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《数学分析》(华师大二版)课本上的习题7

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P.168 习题

1．验证数集?

???+

-=n S n 1)1(有且只有两个聚点11-=ξ和12=ξ 解当n 取奇数12-=k n 时，S 中的互异子列)(,11211∞→-→???

??-+

-k k ，所以11-=ξ是S 的聚点；当n 取偶数k n 2=时，S 中的互异子列)(,1211∞→→?

??+k k ，所以12=ξ是S 的聚点.

设实数1-≠a ，1≠a . 取|}1||,1min{|210-+=

a a ε，因为子列?

?????

-+-1211k 和子列??????

k 211的极限都不是a ，所以在邻域);(0εa U 内最多只有子列????

-1211k 及子列??????

k 211中的有限多项，从而只有数集?

?????+-=n S n

1)1(中的有限多项，所以a 不是数集S 的聚点.

2．证明：任何有限数集都没有聚点.

证明设有限数集S . 由聚点ξ的定义，在ξ的任何邻域内都含有S 中无穷多个点，而S 只有有限个点，所以S 没有聚点.

3．设{}),(n n b a 是一个严格开区间套，即满足1221b b b a a a n n <<<<<<< 且0)(lim =-∞

→n n n a b . 证明：存在唯一的一点ξ，使得 ,2,1,=<

证明 {}n a 为严格递增有界数列，故{}n a 有极限ξ，且有ξ≤n a ， ,2,1=n .其中等号不能成立，不然，若有ξ=n a ，因为{}n a 严格递增，必有ξ=>+n n a a 1，矛盾.故

ξ==∞

→∞

→n n n n a b lim lim ，n n b a <<ξ， ,2,1=n .

唯一性的证明与教材P.162区间套定理7.1相同.

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4．试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立.

解设n n n a )11(+

=，1)1

1(++=n n n

b ， ,2,1=n ，则{}n a 是单调递增的有理数列，{}n b 是单调递减的有理数列，且e a b n n n n ==∞

→∞

→lim lim

（无理数）

（1）点集{} ,2,1|=n a n 非空有上界，但在有理数集内无上确界；点集

{} ,2,1|=n b n 非空有下界，但在有理数集内无下确界.

（2）数列{}n a 单调递增有上界，但在有理数集内无极限；{}n b 单调递减有下界，但在有理数集内无极限.

（3）{} ,2,1|=n a n 是有界无限点集，但在有理数集内无聚点. （4）数列{}n a 满足柯西收敛准则条件，但在有理数集内没有极限.

（5）{}],[n n b a 是一闭区间套，但在有理数集内不存在一点ξ，使得],[n n b a ∈ξ，

,2,1=n

5．设},2,1|)1

,21{(

=+=n n

n H .问（1）H 能否覆盖（0, 1）？

（2）能否从H 中选出有限个开区间覆盖 (i) )21,0(，(ii) )1,1001(？解（1）H 能覆盖（0, 1）.因为对任何)1,0(∈x ，必有自然数n ，使得

x n 1

21<<+ （2）不能从H 中选出有限个开区间覆盖)21,0(.因对H 中任意有限个开区间，设其

左端点最小的为

0+n ，则当2100+<

能从H 中选出有限个开区间覆盖)1,1001(.例如选区间：)1

,21(n

n +，99,2,1 =n 即可.

6．证明：闭区间],[b a 的全体聚点的集合是],[b a 本身.

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证明设],[b a x ∈，则对任何0>ε，?≠?],[);(b a x U o ε，故x 为],[b a 的聚点. 反之，若x 为],[b a 的聚点，则必有],[b a x ∈.事实上，若],[b a x ?，则a x <或b x >.不妨设a x <，取2

a -=

ε，那么?=?],[);(b a x U ε，这与x 为],[b a 的聚点矛盾. 7．设{}n x 为单调数列. 证明：若{}n x 存在聚点，则必是唯一的，且为{}n x 的确界. 证明设{}n x 为单调增加数列，ξ为{}n x 的聚点.先证ξ是唯一的.假设η也是{}n x 的聚点，不妨设ηξ<.取2

ηε-=

，由聚点的定义，在η的邻域);(εηU 内有{}n x 中无穷

多个点，设);(εηU x N ∈.因为{}n x 为单调增加数列，所以当N n >时，N n x x ≥.于是在ξ的邻域);(εξU 内最多只有{}n x 中有限多个点：121,,,-N x x x . 这与ξ为{}n x 的聚点相矛盾.故ξ为{}n x 的唯一聚点.

其次证明：ξ为{}n x 的上确界.先证ξ是{}n x 的一个上界.假设ξ不是{}n x 的一个上界，于是存在ξ>N x .这时取ξε-=N x ，则在ξ的邻域);(εξU 内最多只有{}n x 中有限多个点：121,,,-N x x x ，这与ξ为{}n x 的聚点相矛盾.然后证明：ξ是{}n x 的最小上界.0>?ε，在ξ的邻域);(εξU 内有{}n x 中无限多个点，设);(εξU x N ∈，从而

εξ->N x .所以}sup{n x =ξ.

8．试用有限覆盖定理证明聚点定理.

证明设S 为实轴上有界无限点集，则存在0>M ，使],[M M S -?. 假若

],[M M -中任何点都不是S 的聚点，则],[M M x -∈?，必存在相应的0>x δ，使得在

),(x x U δ内最多只含S 的有限个点.设}],[|),({M M x x U H x -∈=δ，

则H 是],[M M -的一个开覆盖，由有限覆盖定理，H 中存在有限个开区间：),(j x j x U δ，n j ,,2,1 =，覆盖了],[M M -，当然也覆盖了S ，由于在每一个),(j x j x U δ内最多只含S 的有限个点，

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故S 为有限点集，这与S 为无限点集矛盾.所以],[M M -中必有S 的聚点.

9．试用聚点定理证明柯西收敛准则.

证明只证充分性：设0>?ε，0>?N ，N n m >?,，ε<-||n m a a ，

要证数列}{n a 收敛.

先证数列}{n a 有界.取1=ε，存在0>N ，当N n >时，有1||1<-+N n a a ，于是