证明四色猜想
本文用递推的方法，分别用点和线代替平面图形及平面图形相交，则三个平面图形两两相交时，构成一个三角形的封闭空间。通过讨论第四个点与此三角形的关系，简明地证明了四色猜想。
四色猜想最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。就在1976年6月，哈肯和与阿佩尔合在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在，仍有不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。
证明
将平面图形抽象极限成成点或线，当然在这一点或线的基础上可以任意发出一些线（这些射线可以任意扩展为面）。这些射线都属于这个点。
首先，A，B两个面相交看成点A发出的射线和点B发出的射线相遇于点Pab，如图1。第三点C要和A，B两两相交，则构成一个三角形ABC的封闭空间，如图2。
这时点D要和A、B、C两两相交则有两种情况：
（1）D在ABC之内和ABC相交
当D和和A、B、C中任意两者相交都将构成新封闭三角形。第五点E继续相交时就和D与A、B、C相交的情况一样。
假设D和A，B，C分别相交于Pad，Pbd和Pcd。Pbd在P到B点间，Pad 在Pac到A点间，Pcd在Pac到C点间。这样即使A，B，C内部还有剩余空间也被分成了3部分如图3。尽管这三个图形不一定都是三角形但都是封闭的，都可以简化成三角形。所以无论第五点E在哪部分都是点与三角形关系。（见图3）
（2）D在ABC之外和ABC相交
D可以完全将ABC包围或者将ABC一部分包围。但无论怎样ABC三者至少有一者完全在D的图形内。
若D将ABC一部分包围。那么ABC至少有一点完全被D包围。如图5
若E在D外就不能和A、B同时相交。
Pure Mathematics 理论数学, 2019, 9(8), 949-960 Published Online October 2019 in Hans. https://www.doczj.com/doc/677334032.html,/journal/pm https://https://www.doczj.com/doc/677334032.html,/10.12677/pm.2019.98121 Tait’s Conjecture Continue —The Proof of the Four-Color Theorem Wenzhen Han Jincheng Energy Co. Ltd., Jincheng Shanxi Received: Sep. 30th, 2019; accepted: Oct. 22nd, 2019; published: Oct. 29th, 2019 Abstract The four-color theorem also known as the four-color conjecture or the four-color problem is one of the world’s three largest mathematical conjecture. Although it has been proved on computer, which owes to its powerful computing ability, after all, it isn’t strictly reasoned mathematically. Lots of math enthusiasts devote themselves to studying the problem around the globe. In this pa-per, the new concepts of two-color dyeable continuous line are put forward. A new method is used to prove that the 3-coloring of 3-regular planar graph lines is equivalent to the 4-coloring of maximal graph points. It is also proved that the 3-coloring of 3-regular planar graph lines is in-evitably possible. Thus, a universal four-color coloring method for vertices of any maximal graph is given. Keywords Four Colors Enough, Two-Color Dyeable Continuous Line, 3-Regular Plane, Maximum Graph, Even Ring Elimination Method 泰特猜想的延续 ——四色定理的书面证明 韩文镇 晋城能源有限责任公司，山西晋城 收稿日期：2019年9月30日；录用日期：2019年10月22日；发布日期：2019年10月29日 摘要 四色定理，又称四色猜想、四色问题，是世界三大数学猜想之一。计算机证明虽然做了百亿次判断，终
四色猜想的证明 吴道凌 （广东省广州市，510620） 摘要：四色猜想至今未得到书面证明。根据其定义的国家概念和着 色要求，揭示了无限平面或球面上任意国家及其邻国的构成和着色规 律，从而给四色猜想一个书面证明。 关键词：四色；猜想；证明；国家；着色 中图分类号：O157.5 文献标识码：A 1852年，英国学者弗南西斯·格思里(Francis Guthrie)提出，“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色”，这就是后来数学上著名的四色猜想。对此猜想，一百多年来曾有无数学者予以研究，但人工验证均无功而返。1976年，美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)和哈肯(Wolfgang Haken)利用电子计算机，作了大量判断，对四色猜想进行了机器证明，但这一证明不能由人工直接验证，人们必须对计算机编译的正确性以及运行这一程序的硬件设备充分信任，因此并不被人们普遍接受。 本文拟根据四色猜想定义的国家概念和着色要求，研究无限平面或球面上国家的构成及其着色规律，寻找对四色猜想的书面证明。 1 四色猜想相关定义及表述方法 四色猜想所指的国家，是指连续的区域，可为单连通区域，也可为多连通区域，不连续的区域不属一个国家。共同边界指相邻国家有无数个共同点，四个或四个以上的国家不交于一点，或者说，这种交点不认为是共同边界， 只有这种交点的国家不需区分着色。 四色猜想并未限制地图范围，地图可定义在球面或无限平面 上。在球面上的任何国家，将存在一个外边界，由一条简单闭曲线 构成，在无限平面上的国家，一般也由一条简单闭曲线构成外边界， 个别国家也许在某些区间不存在边界（即区域无限延伸），其外边 界将由若干段曲线构成，对于这种情况，我们可在其无限远处虚拟 若干个国家若干段边界，与实在的若干段边界构成一条简单闭曲线 边界，这种做法实际上提高了这些国家的着色要求，因此不影响本 命题的论证。如为单连通区域，国家里边将不存在内边界，如为多 连通区域，国家里边将存在若干由简单闭曲线构成的内边界。因此，为使命题具有普遍性，把国家定义为具有一个外边界和若干内边界的区域，每 一边界均为该国与若干邻国的共同边界构成的简单闭曲线，如图1 示。下面把构成一条这种共同边界闭曲线的若干邻国称为一个邻国 圈。 用小圆圈表示邻国，两国相邻时，用线条连接两个小圆圈， 一个邻国在共同边界多处出现时，各处分别用小圆圈表示，并用线 条连接各处表示连通。把一个国家表示为由其若干邻国圈构成的闭 合圈围闭的区域，如图2示。其中，外闭合圈之外，一些邻国可能 跨越闭合圈上的一个或多个邻国与其它一个或多个邻国相邻，一些 邻国也可能多处出现在闭合圈上，这些情况将使闭合圈外存在若干
简洁破解四色猜想 ——“1+3”证明与“3+1”充要条件模型证明—— 李传学 四色猜想与费马猜想、哥德巴赫猜想，是数学界三大难题。本文利用“1+3”、“3+1”链锁思维方式，并结合计算机逻辑判断方式，给予地球四色猜想的有、且只有数学方法与应用方法的两种证明。并在实践中，使链锁着色，直至组成四色猜想的（△）网状平面整（总）体地图。 一、四色猜想简洁证明的提出。 随着计算机运算速度的加快、人机对话智能的出现，极大加快了对四色猜想研究、证明的步伐。1976年6月，美国哈肯与阿佩尔编制程序，利用1200个小时，分别在两台计算机上，作了100亿次判断，终于完成了四色猜想的证明。到目前为止，仍是世界上唯一被认可的证明方法。但是，由于计算机证明方法过程深长，不符合人的逻辑思维判断过程，缺乏简洁性，无法令人信服。 二、“四色”是地球“四方八位”的客观存在。 “四方八位”是个动态概念，存在于“天、地、人合一”的地球万物运动的整个过程中。同样，数学界三大难题之一的四色猜想，也离不开这一客观规律。 地球，蕴育了万物。天圆地方、“四方八位”、四面八方、东西南北、五湖四海是人类认识地球的思维方式。远在史前人类整体文明时期，就有文物记载了地球上有关“四方八位”的许多概念。如半坡人鱼盆、人网盆、含山玉版、澄湖陶罐、八角星陶豆、良渚陶璧、古埃及金字塔，以及其他图形、符号记载的伏羲八卦图、彝族八卦图、河图、洛书、五行属性，也都应用了“四方八位”概念。 四色绚丽的地球生生不息，是“天人合一”的赋予。地球的天圆地（四）方是阴阳学说的核心和精髓，又是阴阳学说的具体体现，具有朴素的辩证法色彩，是古代人类认识世界的思维方式。 阴阳五行中的五色、四方位：即，木有青、东，金有白、西，火有红、南，水有黑、北，土有黄、中，以及罗盘定位、经纬仪、四季、纳米四大光波（红、蓝、绿、黄）、四色光谱仪都与地球上的“四方八位”寓意紧密相关。当然，“四色猜想”也不例外，也只能有、且只有在地球图上的客观存在。 三、四色猜想的数学语言定义。 任何一张平面地图，只要用四种不同颜色就能使具有共同边界的国家，着上不同颜色，称之为四色猜想。 四色猜想的数学语言定义：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一区域总可以用1、2、3、4这四个数字之一来进行标记，且不会使相邻的两个区域得到相同的数字。这里的相邻区域，是指有一整段（非点）边界是公共的边界（注：据网络“科普中国”）。 四、四色猜想的数学证明。
证明四色猜想 本文用递推的方法，分别用点和线代替平面图形及平面图形相交，则三个平面图形两两相交时，构成一个三角形的封闭空间。通过讨论第四个点与此三角形的关系，简明地证明了四色猜想。 四色猜想最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。高速数字计算机的发明，促使更多数学家对“四色问题”的研究。就在1976年6月，哈肯和与阿佩尔合在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。直到现在，仍有不少数学家和数学爱好者在寻找更简洁的证明方法。 证明 将平面图形抽象极限成成点或线，当然在这一点或线的基础上可以任意发出一些线（这些射线可以任意扩展为面）。这些射线都属于这个点。 首先，A，B两个面相交看成点A发出的射线和点B发出的射线相遇于点Pab，如图1。第三点C要和A，B两两相交，则构成一个三角形ABC的封闭空间，如图2。 这时点D要和A、B、C两两相交则有两种情况： （1）D在ABC之内和ABC相交 当D和和A、B、C中任意两者相交都将构成新封闭三角形。第五点E继续相交时就和D与A、B、C相交的情况一样。 假设D和A，B，C分别相交于Pad，Pbd和Pcd。Pbd在P到B点间，Pad 在Pac到A点间，Pcd在Pac到C点间。这样即使A，B，C内部还有剩余空间也被分成了3部分如图3。尽管这三个图形不一定都是三角形但都是封闭的，都可以简化成三角形。所以无论第五点E在哪部分都是点与三角形关系。（见图3） （2）D在ABC之外和ABC相交 D可以完全将ABC包围或者将ABC一部分包围。但无论怎样ABC三者至少有一者完全在D的图形内。 若D将ABC一部分包围。那么ABC至少有一点完全被D包围。如图5 若E在D外就不能和A、B同时相交。
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。 四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语 言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭 的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这 四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个 区域得到相同的数字。”（右图） 这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。 四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”这个现象能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教了他的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家汉密尔顿爵士请教。汉密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年汉密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。
1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。 肯普的证明是这样的：首先指出如果没有一个国家包围其他国家，或没有三个以上的国家相遇于一点，这种地图就说是“正规的” （左图）。如为正规地图，否则为非正规地图（右 图）。一张地图往往是由正规地图和非 正规地图联系在一起，但非正规地图所 需颜色种数一般不超过正规地图所需的颜色，如果有一 张需要五种颜色的地图，那就是指它的正规地图是五色 的，要证明四色猜想成立，只要证明不存在一张正规五色地图就足够了。 肯普是用归谬法来 证明的，大意是如果有一 张正规的五色地图，就会存在一张国数最少的“极小正规五色地图”，如果极小正规五色地图中有一个国家的邻国数少于六个，就会存在一张国数较少的正规地图仍为五色的，这样一来就不会有极小五色地图的国数，也就不存在正规五色地图了。这样肯普就认为他已经证明了“四色问题”，但是后来人们发现他错了。
四色定理的简单证明 虽然现在已经有不少人用不同方法证明出了四色定理，但我认为四色定理的证明还是有点复杂,所以给出以下证明。（注：图形与图形的位置关系可分为相离、包含、内向接、内向切、外向接、外向切，在此文中由于题意关系不妨重新分为以下关系：1 把包含、内向接、内向切，统一划分为包含关系。2 把外向接单独划分为相接关系。3把相离、外相切统一划分为相离关系。） 此证明过程中把图的组合形式按照其位置关系而抽离出了以下四种基本有效模式： 1 若要存在只需用一种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中所有图形必定满足彼此相离。如下图： 图（1） 分析：这是最简单的一种图形关系模式暂且称为模式a。 2 若要存在只需用两种颜色便能彼此区分开来的地图，则该图中的所有图形必定满足最多只存在两个图形的两两相交的图形。各种有效图形关系如下图：
图（2） 分析：两个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之一。由于图（1）存在包含关系，被包含的图形是对外部无影响的，所以图（1）仍属于模式a。所以两个图形的两两相交只有图（2）的相交关系模式的图形有效的，我们暂且称之为模式b。 3 若要存在只需用三种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在三个图形的两两相交图形。各种有效图形关系如下图： 图（3） 分析：三个图形的两两相交的所有图形关系均可变形而得出等价的以上两种图形关系模式之一。由于图（2）属于存在包含关系，同理整体回归于模式a。所以三个图形的两两相交只有图（1）的相接关系模式的图形是有效图形模式，我们暂且称之为模式c。 4 若要存在只需用四种颜色便能彼此区分开来的地图，则给图中所有图形必定满足最多只存在四个图形的两两相交图形。各种有效图形关系如下图： 图（4）
经典数学问题：四色猜想 世界近代三大数学难题之一。四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色。”这个结论能不能从数学上加以严格证明呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。兄弟二人为证明这一问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。 1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他的老师、著名数学家德.摩尔根，摩尔根也没有能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的好友、著名数学家哈密尔顿爵士请教。哈密尔顿接到摩尔根的信后，对四色问题进行论证。但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够解决。 1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，大家都认为四色猜想从此也就解决了。
11年后，即1890年，数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。后来，越来越多的数学家虽然对此绞尽脑汁，但一无所获。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目, 实是一个可与费马猜想相媲美的难题：先辈数学大师们的努力，为后世的数学家揭示四色猜想之谜铺平了道路。 进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。1913年，伯克霍夫在肯普的基础上引进了一些新技巧，美国数学家富兰克林于1939年证明了22国以下的地图都可以用四色着色。1950年，有人从22国推进到35国。1960年，有人又证明了39国以下的地图可以只用四种颜色着色；随后又推进到了50国。看来这种推进仍然十分缓慢。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进程。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。四色猜想的计算机证明，轰动了世界。它不仅解决了一个历时100多年的难题，而且有可能成为数学史上一系列新思维的起点。不过也有不少数学家并不满足于计算机取得的成就，他们还在寻找一种
四色定理的证明 一、四色定理的介绍 地图四色定理最先是由一位叫古德里的英国大学生提出来的。 四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2， 3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。1976年美国数 学家阿佩尔与哈肯宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明，又为用计算机证明数学定理开拓了前景。 二、四色定理的证明 通过四色定理的介绍，我们可以知道如果两个图形相邻，则需要用不同的颜色将它们区分。反之，若两个图形不相邻则可以用一种颜色。由此得出，如果一张地图不能用四种颜色将它们分开，则必然存在五个两两相邻的图形。所以，只需证明是否存在五个两两相邻的图形即可。 1.把一个图形X 分成2个小图形的情况共有两种。分别如下： 图 2 说明：a.图形X 的选取是任意的(在这里举的是一个圆）。 b.将图1的分法叫线切法，点M,N 为交点，其特点是两个图形都只共用自己的一部分 边界。将图2的分法叫内取法，其特点是其中一个图形所有边界与另一个图形共用。内取法的性质是里面的图形B 只能与图形A 相邻，称图形B 为内取图形。 2.将一个图形X 分成3个小图形的情况共有6种，方法是先把一个图形分成两个，再把其中 一个分成两个。对图1因其分成的两个图形是等价的所以共有2种（如图3和图4），对图2的继续分共有4种（如图5到图8）。分别如下： 图5 图6 图8 从中我们可以看出，只有图3、图5和图7是满足两两相邻的。 3.将一个图形X 分成4个小图形两两相邻的情况。方法是先把图形X 分成2个小图形A 和 B ，再把B 分成3个小图形B1、B2和B3。又因为分成3个图形满足两两相邻的只有图3、图5和图7三种分法，图5和图7有内取图形无法与图形A 相邻，故要想满足4个图形两两相邻只能采取图3这种分法。 P
1.图论五色定理证明成立，五色定理成立的点图设为单元图1， 2.五色单元图拼接无限点图，商掉一色，这样的点图四色完全填充，
“四色猜想”的“二维平面四色最大填充密度”猜想，“四色猜想”的多维度推广，色量子干涉 归一开普勒猜想，四色猜想，图论填色的“波粒佯谬”，填色路径“波动”，填色区域（点）的 围道积分，在一个球的周围，最多能摆放多少个相同尺寸的球在它周围？或者，在平面上， 如何以最密集的方式排放相同大小的圆？又或者在空间中，如何放置最多数量的球？这类问 题都需通过离散几何来解答，事实上，此类问题的解决方案具有很大的实际应用价值。比如 最密堆积问题有助于优化编码并纠正数据传输中的错误。又如著名的四色定理，它描述的是 用四种颜色就足以绘制球面上的地图，使得图中任何相邻的两个区域都具有不同的颜色。它 促使数学家引进了图论（Graph The的重要概念， László Fejes Tóth 的区域猜想与离散几何中 的一些其他问题也密切相关，这些问题已在20世纪就被解决，涉及到用条带覆盖表面。其中第一个就是所谓的木板问题（Plank Problem），涉及到用平行线组成的条带覆盖住圆盘。Alfred Tarski 和 Henryk Moese 用一个简洁的方式证明了用来覆盖圆面的条带（或木板）的宽 度和至少等于圆的直径。也就是说，没有比用一个宽度与圆的直径相等的木板更好的方法用 来覆盖圆盘。接着，Th?ger Bang 解决了用长条覆盖任意凸体的问题。也就是说，他证明了 覆盖凸体的条带的总宽度至少是凸体本身的宽度，即单个能覆盖凸体的单个条带的最小宽度，
1.图论五色定理证明成立，五色定理成立的点图为单元图1， 2.五色单元图拼接无限点图，商掉一色，这样的点图四色完全填充，
四色定理证明的新方法 梁增勇 摘要：本文用图论的方法证明了三角形结构连通图具有延伸和轮形两大的不可避免构形集。以及有它们组成的8个不可避免构形，它们的子图色数都≤4。通过分析这些构形的组合（图）的顶点颜色关系和运用顺序着色的方法完成图的正常4-着色。从而证明了三角形结构连通图（及平面连通图）的色数≤4。本文解决了切实可行的新方法对四色定理的书面证明，同时对四色定理的实际应用也具有一定的意义。 关键词：三角形结构连通图；不可避免构形集；延伸结构；轮形结构；顺序着色法 1 前言 四色猜想是世界数学界关注的问题，给出四色定理无需借助于计算机的证明仍然是一个未获解决的数学难题。我们已知四色定理可以通过证明平面连通图G'的色数≤4来实现。而平面连通图的色数不大于由它增加边而得到的三角形结构连通图G(triangulated graph) 的色数[1]。因此，只需证明任意三角形结构连通图的χ(G)≤4, 即可解决四色定理的证明难题。 2 三角形结构连通图 定义 1 如果一个简单图G它所有的内部的面都是C3,则称之为三角化图或三角形结构连通图[2]。 很明显，三角形结构连通图G可由平面连通图G '中内部所有长≥4 的圈增加边，使其所有内部面皆为C3而得。在图中增加边，只可能增加图的色数，所以χ(G’)≤χ(G) [2]。 图 1 平面连通图和三角形结构连通图 3 两大不可避免构形集 定义2 如果一个子图包括一个圈C n-1和一个中心顶点v，v和其它所有圈的顶点都邻接，则称之为轮形结构（轮图），简称轮形,用W n表示。不包含有轮形结构的三角形结构子图称为延伸结构，用E n表示。
图 2 延伸结构和轮形结构 在图2 中我们展示了延伸结构和轮形结构以及它们的同构子图，其中方形的子图是本文在分析中常用的形式。 定理1. 三角形结构连通图仅有延伸和轮形两种结构方式。 证. (1) 一个三角形有三条边，它与其它三角形邻接的情况只有三种：a)有一条公共边； b)有两条公共边；c)有三条公共边。那么a和c属于延伸结构，b属于轮形结构。 图 2 一个三角形与其它三角形邻接的三种情况 (2)我们可以用逐个增加三角形来构造一个三角形结构子图（参见图3）。可用欧拉公式解释，在一个面中增加三个顶点和三条边可得一个三角形（C3）,它是三角形结构连通图的最基本的单位结构，由于它的形状和子图色数以及延伸结构的定义，我们将它归属于延伸结构。同时，用欧拉公式可以证明再增加三角形仅有两种情况：a) 为了增加一个三角形面需要增加一个顶点和两条边（E4,E7）；b)为了增加一个三角形面仅需要增加一条边。当仅为a的情况只可能产生延伸结构；当有b的情况会产生一个新的轮形结构（W4, W7）。（增加边数多于3 的情况不可能存在，因为新三角形仅有3 条边，且一条边必须是与旧三角形的公共边）（3）延伸结构和轮形结构之间的邻接组成的子图还是延伸结构或属于它们的并图，不会产生新的结构[3]。 图 3 增加一个三角形面与欧拉公式的关系 定理 2.延伸结构子图色数等于3。
一、问题描述： 问题1：平面上任意不重叠的区域，仅采用4种不同的颜色即可对区域进行填充，而使得相邻区域的颜色不同。 上述问题可转换为： 问题2：平面上只存在至多4个点能够互相连接，而连接的线不交叉。 二、问题1和问题2的等价性： 两个区域相邻具有特性：任意分别属于两区域的两点之间都存在一条线连接，这条线仅属于这两个区域。 对于4个区域，任意4个点分别属于不同的区域，4个点互相不交叉连接即代表区域之间是相邻的，因此需要4种颜色填充。而如果存在第5个点使得这个点与其它点能连接而不与其它连接线交叉，则意味着这5个点所属的5个区域相邻，则需要5种颜色进行填充。如果交叉即意味着连接线代表的区域被截断变成不相邻。 因此只需要证明平面上不可能存在第5个点符合下述条件： 条件：第5点与其它4个点连接而不与其它连接线交叉。 三、问题2的证明： 3.1、显然的，平面上任意3个不同点能够两两相连，形成一个封闭的区域，如下图所示。3个点连接线将平面划分成了2个部分：区域ΩABC与区域ΩABC~；ΩABC构成一个封闭的区域。 B 3.2、第4个点D的位置有两个选择： 3.2.1、选择1，第4个点D区域内：
B 此时区域ΩABC被分为3个区域：区域ΩABD、ΩACD、ΩBCD。且这3个区域均是封闭的。第五个点E，可选择的位置有两种情况： 第一种情况：点E在区域ΩABC~ 在这种情况下，由于E在封闭区域ΩABC外部，而D点在封闭区域内部，因此，E点与D 点相连必定要穿越区域ΩABC的边界，即E与D的连接必与其它连接线交叉。如下图所示： B 点E与点D连接与点B与点C的连接交叉。 因此区域ΩABC~中不存在符合条件的第5个点。 第二种情况：点E在ΩABD、ΩACD、ΩBCD3个区域的任何一个区域，设为区域Ω。 那么必存在A、B、C、D中的一点在区域Ω之外，假设为X点，则点E与点X相连必定要穿越区域Ω，即点E与点X的连接线必与其中的一条连接线交叉。如下图所示：
四色猜想的证明 【摘要】四色猜想的证明已经历经了一百多年，这个看似简单的问题，却难倒过大量的数学爱好者. 人们通过不断努力，最终于1976年6月，由哈肯与阿佩尔合作编制一个很好的程序，在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明. 但人们不满足于计算机取得的成就，仍在寻找更简单的证明方法. 我在证明四色猜想时，主要采用了转化思想，把四色猜想的证明转化成在平面内是否存在五个图形两两之间存在公共边的证明，再转化成在平面内是否存在五个点两两相连，连线除了顶点之外没有其他交点的证明. 这样就大大简化了四色猜想的证明，把复杂的图论问题转化成了简单的连线问题，使人很容易理解、接受. 【关键词】四色猜想；两两相连；公共边 地图四色定理（four color theorem）最先是由一位叫古德里（francis guthrie）的英国大学生提出来的. 四色问题的内容是：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不 同的颜色. ”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字. ”这里所指的相邻区域，是指有一整段边界是公共的. 如果两个区域只相遇于一点或有限多点，就不叫相邻的. 因为用相同的颜色给它们着色不会引起混
淆. 证明之前我们先看一下这个结论，“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”. 这个结论也就是说，在平面中存在四个或四个以下图形两两之间有公共边，而不存在四个以上的图形两两之间存在公共边，我们只需要证明平面内不存在五个图形两两之间有公共边就可以了. 我们假设在平面内存在五个图形两两之间有公共边，分别在这五个图形内各取一点，我们可以把这五个点命名为a，b，c，d，e，两两连接这五点，连线在被连接的两个图形内，并且经过它们的公共边. 如果上述假设成立，我们必能作出这样的十条线（ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de），并且这十条线除了顶点之外不会有其他的交点. 我们通过作图方法来证明上述结论，证明过程： 我们先任选两点a，b，连接这两点得到ab（ab可以是任意曲线，为了简便，我们把它做成直线）. 再任取一点c，从c点向a，b做连线，得到ab，ac，bc这三条线，这三条线连接成了一个闭合的图形（图1），并把平面分成了两部分. 然后我们再取一点d和a，b，c相连，d点可以在ab，ac，bc这三条线分割平面得到的两部分中的任一部分（图2，图3），这样的
四色定理 四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里（Francis Guthrie）的英国大学生提出来的。德·摩尔根（Augustus De Morgan，1806～1871）1852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。 基本介绍 四色问题又称四色猜想、四色定理是世界近代三大数学难题之一。地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里FrancisGuthrie的英国大学生提出来的。德·摩尔根Augustus De Morgan180618711852年10月23日致哈密顿的一封信提供了有关四色定理来源的最原始的记载。他在信中简述了自己证明四色定理的设想与感受。一个多世纪以来数学家们为证明这条定理绞尽脑汁所引进的概念与方法刺激了拓扑学与图论的生长、发展。1976年美国数学家阿佩尔K.Appel与哈肯W.Haken宣告借助电子计算机获得了四色定理的证明又为用计算机证明数学定理开拓了前景。 地图四色定理(Four color theorem)最先是由一位叫古德里Francis Guthrie的英国大学生提出来的。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学语言表示即“将平面任意地细分为不相重叠的区域每一个区域总可以用1234这四个数字之一来标记而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”这里所指的相邻区域是指有一整段边界是公共的。如果两个区域只相遇于一点或有限多点就不叫相邻的。因为用相同的颜色给它们着色不会引起混淆。四色问题的内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行 发展历史：来自地图的启示 相传四色问题是一名英国绘图员提出来的此人叫格思里。1852年他在绘制英国地图的发现如果给相邻地区涂上不同颜色那么只要四种颜色就足够了。需要注意的是任何两个国家之间如果有边界那么其边界不能只是一个点否则四种颜色就可能不够。 格思里把这个猜想告诉了正在念大学的弟弟。弟弟认真思考了这个问题结果既不能证明也没有找到反例于是向自己的老师、著名数学家德·摩根请教。德·摩根解释不清当天就写信告诉自己的同行、天才的哈密顿。可是直到哈密顿1865年逝世为止也没有解决这个问题。从此这个问题在一些人中间传来传去当时三等分角和化圆为方问题已在社会上“臭名昭著”而“四色瘟疫”又悄悄地传播开来了。 问题的证明一波三折
浅析四色猜想的证明 学生姓名：杨彩娟指导老师：冯源 摘要四色定理是世界三大数学难题之一，许多数学家多年来都热衷于它的证明，力求寻找更好的非计算机证明方法，而四色猜想的讨论和证明也大大推动了图论的发展。 关键词：图论；四色猜想；四色证明；可约化构形 引言： 在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题。如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻国家的颜色不同。这样的着色效果能使每一个国家能清楚地显示出来。但要证明这个结论却是一个著名的世界难题，最终借助计算机才得以解决，之后诸多数学学者都在寻找其严格数学证明方法。 图论是当今数学中较为发达的一门学科，它被广泛应用于道路交通、通讯工程、经营管理等诸多领域，如今图论还衍生出网络理论这种新生事物。世界上许多事物以及它们之间的联系都可以用图形来直观表示，这时人们所研究的对象往往用结点表示事物，用边表示它们之间的联系。这种由结点和边构成的图形就是图论里研究的平面图，而其与平面几何中的图不相同,这里只关心图中有多少个点,点与点之间有无连线,至于连线的方式是直线还是曲线,点与点的相对位置如何,都是无关紧要的。总之,这里所讲的图是反映对象之间关系的一种工具。在图的理论研究和实际中,图的平面化问题具有非常重要的意义，而四色猜想的讨论大大推动了图论的发展。 地图是我们生活中不可或缺的一项实用工具。在绘制地图时相邻区域最好涂上不同的颜色以示区别，而这样的结果只会使地图看起来花花绿绿，然而实际上只需要四种颜色就能保证相邻两个地区颜色不重复。这就是著名的四色猜想（也称作四色问题）。 英国青年弗朗西斯·葛斯瑞于1852年在给一张英国地图着色时发现了四色问题，但之后很多人都无法解释这个问题。直到英国数学家凯莱于1878年在皇家学会上正式提出并在《皇家地理学会会报》上发表，这才使得四色问题得到广泛关注。随后各国数学中心和数学杂志都收到大量的证明，正像许多这种提法简单而证明极为困难的大猜想一样，许多的证明完全是错的。到了1890年，剑桥大学三一学院的毕业生肯普在《美国数学杂志》上发表的四色猜想的证明被数学大师希伍德指出有漏洞，尽管四色猜想没有得到证明，但肯普和希伍德两位数学大师对于后来图论的发展做出了决定性的贡献。迄今为止，四色猜想仍然是电脑证明数学难题绝无仅有的例子，但它昭示了计算机证明时代的到来，它也可能成为数学上一系列新思维的起点，四色猜想同时也是第一个应用计算机辅助证明的大定理，但主导整个证明过程的仍然是数学家。四色猜想看起来是一个带有数学游戏性质的孤立问题，但它创造出图论许多新的分支。证明四色定理也需在概念上下功夫，特别是需要寻找可约化的构形，即把复杂的事物变成简单的对象，把区域多的问题简化为区域少的情形。那么四色问题可以做这样的化简：一个区域不妨看成一个点，任何两个区域或者相邻或者不相邻。如果代表两个区域的点相邻，那么我们就在两点之间连上一条线，否则就不连线。这样的结构就称作图。这时四色问题也就变成图的顶点着色问题，也就是两顶点如果有线相连，就必须涂上不同的颜色。任意一个图，它可能的最小着色数称为它的色数。20世纪60年代，证明四色猜想的构型大约有8000到10000个，这在当时用计算机是办不到的。后来阿沛尔与哈肯利用计算机进行搜索，发现构型不到
数学证明方法 什么是数学证明？ 以勾股定理为例，欧几里得几何原本（成书于公元前300年）有一个严格的证明，但巴比仑人在公元前19世纪就已知道了勾股数（13500，12709，18541），中国古代算学利用面积拼凑法，画了几个图让大家看，就算是证明了。因此，勾股定理的知识，并不始于欧几里得的证明，也不终于欧几里得的证明。先有内容，而且人们相信它，后来才有证明。因此， 数学家有自己的追求，别的科学家并不要求严格证明，印度数学家哈里什-钱德拉（Harish-Chandra）曾在大物理学家狄拉克（Dirac）那里做助手，有一次他对狄拉克说，我很苦恼，因为我已找到了问题的答案，却没法证明它。狄拉克的回答是：“我不管什么证明，我只想知道真相！” 让我们再来看数学家是怎样来证明的。英国数学家哈代（Hardy）在1929年写的一篇论文《数学证明》中说道：“严格说来，没有所谓证明这个东西，归根结蒂，我们只能指指点点。”这句话的意思是，数学证明并不是完全形式化的三段论式的推理，数学家不过是指指点点，指手画脚，使读者和听众信服。讲解证明的是人，理解证明的也是人。难怪苏联数学家曼宁（Manin）说：“一个证明只当它通过‘被接纳为证明’这项社会活动后，它才算证明。” 当然，我们可能会问，数学家何必指指点点？老老实实从公理、定理、定义出发进行逻辑推理岂不好？但这做不到。波兰数学家史坦因豪斯（Steinhauss）的一个学生从希尔伯特的几何公理系统出发，证明勾股定理，写下来竟有80页，更令人吃惊的是，如果罗素和怀特黑（A.N.Whitehead）在1910－1913年出版的《数学原理》，从最初的集合概念开始，证明1＋1＝2足足用了300页，这样的证明，谁愿意读？ 计算机辅助证明。我国吴文俊教授给出的机器证明在世界上处于领先的地位，但基本上只能证明初等几何的所有定理，离证明全部数学还远得很。1976年，四色定理的首个证明是一个经典的计算机辅助证明的例子。不少数学家对于计算机证明持谨慎态度，因为很多证明太长，不能由人手直接验证。此外，算法上的错误，输入时的失误甚至计算机运行期间出现的错误都有可能导致错误的结果。 说到这里，似乎都是有关数学证明的“坏话”，那么数学证明的价值何在？首先，数学证明有助于核实真理。数学家的指指点点，是比较严格的，比较符合逻辑的。因而比较可信。其次，数学证明最重要的价值是增进理解，只有弄懂了一个定理的证明，才能真正理解该定理的内容。 对中学数学教育来说，有几点流行的看法需要纠正。中学数学是绝对严格的，中学数学建筑在严格的逻辑推导之上。数学思维能力的核心是逻辑思维能力。真实的情况是，中学数学内容不可能做到绝对严格。中学数学的证明也是“指指点点”，并非三段论式的逻辑演绎。中学数学固然能培养逻辑思维能力，但更重要的是培养学生观察、分析和解决问题的数学观念、数学意识和数学方法。 数学是形式化的思想材料，数学家讲究严密的形式推理，但是学生并不全做数学家，学
四色定理是求解最大值问题以及证明 摘要：问题一：如果任何一个国家与它邻接区域或说国家的染色都是不同的时候，是不是任何两个邻接区域的颜色就是不同的？ 问题二：两个国家的邻接区域还没有什么，但说到三个国家的时候，就有了不同，在其中一个国家看来，另外两个国家都与这个国家是邻接区域，但这两个国家之间有什么关系？一，这两个国家不是相互区域邻接；二，这两个国家是相互区域邻接。四色定理的证明可以从这两个问题出发。 正文： 虽然我们用计算机证明了四色定理，但正如汤米·R·延森和比雅尼·托夫特在《图染色问题》一书中问的：“是否存在四色定理的一个简短证明，……使得一个合格的数学家能在（比如说）两个星期里验证其正确性呢？”【1】 严谨版本的染色问题需要用到拓扑学的概念来定义，那么四色问题的论证是否一定需要拓扑学来证明呢？如果不用拓扑学用其他数学证明，算不算是证明了呢？ 什么是四色定理？ 四色定理是一个著名的数学定理：如果在平面上划出一些邻接的有限区域，那么可以用四种颜色来给这些区域染色，使得每两个邻接区域染的颜色都不一样；另一个通俗的说法是：每个地图都可以用不多于四种颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同。【1】 那么不用计算机能不能论证四色定理的成立呢？ 先看一个问题，问题一：如果任何一个国家与它邻接区域或说国家的染色都是不同的时候，是不是任何两个邻接区域的颜色就是不同的？【2】答案是肯定的。这样四色问题就变成了：平面地图上，如果任何一个国家的邻接区域颜色都是不一样的，是不是只要四种颜色就可以全部描述？如果能够证明成立，那么四色定理就是
成立的。 证明如下： 问题二：两个国家的邻接区域还没有什么，但说到三个国家的时候，就有了不同，在其中一个国家看来，另外两个国家都与这个国家是邻接区域，但这两个国家之间有什么关系？一，这两个国家不是相互区域邻接；二，这两个国家是相互区域邻接。 这样三个或者三个以上国家的时候，区域邻接有两种关系：一种是，这个国家的所有的邻接区域国家都与这个国家是区域邻接的关系，但这些国家之间不是相互区域邻接的关系；【注：这里的相互区域邻接指的是完全相互区域邻接，有n个国家，就是n个国家之间是相互区域邻接的。其中一个国家与部分国家区域邻接不算。】二就是，这个国家的所有的邻接区域都与这个国家是区域邻接的关系，同时，这些国家之间还是相互区域邻接的关系。 首先，对不是相互区域邻接的关系的证明。 这一点在《四色定理非计算机的简短证明》中已经证明了，这里简单叙述一下。这里四色定理转化成数学就是函数求解最大值的问题。我们用函数可以解出最大值，论证四色定理的成立。证明： 第一，任何一个国家都是与n个国家相连接的，即与
四色猜想的“3+1”链锁证明 李传学 四色猜想是数学中费马猜想、四色猜想、哥德巴赫猜想难题之一。本文根据计算机逻辑判断方式，利用“1+3”链锁反应法，对四色猜想的数学定义，可做出逐步趋向、直至平面整（总）体有、且只有的四色猜想简捷证明。 一、四色猜想简捷证明的提出。 随着计算机运算速度的加快、人机对话智能的出现，极大加快了对四色猜想研究、证明的步伐。1976年6月，美国哈肯与阿佩尔编制程序，利用1200个小时，分别在两台计算机上，作了100亿次判断，终于完成了四色猜想的证明。但是，计算机证明过程深长，无法令人信服，是因为缺乏适合人的逻辑思维判断过程。 二、四色猜想的数学语言定义。 任何一张平面地图，只要用四种不同颜色就能使具有共同边界的国家，着上不同颜色，称之为四色猜想。 四色猜想的数学语言定义：将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一区域总可以用1、2、3、4这四个数字之一来标记，且不会使相邻的两个区域得到相同的数字。这里的相邻区域，是指有一整段（非点）边界是公共的边界。（注：来自网络“科普中国”）。 三、四色猜想的简捷证明。 （一）简捷证明的数学理论依据。 1、三角形定义。 由三条线段围成的封闭图形叫做三角形；三角形的每条线段叫做三角形的边。 2、平面公理。 公理一：如果一直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内。 （推论一：直线与直线外一点可确定一个平面；推论二：两条相交直线，可确定一个平面）。 公理二：不在一条直线上的三个，有、且只有一个平面。 公理三：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有、且只有一条过该点的公共直线。 3、拓扑等价。 对拓扑等价概念有多个解释。如刻画微分方程解之间的关系；对连续流进行分类等。在几何学是指：几个图形中，任意一个可以通过拓扑变换从其余图形得到，就称它们为拓扑等价；或称其中每一个可以从其余任意一个几何图形经扭转、弯曲、拉长或收缩得到，而不出现任何点的重叠与断开，它们就是拓扑等价。 （二）用数学归纳法证明。 1、将平面地图中各图形，通过拓扑变换为由三角形组成的平面图形。在△
四色问题的简单证明 一共识 1证明任意地图能不能只用四种颜色就可以填满整个地图，我们可以转换为另一个同等的命题：就是地图上不存在 有五个区域相互接触，最多可能有四块区域相互接触。 2地图分为有空白地图和无空白地图。有空白地图意思是地图的一些区域不需要填色，而无空白地图就是指地图 的每一个区域都要求上色。 二先证明以下三点命题 1一区域要与另一区域接触，那么这一区域的周边要留下空白。（定理一） 证：如下若A要与另一个区域接触的话，那么A的周边 必须留有空白。 若A周边没有空白，而又能与另一块区域接触，这是不 可能的。 2一张无空白地图存在M块区域，对于原有n块无间隙区域，必然有在原有区域的基础上有n+1块区域（n-1<=M） 它们之间无间隙。（定理二） 证；地图上有k块区域无间隙，那么必然有k+1块区域
无间隙。 若有k块区域无间隙，不存在k+1块区域无间隙，除了原来的k块区域外，每一个区域都与这k块区域所组成的图形有间隙。 就是说每一块图形与k块图形有间隙，那么k块区域的周边必然存在间隙，就是地图有间隙（有空白区域）。矛盾。 所以命题成立。 3若无空白的地图的四色问题成立，那么有空白的地图的四色问题也成立。（定理三） 证：对于任意的有空白的地图，我们可以对应地建立无 空白的地图，然后把无空白的地图填满颜色，再根据原 地图除去相应区域的颜色即可。 三主体证明。 （1）首先我们在无空白地图上选取一个区域为研究对象。如下图
（2）由定理二得一定存在一个B 与A 无间隙接触， 并为了A B 都能与另一区域接触依据定理一AB 周边要留有空白，所以有： 这是两区域依照定理一二得到AB 的唯一的关系 即至少需要两种颜色 （3）依据定理二我们在AB 的基础上处在C 使得ABC 之间无间隙， 又因为定理一要ABC 周边留下空白。 舍去c 只与A 或B 接触的 即得 这是在定理一二下的ABC 互相接触的唯一一种关系