分式方程的解法及应用(提高)导学案+习题【含答案】
分式方程的解法及应用（提高）
【学习目标】
1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2. 会列出分式方程解简单的应用问题．
【要点梳理】
要点一、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是
等式；②方程里含有分母；
③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别
就在于分母中是否有未知
数（不是一般的字母系数）.
分母中含有未知数的方程
是分式方程，分母中不含有
未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联
系：分式方程可以转化为整
式方程.
要点二、分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整
式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
要点三、解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.
要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一
步“去分母”时产生的.根
据方程的同解原理，方程的
两边都乘以（或除以）同一
个不为0的数，所得方程是
原方程的同解方程.如果方
程的两边都乘以的数是0，
那么所得方程与原方程不
是同解方程，这时求得的根
就是原方程的增根.
（2）解分式方程一定要检验根，
这种检验与整式方程不同，
不是检查解方程过程中是
否有错误，而是检验是否出
现增根，它是在解方程的过
程中没有错误的前提下进
行的.
要点四、分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
【典型例题】
类型一、判别分式方程
【高清课堂 分式方程的解法及应用 例1】
1、下列各式中，哪些是分式方程？哪些不是分式方程？为什么？
（1）21753997
x
x --= （2）352y y =- （3）31422y y ++- （4）22
1531x x x +=-- 【答案与解析】
解：（1）虽然方程里含有分母，但是分母里没有未知数，所以不是分式方程；
（2）具备分式方程的三个特征，是分式方程；
（3）31422
y y ++-没有等号，所以不是方程，它是一个代数式；
（4）方程具备分式方程的三个特征，是分式
【知识要点】 1. 分式方程的概念以及解法 ; 2. 分式方程产生增根的原因 3. 分式方程的应用题 【主要方法】 2. 1. 分式方程主要是看分母是否有外未知数 ; 解分式方程的关健是化分式方程为整式方程 ; 方程两边同乘以最简公分 母. 3. 解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系, 恰当地设末知数 . 2019-2020 年八年级数学下册《分式第二讲 分式方程》知识点和典型例习题 题型一：用常规方法解分式方程 【例 1】解下列分式方程 （ 1） 1 3 ；（ 2） 2 1 0 ；（ 3） x 1 4 1 ；（ 4） 5 x x 5 x 1 x x 3 x x 1 x 2 1 x 3 4 x 提示易出错的几个问题： ①分子不添括号；②漏乘整数项；③约去相同因式至使漏根； ④忘 记验根 . 题型二：特殊方法解分式方程 【例 2】解下列方程 （ 1） x 4 x 4 4 ； （ 2） x 7 x 9 x 10 x 6 x 1x x 6 x 8 x 9 x 5 提示：（ 1）换元法，设 x y ；（ 2）裂项法， x 7 1 1 . x 1 x 6 x 6 【例 3】解下列方程组 1 1 1 (1) x y 2 1 1 1 (2) y z 3 1 1 1 (3) z x 4 题型三：求待定字母的值 【例 4】若关于 x 的分式方程 2 1 m 有增根，求 m 的值 . x 3 x 3
【例 5】若分式方程 2 x a 1的解是正数，求 a 的取值范围 . x 2 提示： 2 a 0 且 x 2 ， a 2 且 a 4 . x 3 题型四：解含有字母系数的方程 【例 6】解关于 x 的方程 x a c b x d (c d 0) 提示：（ 1） a, b, c, d 是已知数；（ 2） c d 0 . 题型五：列分式方程解应用题 练习： 1．解下列方程： （ 1） x 1 2x 0 ； （2） x 2 4 ； x 1 1 2x x 3 x 3 （ 3） 2x 3 2 ； （4） 7 3 1 7 x 2 x 2 x 2 x 2 x x x 2 x 2 1 （ 5） 5x 4 2x 5 1 （6） 1 1 1 1 2x 4 3x 2 2 x 1 x 5 x 2 x 4 （ 7） x x 9 x 1 x 8 x 2 x 7 x 1 x 6 2．解关于 x 的方程： （ 1） 1 1 2 (b 2a) ；（ 2） 1 a 1 b (a b) . a x b a x b x 3．如果解关于 x 的方程 k 2 x 会产生增根，求 k 的值 . x 2 x 2 4．当 k 为何值时，关于 x 的方程 x 3 (x k 2) 1 的解为非负数 . x 2 1)( x 5．已知关于 x 的分式方程 2a 1 a 无解，试求 a 的值 . x 1 （二）分式方程的特殊解法 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验， 但对一些特殊的分式方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下： 一、交叉相乘法 例 1．解方程： 1 x 3 x 2 二、化归法 例 2．解方程： 1 2 0 1 x 2 x 1
【关键字】精品 分式方程的几种特殊解法 白云中学：孙权兵 解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程；（2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。 一、加减相消法。 例1、解方程：。 分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。如果我们发现方程两边都加上分式，则可以通过在方程两边都加上分式，就将原方程化简成，从而轻松获解。 解：原方程两边都加上，则可得： 去分母，得： 解得： 经检验，是原分式方程的解。 二、巧用合比性质法。 例2：解方程：。 分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。 解：由合比性质可得： 去分母并化简得：，即 解得： 经检验，是原分式方程的解。 三、巧用等比性质法。 例3、解方程：。 分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原
方程化简后再求解。 解：由等比性质可得：。 化简得： 经检验，是原分式方程的解。 四、分组化简法。 例4、解方程：。 分析：此方程若直接通分将会出现高次方程，并且运算过程十分复杂，做法不可取。此题可采用分组组合后各自通分的方法来求解。 解：原方程可化为： 分别通分并化简，得： 解得： 经检验，是原分式方程的解。 五、倒数法。 例5、解方程：。 分析：本题若按常规方法去做，需通分和去分母，然后再求解，过程较复杂。但如果采用倒数法，则可以简化解题过程。 解：原方程两边取倒数，得： 移项化简，得： 方程两边取倒数，得： 解得： 经检验，是原分式方程的解。 六、列项变形法。 例6、解方程：。 分析：将该方程直接去分母，方程两边的运算十分繁杂。若注意到方程的分母特点是两个连续因式的积，它们的差为1。凡是这样的分式或分数都能拆开成两个分式或分数的差，使得除首、末两项之外的中间项可以相互抵消，从而达到化繁为简。。
第十五章 分式 15.3 分式方程 第2课时 分式方程的应用 学习目标：1.理解实际问题中的数量关系. 2.在不同的实际问题中能审明题意设未知数，列分式方程解决实际问题. 重点：能通过列分式方程解决实际问题. 难点：找出实际问题中的数量关系，并列出方程. 一、知识链接 1.解方程： 2.列方程（组）解应用题的一般步骤是什么？ （1） ；（2） ；（3）解所列方程； （4）检验所列方程的解是否符合题意；（5）写出完整的答案. 3.列方程（组）解应用题的关键是什么？ 二、新知预习 4.完成下面解题过程： 小红和小丽分别将9000字和7500字的两篇文稿录入计算机，所用时间相同.已知两人每分钟录入计算机字数的和是220字.两人每分钟各录入多少字？ （1）请找出上述问题中的等量关系； 答：________________________________________________________________________. （2）试列出方程，并求方程的解； 解：设小红每分钟录入x 字，则小丽每分钟录入______字.根据题意，得 _________________________. 解这个方程得_____________________. 经检验，__________________________. 答：_____________________________________________________________. 要点归纳：根据4中的解题步骤，归纳用分式方程解决实际问题的一般步骤为： 第一步，审清题意； 第二步，根据题意设未知数； 第三步，根据题目中的数量关系列出式子，并找准等量关系，列出方程； 第四步，解方程，并验根，还要看方程的解______________； 第五步，作答． 三、自学自测 1.八年级(1)班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树x 棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( ) A.300x －2060＝3001.2x B.300x －3001.2x ＝20 自主学习 教学备注 学生在课前完成自主学习部分 241122x x x x += --
分式方程解法的标准 一,内容综述: 1.解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时,是将分式方程化为一元一次方程,复杂的(可化为一元二次方程)分式方程的基本思想也一样,就是设法将分式方程"转化"为整式方程.即 分式方程整式方程 2.解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法,在方程两边同时乘以各分式的最简公分母,使分式方程转化为整式方程.但要注意,可能会产生增根.所以,必须验根. 产生增根的原因: 当最简公分母等于0时,这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数,所得方程与原方程同解),这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解. 检验根的方法: 将整式方程得到的解代入原方程进行检验,看方程左右两边是否相等. 为了简便,可把解得的根直接代入最简公分母中,如果不使公分母等于0,就是原方程的根;如果使公分母等于0,就是原方程的增根.必须舍去. 注意:增根是所得整式方程的根,但不是原方程的根,增根使原方程的公 分母为0. 用去分母法解分式方程的一般步骤: (i)去分母,将分式方程转化为整式方程; (ii)解所得的整式方程; (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题,可通过添设辅助元素(或者叫辅助未知数)来解决.辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量,从而把问题化繁为简,化难为易,使未知量向已知量转化,这种思维方法就是换元法.换元法是解分式方程的一种常用技巧,利用它可以简化求解过程. 用换元法解分式方程的一般步骤: (i)设辅助未知数,并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数 式; (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程,求出辅助未知数的值; (iii)把辅助未知数的值代回原设中,求出原未知数的值; (iv)检验做答. 注意:(1)换元法不是解分式方程的一般方法,它是解一些特殊的分式方程的特殊
特殊分式方程的几种特殊解法 解分式方程最常用的方法是去分母法，把分式方程化为整式方程，以之求解的过程， 但在一些具体方程中，若用去分母的方法，其未知数的次数会增大，运算复杂，计算量加 大，易出现错误，因此要善于观察具体方程的特点，对一些特殊分式方程，采用特殊方法, 会简化解题过程。 一 ?比例法 x 1 a b 例1.解方程 (b 0) x 1 a b A D 分式：观察方程，形如： 的形式，可根据比例"两外项之积等于两内项之积” B C 而直接求解。 解：原方程化为 (x 1)(a b) (a b)(x 1) 2a a x b 2 3x 3 2x 3x 1 2x 2 解：原方程化为 (2 3x)(2x 2) (3 2x)(3x 整理得13x 7， 7 x 13 经检验x —是原方程的根。 13 二.换元法 y 3 4y 8 例3.解方程 y 2 y 3 分析：本题若移项，形如— D ，如果用比例法则去分母后方程变为 B C 2 3y 24y 7 0，对一元二次方程我们还不能求解。因此，经观察发现 8 4 匚2，其中匚2与丄虫互为倒数关系，可利用换元法简便求解。 y 3 y 3 y 3 y 2 解：设'一3 A ，则原方程变形为 y 2 整理得2bx b 0， 例2.解方程: 1)
4 A 0 A 整理得A 2 4 A 2 y 3 当A 2时， 2，解得y i 7 ; y 2 当A 2时，乂卫 2，解得y y 3 3 1 、 经检验，y 1 7, y 2 都是原方程的解。 3 例4.解方程组 3 2 5 (1) x y x y 1 4 4 ⑵ y x x y 分析：方程(1),( 2)中都含有 --------------- x y 1 i 设 a , b x y x y 则方程组变形为 3b 2a 5 b 4a 4 解这个二元一次方程组， 1 1 求出a 、b 的值，代入 禾口 中，即可解出x , y 的值。 x y x y 三.倒数法 关系，可有下面解法。 解: x - 2，或x 1 4 4 因此可运用换元法, 例5.已知：x - x 分析：已知条件中, 1 ~2 x , 1 —互为倒数2- 2 21，求 x 2 2 1 ......... x , x 2 -，其中 2 2, 1 —互为倒数关系，利用此 2 1 ~~2 x 例6. 解方程: 2x 3x 2 17 分析: 3x 2 方程的左边两项为倒数之和, 2x 1 4 因此可用倒数法简化求解,
分式方程的解法与技巧 【典型例题】 1. 局部通分法： 例1. 解方程：x x x x x x x x -----=-----34456778 分析：该方程的特点是等号两边各是两个分式，相邻两个分式的分子与分子，分母与分母及每个分式的分子与分母都顺序相差1，象这类通常采取局部通分法。 解：方程两边分别通分并化简，得： 145178()()()() x x x x --=-- 去分母得：()()()()x x x x --=--4578 解之得：x ＝6 经检验：x ＝6是原分式方程的根。 点拨：此题如果用常规法，将出现四次项且比较繁，而采用局部通分法，就有明显的优越性。 但有的时候采用这种方法前需要考虑适当移项，组合后再进行局部通分。 2. 换元法： 例2. 解方程： 7643165469222x x x x x x ----+=--+ 分析：此方程中各分式的分母都是含未知数x 的二次三项式，且前两项完全相同，故可考虑用换元法求解。令或或或k x x k x x k x x =--=-+=-+222646569 k x x =-26均可。 解：设，则原方程可化为：k x x =-+265 793144k k k --=-+ 去分母化简得：20147111602k k --= ∴()()k k -+=1220930 ∴，k k ==-129320 当时，k x x =--=126702 ()()x x -+=710 解之得：，x x 1217=-=
当时，k x x =--+=-93206593202 2012019302x x -+= 解此方程此方程无解。 经检验：，是原分式方程的根。x x 1217=-= 点拨：换元法解分式方程，是针对方程实际，正确而巧妙地设元，达到降次，化简的目的，它是解分式方程的又一重要的方法，本题还有其它的设法，同学们可自己去完成。 3. 拆项裂项法： 例3. 解方程： 12442212x x x x ++-+-= 分析：这道题虽然可用通分去分母的常规解法，但若将第二项拆项、裂项，则更简捷。 解：原方程拆项，变形为： ()()()()12222222221x x x x x x ++++-+---= 裂项为： 122222221x x x x ++-++--= 化简得：321x += 解之得：x =1 经检验：x ＝1是原分式方程的解。 4. 凑合法： 例4. 解方程：x x x x 4143412 +-=--- 分析：观察此方程的两个分式的分母是互为相反数，考虑移项后易于运算合并，能使运算过程简化。 解：部分移项得： x x x x 4143412=--+--- ∴x x x x 4143412=------ ∴x 412= ∴x ＝2 经检验：x ＝2是原分式方程的根。
分式方程的特殊解法 分式方程的解法除常规的去分母法和换元法之外，还有许多特殊的解法。 一、 分组通分法： 例1、 解方程 3 2411423---=---x x x x 分析：要整个方程一起通分，计算量大又易出错。观察方程中分母的特点可联想分组通分求解。 略解：方程两边分别通分，相减得 ) 3)(4(5)1)(2(5---=---x x x x x x 当05≠-x 时，)3)(4()1)(2(--=--x x x x ，解得2 51= x 当05=-x 时，解得52=x 经检验，2 51= x 52=x 都是原方程的解 二、 分离分式法： 例2、解方程43325421+++++=+++++x x x x x x x x 分析：每个分式的分母与分子相差1，利用这特点可采用分离分式法求解 略解：原方程可变形为 4 11311511211+-++-=+-++-x x x x 整理得 )4)(3(72)5)(2(72+++=+++x x x x x x 当072=+x 时，解得2 7- =x 当072≠+x 时，方程无解 经检验2 7- =x 是原方程的解 练习：② 6 5327621+++++=+++++x x x x x x x x 解：29-=x 三、 巧添常数 例3、解方程 33224411+-++-=+-++-x x x x x x x x 解析：同样若整体通分，次数增高，运算复杂，求解困难，而方程中每个分式的分子和分母都是相同两数的差与和，可在每个分式中添加常数“1”，会使问题柳暗花明，迅捷可解，可谓别有洞天． )133()122()144()111(++-+++-=++-+++-x x x x x x x x ，即：3 2224212+++=+++x x x x x x x x
八年级数学下册 16.3.1 可化为一元一次方程的分式方程导学案（新版）华东师大版 16、3、1 可化为一元一次方程的分式方程 【学情分析】 学生在初一年已经学习了一元一次方程的解法，并且在本章前面的学习中也学习分式有意义的条件，为本节的学习打下了基础，本节的关键是把分式方程化为整式方程来解。 【学习内容分析】 本节内容通过一个实际应用题来引入分式方程的概念，然后引导、概括分式方程的解法及检验的原因，再结合练习巩固。 【学习目标】 （1）理解分式方程的概念（2）掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法（3）懂得解分式方程可能产生增根，理解检验的必要性并会进行检验。 【重难点预测】 教学重点: 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法教学难点: 理解解分式方程时产生增根的原因，并会进行检验。 【学习过程】 + 【学法指导】
基本环节：自学展示—反馈 一、课前展示：（4分钟） 1、上节课典错展示、分析； 2、问题导入：P12 “问题” 二、明确目标、自学指导（2分钟） 【自学指导】 认真看P12---15页的“例2”的内容，思考： 1、分式方程的特点： 2、去分母时，方程两边每一项同乘以各分母的，其根据是_____________ 3、什么叫增根？为什么要验根？如何快速验根？5分钟后，比谁能正确地做出相关练习。 三、自主学习，检测练习。（8分钟） 1、学生看书，教师巡视，确保人人紧张看书。 2、学生练习：P16练习2 、 四、组内交流、准备汇报 （5分钟）讨论分工如下：4个小组： 练习2（1）5个小组：练习2（2） 五、组间展示点评，达成共识（7分钟）小组代表展示，小组代表点评、质疑，教师点拨、拓展，控制秩序。共识： 1、分式方程的概念； 2、分式方程的解法；
分式方程的解法及应用（提高） 责编：杜少波 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 【高清课堂分式方程的解法及应用知识要点】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数 的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方 程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方 程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中 没有错误的前提下进行的. 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行： （1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数； （3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；
第16章复习与小结 【学习目标】 1．让学生进一步熟悉分式的基本性质与分式的运算，解分式方程及分式方程应用题． 2．让学生进一步熟悉零指数幂与负整数指数幂及科学记数法． 【学习重点】 分式的性质、运算、分式方程、应用题、零指数幂与负整数指数幂． 【学习难点】 分式的运算、应用题与整数指数幂． 行为提示：知识结构图及相关知识可以让学生自主完成，有不熟悉的可让学生之间互相辅导． 知识链接： 1．分式A B ＝0?? ????A ＝0，B ≠0. 2．分式A B 有意义?B ≠0；反之，无意义时，B ＝0. 3．分式通分、约分的依据：分式的基本性质． 4．分式的运算顺序与实数的运算顺序一样． 方法指导：针对每一道数学题，都应认真读题，明确已知条件和隐含条件，特别是分式 的基本性质、解分式方程，处处都是陷阱，还有0与负整数指数幂的运算，都应小心．情景 导入 生成问题 知识结构图 自学互研 生成能力 知识模块一 分式的基本性质与运算 【合作探究】 范例1：下列有理式：2a π，x 23x ，12a ＋23b ，x －y x 2＋y 2，－x －2，y x ，其中是分式的有( D ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 分析：分式的两个特点：(1)分母是整式且不为0；(2)分母含有字母(π除外)． 范例2：下列式子从左到右的变形一定正确的是( D ) A .A B ＝A ·M B ·M B .A B ＝A ÷M B ÷M C .b a ＝b ＋1a ＋1 D .2a －b ＝84a －4b
分析：分式的基本性质：分式的分子、分母都乘以(或都除以)同一个不等于0的整式， 分式的值不变． 注意：左边约去的整式是隐含条件，成立；右边约去的整式没有限制条件，不成立． 范例3：下列分式：xy 22a 2b ，a 2－b 2a ＋b ，x －1x 2＋1，1－x x ，其中是最简分式的有( C ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 分析：最简分式是指分子与分母没有公因式的分式． 范例4：(2016·烟台中考)先化简，再求值：????x 2－y x －x －1÷x 2－y 2x 2－2xy ＋y 2，其中x ＝2， y ＝ 6. 分析：分式的混合运算应注意运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，最后得出结果， 分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式．同时注意符号的变化．
归纳：15.3 分式方程 15.3.1 分式方程及其解法 学习目标： 1.知道分式方程的概念； 2.会解分式方程。 重点：分式方程及其解法. 难点：分式方程产生增根的原因. 学习过程： 一、复习回顾： 1.什么是一元一次方程？ 2.怎么解一元一次方程？ 二、新课导入： 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90千米所用的时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？ 设：江水流速为v 千米/时，可得方程： 总结： 分式方程：______中含有___________的方程叫做分式方程. 练一练：下列方程哪些是分式方程？哪些是整式方程？ ⑴1=+y x ； ⑵3252z y x -=+； ⑶21-x ； ⑷053=+-x y ； ⑸11=+x x ； ⑹5 23x x +=-π 探究：怎样解上面问题中的方程呢？ 例1 解方程： ⑴ 233x x =- ⑵11 4112=---+x x x 解分式方程的基本思路： 把分式方程“转化”为___________，再利用________和解法求解。 解分式方程的方法： 在方程的两边同乘___________，就可约去___________，化成__________________。 总结： 解分式方程的基本步骤： 1._____________________________________ 2._____________________________________ 3._____________________________________
三、课堂达标检测： 解下列方程： ⑴x x 132=- ⑵x x 527=- ⑶31 2=-x x 四、课堂小结： 解分式方程的一般步骤是： 1.“化”在方程两边同乘以最简公分母，化成____________方程。 2.“解”即这个____________方程。 3.“验”即把方程的根代入____________，如果值____________，就是原方程的根；如果值____________，就是增根，应当____________。 五、课后检测： 1.下列方程是分式方程的是（ ） A. 2513x x =+- B.315226y y -+=- C.212302x x +-= D.81257x x +-= 2.若分式43+-x x 的值为0，则x 的值是（ ） A.x =3 B.x =0 C.x =﹣3 D.x =﹣4 3.把分式方程x x 142=+转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以（ ） A.x B.2x C.x +4 D.x （x +4） 4.解下列方程： ⑴1 2511+=-x x ⑵112x =- ⑶x x 325=- ⑷ 3121 x x =- 15.3.2 解分式方程 教学目标： 1.了解分式方程的基本思路和解法. 2.理解分式方程可能无解的原因,并掌握解分式方程的验根的方法. 重点：解分式方程的基本思路和解法. 难点：理解解分式方程可能无解的原因，及增根的含义.
分式方程意义及解法 一、内容综述： 1．解分式方程的基本思想 在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程．即分式方程整式方程 2．解分式方程的基本方法 (1)去分母法 去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程．但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。 产生增根的原因： 当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解． 检验根的方法： （1）将整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。 （2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去．注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0．
用去分母法解分式方程的一般步骤： (i)去分母，将分式方程转化为整式方程； (ii)解所得的整式方程； (iii)验根做答 (2)换元法 为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决．辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法．换元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程． 用换元法解分式方程的一般步骤： (i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； (iv)检验做答． 注意： （1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。 （2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。 （3）无论用什么方法解分式方程，验根都是必不可少的重要步骤。
分式方程的几种特殊解法 白云中学：孙权兵 解分式方程的一般步骤：（1）去分母，化分式方程为整式方程； （2）解整式方程；（3）检验，判断所求整式方程的解是否是原分式方程的解。但在具体求解时却不能死搬硬套，尤其是在解某些特殊的分式方程时，应能根据方程的特点，采用灵活多变的解法，并施以适当的技巧，才能避繁就简，巧妙地将题目解出。下面举例谈谈解分式方程的几种特殊技巧。 一、加减相消法。 例1、解方程：2017 2018112017201811222++-=++-+x x x x x 。 分析：若直接去分母固然可以求出该题的解，但并不是最佳解题方法。如果我们发现方程两边都加上分式 2017 201812++x x ，则可以通过在方程两边都加上分式2017201812++x x ，就将原方程化简成112=+x ，从而轻松获解。 解：原方程两边都加上2017201812++x x ，则可得：11 2=+x 去分母，得：12+=x 解得：1=x 经检验，1=x 是原分式方程的解。 二、巧用合比性质法。
例2：解方程：7 81222++=++x x x x 。 分析：若我们能发现方程两边的分式的分子比分母都多1的话，则可以利用合比性质将分子化为1，从而可以轻易将方程的解求出。 解：由合比性质可得：7 7-811-2222+++=+++x x x x x x ）（）（）（）（ ∴ 7 1112+=+x x 去分母并化简得：062=--x x ，即0)2)(3=+-x x （ 解得：23-==x x 或 经检验，23-==x x 或是原分式方程的解。 三、巧用等比性质法。 例3、解方程：1 3242344++=++x x x x 。 分析：该方程两边的分式的分子之差和分母之差都是常数，故可考虑先用等比性质将原方程化简后再求解。 解：由等比性质可得： 1324)13()23(2444++=+-++-+x x x x x x ）（）（。 ∴ 13242++= x x 化简得： 02=x ∴ 0=x 经检验，0=x 是原分式方程的解。
1.2分式的乘除法 1.会进行分式的乘除法的运算； 类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则 培养学生的创新意识和应用数学的意识. 会进行分式的乘除运算 灵活运用所学的知识解题 小组合作交流，精讲多练 一.创设情境，引入新课 上节课，我们学习了分式的基本性质，我们可以发现它与分数的基本性质类似，那么分式的运算是否也和分数的运算类似呢？ 下面我们观察下列算式：——探索、交流 32×54=5342??,75×92=9 72 5??, 32÷54=32×45=4352??,75÷92=75×29=2 795??. 猜一猜a b ×c d = a b ÷c d = 与同伴交流. 观察上面运算，可知： 两个分数相乘，把 作为积的分子，把 作为积的分母； 两个分数相除， 。 即 a b ×c d =ac bd ; a b ÷c d =a b ×d c =ad bc . 这里字母a ,b ,c ,d 都是整数，但a ,c ,d 不为零. 如果让字母代表整式，那么就得到类似于分数的分式的乘除法. 二．探究新知 1.分式的乘除法法则 分式的乘除法法则与分数的乘除法法则类似： 两个分式相乘， 两个分式相除， 2.例题讲解 ［例1］计算：（1）y a 86·2232a y ;（2）c ab 42·(-b a c 2 32). 分析：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；（2）强调运算结果如不是最简分式时，一 定要进行约分，使运算结果化为最简分式. ［例2］计算：（1）3xy 2÷x y 2 6;（2）(b a 2-)÷(2 )b a 分析：（1）将算式对照分式的除法运算法则，进行运算；（2）当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路. 巩固练习 (1)2 2 543()512y x y x xy ? ?- (2)322 26()y x x y x x y ÷-?÷ (3) 222522223111212()()()6189a b a y ay cx c x b x -÷-?- 想一想 （1）你会计算 22-+a a ·a a 21 2+吗？ （2）两个分式相乘时，如果分子或分母是多项式，应当先怎样进行？ 3.做一做
分式及分式方程 聚焦考点☆温习理解 一、分式 1、分式的概念 一般地,用A 、B 表示两个整式，A ÷Ｂ就可以表示成B A 的形式,如果B 中含有字母,式子B A 就叫做分式。其中,Ａ叫做分式的分子， B 叫做分式的分母。分式和整式通称为有理式。 2、分式的性质 (1）分式的基本性质: 分式的分子和分母都乘以(或除以）同一个不等于零的整式,分式的值不变。 （2）分式的变号法则： 分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个,分式的值不变。 3、分式的运算法则 ;;bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a =?=÷=? );()(为整数n b a b a n n n = ;c b a c b c a ±=± bd bc ad d c b a ±=± 二、分式方程 1、分式方程 分母里含有未知数的方程叫做分式方程。 2、分式方程的一般方法 解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是: (１)去分母,方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 (3）验根：将所得的根代入最简公分母,若等于零,就是增根，应该舍去；若不等于零,就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法 换元法： 换元法是中学数学中的一个重要的数学思想,其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。 名师点睛☆典例分类 考点典例一、分式的值 【例1】(２0１5·黑龙江绥化）若代数式6 265x 2-+-x x 的值等于0 ，则x=___＿_____. 【点睛】分式6 265x 2-+-x x 的值为零则有ｘ2-5x ＋6为0分母2x-6不为0，从而即可求出x 的值. 【举一反三】 1.要使分式x 1x 2 +-有意义,则x 的取值应满足( ) A. x 2≠ B. x 1≠- C. x 2= D. x 1=- ２.（2０15·湖南常德)若分式211 x x -+的值为０，则x ＝ 考点典例二、分式的化简 【例2】化简：2x x x 1x 1 ---=（ ） Ａ、0 B 、1 C 、x Ｄ、 1 x x - 【点睛】观察所给式子,能够发现是同分母的分式减法。利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果. 【举一反三】 1．化简22 a b ab b a --结果正确的是【 】 2.若241()w 1a 42a +?=--，则w ＝（ ）
分式方程的解法及应用（提高) 【学习目标】 1. 了解分式方程的概念和检验根的意义,会解可化为一元一次方程的分式方程． 2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】 要点一、分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释:（１)分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数． (2)分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数(不是一般的字母 系数）．分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的 方程是整式方程. （3)分式方程和整式方程的联系:分式方程可以转化为整式方程. 要点二、分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根. 解分式方程的一般步骤： (１）方程两边都乘以最简公分母,去掉分母，化成整式方程（注意:当分母是多项式时,先分解因式,再找出最简公分母); (２)解这个整式方程,求出整式方程的解； (3)检验:将求得的解代入最简公分母,若最简公分母不等于0,则这个解是原分式方程的解,若最简公分母等于０,则这个解不是原分式方程的解,原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根． 产生增根的原因:去分母时,方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子,这个式子有可能为零，对于整式方程来说,求出的根成立,而对于原分式方程来说,分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根. 要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原理,方程的两边都乘以(或除以）同一个不为0的数,所得方程是原方程 的同解方程．如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程 不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根. （２）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解 方程过程中是否有错误,而是检验是否出现增根,它是在解方程的过程 中没有错误的前提下进行的． 要点四、分式方程的应用 分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行: （1)审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系; (２）设未知数; （3)找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程; （4)解这个分式方程； （5)验根，检验是否是增根; （6)写出答案.
分式方程的特殊解法 四川省攀枝花市第二中学 617000 王琨 分式方程的解法除常规的去分母法和换元法之外，还有许多特殊的解法。 一、 分组通分法： 例1、 解方程 3 2411423---=---x x x x 分析：要整个方程一起通分，计算量大又易出错。观察方程中分母的特点可联想分组通分求解。 略解：方程两边分别通分，相减得 ) 3)(4(5)1)(2(5---=---x x x x x x 当05≠-x 时，)3)(4()1)(2(--=--x x x x ，解得2 51= x 当05=-x 时，解得52=x 经检验，2 51= x 52=x 都是原方程的解 二、 分离分式法： 例2、解方程43325421+++++=+++++x x x x x x x x 分析：每个分式的分母与分子相差1，利用这特点可采用分离分式法求解 略解：原方程可变形为 4 11311511211+-++-=+-++-x x x x 整理得 )4)(3(72)5)(2(72+++=+++x x x x x x 当072=+x 时，解得2 7- =x 当072≠+x 时，方程无解 经检验27-=x 是原方程的解 三、 韦达定理法： 例3、解方程71 )1(31)1(222=+++++x x x x 分析：该方程的常规解法是换元法，但通过进一步观察会发现含有未知数的两个代数式的和或积都等于常数，故联想韦达定理求解。 略解：设 1)1(22++=x x u 1 )1(32++=x x v 则易知u ，v 是方程0672=+-y y 的两个解，
解这个方程得1=u 6=v 或1 6==v u ???????=++=++∴ (2) 61 )1(3)1( 11)1(2 22x x x x 或???????=++=++(4) 11)13((3) 61)1(222x x x x 由(2) 1)(得 方程无解 由(4) (3)得 2 1732 1±=x 经检验，它们满足原方程。故原方程的解是 2173 1+=x 2 1732-=x 四、 配方法： 例4、解方程 )32(49422x x x x -=+ 分析：观察发现方程左边恰好是 2x 与x 3的平方和，而右边又含有式子x x 32-，故可通过配方的方法把左边写成2x 与x 3差的完全平方的形式，进而把原方程看作是以x x 32-为未知数的一元二次方程去求解。 略解：原方程可变形为 03)32(4)32(2=+---x x x x 解之得132=-x x 或 332=-x x 当132=-x x 时，解之得712 1±=x 当332=-x x 时，解之得1534 3±=x 经检验，它们都满足原方程。故原方程的解是 71 1+=x 712-=x 1533+=x 1534-=x 五、 运用方程c b c x b x +=+ 的解求解 方程c b c x b x +=+的解不难通过去分母法求得为c x =1，c b x =2运用这一结论可以使具备此方程特征的这类方程的解法简捷。 例5、解方程 25991=+++ x x x
分式知识点总结 （一） 分式的相关概念 考点一：分式的定义:__________________________________ 【例1】下列代数式中：222 ,,,,2x x y ax x y x x y π+- +，是分式的有： ______. 考点二：分式有意义的条件:____________________________________________- 【例2】当x 时，分式31 -+x x 有意义；当x 时，分式32-x x 无意义。 考点三：分式的值为0的条件:________________________________________- 【例3】分式39 2 --x x ：当x ______时分式的值为零。 考点四：考分式的值为正、负的条件 【例4】（1）当x =___________时，分式x -84 为正； （2）当x =________________时，分式22 3x x -+为非负数. （二）分式的基本性质及有关题型 1．分式的基本性质：A A M A M B B M B ?÷==?÷ 【例1】若把分式xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍 考点一：分数的系数变号 【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. （1）b a ---=_______（2）y x y x --+-=__________ 考点二：化简求值题 【例1】已知：21 =-x x ，则221 x x +=_______________. .【例2】已知a+b=5， ab=3，则=+b a 1 1 _______。 （三）分式的运算 1．确定最简公分母的方法：_____________________________________________________