第一章 线性空间与线性变换
§1 线性空间的概念
定义1 如果复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为零）仍属于该集合，则称数集P 为一个数域。
数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。特别地，每个数域都包含整数0和1。
定义1－1 设V 是一个非空集合，P 是一个数域。如果 （1）在集合V 上定义了一个二元运算“+”（通常称为加法），使得，V ∈?y x ,，都有
V ∈+y x ；
（2）在数域P 的元素与集合V 的元素之间还定义了数量乘法运算，使得V P ∈∈?x ,λ有
V ∈x λ；
（3）上述两个运算满足下列八条规则：
1) V ∈?y x ,，都有x y y x +=+； 2) V ∈?z y x ,,，有)()(z y x z y x ++=++； 3) V 中存在零元素，记为θ，对于V ∈?x ，都有x x =+θ； 4) V ∈?x ，都有V ∈y ，使得θ=+y x 。y 称为x 的负元素； 5) V ∈?x ，都有x x =1；
P ∈,?μλ，V ∈?y x ,，下列三条成立：
6) x x )()(λμμλ=； 7) x x x νλμλ+=+)(； 8) y x y x λλλ+=+)(，
则集合V 叫做数域P 上的线性空间或向量空间。当P 是实数域时，V 叫实线性空间；当P 是复数域时，V 叫复线性空间。
例1－1 若P 是数域，V 是分量属于P 的n 元有序数组的集合
}|),,,{(21P x x x x V i n ∈?= ，
若对于V 中任两元素
),,,(21n x x x X =，),,,(21n y y y Y =
及每个P k ∈（记作P k ∈?），定义加法及数量乘法为
),,,(2211n n y x y x y x Y X +++=+ ，),,,(21n kx kx kx kX =
则容易验证，集合V 构成数域P 上的线性空间。这个线性空间记为n
P 。
例1－2 所有元素属于数域P 的n m ?矩阵组成的集合，按通常定义的矩阵加法及数与
矩阵的数量乘法，也构成数域P 上的一个线性空间，并把它记为n
m P
?。
例1－3 若n 为正整数，P 是数域，则系数属于P 而未定元为t 的所有次数小于n 的多项式的集合。这个集合连同零多项式在内，按通常多项式的加法及数与多项式的乘法构成数域
P 上的线性空间。我们用n t P ][代表这个空间。若把“次数小于n 的”这一限制取消，则也得
到一个线性空间，并记为][t P 。
例1－4 所有定义在区间)](,[b a b a ≤上的实值连续函数构成的集合，按照函数的加法
及数与函数的乘法，显然构成实数域上一个线性空间，记为],[b a R 。
定义1－2 线性相关与线性无关
设V 是数域P 上的线性空间，n ααα,,,21 是V 上的一组向量，如果P 中有一组不全为零的数n k k k ,,,21 ，使得
02211=+++n n k k k ααα 1－1
则称向量n ααα,,,21 线性相关；若等式1－1当且仅当021====n k k k 时才成立，则称这组向量是线性无关的。
定义1－3 设V 是数域P 上的线性空间，如果V 中存在一组向量，满足 （1）向量组线性无关；
（2）V 中任一向量可由向量组线性表示。 则称该组向量构成V 的一个基。 若V 的一个基中向量个数为n ，称n 为V 的维数，记为n V =dim ；若基中向量个数不是有限数时，称V 是无限维向量空间。本书主要讨论有限维线性空间。
定理1－1 设V 是数域P 上的n 维线性空间，n ααα,,21 是V 的一个基，则V 中任一向量α都可以表示为这个基的线性组合，且表示式是唯一的。
向量在基下的坐标。 空间的维数。
§2 基变换与坐标变换
2.1 基变换
设V 是数域P 上的维线性空间，又n ααα,,21 及n βββ,,21 是V 的两个基。假设这两个基的关系（基变换）为
??????
?+++=+++=+++=n
nn n n n n
n n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ 22112222112212211111 1－4 写成矩阵形式记为
A n n ),,,(),,,(2121αααβββ = 1－5
记
?????
?
???
???=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211， 则称A 是从基n ααα,,21 到基n βββ,,21 的过渡矩阵。 2.2 坐标变换
设向量α在此二组基下的表示式分别为：∑==
n
i i
i k 1
α
α∑==n
i i i l 1
β，则我们有
????
??
? ??=n n k k k 2121),,,(αααα
????
??
? ??=??????? ??=n n n n l l l A l l l 21212121),,,(),,,(αααβββα
从而有
??????? ??=???????
??n n l l l A k k k 2121， ??????
? ??=??????? ??-n n k k k A l l l 21121 §3 子空间与维数定理
3.1 线性子空间
定义1-4 设V 是数域P 上的线性空间，W 是V 的一个非空子集。如果W 对于V 所定义的加法运算及数乘运算，也构成数域P 上的线性空间，则称W 是V 的线性子空间，简称子空间。
定理1－2（W 是V 的线性子空间的充要条件）设W 是数域P 上线性空间V 的一个非空子集，则W 是V 的线性子空间的充要条件是：
(1) 若W ∈y x ,，则W ∈+y x ；(2) 若P W ∈∈λ,x ，则W ∈x λ。 证明可作为练习。
注：零子空间{}θ（其维数规定为0）及V 本身称为平凡子空间。
例1－5 在n 维线性空间n
P 中，子集{}
n P A W ∈==x x x ,|θ构成了n
P 的一个r
n -维的子空间，这里r 是n
m P
A ?∈的秩。
例1－6 由数域P 上线性空间V 的m 个向量m ααα,,,21 生成的子空间：
()()P k k k k L i m
m m ∈+++=αααααα 221121,,,。
定理1－3 设21,V V 是数域P 上线性空间V 的两个子空间，则21V V W =也是V 的子
空间。
证明：首先由于W ∈θ，所以W 非空。以下利用定理1－2证明。
定理1－4 设21,V V 是数域P 上线性空间V 的两个子空间，则它们的和
{}2121,|V V V V ∈∈+=+y x y x 也是V 的子空间。
证明：由于21,V V ∈θ，所以W ∈+=θθθ，即W 非空。以下利用定理1－2证明。
例1－4 ),,,,,,,(),,,(),,,(21212121t s t s L L L βββαααβββααα =+。
3.2 子空间的维数与直和
定理1－5（维数公式）设V 是数域P 上的n 维线性空间，21,V V 是它的两个子空间，则有维数公式：)dim()dim(dim dim 212121V V V V V V ++=+，
或写作 )dim(dim dim )dim(212121V V V V V V -+=+。
证明思路：假设t V V k V V s V r V ==+==)dim(,)dim(,dim ,dim 212121 。在2
1V V 中选取一组基t ααα,,,21 ，并将它扩充成为1V 的一组基r t t ααααα,,,,,121 +以及2V 的一组基s t t ββααα,,,,,121 +。再证明
s t r t t ββααααα,,,,,,,,1121 ++ 1－11
是21V V +的一组基，即有t s r V V -+=+)dim(21。证明过程分为两步：第一步证明21V V +中的任一向量可由向量组1－11线性表示。第二步证明向量组1－11是线性无关的。
推论 若n 维线性空间V 的两个子空间的维数之和大于n ，则21V V 中必含有非零向
量。
定义1－8 设21,V V 是线性空间V 的两个子空间，如果这两个子空间的和21V V W +=具有性质：W ∈?α，分解式21ααα+=（其中2211,V V ∈∈αα）是唯一的，则称子空间1V 与2V 的和21V V W +=为直和，并记为21V V W ⊕=。
例1－4 设有四维空间4
R
的三个子空间：(){}R b a b a V ∈=,|0,0,,1，
(){}R c c V ∈=|0,,0,02；(){}R e d e d V ∈=,|0,,,03。
则31V V T +=不是直和，但21V V T +=是直和。
定理1－6 关于子空间的直和，下列命题是等价的：
（1）21V V +中任一向量α的分解式是唯一的；
（2）21V V +中的θ向量的分解式是唯一的；
（3）}{21θ=V V 。
证明 （1）?（2），取0=α，显然。 （2）?（3），若21V V 含有非零向量α，则有
)(0αα-+=
推知零向量θ有两种不同的分解式，所以}{21θ=V V 。 （3）?（1），我们来证其中任一向量α的分解式是唯一的。
对21V V +中任一向量α，设有分解式
21ααα+=（11V ∈α，22V ∈α）
21ββα+=（11V ∈β，22V ∈β）
则由上两式相减即得
0)(2211=-+-βαβα，
即
)()(2211βαβα--=-
但是
111V ∈-βα，222V ∈-βα，222)(V ∈--βα
所以
212211)()(V V ∈--=-βαβα
即
11βα=，22βα=
亦即21V V +中任一向量α的分解式是唯一的。
定理6 线性空间V 的两个子空间21,V V 的和是直和，则
2121dim dim )dim(V V V V +=⊕。
注：该定理的结论可以推广到有限个子空间直和的情形。
§4 线性空间的同构
4.1 同构的定义
定义1 数域P 上的两个线性空间V 与V '是同构的，如果V 与V '之间存在一个一一对应的映射σ，使得对任意的V ∈y x ,及P ∈λ均满足：
(1)
()()()y x y x σσσ+=+； (2) ()()x x λσλσ=。
σ就称为从V 到V '的同构映射。
注：数域P 上每个n 维线性空间V 与n
P 同构。
在V 中取定一组基n e e e ,,,21 。设y x ,是V 中的任二向量，λ是P 中的任意数，则有：
n n e e e x ξξξ+++= 2211；n n e e e y ηηη+++= 2211；
n n e e e x )()()(2211ξλλξλξλ+++= 。
构造从V 到n
P 的映射σ如下：
),,,(21n ξξξ →x ；),,,(21n ηηη →y 。
显然这个对应是从V 到n
P 的一一对应，并且有
),,,(),,,(2121n n ηηηξξξ +→+y x ；),,,(21n ηξηξλξλ →x 。
因此σ是同构映射。 4.2 同构映射的性质 同构映射V V '→:σ具有以下性质：
1)
()()()x x σσθθσ-=-=;； 2) ∑∑== = m
i i i m i i i 1
1
)()(x x σλλσ；
3) 若m x x x ,,,21 是V 中的线性无关组，则)(,),(),(21m x x x σσσ 在V '中线性无关；
反之亦成立。即在同构映射下，线性无关组对应线性无关组。 4) 同构的有限维线性空间，其维数相同。 定理1－8 数域P 上的任意两个n 维线性空间V 与V '都是同构的。
证明：在V 中选取一组基n e e e ,,,21 ，则V 中的任一向量x 可表示为：
n n e e e x ξξξ+++= 2211。
又设n e e e ''',,,21 是V '中的一组基，先作向量x '如下：
n n e e e x '++'+'='ξξξ 2211，
则显然有V '∈'x 。 因此V 中的任一向量x 都对应着V '中的一个确定的向量x '，且这种对应是一一的。
由上面建立的对应法则易知，若x x '→，y y '→，则y x y x '+'→+，x x '→λλ。因
此，V 与V '是同构的。□ 推论 数域P 上的任意两个有限维线性空间同构的充分必要条件，是维数相同。
§5 线性变换的概念
设V 是数域P 上的线性空间。我们把从V 到V 的映射称为V 的变换。 5.1 线性变换的定义
定义1－7 线性空间V 的一个变换T 称为线性变换，如果对任意的P k V ∈∈,,βα，
都有：()()()βαβαT T T +=+； ()()ααkT k T =。 注：V 的两个线性变换T 与S 相等，当且仅当对任何的V ∈α均有()()ααS T =。 例1－9 对每个4
4321),,,(R x x x x ∈=α，由等式
443214321)0,0,433,3()(R x x x x x x x x T ∈+----+=α
定义的变换T 是4
R 的线性变换。
例1－10 设C B ,是n
n R ?的两个给定的矩阵，如果对任一n
n R
X ?∈，()BXC X T =
例1－11 ()()()()[]b a C t f t f dt
d
t f T ,,1∈=。 例1－12 ()()()[]b a C t f du u f t f T t
a
,)(,
∈=
?。
例1－13 零变换和单位变换（恒等变换）。 5.2 线性变换的基本性质
(1) ()()()ααθθT T T -=-=,。 (2) ∑∑===??? ??m
i i i m i i i T k k T 1
1)(αα。
(3) 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组。不一定把线性无关的向量组变
成线性无关的向量组（如零变换）。 5. 3 线性变换的基本运算 定义 321,,T T T 是V 上的线性变换，我们定义以下三种基本运算： 1) 线性变换的和21T T T +=定义为：()()()()V T T T T T ∈?+=+=ααααα,)(2121。
2) 线性变换的乘积21T T T =定义为：()()V T T T ∈?=ααα),(21。 3) 线性变换的数量乘法1kT T =定义为：()()P k V T k T ∈∈?=,),(1ααα。 定理 以上定义的三种运算所得到的T 都是线性变换。
线性变换的基本运算的性质：设321,,,T T T T 是V 的线性变换，P ∈μλ,，则有： (1) 321321)()(T T T T T T =。
(2) V 中线性变换的加法满足交换律及结合律。 (3) V 中线性变换的乘法对加法的分配律成立。
(4) 设O 是零变换，则有：()O T T T O T =-+=+;。 (5) )()(T T μλλμ=，T T T μλμλ+=+)(；
2121)(T T T T λλλ+=+，T T =1。
注：线性空间V 的线性变换的全体构成的集合，关于线性变换的加法及数量乘法，也构
成了数域P 上一个线性空间，记为()V L 。 5.4 线性变换的逆变换
定义1－8 设I 是线性空间V 的单位线性变换，T 为V 的线性变换。如果存在一个V 的
线性变换S ，使得 I ST TS ==， 则称线性变换T 是可逆的，称S 为T 的逆变换，记为
1-T 。
5.5 线性变换的象子空间与核子空间 定义 设T 为线性空间V 的线性变换，则
(1) 集合(){}V T V T ∈=αα|称为T 的象子空间。()V T 的维数叫做线性变换T 的秩。 (2) 集合{}θαα=∈=T V K |称为T 的核子空间，记为()T ker 或()θ1-T 。 定理1－9 设T 为n 维线性空间V 的线性变换，则有()()n T V T =+ker dim dim 。
证明：设()s T =k e r di m 。将()T k e r 的一组基s e e e ,,,21 扩充为V 的一组基：
t s f f f e e e ,,,,,,,2121 ，显然n t s =+。下面证明()t V T =dim 。
第一步证明()V T 中的任一向量都可有向量组)(,),(),(21t T T T f f f 线性表示。 设x 是V 的任一向量，则有∑∑==+=t
j j j s
i i i 1
1
f e x ηξ。注意到()s i T i ,,1,
==θe ，所以
有∑==
t
j j j T T 1
)()(f x η。
第二步证明该向量组线性无关。 设
θ
=∑=t
j j j T c 1
)(f ，则有θ=∑=t
j j j c T 1
)(f ，所以)k e r (1T
c t
j j j ∈=
∑=f y 。于是y 可由s e e e ,,,21 线性表示，即：∑==s
i i i d 1
e y ，因此得
θ
=-∑∑==s
i i i t
j j j d c 1
1
e f 。由于
t s f f f e e e ,,,,,,,2121 是V 的一组基，故有,0,0==i j d c t j s i ,1;,,1==。□
§6 线性变换的矩阵表示
问题：对于n 维线性空间V ，(1) ()V L 的维数是多少？(2) 它与空间n
n P
?的关系。
6.1 基与线性变换
定理1－10 设n ααα,,,21 是n 维线性空间V 的一组基，n βββ,,,21 是V 的任意n 个向量，则存在唯一的一个线性变换T ，使得
()()()n n T T T βαβαβα===,,,2211 1－18
证明：第一步证明存在性。
V k n i i i ∈=?∑=1
αα，定义T ：V k T n
i i i ∈=∑=1
)(βα。易证T 是一个线性变换，且
()i i T βα=。
第二步证明唯一性。
若存在另外一个线性变换S 也使1－18成立：()()()n n S S S βαβαβα===,,,2211 。
则∑==
?n
i i
i k 1
α
α，我们有：∑∑∑======n
i i
i
n i i
i
n i i
i
k T k k T T 1
1
1
)()(
)(β
ααα以及
∑==n
i i i k S 1
)(βα。即有()()ααS T =，所以S T =。
注：该定理说明了一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定。 6.2 线性变换的矩阵表示
设V 是数域P 上的n 维线性空间，T 是V 的一个线性变换。现取定V 的一组基
n ααα,,,21 ，则()()n i T i ,,2,1 =α都是V 中向量，设
??????
?+++=+++=+++=n
nn n n n n n n a a a T a a a T a a a T αααααααααααα 221112222112212211111 1－20
称矩阵 ??????
??????=nn n n n n a a a a a a a a a A 21
2222111211，为线性变换T 在基n ααα,,,21 下的矩阵。而1－20也可写为矩阵形式：A T T T T n n n ),,(),,(),,(212121ααααααααα ==。
由此可见，在线性空间V 中取定一组基后， V 的每一个线性变换())(V L T ∈对应着一个
矩阵()
n n P A ?∈，该对应是从()V L 到n
n P ?的同构映射。
定理1－11 ()V L 与n
n P
?同构。
推论：2dim )(dim n P V L n n ==?。
定理1－12 设n ααα,,,21 是线性空间V 的一组基，则V 的线性变换与它在这组基下
的矩阵具有以下关系
1) 线性变换的乘积对应与矩阵的乘积。
2) 可逆线性变换对应的矩阵也可逆，且逆变换对应于逆矩阵。
证明： V 的两个线性变换S T ,在所取定的基下的矩阵分别为B A ,，即
∑∑====n
k k ki i n k k ki i b S a T 1
1
,αααα。所以有
∑∑∑∑∑∑∑=============n
l l
li n
l n k l ki lk n l l lk n k ki n
k k ki n k k ki i i c b a a b T b b T S T TS 1
1
1
1
1
1
1)()()
()()(ααααααα
这里记()n i l b a c n
k ki lk li ,,2,1,1
==
∑=，则显然有()AB c C n n li ==?，即线性变换在所取定
的基下的矩阵为AB 。 2) 显然单位变换在所取定基下的矩阵是单位矩阵E ，所以当有I ST TS ==时，便有E BA AB ==。定理证毕。□
6.3 线性变换的矩阵在不同基之间的关系
定理4 设n ααα,,,21 及n βββ,,,21 是线性空间V 的两组基，T 是V 的一个线性变
换，它在两组基下的矩阵分别为B A ,。C 是从前一组基到后一组基的过渡矩阵，则有
AC C B 1-=。
证明：由假设有
n i b T a T c n
k k ki i n k k ki i n k k ki i ,,2,1,,,1
1
1
====∑∑∑===ββαααβ。
于是有 ∑∑∑∑======
n l n
k l ki lk n k n
l l lk
ki i b c c
b T 1
1
1
1
)()(ααβ，以及
∑∑∑∑∑∑==========n
k l
ki lk n l n l l lk n k ki n
k k
ki n k k ki i c a a c T c c T T 1
1
1
1
1
1
)()(ααααβ
比较两式的右端，得
n i l c a b c
n
k ki lk n
k ki
lk ,,2,1,,1
1
==∑∑==，于是有AC CB =，即
AC C B 1-=。□
定义1－9 若n n P B A ?∈,，如果存在可逆矩阵n
n P C ?∈，使得
AC C B 1-=
则称矩阵A 相似于矩阵B ，并记作B A ~。这时也简单地说A 与B 相似。 由定义易知，矩阵的相似是等价关系，即相似具有下述三个性质： （1）自反性 B A ~； （2）对称性 若B A ~，则A B ~； （3）传递性 若B A ~且C B ~，则C A ~。 其中n n P C B A ?∈,,。
注：一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的。反过来也可以证明，两个相似矩阵总可以看成某一线性变换在两组不同基下的矩阵。
§7 不变子空间
定义1－10 设T 是线性空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间。若对任一
W ∈α，都有W T ∈α，亦即()W W T ?，则称W 是T 的不变子空间。
零空间及V 本身都是T 的不变子空间。
设21,V V 是V 的线性变换T 的不变子空间。如果21V V V ⊕=，且m ααα,,,21 及
n m αα,,1 +分别是1V 及2V 的一组基，则向量组
n m m ααααα,,,,,,121 + 1－21
构成V 的一组基。
由于21,V V 对T 不变，所以有
m m a a T ααα11111++=
……………………………
m mm m m a a T ααα++= 11
n m n m m m m a a T ααα1,11,11+++++++=
…………………………………
n nn m n m n a a T ααα++=++ 1,1
因此线性变换T 在基1－21下的矩阵为分块对角阵??
?
?
??=21A A A ，这里 ????
?
?????=??
??
?
?????=++++nn m n n m m m mm m m a a a a A a a a a A 1,,11,1111111。
这一结论可以推广到V 可以表示为有限个不变子空间的直和的情形。特别是当这些子空
间都是一维时，T 在相应基上的矩阵是对角形矩阵。对角线上的元素就是线性变换T 所对应的矩阵A 的特征值，亦称为线性变换T 的特征值。
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R )和复数域(记为C )，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有0αα+=； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间．
1. 什么是线性空间？什么是线性变换？线性变换的秩如果小于空间的维数将会怎样？平方的秩？ 2. 描述一下密度矩阵的特征，纯态和混合态的区别（表现在密度矩阵的秩） 3. 什么是U 变换，U 变换对应的矩阵满足什么样的特点。U 矩阵一定是可对角化的吗？对应欧氏空 间的正交变换有什么特点？正交变换对应的矩阵的矩阵元一定是实的吗？ 4. 什么是厄米算符，厄米算符的物理意义？对应的矩阵具有什么样的特点？厄米算符的本征值具有 什么样的特征？厄米算符对应的矩阵的矩阵元是实的吗？厄米算符是否可以表示成实矩阵，特点是什么？互相对易的厄米算符具有共同的本征态，具有共同本征态的算符一定是对易的吗？具有共同本征值的呢？厄米算符的和是厄米算符吗？厄米算符的乘积呢？直积呢？不对易的厄米算符一定不可交换吗？ 5. exp （A ）exp （B ）＝exp （A+B ）？LnA 怎么计算？ 6. 简单介绍一下三种picture 的物理意义，态的特征，算符的特征。为什么采用这三种picture ，只有 这三种picture 吗？你觉得相互作用picture 可以用在什么地方？Heisenberg picture 的波函数不随时间演化，本征态呢？与哈密顿量对易算符的本征态呢？本征值怎么样？ 7. 传播子的物理意义？路径积分与惠更斯原理有什么联系吗？两个光子能够叠加吗？最小作用原 理和路径积分的联系。 8. 什么是态的纠缠？什么是直积态？ 9. 量子力学的五大假设是什么？什么是测量假设？测量假设可以从量子力学的其它假设推导出来 吗？能够从态演化过程推导出来吗？它是一个物理过程吗？ 10. EPR 佯谬讲了一些什么内容？说明了什么物理本质？ 11. Bell 不等式怎么写？它有什么作用？2),(),(),(),(≤-++=''''b a b a b a b a u u E u u E u u E u u E S 12. 在quantum teleportation 中，对于粒子1的初态10βαψ+=，如果根据粒子1和2的Bell 基测 量结果推知粒子3的量子态为10βαψ-=，10αβψ+=以及10αβψ-=，怎么样才能是粒子3的态恢复到粒子1原来的量子态？ 13. 什么是定态？ 第二次作业中的2.2题中的(e)小问, 为什么在上一次测量x μ得到0μ+之后隔一个时间间隔t ?再测量x μ，得到0μ+的几率并不完全等于1？ 1). 若体系的H 不显含时间t ，在初始时刻（t=0）体系处于某一个能量本征态)()0,(E ψψ=，其中),(),(t r E t r H E E ψψ=，则 ]/exp[)(),( iEt t E -=ψψ
§3 线性变换和矩阵 一、线性变换关于基的矩阵 设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，现在建立线性变换与矩阵关系. 空间V 中任意一个向量ξ可以被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式 n n x x x εεεξ+++= 2211 (1) 其中系数是唯一确定的，它们就是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换保持线性关系不变，因而在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系： A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2) 上式表明，如果知道了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就知道了，或者说 1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，如果线性变换?与?在这组基上的作用相同，即 A i ε= B i ε， ,,,2,1n i = 那么A = B . 结论1的意义就是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全可以是任意的，也就是 2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，对于任意一组向量n ααα,,,21 一定有一个线性变换?使 A i ε=i α .,,2,1n i = 定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换?使
A i ε=i α .,,2,1n i = 定义2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像可以被基线性表出： ?? ? ?? ? ?+++=+++=+++=. , , 22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示就是 A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A ?(2ε)，…， A (n ε)） =A n ),,,(21εεε (5) 其中 ??? ??? ? ??=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵. 例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下 ?? ?+====. ,,1,0,,,2,1,n m i A m i A i i i εεε 如此确定的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明 A 2=A 投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是
第六章 线性空间与线性变换 柴中林 (A) 1. 检验下列集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： （1）全体n 阶上三角矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。 （2）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对向量的加法和数乘运算。 （3）平面上的全体向量对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k 。a =0 . 2. 设V 1和V 2都是线性空间V 的子空间，如果V 1∪V 2也是的子空间，求证有：V 1 V 2或V 2 V 1。 3. 检验下列各向量集合是否是R 3的子空间： （1）},0|),,{(213211R x x x x x x V i ∈≥=, （2）}(|),,{(3212有理数）Q x x x x V i ∈=. 4. R 4中，求向量ξ在基α1，α2，α3，α4下的坐标，已知： （1）α1（1，1，1，1）， α2=（1，1，-1，-1）， α3=（1，-1，1，-1）， α4=（1，-1，-1，1）， ξ=（1，2，1，1）。 （2）α1（1，1，0，1）， α2=（2，1，3，-1）， α3=（1，1，0，0）， α4=（1，1，-1，-1）， ξ=（0，0，0，1）。 5. R 4中，求由基α1，α2，α3，α4到基β1，β2，β3，β4的过渡矩阵，并求向量ξ在指定基下的坐标。已知： （1）α1=（1，0，0，0）， α2=（0，1，0，0）， α3=（0，0，1，0）， α4=（0，0，0，1）， β1=（2，1，-1，1）， β2=（0，3，1，0）， β3=（5，3，2，1）， β4=（6，6，1，3）。 ξ=（1，2，1，1）在基β1，β2，β3，β4下的坐标。 （2）α1=（1，1，1，1）， α2=（1，1，-1，-1）， α3=（1，-1，1，-1）， α4=（1，-1，-1，1）， β1=（1，1，0，1）， β2=（2，1，3，1）， β3=（1，1，0，0）， β4=（0，1，-1，-1）。 ξ=（1，0，0，-1）在基α1，α2，α3，α4下的坐标。 6. 向量α、β、γ满足0321=++γβαk k k ，且k 1k 2≠0, 求证向量组α、β和向量组β、γ生成相同的向量空间。 7. 判断下面所定义的变换，哪些是线性变换，哪些不是： （1）在线性空间V 中，T （ξ）=ξ+α，其中α∈V 是一已知向量, （2）在R 3 中， T T x x x x x x x T ),,()),,((233221321+=, （3）在R 3中，T T x x x x x x x x T ),,2()),,((13221321+-=, （4）在P[x]n 中，T(f (x ))=f (x +1). 8. 证明线性变换将一个子空间变为一个子空间。 9. 已知矩阵A 与B 相似，C 与D 相似，证明： ???? ??C A 00与???? ??D B 00相似。 10. 设α1，α2，α3，α4是4维线性空间V 的一组基, 线性变换T 在这组基下的矩阵为: ??????? ??--------=7113102/52/92/1323133425T ,
第六章线性空间与线性变换 1.验证: (1)2阶矩阵的全体S i ； ⑵主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S 2； (3)2阶对称矩阵的全体S 「 对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 解(1)设A,B 分别为二阶矩阵，则A,B S i 显然 (A B) S i ,k A S i ,从而对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. 0 0 1 是S 1的一个基. a b de A B ⑵设 c a , f d A,B S 2 (a d) c b ka kb A B S 2 kA S 2 c a a d kc ka 1 0 0 1 0 0 1 2 3 0 1 0 0 1 0 是 ?个 基. ⑶设A, B S 3 ，则 T A A,B T B (A B)T A T B T A B ，从而(A B) S 3 (kA) kA 从，故kA S 3，所以对于加法和乘数运算构成线性空 间. 2.验证：与向量(0,0,1) 不平行的全体3维数组向量，对于数组向量 的 加法和乘数运算不构成线性空间. 解 设V 与向量(0,0,1)不平行的全体三维向量，设「1 (1,1,0) r 2 ( 1,0,1)，则「1,「2 V .但「1 「2 (0,0,1) V 即 V 不是线性空间. 1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 3 0 1 是S 3的一个基. 1 并写出各个空间的一个基.
3 .设U 是线性空间V 的一个子空间，试证：若U 与V 的维数相等，则 U V . 证明设1 2 r 为U 的一组基，它可扩充为整个空间 V 的一个基， 由 于dim(U) dim(V)从而i 2 r 也为V 的一个基，贝卩：对于x V 可 以表示为x ki 1 k 2 2 kr r .显然，x U ，故V U ，而由 已知知U V ，有U V . 4 .设V r 是n 维线性空间V n 的一个子空间，a 1, a r 是V r 的一个基.试 证：V n 中存在元素a r 1, a n ，使印， a 2, a r 冃仆，a n 成为V n 的一个 基. 证明 设r n ,则在V n 中必存在一向量a r 1 V r ,它不能被ai ，a 2, a r 线性表示，将 a r 1 添加进来，则a i ，a 2，a 3， a r 1是线性无关的.若 r 1 n ,则命题得证，否则存在a r 2 L(a 1,a 2, ,a r 1)则 a 1,a 2, ,a r 2线性无关，依此类推，可找到n 个线性无关 的向量 a 1，a 2， ，a n ，它们是V n 的一个基. 5 .在 R 3 中求向量 (3,7,1) 在基 1 (1,3,5) , 2 (6,3,2), 3 (3,1,0/ 下的坐标. 解 1 (1,0,0), 2 (0,1,0), 3 (0O1) 1 6 3 A 3 3 1 ( T T (1 , 2 , T )(:, T 2 , ；)A 5 2 0 X 1‘ X 1 2 6 3 x 1 X 2' A 1 X 2 5 15 8 x 2 坐标变换公式： X 3‘ X 3 9 28 15 X 3 X 1' 2 6 3 3 33 X 2‘ 5 15 8 7 82 故所求为X 3' 9 28 15 1 154 ? 所求坐标为33, 82,154
故 T U A U A A ))((11*--=, 令 T U A P )(1-=，则P 可逆，且P P A T =*， 所以*A 为正定矩阵. 例28(1999.Ⅲ) 设A 为n m ?实矩阵，E 为n 阶单位矩阵，已知矩阵A A E B T +=λ， 试证：当0λ>时，矩阵B 为正定矩阵. 证 因为 B A A E A A E B T T T T =+=+=λλ)(， 所以B 为n 阶实对称矩阵， 且对任意的实n 维向量x ，有 ,)()(A Ax x A A E x B x T T T T T T T +=+=λλ 当0x ≠时，有 0,T x x > 0)(>A Ax T ， 于是当0λ>时，0=>x B x T T ， 所以B 为正定矩阵. 例29(1999.Ⅰ) 设A 为m 阶实对称矩阵且正定，B 为n m ?实矩阵，T B 为B 的转置矩阵， 试证：AB B T 为正定矩阵的充分必要条件是R (B )=n . 证 必要性 设AB B T 为正定矩阵，则对任意的实n 维列向量0x → → ≠，有 ()0T T x B AB x → → >，即0)()(>x B A x B T . 于是当0x ≠时，有0Bx ≠， 因此齐次线性方程组B x =0只有零解，故n B R =)(. 充分性 因为AB B B A B AB B T T T T T ==)(， 所以AB B T 为实对称矩阵， 若R (B )=n ，则B x =0只有零解，从而对任意的实n 维列向量0x ≠均有0Bx ≠, 又A 为正定矩阵，所以对任意的实n 维列向量0Bx ≠，有 0)()(>x B A x B T