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高一数学必修1各章知识点总结

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

(1)元素的确定性如：世界上最高的山

(2)元素的互异性如：由HAPPR的字母组成的集合{H,A,P,R}

(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合

总结：元素的互异性是参考点，常常在求出值的时候必须代回集合察看是否满足该集合中元素是否有重复现象，从而决定值的取舍。

元素与集合之间的关系：属于--不属于--

常有集合NZRQ加星号或者+号表示对应集合的正的集合

3.集合的表示：{…}如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：N

正整数集NR或N+整数集Z有理数集Q实数集R

1）列举法：{a,b,c……}

2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{R∈R|R-3>2},{R|R-3>2}

3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

4）Venn图:通常元素是很具体的值的时候，或者在考察抽象集合之间的关系的时候，我们常常考虑用venn图来表示。

4、集合的分类：

(1)有限集含有有限个元素的集合

(2)无限集含有无限个元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合，空集在集合这个章节中非常重要，特别是在

集合之间的关系的题中经常出现，很容易考虑掉空集。例：{R|R2=

－5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。注意：B

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A?/B或B?/A 2．“相等”关系：A=B(5≥5，且5≤5，则5=5)

实例：设A={R|R2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等”

即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或

③如果A ?B,B ?C,那么A ?C ④如果A ?B 同时B ?A 那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ

规定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集，非空真子集个数2n-1

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是（）

A 某班所有高个子的学生

B 著名的艺术家

C 一切很大的书

D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a ，b ，c}的真子集共有个

3.若集合M={R|R=R 2-2R+1,R ∈R},N={R|R ≥0}，则M 与N 的关系是 .

4.设集合A=}

{12x x <<，B=}

{

x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验

做得正确得有31人，

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .

7.已知集合A={R|R 2+2R-8=0},B={R|R 2-5R+6=0},C={R|R 2-mR+m 2-19=0},若B ∩C ≠Φ，A ∩C=Φ，求m 的值

第一节集合

一元素互异性的考察

1由实数R ，－R ，｜R ｜所组成的集合，其元素最多有______个． 2集合{3，R ，R 2－2R }中，R 应满足的条件是______．

3、已知集合S={}c b a ,,中的三个元素分别是ABC ?的三边长，那么ABC ?一定不是（） A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形

4由实数R,-R,|R|,2x ,-33x 所组成的集合，最多含有元素的个数为（） A.2B.3C.4D.5

5、设a 、b 、c 为非零实数，则R=abc abc

c c b b a a +++的所有值组成的集合为（）

A.{}4

B.{}4-

C.{}0

D.{}4,4,0-

二元素与集合之间的关系的考察

1对于集合A ＝{2，4，6}，若a ∈A ，则6－a ∈A ，那么a 的值是______

2．设A 表示集合{2，3，a 2＋2a －3}，B 表示集合{a ＋3，2}，若已知5∈A ，且5?B ，求实数a 的值．

3设a 、b ∈Z ，E ＝{(R ,R )|(R －a )2＋3b ≤6R }，点(2，1)∈E ，但(1，0)?E ，(3，2)?E 。

求a 、b 的值。

4给出下列关系：

（１）

;R =1

（３）3;N +-?

（４）.Q ∈

其中正确的个数为（）

Ａ．１个Ｂ．２个

Ｃ．３个

Ｄ．４个

5若，求实数的值。

三一元二次方程与集合

1已知集合A ＝{R ｜aR 2－3R ＋2＝0}，其中a 为常数，且a ∈R

①若A 是空集，求a 的范围；

②若A 中只有一个元素，求a 的值；

③若A 中至多只有一个元素，求a 的范围．

2已知集合A ＝{p ｜R 2＋2(p －1)R ＋1＝0，R ∈R }，求集合B ＝{R ｜R ＝2R －1，R ∈A }． 3若方程R 2＋mR ＋n ＝0(m ，n ∈R )的解集为{－2，－1}，则m ＝______，n ＝______．

4、集合{}02|2=+-m x x x 含有两个元素，则实数m 满足的条件为＿＿

5若集合A ＝{R ｜R 2＋(a －1)R ＋b ＝0}中，仅有一个元素a ，则a ＝______，b ＝______．

6设一元二次方程aR 2+bR+c=0(a<0)的根的判别式042=-=?ac b ，则不等式aR 2+bR+c ≥0的解集为（） A 、RB 、φ

C 、{a b x x 2-

≠}D 、{a

b 2-} 7、若方程8R 2+(k+1)R+k-7=0有两个负根，则k 的取值范围是

8、已知方程R 2-(k 2-9)+k 2-5k+6=0的一根小于1，另一根大于2，求实数k 的取值范围。 9已知集合A={}

.,0232R a x ax R x ∈=+-∈

1）若A 是空集，求a 的取值范围；

2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； 3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围

10若集合只有一个元素，则实数的值为

11M ={R |R 2＋2R －a =0，R ∈R}≠φ，则实数a 的取值范围是……………………………………（）

(A)a ≤－1(B )a ≤1(C )a ≥－1(D )a ≥1.

12已知集合A ={R |R 2－p R ＋15=0}，B ={R |R 2－5R ＋q =0}，如果A ∩B ={3}，那么p ＋q = .

四提示元素的考察，我们看集合的时候注意提示元素，提示元素决定了集合的元素 1用列举法把下列集合表示出来：

①A =};99

|{N N ∈-∈x

x ②B =};|99

{

N N ∈∈-x x

③C ＝{R ｜R ＝－R 2＋6，R ∈N ，R ∈N }；

④D ＝{(R ，R )｜R ＝－R 2＋6，R ∈N ，R ∈N }；

⑤E ＝?∈∈=+=*},,5,|

{N N q p q p x q

x 2A=(){}**,,4|,N y N x y x y x ∈∈=+;B=?

???∈∈+Z x Z x |16 3设集合B=?

?????∈+∈N x N x 26|

（1）试判断实数1、实数2与集合B 的关系；（2）用列举法表示集合B 。

2、方程组

﹛13

=+=-y x y x 的解集是（）

A.{}1,2-==y x

B.{}1,2-

C.(){}1,2-

D.()2,1- 3方程组

﹛

010

22=--=-+y x y x 的解集是①{

}0,1;②{}0y 1==或x ;③(){}0,1④(){}0y 1|y x ==且，x .其中正确表示的是（）

A.①②

B.①③

C.②③

D.③④

4方程R 2-5R+6=0的解集可表示为

方程组的解集可表示为???=-=+0

2313

32y x y x

5已知全集?

???∈∈-=Z a N a a M 且56|,则M=()

A 、{2，3}

B 、{1，2，3，4}

C 、{1，2，3，6}

D 、{-1，2，3，4}

五对应下列的类型题最好取对应的一系列的值

1．已知M ＝{m ｜m ＝2k ，k ∈Z }，R ＝{R ｜R ＝2k ＋1，k ∈Z }，R ＝{R ｜R ＝4k ＋1，k ∈Z }，则()

A ．R ＋R ∈M

B ．R ＋R ∈R

C ．R ＋R ∈R

D ．R ＋R ?M

2集合A={R Z k k x ∈=,2}B={Z k k x x ∈+=,12}C={Z k k x x ∈+=,14}

又,,B b A a ∈∈则有（）

A 、（a+b ）∈A

B 、(a+b)∈B

C 、(a+b)∈C

D 、(a+b)∈A 、B 、C 任一个

一、子集、真子集、非空真子集个数的考察

1集合{1，2，3}的真子集共有（） A 、5个B 、6个C 、7个D 、8个

2集合{a,b,c}的所有子集是真子集是；非空真子集是

3满足条件{1,2,3}?≠M ?≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是

（）

A 、8

B 、7

C 、6

D 、5

4若｛1，2，3｝A ?｛1，2，3，4｝，则A ＝______

二、集合与集合的关系，特殊的条件：

1设集合A={23≤≤-x x },B={R 1212+≤≤-k x k },且A ?B ，则实数k 的取值范围是。

2已知集合P M ,满足M P M = ，则一定有（） A 、P M = B 、P M ? C 、M P M = D 、P M ? 3已知A ＝｛R ｜R ＜3}，B ＝｛R ｜R ＜a }

(1)若B ?A ，则a 的取值范围是______ (2)若A B ，则a 的取值范围是______

4设A ＝｛R ｜R 2－8R ＋15＝0｝，B ＝｛R ｜aR －1＝0｝，若B ?A ，求实数a 组成的集合 5已知M={R|R 2

-2R-3=0},N={R|R 2

+aR+1=0,a ∈R},且N ?

≠M,求a 的取值范围、 6集合},02{2R x a x x x M ∈=-+=，且φM ，则实数a 的范围是（）

A 、1-≤a

B 、1≤a

C 、1-≥a

D 、1≥a

7（本小题满分12分）已知集合

，

，且

，求实数的取值范围。

8已知集合A ＝｛R ∈R ｜R 2+2aR+2a 2-4a+4＝0｝，若φA ，则实数a 的取值是

9设

，

，若

，则实数的取值范围是（）

（A ）

（B ）（C ）（D ）

10集合A ={R |R ≤1}，B ={R |R ＞a }，如果A ∩B =Φ，那么a 的取值范围是……………………（）

(A )a ＞1(B )a ≥1(C )a ＜1(D )a ≤1

三、空集

1下列四个命题：（１）空集没有了集；（２）空集是任何一个集合的真子集；（３）空集的元素个数为零；（４）任何一个集合必有两个或两个以上的子集．其中正确的有（）Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个

Ｄ．3个

2下列八个关系式①{0}=φ②φ=0③φ{φ}④φ∈{φ}⑤{0}?φ⑥0?φ

⑦φ≠{0}⑧φ≠{φ}其中正确的个数（） A 、4B 、5C 、6D 、7

3给出下列关系：（１）｛０｝是空集；

（２）,;a N a N ∈-?若则（３）集合{

}

210A x R x x =∈-+= （４）集合6B x Q

N x ??=∈∈????

其中正确的个数为（）

Ａ．１个Ｂ．２个

Ｃ．３个

Ｄ．０个

4若集合{}0|2≤=x x A ，则下列结论中正确的是（） A 、A=0B 、A ?0C 、?=A D 、A ??

5下列表示①②③

④

中,正确的个数为()

（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4 第三节集合的运算交集并集补集

方法:1集合中为不等式的时候，学会用数标轴求解 2Venn 图

一利用数标轴求解集合运算

1设全集U=R ，M={R|R .≥1}，N={R|0≤R<5},则（C U M ）∪（C U N ）为（）

A 、{R|R .≥0}

B 、{R|R<1或R ≥5}

C 、{R|R ≤1或R ≥5}

D 、{R|R 〈0或R ≥5}

2若集合}1|{},2|{-====-x y y P y y M x ，则P M 等于_____

A 、 }1|{>y y

B 、}1|{≥y y

C 、}0|{>y y

D 、}0|{≥y y

3不等式组?????<-<-0

122x x x 的解集是_____

A 、 }11|{<<-x x

B 、}30|{<

C 、}10|{<

D 、}31|{<<-x x 4已知集合M={R|R=R 2＋1，R ∈R}，N={R ∈R|R=R ＋1}，则M∩N=__________

5已知全集U={R|R 2-3R+2≥0}，A={R||R-2|>1}，B=?

???≥--021x x x

，求C U A ，C U B ，A ∩B ，A ∩（C U B ），（C U A ）∩B

设全集合

，

，求

，

7已知集合

，

，那么（）

（A

）（B

）

（C ）

（D ）

8设集合

，，则

（）

（A ）（B ）

（C ）

（D ）

9集合A ={R |R =R 2+1}，B ={R |R =R +1}，则A ∩B =………………………………………………（） (A ){(1,2),(0,1)}(B ){0,1}(C ){1,2}(D )),1[+∞ 二利用Venn 图求解

1集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（）

A 、10个

B 、8个

C 、18个

D 、15个

2调查某班50名学生，音乐爱好者40名，体育爱好者24名，则两方面都爱好的人数最

少是，最多是

3已知全集U={R |R ＜6，R ∈N R }，集合A ，B ?≠U ，

且A ∩B={2}，{4}{15}U U U A B A B ==，，痧?，那么下列结论正确的是

（A ）3∈A ，3∈B （B ）3∈B ，3?A （C ）3?A ，3?B （D ）3∈A ，3?B 4已知集合M 、P ，满足M ∪P=M ，则一定有

（A ）M=P （B ）M ?≠P （C ）M ∩P=P （D ）M ?P

5已知全集U={1，2，3，4，5}，若A ∪B=U ，A ∩B ≠?，(){1,2}U A B =e，试写出满足条件的A 、B 集合。已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1(){},8,1=?B C A U (){},6,2=?B A C U 6()(){},7,4=?B C A C U U 则集合A=

7若集合、

、，满足

，

，则

与之间的关系为（）

（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

8三个集合A 、B 、C 满足A ∩B =C ，B ∩C =A ，那么有…………………………………………（） (A )A =B =C (B )A ?B (C )A =C ，A ≠B (D )A =C ?B

三题中定义的新的集合运算

1定义A －B={R ∣R ∈A ，且R ?B}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N －M=

（A ）M （B ）N （C ）{1，4，5}（D ）{6}

2定义A －B={R|R ∈A 且R ?B},若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，

则A －（A －B ）等于（）

A 、{2，3，6}

B 、{}3,2

C 、{

}5,4,1D 、{}6 3已知非空集合M ，N ，定义M －N ={R |R ∈M ，R ?N }，那么M －（M －N ）=……………………（）

(A )M ∪N (B )M ∩N (C )M (D )N

四集合运算中的含参问题

1已知集合M ＝{R |－1＜R ＜2}，N ＝{R |R ≤a }，若M ∩N ≠?，那么实数a 的取值范围是

A{R |R ＜2} B{R |R ＞－1} C{R |－1≤R ≤1} D{R |R ≥－1}

2A ＝{R |a ≤R ≤a ＋3}，B ＝{R |R ＜－2或R ≥4}，若A ∩B ＝A ，则a 的取值范围为__________。 3关于实数R 的不等式()()2

212

1121-≤+-a a x 与R 2-3(a+1)R +2(3a+1)≤0

(a ∈R)的解集依次为A ，B 求使B A ?成立的实数a

4已知全集U=R ，集合A={}

,022=++px x x {}

,052=+-=q x x x B

{}2=?B A C U 若，试用列举法表示集合A

5（本小题满分12分）已知集合

，，

，求实数的取值范围

6已知集合，

，若，求实数

的取值范围

7设全集，集合与集合，

且，求，

8、、已知集合A ={R |－1≤R ≤2}，B ={R |R ＜a }，如果A ∩B =A ，那么a 的取值范围是 . 9已知集合A ={R |R ≤2}，B ={R |R ＞a }，如果A ∪B =R ，那么a 的取值范围是 .

10已知A={R|R 2+pR+q=0},B={R|R 2－3R+2=0}，且A ∪B=B ，求p 、q 的关系或p 、q 的值。 11已知集合,},,03)3(|{},1|||{2R N M R a a x a x x N a x x M =∈>++-=<-= 若求实数a 的取

值范围。

12已知集合φ=∈=+++=+R A R x x p x

x A },,01)2(|{2

，求实数p 的取值范围。

（04湖南，其中R +=（0，+∞））

13集合A ={R |R 2

－3R ＋2=0}，B ={R |R 2－a R ＋a －1=0}，C ={R |R 2－m R ＋2=0}，

若A ∪B =A ，A ∩C =C ，求实数a 、m 之值.

五其他 1集合P=(){}0,=+y x y x

，Q=(){}2,=-y x y x ，则A ∩B=

2设集合{

}x A ,4,1=，{}2,1x B =，且{}x B A ,4,1=?，则满足条件的实数x 的个数是（） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

3集合A={3－2R ，1，3}，B={1，R2}，并且A ∪B=A ，那么满足条件的实数R 个数有………（）

(A)1(B)2(C)3(D)4

高一数学集合练习题及答案-经典

升腾教育高一数学满分150分姓名一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是（） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有个（） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是（） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是（） A 4 B 3 C 2 D 1 8、设集合A=} { 12x x <<，B=} { x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是（） A } { 2a a ≥ B } { 1a a ≤ C } { 1a a ≥ D } { 2a a ≤ 9、满足条件M U }{1=}{ 1,2,3的集合M 的个数是（） A 1 B 2 C 3 D 4

二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2 A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2 +x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={ } 2 2,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={} 5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 三、解答题 17、已知集合A={x| x 2 +2x-8=0}, B={x| x 2 -5x+6=0}, C={x| x 2 -mx+m 2 -19=0}, 若B ∩C ≠Φ，A∩C=Φ，求m 的值 18、已知二次函数f (x )=2 x ax b ++,A=}{ }{ ()222x f x x ==,试求 f ()x 的解析式 19、已知集合{}1,1A =-，B=} { 2 20x x ax b -+=，若B ≠?，且A B A ?= 求实数 a ， b 的值。

高中数学知识点完全总结(绝对全)

高中数学概念总结一、函数 1、若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a b x 2-=，顶点坐标是??? ? ? ?--a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax x f ++=2)(，（零点式）)()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2)()( （顶点式）。 2、幂函数n m x y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数， m

),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 2 2 =+αα，αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ；倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα；相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)23sin( απαcos -，)2 15(απ -ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。 4、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是πω2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线)(2 Z k k x ∈+=+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。 5、三角函数的单调区间： x y s i n =的递增区间是??? ?? ? + -222 2πππ πk k ，)(Z k ∈，递减区间是????? ? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区间是 ??? ? ? +-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)c o s (βαβαβαs i n s i n c o s c o s = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?± 1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 2 12tg tg -。

高一数学集合知识点归纳

高一数学集合知识点归纳及典型例题一、知识点：本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。本章知识结构 1、集合的概念教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。对象――即集合中的元素。集合是由它的元素唯一确定的。整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。不同的――集合元素的互异性。 2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。我们理解起来并不困难。我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”

的关系。几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。 3、集合的表示方法（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合： ①元素不太多的有限集，如{0，1，8} ②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3， (100) ③呈现一定规律的无限集，如{1，2，3，…，n，…} ●注意a与{a}的区别 ●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。但关键点也是难点。学习时多加练习就可以了。另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y＝x2}，{y|y＝x2}，{（x，y）|y＝x2}是三个不同的集合。 4、集合之间的关系 ●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。 “包含”关系是集合与集合之间的关系。掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn图描述集合之间的关系是基本要求。 ●注意辨清Φ与{Φ}两种关系。 5、集合的运算集合运算的过程，是一个创造新的集合的过程。在这里，我们学习了三种创造新集合的方式：交集、并集和补集。一方面，我们应该严格把握它们的运算规则。同时，我们还要掌握它们的运算性质

高一数学必修一公式总结大全

高一数学必修一公式总结大全高一数学公式的运用在于平常的记忆和积累以及运用，要做到公式非常熟练地运用需要整理公式。为方便大家的更好的运用公式，我整理了以下公式希望给大家提供整理和借鉴。公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2k)=sin cos(2k)=cos tan(2k)=tan cot(2k)=cot 公式二：设为任意角，的三角函数值与的三角函数值之间的关系： sin()=-sin cos()=-cos tan()=tan cot()=cot 公式三：任意角与-的三角函数值之间的关系： sin(-)=-sin cos(-)=cos tan(-)=-tan cot(-)=-cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到与的三角函数值之间的关系：sin()=sin

cos()=-cos tan()=-tan cot()=-cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到2与的三角函数值之间的关系：sin(2)=-sin cos(2)=cos tan(2)=-tan cot(2)=-cot 公式六：/2及3/2与的三角函数值之间的关系： sin(/2+)=cos cos(/2+)=-sin tan(/2+)=-cot cot(/2+)=-tan sin(/2-)=cos cos(/2-)=sin tan(/2-)=cot cot(/2-)=tan sin(3/2+)=-cos cos(3/2+)=sin tan(3/2+)=-cot cot(3/2+)=-tan sin(3/2-)=-cos

cos(3/2-)=-sin tan(3/2-)=cot cot(3/2-)=tan (以上kZ)其他三角函数知识：同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式倒数关系: tancot=1 sincsc=1 cossec=1 商的关系： sin/cos=tan=sec/csc cos/sin=cot=csc/sec 平方关系： sin^2()+cos^2()=1 1+tan^2()=sec^2() 1+cot^2()=csc^2() 两角和差公式 ⒉两角和与差的三角函数公式 sin(+)=sincos+cossin sin(-)=sincos-cossin cos(+)=coscos-sinsin cos(-)=coscos+sinsin

高一数学圆的方程经典例题

典型例题一例1圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x上到直线0 11 4 3= - +y x的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解．或先求出直线 1 l、 2 l的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x的圆心为)3,3( 1 O，半径3 = r．设圆心 1 O到直线0 11 4 3= - +y x的距离为d，则3 2 4 3 11 3 4 3 3 2 2 < = + - ? + ? = d．如图，在圆心 1 O同侧，与直线0 11 4 3= - +y x平行且距离为1的直线 1 l与圆有两个交点，这两个交点符合题意．又1 2 3= - = -d r． ∴与直线0 11 4 3= - +y x平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个．解法二：符合题意的点是平行于直线0 11 4 3= - +y x，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为0 4 3= + +m y x，则1 4 3 11 2 2 = + + = m d， ∴5 11± = + m，即6 - = m，或16 - = m，也即 6 4 3 1 = - +y x l：，或0 16 4 3 2 = - +y x l：．设圆9 )3 ( )3 (2 2 1 = - + -y x O：的圆心到直线 1 l、 2 l的距离为 1 d、 2 d，则 3 4 3 6 3 4 3 3 2 2 1 = + - ? + ? = d，1 4 3 16 3 4 3 3 2 2 2 = + - ? + ? = d． ∴ 1 l与 1 O相切，与圆 1 O有一个公共点； 2 l与圆 1 O相交，与圆 1 O有两个公共点．即符合题意的点共3个．说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

最全高中数学知识点总结(最全集)

最全高中数学知识点总结（最全集）引言 1.课程内容：必修课程由5个模块组成：必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、对、幂函数）必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。必修3：算法初步、统计、概率。必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。以上是每一个高中学生所必须学习的。上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。选修课程有4个系列：系列1：由2个模块组成。选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其分布列，统计案例。系列3：由6个专题组成。选修3—1：数学史选讲。选修3—2：信息安全与密码。选修3—3：球面上的几何。选修3—4：对称与群。选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。选修4—1：几何证明选讲。选修4—2：矩阵与变换。选修4—3：数列与差分。选修4—4：坐标系与参数方程。选修4—5：不等式选讲。选修4—6：初等数论初步。选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。选修4—9：风险与决策。选修4—10：开关电路与布尔代数。

高中数学必修一集合经典题型总结高分必备

慧诚教育2017年秋季高中数学讲义必修一第一章复习知识点一集合的概念 1．集合一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集不含任何元素的集合叫做空集，记为?.

知识点二集合与元素的关系 1．属于如果a 是集合A 的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 2．不属于如果a 不是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作a ________A . 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示知识点四 1．列举法把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法用集合所含元素的 ________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集

2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 4.集合相等的性质如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. 知识点六集合的运算 1．交集

高一数学集合典型例题、经典例题

《集合》常考题型题型一、集合元素的意义+互异性例.设集合｛0｝例.已知A ＝{2，4，a 3－2a 2－a ＋7}，B ＝{1，a ＋3，a 2－2a ＋2，a 3＋a 2＋3a ＋7}，且A ∩B ＝{2，5}，则A ∪B =____________________________ 解：∵A∩B＝{2，5}，∴5∈A. ∴a 3－2a 2－a ＋7＝5解得a ＝±1或a ＝2. ①若a ＝－1，则B ＝{1，2，5，4}，则A∩B＝{2，4，5}，与已知矛盾，舍去． ②若a ＝1，则B ＝{1，4，1，12}不成立，舍去． ③若a ＝2，则B ＝{1，5，2，25}符合题意．则A ∪B ＝{1，2，4，5，25}．题型二、空集的特殊性例.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-，且BA ，则实数m 的取值范围为_____________ 例.已知集合{}R x x ax x A ∈=++=，012，{} 0≥=x x B ，且φ=B A I ，求实数a 的取值范围。解：①当0a =时，{|10,}{1}A x x x R =+=∈=-，此时{|0}A x x ≥=ΦI ； ②当0a ≠时，{|0}A x x ≥=ΦQ I ，A ∴=Φ或关于x 的方程2 10ax x ++=的根均为负数. （1）当A =Φ时，关于x 的方程210ax x ++=无实数根， 140a ?=-<，所以14a > . （2）当关于x 的方程210ax x ++=的根均为负数时， 12121401010a x x a x x a ???=-≥??+=-?? 140a a ?≤?????>?104a <≤. 综上所述，实数a 的取值范围为{0}a a ≥. 题型三、集和的运算例.设集合S ＝{x |x >5或x <－1}，T ＝{x |a

高一数学集合知识点总结归纳

高一数学集合知识点总结归纳 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性(a?a和a?a，二者必居其一)、互异性(若a?a，b?a，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：n，z，q，r，n* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈a都有x∈b，则a b(或a b); 2)真子集：a b且存在x0∈b但x0 a;记为a b(或，且 ) 3)交集：a∩b={x| x∈a且x∈b} 4)并集：a∪b={x| x∈a或x∈b} 5)补集：cua={x| x a但x∈u}

注意：①? a，若a≠?，则? a ; ②若，，则 ; ③若且，则a=b(等集) 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1) 与、?的区别;(2) 与的区别;(3) 与的区别。 4.有关子集的几个等价关系 ①a∩b=a a b;②a∪b=b a b;③a b c ua c ub; ④a∩cub = 空集 cua b;⑤cua∪b=i a b。 5.交、并集运算的性质 ①a∩a=a，a∩? = ?，a∩b=b∩a;②a∪a=a，a∪? =a，a∪b=b∪a; ③cu (a∪b)= cua∩cub，cu (a∩b)= cua∪cub; 6.有限子集的个数：设集合a的元素个数是n，则a有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。【例1】已知集合m={x|x=m+ ,m∈z},n={x|x= ,n∈z},p={x|x= ,p∈z}，则m,n,p满足关系 a) m=n p b) m n=p c) m n p d) n p m 分析一：从判断元素的共性与区别入手。解答一：对于集合m：{x|x= ,m∈z};对于集合n：{x|x= ,n ∈z} 对于集合p：{x|x= ,p∈z}，由于3(n-1)+1和3p+1都

高中文科数学公式及知识点总结大全(精华版)

高中文科数学公式及知识点速记一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 2、函数的奇偶性对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数；对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. *二次函数：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+- 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则（1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．指数函数、对数函数分数指数幂 (1)m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m n m n a a - = = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 根式的性质（1）当n a =；

高一数学函数经典习题及答案

函数练习题班级一、求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是；函数1(2)f x +的定义域为。 4、知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，数m 的取值围。二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =-

6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。三、求函数的解析式 1、已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y =⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是；函数y =的递减区间是五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ；

2020最全高一数学知识点总结归纳

2020最全高一数学知识点总结归纳高一新生刚接触到高中数学时都会很不适应，应为高中数学和以往初中和小学的数学都不一样，高中数学更加灵活多变，思维也更加广阔，而高一数学也是整个高中数学的基础，必须要学好，所以下面就是给大家带来的高一数学知识点总结，希望能帮助到大家！高一数学知识点总结(一) 1.进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别.

6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：. 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值,作差,判正负)和导数法 11.求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论

高一数学集合知识点归纳

高一数学集合知识点归纳高一数学的集合学习以及总结需要把集合相关知识点进行归纳，只有把知识点归纳好才可以学好高一数学集合，以下是我总结了高一数学的知识点，希望帮到大家更好地归纳好集合的知识点同时复习好集合。一、知识点总结 1.集合的有关概念。 1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。 ②集合中的元素具有确定性、互异性和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。 ③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件 2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法 3)集合的分类：有限集，无限集，空集。 4)常用数集：N，Z，Q，R，N* 2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。 1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB); 2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且) 3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}

4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 5)补集：CUA={x|xA但x∈U} 3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号。 4.有关子集的几个等价关系 ①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB; ④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。 5.交、并集运算的性质 ①A∩A=A，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪B=B∪A; ③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB; 6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。二、集合知识点整合集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以是数学元素。例如:1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论:集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称

高一数学必修三知识点总结及典型例题解析

新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event ) ? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等满足这两个条件的概率模型成为古典概型如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度的侧度D d A P = （这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积）几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件

高一数学集合易错题汇总及详解

高一数学集合易错题汇总及详解 1. 已知2{1,},{1,}M y y x x R P x x a a R ==-∈==-∈,则集合M 与P 的关系是( A ) A. M=P B. P R ∈ C . M ?≠P D. M ?≠P 2. （本题满分20分）已知由实数组成的集合A 满足:若x A ∈,则 11A x ∈-. (1) 设A 中含有3个元素,且2,A ∈求A; (2) A 能否是仅含一个元素的单元素集,试说明理由. 2. 解析：（1）2A ∈ 112A ∴∈-,即1A -∈,11(1)A ∴∈--, 12 A ∈即, 1{2,1,}.2 A ∴=- （2）假设A 中仅含一个元素，不妨设为a, 则1,1a A A a ∈∈-有又A 中只有一个元素 11a a ∴=- 即210a a -+= 此方程0?<即方程无实数根. ∴不存在这样的a. 3 （本题满分20分）设}01)1(2|{},04|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，若B B A =?，求a 的值 3. 解析：∵ B B A =? ∴ B ?A , 由A={0，-4}，∴B=Φ，或B={0},或B={-4}，或B={0,-4} 当B=Φ时，方程01)1(222=-+++a x a x 无实数根，则 △ =0)1(4)1(422<--+a a 整理得 01<+a 解得 1-