高等数学II 复习题一(我做的也可能错)
一﹑填空题：
1. 从点)1,1,2(--P 到一个平面π引垂线，垂足为)5,2,0(M ,则平面π的方程为_____看课本______________。
2. 过原点且平行于直线??
?=--=-1
523
4z y x z x 的直线方程为____________看课本_________。
3. 将曲线2
20
x z x y ?=?=?绕轴旋转一周，所得曲面方程为___________看课本_________。
4. 函数z=arcsin(2x)+ 222
4ln(1)
x y x y ---的定义域____222
1{(,)|14}2x y x y y x x +<≤≤且且_______________. 5.
(,)(0,1)
00424211
lim
(0,1)lim ()=lim 3312
64x y u u xy u u xy x y xy u u →→→+-+-==→→→===
+令，当时u 0洛比达法则
6. 函数y x y x z +-+=2222的极小值是 9
-8
.
7. 曲线τ：x=2sin a t ,y =sin cos b t t ， z =2cos c t 对应于t=
4
π
的点处的切线的一个切向量为_____看课本_______,
该点处的法平面方程为________看课本________。
8. 将二次积分2
1
2
2
()x
x dx
f x y dy +??
化为极坐标下的二次积分的表达式为 2
sin 42cos 0
()y d rf r dr π
θ
θθ?? .
9.
???
?
-+--+2
1
2
1
2
),(),(y y dx y x f dy dx y x f dy 交换积分次序后为 10
2
(,)x
x dx f x y dy -?? .
10. 若曲线积分4124(4)(65)L
x xy dx x y y dy λλ-++-?
在xoy 平面内与路径无关，则λ= 3 .
11. 设L 为有向曲线2214x y +=的正向，则(2)(3)L
x y dx x y dy -++=? 4π (格林公式) . 12. 设∑是球面：2224x y z ++=，则曲面积分
??∑++dS z y x
)(222
= 32π .
13. 设幂级数
∑∞
=0
n n
n
x a
的收敛半径为3，则幂级数11
)1(-∞=-∑n n n x na 的收敛区间为 (2,4)- .
14. 幂级数∑∞
=-1
24)2(n n
n n x 的收敛域为 (0,4) . 二﹑选择题:
1. 直线???=+=++00
:1z y z y x L 与直线?
?
?=+=+124
:2
z x y x L 的关系是（ C ）. 〔A 〕1L 与2L 垂直 〔B 〕 1L 与2L 平行 〔C 〕1L 与2L 相交但不垂直 〔D 〕 1L 与2L 为异面直线
2．函数),(y x f z =在点),(00y x 处具有偏导数是它在该点存在全微分的（ D ）.
〔A 〕必要条件. 〔B 〕充分条件. 〔C 〕充要条件. 〔D 〕既非充分又非必要条件 3.二重积分
2222221
1
1
(1)0x y x y x y xy d xyd d σσσππ+≤+≤+≤+=
+
=+=??
??
??
（ C ）
〔A 〕π 〔B 〕0 〔C 〕π 〔D 〕2π 4.设Ω：2222x y z a ++≤、2222x y z az ++≤，则三重积分(,,)f x y z dV Ω
???在柱面坐标下的三次积分为（ B 柱面
坐标不考 ）
〔A 〕
20
(cos ,sin ,)a
a
d dr f r r z rdz π
θθθ???； 〔B 〕22
22
322
00
(cos ,sin ,)a a r a a r d dr
f r r z rdz π
θθθ---??
?
；
〔C 〕
22322
(cos ,sin ,)a a r a
d dr
f r r z dz π
θθθ-??
?
；〔D 〕22
22
(cos ,sin ,)a a a r a
d dr
f r r z rdz π
θθθ--???
.
5.在下列积分中，积分值与路径无关的是（ D ）
〔A 〕sin sin L
ydx xdy +? 〔B 〕sin sin L
ydx y xdy +?〔C 〕cos sin L
ydx xdy +? 〔D 〕cos sin L
y xdx xdy +?
6.设222
:1x y z ∑++=，取外侧，则曲面积分2
y dxdz ∑
=??（ D ） 〔A 〕22221
2
(1)x z x z dxdz +≤--??
〔B 〕22221
2
(1)x z x z dxdz +≤---??
〔C 〕1 〔D 〕0
7.设),2,1(1
0 =<≤n n
a n ，则下列级数中一定收敛的是（ D ）. 〔A 〕
∑
∞
=1
n n a 〔B 〕∑∞=1
n n a 〔C 〕n n n
a ∑∞=-1
)1( 〔D 〕∑∞
=-1
2
)1(n n n a
8．若级数
)0(1≥∑∞
=n n n
a a
收敛，则（ B ）.
〔A 〕
∑∞
=12
n n
a
发散 〔B 〕
∑
∞
=1
n n
n a 收敛 〔C 〕∑∞
=+11n n
n a a 发散 〔D 〕∑∞
=1n n n a
发散。 9. 级数
())cos 1(11
∑∞
=--n n
n α
(常数0>α) ( C ).
〔A 〕发散 〔B 〕条件收敛 〔C 〕绝对收敛 〔D 〕收敛性与α的取值有关 10．在区域220:x R y D -≤
≤上的??D
dxdy xy 2的值为（ D ）.
〔A 〕2R π 〔B 〕24R π 〔C 〕3
3
2R π 〔D 〕 0
11.若级数
∑∞
=+1
)1(n n n x a 在1=x 处收敛, 则该级数在2
5
-
=x 处( C ). 〔A 〕绝对收敛 〔B 〕条件收敛 〔C 〕发散 〔D 〕敛散性不能确定
12. 设级数
∑∞
=1
n n
u
收敛，则必收敛的级数为（ D ）.
〔A 〕n u n n n
∑∞
=-1)1( 〔B 〕∑∞=12
n n u 〔C 〕)(1212∑∞=--n n n u u 〔D 〕)(1
1∑∞
=++n n n u u .
三﹑解答题：
1. 过点 (2,6,8) 且与直线
2
5
2413-=-=-z y x 垂直相交的直线方程。 自己算 2. 求直线3
2111:
1z
y x L =+=-在平面052:=-++z y x π上投影直线L 的方程. 自己算
3. 设),23(y x
y x f z +=，其中),(v u f 具有二阶连续偏导数，求y
x z x z ?????2、.
2222''''''''
12111222
22''12''2'
''121222'''''''
'1
11121112232,,,,,,13111(3)32x f f f f f f u x y v f f f f f y u v u u v v u v
z f u f v f f x u x v x y
f f z f f f x y x y y y y y f u v x f f f f y y y y ??????=+=======?????????????=+=+?????????=+=-+????????=+=-???令''''''''
''212221222222f u v x f f f f y y y y z
x y
???=+=-????=??自己代入
4. 设),(y x z z =由方程023233=-++z z y x 所确定，求dz .
3322222(,,)3296;2121962121
y x z z z z dx dy x y
f x y z x y z z
f f z x z y x f z y f z z z x y dx dy dx dy
x y z z ??+??=++-??=-=-=-=-?-?-??+=--??--解：dz=
令dz=
5. 求曲面22y x z +=在点)3,1,2(-处的切平面方程，法线方程.
自己算
6. 求二次积分
dx x
x
dy y ??
6
6
cos π
π
.
6
6
000
cos 1
=cos 2x
x I dx dy xdx x π
π
==
???解：交换积分顺序
7. 计算???Ω
=
zdV I ，其中Ω为球面4222=++z y x 与抛物面z y x 32
2=+所围立体.
22
2
22
22
2
222222243
3333
23
40
3
4
{1
33
164x y x x y x r r x y z z x y z
x y dx
dy
zdz I d dr zrdz
π
θ----+---++=?=+=+==
?
?
?
???
解：所以球面与抛物面的交线在xoy 平面的投影为用直角坐标系：I=
用柱面坐标系：课本下册第页，第9题的（1）题，相似；当然三重积分柱面坐标系不考
最后结果自己算
8.求曲线积分3222(2cos )(12sin 3)L
xy y x dx y x x y dy -+-+?
，
其L 为抛物线2
2x y π=上由点(0,0)到(
,1)2
π
的一段弧；
3
2
2
2
2cos ;12sin 3;
P xy y x Q y x x y =-=-+解：格林公式
连接点A （0,0）B (
,1)2
π
与L 构成封闭曲线
由格林公式得曲线积分为0
8. 求曲线积分dy x x dx y y x L ?-+-)3
()2(3
2
，L 为以直线x y x y x 2,,1===为边的三角形正向边界．
32
1
(2)()=32L D
x x y y dx x dy dxdy -+-==??? 解：由格林公式 10.求曲面积分
()()
??∑
-+++dxdy z dzdx z y dydz xz 3
22912其中∑为曲面122++=y x z ()21≤≤z 下侧． 11.求下列级数的和函数:
∑∞
=+1)
1(1
n n x n n , 解：课本下册P323第8题的（4）小题 12.将2
3)(2+-=
x x x
x f 展成x 的幂级数：
00
1
1011111
()[][]
(1)(2)21211111[()][]
212212
1
(1)2n n
n n n n n n f x x x x x x x x x x
x x x x x x x ∞∞==∞
++=-=*
=-=+--------=+=+--=-∑∑∑
四、应用题：把一正数a 分成三个正数之和，使以它们为边长的立方体的体积最大。
解：3
(,,),(,,)(,,)()0000
3
(,,)=
27
x y z f x y z xyz x y z x y z a L x y z xyz x y z a L yz L xz L xy L x y z a a x y z a f x y z λ
?λλλλ==++-=+++-=+=?
?=+=??
=+=??=++-=?===最大设拉格朗日函数根据对称性：
高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；
同济大学第六版高等数学上下册课后习题 答案6-3
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 习题6-3 1. 由实验知道, 弹簧在拉伸过程中, 需要的力F (单位: N )与伸长量s (单位: cm)成正比, 即F =ks (k 为比例常数). 如果把弹簧由原长拉伸6cm , 计算所作的功. 解 将弹簧一端固定于A , 另一端在自由长度时的点O 为坐标原点, 建立坐标系. 功元素为dW =ksds , 所求功为 18216026 0===?s k ksds W k(牛?厘米). 2. 直径为20cm 、高80cm 的圆柱体内充满压强为10N/cm 2的蒸汽. 设温度保持不变, 要使蒸汽体积缩小一半, 问需要作多少功？ 解 由玻-马定律知: ππ80000)8010(102=??==k PV . 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变, 高度减小x 厘米时压强 为P (x )牛/厘米2, 则 ππ80000)]80)(10[()(2=-?x x P , π -=80800)(x P . 功元素为dx x P dW )()10(2?=π, 所求功为 2ln 8008018000080800)10(400400 2 πππππ=-=-??=??dx dx W (J). 3. (1)证明: 把质量为m 的物体从地球表面升高到h 处所作的功是
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 h R mgRh W +=, 其中g 是地面上的重力加速度, R 是地球的半径; (2)一颗人造地球卫星的质量为173kg , 在高于地面630km 处进入轨道. 问把这颗卫星从地面送到630的高空处, 克服地球引力要作多少功？已知g =9.8m/s 2, 地球半径R =6370km . 证明 (1)取地球中心为坐标原点, 把质量为m 的物体升高的功元素为 dy y kMm dW 2=, 所求的功为 ) (2h R R mMh k dy y kMm W h R R +?==?+. (2)533324111075.910 )6306370(106370106301098.51731067.6?=?+???????=-W (kJ). 4. 一物体按规律3ct x =作直线运动, 媒质的阻力与速度的平方成正比. 计算物体由x =0移至x =a 时, 克服媒质阻力所作的功. 解 因为3ct x =, 所以 23)(cx t x v ='=, 阻力4 229t kc kv f -=-=. 而32)(c x t =, 所以 3432342 9)(9)(x kc c x kc x f -=-=.
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，
高等数学期末试卷 一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞Y 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x Θ, 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--=Λ21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。
《 高等数学》 一.选择题 1.当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的（） A)、x y =B)、x y sin =C)、x y cos 1-=D)、1-=x e y 2.函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3.下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、 (( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4.下列各式正确的是（） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+?D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5.下列等式不正确的是（）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =???????B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C ）、()()x f dx x f dx d x a =???????D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6.0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7.设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（）
高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；
网络远程教育专升本高等数学复习题库和答案 一、选择题 1. 下列函数中，表达式为基本初等函数的为（ ）. A: { 2 20 21 x x y x x >= ≤+ B: 2cos y x x =+ C: y x = D: sin y = 2. 下列选项中，满足()()f x g x =的是( ). A: ()cos , ()f x x g x == B: (), ()f x x g x == C: ()(), ()arcsin sin f x x g x x == D: 2 ()ln , ()2ln f x x g x x == 3. 设)(x f 的定义域为[]1,0，则(21)f x +的定义域为( ). A: 1 ,02??- ???? B: 1,02??- ??? C: 1,02??- ??? D: 1,02??-???? 4. 函数)(x f y =的定义域为]1,0[，则函数)(2x f y =的定义域为（ ）. A: [0,1]; B: )1,0(; C: [-1, 1] D: (-1, 1). 5. 设)(x f 的定义域为[]1,0，则)12(-x f 的定义域为( ). A: ? ? ????1,21 B: 1,12?? ??? C: 1,12?????? D: 1,12?? ??? 6. 函数4 339 9)(2 2<<≤???? ?--=x x x x x f 的定义域为（ ）. A: [-3, 4] B: (-3, 4) C: [-4, 4] D: (-4, 4) 7. 3 1lim (1)n n →∞ + =（ ）. A: 1 B: E C: 3 e D: ∞
《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin
第八章：空间解析几何与向量代数 一、向量),,(),,,(),,,(c c c b b b a a a z y x c z y x b z y x a === 1.向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 的数量积:b a b b b a z z y x x x b a b a ++==??cos ; 2。向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 的向量积:b b b a a a z y x z y x k j i b a =?。 ?sin b a b a =?的几何意义为以b a ,为邻边的平行四边形的面积. 3。向量),,(z y x r = 的方向余弦： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ,cos ,cos z y x y z y x y z y x x ++= ++= ++= γβα, 1cos cos cos 222=++γβα；2sin sin sin 222=++γβα. 4.向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 垂直的判定： 00=++?=??⊥b a b b b a z z y x x x b a b a . 5.向量),,(a a a z y x a = 与),,(b b b z y x b = 平行的判定：
k z z y x x x k b k a b a b a b a b b b a ===?≠=?=??0,0// 。 6。三向量共面的判定：?=++0 c n b m a k c b a ,,共面。 7.向量) ,,(a a a z y x a = 在),,(b b b z y x b = 上的投影:222Pr a a a b a b b b a a z y x z z y x x x a b a b j ++++=?= 。 二、平面 1。过点),,(000z y x P ,以),,(C B A n = 为法向量的平面的点法式方程： 0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 。 2。以向量),,(C B A n = 为法向量的平面的一般式方程：0=+++D Cz By Ax 。 3.点),,(111z y x M 到平面 0=+++D Cz By Ax 的距离2 2 2 111C B A D cz By Ax d +++++= 。
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中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案 高等数学 一、填空题 1．设2 )(x x a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。 2．若???<≤+<<-=2 0102sin 2x x x x y ，则=)2(π y . 3． 极限lim sin sin x x x x →=0 21 。 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 5.已知0→x 时，1)1(3 1 2-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(22y z y z x ?=+，其中?可微，则y z ??= 。 7.设2e yz u x =，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则 =??) 1,0(x u 。 8.设??,),()(1 f y x y xy f x z ++=具有二阶连续导数，则 =???y x z 2 。 9.函数y x xy xy y x f 22),(--=的可能极值点为 和 。 10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f . 11.=?xdx x 2sin 2 . 12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π . 13．若2 1 d e 0= ? ∞ +-x kx ，则_________=k 。 14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得 ??≤++≤D dxdy y x )14(22
高等数学下册试题库 一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线 1 1 2 z y x = -= 平行的直线方程是___________ 2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 21-=+= -z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1 y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是 __________ 9. 曲面2 22 y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数1 2 n n n n x ∞ =∑ 的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 322 2 x z y --=+= -且平行于直线 1 1 3 0 2 3 x y z +-+= =的平面方程是 _________________ 12. 设),2ln(),(x y x y x f + =则__________ )0,1(' =y f 13. 设),arctan(xy z =则____________,__________ =??=??y z x z 14. 设,),(2 2 y x y x xy f +=+则=),(' y x f x ____________________
习题8-1 1. 设u =a -b +2c , v =-a +3b -c . 试用a 、b 、c 表示2u -3v . 解 2u -3v =2(a -b +2c )-3(-a +3b -c ) =2a -2b +4c +3a -9b +3c =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形. 证 →→→-=OA OB AB ; →→→-=OD OC DC , 而 →→-=OA OC , →→-=OB OD , 所以 →→→→→→-=-=+-=AB OA OB OB OA DC . 这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD , 从而四边形ABCD 是平行四边形. 3. 把?ABC 的BC 边五等分, 设 分点依次为D 1、D 2、D 3、D 4, 再把 各分点与点A 连接. 试以c =→AB 、 a =→BC 表示向量→A D 1、→A D 2、→ A D 3、→ A D 4. 解 a c 5111--=-=→→→BD BA A D , a c 5 222--=-=→→→BD BA A D , a c 5 333--=-=→→→BD BA A D , a c 5444--=-=→→→BD BA A D .
4. 已知两点M 1(0, 1, 2)和M 2(1, -1, 0). 试用坐标表示式表示向量→21M M 及→-212M M . 解 )2 ,2 ,1()2 ,1 ,0()0 ,1 ,1(21--=--=→M M , )4 ,4 ,2()2 ,2 ,1(2221-=---=-→M M . 5. 求平行于向量a =(6, 7, -6)的单位向量. 解 11)6(76||222=-++=a , 平行于向量a =(6, 7, -6)的单位向量为 )116 ,117 ,116(||1-=a a 或)11 6 ,11 7 ,116(||1--=-a a . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A (1, -2, 3); B (2, 3, -4); C (2, -3, -4); D (-2, -3, 1). 解 A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限. 7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置: A (3, 4, 0); B (0, 4, 3); C (3, 0, 0); D (0, -1, 0). 解 在xOy 面上, 点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 点的坐标为(x , 0, z ). 在x 轴上, 点的坐标为(x , 0, 0); 在y 轴上, 点的坐标为(0, y , 0), 在z 轴上, 点的坐标为(0, 0, z ). A 在xOy 面上, B 在yOz 面上, C 在x 轴上, D 在y 轴上. 8. 求点(a , b , c )关于(1)各坐标面; (2)各坐标轴; (3)坐标原点的对称点的坐标. 解 (1)点(a , b , c )关于xOy 面的对称点为(a , b , -c ), 点(a , b , c )
四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B )
(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分）
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
第八章 向量与解析几何 向量代数 两点间的距离公式： 2 12212212)()()(z z y y x x B A -+-+-= 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,, c a b =+ c a b =－ 0a ≠，则a a e a =x z a a a = = ，， 曲面、空间曲线及其方程 1、 曲面及其方程Σ : F (x , y , z ) = 0，旋转曲面【绕谁不换谁，正负根号里没有谁；作图时先画
母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母 线特点得柱面】，二次曲面【截痕法与伸缩变形法作图】；要熟悉常见的曲面及其方程并会作 2、旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0 ),(22=+±z x y f 绕 z 轴旋转一周： 0),(22=+±z y x f 1、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为?????==0 ),(z y x F 的柱面 2、 二次曲面:椭圆锥面：2 22 22 z b y a x =+ 椭球面：122 2222=++c z b y a x 旋转椭球面：122 222 2=++c z a y a x 单叶双曲面：1222222=-+c z b y a x 双叶双曲面： 122 2222=--c z b y a x 椭圆抛物面：z b y a x =+2222 双曲抛物面（马鞍面）：z b y a x =-2222 椭圆柱面：12222=+b y a x 双曲柱面：12222=-b y a x 抛物柱面：ay x =2 空间曲线及其方程: 一般方程：?????==0 ),,(0),,(z y x G z y x F 参数方程：???? ???===) ()()(t z z t y y t x x 如螺旋线：??? ? ???===bt z t a y t a x sin cos 空间曲线在坐标面上的投影?? ???==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去 z ， 得到曲线在面xoy 上的投影?????==0 ),(z y x H 3:曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投谁便消去谁
《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du .
5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x .
高等数学（下）模拟试卷一 一、填空题（每空3分，共15分） （1）函数 11z x y x y =+ +-的定义域为 （2）已知函数 arctan y z x =，则z x ?= ? （3）交换积分次序， 2 220 (,)y y dy f x y dx ? ? ＝ （4）已知L 是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? （5）已知微分方程230y y y '''+-=，则其通解为 二、选择题（每空3分，共15分） （1）设直线L 为321021030x y z x y z +++=?? --+=?，平面π为4220x y z -+-=，则（） A.L 平行于πB.L 在π上C.L 垂直于πD.L 与π斜交 （2）设是由方程 222 2xyz x y z +++=确定，则在点(1,0,1)-处的dz =（） dx dy +2dx dy +22dx dy +2dx dy -（3）已知Ω是由曲面222425()z x y =+及平面5 z =所围成的闭区域，将 2 2()x y dv Ω +???在柱面坐标系下化成三次积分为（） 22 5 3 d r dr dz πθ? ??. 24 5 3 d r dr dz πθ? ?? 22 5 3 50 2r d r dr dz πθ? ??. 22 5 20 d r dr dz π θ? ?? （4）已知幂级数，则其收敛半径（） 2112 2（5）微分方程3232x y y y x e '''-+=-的特解y *的形式为y * =（） ()x ax b xe +()x ax b ce ++()x ax b cxe ++ 三、计算题（每题8分，共48分） 1、 求过直线1L :1231 01x y z ---==-且平行于直线2L ：21211x y z +-==的平面方程 2、 已知 22 (,)z f xy x y =，求z x ??，z y ?? 3、 设 22{(,)4}D x y x y =+≤，利用极坐标求 2 D x dxdy ?? 4、 求函数 22 (,)(2)x f x y e x y y =++的极值 得分 阅卷人
《高等数学（一）》期末复习题 一、选择题 1、极限)x x →∞ 的结果是 （ C ） （A ）0 （B ） ∞ （C ） 1 2 （D ）不存在 2、方程3310x x -+=在区间(0,1)内 （ B ） （A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 3、)(x f 是连续函数, 则 ?dx x f )(是)(x f 的 （ C ） （A ）一个原函数； (B) 一个导函数； (C) 全体原函数； (D) 全体导函数； 4、由曲线)0(sin π<<=x x y 和直线0=y 所围的面积是 （ C ） （A ）2/1 (B) 1 (C) 2 (D) π 5、微分方程2x y ='满足初始条件2|0==x y 的特解是 ( D ) （A ）3x （B ）331x + （C ）23+x （D ）23 1 3+x 6、下列变量中，是无穷小量的为（ A ） (A) )1(ln →x x (B) )0(1ln +→x x (C) cos (0)x x → (D) )2(4 2 2→--x x x 7、极限011 lim(sin sin )x x x x x →- 的结果是（ C ） （A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在 8、函数arctan x y e x =+在区间[]1,1-上 （ A ） （A ）单调增加 （B ）单调减小 （C ）无最大值 （D ）无最小值 9、不定积分 ? +dx x x 1 2 = （ D ） (A)2arctan x C + (B)2ln(1)x C ++ (C)1arctan 2x C + (D) 21 ln(1)2x C ++ 10、由曲线)10(<<=x e y x 和直线0=y 所围的面积是 （ A ） （A ）1-e (B) 1 (C) 2 (D) e 11、微分方程 dy xy dx =的通解为 （ B ）