数字信号处理实验
综合实验粒状极限环现象和解决方法
姓名：刘虔堃
学号：20091060027
班级：通信国防
指导教师：柏正尧
实验日期：2011.12.23
目录
Comprehensive Laboratory Exercise (2)
Theoretical Basis（基本理论）： (2)
Finite Word Length Effect（有限字长效应） (2)
Truncated&Rounding-off processing（截尾和舍入处理） (2)
Limit Cycles（极限环） (2)
Matlab模拟仿真实验 (3)
Granular Limit Cycle Generation（粒状极限环的产生） (3)
Circumstantiate Granular Limit Cycle’s Influence To The Filter(验证粒状极限环对滤
波器的影响) (9)
Reference（参考文献） (13)
Name:刘虔堃
Section:通信工程（武警国防生）
Comprehensive Laboratory Exercise
（综合实验）
The Phenomenon Of Granular Limit Cycles And The
Solution
（粒状极限环现象和解决方法）
Theoretical Basis（基本理论）：
Finite Word Length Effect（有限字长效应）
实现DSP（数字信号处理）时，应当考虑数字系统中，储存单元的容量有限，即存
储器是有限字长的。而现实的信号都可被认为是具有无限精度的（可连续变化的）。因
此在进行数字信号处理时，只能用有限的字长来表示具有无限精度的信号，从而对系统
特性造成一定的影响。
Truncated&Rounding-off processing（截尾和舍入处理）
在数字信号处理中，考虑到有限字长效应，只能用有限位的二进制数近似地表示十
进制数。截尾处理：低位数截短；舍入处理：在数据的L+1位上加1，然后截短。
Limit Cycles（极限环）
“极限环现象”又称“极限环振荡”或“零输入极限环振荡”，极限环振荡导致非
受迫稳定数字滤波器的输出在输人为零时呈现小幅变化，滤波器的响应未能成功地衰
减为零。语音通信应用中，在静默（无语音）期间如果听到不期望的“嘀嗒”声，这可
能就是由极限环振荡导致的。第一代DSP处理器精度较低（例如，只有8位），这时极
限环振荡相当麻烦，需要花费大量工作时间来缓解这个问题。
Matlab模拟仿真实验
Granular Limit Cycle Generation（粒状极限环的产生）
由于极限环产生于滤波器中，因此我们首先假设一个简单的一阶无限冲激响应滤波器：
y[n]=αy[n-1]+x[n]
我们将研究如上一阶无限冲击响应滤波器中粒状极限环的产生，当假定使用舍入的方法处理数据时,我们将得到下式：
y[n]=Q(αy[n-1])+x[n]
其中α是滤波器系数，Q(y[n-1])表示y[n-1]舍入得到的结果，x[n]为输入。观测的方法就是检测该滤波器在0输入的情况下的响应。
我们可以用下例的matlab程序来观察：
%一阶无限冲激响应滤波器中的粒状极限环
alpha=input('输入α的值=');
yi=0;x=0.04;
for n=1:21
y(n)=a2dR(alpha*yi,5)+x;
yi=y(n);x=0;
end
k=0:20;
stem(k,y)
ylabel('振幅');xlabel('时间序号n')
【CODE1；α为用户手动输入的数值;初始值x[0]=0.04，y[0]=0】
CODE1中涉及到一个舍入处理函数function a2dR。通过这个函数可以将十进制数通过舍入的方式得到近似的二进制数。
函数function a2dR的代码如下：
function beq=a2dR(d,n)
%BEQ=A2DR(D,N)
%产生一个十进制数向量D 的二进制表示的十进制等数BEQ %其中N 表示有N 位用于通过舍入得到的幅度部分 m=1;d1=abs(d); while fix(d1)>0 d1=abs(d)/(10^m); m=m+1; end
beq=0;d1=d1+2^(-n-1); for k=1:n
beq=fix(d1*2)/(2^k)+beq; d1=(d1*2)-fix(d1*2); end
beq=sign(d).*beq*10^(m-1);
【CODE2；N 对应CODE1中y(n)=a2dR(alpha*yi,5)+x 的常量值5，决定舍入的精度，N 值越大，舍入保留的位数越多，精度越高】
运行CODE1进行观察
The plots generated by running Code1 for = 0.55 is shown below （输入α=0.55观察结果）：
02468
1012
14161820
振幅
时间序号n
α=0.55
From the plot we conclude that—As a result of round-off processing ,the limit cycle will present in the filter.(由于舍入处理的影响，滤波器中将会出现极限环。)
为了更好的观测极限环的现象，现对上述CODE1进行修改
修改后的CODE1：
%一阶无限冲激响应滤波器中的粒状极限环
alpha=input('输入α的值=');
yi=0;x=1;
for n=1:21
y(n)=a2dR(alpha*yi,4)+x;
yi=y(n);x=0;
disp('y=');disp(yi);
end
k=0:20;
stem(k,y)
ylabel('振幅');xlabel('时间序号n')
【CODE3；disp语句用来显示y[n]的值，初始值x[0]改为1，N值修改为4】
运行CODE3进行观察
The plots generated by running Code3 for α = 0.55 α = 0.5 and α = - 0.5 are shown below（输入α=0.55和α=±0.5观察结果）：
2
4
6
8
101214
16
18
20
振幅
时间序号n
α=0.55
2
4
6
8
101214
16
18
20
振幅
时间序号n
α=0.5
幅
振
时间序号n
α= -0.5
极限环理论表明，极限环振荡现象严重程度和滤波器的精度关，现在将代码3中的
N修改为8，提高其舍入精度后再次运行代码3进行观察
The plots generated by running Code3 for α = 0.5 and α = - 0.5 are shown below（输入α=±0.5观察结果）：
幅
振
时间序号n
α=0.5
幅
振
时间序号n
α= -0.5
α=0.55，N=4 α=0.5，N=4 α=-0.5，N=4 α=0.5，N=8 α=-0.5，N=8 y=1 y=1 y=1 y=1 y=1
y=0.5625 y=0.5000 y=-0.5000 y=-0.5000 y=-0.5000
y=0.3125 y=0.2500 y=0.2500 y=0.2500 y=0.2500
y=0.1875 y=0.1250 y=-0.1250 y=0.1250 y=-0.1250
y=0.1250 y=0.0625 y=0.0625 y=0.0625 y=0.0625
y=0.0625 y=0.0625 y=-0.0625 y=0.0313 y=-0.0313
y=0.0625 y=0.0625 y=0.0625 y=0.0156 y=0.0156
y=0.0625 y=0.0625 y=-0.0625 y=0.0078 y=-0.0078
y=0.0625 y=0.0625 y=0.0625 y=0.0039 y=0.0039
y=0.0625 y=0.0625 y=-0.0625 y=0.0039 y=-0.0039
y=0.0625 y=0.0625 y=0.0625 y=0.0039 y=0.0039
y=0.0625 y=0.0625 y=-0.0625 y=0.0039 y=-0.0039
y=0.0625 y=0.0625 y=0.0625 y=0.0039 y=0.0039
y=0.0625 y=0.0625 y=-0.0625 y=0.0039 y=-0.0039
y=0.0625 y=0.0625 y=0.0625 y=0.0039 y=0.0039
y=0.0625 y=0.0625 y=-0.0625 y=0.0039 y=-0.0039
y=0.0625 y=0.0625 y=0.0625 y=0.0039 y=0.0039
y=0.0625 y=0.0625 y=-0.0625 y=0.0039 y=-0.0039
y=0.0625 y=0.0625 y=0.0625 y=0.0039 y=0.0039
y=0.0625 y=0.0625 y=-0.0625 y=0.0039 y=-0.0039
y=0.0625 y=0.0625 y=0.0625 y=0.0039 y=0.0039
各次运行的输出结果
From these plots we conclude that—
At the beginning, the zero-input terminal is weaken fast, but after the value of y decreases to one constant, the limit cycle will present in the filter. (在初始阶段，零输入
响应快速减弱，而在y减低到某固定值后则发生极限环振荡。)
N=4，the limit cycle presents when y=0.0625(α= 0.55,α= 0.5) and y=±0.0625(α
=- 0.5),the value of |y| and a are irrespective. (N=4时，振荡点在y=0.0625（α=0.55,
α=0.5）和y=±0.0625（α= -0.5）并且极限环出现时|y|的大小和α无关。)
N=8,the phenomenon of granular limit cycle weakens obviously. (N=8时，粒状极限环
振荡现象明显减弱。)
Therefore we may draw the further conclusion—
The granular limit cycle is related to the filter’s precision and has nothing to do with
the type and coefficient of the filter. The solution to the granular limit cycle is to improve
the filter’s precision.（粒状极限环的产生和滤波器的精度有关而和滤波器的类型和系数无
关。解决粒状极限环的方法就是提高滤波器的精度。）
Circumstantiate Granular Limit Cycle’s Influence To The Filter(验证粒状极限环对滤波器的影响)
首先我们需要模拟一个巴特沃斯高通滤波器，这个滤波器对一个扫频信号进行滤波，以观察极限环对滤波器的截止和通行部分的影响。
滤波器参数：抽样频率3500Hz；通带边界频率1050；阻带边界频率600；通带波纹1dB；最小阻带衰减20dB。
输入扫频信号参数：最小频率0.005；最大频率0.5；序列长40；初始相位0。
输入信号采用舍入法处理，舍入位数为N。
巴特沃斯高通滤波器代码如下：
%巴特沃斯高通滤波器的设计
N=input('输入舍入位数N=');
ft=3500;fp=1050;fs=600;rp=1;rs=20;
wp=fp/ft;ws=fs/ft;
[n1,wn1]=buttord(wp,ws,rp,rs); %估计滤波器阶数
[num,den]=butter(n1,wn1,'high','s'); %设计滤波器
disp('num=');disp(num); %显示传输函数
disp('den=');disp(den);
[g,w]=gain(num,den); %计算增益响应
%生成输入扫频序列
n=0:40;
p1=pi/2/40;
p2=0;
arg=p1*n.*n+p2*n;
x=cos(arg);
x1=a2dR(x,N);
y=filter(num,den,x1);%计算输出y[n]
disp('y=');disp(y);
subplot(3,1,1);
plot(w/pi,g);grid
xlabel('\omega/\pi');
ylabel('增益，dB');
subplot(3,1,2);
stem(n,x);
ylabel('振幅');
title('输入信号x');
subplot(3,1,3);
stem(n,y);
ylabel('振幅');
title('输出信号y');
【CODE4；输入为舍入位数N，输出为：滤波器增益响应图形；初始输入信号x图形；滤波后输出信号y图形及离散值】
为了验证极限环对滤波器的影响，并使得结果容易观察，本次CODE4运行将分两次，
第一次运行时输入N=1；第二次运行时输入N=32（本机器字长最大为32）
The plots generated by running Code4 first time for N=1 are shown below（第一次运行CODE4输入N=1观察结果）：
00.10.20.30.4
0.50.60.70.80.91
-10
10
ω/π增益，d B
振幅
输入信号x
0510152025303540
振幅
输出信号y
N=1
y=
Columns 1 through 9
1.0000 0.1513 0.5114 0.4170 0.4323 -0.0689 -0.1446 -0.4003 -0.6088
Columns 10 through 18
-0.3250 0.0352 0.1510 0.8997 0.1845 -0.4950 -0.7337 -0.2304 1.0026
Columns 19 through 27
0.3087 -0.5895 -0.7012 0.7631 0.6545 -1.2555 -0.2308 1.5754 -1.1463
Columns 28 through 36
-0.5543 1.7396 -1.1923 -0.0466 1.3146 -2.0122 1.7548 -0.8866 -0.2095
Columns 37 through 41
1.3606 -
2.0199 2.2554 -2.3109 2.3192
滤波后输出信号y 的离散值
The plots generated by running Code4 second time are shown below （第二次运行CODE4输
入N=32观察结果）：
00.10.20.30.4
0.50.60.70.80.91
-10
10
ω/π增益，d B
振幅
输入信号x
0510152025303540
振幅
输出信号y
N=32
y=
Columns 1 through 9
1.0000 0.1505 0.4998 0.3654 0.2894 0.1276 -0.0984 -0.3421 -0.5002 Columns 10 through 18
-0.4445 -0.1160 0.3504 0.6035 0.3182 -0.3617 -0.7013 -0.1233 0.7319 Columns 19 through 27
0.4823 -0.6894 -0.6550 0.7868 0.6126 -1.0776 -0.1785 1.3020 -0.7928 Columns 28 through 36
-0.7016 1.5711 -1.0648 -0.2924 1.4942 -1.8945 1.4578 -0.5338 -0.4711 Columns 37 through 41
1.2905 -1.8334
2.1297 -2.2605 2.3054
滤波后输出信号y 的离散值
From these plots we conclude that —
With the filter ’s precision has been improve, the granular limit cycle vibration is weaken, which cause the part value of output in the stop band is more close to zero. It prove that the granular limit cycle has some influence on the filter, and the influence can be increased by gaining the word length.(随着滤波器精度的提高，极限环振荡减弱，
使得输出波形在带阻部分的值更接近于零。证明极限环对滤波器存在影响，并可以通过提高字长来解决。)
Reference（参考文献）
北京邮电大学信息与通信工程学院《数字信号处理讲义》
——作者孙松林
《Digital Signal Processing Laboratory Using MATLAB》
——作者 Sanjit K. Mitra
《信号与线性系统分析》
——作者梁红等百度文库《有限字长效应》
Date: Signature:
后继函数与极限环的稳定性
后继函数与极限环的稳定性 1 Poineare 映射与后继函数 设平面系统 ()(),,,k dx P x y dt P Q C dy Q x y dt ?=??∈? ?=?? （1） k 为足够大的正数，并设Γ是系统(1)的一条闭轨线，其方程为 ()(),x x t y y t == ()x t 与()y t 是周期为T 的函数. 在Γ上任意一点0P 作Γ的外法向量，在Γ的足够小的邻域(),δΓU 内的法线短设为AB ，选取AB 上任意一点0Q ,B 并设从0P 到0Q 的有限距离为0n ，由解对初值的连续依赖性可知，从0Q 出发的轨线环绕闭轨一周后，必将再次与法线短 AB 相交于1Q 点。记0P 与1Q 的有向距离为n ，于是n 将是0n 的函数，并记为 ()0n n n =，如图(1)所示。 A 图1 定义1 称1Q 为0Q 的后继点; ()0n n 为后继函数，有时也称()()00N n n n n =-为后继函数。 当后继函数()00N n =时，即()0n n n =表示过0Q 点的轨线是一条闭轨线。通
过对后继函数的几何理解，很容易得出下列有关极限环稳定性的重要结论 若对法线段AB 上任意一点均有()000n N n >或()'00N >，则Γ为不稳定的极限环； 若()000n N n <或()'00N <，则Γ为稳定的极限环； 若()()0000N n n <≠，则Γ为外稳定而内不稳定的半稳定极限环； 若()()0000N n n >≠，则Γ为外不稳定而内稳定的半稳定极限环； 若()00N n ≡，则Γ为周期环。 根据后继函数()0N n 的零点个数，可以定义极限环的重数 定义2 若 ()()()()'k-1000=0,00k N N N N ===≠L 则称Γ为k 重极限环。特别地，1k =称Γ为单重极限环或简单极限环。 显然这里的k 重极限环对应于后继函数的k 重根。通过后继函数()0N n 在零点泰勒展开很容易的到这个结论。 2 曲线坐标与极限环的稳定性 设有系统(1)的闭轨线Γ，逆时针方向，其房程为 ()(),x f t y g t == f 与 g 均为周期为T 的周期函数. 在Γ的足够小的邻域(),δΓU 内，建立曲 线坐标如下图2，(),Q δ?∈ΓU ，过Q 点作Γ的法线与Γ相交于P 点。取法线方向向外为正。在Γ任意固定一点0P 作为度量弧长的起点，顺时针方向为正，并 记弧长?0PP s =，法线上的有向距离PQ n =。于是()U ,δΓ内的点Q 与数组(),s n 构成一一对应的关系，称(),s n 为Q 点的曲线坐标。
起重机联锁保护与运行极限位置限制装置 联锁保护与运行极限位置限制装置 联锁保护装置是一种联锁开关，包括由建筑物登上起重机司机室的门开关、由司机室登上桥架主梁的舱门开关、通道栏杆门的开关等。其功能是用来防止当有人正处于起重机的某些部位，或正跨入、跨出起重机的瞬间，而在司机不知晓的情况下操作起重机，在运动过程中伤人。联锁保护开关常常与紧急开关一块串联在起重机的控制电路中，只要有一个开关不闭合，起重机就不能启动。 极限位置限制装置也称行程限位开关，其功能是限制运动范围，防止行程越位。在所有类型起重机的起升机构上升极限位置、有轨运行机构的轨道端头附近都要设置。行程限位开关常常并联在机构运动的控制电路中，当向某方向的运动达到极限位置触碰限位开关时，则切断该方向的运动电路，停止该方向的运行，同时接通反向运动电路，使运行机构只能向安全方向运行。 联锁保护与运行极限位置限制装置 联锁保护装置是一种联锁开关，包括由建筑物登上起重机司机室的门开关、由司机室登上桥架主梁的舱门开关、通道栏杆门的开关等。其功能是用来防止当有人正处于起重机的某些部位，或正跨入、跨出起重机的瞬间，而在司机不知晓的情况下操作起重机，在运动过程中伤人。联锁保护开关常常与紧急开关一块串联在起重机的控制电路中，只要有一个开关不闭合，起重机就不能启动。 极限位置限制装置也称行程限位开关，其功能是限制运动范围，防止行程越位。在所有类型起重机的起升机构上升极限位置、有轨运行机构的轨道端头附近都要设置。行程限位开关常常并联在机构运动的控制电路中，当向某方向的运动达到极限位置触碰限位开关时，则切断该方向的运动电路，停止该方向的运行，同时接通反向运动电路，使运行机构只能向安全方向运行。
极限计算方法总结 《高等数学》是理工科院校最重要的基础课之一，极限是《高等数学》的重要组成部分。求极限方法众多，非常灵活，给函授学员的学习带来较大困难，而极限学的好坏直接关系到《高等数学》后面内容的学习。下面先对极限概念和一些结果进行总结，然后通过例题给出求极限的各种方法，以便学员更好地掌握这部分知识。 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可 以用上面的极限严格定义证明，例如： )0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5 )13(lim 2 =-→x x ； ???≥<=∞→时当不存在， 时 当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运 用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x
（2） e x x x =+→10 ) 1(lim ； e x x x =+∞ →)11(lim 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+ ∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的 等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数)(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且 )(x f ～)(1x f ，)(x g ～)(1x g ，则当) ()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)(x f )()(lim 110 x g x f x x →，即)() (lim 0x g x f x x →=) ()(lim 110x g x f x x →。 5．洛比达法则 定理5 假设当自变量x 趋近于某一定值（或无穷大）时，函数)(x f 和)(x g 满 足：（1）)(x f 和)(x g 的极限都是0或都是无穷大； （2）)(x f 和)(x g 都可导，且)(x g 的导数不为0； （3）) () (lim x g x f ''存在（或是无穷大）；
第二章 结构按极限状态法设计原则 （1）经验承载能力法； （2）容许应力法：以弹性理论为基础的，要求[]σσ≤max ， 其中[]n s /σσ=，n 为安全系数。 （3）破坏荷载法：考虑了材料塑性要求：[]P P ≤，其中 []n P P s /=，n 由经验确定。 （4）半经验、半概率极限状态法：分项安全系数，主要由 概率统计确定，不足的部分由经验确定。 （5）近似概率法：对作用的大小、结构或构件或截面抗力的“可靠概率”作出较为近似的相对估计 （6）全概率法：对影响结构可靠度的各种因素用随机变量 概率模型来描述，并用随机过程概率模型去描述，在对整个结构体系进行精确分析的基础上，以结构的失效概率作为结构可靠度的直接度量。 §2-1 极限状态法设计的基本概念 一、结构的功能要求 结构可靠性（度）———结构在规定的时间内，在规定的条件下，完成预定预定功能的能力（概率） 规定的时间——分析结构可靠度时考虑各项基本变量与 时间关系所取用的设计基准期 规定的条件——设计时规定的正常设计、施工和使用的条件，既不考虑认为过失 概率预定功能： (1) 能承受在正常施工和正常使用时可能出现的各种作用 —————安全性 在偶然作用发生时或发生后，结构能保持必要的整体稳定性（不发生倒塌）——安全性 偶然作用—如超过设计烈度的地震、爆炸、撞击、火灾等
必要的整体稳定性——在偶然作用发生时或发生后，仅发生局部损坏而不致连续倒塌 （2）在正常使用时应具有良好的工作性能——适用性如：不发生影响正常使用的过大变形或局部损坏（3）在正常维护条件下，具有足够的耐久性——耐久性耐久性——结构在化学的、生物的或其他不利因素 的作用下，在预定期限内，其材料性能 的恶化不导致结构出现不可接受的失 效概率 如：不发生由于保护层碳化或裂缝过宽，导致钢筋锈蚀。安全性、适用性、耐久性———三者总称为结构的可靠性二、极限状态 1．极限状态的定义 整个结构或结构的一部分超过某一特定状态而不能满足设计规定的某一功能要求时，则此特定状态称为——该功能的极限状态。 2．极限状态的分类 国际上一般将结构的极限状态分为三类： （1）承载能力极限状态———结构或构件达到最大承载力或不适于继续承载的变形 ①整个结构或结构的一部分作为刚体失去平衡（如滑动、倾覆等）——刚体失去平衡 ②结构构件或连接处因超过材料强度而破坏——强度破坏 ③结构转变成机动体系——————机动体系 ④结构或构件丧失稳定———失稳 ⑤由于材料的塑性或徐变变形过大，或由于截面开裂而引起过大的几何变形等，致使结构或结构不再能继续承载和使用———————变形过大
归纳函数极限的计算方法-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
归纳函数极限的计算方法 摘 要 ：本文总结出了求极限的几种方法，比如用定义、公式、定理、性质求极限. 关键词 ：函数极限；计算方法；洛必达法则; 四则运算 The sum of the Method of Computing Function Limit Abstract ：The write sums up in this article several ways of extacting the limit by the means of definition, formula,nature, theorem and so on. Key Words ：Function Limit ；Computing method ；L’Hospita l rules; Four fundamental rules 前言 极限的概念是高等数学中一个最基本、最重要的概念，极限理论是研究连续、导数、积分、级数等的基本工具，因此正确理解和运用极限的概念、掌握极限的求法，对学好数学分析是十分重要的.求极限的方法很多且非常灵活，本文归纳了函数极限计算的一些常见方法和技巧. 1. 预备知识 1.1函数极限的εδ-定义]1[ 设函数f 在点0x 的某个空心邻域'0(;)U x δ内有定义，A 为定数，若对任给的0ε>，存在正数'()δδ<，使得当00||x x δ<-<时有|()|f x A ε-<，则称函数当趋于0x 时以A 为极限，记作0 lim ()x x f x A →=或()f x A →0()x x →. 2.求函数极限的方法总结 极限是描述函数的变化趋势，以基于图形或直观结合定义可以求出一些简单的函数的极限；但是结构较为复杂的函数的图形不易画出，基于直观也就无法得出极
简述极限力矩限制器：1)作用:防止回转驱动装置偶尔过载,保护电动机、金属结构及传动零部件免遭破坏。(2)原理:正常工作时,蜗杆的转矩通过涡轮的圆锥形摩擦盘与上锥形摩擦盘间的摩擦力矩传给小齿轮轴,带动小齿轮转动;当需要传动的转矩超过极限力矩联轴器所能承受的转矩时,上下两个锥形摩擦盘间开始打滑,以此来限制所要传递的转矩,起到安全保护作用。 块式制动器：在接通电源时，电磁松闸器的铁心吸引衔铁压向推杆，推杆推动左制动臂向左摆，主弹簧被压缩。同时，解除压力的辅助弹簧将右制动臂向右推，两制动臂带动制动瓦块与制动轮分离，机构可以运动。当切断电源时，铁心失去磁性，对衔铁的吸引力消除，因而解除衔铁对推杆的压力，在主弹簧张力的作用下，两制动臂一起向内收摆，带动制动瓦块抱紧制动轮产生制动力矩；同时，辅助弹簧被压缩。制动力矩由主弹簧力决定，辅助弹簧保证松间间隙。块式制动器的制动性能在很大程度上是由松闸器的性能决定 起重力矩限制器的作用起重力矩限制器是太刀重要的安全装置之一，塔吊的结构计算和稳定性验算均是以最大额定起重力矩为依据，其中力矩限制器的作用就是控制塔吊使用时不得超过最大额定起重力矩，防止超载。构造和工作原理起重力矩限制器分为机械式和电子式，机械式中又有杠斜式和弓板式等多种形式。其中弓板式起重力矩限制器因结构简单，目前应用比较广泛。弓板式力矩限制器主要安装在塔帽的主弦杆上。其工作原理如下：塔吊吊载重物时，由于载荷的作用，塔帽的主弦杆产生压缩变形，载荷越大，变形越大。这时力矩限制器上的弓形钢板也随之变形。并将弦杆的变形放大，使弓板上的调节螺栓与限位开关的距离随载荷的增加而逐渐缩小。当载荷达到额定荷载时，通过调整调节螺栓触动限位开关，从而切断起升机构和变幅机构的电源，达到限制塔吊的吊重力矩载荷的目的 起重量限制器：一般会有3个触点，当触头碰到后触点，将信号反馈给PLC控制器，就起到相应的左右。当触头碰到50%起重量的触点后，此时起升吊钩能上升及下降，高速档回路被断开，只能中速或者低速运行。防止快速档提起重物导致起升电机电流过载从而使电机损坏。当触头碰到80%-90%起重量的触点后，此时起升吊钩能上升及下降，高速档回路和中速档回路被断开，只能者低速运行。防止提起重物速度过快导致起升电机电流过载从而使电机损坏。当触头碰到105%起重量的触点后，此时起升吊钩上升回路被断开，吊钩只能下降，高速档回路和中速档回路被断开，只能者低速运行。保护钢丝绳不被超重拉断。但不影响其它机构动作,以达到限载保护作用.
第一章极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义： 数列极限、函数极限， 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：0)1(1 lim 2=+-∞→n n ；5)13(lim 2=-→x x ；1,0lim <=∞ →q q n n 当等。 定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限 作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在， 且（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 0)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。 （2）一定注意两个重要极限成立的条件。 例如： 133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→210)21(lim ，e x x x =+∞→3)31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ， )(x g ～)(1x g ，则当)()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)()(lim 1 10x g x f x x →。 5．连续性 定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内
a r X i v :c h a o -d y n /9905039v 1 26 M a y 1999 Information-Theoretic Limits of Control Hugo Touchette ?and Seth Lloyd ? d’Arbelo?Laboratory for Information Systems and Technology,Department of Mechanical Engineering, Massachussetts Institute of Technology,Cambridge,Massachusetts 02139 (January 9,2014)Fundamental limits on the controllability of physical systems are discussed in the light of infor-mation theory.It is shown that the second law of thermodynamics,when generalized to include information,sets absolute limits to the minimum amount of dissipation required by open-loop con-trol.In addition,an information-theoretic analysis of closed-loop control shows feedback control to be essentially a zero sum game:each bit of information gathered directly from a dynamical systems by a control device can serve to decrease the entropy of that system by at most one bit additional to the reduction of entropy attainable without such information (open-loop control).Consequences for the control of discrete binary systems and chaotic systems are discussed.PACS numbers:05.45.+b,05.20.-y,89.70.+c Information and uncertainty represent complementary aspects of control.Open-loop control methods attempt to reduce our uncertainty about system variables such as position or velocity,thereby increasing our information about the actual values of those variables.Closed-loop methods obtain information about system variables,and use that information to decrease our uncertainty about the values of those variables.Although the literature in control theory implicitly recognizes the importance of in-formation in the control process,information is rarely regarded as the central quantity of interest [1].In this Letter we address explicitely the role of information and uncertainty in control processes by presenting a novel for-malism for analyzing these quantities using techniques of statistical mechanics and information theory.Specif-ically,based on a recent proposal by Lloyd and Slotine [2],we formulate a general model of control and inves-tigate it using entropy-like quantities.This allows us to make mathematically precise each part of the intuitive statement that in a control process,information must constantly be acquired,processed and used to constrain or maintain the trajectory of a system.Along this line,we prove several limiting results relating the ability of a control device to reduce the entropy of an arbitrary system in the cases where (i)such a controller acts inde-pendently of the state of the system (open-loop control),and (ii)the control action is in?uenced by some infor-mation gathered from the system (closed-loop control).The results are applied both to the stochastic example of coupled Markovian processes and to the deterministic example of chaotic maps.These results not only com-bine concepts of dynamical entropy and information in a uni?ed picture,but also prove to be fundamental in that they represent the ultimate physical limitations faced by any control systems. The basic framework of our present study is the fol-lowing.We assign to the physical plant X we want to control a random variable X representing its state vec- tor (of arbitrary dimension)and whose value x is drawn according to a probability distribution p (x ).Physically,this probabilistic or ensemble picture may account for in-teractions with an unknown environment,noisy inputs,or unmodelled dynamics;it can also be related to a de-terministic sensitivity to some parameters which make the system e?ectively stochastic.The recourse to a sta-tistical approach then allows the treatment of both the unexpectedness of the control conditions and the dynam-ical stochastic features as two faces of a single notion:uncertainty . As it is well known,a suitable measure quantifying un-certainty is entropy [3,4].For a classical system with a discrete set of states with probability mass function p (x ),it is expressed as H (X )≡? x p (x )log p (x ),(1) (all logarithms are assumed to the base 2and the entropy is measured in bits).Other similar expressions also ex-ist for continuous state systems (?ne-grained entropy),quantum systems (von Neumann entropy),and coarse-grained systems obtained by discretization of continuous densities in the phase space by means of a ?nite par-tition.In all cases,entropy o?ers a precise measure of disorderliness or missing information by characterizing the minimum amount of resources (bits)required to en-code unambiguously the ensemble describing the system [5].As for the time evolution of these entropies,we know that the ?ne-grained (or von Neumann)entropy remains constant under volume-preserving (unitary)evolution,a property closely related to a corollary of Landauer’s prin-ciple [6]which asserts that only one-to-one mappings of states,i.e.,reversible transformation preserving informa-tion are exempt of dissipation.Coarse-grained entropies,on the other hand,usually increase in time even in the ab-sence of noise.This is due to the ?nite nature of the par-tition used in the coarse-graining which,in e?ect,blurs the divergence of su?ciently close trajectories,thereby
极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义：（各种类型的极限的严格定义参见《高等数学》函授教材，这里不一一叙述）。 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的 极限严格定义证明，例如：)0,(0lim ≠=∞→a b a an b n 为常数且； 5)13(lim 2=-→x x ；??? ≥<=∞→时当不存在，时当，1||1||0lim q q q n n ；等等 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需 再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时， 不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式， 作者简介：靳一东，男，（1964—），副教授。 例如：133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→21 0) 21(lim ，e x x x =+∞ →3 )31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2 x - ～ 2x -。
移动式起重机功率极限载荷控制技术 孙继超1，顾 波2，刘华富1 （1. 上海派芬自动控制技术有限公司，上海，201206； 2. 徐州建筑职业技术学院 机电工程系，江苏 徐州 221008） 摘要：针对使用变量泵液压系统的移动式起重机的发动机功率极限保护问题，对其产生的原因进行了分析并提出相应的控制策略功率极限载荷控制，以解决发动机在工作过程中因超载导致其处于低效率工作状态甚至熄火的问题。针对起重机的具体施工需求，提出了精细控制模式，解决了其在具体施工中要求低速、微动和易操作的问题。 关键词：移动式起重机；发动机；功率极限载荷控制；精细控制 0前言 随着国内起重机制造技术的飞速发展，起重机额定起重量也越来越大，汽车起重机型谱已经覆盖25吨到200吨，履带起重机型谱已经覆盖50吨到600吨，而且目前更大吨位的起重机也在设计制造过程中。在起重机的发展过程中，液压系统越来越多地采用了泵控系统和负荷传感控制，它的优点是按需要向系统提供流量，基本无溢流损失，降低能源消耗，减少系统发热，节能环保。 然而，尽管采用了泵控系统（比如恒功率泵控系统），在起重机的实际使用中，还是常常出现发动机与液压系统功率不匹配的现象，导致发动机转速下降过多，偏离最佳工作点，增加油耗，情况严重的还会导致发动机熄火。这些情况的发生，严重影响了起重机的正常使用和安全。因此，功率极限载荷控制在起重机上的应用也成为必然。应用这项技术后，可以最大程度地避免液压系统的吸收功率高于发动机输出功率，达到保护起重机正常工作、提高起重机可操作性及避免发动机熄火的目的，同时也达到了节能降噪、环保的目的。 另外，有时需要起重机作低速运行或微动，据此需求，本文提出了精细控制模式，实现了对起重机的微动控制。 1 问题产生的原因 由于起重机自身的特点，在进行发动机和液压系统的匹配设计时，往往不会使发动机的输出功率曲线总是高于泵（液压系统）的吸收功率曲线，否则发动机的额定功率将选得非常大，不利于节能和降低制造和使用成本，造成极大的浪费。 而起重机又常常工作在低转速、大负载情况下，此时，负载功率(P L)将可能大于发动机的输出功率(P E)， P L>P E 在理想状况下，不计能量损失，泵的吸收功率等于负载功率， P L=P P 即泵的吸收功率大于发动机的输出功率， P P>P E 发动机转速将被迫下降过多，导致发动机工作在低效率状况，情况严重的，还会导致发动机熄火。因此，起重机驾驶员往往需要额外小心操作，才能避免上述情况的发生，严重影响了起重机的可操作性和安全性。 所以，当发动机工作在某固定转速下，如果载荷较大或者载荷提升速度较快时，将可能导致泵的吸收功率大于发动机输出功率，使得发动机转速被迫下降过多甚至熄火。 2 极限载荷控制的实现 极限载荷控制是一种根据负载变化自动调节变量泵排量的智能控制技术，其基本原理是：当变量泵的吸收功率大于发动机的输出功率时，控制器自动降低变量泵的吸收功率，保
结构稳定性 从Wikipedia，自由的百科全书在数学，结构稳定是一个基本的财产动力系统，这意味着该行为定性的轨迹是由不受影响?一小扰动。这种质的属性的例子是数字的不动点和周期轨道（但不是他们的周期）。不像Lyapunov稳定性，其中认为结构性固定系统，稳定性与扰动的交易系统本身扰动的初始条件。这种变体的概念应用到系统常微分方程，向量场的光滑流形和流动它们所产生的，与微分同胚。 结构稳定的系统，分别介绍了亚历山大Andronov和列弗邦屈亚金在1937年的名义下“Systèmes的grossières”，或粗糙的系统。他们宣布的表征系统中的粗面，Andronov -邦屈亚金标准。在这种情况下，结构稳定的系统是典型的，它们构成了适当的拓扑稠密开放赋予所有系统设置中的空间。在更高的层面，这不再是真实的，典型的动态显示，可以很复杂（比照奇怪吸引子）。任意维度的一个重要的稳定的系统结构是在课堂上给予阿诺索夫微分同胚和流量。 定义 设G是一开域在R n与紧凑的封闭和平稳（不适用-1）维边界。考虑空间X 1（G）的组成的限制，以1个G 的 C 向量场在R n是横向的G边界，是向内导向。这个空间被赋予了C 一公吨以通常的方式。一个向量场F∈×1（G）是弱结构稳定的，如果对于任何足够小的扰动为f 1，相应流量拓扑等价于G：存在一个同胚高：?→?的转换F 进入轨迹的导向为f 1型运动轨迹。此外，如果对任意ε> 0，同胚h可能被选择为C 0ε-接近的身份地图当 F 1属于一个合适的F邻里ε靠，那么F是所谓的（强）结构稳定。这些定义一个简单的方法扩展到边界案件n维流形的紧致光滑。Andronov和邦屈亚金本来认为强的财产。类似的定义可以流通领域的微分同胚给出并代替载体：在此设置，必须是同胚? 拓扑共轭。 重要的是要注意的是拓扑等价实现了平滑的损失：H可在地图上没有，在一般情况下，是一个微分同胚。此外，虽然面向拓扑等价尊重轨迹，不像拓扑共轭，它是不受时间兼容。因此，有关概念的拓扑等价向量场是一个很大的削弱天真C 1 的共轭。如果没有这些限制，没有固定点或周期轨道上连续时间系统的结构可能是稳定的。弱结构稳定的系统形成一个G）的开集在X 1（，但目前还不清楚的情况下持有相同的属性强。 例子 向量场结构稳定性的C 1 D 盘的单位是横向的边界，并在两个球第2条已确定的和邦屈亚金纸Andronov基础。据Andronov -邦屈亚金标准，等领域的结构稳定的当且仅当他们只有有限多个奇异点（平衡状态）和定期轨迹（极限环），这是所有非退化（双曲），并且没有鞍到马鞍连接。此外，非游荡集系统正是工会的轨道和周期奇异点。特别是，结构稳定的两个维向量领域不能有同宿轨道，这可能极大地复杂化的动态，如发现恩克尔。关于结构稳定性的非光滑向量场奇异环面可以利用Poincaré进行调查和理论发展阿尔诺的Denjoy 。利用庞加莱复发地图，问题是，以确定减少微分同胚的结构稳定性圈。由于
包头师范学院 本科毕业论文 题目：二重极限的计算方法 学生姓名：王伟 学院：数学科学学院 专业：数学与应用数学 班级：应数一班 指导教师：李国明老师 二〇一四年四月
摘要 函数极限是高等数学中非常重要的内容。关于一元函数的极限及求法，各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤，及二重极限不存在的几种证明方法。 关键词：二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性
Abstract The limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist. keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity
控制图 探究工作过程的变差 什么是控制图 控制图是通过分析某一工作过程的变差及其来源，判断此过程是否处于稳定状态，从而控制并改进某一时期工作表现的一种图形工具。 控制图的作用 ?集中探询工作过程变差和变差来源； ?持续控制工作过程的质量； ?为过程质量改进提供依据。 怎么做 1.选择工作过程 控制图以前只应用于生产项目，用来控制产品的质量；在也用于研发项目、投资项目和服务项目等。 2.确定样本调查范围、规模、频率和方法 A 选择样本时要综合考虑信息收集规模、时间和成本，一般需要收集25组左右数据。具体可参考下面的树形图； B 尽可能获得同质本样，如同一批产品、同类工人等； C 样本调查的频率由能从数据中辨别出数据分布模式来确定。可以是每班次、每天、每月或每年调查一次； D 样本必须随机抽取，抽样过程应按照工作的真实程序进行。 3.收集数据 提示： 按照工作过程真实进展收集样本数据，以出现的任何异常情况都要如实记录。可使用检查表作为收集数据的工具。 4.选择控制图类型 参照下面的树状图选择需要的控制图： 见下页
控制图—图1 5.计算“中心线”和控制极限 A 如果是计量值，使用计量值表的“中心线”和“控制极限”公式； B 如果是计数值，使用计数值表的“中心线”和“控制极限”公式； C 如果是计量值控制图的下限(LCL)是负数，直接将它写为0； D 计数值表中的常数请查询常数表。 计量值表图详见书第149页。(表一、表二) 6.绘制控制图 A 画出工作过程平均数，用实线“－”表示。 B 画出控制上限和控制下限，用虚线“------”表示。 C 对于计量值控制图，只画一个图，如控制图—图2的P图。 D 对于计数值控制衅，要画两个图――在上图中标出每个分组的均值或个体单位；在下图中标出每一分组的极差或标准差，如控制图－图3，4。 控制图3，4本档不能完成，请参照书第155页
第六章 非线性微分方程和稳定性 研究对象 二阶驻定方程组（自治系统） ?????? ?==),(),(y x Y dt dy y x X dt dx 1 基本概念 1）稳定性 考虑方程组 ),(x f x t dt d = （6.1） 其中 ???? ? ?? ??=n x x x 21x ，??? ??????? ? ??=dt dx dt dx dt dx dt d n 21x ，? ?????? ??=),,,;(),,,;(),,,;()(21212211n n n n x x x t f x x x t f x x x t f x f 。 总假设),(x f t 在D I ?上连续，且关于x 满足局部李普希兹条件，R I ?，区域 n R D ?,00=),(t f ，∑== n i i x 1 2x 。 如果对任意给定的0>ε，存在0)(>εδ（一般ε与0t 有关），使得当任一0x 满足 δ≤0x 时，方程组（6.1）满足初始条件00)(x x =t 的解)(t x ，均有εx <)(t 对一切0 t t ≥成立，则称方程组（6.1）的零解0=x 为稳定的。 如果方程组（6.1）的零解0=x 稳定，且存在这样的00>δ，使当00δ
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