二次函数与菱形
1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．
（2）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．
（3）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2.已知抛物线y=ax2+bx+8（a≥1）过点D（5，3），与x轴交于点B、C（点B、C均在y轴右侧）且BC=2，直线BD交y轴于点A．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在坐标轴上是否存在一点N，使△ABN与△BCD相似？若存在，求出点A、N的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在直线BD上是否存在一点P和平面内一点Q，使以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点O，y轴为对称轴，且经过点A（3，3），一次函数的图象经过点A和点B（6，0）．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）如果一次函数图象与y轴相交于点C，E是抛物线上OA段上一点，过点E作y轴平行的直线DE与直线AC交于点D，∠DOE=∠EDA，求点E的坐标；
（3）点M是线段AC延长线上的一个动点，过点M作y轴的平行线交抛物线于F，以点O、C、M、F 为顶点的四边形能否为菱形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．
4.如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F．
（1）求m的值及该抛物线对应的解析式；
（2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标；
（3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．
5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点A（﹣3，4）、
B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点B．动点P从点D出发，沿DC边向点C运动，同时动点Q从点B出发，沿BA边向点A运动，点P、Q运动的速度均为每秒1个单位，运动的时间为t秒．过点P作PE⊥CD交BD于点E，过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，四边形BDGQ的面积最大？最大值为多少？
（3）动点P、Q运动过程中，在矩形ABCD内（包括其边界）是否存在点H，使以B，Q，E，H为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出此时菱形的周长；若不存在，请说明理由．
6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a交x轴于A、B两点，交y的正半轴于点C，连接BC，且OB=OC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为第一象限抛物线上一点，过点D作DE⊥BC于点E，设DE=d，点D的横坐标为t，求d与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，点F为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点G，连接DF，过D作DH⊥DF交FG于点H，点M为对称轴左侧抛物线上一点，点N为平面上一点且tan∠HDN=，当四边形DHMN 为菱形时，求点N的坐标．
7．如图，抛物线y=ax2﹣2x+c（a≠0）与x轴、y轴分别交于点A，B，C三点，已知点A（﹣2，0），点C（0，﹣8），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将△EBP沿直线EP 折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；
（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标．
8．如图，?ABCD的两个顶点B，D都在抛物线y=x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，tan∠ACB=．（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点E，使以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）动点P从点A出发向点D运动，同时动点Q从点C出发向点A运动，运动速度都是每秒1个单位长度，当一个点到达终点时另一个点也停止运动，运动时间为t（秒）．当t为何值时，△APQ 是直角三角形？
9．如图，抛物线y=﹣x2﹣x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B 作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点E在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点E作EG⊥x轴，交直线AB于点F，交抛物线于点G．设点E移动的时间为t秒，GF的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点E与点O、C重合的情况），连接CF，BG，当t为何值时，四边形BCFG为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCFG是否菱形？请说明理由．
10．如图，已知抛物线y=ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l：y=kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系（＞、＜、=），并证明你的判断；
（3）P为y轴上一点，以B、C、F、P为顶点的四边形是菱形，设点P（0，m），求自然数m的值；（4）若k=1，在直线l下方的抛物线上是否存在点Q，使得△QBF的面积最大？若存在，求出点Q 的坐标及△QBF的最大面积；若不存在，请说明理由．
11．如图，抛物线y=ax2+bx﹣2的对称轴是直线x=1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．（1）求抛物线解析式；
（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
12．如图1，抛物线y=ax2+bx+4的图象过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，作直线BC，动点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度沿CB向点B运动，运动时间为t秒，当点P 与点B重合时停止运动．（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，当t=1时，求S
的面积；
△ACP
（3）如图3，过点P向x轴作垂线分别交x轴，抛物线于E、F两点．
①求PF的长度关于t的函数表达式，并求出PF的长度的最大值；
②连接CF，将△PCF沿CF折叠得到△P′CF，当t为何值时，四边形PFP′C是菱形？
13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣4，0），B（﹣1，0）两点．（1）求抛物线的解析式；
（2）在第三象限的抛物线上有一动点D．
①如图（1），若四边形ODAE是以OA为对角线的平行四边形，当平行四边形ODAE的面积为6时，请判断平行四边形ODAE是否为菱形？说明理由．
②如图（2），直线y=x+3与抛物线交于点Q、C两点，过点D作直线DF⊥x轴于点H，交QC于点F．请问是否存在这样的点D，使点D到直线CQ的距离与点C到直线DF的距离之比为：2？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=a（x+1）2﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B
的左侧），与y轴交于点C（0，﹣），顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴的右侧．
（1）求a的值及点A，B的坐标；
（2）当直线l将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线l的函数表达式；
（3）当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN 能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由．
15.已知，如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边BC在x轴上，顶点A在y轴的正半轴上，OA=2，OB=1，OC=4．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）设点G是对称轴上一点，求当△GAB周长最小时，点G的坐标；
（3）若抛物线对称轴交x轴于点P，在平面直角坐标系中，是否存在点Q，使△PAQ是以PA为腰的等腰直角三角形？若存在，写出所有符合条件的点Q的坐标，并选择其中一个的加以说明；若不存在，说明理由；
（4）设点M是x轴上的动点，试问：在平面直角坐标系中，是否存在点N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
16.如图，已知抛物线C1：y=﹣x2，平移抛物线y=x2，使其顶点D落在抛物线C1位于y轴右侧的图象上，设平移后的抛物线为C2，且C2与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）抛物线C2与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），求点A，B的坐标及过点A，B，C的圆的圆心E的坐标；
（3）在过点（0，）且平行于x轴的直线上是否存在点F，使四边形CEBF为菱形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．
（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；
（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．
抛物线与菱形的专题参考答案
1.解：（1）将B、C两点的坐标代入得
解得：；
所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3
（2）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），易得，直线BC的解析式为y=x﹣3
则Q点的坐标为（x，x﹣3）；
S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=AB?OC+QP?OF+QP?BF
=
=（10分）
当时，四边形ABPC的面积最大
此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．
（3）存在点P，使四边形POPC为菱形；
设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E
若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；
连接PP′，则PE⊥CO于E，
∴OE=EC=
∴y=；（6分）
∴x2﹣2x﹣3=
解得x1=，x2=（不合题意，舍去）
∴P点的坐标为（，）
2.解：（1）设B点坐标为（x1，0），C点坐标为（x2，0），
则x1、x2是方程ax2+bx+8=0的两根，
∴x1+x2=﹣，x1x2=，
∵BC=|x1﹣x2|=2，
∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4，
∴﹣=4①，
把D点坐标代入抛物线解析式可得25a+5b+8=3②，
由①②可解得或（舍去），
∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+8；
（2）在y=x2﹣6x+8中，令y=0可得x2﹣6x+8=0，解得x=2或x=4，
∴B（2，0），C（4，0），
设直线BD解析式为y=kx+s，
把B、D坐标代入可得，解得，
∴直线BD解析式为y=x﹣2，
∴A（0，﹣2），
①当点N在x轴上时，设N（x，0），则点N应在点B左侧，
∴BN=2﹣x，
∵A（0，﹣2），B（2，0），D（5，3），
∴AB=2，BD=3
∵∠ABN=∠DBC，
∴有△BCD∽△BNA或△BCD∽△BAN，
当△BCD∽△BNA时，则有=，即=，解得x=，此时N点坐标为（，0）；
当△BCD∽△BAN时，则有=，即=，解得x=﹣4，此时N点坐标为（﹣4，0）；
②当点N在y轴上时，设N（0，y），则点N应在A点上方，
∴AN=y+2，
由上可知有△BCD∽△ABN或△BCD∽△ANB，
当△BCD∽△ABN时，则有=，即=，解得y=4，此时N点坐标为（0，4）；
当△BCD∽△ANB时，则有=，即=，解得y=﹣，此时N点坐标为（0，）；综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，0）或（﹣4，0）或（0，4）或（0，）；
（3）∵点P在直线BD上，
∴可设P（t，t﹣2），
∴BP==|t﹣2|，PC==，
∵以Q、P、B、C四点为顶点的四边形为菱形，
∴有BC为边或BC为对角线，
当BC为边时，则有BP=BC，即|t﹣2|=2，解得t=2+或t=2﹣，此时P点坐标为（2+，）或（2﹣，）；
当BC为对角线时，则有BP=PC，即|t﹣2|=，解得t=3，此时P点坐标为（3，1）；综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2+，）或（2﹣，）或（3，1）．
3.解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2，
把点A（3，3）代入得3=a×32，解得a=；
设一次函数的解析式为y=kx+b，
把点A（3，3）、点B（6，0）代入得，解得，
所以二次函数与一次函数的解析式分别为y=x2，y=﹣x+6；
（2）C点坐标为（0，6），
∵DE∥y轴，
∴∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD，
∵∠DOE=∠EDA，
∴∠DOE=∠OCD，
∴△OCD∽△DOE，
∴OC：OD=OD：DE，即OD2=OC?DE，
设E点坐标为（a，a2），则D点坐标为（a，6﹣a），
OD2=a2+（6﹣a）2，=2a2﹣12a+36，OC=6，DE=6﹣a﹣a2，
∴2a2﹣12a+36=6（6﹣a﹣a2），解得a1=0，a2=，
∵E是抛物线上OA段上一点，
∴0＜a＜3，
∴a=，
∴点E坐标为（，）；
（3）以点O、C、M、F为顶点的四边形不能为菱形．理由如下：
如图，过O点作OF∥AC交抛物线于F，过F点作FM∥y轴交AC延长线于M点，交x轴于H点，则四边形OCMF为平行四边形，
∵OC=OB=6，
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC=45°，
∴∠HOF=45°，
∴△OHF为等腰直角三角形，
∴HO=HF，
设F点坐标为（m，﹣m）（m＞0），
把F（m，﹣m）代入y=x2得﹣m=m2，解得m1=0，m2=﹣3，
∴m=﹣3，
∴HO=HF=3，
∴OF=OH=3，
而OC=6，
∴四边形OCMF不为菱形．
4.解：（1）∵点B（﹣2，m）在直线y=﹣2x﹣1上
∴m=3 即B（﹣2，3）
又∵抛物线经过原点O
∴设抛物线的解析式为y=ax2+bx
∵点B（﹣2，3），A（4，0）在抛物线上
∴，
解得：．
∴设抛物线的解析式为．
（2）∵P（x，y）是抛物线上的一点，
∴，
若S△ADP=S△ADC，
∵，，
又∵点C是直线y=﹣2x﹣1与y轴交点，
∴C（0，1），
∴OC=1，
∴，即或，
解得：．
∴点P的坐标为．
（3）结论：存在．
∵抛物线的解析式为，
∴顶点E（2，﹣1），对称轴为x=2；
点F是直线y=﹣2x﹣1与对称轴x=2的交点，∴F（2，﹣5），DF=5．
又∵A（4，0），
∴AE=．
如右图所示，在点M的运动过程中，依次出现四个菱形：
①菱形AEM1Q1．
∵此时DM1=AE=，
∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=4﹣，
∴t1=4﹣；
②菱形AEOM2．
∵此时DM2=DE=1，
∴M2F=DF+DM2=6，
∴t2=6；
③菱形AEM3Q3．
∵此时EM3=AE=，
∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，
∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=4+，
∴t3=4+；
④菱形AM4EQ4．
此时AE为菱形的对角线，设对角线AE与M4Q4交于点H，则AE⊥M4Q4，
∵易知△AED∽△M4EH，
∴，即，得M4E=，
∴DM4=M4E﹣DE=﹣1=，
∴M4F=DM4+DF=+5=，∴t4=．
综上所述，存在点M、点Q，使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间t的值为：t1=4﹣，t2=6，t4=．
t
5.解：（1）由题意得，顶点D点的坐标为（﹣1，4）．
设抛物线的解析式为y=a （x+1）2+4（a≠0），
∵抛物线经过点B（﹣3，0），代入y=a （x+1）2+4
可求得a=﹣1
∴抛物线的解析式为y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3．
（2）由题意知，DP=BQ=t，
∵PE∥BC，
∴△DPE∽△DBC．
∴==2，
∴PE=DP=t．
∴点E的横坐标为﹣1﹣t，AF=2﹣t．
将x=﹣1﹣t代入y=﹣（x+1）2+4，得y=﹣t2+4．
∴点G的纵坐标为﹣t2+4，
∴GE=﹣t2+4﹣（4﹣t）=﹣t2+t．
如图1所示：连接BG．
S四边形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG，即S四边形BDGQ=BQ?AF+EG?（AF+DF）=t（2﹣t）﹣t2+t．
=﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2．
∴当t=2时，四边形BDGQ的面积最大，最大值为2．
（3）存在．
∵CD=4，BC=2，
∴tan∠BDC=，BD=2．
∴cos∠BDC=．
∵BQ=DP=t，
∴DE=t．
如图2所示：当BE和BQ为菱形的邻边时，BE=QB．
∵BE=BD﹣DE，
∴BQ=BD﹣DE，即t=2﹣t，解得t=20﹣8．
∴菱形BQEH的周长=80﹣32．
如图3所示：当BE为菱形的对角时，则BQ=QE，过点Q作QM⊥BE，则BM=EM．
∵MB=cos∠QBM?BQ，
∴MB=t．
∴BE=t．
∵BE+DE=BD，
∴t+t=2，解得：t=．
∴菱形BQEH的周长为．
综上所述，菱形BQEH的周长为或80﹣32．
6.解：（1）对于抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a，令y=0，得到ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=OC=3，
∴C（0，3），
∴﹣3a=3，
∴a=﹣1，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
（2）如图2中，作DT⊥AB于T，交BC于R．设D（t，﹣t2+2t+3）．
∵OB=OC，∠BOC=∠RTB=90°，
∴∠OBC=∠TRB=∠DRE=45°，
∵DE⊥BC，
∴∠DER=90°，
∴△DER是等腰直角三角形，
∵直线BC的解析式为y=﹣x+3，
∴R（t，﹣t+3），
∴DR=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
∴DE=DR?cos45°=﹣t2+t．
（3）如图3中，
∵四边形DHMN是菱形，点H在对称轴上，
∴D、M关于对称轴对称，点N在对称轴上，
设DM交FH于Q，作HK⊥DN于K．
∵tan∠HDK==，设HK=12k，DK=5k，则DH==13k，∴DN=DH=13k，NK=DN﹣DK=8k，
在Rt△NHK中，NH===4k，
∴QN=QH=2k，
∵S
=?NH?DQ=?DN?HK，
△DNH
∴DQ=3，
∴tan∠QDH==，
∵DF⊥DH，
∴∠QDH+∠FDQ=90°，∵∠QFD+∠FDQ=90°，
∴∠DFQ=∠QDH，
∴tan∠DFQ==，
∵抛物线的顶点F（1，4），Q（1，﹣t2+2t+3），
∴FQ=4﹣（﹣t2+2t+3），
∴=，
解得t=，
∴D（，），
∴DQ=﹣1=，
∵=，
∴QN=1，
∴N（1，）．
7.解：（1）将点A、点C的坐标代入抛物线的解析式得：，解得：a=1，c=﹣8．
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8．
∵y=（x﹣1）2﹣9，
∴D（1，﹣9）．
（2）将y=0代入抛物线的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B（4，0）．
∵y=（x﹣1）2﹣9，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∴E（1，0）．
∵将△EBP沿直线EP折叠，使点B的对应点B'落在抛物线的对称轴上，
∴EP为∠BEF的角平分线．
∴∠BEP=45°．
设直线EP的解析式为y=﹣x+b，将点E的坐标代入得：﹣1+b=0，解得b=1，
∴直线EP的解析式为y=﹣x+1．
将y=﹣x+1代入抛物线的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=或x=．
∵点P在第四象限，
∴x=．
∴y=．
∴P（，）．
（3）设CD的解析式为y=kx﹣8，将点D的坐标代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，
∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．
设直线CB的解析式为y=k2x﹣8，将点B的坐标代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2．
∴直线BC的解析式为y=2x﹣8．
将x=1代入直线BC的解析式得：y=﹣6，
∴F（1，﹣6）．
设点M的坐标为（a，﹣a﹣8）．
当MF=MB时，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．
∴点M的坐标为（﹣，）．
当FM=FB时，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．
∴点M的坐标为（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．
综上所述，点M的坐标为（﹣，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．
8.解：（1）∵OB=OC，OA⊥BC，AB=5，
∴AB=AC=5．
∴tan∠ACB==，
∴．
由勾股定理，得OA2+OC2=AC2，
∴（）2+OC2=52，解得OC=±4（负值舍去）．
∴，OB=OC=4，AD=BC=8．
∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），D（8，3）．
∴
解之得，
∴抛物线的解析式为y=x2+x+5；
（2）存在．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AC=AB=CD．
又∵AD≠CD，
∴当以A，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，AC=CD=DE=AE．
由对称性可得，此时点E的坐标为（4，6）
当x=4时，y=x2+x+5=6，所以点（4，6）在抛物线y=x2+x+5上．∴存在点E的坐标为（4，6）；
（3）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB＜90°．
∴当△APQ是直角三角形时，∠APQ=90°或∠AQP=90°．
∵，
∴．
由题意可知AP=t，AQ=5﹣t，0≤t≤5．
当∠APQ=90°时，，
∴，
解得．
二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移） 1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式． （3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△ND D1面积的2倍，求点N的坐标．
2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=m x2+2mx+n上． （1）求m、n； （2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式； （3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．
3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a 角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中， （1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为； （2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）； （3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标； （4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．
4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=a x2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题： （1）求出该抛物线所表示的函数解析式； （2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由； （3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．
二次函数专题 ——之体会翻折之美 投石问路： 已知函数 y x 24x3 （1）试写出分段函数的解析式 （2）求出 y 随 x 增大而增大的自变量取值范围。 1.已知，二次函数y - x2bx c 的图像过点A（1，0）和C（0，2） （1）求二次函数的表达式及对称轴 （2）将二次函数 y - x 2bx c 的图像在直线y=1 上方的部分沿直线y=1 翻折，图像其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G，点 M （m，y1）在图像 G 上，且 y1≥0，求m的取值范围。 y O X
2.抛物线y x22mx m2 4 与x轴交于A,B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于 点C，抛物线的对称轴为 x=1. （1）求抛物线的表达式 （2）若 CD ∥x 轴，点 D 在点 C 的左侧， CD= 1 AB, 求点 D 的坐标 2 （ 3）在（ 2）的条件下，将抛物线在直线x=t 右侧的部分沿直线 x=t 翻折后的图像记为 G，若图像 G 与线段 CD 有公共点，请直接写出t 的取值范围 y y O X O X
3.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C1 : y x 2bx c 经过点C（2，-3）,且与x轴的一个交点为 B （ 3， 0） （ 4）求抛物线C1的表达式 （ 5） D 是抛物线C1与 x 轴的另一个交点，点 E 的坐标为（ m， 0），其中 m＞ 0，△ ADE 的面积为21 。4 ①求m的值 ②将抛物线C1向上平移n 个单位，得到抛物线C2，若当0≤x≤m时，抛物线 C2与 x 轴只有一个公共点，结合函数的图像，求n 的取值范围。 y y O X O X
基础知识反馈卡·22.1.1 时间：10分钟满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．若y＝mx2＋nx－p(其中m，n，p是常数)为二次函数，则() A．m，n，p均不为0 B．m≠0，且n≠0 C．m≠0 D．m≠0，或p≠0 2．当ab>0时，y＝ax2与y＝ax＋b的图象大致是() 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．若y＝x m－1＋2x是二次函数，则m＝________. 4．二次函数y＝(k＋1)x2的图象如图J22-1-1，则k的取值范围为________． 图J22-1-1
三、解答题(共11分) 5．在如图J22-1-2所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数 y ＝2x 2 和y ＝－12 x 2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边 长为1)： 图J22-1-2 (1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； (2)抛物线y ＝2x 2，当x ______时，抛物线上的点都在x 轴的上方，它的顶点是图象的最______点； (3)函数y ＝－12 x 2 ，对于一切x 的值，总有函数y ______0；当 x ______时，y 有最______值是______．
基础知识反馈卡·22.1.2 时间：10分钟 满分：25分 一、选择题(每小题3分，共6分) 1．下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( ) A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝(x ＋1)2 D ．y ＝(x －1)2 2．二次函数y ＝－x 2＋2x 的图象可能是( ) 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．抛物线y ＝x 2 ＋14 的开口向________，对称轴是________． 4．将二次函数y ＝2x 2＋6x ＋3化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式是________． 三、解答题(共11分) 5．已知二次函数y ＝－1 2 x 2＋x ＋4. (1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？
数学专题：二次函数与折叠问题 一﹑中考热点展望： 二次函数是中学数学中的重要内容，也是中考的必考内容，确定二次函数解析式以及顶点坐标及其他最值问题、开口方向问题、与其有关的存在型探究性问题是中考考查的“热点”；利用二次函数图象的性质求最值问题则是近几年我市的“高频”考点．近年来，平面直角坐标系中的折叠问题作为各地市中考压轴题的比重逐年增加．对折叠问题，学生并不陌生，但在直角坐标系中讨论，势必涉及函数的解析式和点的坐标，难度加大了，综合性增强了，凸显数形结合的思想，故而受到青睐．由此我们认为二次函数与折叠问题有可能成为我市今年中考的一个命题方向。 二﹑考点动向： 折叠问题在教材中有所体现，符合中考试题源于课本高于课本的基本命题理念，同时，折叠问题既可以考查学生的空间想象能力，也考查学生的动手能力及比较等思维方式。折叠问题与二次函数结合命题，既能使两者的知识点有机的柔和，又能提升试题档次，考察学生综合应用知识的能力。通过我们对近几年各地市此类试题的解读，我们认为从设计意图上来看，试题类型可以分为两类：⑴是以折叠为背景渗透柔和二次函数的知识，⑵以二次函数为背景渗透柔和折叠的知识 三﹑解题技巧与应考策略： 解决这类问题首先应对往年真题做出一些实质性的解读，真正感悟中考数学怎样考?考什么?要应用哪些知识点？怎样应用？以便我们指导学生如何解答此类题目，使学生不殊头，不怯考。用到的知识点主要有轴对称性质﹑勾股定理﹑特殊图形的性质﹑相似﹑函数性质等。 这类问题解决的思考应突出以下几点：①把背景图形研究清楚；②充分注意折叠的两部分全等，对称轴是任意对称两点连线的垂直平分线；③充分利用轴对称的性质和勾股定理；④动手折叠与想象相结合；⑤找准特殊图形，用好特殊图形的性质；⑥能发现图形中的一些特殊量，如特殊角，特殊关系等。 四﹑典例解读： ㈠以折叠为背景渗透柔和二次函数的知识： 例题1：对称轴不明确：（07宁德）已知：矩形纸片ABCD 中，26AB =厘米，18.5BC =厘米，点E 在AD 上，且6AE =厘米，点P 是AB 边上一动点．按如下操作： 步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN （如图1所示）； 步骤二，过点P 作PT AB ⊥，交MN 所在的直线于点Q ，连接QE （如图2所示） （1）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQ _________QE （填“>”、“=”、“<”号）； （2）如图3所示，将纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P 在A 点时，PT 与MN 交于点11Q Q ，点的坐标是（_______，_________）； ②当6PA =厘米时，PT 与MN 交于点22Q Q ，点的坐标是（_______，_________）； ③当12PA =厘米时，在图3中画出MN PT ，（不要求写画法），并求出MN 与PT 的交点3Q 的坐标；
与二次函数有关的动点问题 1. 已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A(x1，0)，B(x1，0)．与y轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，x1?x2＜0，|x1|＋|x2|＝4，点A，C在直线y2＝－3x2＋t上． (1)求点C的坐标； (2)当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围； (3)将抛物线y1向左平移n(n＞0)个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n 个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2－5n的最小值． 2.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． １
3.如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B 以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式； （2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形； （3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标； （4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 4.(14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标； （2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式； （3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标． ２
新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习知识点一：二次函数的定义 1．二次函数的定义： 一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数． 其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 知识点二：二次函数的图象与性质 ? 2. 二次函数()2 =-+的图象与性质 y a x h k （1）二次函数基本形式2 =的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小 y ax （2）2 =+的图象与性质：上加下减 y ax c
（3）()2 y a x h =-的图象与性质：左加右减
（4）二次函数()2 y a x h k =-+的图象与性质 3. 二次函数c bx ax y ++=2的图像与性质 （1）当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值 2 44ac b a -． （2）当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值 2 44ac b a -．
4. 二次函数常见方法指导 （1）二次函数2y ax bx c =++图象的画法 ①画精确图 五点绘图法（列表-描点-连线） 利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图. ②画草图 抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y 轴的交点，顶点. （2）二次函数图象的平移 平移步骤： ① 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ② 可以由抛物线2 ax 经过适当的平移得到具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”． （3）用待定系数法求二次函数的解析式 ①一般式：.已知图象上三点或三对、 的值，通常选择一般式. ②顶点式：.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. ③交点式： .已知图象与轴的交点坐标 、 ，通常选择交点式. （4）求抛物线的顶点、对称轴的方法 ①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ?? ? ??+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2- =. ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.
几何专题——折叠问题 折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。 题型一：根据折叠的性质求角度 例1如图1，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC′的度数为 度． 例2 （2011山东泰安）如图2，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC =3，则∠ACD= 。 例3 （2009湖北省荆门市）如图3，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（ ） A 、40° B 、30° C 、20° D 、10° 图1 图2 总结：（1）注意折叠前后的对应角相等；（2）注意折叠图形本身的性质。 题型二：根据折叠的性质求线段长度 例4 （2012武汉）如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠， 点A 恰好落在边BC 的点F 处．若AE=5，BF=3，则CD 的长是（ ） A 、7 B 、8 C 、9 D 、10 例5 （2012遵义）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF=1，FD=2，则BC 的长为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 例6 （2009年日照市）将三角形纸片（△ABC ）按如图9所示的方式折叠，使点B 落在边 AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点 的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是 ． 图4 图5 图6 总结：注意勾股定理和三角形相似与折叠问题的结合。 图3 A ' B D A C
备用图 二次函数中的翻折问题 1、．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=． （1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根； （2）关于x 的二次函数211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和 2(568)k k k -+-+，两点． ①求这个二次函数的解析式； ②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围． 2、 已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值； （2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132-+-=k x x y 的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式； （3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b =+与图象G 有3个公共点时，请你直接写出b 的取值范围.
3、关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ． （1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0； （2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的 值； （3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折， 得到新的函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．
第二十二章二次函数分析与教学建议 （一）．二次函数在初中数学教材中的分析 二次函数是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要的数学模型。二次函数也是某些单变量最优化问题的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一，喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径，同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等。和一次函数、反比例函数一样，二次函数也是一种非常基本的初等函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、体会函数的思想奠定基础和积累经验。 本章的主要内容有二次函数的概念、二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的应用。函数是数学的核心概念，也是初中数学的基本概念，函数不仅仅可以看成变量之间的依赖关系，同时，函数的思想方法将贯穿整个数学学习过程。学生在学习了正比例函数、一次函数和反比例函数之后学习二次函数，这是对函数及其应用知识学习的深化和提高，是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，起到承上启下的作用，为学生进入高中后进一步学习函数知识奠定基础。本章的内容在日常生活和生产实际中有着广泛的应用，是培养学生数学建模和数学思想的重要素材。 二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势，二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对理解函数的性质，掌握研究函数的方法，体会函数的思想是十分重要的，因此本章的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数图象，学会观察函数图象，借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题。本章的难点是体会二次函数学习过程中所蕴含的数学思想方法，函数图象的特征和变换有及二次函数性质的灵活应用。 （二）本章课时安排 本章教学时间约需15课时，具体安排如下： 22．1节二次函数…………………………7课时
模式1：平行四边形 分类标准：讨论对角线 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC // 例题1：（山东省阳谷县育才中学模拟10）本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标. 练习：图1，抛物线322 ++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ． （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．
模式2：梯形 分类标准：讨论上下底 例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况 （1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC // 例题2：已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-， ，直线x y 3 2 -=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)抛物线c bx ax y ++=2 经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 练习：已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ． （1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；
《二次函数》单元测试 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列函数中属于二次函数的是（ ） （A ）y ＝12x （B ）y ＝x 2＋1x ＋1 （C ）y ＝2x 2-1 （D ）y ＝x 2＋3 2．下列抛物线中与y ＝-12 x 2+3x -5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的是（ ） （A ）y ＝x 2+3x -5 （B ）y ＝-12x 2+2x （C ）y ＝12x 2+3x -5 （D ）y ＝12 x 2 3．抛物线y ＝(x -1)2＋5的对称轴是（ ） （A ）直线x ＝1 （B ）直线x ＝5 （C ）直线x ＝-1 （D ）直线x ＝-5 4．抛物线y ＝2x 2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( ) （A ）y ＝2(x -1)2-2 （B ）y ＝2(x ＋1)2-2 （C ）y ＝2(x ＋1)2＋2 （D ）y ＝2(x -1)2＋2 5．下列图象中，当ab ＞0时，函数y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象是( ) 6 2 D ）（0，-7）7c 0 0 8．二次函数y ＝2x 2＋x -1的图象与x 轴的交点的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 9．抛物线y ＝-2x 2-x ＋1的顶点在（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 10．一台机器原价为60万元，如果每年的折旧率为x ，两年后这台机器的价位为y 万元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ） （A ）y ＝60(1-x )2 （B ）y ＝60(1-x ) （C ）y ＝60-x 2 （D ）y ＝60(1+ x )2 二、填空题（每题3分，共30分） 1．若y ＝(a -1)231a x 是关于x 的二次函数，则a ＝ ． 2．抛物线 y ＝-2(x ＋1)2＋3的顶点坐标是 ． 3．对于函数y ＝x 2-3x ，当x ＝-1时，y ＝ ； 当y ＝-2时，x ＝ ． 4．如果一条抛物线的形状与y ＝-2x 2＋2的形状相同，且顶点坐标是(4，-2)，则它的解析式 是 ． 5．将抛物线y ＝13 x 2先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到y ＝ ． 6．抛物线y ＝x 2 ＋2x ＋3与y 轴的交点坐标为 ． 7．抛物线y ＝(m -2)x 2＋2x ＋(m 2-4) 的图象经过原点，则m ＝ ． 8．函数y ＝3x 2与直线y ＝kx ＋3的交点为(2，b )，则k ＝______，b ＝______． 9．直线y ＝2x +2与抛物线y ＝x 2+3x 的交点坐标为________． 10．用配方法把y ＝-x 2＋4x ＋5化为y ＝a (x -h )2＋k 的形式为y ＝ ，其开口方 （A ） （B ） （C ） （D ） （第7题）
二次函数单元检测卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、下列函数中属于二次函数的是（ ） A 、 12y x = B 、21 1y x x =++ C 、221y x =- D 、y =2、抛物线2(1)3y x =-+的对称轴是（ ） A 、直线1x = B 、直线3x = C 、直线1x =- D 、直线3x =- 3、抛物线21 5 y x =-不具有的性质是（ ） A.开口向下 B.对称轴是y 轴 C.与y 轴不相交 D.最高点是坐标原点 4、若A （1,413y - ），B （2,45y -），C （3,4 1 y ）为二次函数245y x x =+-的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( ) A 、123y y y << B 、213y y y << C 、312y y y << D 、132y y y << 5、抛物线221y x x =--+的顶点在（ ） A 、 第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 6、二次函数221y kx x =--的图象与x 轴有公共点，则k 的取值范围是（ ） A 、k>-1 B 、10k k ≥-≠且 C 、1k ≥- D 、10k k >-≠且 7、抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线( ) Ａ、23(1)2y x =-- Ｂ、23(1)2y x =+- C 、23(1)2y x =++ D 、23(1)2y x =-+ 8、已知二次函数22y x mx m =-+-1的图象经过原点，与x 轴的另一个交点A ，抛物线的顶点为B ，则△OAB 的面积为（ ） A 、32 B 、2 C 、1 D 、1 2 9、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线x=1,下列结论：
与二次函数有关的运动问题 1. 已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A(x1，0)，B(x1，0)．与y轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，x1?x2＜0，|x1|＋|x2|＝4，点A，C在直线y2＝－3x2＋t上． (1)求点C的坐标； (2)当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围； (3)将抛物线y1向左平移n(n＞0)个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n 个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2－5n的最小值． 2.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）； （3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积． １
3.如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B 以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式； （2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形； （3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标； （4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 4.(14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标； （2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式； （3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标． ２
二次函数测试题 一、选择题：（每题3分，共30分） 1、抛物线()322+-=x y 的顶点坐标是（ ） A （－2，3） B （2，3） C （－2，－3） D （2，－3） 2、抛物线21 323y x x =-+-与2y ax =的形状相同，而开口方向相反， 则a =（ ） A 13- B 3 C 3- D 1 3 3．二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。 4．抛物线122+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 5．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（ ） A ．2)1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2++=x y D ．2)1(2-+=x y 6．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论： ① 0a b c ++<；② 0a b c -+<；③20b a +<；④0abc >. 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①② 7．直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ） A.(0，0) B.(1，－2) C.(0，－1) D.(－2，1)
8．18.已知函数y=3x 2-6x+k(k 为常数)的图象经过点A(0.85,y 1)，B(1.1,y 2),C(2,y 3),则有( ) (A) y 1
第二十二章 二次函数 22．1 二次函数的图象和性质 第1课时 二次函数及y ＝ax 2的图象和性质 1．下列各式中，y 是x 的二次函数的个数为( ) ①y ＝2x 2＋2x ＋5；②y ＝－5＋8x －x 2；③y ＝(3x ＋2)(4x －3)－12x 2；④y ＝ax 2＋bx ＋c ；⑤y ＝mx 2＋x ；⑥y ＝bx 2＋1(b 为常数，b ≠0)． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 2．把160元的电器连续两次降价后的价格为y 元，若平均每次降价的百分率是x ，则y 与x 的函数关系式为( ) A ．y ＝320(x －1) B ．y ＝320(1－x ) C ．y ＝160(1－x 2) D ．y ＝160(1－x )2 3．若函数y ＝2 26a a ax －－是二次函数且图象开口向上，则a ＝( ) A ．－2 B ．4 C ．4或－2 D ．4或3 4．关于函数y ＝x 2的性质表达正确的一项是( ) A ．无论x 为任何实数，y 值总为正 B ．当x 值增大时，y 的值也增大 C ．它的图象关于y 轴对称 D ．它的图象在第一、三象限内 5．已知函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3(m 为常数). (1)当m __________时，该函数为二次函数； (2)当m __________时，该函数为一次函数． 6．二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象是______，当a >0时，开口向______；当a <0时，开口向______，顶点坐标是______，对称轴是______． 7．已知抛物线y ＝ax 2经过点A (－2，－8)． (1)求此抛物线的函数解析式； (2)判断点B (－1，－4)是否在此抛物线上； (3)求出抛物线上纵坐标为－6的点的坐标．
中考数学有关二次函数大题 1、（2007天津市）知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B （1，0），且经过点 C （2，8）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标。 2、（2007贵州省贵阳）二次函数 2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如 图1所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程2 0ax bx c ++=的两个根．（2分） （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（2分） （3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（2分） （4）若方程2 ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．（4分 3、（2007河北省）如图2，已知二次函数 24y ax x c =-+的图像经过点A （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离．
4、（2008?茂名）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（0，﹣4）、 B（x1，0）、C（x2，0）三点，且x2﹣x1=5． （1）求b、c的值； （2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形； （3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形；若不存在，请说明理由． 5、（2008?宁波）如图4，平行四边形ABCD中，AB=4，点D的坐标是（0，8），以点C为顶点的抛物线y=ax2+bx+c经过x轴上的点A，B． （1）求点A，B，C的坐标； （2）若抛物线向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的解析式 ．
专项训练三 二次函数 一、选择题 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝ax 2＋bx ＋c C ．s ＝2t 2－2t ＋1 D ．y ＝x 2＋1x 2．二次函数y ＝x 2＋4x －5的图象的对称轴为( ) A ．x ＝4 B ．x ＝－4 C ．x ＝2 D ．x ＝－2 3．将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得的抛物线解析式为( ) A ．y ＝－2(x ＋1)2 B ．y ＝－2(x ＋1)2＋2 C ．y ＝－2(x －1)2＋2 D ．y ＝－2(x －1)2＋1 4．某种正方形合金板材的成本y (元)与它的面积成正比，设边长为x cm.当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为( ) A ．6cm B ．12cm C ．24cm D ．36cm 5．(兰州中考)点P 1(－1，y 1)，P 2(3，y 2)，P 3(5，y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是( ) A ．y 3＞y 2＞y 1 B ．y 3＞y 1＝y 2 C ．y 1＞y 2＞y 3 D ．y 1＝y 2＞y 3 6．(毕节中考)一次函数y ＝ax ＋b (a ≠0)与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) 7．(兰州中考)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，对称轴是直线x ＝－1，有以下结论： ①abc ＞0；②4ac ＜b 2；③2a ＋b ＝0；④a －b ＋c ＞2.其中正确的结论的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC 、 BC ，则tan ∠CAB 的值为( ) A.12 B.55 C.255 D ．2 二、填空题 9．(河南中考)已知A (0，3)，B (2，3)是抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 上两点，该抛物线的顶点坐标是________． 10．若二次函数y ＝x 2＋2x ＋m 的图象与x 轴没有公共点，则m 的取值范围是________． 11．(大连中考)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A 、B (m ＋2，0)，与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是________． 第11题图 第14条图 12．(台州中考)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向
翻折规律 1 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 2 y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---； ()2 y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称 2 y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2 y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =++； 3. 关于原点对称 2 y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2 y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是 ()2 y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称 2 y a x b x c =++关于顶点对称后，得到的解析式是2 2 2b y ax bx c a =--+- ； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2 y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ， 对称 ()2 y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()2 22y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 操练： 5.（2014?娄底27．（10分））如图甲，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4cm ，BC=3cm ．如果点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 匀速运动，同时点Q 由点A 出发沿AC 方向向点C 匀速运动，它们的速度均为1cm/s ．连接PQ ，设运动时间为t （s ）（0＜t ＜4），解答下列问题： （1）设△APQ 的面积为S ，当t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？ （2）如图乙，连接PC ，将△PQC 沿QC 翻折，得到四边形PQP ′C ，当四边形PQP ′C 为菱形时，求t 的值；′ （3）当t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？
九年级数学（人教版）下学期单元试卷（一） 内容： 满分：100分 一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（ ） =(x －1)(x+2) = 2 1(x+1)2 C. y=1－3x 2 D. y=2(x+3)2 －2x 2 2. 函数y=-x 2 -4x+3图象顶点坐标是（ ） A.（2，-1） B.（-2，1） C.（-2，-1） D.（2， 1） 3. 抛物线()122 1 2++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1） 4. y=(x －1)2 ＋2的对称轴是直线（ ） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=1 5．已知二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 6. 二次函数y ＝x 2 的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A. y ＝x 2 ＋3 B. y ＝x 2 －3 C. y ＝(x ＋3)2 D. y ＝(x －3)2 7．函数y=2x 2-3x+4经过的象限是（ ） A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（ ） A ．二次函数y=3x 2 中，当x>0时，y 随x 的增大而增大 B ．二次函数y=－6x 2中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大 D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2 (a ≠0)的顶点一定是坐标原点 9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2 ＋的一部分，若命中篮 圈中心，则他与篮底的距离l 是（ ）