思想方法中考题型
一、方程思想
根据题意设适当的未知数，从已知和未知中寻求等量关系，构造出方程或方程组，从而使问题获解．
例1如图1，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50米．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求缆绳AC的长（答案可带根号）．
解：过A点作AB⊥CD交CD的延长线于点B，设AB＝x
在Rt△ABC中，因为∠ACB＝∠CAE＝30°，所以AC＝2ABC＝2x，BC=3AB=3x
在Rt△ABD中，因为∠ADB＝∠EAD＝45°，所以DB＝AB＝x
因为CD＝50，所以
解得x＝25（1+3）。答：缆绳AC的长为()
5013
+米．
说明先得出边角之间的关系，再构造方程求解，这是直角三角形的边角关系应用的常见方法，应值得注意．
二、数形结合思想
将数量和图形巧妙结合来寻找解题思路
例2如图2，A、B、C表示建筑在一座比较险峻的名山上的三个缆车站的位置，AB、BC表示连接三个缆车站的钢缆。已知A、B、C所处位置的海拔高度分别为124m、400m、1100m，如图建立直角坐标系，即A(a，124)、B(b，400)、C(c，
1100)，若直线AB的解析式为y＝1
2x＋4，直线BC与水平线BC1的交角为45°．
⑴分别求出A、B、C三个缆车站所在位置的坐标；
⑵求缆车从B站出发到达C站单向运行的距离(精确到1m)．
A(240，124)、B(792，400)、C(2192，1100)；（2）7002≈990（米）．
三、转化思想
抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法．
例3如图3，学校旗杆附近有一斜坡．小明准备测量学校旗杆AB的高度，他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，此时小明测得水平地面上的影长BC＝20米，斜坡坡面上的影长CD＝8米，太阳光线AD与水平地面成26°角，斜坡CD与水平地面成30°的角．求旗杆AB的高度（精确到1米）．（tan26°=0.43）
解：延长AD、BC交于点E，过点D作DF⊥CE于F．则依据题意可知，∠E＝°，∠DCE＝°。
在Rt△CFD中，得DF＝4，CF＝43≈6.928，
在Rt△DFE中，
在Rt△ABE中，
答：旗杆AB的高度约为．
四、建模思想
所谓建模思想就是认真分析题意，将实际问题抽象、转化为数学问题，建立数学模型，再通过对数学模型的探索达到解决问题的目的．
例4如图4，MN表示一段高速公路的设计路线图．在点M测得点N在它的南偏东30°的方向．测得另一点A在它的南偏东60°的方向；取MN上另一点B，在点B测得点A在它的南偏东75°的方向．以点A为圆心，500m为半径的圆形区域为某居民区．已知MB=400m，通过计算回答：如果不改变方向，高速公路是否会穿过居民区？
解：过点A作AC⊥MN于点C．依题意，得∠AMC=60°－30°=30°，∠ABC=75°－30°=45°．设AC为x m，
图2
B
A
图4
M
30°
60°
75°
北
北
N
C
图1
F
图3
E
D
C
B
A
测量类
例5、如图，小明在江南岸选定建筑物A ，并在江北岸的B 处观察，此时，视线与江岸BE 所成的夹角是30°，小强沿江岸BE 向东走了500m ，到C 处，再观察A ，此时视线CA 与江岸所成的夹角∠ACE ＝60°。根据上述信息，你能测出江宽AD 吗？若能，写出求解过程(结果可保留根号)；若不能，请说明理由。 解：过A 作AD ⊥BE ，垂足为D ，设AD=x ， 在Rt △ABD 中，BD= 在Rt △ACD 中，CD=
又因为BC=50，所以列方程，得： 解得：x=253
练6、（2011安徽，19，10分）如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度．已知在离地面1500m 高度C 处的飞机上，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°．求隧道AB 的长．（参考数据：3=1.73） 635m ．
练7、一次数学活动中，小明利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小明在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°（量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F 处（点
B F D ，，在同一直线上），这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为（ ）Ａ．68米
Ｂ．70米
Ｃ．121米
Ｄ．123米
（注：数据3 1.732≈，2 1.414≈供计算时选用）
例8、（2011山东德州20,10分）某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD 的高度．如示意图，由距CD 一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为β，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为α．测得A ，B 之间的距离为4米，tan 1.6α=，tan 1.2β=，试求建筑物CD 的高度． 解：设建筑物CD 与EF 的延长线交于点G ，DG=x 米． …………1分 在Rt △DGF 中,由tan DG GF α=
，得tan x GF α=． ∴tan x
GF α
= …2分 在Rt △DGE 中，tan DG GE β=
，即tan x GE β=． ∴tan x GE β= …3分
∴tan x EF β=
tan x
α
- ． ………5分
B
C
E
图1 A
C
D
B
E F β α
G
A
B
C
东
∴4 1.2 1.6
x x
=
-
． ………6分 解方程得：x =19.2． ………8分 ∴ 19.2 1.220.4CD DG GC =+=+=． 答：建筑物高为20.4米． ………10分
练9、如图，小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15o 的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全．他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75o ，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道 m ．1.28
（结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26≈o
，cos150.97≈o
）
航行类
练10、如图，某渔船上的渔民在A 处观测到灯塔M 在北偏东60o 方向处，这艘渔船以每小时28海里的速度向正东方向航行，半小时后到达B 处，在B 处观测到灯塔M 在北偏东30o
方向处，问B 处与灯塔M 的距离是多少海里？14
例11、（2011山东济宁，18， 5分）日本福岛出现核电站事故后，我国国家海洋局
高度关注事态发展，紧急调集海上巡逻的海检船，在相关海域进行现场检测与海水采样，针对核泄漏在极端情况下对海洋的影响及时开展分析评估．上午9时,海检船位于A 处，观测到某港口城市P 位于海检船的北偏西67.5°，海检船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时海检船到达B 处，这时观测到城市P 位于海检船的
南偏西36.9°方向，求此时海检船所在B 处与城市P 的距离？（参考数据：sin36.9°≈3
5
，
tan36.9°≈34，sin67.5°≈1213，tan67.5°≈12
5
）
解：过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，设PC=x 海里．
在Rt △APC 中，∵tan ∠A= ，∴AC= 在Rt △PCB 中，∵tan ∠B= ，∴BC=
∵AC ＋BC=AB=21×5，∴54215123
x x
+=?，解得．
答：海检船所在B 处与城市P 的距离为100海里．
练12、一艘轮船自西向东航行，在A 处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C ，继续向东航行60海里到达B 处，测得小岛C 此时在轮船的东偏北63.5°方向上．之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C 最近？ （参考数据：sin21.3°≈
925
，tan21.3°≈25， sin63.5°≈
910
，tan63.5°≈2）
分析：只要过C 作AB 的垂线段CD 就构造了直角三角形，然后再根据题目所给
的条件进行计算，从而求出BD 的距离，那就是最短距离
练13、问题可变为：如果小岛C 周围 海里内有暗礁，轮船继续向东航行有触礁危险。
练14、再变为：如果轮船行驶时，小岛C 周围 米以内会受到噪音的影响．那么轮船以 海里/时的速度继续向东航行时，岛C 受噪音影响的时间为多少?
75°
15°
北
东60o 30o M
16
筑坝类
练15、（2011甘肃兰州）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1∶3，坝外斜坡的坡度i=1∶1，则两个坡角的和为 。【答案】75
练16、一座建于若干年前的水库大坝的背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 横断面如图所示。现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB 的坡度由1∶0.75改为1∶3；② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地 种草与栽花 ⑴ 求整修后背水坡面的面积；
⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少．．
需要多少元？ 解题关键：搞清坡度的意义，将梯形问题转化为直角三角形问题 720米 2
16000元
辅助练习：
练17、如图，某边防巡逻队在一个海滨浴场岸边的A 点处发现海中的B 点有人求救，便立即派三名救生员前去营救．1号救生员从A 点直接跳入海中；2号救生员沿岸边(岸边看成是直线)向前跑到C 点，再跳入海中； 3号救生员沿岸边向前跑3 0 0米到离B 点最近的D 点，再跳人海中．救生员在岸上跑的速度都是6米／秒，在水中游泳的速度都是2米／秒．若∠BAD=4 5°，∠BCD=6 0°，三名救生员同时从A 点出发，请说明谁先到达营救地点B ． (参考数据2≈1.4，3≈1.7) 2号
练18、（2011湖北武汉）如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON=30°．公路PQ 上A 处距离O 点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影
响．那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72千米/时的速度行驶时，A 处受噪音影响的时间为
A ．12秒．
B ．16秒．
C ．20秒．
D ．24秒．【答案】B
练19、（2011内蒙古乌兰察布，16，4分）某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8?和10?，大灯A 与地面离地面的距离为1m 则该车大灯照亮地面的宽度BC 是 m .（不考虑其它因素）【答案】1.4
练20、(2011浙江绍兴，20，8分)为倡导“地摊生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图，车架档AC 与CD 的长分别为45cm ，60cm ，且它们相互垂直，座杆CE 的长为20cm ，点,,A C E 在同一条直线上，且75CAB ∠=?，如图2. （1）求车架档AD 的长（75 ）（2）求车座点E 到车架档AB 的距离（63）
F
B
A
D
C
E
（精确到1cm ，参考数据：sin750.959cos750.2588tan75 3.7321?≈?≈?≈，，）
第19题图
第20题图2
练21、（2011湖南常德，24，8分）青青草原上，灰太狼每天都想着如何抓羊，而且是屡败屡试，永不言弃.（如图所示）一天，灰太狼在自家城堡顶部A 处测得懒羊羊所在地B 处的俯角为60°，然后下到城堡的C 处，测得B 处的俯角为30°.已知AC=40米，若灰太狼以5m/s 的速度从城堡底部D 处出发，几秒钟后能抓到懒羊羊？（结果精确到个位）7
例22、（2011四川宜宾,22,7分）如图，飞机沿水平方向（A ，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN ．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离），请设计一个求距离MN 的方案，要求： （1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）； （2）用测出的数据写出求距离MN 的步骤．
【答案】解：⑴如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为α，测出飞机在B 处对山顶的俯角为β，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM ． ⑵第一步，在AMN Rt ?中，AN MN =
αtan ∴α
tan MN
AN = 第二步，在BMN Rt ?中，BN
MN
=βtan ∴βtan MN BN =
其中BN d AN +=，解得α
ββαtan tan tan tan -??=
d MN ．
练23、（2011湖北黄冈，21，8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB 的坡比1:3i =（指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m ．身高为1.7 m 的小明站在大堤A 点，测得高压电线杆端点D 的仰角为30°．已知地面CB 宽30 m ，
求高压电线杆CD 的高度（结果保留三个有效数字，3≈1.732）21.7103+≈36.0
练24、小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30o 角，且此时测得1米杆的影长为2米，求电线杆的高度
C
D
N
M
A
B
第23题图
（22题图）
21图
60°
30°
A
B
D
C
（第22题解答图）
练25、如图，两个高度相等的圆柱形水杯，甲杯装满液体，乙杯是空杯．若把甲杯中的液体全部倒入乙杯，则乙杯中的液面与图中点P的距离是（）
(A)2cm
(B)(C)6cm(D)8cm
练26、如图，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(100)
，，点B在第一象
限内，5
BO=，
3
sin
5
BOA=
∠．则cos BAO
∠= ．
练27
、如图，一束光线照在坡度为1
平行的光线，则这束与坡面的夹角α是度．练28、某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h（即50
3
m/s）．交通管理部门在离该公路100 m处设置了一速度监测点A，在如图11所示的坐标系中，点A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在点A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．
（1）请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC，并标出点C的位置；
（2）点B坐标为，点C坐标为；
（3）一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15 s，请通过计算，判断该汽车
1.7）
（第25题）
（第27题）