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中考几何模型解题法
研修课论文宋海平
第一讲以中招真题为例讲解在几何题中，与角平分线的四类模型：夹角模型、角平分线加垂直模型、角平分线加平行线
模型、四边形对角互补角平分线模型。
第二讲弦图是证明勾股定理时所构造出来的图形。本讲将从弦图出发，抽离出相似模型，及通过变形得到的高级相似模
型，培养学生利用模型快速解决几何证明题的能力。
第三讲在熟悉 A 字型相似、 8 字型相似及各自变形的基础上，培养学生从题目中寻找相似基本模型的能力，从而使其能
够灵活利用模型来解决几何证明题。
第四讲中考数学题中，求线段和最大值、线段差最小值的题目出现频率较高。本讲通过作图，利用轴对称的性质将线段进行转移，利用奶站模型、天桥模型帮助学生找到解题的突破口，提高做题效率。
第五讲几何题目中经常会出现大角中间夹着一个半角的条件（如90 度角，中间夹一个45 度角），用来求线段或图形的数量关系。本讲把这一条件总结为大角夹半角模型，帮助学生从题目特征入手，按照模型不同的特征采取不同的处理方法，
快速找到题目的突破口，提升解题的效率。
第六讲本讲重点讲解根据题目条件，通过构造圆，把问题放到圆的背景下，利用圆的性质解决问题。培养学生把几何的三
大板块：三角形，四边形和圆统一起来解决问题，做到融会贯通。
一、角平分线模型
一、精讲精练
【模型一】夹角模型
OA 、OC 分别是∠BAC 、∠BCA 的角平分线，
1
则：∠AOC= 90 °+∠B．
BP、CP 分别是∠ABC、∠ACD 的角平分线，
则：∠P= 1
∠A．
AD 、CD 分别是∠EAC、∠FCA 的角平分线，
则：∠D= 90 °- 1
∠B．
2
1. 如图，在△ABC 中，∠B＝ 60 °，∠A、∠C 的角平分线 AE、CF 相交于 O ．
求证： OE＝OF ．B
E
F O
A C
2.（2011 黄冈）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与角∠ABC 平分线 BP 交于点 P，
若∠BPC=40 °，则∠CAP=_______________.
3. （ 2011 年）如图，△ABC中，AB= AC，AD、CD分别是两个外角的平分线.
（1）求证：AC= AD；
（2）若∠B=60 °，求证：四边形ABCD是菱形 .
E
A D A A
E E
F F
B C F B D C
B D C
图 1图 2
【模型二】角平分线加垂直
AB ⊥AC，AB = AC，CE 是∠ACB 的平分线，
BE⊥ CE，则 : BE= 1
CF．
2
4.（2011 ）在△ABC 中，∠A ＝90 °，点D 在线段 BC 上，∠EDB＝
1
∠C，BE⊥DE，垂足为 E， DE 与 AB 相交于点 F．
2
（1 ）当 AB＝ AC 时（如图 1 ），①∠EBF＝°；②探究线段BE与FD的数量关系，并加以证明；
（2 ）当 AB ＝kAC 时（如图 2 ），求BE
的值（用含 k 的式子表示）．FD
【模型三】角平分线加平行线
OP 是∠MON 的角平分线， AB ∥ON ，
则： OA=AB ．
5. （2011宿迁）如图，在梯形ABCD 中， AB∥DC，∠ADC 的平分线与∠ BCD 的平分线的交点 E 恰在
AB 上．若
AD
＝ 7cm ，＝ 8cm ，则
AB
的长度是_____cm．
BC
A E B
D C
6. （2011 滨州）如图，在△ABC 中，点 O 是 AC 边上（端点除外）的一个动点，过点O 作
直线 MN ∥BC.设 MN 交∠BCA 平分线于点 E，交∠BCA 的外角平分线于点F，连接 AE、
AF.那么当点 O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论.
A
N
M E O F
B C
【模型四】四边形对角互补模型
∠A+ ∠C=180 °，BD 是∠ABC 的平分线，
则:AD = CD．
7.（2011 年前两问）如图 1，将三角板放在形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与形 ABCD
的顶点 A 重合，三角板的一边交 CD 于点 F，另一边交 CB 的延长线于点 G.
（1 ）求证： EF= EG；
（2 ）如图 2 ，移动三角板，使顶点 E 始终在形 ABCD 的对角线 AC 上，其他条件不变，（1 ）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
E(A )D A D
E
F
F
G
C G
C
B B
图 1图 2
弦图模型。
一、知识提要
1.弦图基本模型模型一：
a
c
b
模型二：
a
c
b
2.弦图模型之变形
60°60°
α
60°αα
二、专项训练
【板块一】弦图基本模型
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1. 如图， Rt△ABC 中， CD⊥ AB ，垂足为 D ，DE⊥AC，垂足为 E，求证：AC
2AE ．BC 2CE
C
E
A D B
2.如图，梯形 ABCD 中， AB// DC ，∠B=90 °，E 为 BC 上一点，且 AE⊥ED．若 BC=12 ，
DC=7 ，BE： EC=1 ：2，则 AB 的长为．
D
A
B E C
3.在△ABC 中， AB= 2 5，AC=4 ，BC=2 ，以 AB 为边向△ABC 外作△ABD ，使△ABD 为等
腰直角三角形，求线段 CD 的长 .
【板块二】弦图模型之变形
4.（2011 乌鲁木齐）如图，等边三角形 ABC 的边长为 3，点 P 为 BC 边上一点，且 BP=1 ，
点 D 为 AC 边上一点，若∠ APD =60 °，则CD 的长为.
5.（2011 ）如图，四边形 ABCD ， M 为 BC 边的中点．若∠ B= ∠AMD =
∠C=45 °，AB=8 ，CD=9 ，则 AD 的长为（）
D
A
B
M C
A ．3B．4C． 5D．6
6.（2011 荆州）如图， P 为线段 AB 上一点， AD 与 BC 交干 E，∠CPD= ∠A= ∠B，BC 交
PD 于 F， AD 交 PC 于 G，则图中相似三角形有（）
D
C
E
F
G
A P B
A ．1 对B．2 对C．3 对 D ．4 对
7.在△ABC 中， AC= BC，∠ACB= 90 °，点M 是 AC 上的一点，点 N 是 BC 上的一点，沿
着直线 MN 折叠，使得点 C 恰好落在边 AB 上的 P 点，求证： MC ：NC = AP ：PB．
相似基本模型
三、知识提要
1.相似基本模型 1 ：“ A”字型相似及其变形
1
1
11
2.相似基本模型 2 ：“ 8”字型相似及其变形
四、专项训练
1.四边形 EFGH 是△ABC 接形， BC=21cm ，高 AD =15cm ，则接形边长 EF=______.
A
H I G
B E D F C
2. 如图，在△ABC 中，∠AED= ∠B，DE=6 ，AB=10 ， AE=8 ，则 BC 的长度为（）
A. B. C.3 D.
3.如图，直角梯形 ABCD 中，∠BCD=90 °，AD ∥BC，BC= CD ，E 为梯形一点，且∠BEC=90 °，
CF=3 ，则 DM ： MC 的值为（）
A D
E M
F
B C
A.5 ：3
B.3 ：5
C.4：3
D.3：4
4.如图，在平行四边形 ABCD 中， M ，N 为 BD 的三等分点，连接 CM 并延长交 AB 于 E
点，连接 EN 并延长交 CD 于 F 点，则 DF ：AB 等于（）
D F C
N M
A E B
A.1 ：3
B.1 ：4
C.2： 5
D.3：8
5.如图，半圆 O 的直径 AB=7 ，两弦 AC 、BD 相交于点 E，弦 CD= 7
，且 BD=5 ，则 DE
2
等于 _________.
6.已知：如图，△ ABC 中， AE＝CE，BC＝CD ，求证： ED＝3EF.
A
F
E
B C D
7. 已知：如图，梯形ABCD 中， AB ∥DC ，E 是 AB 的中点，直线 ED 分别与对角线 AC 和
BC 的延长线交于 M 、 N 点，求证： MD ：ME ＝ ND ：NE .
N
C
D
M
A E B
巧用轴对称解线段和差最值
【板块一】线段和最小
1.如图，形 ABCD 的面积为 12 ，△ABE 是等边三角形，点 E 在形 ABCD ，在对角线 AC 上
有一点 P，使 PD+ PE 的和最小，则这个最小值为（）
A ．2 3B．2 6C． 3 D ．6
2.如图，在五边形 ABCDE 中，∠BAE=120 °，∠B= ∠E=90 °，AB= BC，AE= DE，在 BC，
DE 上分别找一点 M ， N ，使得△AMN 周长最小时，则∠ AMN +
∠ANM 的度数为（）
A. 100 °
B. 110 °
C. 120 °
D. 130 °
A E
N
B
M
C D
3.如图，在锐角△ABC 中， AB= 4 2 ，∠BAC=45 °,∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，M ，N
分别是 AD ，AB 上的动点，则BM + MN 的最小值是 ___________.
C
D
M
A N B
4.（2011 ）已知，如图，二次函数y ax22ax 3a(a0) 图象的顶点为H，与x轴交于A、
B 两点（ B 在 A 点右侧），点 H 、B 关于直线l : y
3
x 3 对称. 3
（3 ）过点 B 作直线 BK∥AH 交直线l于 K 点，M 、N 分别为直线 AH 和直线l上的两个动点，连接 HN 、NM 、 MK ，求 HN + NM + MK 的最小值 .
y
H
l
K
A O B
x
5. 已知四边形PABQ 在坐标系中的位置如图所示，则当四边形PABQ 的周长最小时，
a=．
y
P(a,0)Q(a+2,0) O
x
B(4,-1)
A(1,-3)
【板块二】线段差最大
6. （2009眉山）如图，已知直线y 1
x 1 与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2
y 1 x2bx c 与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)．2
(3)在抛物线的对称轴上找一点M ，使 MA MC 的值最大，求出点 M 的坐标．
大角夹半角模型
原题剖析：如图，已知在形ABCD 中， E、F 分别是 BC、 CD 上的点，若有∠ EAF=45 °，
求证： BE+ DF= EF．
模型提取：
题型对比：
1.（2008 天津）已知 Rt △ABC 中，ACB 90 ， CA CB ，有一个圆心角为45 ，半径的长等于 CA 的扇形 CEF 绕点C旋转，且直线CE， CF 分别与直线 AB 交于点 M ，N ．
（Ⅰ）当扇形 CEF 绕点C在ACB 的部旋转时，如图①，求证：MN 2AM 2BN 2；
C
A M N B
E
F
图①
（Ⅱ）当扇形CEF 绕点 C 旋转至图②的位置时，关系式C MN 2AM 2BN 2是否仍然成立？若成立，请证明；若
E
不成立，请说明理由．M A N B
F
图②
实战训练
2. （ 2010 改编）边长为 2 的等边△ABC 的两边 AB 、AC上有两点M 、 N ， D 为△ABC 外一点，且∠ MDN =60 °，∠
BDC=120 °，BD= DC . 探究：当 M 、N 分别在 AB 、AC上移动时，
△AMN的周长是否为定值？
典型特例：
3.如图，点 C、D 在线段 AB 上，△PCD 是等边
三角形，且∠ APB=120 °，CD=3 ，设 AC= x、
BD = y，求 y 关于 x 的表达式．
4.如图，在△ABC 中， AB= AC=2 ，∠BAC=20 °．动点P、Q 分别在直线 BC 上运动，且始终保持∠PAQ=100 °．设BP= x ，
CQ= y ，求 y 与 x 之间的函数关系
式.
5.如图，将两个全等的等腰直角三角形ABC 与 AFG 摆放在一起， A 为公共端点，∠ BAC=
∠AGF=90 °，它们的斜边长为 2，若△ABC 固定不动，
△AFG 绕点 A 旋转，AF、AG 与边 BC 的交点分别为 D、
E（ D 、E 不与 B、C 重合），设 BE= m ， CD= n .
（1 ）请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选
取其中一组进行证明；
（2 ）求 m 与 n 的函数关系式，直接写出自变量的取值
围．
6. 如图，在△ABC 中，已知∠BAC=45 °AD，⊥ BC 于 D ，BD=2 ，
DC=3 ，求△ABC 的面积．
四点共圆
【板块一】对角互补
1.如图，在△ABC 中， AD ⊥ BC 于 D ， DN ⊥AC 于 N ，DM ⊥ AB 于 M ，求证：∠ANM =
∠ B．
A
M
N
B D C
2.如图，在四边形 ABCD 中，已知∠BAD =60 °，∠ABC=90 °，∠BCD=120 °，对角线AC，
BD 交于点 S，且 DS=2 SB，P 为 AC 的中点．
求证：（1 ）∠PBD=30 °（； 2） AD= DC．
D
C
S
P
B
A
【板块二】同线段同侧所的角相等
3.如图，在四边形 ABCD 中， BC＞AB ，A 在 BC 的垂直平分线上， D 在 AC 的垂直平分线
上，且∠CAD = ∠ABD ，则∠ABC+ ∠ADC = （）
A
D
B C
A ．90 °B．120 °C．150 °D．180 °
4.形 ABCD 的中心为 O ，面积为 1989 cm 2．P 为形一点，且∠OPB=45 °，PA：PB=5 ：
14 ．则 PB= _________ ．
D C
O
P
A B
5.如图，在△ABC 中，已知 AD ⊥BC，BE⊥AC ，AD 与 BE 相交于点 H ，P 为边 AB 的中点，
过点 C 作 CQ⊥PH，垂足为 Q ，求证： PE2 = PH?PQ ．
A
E
Q H P
C D B
6.如图，在△ABC 中， AB= AC，AD ⊥ BC，垂足为 D ，E 为 AD 的中点， DF⊥BE，垂足为
F，CF 交 AD 于点 G．
求证：∠CFD= ∠CAD ．
A
E
F G
B D C