＝2交于两点，设△AOB ，△COD 的面积分别为S 1，S 2，求S
1S 2
的取值范围．
【答案】
由已知，F 1(?√3,?0)，F 2(√3,0)，设P(x,?y)， 由焦半径公式可得|PF 1|?|PF 2|=(√6+
√22x)(√6?√22
x)=6?1
2x 2，
PF 1→
?PF 2→
=(?√3?x,?y)?(√3?x,?y)=x 2+y 2?3． 结合
x 26+
y 23
=1，得y 2=3?1
2
x 2，
故|PF 1|?|PF 2|+PF →
1?PF 2→
=6?1
2x 2+1
2x 2=6；
当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =±√2，
由对称性，不妨设x =√2，此时A(√2,√2)，B(√2,?√2)，C(1,?1)，D(1,??1)， 故S 1S 2
=2
1=2．
若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx +m ， 由已知可得
|m|√1+k 2
=√2，则m 2＝2(1+k 2)，
设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)，将直线l 与椭圆方程联立， 得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2?6＝0． x 1+x 2=?4km
2k 2+1，x 1x 2=
2m 2?62k 2+1
．
结合|OC|＝|OD|=√2及y 12=3?1
2x 12，y 22=3?1
2x 22， 可知S 1
S 2=
1
2|OA|?|OB|?sin ∠AOB 1
2
|OC|?|OD|?sin ∠COD =12|OA|?|OB|=1
2
√x 12+y 12?√x 22+y 22 =12√(3+12x 12)(3+1
2x 22)=1
2√9+3
2[(x 1+x 2)2?2x 1x 2]+1
4(x 1x 2)2． 将根与系数的关系代入整理得：
S 1S 2
=1
2
√9+
12k 2m 2?6m 2+36k 2+18+(m 2?3)2
(2k 2+1)2
，
结合m 2＝2(k 2+1)，得S
1S 2
=1
2√9+
28k 4+44k 2+7(2k 2+1)2
．
设t ＝2k 2+1≥1，u =1
t ∈(0,?1]， 则S 1S 2
=12√9+
7t 2+8t?8
t 2
=12√?8t 2+8t +16=1
2√?8u 2+8u +16∈[2,?
3√2
2
]． ∴ S
1S 2
的取值范围是[2,?
3√2
2
]．
【考点】
椭圆的离心率 【解析】
（1）由已知求得椭圆焦点坐标，设P(x,?y)，由焦半径公式及数量积公式可得|PF 1|?|PF 2|+PF →
1?PF 2→
=6?1
2x 2+1
2x 2=6；
（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =±√2，求得S 1S 2
=2
1=2．若直线l 的斜率存
在，设其方程为y ＝kx +m ，由已知可得
2
=√2，则m 2＝2(1+k 2)，
设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)，将直线l 与椭圆方程联立，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系及三角形面积公式写出S
1S 2，再由换元法结合二次函数求最值．
【解答】
由已知，F 1(?√3,?0)，F 2(√3,0)，设P(x,?y)， 由焦半径公式可得|PF 1|?|PF 2|=(√6+
√22x)(√6?√22
x)=6?12
x 2，
PF 1→
?PF 2→
=(?√3?x,?y)?(√3?x,?y)=x 2+y 2?3． 结合x 2
6+
y 23
=1，得y 2=3?1
2x 2，
故|PF 1|?|PF 2|+PF →
1?PF 2→
=6?1
2x 2+1
2x 2=6；
当直线l 的斜率不存在时，其方程为x =±√2，
由对称性，不妨设x =√2，此时A(√2,√2)，B(√2,?√2)，C(1,?1)，D(1,??1)， 故S
1S 2
=2
1=2．
若直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx +m ， 由已知可得
2
=√2，则m 2＝2(1+k 2)，
设A(x 1,?y 1)，B(x 2,?y 2)，将直线l 与椭圆方程联立， 得(2k 2+1)x 2+4kmx +2m 2?6＝0． x 1+x 2=?4km
2k 2+1，x 1x 2=
2m 2?62k 2+1
．
结合|OC|＝|OD|=√2及y 12=3?1
2x 12，y 22=3?1
2x 22， 可知S 1
S 2=
1
2|OA|?|OB|?sin ∠AOB 1
2
|OC|?|OD|?sin ∠COD =12|OA|?|OB|=1
2
√x 12+y 12?√x 22+y 22 =12√(3+12
x 12)(3+1
2
x 22)=12
√9+32
[(x 1+x 2)2?2x 1x 2]+14
(x 1x 2)2．
将根与系数的关系代入整理得：
S 1S 2
=12
√9+
12k 2m 2?6m 2+36k 2+18+(m 2?3)2
(2k 2+1)2
，
结合m 2＝2(k 2+1)，得S
1S 2
=1
2√9+
28k 4+44k 2+7(2k 2+1)2
．
设t ＝2k 2+1≥1，u =1
t ∈(0,?1]， 则S 1S 2
=12√9+
7t 2+8t?8
t 2
=12√?8t 2+8t +16=1
2√?8u 2+8u +16∈[2,?
3√2
2
]． ∴ S
1S 2
的取值范围是[2,?
3√2
2
]．
已知函数f(x)＝x3?3ax+e，g(x)＝1?ln x，其中e为自然对数的底数．
（1）讨论函数f(x)的单调性；
（2）用max{m,?n}表示m，n中较大者，记函数?(x)＝max{f(x),?g(x)}，(x>0)．若函数?(x)在(0,?+∞)上恰有2个零点，求实数a的取值范围．
【答案】
f′(x)＝3x2?3a，
当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，
当a>0时，f′(x)＝3(x+√a)(x?√a)，
当x∈(?∞,??√a)，(√a,?+∞)，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当x∈(?√a,√a)，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(0,?e)时，g(x)>0，?(x)≥g(x)>0，?(x)在(0,?e)无零点，
当x＝e时，g(e)＝0，f(e)＝e3?3ae+e，
若f(e)≤0，即a≥e 2+1
3
，则e是?(x)的一个零点，
若f(e)>0，即a3
，则e不是?(x)的零点，
当x∈(e,?+∞)时，g(x)<0，所以此时只需考虑函数f(x)的零点的情况．因为f′(x)＝3x2?3a>3e2?3a，
①当a≤e2时，f′(x)>0，f(x)在(e,?+∞)上单调递增．
所以：(ⅰ)当a≤e 2+1
3
时，f(e)≥0，f(x)在(e,?+∞)上无零点；
(ⅱ)当e2+1
3
0，所以此时f(x)在(e,?+∞)上恰有一个零点；
②当a>e2时，由（1）知，f(x)在(e,?√a)递减，(√a,?+∞)递增，
又因为f(e)＝e3?3ae+e8a2?6a2+ e＝2a2+e>0，所以此时f(x)恰有一个零点．
综上，a>e 2+1
3
．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）含参的求导判断单调性；（2）?(x)＝max{f(x),?g(x)}，(x>0)，对x∈(0,?e)，x ＝e，x∈(e,?+∞)三种情况讨论函数f(x)，与g(x)的零点问题，得出结论．
【解答】
f′(x)＝3x2?3a，
当a≤0时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，
当a >0时，f ′(x)＝3(x +√a)(x ?√a)，
当x ∈(?∞,??√a)，(√a,?+∞)，f ′(x)>0，f(x)单调递增， 当x ∈(?√a,√a)，f ′(x)<0，f(x)单调递减；
当x ∈(0,?e)时，g(x)>0，?(x)≥g(x)>0，?(x)在(0,?e)无零点， 当x ＝e 时，g(e)＝0，f(e)＝e 3?3ae +e ， 若f(e)≤0，即a ≥e 2+13
，则e 是?(x)的一个零点， 若f(e)>0，即a <
e 2+13
，则e 不是?(x)的零点，
当x ∈(e,?+∞)时，g(x)<0，所以此时只需考虑函数f(x)的零点的情况．因为f ′(x)＝3x 2?3a >3e 2?3a ，
①当a ≤e 2时，f ′(x)>0，f(x)在(e,?+∞)上单调递增． 所以：(ⅰ)当a ≤e 2+13
时，f(e)≥0，f(x)在(e,?+∞)上无零点；
(ⅱ)当
e 2+13
0，所
以此时f(x)在(e,?+∞)上恰有一个零点；
②当a >e 2时，由（1）知，f(x)在(e,?√a)递减，(√a,?+∞)递增，
又因为f(e)＝e 3?3ae +e 8a 2?6a 2+e ＝2a 2+e >0，所以此时f(x)恰有一个零点． 综上，a >
e 2+13
．
选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答，作答前填上所选的题号，如若多做，则按所做第一题计分.[参数方程与极坐标选讲]
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1:{x =2cos β
y =sin β （β为参数），将曲线C 1上所有点横坐标
缩短为原来的1
2，纵坐标不变，得到曲线C 2，过点(0,?√2)且倾斜角为α的直线l 与曲线
C 2交于A ，B 两点．
（1）求曲线C 2的参数方程和α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 【答案】
曲线C 1:{x =2cos βy =sin β （β为参数），将曲线C 1上所有点横坐标缩短为原来的1
2，纵坐标不
变，
得到曲线C 2，曲线C 2的参数方程为{x =cos β
y =sin β (β)，
当α=π
2时，l 与C 2交于两点．
当α≠π
2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx ?√2．l 与C 2交于两点当且仅当√2
√1+k 2
<
1，
解得k 1，即α∈(π4,π
2)或α∈(π2,3π
4
)．
综上，α的取值范围是(π4,
3π
4
)．
l 的参数方程为{x =t cos αy =?√2+t sin α ，(t 为参数，π4<α<3π
4)．
设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A +t B 2
，且t A ，t B ，满足t 2?
2√2t sin α+1=0．
于是t A +t B ＝2√2sin α，t P =√2sin α．又点P 的坐标(x,?y)满足{x =t P cos α
y =?√2+t P sin α ，
所以点P 的轨迹的参数方程是{
x =
√2
2sin 2αy =?√22
?
√22
cos 2α
(α为参数，π4<α<
3π4
)．
【考点】 轨迹方程
函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】
（1）利用平移变换，求解曲线C 2的参数方程，通过讨论α的值，判断过点(0,?√2)且倾斜角为α的直线l 与曲线C 2交于A ，B 两点．
（2）设出A 、B 坐标，P 的坐标，利用直线的参数方程，转化求解AB 中点P 的轨迹的参数方程即可． 【解答】
曲线C 1:{x =2cos βy =sin β （β为参数），将曲线C 1上所有点横坐标缩短为原来的1
2，纵坐标不
变，
得到曲线C 2，曲线C 2的参数方程为{x =cos β
y =sin β (β)，
当α=π
2时，l 与C 2交于两点．
当α≠π
2
时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx ?√2．l 与C 2交于两点当且仅当√2
2
<
1，
解得k 1，即α∈(π4,π
2)或α∈(π2,3π
4
)．
综上，α的取值范围是(π4,
3π
4
)．
l 的参数方程为{x =t cos αy =?√2+t sin α ，(t 为参数，π4<α<3π
4)．
设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A +t B 2
，且t A ，t B ，满足t 2?
2√2t sin α+1=0．
于是t A +t B ＝2√2sin α，t P =√2sin α．又点P 的坐标(x,?y)满足{x =t P cos α
y =?√2+t P sin α ，
所以点P 的轨迹的参数方程是{
x =
√2
2sin 2αy =?√22
?
√22
cos 2α
(α为参数，π4<α<
3π4
)．
[不等式选讲]
已知函数f(x)＝|x ?2a|+|x|，a ∈R ，
（1）若不等式f(x)≥a 2对?x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．
（2）设实数m为（1）中a的最大值，若实数x，y，z满足4x+2y+z＝2m，求(x+ y)2+y2+z2的最小值．
【答案】
因为f(x)＝|x?2a|+|x|≥|x?2a?x|＝|2a|，
因为f(x)≥a2对?x∈R恒成立，
所以|2a|≥a2，从而?2≤a≤2．
故实数a的取值范围是[?2,?2]；
由题意m＝2，故4x+2y+z＝4，
由柯西不等式知，[(x+y)2+y2+z2](42+(?2)2+12)≥[4(x+y)?2y+z]2＝(4x+2y+z)2＝16，
所以(x+y)2+y2+z2≥16
21
，
当且仅当x+y
4=y
?2
=z
1
时等号成立，
从而(x+y)2+y2+z2的最小值为16
21,x=8
7
,y=?8
21
,z=4
21
时等号成立．
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
（1）利用绝对值不等式的几何意义可求得f(x)min＝|2a|，依题意可得|2a|≥a2，解之即可求得实数a的取值范围；
（2）设利用柯西不等式即可求得(x+y)2+y2+z2的最小值．
【解答】
因为f(x)＝|x?2a|+|x|≥|x?2a?x|＝|2a|，
因为f(x)≥a2对?x∈R恒成立，
所以|2a|≥a2，从而?2≤a≤2．
故实数a的取值范围是[?2,?2]；
由题意m＝2，故4x+2y+z＝4，
由柯西不等式知，[(x+y)2+y2+z2](42+(?2)2+12)≥[4(x+y)?2y+z]2＝(4x+2y+z)2＝16，
所以(x+y)2+y2+z2≥16
21
，
当且仅当x+y
4=y
?2
=z
1
时等号成立，
从而(x+y)2+y2+z2的最小值为16
21,x=8
7
,y=?8
21
,z=4
21
时等号成立．
2020年高三数学上期末试卷(及答案)
2020年高三数学上期末试卷(及答案) 一、选择题 1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+ D ．若a b < ，则a b < 2．数列{}n a 满足() 11n n n a a n ++=-?，则数列{}n a 的前20项的和为( ) A ．100 B ．-100 C ．-110 D ．110 3．已知数列{}n a 的通项公式是2 21 sin 2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110 B ．100 C ．55 D ．0 4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则10 5 S S 等于( ) A ．－3 B ．5 C ．33 D ．－31 5．已知等比数列{}n a 的各项都是正数，且13213,,22a a a 成等差数列，则8967 a a a a +=+ A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 6．已知01x <<，01y <<，则 ()() () ()2 2 2 2 22221111x y x y x y x y +++-+-++ -+-的最小值为（ ） A ．5 B ．22 C ．10 D ．23 7．已知数列{}n a 中，( )111,21,n n n a a a n N S * +==+∈为其前n 项和，5 S 的值为（ ） A ．63 B ．61 C ．62 D ．57 8．在ABC ?中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c =，6a = ， 7 cos 8 A = ，则ABC ?的面积为（ ） A ．17 B ．3 C ．15 D ． 15 9．如图，为了测量山坡上灯塔CD 的高度，某人从高为=40h 的楼AB 的底部A 处和楼顶 B 处分别测得仰角为=60βo ，=30αo ，若山坡高为=35a ，则灯塔高度是（ ）
高三上学期期末数学试卷(理科)套真题
高三上学期期末数学试卷（理科） 一、选择题 1. 已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|1≤x≤3}，则图中阴影部分所表示的集合为（） A . [1，2） B . （1，3] C . [1，2] D . （2，3] 2. 若复数z 满足z（1+i）=﹣2i（i为虚数单位），是z 的共轭复数，则?z=（） A . B . C . 2 D . 1 3. 已知函数的最小正周期为π，将函数f（x）的图象向右平移个所得图象对应的函数为y=g（x），则关于函数为y=g（x）的性质，下列说法不正确的是（） A . g（x）为奇函数 B . 关于直线对称 C . 关于点（π，0）对称 D . 在上递增 4. 设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A . B . C . D . 5. 如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（）
A . ， B . ， C . ， D . ， 6. 《九章算术?均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，乙所得为（） A . 钱 B . 钱 C . 钱 D . 钱 7. 已知函数f（x）= ，则函数y=f （1﹣x）的大致图象是（） A . B . C . D . 8. 在投篮测试中，每人投3次，其中至少有两次投中才能通过测试．已知某同学
2020-2021高三数学上期末试题(及答案)
2020-2021高三数学上期末试题(及答案) 一、选择题 1．下列结论正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若22a b >，则a b > C ．若,0a b c ><，则a c b c +<+ D ．若a b < ，则a b < 2．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2 39522,1a a a a ?==，则1a = ( ) A ． 12 B ．2 C ．2 D ． 22 3．已知在 中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且， ， ，则 的面积等于（ ） A ． B ． C ． D ． 4．已知数列{}n a 的通项公式是2 21 sin 2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110 B ．100 C ．55 D ．0 5．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 63 3S S =， 则9 6S S =（ ） A ．2 B ． 7 3 C ．83 D ．3 6．设变量,x y 、满足约束条件236y x x y y x ≤?? +≥??≥-? ，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 7．数列{}n a 中，对于任意,m n N * ∈，恒有m n m n a a a +=+，若11 8 a = ，则7a 等于( ) A ． 7 12 B ． 7 14 C ． 74 D ． 78 8．设实数,x y 满足242210 x y x y x -≤??+≤??-≥? ，则1 y x +的最大值是（ ） A ．-1 B ． 12 C ．1 D ．32 9．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ?为锐角三角形，且满足 sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A =
高三数学上册期末试卷
高三数学上册期末试卷 一、填空题（4x12=48分） 1．若函数()2 x f x x = +的反函数是y f x =-1 ()，则f -?? ???=113________________ 2．方程2 lg x 2lg x 3=0--的解集是________ 3．在等比数列{}n a 中，4732 a a π=，则()38sin a a =___________ 4．在无穷等比数列{a n }中，n n n n T a a a a T q a ∞→++++===lim ,,2 1,1222624221则记Λ等于 ____________ 5．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点()21A ， ，()x,y B 若点B 满足OA AB ⊥u u u r u u u r ，则点B 的轨迹方程为____________ 6．在ABC ?中，43 AB B π == ，，ABC ?AC =______ 7．某班有50名学生，其中15人选修A 课程，另外15人选修B 课程，其它人不选任何课 程，从中任选两名学生，则他们选修不同课程的学生概率为_________ 8．用一张长宽分别为8cm 、4cm 的矩形硬纸板折成正四棱柱的侧面，则四棱柱的对角线长为 9．（理）若3y x π =+，则sinx ·siny 的最小值为___________ （文）sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α,β在第三象限，则cos β= 10．将正奇数按如下规律填在5列的数表中： 则xx 排在该表的第 行，第 列 （行是从上往下数，列是从左往右数） 11．已知函数b ax x a x f +++=2 )((a ，b 为实常数)，若f(x)的值域为[0，＋∞)，则常数a ，b 应满足的条件________________________________ 12．设函数()x f 的定义域是D ，a,b D ∈任意的，有()()a+b a b ,1+ab f f f ?? += ??? 且()x f 的反函数为()x H ，已知()()a ,b H H ，则()a b H +=_____________________ （用()()a ,b H H 的代数式表示）；
新高三数学下期末试卷含答案
新高三数学下期末试卷含答案 一、选择题 1．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种 C ．18种 D ．20种 2．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ） A ． B ． C ． D ． 3．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（ ） A ．只能是左端点的函数值()i f x B ．只能是右端点的函数值1()i f x + C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈1[,]i i x x +） D ．以上答案均正确 4．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺 序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 5．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin 2 2 m n n m ππ-<-，则以下判断正确的是( ) A ．m n > B ．||||m n < C ．m n < D ．m 与n 的大小关系不确定 6．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）
【常考题】高三数学上期末试卷(带答案)
【常考题】高三数学上期末试卷(带答案) 一、选择题 1．在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3 A b π ==ABC ?则a 的值为（ ） A ．2 B C ． 2 D ．1 2．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且2 39522,1a a a a ?==，则1a = ( ) A ． 12 B ．2 C D ． 2 3．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94 - B ． 94 C ． 274 D ．274 - 4．已知数列{}n a 的通项公式是2 21 sin 2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110 B ．100 C ．55 D ．0 5．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，其首项10a >，991000a a +>，991000a a ?< ，则使0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．198 B ．199 C ．200 D ．201 6．在ABC ?中，,,a b c 是角,,A B C 的对边，2a b =，3 cos 5 A =，则sin B =（ ） A ． 25 B ． 35 C ． 45 D ． 85 7．已知ABC ?的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且 2 S =，则A 等于（ ） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 2 π 8．在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()cos 4cos a B c b A =-，则 cos2A =（ ） A ．78 B ． 18 C ．78 - D ．18 - 9．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140 B ．280 C ．168 D ．56
2020-2021高三数学上期末试卷(及答案)(5)
2020-2021高三数学上期末试卷(及答案)(5) 一、选择题 1．在ABC ?中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边,若 2?a bcos C =,则此三角形一定是 ( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角 三角形 2．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ． 11 a b > B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b < 3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若63 3S S =， 则9 6S S =（ ） A ．2 B ． 73 C ．8 3 D ．3 4．在等差数列{}n a 中，若10 9 1a a <-，且它的前n 项和n S 有最大值，则使0n S >成立的正整数n 的最大值是（ ） A ．15 B ．16 C ．17 D ．14 5．已知ABC ?的三个内角、、A B C 所对的边为a b c 、、，面积为S ，且 2S =，则A 等于（ ） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 2 π 6．设,x y 满足约束条件0,20,240,x y x y x y -≥?? +-≥??--≤? 则2z x y =+的最大值为（ ） A ．2 B ．3 C ．12 D ．13 7．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，若26442,S 6a S a =-=，则5a = A ．4 B ．10 C ．16 D ．32 8．已知数列{}n a 的前n 项和2 n S n n =-，数列{}n b 满足1 sin 2 n n n b a π+=，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，则2017T =（ ） A ．2016 B ．2017 C ．2018 D ．2019 9．在ABC ?中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若2b c = ，a = 7 cos 8 A = ，则ABC ?的面积为（ ）
山东省烟台市2020届高三上学期期末考试数学试题
烟台2019-2020学年度第一学期期末学业水平诊断 高三数学 注意事项： 1.本试题满分150分,考试时间为120分钟。 2.答卷前务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上。 3.使用答题纸时，必须使用毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹淸晰。超出答题区书写 的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 一、单项选择题：本题共8小題，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合題目要求的。 1.己知集合A={X|X2-X-2≤0},B={x|y=,则A∪B= A.{x|-l≤x≤2} B. {x|0≤x≤2} C. {x|x≥-l} D. {x|x≥0} 2.“x∈R,x2-x+l>0”的否定是 A.《 B.x∈R, X2-X+1≤0 B. x∈R, x2-x+1<0 C. x∈R, x2-x+l<0 D. x∈R, x2-x+l≤0 3.若双曲线(a>0,b>0)的离心率为，则其渐近线方程为 A. 2x±3y=0 B. 3x±2y=0 C. x±2y=0 D. 2x±y=0 4.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系为 【好题】高三数学上期末试卷含答案
【好题】高三数学上期末试卷含答案 一、选择题 1．已知正数x 、y 满足1x y +=，且 22 11 x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ． 163 B ． 13 C ．2 D ．4 2．设,x y 满足约束条件330280440x y x y x y -+≥?? +-≤??+-≥? ，则3z x y =+的最大值是（ ） A ．9 B ．8 C ．3 D ．4 3．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94 - B ． 94 C ． 274 D ．274 - 4．在ABC ?中，2AC = ,BC =135ACB ∠=o ，过C 作CD AB ⊥交AB 于D ，则CD =( ) A B C D 5．设x y ，满足约束条件10102 x y x y y -+≤??+-??≤? ＞，则y x 的取值范围是（ ） A ．()[),22,-∞-+∞U B ．(]2,2- C ．(][),22,-∞-+∞U D ．[]22-, 6．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 2 2n n S T n +=，则7 7a b =（ ） A ． 41 26 B ． 2314 C ． 117 D ． 116 7．在△ABC 中，若1tan 15013 A C BC ? ===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A B C D 8．数列{}n a 中，对于任意,m n N * ∈，恒有m n m n a a a +=+，若11 8 a = ，则7a 等于( ) A ． 712 B ． 714 C ． 74 D ． 78
2020年高三数学下期末试卷(及答案)(2)
2020年高三数学下期末试卷(及答案)(2) 一、选择题 1．已知2a i b i i +=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．3 2．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB uuu v 对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i + D ．12i -+ 3． ()()3 1i 2i i --+=（ ） A ．3i + B ．3i -- C ．3i -+ D ．3i - 4．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ） A ．6 B ．8 C ．D ．5．一动圆的圆心在抛物线2 8y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ） A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0,0) 6．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =I A ．{0} B ．{1} C ．{1,2} D ．{0,1,2} 7．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．丁可以知道四人的成绩 8．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()2 2 112 a b -+-< D ．228a b +> 9．设F 为双曲线C ：22 221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径 的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为 A B C ．2 D 10．已知,a b ∈R ，函数32 ,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x
【常考题】高三数学上期末一模试卷(及答案)
【常考题】高三数学上期末一模试卷(及答案) 一、选择题 1．等差数列{}n a 中，已知70a >，390a a +<，则{}n a 的前n 项和n S 的最小值为（ ） A ．4S B ．5S C ．6S D ．7S 2．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥?? --≤??-+≥? ，则2z x y =+的最大值为( ) A ．8 B ．7 C ．2 D ．1 3．在ABC ?中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3 A b π ==ABC ?的面积为 3，则a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ． 32 D ．1 4．已知在 中，，，分别为角，，的对边，为最小角，且， ， ，则 的面积等于（ ） A ． B ． C ． D ． 5．若正项递增等比数列{}n a 满足()()()243510a a a a R λλ+-+-=∈，则89a a λ+的最小值为（ ） A ．94 - B ． 94 C ． 274 D ．274 - 6．已知数列{}n a 的通项公式是2 21 sin 2n n a n π+=（），则12310a a a a ++++=L A ．110 B ．100 C ．55 D ．0 7．已知数列{}n a 的首项110,211n n n a a a a +==++，则20a =（ ） A ．99 B ．101 C ．399 D ．401 8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1112n n a S a +＝，＝， 则n S ＝( ) A ．12n - B ．1 3 () 2 n - C ．1 2() 3 n - D ． 1 12n - 9．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 31 B ． 31 C ．3＋2 D ．32 10．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( )
2019-2020年高三上期末数学试卷及答案
2019-2020年高三上期末数学试卷及答案 本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分，共150分。考试用时120分钟。 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{3，4，5}，B ＝{1，3，6}，那么集合M ＝{2，7，8}是 A .A ∪ B B .A ∩B C .U A ∪U B D .U A ∩U B 2、在等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5等于( ) A .16 B .27 C .36 D .－27 3、设平面上有四个互异的点A 、B 、C 、D ，已知(DB →＋DC →－2DA →)·(AB → －AC →)＝0，则△ABC 的形状是 ( ) A 直角三角形 B 等腰三角形 C 等腰直角三角形 D 等边三角形 4、某班40人随即平均分为两组，两组学生一次考试的成绩如下表： 则全班的平均成绩和标准差为 ( ) A 、80，5 B 、90，5 C 、85，5 D 、85，51 5、我们知道，若点P (x 0， y 0)是抛物线y 2＝4x 上的点，则直线y 0y ＝2(x ＋x 0)与抛物线切于点P .现已知点P ((x 0， y 0)满足条件y 02＜4x 0，则直线y 0y ＝2(x ＋x 0)与抛物线的公共点的个数为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、不确定 6、若函数y ＝sinx ＋f (x )，在区间[－π4，3π 4]内单调递增，则f (x )可能是 ( ) A 、1 B 、－cosx C 、sinx D 、cosx 7、若log a 2＜log b 2＜0，则( ) A .0＜a ＜b ＜1 B .a ＞b ＞1 C .0＜b ＜a ＜1 D .b ＞a ＞1 8、已知函数f (x )是R 上增函数，且它的图象过点A (0，－2)，B (3，2)，则不等式|f (x ＋1)|≥2的解为( ) A 、(－∞，－1)∪[2，＋∞) B 、[2，＋∞) C 、(－∞，－1] D 、[3，＋∞) 9、过原点作直线xcos θ＋ysin θ＋1＝0垂线，垂足为M ，则M 点的轨迹方程是( ) A .y ＝xtan θ B .xsin θ－ycos θ＝0 C .x 2＋y 2＝1 D .x 2cos θ＋y 2sin θ＝1 10、如图，在四棱锥S —ABCD 中，为了推出AB ⊥BC ，还需从下述条件： S C D
高三期末考试数学试题及答案
2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题卷 一、填空题： 1.设集合???? ??∈==Z n n x x M ,3sin π，则满足条件M P =?? ? ???????-23,23Y 的集合P 的个数是 ___个 2. 若 cos 2π2sin 4αα=- ? ?- ? ? ?，则cos sin αα+= 3．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标满足不等式组?? ? ??≥-≤+-≤-+010220 2534x y x y x ，则POQ ∠cos 的 最小值为__________ 4.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为 10x y -+=，则直线PB 的方程是_____________________ 5.已知函数)(x f 在1=x 处的导数为1，则x f x f x 2) 1()1(lim 0-+→=___________ 6.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下 列三个函数：()1sin cos ,f x x x =+ ( )2f x x =，()3sin f x x =则___________________为“同形”函数 7.椭圆12 2 =+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜 率为 b a 则,23=________ 8.一次研究性课堂上，老师给出函数)(| |1)(R x x x x f ∈+= ，三位同学甲、乙、丙在研究此 函数时分别给出命题： 甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)； 丙：若规定| |1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意* ∈N n 恒成 立. 你认为上述三个命题中正确的个数有__________个 9.过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422 a b +的最小值为 10.若直线2y a =与函数|1|(0x y a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围 是 11.“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n ≠，使得 m n S S =，则0m n S +=。”，类比前面结论，若正项数列{}n b 为等比数列， 12. Rt △ABC 中,斜边AB=1,E 为AB 的中点,CD ⊥AB,则))((??的最大值为_________.
高三上学期期末数学试卷
高三上学期期末数学试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共12题；共24分) 1. （2分）(2019·汕头模拟) 已知集合，则（） A . B . C . D . 2. （2分） (2019高二下·平罗月考) 下列函数为同一函数的是（） A . y＝lg x2和y＝2lg x B . y＝x0和y＝1 C . y＝和y＝x＋1 D . y＝x2－2x和y＝t2－2t 3. （2分） (2019高一上·嘉兴月考) 已知函数在区间［－1,2］上的最大值为2，则的值等于（） A . 2或3 B . －1或3 C . 1 D . 3 4. （2分）已知函数f(x）的定义域为R，满足，且当时，，则
等于（） A . -0.5 B . 0.5 C . -1.5 D . 1.5 5. （2分） (2017高一下·承德期末) 直线（2a+5）x﹣y+4=0与2x+（a﹣2）y﹣1=0互相垂直，则a的值是（） A . ﹣4 B . 4 C . 3 D . ﹣3 6. （2分）已知数列中，，则此数列是（） A . 递增数列 B . 递减数列 C . 摆动数列 D . 常数列 7. （2分）(2017·赣州模拟) 在△ABC中，D、E是BC边上两点，BD、BA、BC构成以2为公比的等比数列，BD=6，∠AEB=2∠BAD，AE=9，则三角形ADE的面积为（） A . 31.2
B . 32.4 C . 33.6 D . 34.8 8. （2分） (2019高三上·吉林月考) 已知中，角的对边分别为，，， ，则外接圆的面积为（） A . B . C . D . 9. （2分）某工厂年产量第二年增长率为a，第三年增长率为b，则这两年平均增长率x满足（） A . = B . C . < D . x 10. （2分）焦点坐标是（-2，0），（2，0），且虚轴长为2的双曲线的方程是（） A . B . C . D .
新高三数学上期末试卷(及答案)
新高三数学上期末试卷(及答案) 一、选择题 1．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤?? +-≥??≤? ，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则 14 a b +的最小值为（ ） A ．3 B ． 32 C ．2 D ． 52 2．设x y ，满足约束条件10102 x y x y y -+≤??+-??≤? ＞，则y x 的取值范围是（ ） A ．()[),22,-∞-+∞U B ．(]2,2- C ．(][),22,-∞-+∞U D ．[]22-, 3．若ABC ?的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ?（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 4．在ABC V 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2 cos 22C a b a +=，则ABC V 的形状一定是( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 5．设x y ，满足约束条件70310,350x y x y x y +-?? -+??--? ， ，??…则2z x y =-的最大值为（ ）. A ．10 B ．8 C ．3 D ．2 6．在△ABC 中，若1tan 15013 A C BC ? ===，，，则△ABC 的面积S 是( ) A ． 38 - B ． 34 - C ． 38 + D 7．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33?的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ?的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中， 315N =)，则10N =（ ）
高三(上)期末数学试卷4
高三（上）期末数学试卷4（附解析） 一、填空题：（每小题5分，共70分） 1．（5分）已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k，k∈Z}，则A∩B＝．2．（5分）命题“?x＞1，x2＞1”的否定是． 3．（5分）已知实数a，b满足a+bi＝i2019（i为虚数单位），则a+b的值为．4．（5分）某地区连续5天的最低气温（单位：℃）依次为8，﹣4，﹣1，0，2，则该组数据的标准差为． 5．（5分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线﹣＝1的一条准线与两条渐近线所围成的面积为． 6．（5分）根据如图所示的伪代码，若输出的y的值为，则输入的x的值为． 7．（5分）已知O为矩形ABCD的对角线的交点，现从A，B，C，D，O这5个点中任选3个点，则这3个点不共线的概率为． 8．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ）（φ＞0，＜φ＜π）的图象如图所示，则该函数的最小正周期为．
9．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，a6+a5＝4，a4+a3﹣a2﹣a1＝1，则a1的值为． 10．（5分）已知sin（2α+β）＝p sinβ，tan（α+β）＝p tanα，其中p为正的常数，且p ≠1，则p的值为． 11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣3，0），B（﹣1，﹣2），若圆（x ﹣2）2+y2＝r2（r＞0）上有且仅有一对点M，N，使得△MAB的面积是△NAB的面积的2倍，则r的值为． 12．（5分）已知函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）＞a的解集为（a2，+∞），则实数a的所有可能值之和为． 13．（5分）在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足＝2，则?（+）＝． 14．（5分）设P（x，y）为椭圆＝1在第一象限上的点，则的最小值为 二、解答题：（本大题共6小题，共90分） 15．（14分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥PC，M是AB的中点，点D在PB上，MD∥平面PAC，平面P AB⊥平面PMC，△CPM为锐角三角形，求证： （1）D是PB的中点； （2）平面ABC⊥平面PMC．
【好题】高三数学下期末试卷(附答案)(2)
【好题】高三数学下期末试卷(附答案)(2) 一、选择题 1．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是 A ．24 B ．16 C ．8 D ．12 2．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π )+2的图象向右平移43 π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ． 23 B ．43 C ．32 D ．3 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i C ．3+i D ．-1+i 4．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．已知向量( ) 3,1a =r ，b r 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ?=r r ，则b =r （ ） A ．31,2?? ? ??? B ．13,2?? ? ??? C ．133,4?? ? ??? D ．()1,0 6．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺 序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 7．已知,a b ∈R ，函数32 ,0 ()11(1),03 2x x f x x a x ax x C ．1,0a b >-< D ．1,0a b >-> 8．函数()()2 ln 1f x x x =+-的一个零点所在的区间是( ) A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,3 D ．()3,4 9．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A ．A 与B B ．B 与C C ．A 与D D ．C 与D
北京市海淀区2021届高三上期末数学试题
2021北京海淀高三（上）期末 数 学 2020.01 本试卷共8页，150分。考试时常120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10 小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）抛物线x =2 y 的准线方程是 （A ）21- =x （B ）4 1-=x （C ）2 1 y - = （D ） 4 1y - = （2）在复平面内，复数 i i +1对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 （3）在()5 2-x 的展开式中，4x 的系数为 （A ）5 （B ）5- （C ）10 （D ）10 （4）已知直线02:=++ay x l ，点），（11A --和点）（2,2B ，若AB l //，则实数a 的值为 （A ）1 （B ）1- （C ）2 （D ）2- （5）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）12 （6）已知向量a ，b 满足1=a ，），（12-=b ，且2=-b a ，则=?b a （A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 （7）已知α，β是两个不同的平面，“αβ∥”的一个充分条件是
（A ）α内有无数直线平行于β （B ）存在平面γ，αγ⊥，βγ⊥ （C ）存在平面γ，m α γ=，n βγ=且m n ∥ （D ）存在直线l ，l α⊥，l β⊥ （8）已知函数2 ()12sin ()4 f x x π =-+ 则 （A ）()f x 是偶函数 （B ）函数()f x 的最小正周期为2π （C ）曲线()y f x =关于π 4 x =-对称 （D ）(1)(2)f f > （9）数列{}n a 的通项公式为2 3n a n n =-，n N ，前n 项和为n S ，给出 下列三个结论： ①存在正整数,()m n m n ≠，使得m n S S =； ②存在正整数,()m n m n ≠，使得m n a a += ③记，12(1,2,3,)n n T a a a =则数列{}n T 有最小项，其中所有正 确结论的序号是 （A ） （B ）③ （C ）③ （D ）②③ （10）如图所示，在圆锥内放入连个球1O ，2O ，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中粗线所示）分别为,⊙. 这两个球都与平面a 相切，切点分别为1F ，2F ，丹德林（G· Dandelin ）利用这个模型证
2021年高三上期末数学试卷及答案
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分。考试用时120分钟。 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1、已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{3，4，5}，B＝{1，3，6}，那么集合M＝{2，7，8}是 A.A∪B B.A∩B C. U A∪ U B D. U A∩ U B 2、在等比数列{a n}中，a n＞0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5等于( ) A.16 B.27 C.36 D.－27 3、设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(DB→＋DC→－2DA→)·(AB→－AC→)＝0，则△ABC的形状是( ) A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形 4、某班40人随即平均分为两组，两组学生一次考试的成绩如下表： 则全班的平均成绩和标准差为 ( ) A、80，5 B、90，5 C、85，5 D、85，51
5、我们知道，若点P (x 0， y 0)是抛物线y 2＝4x 上的点，则直线y 0y ＝2(x ＋x 0)与抛物线切于点P .现已知点P ((x 0， y 0)满足条件y 02＜4x 0，则直线y 0y ＝2(x ＋x 0)与抛物线的公共点的个数为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、不确定 6、若函数y ＝sinx ＋f (x )，在区间[－π4，3π 4]内单调递增，则f (x )可能是 ( ) A 、1 B 、－cosx C 、sinx D 、cosx 7、若log a 2＜log b 2＜0，则( ) A .0＜a ＜b ＜1 B .a ＞b ＞1 C .0＜b ＜a ＜1 D .b ＞a ＞1 8、已知函数f (x )是R 上增函数，且它的图象过点A (0，－2)，B (3，2)，则不等式|f (x ＋1)|≥2的解为( ) A 、(－∞，－1)∪[2，＋∞) B 、[2，＋∞) C 、(－∞，－1] D 、[3，＋∞) 9、过原点作直线xcos θ＋ysin θ＋1＝0垂线，垂足为M ，则M 点的轨迹方程是( ) A .y ＝xtan θ B .xsin θ－ycos θ＝0 C .x 2＋y 2＝1 D .x 2cos θ＋y 2sin θ＝1 10、如图，在四棱锥S —ABCD 中，为了推出AB ⊥BC ，还需从下述条件： ①SB ⊥面ABCD ②SC ⊥CD ③CD ∥面SAB ④BC ⊥CD 中选出部分条件来，这些条件可能是( ) A 、②③ B 、①④ C 、②④ D 、①③④ 11、函数f (x )对于任意的实数x 都有f (x )＜f (x ＋1)成立，则( ) A 、f (x )一定是定义域上的增函数 B 、f (x )一定只有单调增区间 C 、f (x )可能存在单调减区间 D 、f (x )一定不存在单调减区间 12、设命题p ：关于x 的不等式a 1x 2＋b 1x ＋c 1＞0与a 2x 2＋b 2x ＋c 2＞0的解集相同；命题q ：a 1a 2＝b 1b 2＝c 1 c 2 .那么p 是q 的( )条件。 A 、充分不必要 B 、必要不充分 C 、充要 D 、不充分也不必要 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上) 13、将一张画有直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A (0，2)与B (4，0)重合。若此时点C (7，3)与点D (m ，n )重合，则m ＋n 的值是 。 14、设f (x )＝(2x ＋5)6，则导函数f ’ (x )中的x 3的系数是 15、如图，A (1，0)，B (0，1)，C (23，4 5)，目标函数t ＝ax －y 的可行域为四边形OACB ，若当 且仅当x ＝23，y ＝4 5时目标函数t 取得最小值，则实数a 的取值范围 是 。 16、若一个四面体的三个面是直角三角形，下列三角形①直角三角形② B O S A B C D
2020年高三数学下期末试卷(及答案)
2020年高三数学下期末试卷(及答案) 一、选择题 1．若复数2 1i z =-，其中i 为虚数单位，则z = A ．1+i B ．1?i C ．?1+i D ．?1?i 2．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为（ ） A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜0 B ．不存在x ∈R ，都有x 2＜0 C ．存在x 0∈R ，使得x 02≥0 D ．存在x 0∈R ，使得x 02＜0 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i C ．3+i D ．-1+i 4．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ） A ．6 B ．8 C ．26 D ．42 5．已知a r 与b r 均为单位向量，它们的夹角为60?，那么3a b -r r 等于（ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 6．函数()ln f x x x =的大致图像为 （ ） A ． B ． C ． D ． 7．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．丁可以知道四人的成绩 8．当1a >时， 在同一坐标系中，函数x y a -=与log a y x =-的图像是（ ）
A ． B ． C ． D ． 9．2n n +>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的 距离为 3 2 c ，则双曲线的渐近线方程为（）
