第一章分形几何
——描述自然界非规则对象的几何学
本章是分形几何课程的首章，也是一个总纲。主要向同学们全面介绍分形几何的研究内容、方法和意义。提供一组分形计算机图象，概括地勾画出本讲义后续章节涉及的有关内容，这是几幅有代表性的分形图象，它使同学们初步接触什么是分形，这些分形图都很美，它不仅使读者直接感受分形之美（The Beauty of Fractals），而且也能激发起大家以极大兴趣去学习研究现代科学中的分形理论，充分发挥个人想象力，拓展分形的应用领域。
作为入门的引导，本章叙述了分形的有关基础，包括：自相似性、标度不变性、维数概念、分形的相关学科、分形的若干应用领域等等。
分形理论的提出，在科学史上可以说是具有划时代意义的。为了让同学们更好地了解分形诞生的学术背景，本章最后一节介绍了分形几何学的奠基者B.B.曼德布罗特的学术研究经历与成就。
分形的产生与发展都离不开计算机，因此，本讲义的着重点是让读者通过本书的学习掌握分形及其计算机研究方法。本章提供的彩色分形图象，可参考本讲义的附录中所给出的Pascal 程序在计算机上实现。其生成算法，在后续章节中介绍。
1．1 什么是分形
人类在认识世界和改造世界的活动中离不开几何学。在历史上，科学技术的发展与几何学的进步始终是密切相关的。
在生产实践和科学研究中，人们用以描述客观世界的几何学是欧几里德几何学，以及解析几何、射影几何、微分几何等等，它们能有效地描述三维世界的许多对象，如各种工业产品的形状，建筑物的外形和结构等，因而千百年来一直是人们生产与科研的有用工具。
随着计算机科学研究领域的日新月异，特别是计算机图形学的迅速发展，人们在使用计算机深入探讨一系列问题的过程中，逐渐感到，用传统的几何学已不能有效地描述某些自然界大量存在的对象，如：海岸线、山形、河川、岩石、断裂、树木、森林、云团、闪电等等。它们都是非规则形状，用欧几里德几何学是无能为力的。计算机图形学在自然景物的模拟以及动画的制作中，如果用直线、圆弧、样条曲线等去建模生成，则其逼真程度就非常差。
另外，在科学研究中，对许多非规则对象建模分析，如：星系分布、凝聚生长、渗流、金融市场的价格浮动等复杂对象，都需要一种新的几何学来描述。
1973年，曼德布罗特（B.B. Mandelbrot）在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形（Fractal）这个词，是曼德布罗特创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何是一门以非规则几何形状为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
与传统的几何学相比，分形几何有这样的特点：
（1）从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山川形状，从远距
离观察，其形状是极不规则的。
（2）在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是自相似的。其中一些是用来描述一般随机现象的，还有一些是用来描述混沌和非线性系统的，这些内容，将在本书有关章节中介绍。
为了进一步了解分形，首先讨论什么是维数。
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引人高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。
为了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。维数虽然可以用来表示分形集的不规则程度，但仅凭维数还不足以完全定义分形，还需要一些其它的特性。对于什么是分形，目前还很难给它下一个确切的定义，正如生物学中对“生命”仍没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。对分形的定义也可作同样的处理。
对于某一集合A，可以将具有下面性质的集合，称为分形集：
（1）曼德布罗特曾把满足下式条件
Dim（A）> dim（A）
的集合A，称为分形集。其中，Dim（A）为集合A的分维数，dim（A）为其拓朴维数。一般来说，Dim（A）不是整数，而是分数；
（2）集合A具有近似的、或统计的自相似性，亦即满足标度不变性；
（3）集合A具有不规则性，从整体到局部均难以用传统的几何学进行描述；
（4）集合A具有精细结构，也就是说，它具有任意小的比例的细节；
（5）在许多情况下，集合A可以用非常简单的方法定义，它具有递归性，可在计算机上以递归的方式生成。
总之，分形几何与传统的几何完全不同，传统的欧几里德几何的对象具有一定的特征长度和标度，其所描述的是人类生产的工业产品的规则形状，分形几何则是无特征长度与标度的，它擅长描述自然界普遍存在的景物，分形几何的图形具有自相似性和递归性，它比较适于用计算机迭代生成。
那末，为什么要研究分形呢？
首先，分形形态是自然界普遍存在的，研究分形，是探讨自然界的复杂事物的客观规律及内在联系的需要，分形提供了新的概念和方法。
其次，分形具有广阔的应用前景，在分形的发展过程中，许多传统的科学难题，由于分形的引入而取得显著进展。
分形作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。80年代初国外开始的“分形热”经久不息。美国著名物理学家惠勒说过：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学的文化人。正因为分形饱含哲理，概念新颖，且应用前景宽广，才能引起人们的浓厚兴趣。
目前，分形理论研究工作还有待加强，已有的大量工作是有关计算机模拟和维数计算方面的研究，不少工作只是停留在描述现象等方面，因此，对分形的认识还有待深入。
1．2 分形的计算机图象
为了让读者从一开始就对分形有一个直观的、全面的认识，让我们首先提供一组有代表性的分形图片，作为入门的向导。这些图是在SGI工作站上通过运行相关的计算机程序得到的，也可以在个人电脑上生成。
下面按彩色插图的顺序作简要说明，这些图的产生方法，在有关章节中将进一步阐述。
1．复动力系统的分形集合——M集
分形中最著名的是Maridelbrot集，这是分形的创始人曼德布罗特在非线性分形领域中作出的杰出贡献。这是通过在复平面中G（z）＝Z2＋C的反复迭代而得到的点的序列，其中C和Z都是复数，若Z的初始值取为零，改变C值，再用计算机对每个点按一定规则着上颜色，即可得到如图1所示的Mandelbrot集（简称M集）的计算机图象。
在图象生成算法中，为了取得更丰富的细节，可采取一些专门的处理。例如在图l中为了表征敛散速度的处理，使M吸引子部分呈现出图中所示的红黑相间的纹线。图2和图3所示的M集，包含了极为丰富的细节，显示出相似而又丰富多彩的极为细致的结构形态。图3为Henon映射图。
图4和图5所示为海马谷（Sea horse Valley）分形图案，是通过将M集吸引子外部边界保留，将其余部分滤去的特殊处理而得到的。
图16为高阶M集（Zn+1=Zn7＋c）的分形图象。
2．具有周期复现图案的分形图象
为了构造按一定周期重复出现的分形图象，可在迭代式中，嵌入周期函数，这样就使分形图案在生成过程中受到周期函数的调制，生成如图6所示的图案，图7为此图的细节，其形状有如蕨植物丛中的茂密叶芽。
3．Julia集的分形图象
本世纪初，法国数学家朱丽亚（G. Julia）和法图（P. Fatou）曾经分别研究过一种多项式和有理函数的迭代，即现今称为Julia集的复动力系统的著名分形集合。由于当时（1918年）正值一次世界大战期间，同时缺乏构造这类图形的计算机工具，使研究中断。计算机图形学的发展使这种探索重获生机，从图8、图10及图11可以使人们更加领略到两位数学家早期研究的全部意义。
图15为准Julia集（QJS）的分形图案，其形状类似于天安门的华表。
4．M集与Julia集间的关系
M集与Julia集之间有着极为密切的关系，研究表明，Julia集是M集的边界，而M集又是Julia集的一个总纲。图9是一幅重要的分形图，它较好地体现了这一关系。此图揭示
了M内各部分C的有限吸引轨道周期和混沌，图10、11为Julia轨道周期2和4的分形图象。关于这些内容，在本讲义后续章节还要进一步阐明。
5．迭函数系统（IFS）
计算机图形学、仿射几何学与分形理论相结合，产生了迭函数系统的整套图象生成与复制的算法。这是一种大范围分形图案的构造方法，其覆盖面很宽，能产生任意图形，因而应用极广，可以生成自然界的各种对象，关键在于构造一个合适的迭代函数。图13为IFS 生成的植物树的例子。
由于IFS方法可以把图象简化为一系列仿射变换的一般过程，这类非线性映射尽管从成象的过程看是简单的过程，但得到的结果却很复杂，从而使人感到，也许大自然中的复杂事物不外乎是由一些简单的系统产生的。
用IFS方法在图象处理中还可以有效地用来缩减存贮及传送的图象的数据量，通过拼贴原理可再现所处理的图象，因此IFS具有广阔的应用前景，它可以实现图象数据的大比率压缩，以及艺术图象的再创造。
6．分形生长的计算机模拟
图12为用计算机模拟凝聚态生长的分形图，称为有限扩散凝聚模型（DLA），是通过布朗运动粒子不可逆地凝聚到一个核心上，使图形动态生长而成的。此种图形具有一系列向其四周伸展的分枝结构，它也具有自相似性的特征，是分形的一种重要形态。许多自然现象和人们在实验室中观察到的现象，尽管其生成机制不一，但所得到的图形，无论在枝状结构上，分形维数上，和DLA模拟生长的结果都是一致的。DLA能模拟金属沉积树、玻璃裂纹、闪电、渗流等等。
对自相似图形的研究，对图形的物理内含的研究，以及对生长图形的研究目前还仅仅是开始，其中不少是计算机模拟的结果，其解析理论仍然空白，实验研究也只是刚起步，但可以预期，这类研究将对医学、生物学、流体力学、结晶生长、化学沉淀、生物器官的模拟以及其它各种随机分岔形态的研究，将具有现实意义。
7．非线性振动与分形
丹麦电气工模师范德玻尔（Van del pol ）在30年代研究非线性电子弛张振荡过程，提出了用以描述电子自激振荡过程的范德玻尔振动方程。
用差分近似的方法，可将非线性常微分方程转换为M 的变换式，用计算机模拟可以生成相应的范德玻尔振动图形，通过对计算机输出的一组图象进行分析，可以看出它们具有自相似性，也是一种分形。
用类似的方法，对Duffing 振动系统进行可视化处理，可以得到另一组相应的图型。 彩色插图21为Dufflng 振动过程的模拟结果，图22为Van del pol 振动系统用计算机模拟所得的分形图象。
Duffing 和范德玻尔非线性过程的模拟及其自相似性的探讨，为机械、电气、结构力学中的振动分析，以及对混沌学的研究等提供了科学可视化的重要途径。
8．混沌学研究与分形 混沌学的研究与分形关系甚为密切，它们都是现代非线性科学的重要组成部分，本讲
义对混沌图象的生成作了详尽的阐述，给出了一组混沌图象，其中包括Henon映射吸引子（图18）、变形逻辑斯谛映射的李亚普诺夫指数产生的混沌图象（图17），对称混沌生成的规则花纹图案（图19、图20）复平面上的高次牛顿迭代（Z5－1＝0），图中5个红色点即为该系统的吸引子（图23），图24为研究复解析动力系统中得到的另一类图象，其形状犹如节日焰火。
9．人工生命与分形
由于混沌与分形的研究向纵深发展，为人工生命的研究提供了理论与方法，图25和图26选自1993年在日本东京国际美术馆展出的“人工生命与美学”图集。原作品为动态生成图象，其算法是基于生物学中的有关概念与方法，并应用了计算机图形学中的粒子系统的方法。
1．3 自相似性和维数
如前所述，所谓分形集，一般是指那些用经典几何学无法描述的“非规则”集。在所列出的分形的特性中，自相似性与分数维数是它的主要特点。本节作进一步说明。
自相似性是指部分与整体具有相似的性质。在自然界和生物体中，具有自相似的客观对象是非常多的，除了山形的起伏、河川的弯曲、树木的分枝结构外，生物体的器官，如血管的分岔、神经网络、肺气管道的分枝结构等，均具有自相似性。布朗粒子的运动轨迹，虽然不具有严格的自相似性，但其轨道的某一局部放大后，与某一较大部分具有相同的概率分布，因此，自相似性应包括统计意义上的自相似性。不同的分形集，自相似的程度也有很大的差别。
为了理解自相似性，有必要了解什么是无标度性。无标度性是指不具有特征长度的客观对象的重要特性，这里提到的特征长度，通常是用来表征某一形状特征的长度，一般只要特征长度不变，则其性质不会有根本的变化。自相似性是不具特征长度的对象（或图形）的重要特征。这类对象一般具有递推性，因此，用计算机可以非常有效地生成它们。自相似性是分形的基本特性，是跨越不同尺度（包括空间和时间尺度）的对称性。
在介绍分形维数的许多著作中，作为老生常谈的一个话题，就是20多年前英国科学期刊发表过的“大不列颠的海岸线有多长？”的命题。分形的创始者曼德布罗特认为：这主要取决于测量海岸线所用的度量单位（标尺）。标尺若以公里为单位，则在测量海岸线的过程中，就会跨过许多海岬，遗漏大量的细节。如果用一米长度为测量用标尺，则海岸线的许多细节便都能够测量出来。标尺越小，测出的海岸线就越长，因此，从这一概念出发，海岸线的长度是不确定的。
国境疆界线的测量也是这样，60年代初科学家Richarson曾指出过这样的事实：西班牙与葡萄牙之间的国境线，由于测量标尺的差异，西班牙方面测出的是987公里，而葡萄牙方面测出的是1214公里，大约有20％的偏差，类似的例子还可以举出许多。因此人们考虑，能不能用一种与标度无关的方式来表征国境或海岸线的结构呢？人们研究了度量单位ε和测量结果L（即总长度）之间的关系。Mandelbrot指出：跨越尺度的变化不是任意的，必须遵从一定的规律。长度的标准测量结果的可变性，包含着另一种不同的量的不变性，这个保持不变的参量，就是维数D。
在自然科学中，维数是空间和客体的重要几何参量。例如：状态空间的维数，反映的是描述该空间中的运动所需的变量的个数；本讲义后面章节中所提到的吸引子，其维数代表的是刻画它所必须的信息量。
一个几何对象（点、线、面、体）的维数，人们通常是由表示它的一个点所需的独立变量的个数来确定的。因此，n维空间就有n个独立的变量。对于某一集合A来说，如果描述其中的点需要d个坐标，则称该集合A是d维的，记
dim（A）＝d
其中，维数d通常是一个非负的整数，但在分形几何中，d可以扩大为分数，因此分形几何又称为分数维几何，而把其维数d称为分维。
人类对维数的认识也是由浅入深的。19世纪中叶，人们只是一般地用维数来对几何形状或被研对象作一些描述，对维数的认识还很肤浅，1875年，数学家黎曼指出对维数的概念有必要作深入的研究。
三分Cantor集〔1875年）和Peano曲线（1890年）相继发现后，人们开始对维数提出了一系列问题，象Peano这样的曲线，为什么只要一个实数就能确定曲线上的任意一点，由于Peano曲线还可以扩展到三维以上的空间，从自由度的角度出发，完全可以把n维的空间看成一维的。因此，对维数重新定义是非常必要的。下面介绍几种维数的概念。
1．相似性维数
先研究如图1-1所示的线段、正方形和立方体，它们的边长都是1。
将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1／2，而将原图等分为若干个相似的图形。图中，线段、正方形、立方体分别被等分为21、22和23个相似的子图形，其中的指数1、2、3，正好等于与该图形相应的经验维数。
一般来说，如果某图形是由把原图缩小为1/a的相似的b个图形所组成，有：
a D＝b，D= log(b)／log(a)
的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分数。
相似性维数，通常被定义为具有严格自相似性的维数。对于具有不同的非整数维数的图形或几何对象来说，维数愈大，其复杂性就会相应提高。
2．容量维数
容量维数是另一种重要的维数，容量维数是利用相同大小形状的小球或立方体包覆几何对象而定义的维数，由著名的数学家科尔莫哥诺夫（原苏联科学院院土）提出。
设有一几何对象S，若用直径为ε的小球为标准体去覆盖S所需的小球的最小数量为N （ε），则S的容量维可用下面式子来定义：
logN(ε)
D=lim —————
ε→0 log(1/ε)
其中，维数D 可以是分数，也可以是整数。而覆盖几何对象S 的标准体ε，视几何对象的不同可选择小球、单位立方体、或小区间等。
3．豪斯道夫〔Hausdorff ）维数
由于相似性维数的适用范围有限，只能用于定义那些具有严格相似性的对象，而对于一些包含随机性的任意图形或对象则不大适用，而容量维数基于相同的包覆，对某些对象其适用性也有一定局限。
豪斯道夫维数也是基于包覆概念的，其定义方法如下：设D ＞0，用直径小于ε（ε＞0）的一定数量的小球覆盖某几何对象S 。若d 1，d 2，……d k ，为这些小球的直径，则D 维的Hausdorff 测度，可用下式定义：
M D (S)＝lim int Σ d k D
ε→0 d k <ε k
其中，int 为取整符号。当这个量从零向无穷大迁移时，则称D 为几何对象S 的豪斯道夫维数，常用D H 表示。
豪斯道夫维数和容量维数都是基于包覆的，其不同点在于容量维是同相同大小形状的球或立方体去作包覆定义维数，而豪斯遣夫维数则是用最有效的包覆来定义的维数。
维数是定量描述自相似的随机形状与客观对象的最基本的量，但仅用维数这个量描述复杂性是有局限性的，因此，仅有上面所述的有关维数的定义也是不够的。关于维数，还有不少定义维数的方法，现简要列出如下，如果有兴趣的话可以参阅有关专著。
4. 信息维数
(a)
（b ） (c)
图1-1 相似性维数
(a)线段；(b)正方形；(c)立方体
将空间作等分分割，然后，根据进入这些子空间中点的概率来定义的维数，称为信息维数。
将信息维数广义化，扩展后所得的维数，称为q次信息量维数。
5．李亚普诺夫维数
利用李亚普诺夫指数而定义的维数称为李亚普诺夫维数，可用来定义混沌吸引子的维数。
6．谱维数
谱维数是一种与随机行走有关的维数，其典型例子是分形布朗运动。
7．拓扑维数
拓扑维数是一个非常基本的量，它只取整数值，一般来说在不改变拓扑的映射的情况下，集合的拓扑维数是不变的。例如，将空间进行变比、扭转变换后，若集合能转换为孤立点，则此集合的拓扑维数D T＝0。如果集合能转换为直线，则此集合的拓朴维数D T=1。一般来说，有D T<=D H（D H为Hausdorff维数），为了描述复杂对象，有时仅用分维数是不够的，因为它不能说明被描述的对象究竟是分散的点的集合还是由皱摺弯曲的连通的线组成。构成此类集合要素的信息，可由拓扑维数给出。
8．广延维数
广延维数是用来定义与描述网格结构的一种维数，这种维数与它填进的空间是无关的。例如，在一平面锚述的某一对象，其广延维数可能大于2。在处理网格结构体系某些有关问题时，广延维数具有重要意义。
上面介绍并简要地列举了一些维数的定义，除此之外，人们还提出了不少其它的维数定义，此处从略。在实用中，往往针对不同的研究对象采用不同的维数定义方法。另外，维数的计算也存在不少问题。在实用中，为了简便通常采用下面介绍的计盒的方法来确定几何对象的维数。
9．计盒维数
设有一集合A，为了确定其维数，可以采用以下的方法：
首先，用一个矩形将集合A覆盖住，再以S为边长，将此矩形均匀地划分为矩形网格；然后开始计数，逐个地数出这样的网格数目N（S），只要网格中含有集合A的任何一部分时，均可计数，如图1-2（a）所示。
根据S和N（S），可以绘出log N（S）－log（1／S）关系图（如图〔b）所示），其维数可由下式
D＝log N（S）／log（1／S）
算出其近似值，也可以通过求出该图中直线的斜率的方法来确定集合A的维数。
1．4分形的相关领域
分形理论的创立，与计算机图形学密切相关，分形及混沌学的研究又是科学可视化（Scientific Visualization）的重要应用领域，它促进了“实验数学”的建立与发展，下面就这几个相关的领域作概要介绍。
1．4．1计算机图形学
计算机图形学（Computer Graphies）是60年代初发展起来的学科分支，它研究如何用计算机生成、处理并显示图形。从1963年计算机图形学诞生至今只有三十多年的时间，但计算机图形的应用却出乎意料的广阔，目前已遍及所有领域。
分形理论的创立与计算机图形学的关系是如此的密切，以致人们认为：分形几何是计算机图形学孕育的。这种比喻是非常确切的。事实上，分维的概念，早在一百多年前就由豪斯道夫提出，在1918年，法国数学家Julia和Faton曾分别独立地研究过现在以Julia命名的数集并使当时的复分析达到了很高的水平，只是由于当时还没有出现电子计算机，因而使他们的研究中断。分形的创始人Mandelbrot曾详细地研究过Julia的研究手稿，并用计算机为工具，才使复动力系统的研究开花结果。在分形的计算机图象中，M集和Julia集占有十分重要地位，如果没有计算机图形学，这些美丽的图形就根本不可能呈现在读者的眼前。从本书所附的彩色图页中，读者还可以看到，通过图形学的某些特殊处理，还可在屏幕上产生各种类似海马、周期复规分形图以及植物和生长图形。
1.4.2科学可视化
在探讨复杂性和各种未知的现象中，科学可视化（简称ViSC）起着越来越重要的作用。
科学可视化是八十年代后期，随着计算机图形学的研究及应用的拓广，从而发展起来的一个新的研究分支。ViSC以“可视”的方式，计算和显示各种物理模型、抽象概念和数学模型。计算机输出的大量数据，由于数据量极大，且不直观，人们通过扫视这些数据，往往难以把握它们之中所蕴含的科学内涵，科学可视化能有效地帮助研究人员形象地、有联系地“看到”这些数据，从而更有效地进行处理、分析与推理。
在科研中，采用可视化技术确能产生明显的效果。从人的生理学观点考虑，其优势也很显著，因为视觉是人的五大感官之一。感官就是人脑中的一些数据通道。而视觉又是人脑中最大的数据通道，其所携带的信息最多。另外，从思维科学的观点考虑，科学可视化，有助于人们打破传统的思维方式，充分开发人的右半脑。大家知道，人在思维时，左脑主要司逻辑思维，而右脑则主要司形象思维。ViSC可使二者即形象思维和逻辑思维有机结合，从而达到启迪思维、促进科学创造的目的。
1．4．3实验数学
科学定律为确定性系统的描述提供了算法，而算法则是通过计算机程序在计算机上实现的，执行一种计算机程序和进行一次实验很相似，但计算机实验主要是基于算法，在某种情况下，它还允许在一个完全由假设构成的环境中进行这种实验，因此，计算机扩展了实验科学的领域，过去遗留下来的许多复杂系统的研究，采用传统的数学方法无法进行分析，而通过计算机实验就可以有效的迸行，并获得大量精确的结果。
计算机还能用于研究抽象数学系统的性质。例如，本书中复动力系统的分形集合、以及逻辑斯谛方程的研究（见第八章）等等，都是用计算机进行数学实验的具体事例。
用计算机生成各种分形图象，不仅展现了数学的内在美，同时也使一些新的发现成为现实，因此，在研究方法上向传统的数学观念提出了挑战。分形的发现，以及大批分形与混沌图案的出现，人们形象地看到的是一系列非线性方程的写真集。分形的创立可以说是数学理论与计算机结合的最好范例。因此数学家对计算机始终采取欢迎的态度，目前，用计算机为工具来做各种抽象概念与理论的实验，已成为数学发展的一个重要趋向，“实验数
学”这一新的学科分支应运而生，一些国外的大学还设立了有关实验数学的课程，著名数学家爱泼斯坦还主持创办了《实验数学》学刊。
在数学的发展历史上，用实验的方法研究数学，可以追溯到古代的毕达哥拉斯定理，这是数学家通过实验发现几何定理的一个先例。前面已经提到的Julia集的发现，经历了半个世纪的沉寂，直到70年代中期，研究才有了结果，正是Mandelbrot用计算机重新研究才使早在20年代开始的Julia集的研究取得突破的。
在理论研究中，用计算机为工具做实验，为研究者提供了新的“显微镜”扣“望远镜”深化了人们对客观世界的规律的理解。实验数学正在改变着数学的研究方法。有鉴于此，爱泼斯但认为，采用实验方法是研究数学理论的另一有效途径，他提出对研究成果有必要建立一些新的评价标准，要从理论转向理解。另外，实验的方法又是从事数学理论研究的人在其创造处于低谷期内促使其更有。效地工作的一种方法。也许一些理论研究者将从数学实验中获得更多的助益。
实际上，从分形与混沌的发展过模中可以看到，复动力系统的分形集（M集和Julia集）的复杂图象的生成，洛伦兹吸引子的发现，分形的无限自相似结构、混沌现象的发现等，都和计算机有关。有些问题，只有依靠实验数学的方法才能对于那些理论上的难题
给出丰富的、直观的启示。许多过去令人望而怯步的动力系统的演化过程与细部构造等问题，用实验数学的方法将带来新的研究进展。实验数学也许在不久的将来会使数学这个科学皇冠面貌一新。
l．5分形的应用领域
80年代，分形在国外引起人们的极大关注，除了分形图象充分地向人们展示数学理论与抽象的科学概念中所蕴含的自然美外，还在于分形在许多科学技术部门具有广阔的应用前景。
在客观世界的几何描述方面，分形几何是描述非规则图形及客观对象的有效工具，特别是随着计算机图形学的应用发展，由于模拟自然景物、动画制作、建筑物配景以及影视特殊效果景物生成等的需要，用传统的几何学几乎无法描述，而用分形方法，目前已经可以达到以假乱真的程度。美国ACM SIGGRAPH每阵会议发表的最新研究成果中，有不少是基于分形方法建模而取得的。
物理学是分形的最活跃的应用领域之一，分形理论提出以后，物理学家将它有效地用于处理一些过去长时间以来未能解决的难题，如湍流的研究，包括其理论分析和可视化，取得较好的效果。物理学家运用它也解决了一系列新提出的问题。
在气象学中，人们运用分形理论开展研究取得不少进展。著名的洛伦兹吸引子就是一个分形体。云系的形状，降雨的模式和强度，降水量在土壤中的渗透模式等等，都可以用分形理论进行分析、研究。
用分形的方法研究地表面的起伏，如山川、地形、地貌的形态，以及它们产生、发展、分布的规律等，形成了分形地貌学这一新的学科分支，它不仅以分形理论为基础对地表面的形态进行描述，而且还进而以分形维数为中介参数以建立地貌与内部机制之间的联系。
分形地貌学是理论地貌学的一个重要分支，它研究：（1）用计算机生成各种地貌，并探讨其内部机制，例如：各种标准的理想地貌：山峦、丘陵、沙漠、湖沼等；（2）用分形理论计算现有地貌的分维，进而探讨其内在本质与规律。
除此之外，还有地表面水系、地下渗流、海岸线等方面的分形问题。早在1982年Mandelbrot在分形专著中就提出并强调分形地貌（Landscape）的问题。
分形布朗运动〔FBM）是随批分形生成逼真景物的数学模型，利用随机中点位移、插值和付里叶滤波等方法，藉助于方差和分形维数可用以产生另种白然景物。其覆盖域非常宽广。自然界的海岸线、山形、河川、地形地貌等等，均可以逼真地产生。
80年代中提出的迭代函数系统，不仅可用来构造任意形状的植物，而且在图象数据的压缩方面，也提供了有力的方法，其压缩比非常高，实时的编码与解码发明，它在2000年的“图象通讯”和“远程计算机技术”的发展中，具有广阔的应用前景，此外，大比率的图象压缩也具有现实的军事、经济应用价值。
90年代初发展的计算机“人工生命”的研究，与分形也有极其密切的关系。本书的最后一章将对生物分形与人工生命作专门介绍。可以看到，在计算机上模拟“人工生命”，在理论上、方法上都有赖于分形几何，诸如：分形生长模型、L系统、细胞自动机、IFs方法等。
分形理论在生长模型（包括晶体生长、神经网络、表面催化等）、经济规律（包括人口的分布、城市规划等）、地质（断裂、地形地貌、石油开采等）、生物分形（视网膜结构、经络、癌组织特性）等领域的研究中，已经取得不少成果。
在社会科学和艺术领域，也在积极研究并应用分形理论，美国好莱坞影片“星球大战II”中，就用了不少分形图案。其中有一系列奇峰异谷（分形山脉）和各种狈特的场景，都是人类用分形创造的外星世界，而产生这些新颖、美丽的景色的数学描述则是十分简单。分形几何的应用正在迅速遍及科研、生产与生活的许多方面，因此，不同专业的读者可从不同的侧面研究分形并发展分形的应用。
l.6 新的几何学的奠基者曼德布罗特
一门新型的几何学脱颖而出——这就是分形几何学。它是一门能够深刻描述大自然本身的几何学，是传统几何学的极好的补充与发展。
传统的几何学是对现实的抽象，在人类的生产活动中起着举足轻重的作用，然而，在某些复杂对象面前，它却无能为力，甚至成为一种错误的抽象。分形几何描述的是客观世界大量存在的复杂对象，这些对象是人们司空见惯的但对它们的规律却知之甚少，因此，分形几何问世后很快便成为许多学科的热门话题。随着分形图象的大量出现，更使分形成为家喻户晓的科学珍品。分形同时又是现代非线性科学的组成部分之一，它与混沌理论有着十分密切的关系，如本章前面各节所述，分形之所以受到普遍的关注，不仅是由于它的外在美，更由于它具有广泛的应用价值，同时，在理论与方法上，分形的创立也是划时代的。
初次涉足分形几何的人，无不为其美丽的外表称深刻的内涵而惊讶不已，为了帮助读者更好地了解分形理论的科学背景，作为本章的最后一节，有必要简要介绍分形几何的创立者曼德布罗特（B. B. Mandelbrot）的学术经历及科研生涯，以便理解分形理论建立过程中人类创造性思维所经历的道路。
曼德布罗特于1924年出生在波兰华沙的一个立陶宛犹太人家庭，父亲是个商人，母亲是位牙科医生。1936年全家迁居巴黎。1947年毕业于巴黎工业大学，1948年在加州理工学院攻读硕士学位，1949年回到法国，1952年获巴黎大学博士学位，论文题目为“通讯中
的数学理论”；其中，研究了“Zipf单词频度定律”：任何语种和任何人的谈话中，某些单词是按固定的频度出现的。在证明这个定律中使用了一个重要的概念，这就是他在以后提出的分形理论中关于“比例”或“标度”的概念。
50年代初，曼德布罗特曾研究过布朗运动和电话噪声的有关课题，在研究中开始注意到布朗粒子轨迹的维数问题。在系统地研究了Hausdorff维数概念后，他指出：长期以来，拓扑学没有根好地探讨过布朗粒子轨迹与一条直线之间在维数上的区别。并且认为：在布朗运动中存在着Hausdorff维数，这种维数一般情况下应是一个分数，称为分数维。
1958年，曼德布罗特在IBM计算机公司沃森研究中心任学术顾问，最初主要从事有关经济学的课题，在此期间，研究了股票市场的价格波动问题。运用前面提到过的“标度”的概念，彻底否定了过去的理论中关于最佳购卖时间的某些结论，并建立了新的预测模型。
60年代初，曼德布罗特在IBM公司受命研究电话线路中的随机“噪声”问题。这类噪声并非完全随机的，它们是成束放出的，过去IBM公司曾为此耗费不少人力与物力。这是当时条件下困扰人们的一个问题。人们经常在电话中听到一种线路中丛生的噪声，类似于金属与工具的碰击声。这在当时是很难解释的现象，IBM公司当时曾试图投资装设噪声过滤装置以去除这种噪声。曼德布罗特为此作了缜密的理论分析，特别是注意到维数介于0和1的布朗运动的轨迹与这种噪声的波形非常相似。最后，他得出结论，认为：在电话线路中出现的这种噪声，绝对不是人为的。它与所传送的电话信号的强度有密切的关系，因此，这种噪声是不可避免的。随后，曼德布罗特又在Cantor集理论的基础上，建立了“电话线路噪声丛生的新模型”。这项研究成果产生的经济效益是巨大的，IBM公司根据这一研究结果立即撤消了原定的计划，从而节省了数以百万计的美元投资。这是曼德布罗特研究工作早期的一项重大突破。
1962－1964年，曼德布罗特任教于哈佛大学，开始将“标度”概念用于湍流研究，这个问题一百多年来一直是困惑科学家的一个难题。曼德布罗特指出：当流体中的一个扰动引起一连串的漩涡时，这串漩涡凝聚成的形状，将是一种维数大于2的分维。后来，他又将这一思想，也就是凝聚的概念，推广到星系的形成，曼德布罗特指出，星系云团也是一种分维形态的分布，其维数小于2。
1967年，曼德布罗特研究了“英国的海岸线有多长？”这个长期困扰着数学家的难题。他认为：海岸线的长度，取决于所用的测量标尺的长度。标尺越短，可测出的海常线的弯曲便越多，测出的长度也就越长。可见海岸线问题应该研究的不是它有多长，而是它有多复杂。海岸线长度的增加率，是以它的分维数而增加的。而分形概念，正是由于解决了这个难题而步入科学的殿堂的。70年代初，在IBM公司沃森研究中心，用曼德布罗特的海岸线模型，根据其所提供的算法规则，在计算机上生成了海岸线的分形图形。
80年代初，曼德布罗特的分形专著《大自然的分形几何学》一书出版，分形研究进入了它的令人眼花缭乱、成果纷呈的发展期。1985年，美国把五年一度授奖的巴纳德奖授予曼德布罗特，以奖励他为创立分形几何所作出的杰出贡献。巴纳德奖在美国是科学家的殊荣，在科学历史上第一个获巴纳德奖的是物理学大师爱因斯但。巴纳德奖由美国国家科学院颁发，授予物理学、天文学方面作出重大发现或使科学造福于人类取得新成就的优秀人物。
基于分形几何的分形图绘制与分析 摘要：基于分形几何的分形图绘制方法源于l系统、迭代函数系统ifs、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上，重点对ifs参数进行实验分析，ifs吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。 关键词：分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变 1 分形几何学 现代数学的一个新的分支——，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（b.b.mandelbrot）1973年在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。 2 分形的定义 目前分形还没有最终的科学定义，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义： （1）分形是hausdorff-besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多hausdorff维数是整数的分形集合排除在外，例如，经典分形集合peano曲线分形维数 （2）局部与整体以某种方式自相似的形，称为分形。 然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形
如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (ⅰ) 分形集合在任意小尺度下，它总有复杂的细节，或者说它具有精细的结构。 (ⅱ) 分形集合是非常不规则的，用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 (ⅲ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 (ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。 3 分形研究的对象 几何学的研究对象是物体的形状，在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如：弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变化无偿的浮云，以及令人眼花缭乱的满天繁星，等等。这些物体的形状有着共同的特点，就是极不规则，极不光滑。但是，所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的，例如：初等平面几何的主要研究对象是直线与圆；平面解析几何的主要研究对象是一
2 分形几何学的基本概念 本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。 2.1自相似性与分形几何学 无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。
自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。这就是分形几何学产生的基础。
1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。 科赫曲线（Koch Curve）是分形几何学基本形体中的一个典型实例，它是由这样一种规律逐次形成的：用一根线段做为操作对象，对其三等分，把中间一段向侧面旋转60度，并增加另一段与之长度相同的线段把原来的三条线段连接为一体，这四条线段组成的形状就是第一代的科赫曲线；分别对它的每一条线段重复上述的操作，将形成第二代科赫曲线；再对其每一条线段进行上述操作，可得第三代，等等；如此迭代下去（图版2-1图4）。显然，对每一代的构成元素的同样操作决定了自相似性的代代传递，使形成的科赫曲线已经明确地具有了自然的特征。如果再进一步在操作中增加一点随机成分的话，那么所得的随机科赫曲线的自然性就更强列了。[回本章页首] 2.2维数计算：分形几何学的数学量度 既然分形几何学是一种严格的数学，那么它一定有自身的数学量度。分形几何学的数学量度是分形几何形体的维数。如前所述，分形几何形体的维数不是整数而是分数，它的计算是分形几何的创立者们在总结归纳的基础上产生的。 分形几何体的维数计算的数学推导是复杂的，也不是我们所关心的内容。但维数计算所代表的形象意义却值得我们关注。如前所述，分形几何形体的本质属性是自相似性，而这一自相似性一定是在同一形体的不同层次之间（不论是对自然形体的不同程度的放大，还是对人工形体迭代操作所得到的不同代）得以体现的。因而，分形几何形的维数正是在形状的不同层次的比较之间所反映出来的规律。这一规律所代表的是分形几何形状在空间中的扩张趋势。维数越大，就表明它在空间的扩张趋势越强，形状本身的变化可能性也越丰富。
课程名称（中文）：分形几何的数学基础 课程名称（英文）：Mathematical foundation of Fractal geometry 一）课程目的和任务： 分形几何的概念是由B.Mandelbrot 1975年首先提出的，数十年来它已迅速发展成为一门新兴的数学分支，它的应用几乎涉及到自然科学的各个领域。本课程为分形几何研究方向研究生的专业必修课程。主要内容包括：抽象空间，拓扑空间及度量空间中的测度理论基础、分形的（Hausdorff，packing及box－counting）维数理论及其计算技巧、分形的局部结构、分形的射影及分形的乘积等。其目的是使学生基本理解并掌握分形几何学基本概貌和基本研究方法及技巧，从而使他们能够阅读并理解本专业的文献资料。 二）预备知识：测度论，概率论 三）教材及参考书目： 教材：分形几何――数学基础及其应用肯尼思.法尔科内著东北大学出版社 参考书目：1）Rogers C.A. Hausdorff measures, Cambridge University Press, Cambridge, 1970. 2）文志英，分形几何的数学基础，上海科技教育出版社，上海，2000. 3）周作领，瞿成勤，朱智伟，自相似集的结构---Hausdorff测度与上凸密度（第二版），科学出版社，2010。 四）讲授大纲（中英文） 第一章数学基础 1）集合论基础 2）函数和极限 3）测度和质量分布 4）有关概率论的注记 第二章豪斯道夫测度和维数 1）豪斯道夫测度 2）豪斯道夫维数 3）豪斯道夫维数的计算――简单的例子 4）豪斯道夫维数的等价定义 5）维数的更精细定义 第三章维数的其它定义 1）计盒维数 2）计盒维数的性质与问题 3）修改的计盒维数 4）填充测度与维数 5）维数的一些其它定义 第四章计算维数的技巧 1）基本方法 2）有限测度子集 3）位势理论方法 4）傅立叶变换法 第五章分形的局部结构
中学数学中的分形几何 广西桂林市恭城瑶族自治县栗木中学数学组何桂荣（542502） 桂林市第十八中学数学组蒋雪祥（541004） 内容提要：本文论述了规则图形的容量维，对容量维的计算作了说明，同时还对4个较为著名的与中学有关的，或是可以用于启发学生思维的分形问题进行了分析。 关键字：容量维 Sierpinski三角毯 Koch曲线 Koch岛 Sierpinski-Menger海绵 1973年，曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形(Fractal)一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。数千年来，几何学的发展从来没有二十世纪诞生的分形几何那样对物理学和数学发展产生如此巨大的影响。分形几何对我们大多数人来说是陌生的，因为它看起来离我们太远。其实分形就在我们身边，在近年的竞赛与高考中，分形的影子已经出现。中学数学中的分形与数学研究中的分形所看的角度与研究目标都不同，可以说是羊头狗肉之分吧。笔者试对此进行一点探讨，以抛砖引玉尔。 一、规则图形的容量维 为了描述混沌学中奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。维数是描述客体的重要几何参量。也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。这种维数称为拓扑维，用字母"d"表示。维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘2，就得到另一个线段，长度为n=2个原线段长度。
实用标准文案 第6讲分形几何学 主要内容： 一、概述 二、分维的测定方法（重点内容） 三、分维应用实例（重点内容） 四、问题讨论 一、概述 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，被誉为大自然的几何学，它是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分形理论与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。分形理论是用来研究自然界中没有特征长度但又具有自相似性的图形和现象。自然界的许多事物和现象均表现出极为复杂的形态，并非是一种严格的数学分形，而是具有统计意义上的自相似性。分形几何学是应用数学的一个重要组成部分，在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科中得到广泛的应用。近年来，对分形几何的研究发展很快，在—些前沿课题上取得了较大的进展。 1、基本概念 （1）整数维与分数维 “维”(dimension)是几何学及空间理论的基本概念，是能有效度量几何物体的标准体所需要的独立坐标的数目，是表示几何体形状与分布特征的重要参数。 在拓朴学和欧几里得几何学中，维数只能是整数。如直线是一维的，平面是二维的，普通空间是三维的。如果在三维空间中引入直角坐标，就可用三个实数(x，y，Z)代表空间的一点：n维空间的一点一般可用n个实数(x1，x2,…，xn)来表示。在相对论中，所讨论的时空是四维空间，时空的点，可用坐标(x，y，z,t)来表示，其中t表示时间。可见时空空间的维数也是整数。 然而，欧氏空间只是对现实空间的一个最简单的近似描述。正如B．B．Mandelbrot在其1982年出版的《自然分形几何学》一书中所说：“山峰并不是圆锥形，海岸线不是圆弧形，闪电的传播也不是直线的”。为了更确切地描述自然界的无规则现象，法国数学家Benoit B．Mandelbrot于1977年首次提出了不是整数的维数——分数维(fractal dimension)的新概念。 例如,英国海岸线的维数D为1.25，宇宙中物质分布的D为1.2。研究表明，凡是可用分
论分形几何学在首饰设计中的应用 论分形几何学在首饰设计中的应用作者：来源：浏览次数：5909标签：分形设计饰设 随着人们生活水平的提高和消费观念的改变,珠宝首饰在人们心目中的地位越来越高。传统的首饰是由设计人员先在头脑中构思,再通过图纸和计算机表现出来。设计者往往在阅读大量资料的基础上,对传统的图形进行修改和变换,设计思路受到较大的限制,越来越难以满足人们求新、求美、求异的要求。 针对目前首饰设计领域的“瓶颈”,亟待在艺术构思、图案设计、制作工艺等方面进行创新。如果将分形图形与首饰设计结合起来,把抽象的分形理论应用到实际的首饰设计中去,可以给首饰设计人员提供新的创作灵感。 1 分形几何学理论及应用 分形几何学简称分形,分形一词由法国数学家B. B. Mandelbrot在1967年的“英国的海岸线有多长———统计自相似性与分数维数”论文中首次提出。作为分形,其最显著的特征就是自相似性,即在分形上任选一个局部,无论是将其放大或缩小,其形态、复杂程度、不规则性等均不会发生变化,所得到的图形仍显示原图的特征。这种自相似性可以是近似的,也可以是统计意义的。 分形大致可分为两类:一类是几何分形,它不断地重复同一种图案;另一类是随机分形,它抽象地描述了大自然的许多不规则形态。应用分形理论既可以产生由直线、圆、多边形等构成的较为规则的图形,体现出传统美学中的平衡与对称,还可以产生奇妙的非线性图形,超越标准的新的表现形式。分形图案作为技术与美学的结合,对首饰设计具有特别重要的意义,把它引入首饰设计领域,将挑战传统的设计理念,使设计者的思路和视野得到更广泛的拓展。作为研究和处理不规则图形的强有力工具, 目前分形几何学已在物理学、化学、地质学、生物学、材料学等领域取得了较大的进展。近年来,随着对准晶体物质的深入研究,分形理论在微观领域的应用也逐渐引起了人们的重视。分形理论在计算机仿真、艺术设计、室内装饰等领域也逐渐显示出其极高的应用价值,特别是分形几何学在服装设计领域取得了突破性进展,为分形理论在首饰设计领域的应用奠定了基石。 2 在首饰设计中的应用 首饰设计一般分为手绘和电脑设计,前者主要是用手工绘制的方法将设计思想在图纸上表现出来,后者则是借助计算机辅助设计软件得以实现。无论采用哪种方式,设计者在整个设计过程中都必须遵循对比与调和或者对立与统一的原则,因为首饰设计作为一种艺术创作,它不单是造型元素的简单叠加,更多的是通过对不同材质与色彩的有机组合,营造整体的和谐与统一,从而真正体现首饰的艺术价值。 2.1 作为构成元素参与首饰设计 传统首饰设计的构成元素主要是欧氏几何中描述的具有整数维数的规则图形,设计出的首饰往往比较单一、朴素。而分形作为大自然的几何抽象,能给设计者提供一种新的设计思路。把分形中自相似性的某一重复单元作为一种新的构成要素参与首饰设计。当经过与传统几何要素相同的拉伸、旋转、变形后,新的首饰将呈现出一个更加复杂、精美的分形式造型,从而实现首饰设计的创造性和新颖性。和传统的首饰设计相比,分形首饰的特点[5 ] 在于: (1) 和谐性分形表现最多的是形状的重复,应用到首饰设计中就是造型元素的重复。这就打破了完全对称产生的呆板,给人和谐统一的视觉感。当然,仅仅借助单一结构不能达到对比的效果,
分形几何中一些经典图形的Ma ｔlab画法
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分形几何中一些经典图形的Ｍatlab画法 （1）Ｋoch曲线程序koｃh.m functionｋoｃh(a１,b1,a2,b２，n) %ｋocｈ（0,0,９,0,3） %a1，b1,a２,b２为初始线段两端点坐标,ｎ为迭代次数 a1=0;ｂ１=0;ａ2＝9;ｂ2=0;ｎ＝３; %第ｉ－1次迭代时由各条线段产生的新四条线段的五点横、纵坐标存储在数组A、B中[Ａ,B］=sｕｂ＿koch1（a１,b1,ａ2,b2)； ｆｏr i=1:n foｒj=1:leｎgth(A)/5; w＝sub＿koch2(Ａ(1+5*(ｊ-１）：5＊j),Ｂ(1+５＊（j－１）：５＊ｊ)); for k=1:４ [AA（5*4＊(j-１）＋5*(k-1)+１：5*4＊(j-1)+5*(ｋ-1)+5),BB(5＊4*（j－1)＋５*(k－1)+1：５＊4*(ｊ-1)+5＊(k－1）+５）]＝sub_koch1（w(k,1）,ｗ(k，２)，ｗ(ｋ,３),ｗ（k,4)); eｎd end A=ＡA； B＝BB; ｅnd plｏｔ(A,B) hoｌｄon aｘis ｅqｕal %由以(aｘ,aｙ),(bx,bｙ)为端点的线段生成新的中间三点坐标并把这五点横、纵坐标依次分别存％储在数组A,B中 ｆunｃtion [A,B]=sｕb_koch１(ax,ay,ｂx,by) cx=ax+(bx-ａx)／3; cy=ay+（ｂy-ay)/3; ｅx=bx－(ｂx-ax)/3; ey＝bｙ-(by-ａy)/3； Ｌ=ｓqrt((ex-cx).＾2+(ey-cy).^2）; aｌpha=atan（(ｅｙ－cy).／(eｘ－cx)); iｆ(eｘ-cx)<０ ａｌpha=alｐha＋pi; end dx=cx+coｓ(alpｈａ+ｐｉ／3）*Ｌ； dy=ｃy+sin（aｌpha+ｐi/3)*Ｌ; A=[aｘ,cx,dx,ex,bx]; B＝[ay,ｃy,dy,ey,bｙ］;
欧几里德几何学、分形拓扑几何学与设计 经典几何学对自然界形体的描述是概括的，不近似的，不精确的。它把复杂的山型近似为圆锥，把复杂的树冠近似为圆锥，把复杂的人头近似为球形等等。然后以这些基本形（方、圆、锥、柱、环等）为基础，通过它们的叠加与组合，来描述更复杂的自然界形体。 这种描述在不需要精确的领域是可以接受的，如果要求被描述的形体足够精确，采用这种方法就不能很好的满足要求了。另外，对于一些非常复杂的形状，如云形，雪花等，这种方法显得力不从心。 为了能够对复杂的自然形体进行比较精确的描述，Mandelbrote提出了分形的概念。分形的方法可以对自然形体比经典几何学进行更精确的描述。这种描述是动态的，是建立在自然形体是自相似原理基础上的。当然，分形的描述也不是与自然形体100％的符合。任何描述都具有概括或抽象的概念。 比较经典几何学与分形，发祥它们对自然形体描述的差别在于：经典几何学是以静态的方式来描述形态，这种描述方法具有数据量大的特点；分形几何学是以动态、生成的方式来描述形态，这种方式具有可以根据要求来不断提高被描述形态的精确度，数据量比较小。 事实上，这两种对自然界形态描述的方式背后存在着基本观念的差异。经典几何学认为世界是构成的，因此可以将世界分解成很多基本
几何要素，然后根据一定的规律建构起来；分形几何学认为世界是生成的，复杂的世界形态是在时间的流逝中不断演化生成的。 建立在构成论的基础上的数学，是静态的描述数学；建立在生成论的基础上的数学，是动态的描述数学。 静态的数学中，没有时间变量；动态的数学中，存在时间变量，尽管有时它不是以时间的含义出现（比如迭代的次数，在本质上，就是时间变量）。 分形对形态的描述精度，是通过单位面积中留下的间隙或密度来衡量的。如果留下的间隙越小或密度越大，则描述的精确度越高。 经典几何学是通过距离来描述精确度的。距离越小，精确度越高。 在经典几何学下，艺术家创造形体的方式是描绘式的，不论是通过一点透视，还是通过多点透视的方法来画出的画面，本质上都是描述式的。不论再现式的绘画（以对自然的如实描写为主，通过具体的形象来表达艺术家内心的情感），还是表现式的绘画（不是以对自然的如实描写为主，而是以表现内心情感的为主，通过抽象的、随意的形象来表达），都是一种建构画面的表达方式。在分形几何学下，艺术家
数学分支之分形几何 普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。最近十几年的，产生了新兴的分形几何学，空间具有不一定是整数的维，而存在一个分数维数，这是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。 分形几何的产生 客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。 客观事物有它自己的特征长度，要用恰当的尺度去测量。用尺来测量万里长城，嫌太短；用尺来测量大肠杆菌，又嫌太长。从而产生了特鞒ざ取；褂械氖挛锩挥刑卣鞒叨龋?捅匦胪?笨悸谴有〉酱蟮男硇矶喽喑叨龋ɑ蛘呓斜甓龋??饨 凶?SPANlang=EN-US“无标度性”的问题。 如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍现象，小至静室中缭绕的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。流体宏观运动的能量，经过大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，最后转化成分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”解决问题，湍流中高漩涡区域，就需要用分形几何学。
在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中探讨了英国的海岸线有多长？这个问题这依赖于测量时 所使用的尺度。 如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。 数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。 这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。电子计算机图形显示协助了人们推开分形几何的大门。这座
分形几何中一些经典图形的Matlab画法 （1）Koch曲线程序koch.m function koch(a1,b1,a2,b2,n) %koch(0,0,9,0,3) %a1,b1,a2,b2为初始线段两端点坐标,n为迭代次数 a1=0;b1=0;a2=9;b2=0;n=3; %第i-1次迭代时由各条线段产生的新四条线段的五点横、纵坐标存储在数组A、B中[A,B]=sub_koch1(a1,b1,a2,b2); for i=1:n for j=1:length(A)/5; w=sub_koch2(A(1+5*(j-1):5*j),B(1+5*(j-1):5*j)); for k=1:4 [AA(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5),BB(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5)] =sub_koch1(w(k,1),w(k,2),w(k,3),w(k,4)); end end A=AA; B=BB; end plot(A,B) hold on axis equal %由以(ax,ay),(bx,by)为端点的线段生成新的中间三点坐标并把这五点横、纵坐标依次分别存%储在数组A,B中 function [A,B]=sub_koch1(ax,ay,bx,by) cx=ax+(bx-ax)/3; cy=ay+(by-ay)/3; ex=bx-(bx-ax)/3; ey=by-(by-ay)/3; L=sqrt((ex-cx).^2+(ey-cy).^2); alpha=atan((ey-cy)./(ex-cx)); if (ex-cx)<0 alpha=alpha+pi; end dx=cx+cos(alpha+pi/3)*L; dy=cy+sin(alpha+pi/3)*L; A=[ax,cx,dx,ex,bx]; B=[ay,cy,dy,ey,by];
第6讲分形几何学 主要内容： 一、概述 二、分维的测定方法（重点内容） 三、分维应用实例（重点内容） 四、问题讨论 一、概述 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，被誉为大自然的几何学，它是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分形理论与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。分形理论是用来研究自然界中没有特征长度但又具有自相似性的图形和现象。自然界的许多事物和现象均表现出极为复杂的形态，并非是一种严格的数学分形，而是具有统计意义上的自相似性。分形几何学是应用数学的一个重要组成部分，在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科中得到广泛的应用。近年来，对分形几何的研究发展很快，在—些前沿课题上取得了较大的进展。 1、基本概念 （1）整数维与分数维 “维”(dimension)是几何学及空间理论的基本概念，是能有效度量几何物体的标准体所需要的独立坐标的数目，是表示几何体形状与分布特征的重要参数。 在拓朴学和欧几里得几何学中，维数只能是整数。如直线是一维的，平面是二维的，普通空间是三维的。如果在三维空间中引入直角坐标，就可用三个实数
(x，y，Z)代表空间的一点：n维空间的一点一般可用n个实数(x1，x2,…，xn)来表示。在相对论中，所讨论的时空是四维空间，时空的点，可用坐标(x，y，z,t)来表示，其中t表示时间。可见时空空间的维数也是整数。 然而，欧氏空间只是对现实空间的一个最简单的近似描述。正如B．B．Mandelbrot在其1982年出版的《自然分形几何学》一书中所说：“山峰并不是圆锥形，海岸线不是圆弧形，闪电的传播也不是直线的”。为了更确切地描述自然界的无规则现象，法国数学家Benoit B．Mandelbrot于1977年首次提出了不是整数的维数——分数维(fractal dimension)的新概念。 例如,英国海岸线的维数D为1.25，宇宙中物质分布的D为1.2。研究表明，凡是可用分数维描述的几何对象，都具有自相似性。 （2）自相似性与无标度区 所谓自相似性(self-similarity)，是指事物或现象中局部与整体在形态、功能和信息等方面具有统计意义上的相似性。自然界中的许多客体，如云朵、山脉、海岸线、树、肺脏，甚至描述经济现象的图形，都具有“自相似性”，即局部与整体的形状相似，局部的局部也与整体相似。例如，一段用放大的比例尺画出来的海岸线与整条海岸线形状是相似的；一棵树干分为二支，每支又分为二支——这棵树的局部与整体的形状相似。事实上，地质体大多具有自相似性，一条断层可能以不同比例尺存在，而其外表却十分相像。因此，地质学家长期以来凭直觉认识到了这一基本事实，从而形成了一个不言而喻却是不可改变的原则，即任何地质体的照片必须附上一个比例尺参照物，在野外拍摄的地质照片中通常附上已知尺寸的某种普通物品，例如铅笔、地质锤或人体。 自然界事物自相似性只在一定尺度范围内才能出现，这个具有自相似性的范围叫做无标度区。在无标度区内，放大或缩小几何对象的尺寸，整个结构并不改变，即其形状与标度无关。在无标度区外，自相似现象不存在。
分形几何及其应用简介 课程号：06191280 课程名称：分形几何及其应用英文名称：Fractal Geometry and its Applications 周学时：3-0 学分：3 预修要求：实变函数，概率论 内容简介： 分形几何学是由法国数学家B.B.Mandelbrot在20世纪70 年代创立的。“分形（fractal）”一词，也是由他提出，它来源于拉丁语“fractus”，含有“不规则”或“破碎”之意。与描述规则形状的欧几里德几何不同，分形几何研究一类非规则的几何对象，并为研究这些对象提供了思想、方法、技巧等。作为应用，它可以构造从植物到星系的物理结构的精确模型，而这是传统几何无法做到的。可以说，分形几何是一种“新”的几何语言。 选用教材或参考书： 教材：《分形几何---数学基础与应用》，谢和平等编（重庆大学出版社） 参考书：K.J.Falconer, The Geometry of fractal sets, Cambridge Univ. Press, (1985) 《分形与图象压缩》，陈守吉等编（上海科技教育出版社）
《分形几何及其应用》教学大纲 一、课程的教学目的和基本要求 《分形几何及其应用》课程主要是面向数学系学生开设的一门选修课，总学时数为48，一个学期完成，学分3分。 通过本课程的教学，使学生掌握分形几何中的基本概念、基本方法并熟识基本理论；会应用基本理论考察自然现象的分形本质，计算分形维数，在图象压缩方面有初步的应用。 二、相关教学环节安排 1，每周布置作业，作业量2---3小时。 2，每章结束安排习题课，讲解习题。 三、课程主要内容及学时分配 每周3学时，上课时间共16周。 主要内容： （一）预备知识（3学时） 1，基本集合和测度理论 2，概率论知识 3，质量分布 （二）Hausdorff 测度与维数（6学时） 1，Hausdorff 测度 2，Hausdorff 维数 3，Hausdorff 维数计算的例子 4，Hausdorff 维数的等价定义 5，习题课 （三）维数的其他定义（6学时） 1，盒计数维数 2，盒计数维数的性质和问题 3，修正盒计数维数 4，另外一些维数定义 5，习题课 （四）维数计算方法（9学时） 1，基本方法 2，有限测度子集 3，位势理论方法 4，Fourier变换方法 5，习题课 （五）分形集的局部结构（6学时） 1，密度 2，1-集的结构 3，s-集的切线 4，习题课