2Example 1.某种半成品在生产过程中的废品率η与它所含的某种物质的质量有关，现将试验所得16组数据记录如下表：
y
编号编号11．3034115690．4440160021．00361296100．5641168130．73371369110．3042176440．90381444120．4243184950．81391521130．3543184960．70391521140．4045202570．60391521150．414722098
0．50
40
1600
16
0．60
48
2304
x 2=x 2
y
x 1 = x
x 1 = x
x 2=x 2
其中y 为废品率（%）, x 为含某物质的量（0.01% ）求回归方程。
4
2
?18.4840.8205 0.009301 y
x x =?+484
.18???22110=??=χχb b y b 于是得线性回归方程：y = 18.484 －0.825x 1+ 0.009301x 2□
代入线性回归系数计算公式(5-7)（p336（200））得到方程组
1212221.441828311.649
182831513685923.05
b b b b ?+=???
+=???$$1?b 2?b 由上式解得
=－0.8205, =0.009301. 又，
从而得到η对x 的非线性回归方程为：
00820544112009301
x ?==?×它在
处有最小的y 值：
0?y =18.484－0.8205×44.11+0.009301×(44.11)2=0.39.
5
出钢时所用盛钢水的钢包，由于钢水对耐火材料的浸蚀，容积不断扩大，我们希望找出使用次数x 与增大容积η之间的关系，试验数据列于下表：
Example 3.0.0850
0.0625
11.76
16
…………0.10440.25009.5840.12200.33338.2030.15880.50006.422z = 1/y t = 1/x y x
9
11
Example 3.对例2的问题，把它的散点图与图5-11(p367)所列出的函数图形对照，可知用指数曲线y = ae b/x , （b <0作为η关于x 的回归曲线也是合理的。
对上式两边取对数得再作变换，则得z = A+b t
根据所作变换，把例2的数据变换为新坐标形式：
χ
b
a y +
=n 1n 1x
t a A y z 1
,n 1 ,n 1=
== 2.4647
0.0625
11.76
16………
…
1.85940.50006.422z = ln y t =1/x y x
14
y
y ??y
?例2中
x 2 3
4 5
6
7 8 9y 6.42
8.2 9.58 9.5 9.7
10
9.93
9.99
6.7613
7.9344
8.6881
9.2132 9.6 9.8968 10.1317 10.3323
-0.323 0.2656 -0.1081 0.2868 0.1 0.1032 -0.2017 -0.3323x 10 11 12 13 14 15 16
y 10.49
10.59 10.6 10.8 10.6 10.9
11.76
10.48 10.6126 10.7258 10.8234 10.9085 10.9834 11.0497
0.01 -0.0226 -0.1258 0.0234 -0.3085 -0.0834 -0.7103y
?y
y ??3328
.013
4393.12
?054.1)?(*
2
==?=
=?=
∑
n S y y S e
i i e σ
《应用数理统计》复习题 第一章 概率知识 一、一袋中有5个球，编号1、2、3、4、5. 现从中任取3个，以X 表示所取球的号码的最大值， 求X 的概率分布律. 解：X 的可能取值为3、4、5， 1.010 1 }3{35 33== ==C C X P ， 3.0103 }4{352311====C C C X P ， 6.010 6 }5{35 2411== = =C C C X P ， 故X 的概率分布律为 6 .03.01.05 43k p X . 二、设连续型随机变量X 的密度函数为?? ?<≤=., 0, 10,)(其它x Ax x f （1）求常数A ；（2）求X 的分布函数)(x F . 解：（1）由完备性：? ∞+∞ -=1)(dx x f ， 有 11 =?Ax , 解得2=A . （2）t d t f x F x ?∞ -=)()( 当0≤x 时， 0)(}{)(?∞ -==≤=x dt t f x X P x F ， 当10≤
2、0cos 21 )(22 ??∞ ∞--===π πxdx x dx x xf EX ； ???∞ ∞---====22202 2 22 2 14cos cos 21)(πππ πxdx x xdx x dx x f x EX ; 14 )(2 2 2-= -=∴πEX EX DX . 四、若随机(X ,Y )在以原点为中心的单位圆上服从均匀分布，证明X ,Y 不相互独立. 解：依题意有(X ,Y )的概率密度为221/, 1; (,)0, x y f x y π?+≤=??其它. . 故 11, 11()(,)0, 0, X x x f x f x y dy +∞ -∞ ?-≤≤-≤≤?===????? ? 其它其它; 同理 11()0, Y y f y -≤≤=??其它 . 于是(,)()()X Y f x y f x f y ≠, X 与Y 不相互独立. 五、设X 的概率密度为? ? ?≤≤+=.,0,10,)(其它x bx a x f ，且已知EX =127求DX . 解：由概率密度的完备性有： 1= ?? += ∞+∞ -1 d )(d )(x bx a x x f =b a 5.0+, 且有12 7 =EX = ? ? += ∞+∞ -10 d )(d )(x bx a x x x xf = 3 2b a +, 联立上述两式解得: 1,5.0== b a 又= )(2X E 12 5 d )5.0(1 02= +? x x x , 于是 =DX =-22)()(EX X E 2)12 7(125-14411=. 六、1．设随机变量)3,2(~2 N X ，)()(C X P C X P >=<，则=C （ A ）. A . 2 B . 3 C . 9 D . 0 2. 设随机变量),(~2 σμN X ，则随σ增大，}|{|σμ<-X P ( C ). (A) 单调增大； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定
第三章 假设检验 课后作业参考答案 3.1 某电器元件平均电阻值一直保持2.64Ω，今测得采用新工艺生产36个元件的平均电阻值为2.61Ω。假设在正常条件下，电阻值服从正态分布，而且新工艺不改变电阻值的标准偏差。已知改变工艺前的标准差为0.06Ω，问新工艺对产品的电阻值是否有显著影响？(01.0=α) 解：(1)提出假设64.2:64.2:10≠=μμH H ， (2)构造统计量36 /06.064 .261.2/u 00 -=-= -= n X σμ (3)否定域???? ??>=???? ??>?? ??? ??<=--21212 αααu u u u u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值575.2575.22 12 =-=- α αu u ， (5) 2 αu u <，落入否定域，故拒绝原假设，认为新工艺对电阻值有显著性影响。 3.2 一种元件,要求其使用寿命不低于1000（小时）,现在从一批这种元件中随机抽取25件, 测得其寿命平均值为950（小时）。已知这种元件寿命服从标准差100σ=（小时）的正态分 布，试在显著水平0.05下确定这批元件是否合格。 解： {}01001:1000, H :1000 X 950 100 n=25 10002.5 V=u 0.05H x u αμμσμα-≥<====->=提出假设：构造统计量：此问题情形属于u 检验，故用统计量：此题中：代入上式得： 拒绝域： 本题中：0.950.950 u 1.64u 0.0u H =>∴即，拒绝原假设认为在置信水平5下这批元件不合格。
3.3某厂生产的某种钢索的断裂强度服从正态分布( )2 ,σ μN ，其中()2 /40cm kg =σ。现从 一批这种钢索的容量为9的一个子样测得断裂强度平均值为X ，与以往正常生产时的μ相比，X 较μ大20(2 /cm kg )。设总体方差不变，问在01.0=α下能否认为这批钢索质量显著提高？ 解： (1)提出假设0100::μμμμ>=H H ， (2)构造统计量5.13 /4020 /u 00 == -= n X σμ (3)否定域{}α->=1u u V (4)给定显著性水平01.0=α时，临界值33.21=-αu (5) α-<1u u ，在否定域之外，故接受原假设，认为这批钢索质量没有显著提高。 3.4某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为（%）： 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布，问在0.01α=下能否接受假设，这批矿砂的镍含量为3.25？ 解： 010110 2: 3.25 H :t X 3.252, S=0.0117, n=5 0.3419 H x μμμμσ==≠==提出假设：构造统计量：本题属于未知的情形，可用检验，即取检验统计量为：本题中，代入上式得：否定域为：1-20.99512 0 V=t>t (1)0.01,(4) 4.6041, 3.25n t t t H ααα- ??-?? ?? ==<∴本题中，接受认为这批矿砂的镍含量为。
《应用数理统计》吴翊李永乐第五章方差分析课后作业 参考答案 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-
第五章 方差分析 课后习题参考答案 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数： 设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异(01.0=α) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：() 3,2,10:0==i H i μ 记 167.20812 11112 =??? ? ??-=∑∑∑∑====r i n j ij r i n j ij T i i X n X S 467.70112 112 11=???? ??-???? ??=∑∑∑∑====r i n j ij r i n j ij i A i i X n X n S 7 .137=-=A T e S S S 当 H 成立时， ()() ()r n r F r n S r S F e A ----= ,1~/1/ 本题中r=3 查表得 ()()35 .327,2,195.01==---F r n r F α且F=>，在95%的置信度下，拒绝原假 设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。 (2)软件计算解答过程
组建效应检验 Dependent Variable: 存活日数a 70.429235.215 6.903 .004 137.73727 5.101 208.167 29 方差来源菌型误差总和 平方和自由度 均值F 值P 值R Squared = .338 (Adjusted R Squared = .289) a. 从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为，对应的检验概率p 值为，小于，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示： 工厂 寿命（小时） 甲 40 48 38 42 45 乙 26 34 30 28 32 丙 39 40 43 50 50 试在显著水平0.05α=下，检验电池的平均寿命有无显著性差异并求 121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。这里假定第i 种电池的寿命 2i X (,)(1,2,3) i N i μσ=。 解：手工计算过程： 1.计算平方和 其检验假设为：H0：，H1：。 2.假设检验： 所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。 6 .615])394.44()3930()396.42[(*4)()(4 .216)3.28108.15(*4*))(1()(832 429.59*14*))(1()(2221 22 1 21 22 222=-+-+-=-=-==++=-==-===-==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑===r i i i i A r i i i r i i i i ij e ij T X X n X X S S n S n X X S s n ns X X S 0684 .170333 .188 .30712/4.2162/6.615)/()1/(===--= r n S r S F e A 89 .3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α
第二章 参数估计 课后习题参考答案 2.1 设总体X 服从二项分布()n X X X p p N B ,,,,11,,21 <<为其子样，求N 及p 的矩法估计。 解： ()()()p Np X D Np X E -==1, 令() ?????-==p Np S Np X 12 解上述关于N 、p 的方程得： 2.2 对容量为n 的子样，对密度函数22 (),0(;)0,0x x f x x x ααααα ?-?=??≤≥? 其中参数α的矩法估计。 解：12 2 ()()a E x x x dx α αα== -? 22 02 2 ()x x dx α α α=- ? 232 1 22 133 3 αααααα α = - =-= 所以 133a x α∧ == 其中121,21 (),, ,n n x x x x x x x n = +++为n 个样本的观察值。 2.3 使用一测量仪器对同一值进行了12次独立测量，其结果为(单位：mm) 232.50，232.48，232.15，232.52，232.53，232.30 232.48，232.05，232.45，232.60，232.47，232.30 试用矩法估计测量的真值和方差(设仪器无系统差)。 ?? ? ??? ? -=-==X S p S X X p X N 2221???
解： () () () ∑∑====-= ===n i i n i i S X X n X D X X n X E 1 22 1 0255 .01 4025 .2321 2.4 设子样1.3，0.6，1.7，2.2，0.3，1.1是来自具有密度函数()10,1 ,<<=ββ βx f 的总 体，试用矩法估计总体均值、总体方差及参数β。 解： () ()()()4.22?2 ,1 ,407 .012 .110 1 2 2 1==== === =-===? ?∑∑==X X dx x dx x xf X E x f X X n S X n X n i i n i i β β β ββ ββ β参数：总体方差：总体均值： 2.5 设n X X X ,,,21 为()1N ， μ的一个字样，求参数μ的MLE ；又若总体为( )2 1N σ，的 MLE 。 解：(1) ()()()()() ()()() () ()X x n x x L x n x L e x L x f e x f n i i n i i i n i i i x n i n i i x i n i i i =∑=∑=-=??∑---=∑= == ===--=-- =∏1 112 2 2 1 2 1?0,ln 212ln 2,ln 21 ,,21,1 2 2 μ μμ μμπμπμμπ μμμ
第三章测试卷一、单选题 1. (2分)设随机变量X的分布列如下表，则常数c = （）. ? A. 0 ? B. 1 ? C. ? D. C 2. (2分) ? A. 0.9 ? B. 0.5 ? C. 0.75 ? D. 以上都不对 C 3. (2分)
? A. ? B. ? C. ? D. A 4. (2分) 设随机变量X的概率密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，对于任意实数x，下列正确的是（）. ? A. ? B. ? C. ? D. B 5. (2分) ? A. 0 ? B. 1 ? C.
? D. C 6. (2分) ? A. 0.625 ? B. 0.25 ? C. 0.5 ? D. 0.0625 D 7. (2分) ? A. ? B. ? C. ? D. C 8. (2分)
? A. 1 ? B. 2 ? C. 3 ? D. 4 B 9. (2分)某车床一天生产的零件中所含次品数ξ的概率分布如下表所示，则平均每天生产的次品数为（）件. ? A. 0.3 ? B. 0.5 ? C. 0.2 ? D. 0.9 D 10. (2分) ? A. 0.5
? C. 1.5 ? D. 0 C 11. (2分) ? A. 9 ? B. 6 ? C. 30 ? D. 36 B 12. (2分) 设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为F(x)、f(x)，则下列选项中正确的是（）. ? A. ? B. ? C. ? D. A 13. (2分)
? B. 0.2 ? C. 0.7 ? D. 条件不足，无法计算B 14. (2分) ? A. 1 ? B. 2 ? C. 3 ? D. π/2 C 15. (2分) ? A. 1 ? B. 0 ? C.
第二章 参数估计（续） P68 2.13 设总体X 服从几何分布：{}()1 1k P X k p p -==-，12k = ，，，01p <<，证明 样本均值1 1 n i i X X n == ∑是()E X 的相合、无偏和有效估计量。 证明： 总体X 服从几何分布， ∴()1= E X p ，()2 1-= p D X p . 1 () ()1 11 11 11==????===??== ? ????? ∑ ∑ n n i i i i E X E X E X n E X n n n p p . ∴样本均值11n i i X X n == ∑ 是()E X 的无偏估计量。 2 () 2222 1 11 1111==--???? ===??= ? ?????∑ ∑n n i i i i p p D X D X D X n n n n p np . ()()()()11 11 ln ln 1ln 1ln 1-??=-=+--??；X f X p p p p X p . () 111ln 111111f X p X X p p p p p ?--= - =+?--；. () () 2 11 2 2 2 ln 11 1f X p X p p p ?-=- + ?-；. ()()()()21112 2 2 22ln 11 1111f X p X X I p E E E p p p p p ???? ?? ?--=-=--+=+???????--?????? ? ?? ? ； () ()() ()12 2 2 2 2 211 11 111111111??-= + -= + ?-=+? ?---?? p E X p p p p p p p p ()()() () 2 2 2 111 1 111-+= + = = ---p p p p p p p p p .
统计 第一章绪论 统计学：是研究统计方法和原理，一类是数理统计【以概率论为基础，对统计数据量关系模式加以解释，对统计原理和方法加以数学证明】，一类是应用统计【数理统计的方 法在各个邻域的应用】。 教育统计学：应用数理统计的方法和原理研究教育问题的一门学科。 从具体应用：描述统计：对已获得的数据进行整理概括显现其分布特征的统计 方法 推断统计：根据样本提供的信息，运用概率的理论分析，论证， 在一定可靠程度上对总体分布特征进行推测和估计 其内容包括假设检验和总体参数估计。 基本概念：随机变量：我们把能表示随机现象各个结果的变量称作随机变量。 总体：是我们研究的具有某种共同特性的个体的总和。总体中的每个单位称 作个体 样本：从总体中抽取的作为观察对象的一部分个体。 统计量：样本的数据特征 参数：总体的数据特征 第二章数据统计分类 按数据来源分：点计数据：指计算个数获得的数据 度量数据：指用一定工具或一定测量标准所获得的数据。 按随机变量：间断性随机变量：数据单位是独立的，两个单位之间不能在划分为更细小的单 位 连续性随机变量：取值个数无限。 统计图表：表示间断变量统计图：直条图、圆形图、 表示连续变量统计图：线形图、频数分布图【直方图、多边图、累计频数和累 计百分比】 第三四章集中量差异量【注意每个量的表示】 算数平均数：原始数据计算 频数分布表计算【每一段频数计算组中值，乘以个数求和】 方差标准差：离差平方的算数平均数是方差，开放后为表准差 原始数据的计算，定义式的计算。 中位数：是位于以一定大小顺序排列的一组数据中央位置的数据。 原始数据计算【个数分奇偶】频数计算方式。【大小】 四分位距：第三个四分位数与第一个四分位数的差的一半称之为四分位距 百分位距：两个百分位数之差，通常是90%和10%的差。 众数：理论众数：频数分布曲线最高点对应的横坐标上的一点。 粗略众数：一组数据中频数出现最多的那个数。 皮尔逊经验法、金氏插补法。 平均差：每一个数据和中位数离差的绝对值的算术平均数。 原始数据、频数计算 差异系数：标准差和算术平均数的百分比，【1】可以比较不同单位的差异程度、【2】比较单位相同但平均数差异较大的离散程度、【3】可判断特殊差异情况。 ※平均数、众数、中位数三者之间的关系：
习题三 1 正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量2(4.55,0.108)X N :.现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28，4.40，4.42，4.35，4.37. 如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果总体均值没有改变，问总体方差是否有显著变化（0.05α=）？ 解 由题意知 2~(4.55,0.108),5,0.05 X N n α==， 1/20.975 1.96u u α-==，设立统计原假设 0010:,:H H μμμμ=≠ 拒 绝域为 {} 00K x c μ=->，临界值 1/2 1.960.108/0.0947c u α-==?=， 由于 0 4.364 4.550.186x c μ-=-=>，所以拒绝0H ，总体 的均值有显著性变化. 设立统计原假设 22220010:,:H H σσσσ=≠ 由于0μμ=，所以当0.05α=时 22220.0250.9751 1()0.03694,(5)0.83,(5)12.83,n i i S X n μχχ==-===∑% 22 10.025 20.975(5)/50.166,(5)/5 2.567c c χχ==== 拒绝域为 {}2222 00201//K s c s c σσ=><%%或 由于220/ 3.167 2.567S σ=>%，所以拒绝0H ，总体的方差有 显著性变化. 2 一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽测25件，得其均值为x =950h .已知该种元件寿命
2(100,)X N σ:，问这批元件是否合格（0.05α=）？ 解 由题意知 2(100,)X N σ:，设立统计原假设 0010:,:,100.0.05.H H μμμμσα≥<== 拒绝域为 {}00K x c μ=-> 临界值为 0.050.0532.9c u u =?=?=- 由于 050x c μ-=-<，所以拒绝0H ，元件不合格. 3 某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准重量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其重量分别为510，505，498，503，492，502，497，506，495（g ），假定罐头重量服从正态分布. 问 (1)机器工作是否正常（0.05α=）？ 2）能否认为这批罐头重量的方差为5.52 （0.05α=）？ 解 （1）设X 表示罐头的重量(单位：g). 由题意知 2(,)X N μσ:,μ已知 设立统计原假设 0010 :500,:H H μμμμ==≠,拒绝域 {}00K x c μ=-> 当0.05α=时，2500.89,34.5, 5.8737x s s === 临界值 12(1) 4.5149c t n α-=-?=，由于 00.8889x c μ-=<， 所以接受0H ，机器工作正常. （2）设X 表示罐头的重量(单位：g). 由题意知 2(,)X N μσ:，σ 已知
西南财经大学统计学院统计学专业
西南财经大学统计学院统计学专业 《数理统计学》教学大纲 一、说明 1、本课程教学的目的和任务 本课程是统计专业本科生的一门重要的专业基础课，它具有一定的理论和实用性，对于认识和理解统计基本思想、基本原理和方法具有十分重要的意义。 2、教学要求 要求学生通过本课程的学习，掌握如何有效地分析与解释反映社会和经济管理问题中的数据，认识数据的社会和经济涵义。本课程重在培养学生运用统计基本理论和基本方法，分析社会经济中的一些问题，以提高学生解决问题的能力。 本课程包括的主要内容有：抽样及抽样分布、参数估计、假设检验、方差分析和回归分析。其核心内容是统计推断的三章：抽样分布、参数估计和假设检验。 3、预备知识 学习本课程应先修《微积分》、《线性代数》、《概率论》等课程。 4、本课程3学分，总学时为60学时。学时分配如下： 本着以上教学目的和任务，本课程选择了“九五”国家级统计专业重点教材《概率论与数理统计》，本书由茆诗松、周纪芗编著。同时在授课过程中，主要参考了由本校教师周惠彬、谢小燕、张卫东、刘明杰编著的《概率论与数理统计》一书，并辅之以其它一些参考书籍（详见附录）。 二、讲授大纲 第一章统计量及其分布 目的要求：通过本章的学习，使学生对抽样法及抽样分布意
二、有效性 三、均方误差准则 四、相合性 第三节极大似然估计 一、极大似然估计的思想与概念 二、求极大似然估计的方法 三、极大似然估计的不变原则 四、极大似然估计的渐近正态性 第一节区间估计 一、区间估计的概念 二、枢轴量法 三、正态均值μ的置信区间（σ已知） 四、正态均值μ的置信区间（σ未知） 五、正态方差σ2与标准差σ的置信区间 六、两个正态均值差的置信区间 七、两个正态方差比的置信区间 第二节单侧置信限 一、单侧置信限的概念 二、基于连续分布函数构造置信限 三、基于阶梯分布函数构造置信限 第三节比率p的置信区间 一、小样本场合下的p的置信区间 二、大样本场合下的p的近似置信区间 *第七节贝叶斯估计 一、统计推断中的三种信息 二、贝叶斯公式的密度函数形式 三、共轭先验分布 四、贝叶斯点估计 五、贝叶斯区间估计 思考题 1、用样本指标估计总体参数时，样本指标估计应具备一些什么性 质，才能使估计更有效？ 2、矩估计法、极大似然估计法的基本思想是什么？ 3、在参数估计中有了点估计，为什么还要引进区间估计？
应用数理统计答案 学号： 姓名： 班级：
目录 第一章数理统计的基本概念 (2) 第二章参数估计 (14) 第三章假设检验 (24) 第四章方差分析与正交试验设计 (29) 第五章回归分析 (32) 第六章统计决策与贝叶斯推断 (35) 对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社
第一章 数理统计的基本概念 1.1 解：∵ 2 (,)X N μσ ∴ 2 (,)n X N σμ ∴ (0,1)N 分布 ∴(1)0.95P X P μ-<=<= 又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 2 2 1.96n σ= 1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为： 800 0.00150 1.2 (800)1(800) 10.0015x P X P X e dx e -->==-<=-=? ∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2 ()P e e --== (2) ∵ (0.0015)X Exp ∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为： 3000 0.00150 4.5 (3000)0.00151x P X e dx e --<===-? ∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56 (1)P e -=- 1.4 解：
i n i n x n x e x x x P n i i 1 2 2 )(ln 2121)2(),.....,(1 22 =-- ∏∑ = =πσμσ 1.5证： 2 1 1 2 2)(na a x n x a x n i n i i i +-=-∑∑== ∑∑∑===-+-=+-+-=n i i n i i n i i a x n x x na a x n x x x x 1 2 2 2 2 11) ()(222 a) 证： ) (1111 1+=+++=∑n n i i n x x n x ) (1 1 )(1 1 11n n n n n x x n x x x n n -++=++=++
4-45. 自动车床加工中轴，从成品中抽取11根，并测得它们的直径（mm ）如下： 10.52，10.41，10.32，10.18，10.64，10.77，10.82，10.67，10.59，10.38，10.49 试用W 检验法检验这批零件的直径是否服从正态分布？（显著性水平05.0=α） （参考数据：） 4-45. 解：数据的顺序统计量为： 10.18，10.32，10.38，10.41，10.49，10.52，10.59，10.64，10.67，10.77，10.82 所以 6131 .0][)()1(5 1 ) (=-= -+=∑k k n k k x x a L ， 又 5264.10=x ， 得 38197 .0)(11 1 2 =-∑=i i x x 故 984.0) (11 1 2 2 =-= ∑=i i x x L W ， 又 当n = 11 时，85.005.0=W 即有 105.0< 研究生 习题2： 2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=， 试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2 χ分布。 2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η 所以 )1,0(~3 1 N η ， )1,0(~3 2 N η )2(~)(3 1332 22212 22 1χηηηη+=??? ??+??? ?? 由于 2 22 1ηηη+= 因此 当 3 1=c 时，)2(~2 χηc 。 2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2 N 的一个样本，求 ? ?? ???>∑=101244.1i i P ξ 。（参考数据：） 2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(2 1021N ξξξξΛ=， 所以 )1,0(~3 .0N ξ ， 即有)10(~3.0210 12 χξ∑=?? ? ??i i 所以 ??? ???>∑=101244.1i i P ξ??????>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ??????>=∑=10122163.0i i P ξ ? ?? ???≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-= 2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{} 20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样 本均值。（参考数据：） 2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212( -Φ--Φ=)2 1 ()21(-Φ-Φ= 1)2 1 (2-Φ=3830.016915.02=-?= 由于 )4,1(~N ξ ， 所以 )1,0(~21 1 16 21N -=-ξξ {} 20≤≤ξP ????? ?-≤-≤-=21122112110ξP ? ?? ???≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-?=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2 N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的 绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2 N ξ， 所以 )1,0(~2 80 100 20 80 N -= -ξξ 所以 {}380>-ξP {} 3801≤--=ξP ?? ? ?????? ?≤--=232801ξP ? ?? ???≤ -≤--=23280 231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-= 2-25. 设总体ξ的密度函数为 ?? ?<<=其它 102)(x x x p 取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求： （1） 顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）??? ? ??>21)3(ξP 。 2-25解：（1）由 ()()[][])()(1)(! !1! )(1)(x p x F x F k n k n x p k n k k -----= ξ 所以 当 10< 应用数理统计 第二章 数理统计基本概念 1、设()12,, ,n ξξξ为0—1分布的一个样本，问： （1）求样本均值ξ的期望与方差；（2）求修正样本方差2 *S 的期望；（3）试证()21S ξξ=-。 解：由于()0,1ξ ，所以E p ξ=，()1D p p ξ=- （1）()11 1111n n n i i i i i E E E E p n n n ξξξξ===??==== ???∑∑∑ ()()()22211 11111111n n n i i i i i D D D D np p p p n n n n n ξξξξ===??====-=- ???∑∑∑ （2）() ()222112 *1111n n i i i i E S E E n n n ξξξξ==??????=-=-?? ???--????? ?∑∑ ()()()()()()2222111111n n i i i i i E nE D E n D E n n ξξξξξξ==????????=-=+-+????? ???????--????∑∑ ()()()22111111n p p p n p p p p p n n ??????= -+--+=-??????-???? （3）由于()0,1ξ ，所以2 1 1 n n i i i i ξξ===∑∑，故 ()()22 2222 22111111111n n n n i i i i i i i i S n n n n n ξξξξξξξξξξξξ====??=-=-=-=-=-=- ???∑∑∑∑，得证。 2、设总体()0,1N ξ ，()12,,,n ξξξ为其样本，问： （1）求样本方差2S 的分布密度；（2）求样本标准差S 的分布密度。 解：（1）由于()0,1N ξ ， 所以根据定理，()() () ()2 2 21 2 2 1 2 *11n i n i i i n S n ξξξξχσσ==--= =--∑∑， 而()21n χ-的分布密度为： ()11221 21,01;1220 ,0n x n x e x n f x n x ----?>?-??? -=Γ? ? ????≤? () 2 2 1 1n i i S n ξξ ==-∑，所以样本方差2S 的分布密度为： 谈数理统计在医学中的应用 摘要：目前数理统计在医学方面的应用越来越广泛。本文首先论述了其研究内容和特点，再通过举例说明，表明数理统计这门学科在疾病的治疗、药物的研究等方面发挥着不可替代的作用，最后是对该学科的展望，数理统计这门学科有广阔的发展空间，并且越来越多地应用到实际生活中。 关键词：数理统计医学贝叶斯公式药物疾病 第一章概述 数理统计是研究现实世界中大量现象的客观规律性的科学。也即从实际资料出发，来研究大量现象的规律性。具体来说，数理统计是研究从被研究对象的总体中抽出的一部分的某些性质，从而推断分析所研究的总体的性质。 医用数理统计方法是研究医学随机现象变异规律性的一门科学方法，它运用数理统计的基本知识，研究如何科学地搜集原始数据资料，建立有效的数据处理方法，进行统计分析，通过被研究问题作出估计和检验，从而指出事物变异的统计规律性。 在实际生活中，医学随机现象的变异性是普遍存在的，如同一地区内性别、年龄在不同时间段的构成比不同；同一疾病用同一种方法治疗，不同人群会有不同的治疗效果等。医学随机事件直接表现为一；定数量，这些数量的取值不能事先确定，而是受偶然因素的影响而改变的。这种随着偶然因素而改变的变量，称为随机变量。例如治愈数、死亡数、测量身高、体重所产生的误差等。通过数理统计研究使我们对于随机变量的特征及其变化规律获得一个总的认识，即通常所说的统计规律性就是随机变量概率分布特征的规律性。 统计学原理中要求抽样调查必须遵循的原则是抽样随机化。随机变量一般分为连续型随机变量和离散型随机变量，连续型随机变量是指随机变量取值充满某一个区间，如人的身高和血压的测定值等，它符合正态分布; 离散型随机变量是指随机变量只能取有限个或可数个值，如同一疾病中的治愈人数等，它符合二项分布。在医疗实践中，数理统计就是对大量随机事件进行科学的搜集整理统计资料并根据概率理论，以样本资料对总体的某些性质作出估计和判断 第五章 方差分析 课后习题参考答案 5.1 下面给出了小白鼠在接种三种不同菌型伤寒杆菌后的存活日数： 设小白鼠存活日数服从方差相等的正态分布，试问三种菌型的平均存活日数有无显著差异？(01.0=α) 解：(1)手工计算解答过程 提出原假设：()3,2,10:0==i H i μ 记 167.20812 11112 =???? ??-=∑∑∑∑====r i n j ij r i n j ij T i i X n X S 467.7011 2 11211=???? ??-???? ??=∑∑∑ ∑====r i n j ij r i n j ij i A i i X n X n S 7.137=-=A T e S S S 当 0H 成立时， ()()()r n r F r n S r S F e A --- -= ,1~/1/ 本题中r=3 经过计算，得方差分析表如下： 查表得 ()()35.327,2,195.01==---F r n r F α且F=6.909>3.35，在95%的置信度下，拒绝原 假设，认为不同菌型伤寒杆菌对小白鼠的存活日数有显著影响。 (2)软件计算解答过程 从上表可以看出，菌种不同这个因素的检验统计量F 的观测值为6.903，对应的检验概率p 值为0.004，小于0.05，拒绝原假设，认为菌种之间的差异对小白鼠存活日数有显著影响。 5.2 现有某种型号的电池三批，他们分别是甲、乙、丙三个工厂生产的，为评论其质量，各随机抽取6只电池进行寿命试验，数据如下表所示： 试在显著水平0.05α=下，检验电池的平均寿命有无显著性差异？并求 121323,μμμμμμ---及的95%置信区间。这里假定第i 种电池的寿命 2i X (,)(1,2,3)i N i μσ=。 解：手工计算过程： 1.计算平方和 其检验假设为：H0：，H1：。 2.假设检验： 所以拒绝原假设，即认为电池寿命和工厂显著相关。 3.对于各组之间的均值进行检验。 6 .615])394.44()3930()396.42[(*4)()(4 .216)3.28108.15(*4*))(1()(832 429.59*14*))(1()(2221 22 1 21 22 222=-+-+-=-=-==++=-==-===-==-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑===r i i i i A r i i i r i i i i ij e ij T X X n X X S S n S n X X S s n ns X X S 0684 .170333 .188 .30712/4.2162/6.615)/()1/(===--= r n S r S F e A 89 .3)12,2(),1(95.01==-->-F r n r F F α 应用数理统计期末复习指导 一、复习重点 第一章 绪 论 数理统计学是一门对客观不确定现象进行数据搜集、整理、表列和分析的科学，其目的是了解客观情况，探索数据内在结构及现象之间的规律性。 对搜集的全部数据加以整理来研究这些数据的特征，这称为描述统计。建立在样本数据的基础上对总体的特征做出估计和推断，这称为推断统计。 数理统计学的发展大致经历了古典统计学、近代统计学和现代统计学三个阶段。 第二章第二章 数据的搜集、整理与描述 统计表最主要的内容是指标名称与指标数值。 数据集中趋势的计量：（１）均值（算术平均数）；（２）几何平均数；（３）中位数；（４）众数；（５）切尾均值。 离散趋势的计量：（１）极差，又称为全距。极差是数据中最大值和最小值之差；（２）四分位差；（３）平均差，它是数据值与其均值之差绝对值的平均数；（４）方差和标准差。方差是数据值与其均值离差平方和的平均数。方差不仅可以用来反映值代表性的高低，而且也是数据离散趋势的最主要的统计数量特征；（５）离散系数。 第三章 概率基础 凡是一个行动或过程会导致一毓可能的结果之一，但具体发生哪一个结果是不确定的，这种行动或过程统称为随机试验。随机试验所有可能结果的集合称作样本空间。随机试验的每一个可能的结果称为随机事件。 凡是必然发生的事件称为必然事件。必然不发生的事件称为不可能事件。如果事件Ａ的发生必然导致事件Ｂ的发生，则称事件Ａ包含于事件Ｂ，记作 。两个事件Ａ、Ｂ中至少有一个发生称为两个事件的并，记作 。两个事件Ａ、Ｂ中同时发生称为两个事件的交，记作 。事件Ａ发生而事件Ｂ不发生称为两个事件的差，记作Ａ－Ｂ或 。样本空间与事件Ａ的差称为事件Ａ的逆事件或对立事件，互补事件，记作 。事件Ａ与事件Ｂ不可能同时发生称两个事件互不相容或互斥，记 。事件的运算满足： B A ?B A B A B A A A -Ω=? =B A 研究生课程考核试卷 （适用于课程论文、提交报告） 科目：数理统计教师： 姓名：学号： 专业：类别： 上课时间： 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名) 重庆大学研究生院制 办公楼类建筑采暖锅炉容量与采暖面积的线性关系分析 摘要：我国是能源消耗大国,在燃料消耗领域,燃煤占有相当大的比重,尤其东北及西北地区燃煤消耗尤为严重,主要消耗方式则是冬季的锅炉采暖。如何根据采暖面积，合理选择燃煤锅炉容量，对于节约能源，提高能源利用率，具有重要意义。本文借助于数理统计的知识，在实际的数据的基础上，对两者之间进行一个简单的一元线性回归分析。在建立起模型之后，通过显著性检验方法进行检验，以检查结果的正确性。并通过模型对办公楼类建筑采暖锅炉的容量作出一个大致的预测，同时对相关结论进行分析，以指导实际工作。 关键词：办公楼；建筑面积；锅炉容量 一、问题提出及分析 锅炉是一种能量转换设备，向锅炉输入的能量有燃料中的化学能、电能、高温烟气的热能等形式，而经过锅炉转换，向外输出具有一定热能的蒸汽、高温水或有机热载体。锅炉中产生的热水或蒸汽可直接为工业生产和人民生活提供所需热能。 对于采暖地区的而言，每年漫长的采暖期都要依靠采暖设备供热维持建筑物内环境温度。大部分地区主要以燃煤供热锅炉为热源，这种供热模式在短期内不会改变。随着城市的发展，供热面积不断增加，耗煤量也逐年提高。近年来由于煤炭价格不断攀升，冬季燃煤采暖的经济压力已成为了影响供热质量及供热企业经济效益的主要问题。在积极贯彻落实国家节能减排政策的形势下，如何在保证供热质量的前提下采取行之有效的措施降低采暖煤耗，已成为迫切希望解决的问题。那么，现行燃煤供热锅炉容量与建筑面积的关系如何，能否通过建筑面积对锅炉容量进行预测？ 带着这样的问题，利用现行数据，借助统计学与软件的分析，采用散点图的描绘，可以看到办公楼建筑面积与采暖锅炉容量可能存在一定的线性关系，由此借助数理统计知识，通过一元线性回归的相关知识对该问题进行分析。 二、数据描述 为了研究办公楼建筑面积和采暖锅炉容量的关系，选取建设部工程总结的相关数据，如表1所示： 采暖锅炉容量总结表 三、模型建立最新研究生《应用数理统计基础》庄楚强-何春雄编制---课后答案
庄楚强 应用数理统计二
数理统计在医学中的应用
《应用数理统计》吴翊李永乐第五章方差分析课后作业参考答案资料
应用数理统计期末复习
数理统计----线性回归
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