（六）T波分析
主要介绍什么样的T波是正常的，什么样的T波是异常的，及异常T波的常见临床意义。
1
T波的定义
什么是T波？T波是心室的复极波，代表左右心室的复极电位。单相动作电位显示T波对应于快速复极相[3]相。也就是说T波是心室3相快速复极所形成的复极波。
上次讲了ST段在单相动作电位显示ST段对应于缓慢复极相[2]相。单相动作电位显示QRS对应于快速复极相【0】与[1]相。这次讲单相动作电位显示T 波对应于快速复极相[3]相。----这就是动作电位曲线与心电图的关系。
图3-144
动作电位与心电图的关系图
通过这个图可以清楚看出T波对应于动作电位曲线的3相快速复极相。
分析T波要从方向、形态及高度去分析。一般教科书上都是描述为T波方向与QRS波方向一致，电压大于1/10R。这是总原则。具体来说按照黄宛的临床心电图学第五版上的标准还是比较合理。但描述较繁琐一些。下面是黄宛的分析描述：
“正常人的I、II标准导联中的T波几乎都是直立的，而TIII则可能是直立、平坦、双向，甚至倒置。在单极肢导联中，TaVR无例外是倒置的。但在aVL 及aVF中T波是否直立，却因QRS波群而异。如aVL或aVF的QRS基本是直立的，并且R波电压高于0.5mV，则其T波一般是直立的。相反，aVL或aVF的QRS系rS、QS或呈小的综合波形时，其T波可能是平坦或倒置的。但一般说来，其倒置深度不应超过0.25mV。
正常成年人的V1甚至V3导联中T波也可能是倒置的，其深度一般不应超过0.25mV，至多也不超过0.4mV（一些书认为不超过0.5mV）。在幼儿中则甚至是TV4仍可能是倒置的，但是在成年人中一般自V3及以左的导联不应有倒置的T 波。更重要的一点是，如在V3中发现倒置的T波，它的右侧的导联（V1,V2）中不应有直立的T波。例如V3的T波是倒置的，则在V1,V2中若有直立的T波，便视为不正常。在正常6个胸壁导联V4-V6中T波应是直立的，TV3虽然往往是直立的，但在瘦高的年轻人或妇女中，TV3可以浅浅的倒置。
直立的T波，其正常形态是圆滑而有个顶端，但此顶端却不显得高耸，而是很自然的。T波一般不十分对称，升支始自ST段末，自等电位线斜长的升至顶端，又较升支略为陡斜地下滑至等电位线。
T波的高度，因导联不同而异。总之，它在肢体导联中很少超过0.5mV，在胸导联中也很少超过1.0mV。异常高尖的T波往往出现在心肌梗死的最早期或高血钾症”。
以上是黄宛的临床心电图学上对T波的描述。
其它一些书本、词典中往往还有：正常T波的TV1
摘自马向荣“临床心电图学词典”：
正常T波形态呈圆钝状，无挫折与切迹，其近支由基线缓慢上升达顶点，随即迅速下降，故T波两支不对称。T波方向应该和QRS主波方向一致，即在I、II、V4-V6导联中T波直立。aVR导联T波倒置，在aVL与aVF导联中若QRS波群主波向上且R波大于0.5mV时，则T波一般是直立的，若QRS波群主波向下，则T 波低平或倒置。III、V1-V3导联变异较多，T波可以直立、平坦、双向或倒置。V3导联通常直立，若V3导联T波倒置，其倒置深度不应超过0.25mV，最多不超过0.4mV，且V1V2不应有直立的T波。T波的振幅在以R波为主的导联应超过同导联R波振幅的1/10。心前导联T波可以高达1.2-1.5mV，但V1不应超过0.4mV。aVR可以深达0.6mV，aVL、aVF可高达0.4-0.5mV。
基本是大同小异
我为了大家记忆方便把正常T波诊断标准总结为以下几点：
（1）正常T波顶圆钝，升支缓慢，降支陡峭。
（2）aVR导联必需倒置。
（3）I、II、V4~V6导联应正向并＞1/10R。
（4）aVL、aVF（含V3）导联以R波为主，R波电压大于0.5mV时必须正向。
（5）III、V1、V2导联可正向、低平、双向或倒置。
（6）允许倒置的T波，在aVR、V1导联深度≤0.5mV。其它导联还要浅一些；肢导联正向T波一般≤0.5mV，胸导联正向T波电压应在1.0mV内，但V1导联T 波正向时，电压不应超过0.4mV。
（7）其它：右侧胸导联T波正向后，其左侧胸导联不能低平、双向及倒置；正常TI＞TIII、TV6＞TV1；
图3-145
T波正常心电图：
本图T波（1）aVR导联倒置。（2）I、II、V4~V6导联应正向并＞1/10R。（3）V3、aVF导联以R波为主所以也正向。（4）III、aVL正向电压稍低，V1导联倒置。（5）TI＞TIII、TV6＞TV1。（6）允许倒置的T波，aVR、V1导联深度<0.5mV。肢导联正向T波<0.5mV，胸导联正向T波电压在1.2mV内， T波顶圆钝，符合升支缓慢，降支陡峭特征，所以这份心电图的T波是正常T波。
发报告可以这样描述：aVRV1导联倒置，余正向。（如有双向的T波，放在两者之间）。描述时一般先描述aVR导联。
注意：对于一般教科书上所说的T波方向与QRS方向一致。笼统上可以这么说。实际对于成人，当胸导联T波全部都直立后，就要注意，V1V2以S波为主，但其T波正向也是正常的，只是V1导联的T波的电压一般不超过0.4mV，且要低于V5V6导联的T波就可以视为正常。
也就是说只要V1V2以S波为主，其T波正向，就不符合T波方向与QRS方向一致了！
但目前有一种新观点是：V1导联的T波不能是正向的，一旦正向，就考虑右冠状动脉有病变了！到底做了几例研究，就把前人几十年的看法推翻了，不得而知！建议有条件做心血管造影的注意总结得出的结果左右意义。病例不能少于100例，能有1000例以上最好！
2
T波改变
凡不符合上述正常T波标准的心电图，都诊断为T波改变
近来有所谓2009年新标准：T波异常①T波倒置：I、II、aVL、V2～V6 导联T波倒置，振幅在0．1～一0．5 mV。②T波深倒置：I、Ⅱ、aVL、V2～ V6 导联T波倒置，振幅一0．5～一1．0 mV。③ 巨大倒置T波：I、II、aVL、V2～V6 导联T波倒置，振幅>～1．0 mV。④T波低平：T波振幅低于同导联R波振幅的1／10。⑤T波平坦：I、lI、aVL、V2～V6导联T波振幅在0．1～一0．1 mV，而I、II、aVL导联R波振幅>0．3 mV。
图3-146
T波改变心电图
本图为冠心病患者的一次心电图。其T波在aVR导联呈负正双向，II、aVF、V1-V3导联正向，I、aVL、V5、V6导联倒置，V4导联正负双向。完全不符合正常T波诊断标准。故本图诊断T波改变。
有些学员说：临床医师要求我们诊断T波倒置，不要诊断T波改变。
我以为，还是诊断T波改变好。因为R波为主的导联T波倒置是不正常的，而此时往往应该倒置的aVR变成正向或双向了。其次，以S波为主的导联T波倒置往往是正常的，统一诊断T波倒置就不确切了。
但在描述心电图特征时要具体描述清楚。哪个导联倒置，哪个导联双向低平，哪些导联正向。这份图如果是描述就这样描述：aVR、V4分别负正或正负双向，I、aVL、V5、V6倒置，余正向。
T改变的意义：T波是心室复极波。复极异常可引起T波改变。引起复极异常可见于原发性与继发性两类。
继发性T波异常：是指继发于除极异常的病变，如室内传导阻滞、心室肥大伴劳损、预激征侯群、起搏心电图及室性异位搏动。T波方向、电压改变的意义与ST段压低相似，多同时伴ST段压低，通常与ST段改变一起考虑属于继发性ST-T波异常。但倒置过深，像前面讲的②T波深倒置与③
巨大倒置T波或倒置T波两支对称时还要结合实际给予诊断，要考虑同时有T 波原发性改变
原发性T波改变：可见于下列情况：
1、
T波增高。T波增高是指T波在肢导联＞0.5-0.6mV，胸导联＞1.5mV。常常称巨大T波或T波高耸。
T波增高可见于：
1）
部分正常人，主要见于体质较好、心率较慢的青壮年人。
2）
急性心肌梗死。主要在超急性期，表现为T波高大伴ST段斜上型抬高。
3）
高血钾，特别呈窦室传导时，两肢可不对称，顶可变较圆钝。
4）
脑血管意外的T波呈高耸宽大。
5）早期复极综合征的高大T波伴ST段凹面上抬及伴有J波，且R波电压相对增高，T波符合升肢缓慢,降肢陡峭特征。
2、
R波为主导联T波低平＜1/10R、双向、倒置一般见于：
①
各种心肌缺血。包括冠心病、心肌梗死、血容量减少及严重贫血等。冠心病的T 波改变一般能定位，表现为时而正常，时而异常，常与ST段压低相伴，典型患者伴劳力性心绞痛。T波倒置深达0.6mV以上，顶尖、两肢对称时称冠状T波。血容量减少者常有明确原因，如分娩大出血、外伤出血等。其T波段改变一般无定位特征，一般与ST段压低相伴，这是心肌绝对缺血。
②
心肌损害。各种心肌病、心肌炎、心包炎、中毒等损害心肌，可使心肌复极异常产生T波改变。
③
低血钾。轻度低血钾心电图可仅表现为T波切迹、顶圆钝、低平，较重者T波倒置伴ST段压低及U波增高。
④
植物神经调节异常。心脏β-受体高敏症的T波异常大多数伴心动过速，同时有其它植物神经调节紊乱的症状。
⑤
劳损性T波异常，即心脏肥大致继发性T波异常，T波降肢缓慢，升肢陡峭。T 波改变应出现在以R波为主导联，以S波为主导联应正常或稍增高。
⑥
其它：药物作用、体位改变、显著心动过速、冷饮也可见到T波改变。特别应排除上述良性T波异常。
一般认为劳损性T波异常属于心肌相对缺血，当然还有负荷过重造成的心肌损伤，部分也可能同时合并冠状动脉狭窄造成绝对缺血。
由此可见，T波改变的意义更要密切结合临床，不可随便下心肌缺血。或符合心肌缺血改变。
下面再具体举一些T波改变的例子予以说明。
图3-147
T波改变心电图:
本图为高血压性心脏病患者的心电图。在aVR导联T波正向， R波为主的导联除aVF导联外，T波均不正常。II导T波切迹，I、aVL、V4-V6导联倒置、V3导联正负双向。V2导联QRS虽呈S波为主，但V1已正向，V2呈双向也属不正常。
这种图的T波与正常完全相反了，正常该正向的它倒置，正常该倒置或可能倒置的它正向了！而且部分R波为主导联伴有ST段改变
象这样的图，病因明确，除T波改变外，还有ST段改变，发报告时必须描述交代清楚。其左室电压不高，能否下左室肥大？我以为可以提示左室肥大伴劳损。不直接下诊断好。
这份图的T波可以这样描述：aVR、III、aVF正向，II低平且迹，V2、V3正负双向，余倒置。
图3-148
幼年性T波
本图为1岁小儿常规体检时的记录的心电图，该患儿心脏正常。心电图示：V1-V4导联T波倒置，余各导联T波均符合正常T波标准。
幼年性T波的V5V6导联的T波一般应该正常，偶见V5稍低平一些
幼年型T波"或"单纯T波倒置综合征"。是一种T波正常的变异。V1～V4导联的T波在婴儿及儿童时期可以倒置。
图3-149
持续幼年性T波:
持续幼年性T波: 胸导联V1~V4导联的T波在婴儿及儿童时期可以倒置。当这些导联的倒置T波持续到成年人仍未直立，称持续幼年性T波。通常深吸气末记录心电图可使倒置的V3、V4导联T波转直立。本图：女，23岁，孕妇,无其它疾病。
持续性幼年型T波(persistent juvenile pattern Twave)，亦称"幼年型T 波"或"单纯T波倒置综合征"。是一种T波正常的变异。V1～V4导联的T波在婴儿及儿童时期可以倒置。当此种导联倒置的T波持续到成年期仍未直立时，称为持续性幼年型T波。心电图表现为V1-V4导联的T波倒置。深吸气时可使倒置的T波转为直立。由于持续性幼年型T波的病人无心脏病证据，因此有人认为，此
种心电图改变可能为未被肺叶覆盖的心脏切迹（cardiac notck）部位的局部电位所致。因从心外膜记录的局部心电图常表现为负向T波，而心脏切迹被肺叶覆盖的面积相当于V2-V4导联所对向的区域，当此区域未被肺叶覆盖，V1-V4导联的T波倒置。而深吸气时肺叶膨胀将心脏切迹覆盖，故可使V1-V4导联倒置的T 波变为直立。这种局限性T波倒置改变，常可造成临床诊断上的错误，所以凡遇到局限性T波改变，特别是V1-V4导联改变时，要排除持续性幼年型T波。
（摘自马向荣编著都本洁审校的“临床心电学词典”）
这里讲到深吸气时肺叶膨胀将心脏切迹覆盖，故可使V1-V4导联倒置的T 波变为直立。---好象不容易做到。多数病人不配合！
图3-150
正常巨大T波
注意这幅图的定标是1mV=5mm的。
在早复征中这样高大的T波还是常见到的。是否诊断巨大T波，我的意见可以诊断，但最好提示早复征引起的可能性大，请结合临床。
本图诊断早期复极综合征。V4、V5导联T波电压高达2.4~3.1mV。T波升支缓慢，降支陡峭，符合正常T波特征。病人心脏无异常。
T波升支缓慢，降支陡峭，符合正常T波或正常变异T波特征。这点很重要！
图3-151
高血钾性T波
高血钾性T波，一般各导联T波尖窄，两肢对称。肢导＞0.6mV,胸导联＞1.2mV。多是胸导联V2-V4导联T波明显增高！
本图心率127次/分，Q-T间期0.31s， Q-Tc 0.43s，V2~V4 导联T波基底窄，电压高达2.2mV~2.8mV，II导联达到0.8mV。
本图血钾图为6.9mmol/L。
图3-152
明显高血钾性巨大T波
本图各导联T波尖窄，两肢对称。V2、V3导联电压高达1.5mV~ 1.9mV，II、aVF导联0.7mV，同时有QRS增宽达0.16s。各导联P波较低平的高血钾心电图特征！
图3-153
高血钾巨大T波-窦室传导：该患者的血钾8.8mmol/L，全图看不清P波，心室率80次/分，QRS时限0.26秒。
本图高血钾T波高大，两支基本对称，但电压高的程度不一定与血钾高的程度平行的！
这份图QRS明显增宽，P波消失，T波高大且呈尖形，又是见于尿毒症患者，可以诊断窦室传导
明确肾衰病史患者，高血钾8.8，QRS宽大达到0.26秒，肢导联T波也高大明显，没有看到P波，R-R也基本整齐。
由于没有看到P波，主导心律是窦律还是房速，都不重要了！一般考虑窦室传导！
窦室传导是由于心房肌因高血钾麻痹，失去电动力或除极产生的向量很小，窦房结的激动直接从窦房结下传至心室，引起心室除极，称窦室传导！
缺血性T波
缺血性T波（ischaemictype Twave change）是冠状动脉机能不全的直接心电图表现之一。指冠状动脉机能不全出现心肌缺血时的T波改变。心肌缺血的T波改
变根据缺血程度和部位（心内膜下心肌缺血与心外膜下心肌缺血）不同可有不同的表现。心肌缺血引起的缺血性T波改变主要为影响T波的形态、幅度及方向。其心电图表现有如下特征：
缺血性T波的心电图特征：
1）T波的升支与降支对称，其初始角度（ST段与T波升支所构成的角度）与终止角度（T波降支与基线之间所构成的角度）相等。
2）T波的基底部变窄。
3）T波电压增高，也可以低平双向或为倒置（倒置较深），不论直立或倒置，T波均具有上述特征，直立或倒置T波的顶峰或底端明显变尖呈箭头样表现。
4）ST段与T波有明确的交接点。此外，还有能定位、有动态改变与对应（导联）改变。所谓的冠状T波就是倒置的缺血性T波。
图3-154
急性心肌梗死的巨大正向缺血性T波与T波与ST段构成单项曲线图
本图为急性下壁心肌梗死当天记录心电图，V2-V4导联T波高达1.4-1.9mV。
急性心肌梗死，细胞内钾大量出细胞外，使局部血钾明显升高，从而出现类似高钾T波。
这份图可以诊断三度AVB吗？
下壁心肌梗死容易合房室传导阻滞！
按照现在一些人的观点，凡能转为下传的都不算！
因为这个患者没有过几分钟就呈二度1AVB了！
我的看法照下三度AVB诊断，后面转二度是另一回事！
这里的传导阻滞是因梗死，局部缺血，水肿而出现暂时的传导阻滞！
图3-155
冠状T波：
冠状T波：一般见于急性心肌梗死演变过程中，没有心肌梗死者要考虑有慢性冠状动脉供血不足的可能。
冠状T波表现为顶尖窄、两支对称的倒置T波，电压一般在0.5mV以上。本图为急性下壁梗死第三天记录的心电图。
书本上冠状T波没有电压一般在0.5mV以上的说法，是我加上去的。一般书本描述的冠状T波要求，倒置T波两支对称，顶较尖即可下诊断。但我认为没有达到0.5mV的与正向同时有两支对称的T波称为缺血性T波较好。
正向同时有两支对称的T波，也属于缺血性T波。当然要除外高血钾T波！
图3-156
巨大倒置T波
本图为急性外伤性心肌梗死第9、13天时记录图。第13天图V2-V5导联T 波深度倒置，呈顶尖、两肢对称，其中V3、V4导联倒置深度达1.8~ 2.0 mV，符合冠状T波诊断标准。
讨论
山羊老师你好，请问：
图3-147 如果不知道病人有高血压病史，那么主要考虑它是劳损性T波异常还是心肌缺血？似乎前壁导联和侧壁导联出现比较明显的T波倒置。
T波是不是可以认为是所有心室细胞3期动作电位的叠加（带方向）？如果是的话为什么早期复极综合征T波振幅会增加呢，部分提前复极了，T波不是要下降了么？
--------------图3-147图还是考虑缺血型T波异常，因为两支基本对称，没有劳损性下斜型ST段压低，而且基本可以定位---前侧壁T波异常。注意T波改变不是所有心室细胞3相动作电位的叠加（带方向），请看看心电图形成二次成像机理是一样的。至于早期复极综合征T波振幅增加的机理我不是很理解，希望谁掌握好提供帮助吧？----山羊
附：这里提供几份陈旧性前壁心肌梗死的横面QRS-T环，中间黄色的是T波。供参考。
00013-前壁MI向量图.JPG(66.72 KB, 下载次数: 4)
048841-周顺-男36岁-急性前壁梗死横面向量图.jpg(122.76 KB, 下载次数: 1)
N M P 单元过关测试 ----- 机械振动 本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷 1 至 4 页，第 II 卷 4 至 8 页， 共计 100 分，考试时间 90 分钟 第 I 卷（选择题 共 40 分） 一、本题共 10 小题；每小题 4 分，共计 40 分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项正确，全 部选对得 4 分，选对但不全得 2 分，有错选得 0 分. 1. 弹簧振子作简谐运动，t 1 时刻速度为 v ，t 2 时刻也为 v ，且方向相同。已知（t 2-t 1）小于周期 T ， 则（t 2-t 1） （ ） A ．可能大于四分之一周期 B ．可能小于四分之一周期 C ．一定小于二分之一周期 D ．可能等于二分之一周期 2. 有一摆长为L 的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将 被小钉挡住，使摆长发生变化，现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M 至左边最高点N 运动过程的闪 光照片，如右图所示，(悬点和小钉未被摄入)，P 为摆动中的最低点。已知每相邻两次闪光的时间间隔相等， 由此可知，小钉与悬点的距离为 （ ）A ．L /4 B ．L /2 C ．3L /4 D ．无法确定 3. A 、B 两个完全一样的弹簧振子，把 A 振子移到 A 的平衡位置右边 10cm ，把 B 振子移到 B 的平衡位 置右边 5cm ，然后同时放手，那么：（ ） A ．A 、 B 运动的方向总是相同的. B ．A 、B 运动的方向总是相反的. C ．A 、B 运动的方向有时相同、有时相反. D ．无法判断 A 、B 运动的方向的关系. 4. 铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行列车经过轨端接缝处时，车轮就 会受到一次冲击。由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动。普通钢轨长为 12.6m ，列车固有振动周期为 0.315s 。下列说法正确的是 （ ） A. 列车的危险速率为40m / s B. 列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象 C. 列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等 D ．增加钢轨的长度有利于列车高速运行 5．把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这 就做成了一个共振筛，筛子做自由振动时，完成 20 次全振动用 15 s ，在某电压下，电动偏心轮转速是 88 r /min.已知增大电动偏心轮的电压，可以使其转速提高，增加筛子的质量，可以增大筛子的固有周期，要 使筛子的振幅增大，下列做法中，正确的是（r /min 读作“转每分”） （ ） A.降低输入电压 B.提高输入电压 C.增加筛子的质量 D.减小筛子的质量 6．一质点作简谐运动的图象如图所示，则该质点 （ ） A. 在 0.015s 时，速度和加速度都为－x 方向 B. 在 0.01 至 0.03s 内，速度与加速度先反方向后同方向，且速度是先减小后 增大，加速度是先增大后减小。
第11章 多重线性回归分析 思考与练习参考答案 一、 最佳选择题 1. 逐步回归分析中，若增加自变量的个数，则（ D ）。 A. 回归平方和与残差平方和均增大 B. 回归平方和与残差平方和均减小 C. 总平方和与回归平方和均增大 D. 回归平方和增大，残差平方和减小 E. 总平方和与回归平方和均减小 2. 下面关于自变量筛选的统计学标准中错误的是（ E ）。 A. 残差平方和（残差SS ）缩小 B. 确定系数（2 R ）增大 C. 残差的均方（残差MS ）缩小 D. 调整确定系数（2 ad R ）增大 E. p C 统计量增大 3. 多重线性回归分析中，能直接反映自变量解释因变量变异百分比的指标为 （ C ）。 A. 复相关系数 B. 简单相关系数 C.确定系数 D. 偏回归系数 E. 偏相关系数 4. 多重线性回归分析中的共线性是指（ E ）。 A.Y 关于各个自变量的回归系数相同 B.Y 关于各个自变量的回归系数与截距都相同 C.Y 变量与各个自变量的相关系数相同 D.Y 与自变量间有较高的复相关 E. 自变量间有较高的相关性 5. 多重线性回归分析中，若对某一自变量的值加上一个不为零的常数K ,则有（ D ）。 A. 截距和该偏回归系数值均不变 B. 该偏回归系数值为原有偏回归系数值的K 倍 C. 该偏回归系数值会改变，但无规律 D. 截距改变，但所有偏回归系数值均不改变 E. 所有偏回归系数值均不会改变 二、思考题 1. 多重线性回归分析的用途有哪些？ 答：多重线性回归在生物医学研究中有广泛的应用，归纳起来，可以包括以下几个方面：定量地建立一个反应变量与多个解释变量之间的线性关系，筛选危险因素，通过较易测量的变量估计不易测量的变量，通过解释变量预测反应变量，通过反应变量控制解释变量。
单元检测 (时间：90分钟 满分：100分) 一、选择题(本题共10个小题，每小题4分，共40分) 图1 1．如图1所示，劲度系数为k 的轻弹簧一端挂在天花板上，O 点为弹簧自然伸长时下端点的位置．当在弹簧下端挂钩上挂一质量为m 的砝码后，砝码开始由O 位置起做简谐运 动，它振动到下面最低点位置A 距O 点的距离为l 0，则( ) A ．振动的振幅为l 0 B ．振幅为l 0 2 C ．平衡位置在O 点 D ．平衡位置在OA 中点B 的上方某一点 2．质点沿x 轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O ，质点经过a 点和b 点时速度相同， 所花时间t ab ＝0.2 s ；质点由b 点再次回到a 点花的最短时间t ba ＝0.4 s ；则该质点做简谐运动的频率为( ) A ．1 Hz B ．1.25 Hz C ．2 Hz D ．2.5 Hz 3．关于简谐运动的周期，以下说法正确的是( ) A ．间隔一个周期的两个时刻，物体的振动情况完全相同 B ．间隔半个周期奇数倍的两个时刻，物体的速度和加速度可能同时相同 C ．半个周期内物体动能的变化一定为零 D ．一个周期内物体势能的变化一定为零 4. 图2 如图2所示，三根细线于O 点处打结，A 、B 两端固定在同一水平面上相距为L 的两点 上，使AOB 成直角三角形，∠BAO ＝ 30°.已知OC 线长是L ，下端C 点系着一个小球(忽 略小球半径)，下面说法正确的是( ) A ．让小球在纸面内摆动，周期T ＝2π L /g B ．让小球在垂直纸面方向摆动，周期T ＝2π 3L /2g C ．让小球在纸面内摆动，周期T ＝2π 3L /2g D ．让小球在垂直纸面内摆动，周期T ＝2π L /g 5．如图3所示，
第十一章机械振动 11.3 简谐运动的回复力和能量 新课标要求 （一）知识与技能 1、理解简谐运动的运动规律，掌握在一次全振动过程中位移、回复力、加速度、速度变化的规律。 2、掌握简谐运动回复力的特征。 3、对水平的弹簧振子，能定量地说明弹性势能与动能的转化。 （二）过程与方法 1、通过对弹簧振子所做简谐运动的分析，得到有关简谐运动的一般规律性的结论，使学生知道从个别到一般的思维方法。 2、分析弹簧振子振动过程中能量的转化情况，提高学生分析和解决问题的能力。 （三）情感、态度与价值观 1、通过物体做简谐运动时的回复力和惯性之间关系的教学，使学生认识到回复力和惯性是矛盾的两个对立面，正是这一对立面能够使物体做简谐运动。 2、简谐运动过程中能量的相互转化情况，对学生进行物质世界遵循对立统一规律观点的渗透。 教学重点 1、简谐运动的回复力特征及相关物理量的变化规律。 2、对简谐运动中能量转化和守恒的具体分析。 教学难点 1、物体做简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度等变化规律的分析总结。 2、关于简谐运动中能量的转化。
教学方法 讨论与归纳、推导与列表对比、多媒体模拟展示 教学用具： CAI 课件 教学过程 （一）引入新课 教师：前面两节课我们从运动学的角度研究了简谐运动的规律，不涉及它所受的力。 我们已知道：物体静止或匀速直线运动，所受合力为零；物体匀变速直线运动，所受合力为大小和方向都不变的恒力；物体匀速圆周运动，所受合力大小不变，方向总指向圆心。那么物体简谐运动时，所受合力有何特点呢？ 这节课我们就来学习简谐运动的动力学特征。 （二）进行新课 1．简谐运动的回复力 （1）振动形成的原因（以水平弹簧振子为例） 问题：（如图所示）当把振子从它静止的位置O 拉开一小段距离到A 再放开后，它为什么会在A －O －A ＇之间振动呢？ 分析：物体做机械振动时，一定受到指向中心位置的力，这个力的作用总能使物体回到中心位置，这个力叫回复力。回复力是根据力的效果命名的，对于水平方向的弹簧振子，它是弹力。 ①回复力：振动物体受到的总能使振动物体回到平衡位置，且始终指向平衡位置的力，叫回复力。 回复力是根据力的作用效果命名的，不是什么新的性质的力，可以是重力、弹力或摩擦力，或几个力的合力，或某个力的分力等。 振动物体的平衡位置也可说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置。
第十一章 机械振动 1.单项选择题（每题3分，共30分） （1）将单摆的摆球从平衡位置向位移的正方向拉开，使摆线与竖直方向成微小角度? ，然后将摆球由静止释放。如果从放手时开始计时，并用余弦函数表示摆球的振动方程，则该单摆振动的初相为［ B ］ (A) π； (B) 0 ； (C) π/2 ； (D) ?。 （2）一个弹簧振子和一个单摆在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2，如果将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有［ D ］ (A) 11T T >'、22T T >'； (B) 11T T ='、22T T ='； (C) 11T T <'、22T T <'； (D) 11T T ='、22T T >'。 （3）一个弹簧振子的谐振子的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当重物通过平衡位置并且向规定的正方向运动时开始计时。则其振动方程为［ B ］ (A) )2(cos π-=t k m A x ； (B) )2(cos π -=t m k A x ； (C) )2( cos π+=t k m A x ； (D) )2 (cos π+=t m k A x 。 （4）某质点在x 轴上作简谐振动，振辐A =6cm ，周期T = 2s ，将其平衡位置取作坐标原点。 如果t = 0时刻质点第一次通过x = -3cm 处，并且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过x = -3cm 处的时刻为［ B ］ (A) 2s ； (B) (4/3) s ； (C) 1s ； (D) (2/3) s 。 （5）某质点作简谐振动的振动方程为)cos(αω+=t A x ，当时间t = 0.5T 时，质点的速度 为［ B ］ (A) αωcos A ； (B) αωsin A ； (C) αωcos A -； (D) αωsin A -。 （6）某质点沿x 轴作简谐振动，其振动方程为)4/π3cos(+=t A x ω，在图11-29中，表示该质点振动曲线的是［ A ］ （7）当作简谐振动的弹簧振子偏离平衡位置的位移大小为振幅的1/4时，其动能为振动总能量的［ A ］ (A) 15/16； (B) 13/16； (C) 11/16； (D) 9/16。 （8）一个作简谐振动的质点的振动方程为)cos(?ω+=t A x ，在求其振动动能时，得出如下面五个表达式，① )(sin 21222?ωω+t A m 、②)(c o s 2 1 222?ωω+t A m 、③ )s i n (212?ω+t kA 、④)(cos 2122?ω+t kA 、⑤)(sin π22222?ω+t mA T ，其中m 是质点的
精密全波整流电路 图中精密全波整流电路的名称,纯属本人命的名,只是为了区分;除非特殊说明,增益均按1设计.图1是最经典的电路,优点是可以在电阻R5上并联滤波电容.电阻匹配关系为R1=R2,R4=R5=2R3;可以通过更改R5来调节增益 图2优点是匹配电阻少,只要求R1=R2 图3的优点是输入高阻抗,匹配电阻要求R1=R2,R4=2R3 图4的匹配电阻全部相等,还可以通过改变电阻R1来改变增益.缺点是在输入信号的负半周,A1的负反馈由两路构成,其中一路是R5,另一路是由运放A2复合构成,也有复合运放的缺点. 图5 和图6 要求R1=2R2=2R3,增益为1/2,缺点是:当输入信号正半周时,输出阻抗比较高,可以在输出增加增益为2的同相放大器隔离.另外一个缺点是正半周和负半周的输入阻抗不相等,要求输入信号的内阻忽略不计 图7正半周,D2通,增益=1+(R2+R3)/R1;负半周增益=-R3/R2;要求正负半周增益的绝对值相等,例如增益取2,可以选R1=30K,R2=10K,R3=20K 图8的电阻匹配关系为R1=R2 图9要求R1=R2,R4可以用来调节增益,增益等于1+R4/R2;如果R4=0,增益等于1;缺点是正负半波的输入阻抗不相等,要求输入信号的内阻要小,否则输出波形不对称. 图10是利用单电源运放的跟随器的特性设计的,单电源的跟随器,当输入信号大于0时,输出为跟随器;当输入信号小于0的时候,输出为0.使用时要小心单电源运放在信号很小时的非线性.而且,单电源跟随器在负信号输入时也有非线性. 图7,8,9三种电路,当运放A1输出为正时,A1的负反馈是通过二极管D2和运放A2构成的复合放大器构成的,由于两个运放的复合(乘积)作用,可能环路的增益太高,容易产生振荡. 精密全波电路还有一些没有录入,比如高阻抗型还有一种把A2的同相输入端接到A1的反相输入端的,其实和这个高阻抗型的原理一样,就没有专门收录,其它采用A1的输出只接一个二极管的也没有收录,因为在这个二极管截止时,A1处于开环状态. 结论: 虽然这里的精密全波电路达十种,仔细分析,发现优秀的并不多,确切的说只有3种,就是前面的3种. 图1的经典电路虽然匹配电阻多,但是完全可以用6个等值电阻R实现,其中电阻R3可以用两个R并联.可以通过R5调节增益,增益可以大于1,也可以小于1.最具有优势的是可以在R5上并电容滤波. 图2的电路的优势是匹配电阻少,只要一对匹配电阻就可以了.
第十一章分类资料的回归分析 ――Regression菜单详解（下） （医学统计之星：张文彤） 在很久很久以前，地球上还是一个阴森恐怖的黑暗时代，大地上恐龙横行，我们的老祖先－－类人猿惊恐的睁大了双眼，围坐在仅剩的火堆旁，担心着无边的黑暗中不知何时会出现的妖魔鬼怪，没有电视可看，没有网可上... 我是疯了，还是在说梦话？都不是，类人猿自然不会有机会和恐龙同时代，只不过是我开机准备写这一部分的时候，心里忽然想到，在10年前，国内的统计学应用上还是卡方检验横行，分层的M-H卡方简直就是超级武器，在流行病学中称王称霸，更有那些1：M的配对卡方，N：M的配对卡方，含失访数据的N：M 配对卡方之类的，简直象恐龙一般，搞得我头都大了。其实恐龙我还能讲出十多种来，可上面这些东西我现在还没彻底弄明白，好在社会进步迅速，没等这些恐龙完全统制地球，Logistic模型就已经飞速进化到了现代人的阶段，各种各样的Logistic模型不断地在蚕食着恐龙爷爷们的领地，也许还象贪吃的人类一样贪婪的享用着恐龙的身体。好，这是好事，这里不能讲动物保护，现在我们就远离那些恐龙，来看看现代白领的生活方式。 特别声明：我上面的话并非有贬低流行病学的意思，实际上我一直都在做流行病学，我这样写只是想说明近些年来统计方法的普及速度之快而已。 据我一位学数学的师兄讲，Logistic模型和卡方在原理上是不一样的，在公 式推演上也不可能划等号，只是一般来说两者的检验结果会非常接近而已，多数情况下可忽略其不同。 §10.3 Binary Logistic过程 所谓Logistic模型，或者说Logistic回归模型，就是人们想为两分类的应变量作一个回归方程出来，可概率的取值在0~1之间，回归方程的应变量取值可是在实数集中，直接做会出现0~1范围之外的不可能结果，因此就有人耍小聪明，将率做了一个Logit变换，这样取值区间就变成了整个实数集，作出来的结果就不会有问题了，从而该方法就被叫做了Logistic回归。 随着模型的发展，Logistic家族也变得人丁兴旺起来，除了最早的两分类Logistic外，还有配对Logistic模型，多分类Logistic模型、随机效应的Logistic模型等。由于SPSS的能力所限，对话框只能完成其中的两分类和多分类模型，下面我们就介绍一下最重要和最基本的两分类模型。
高中物理第十一章 机械振动总结 一、机械振动： （一）简谐运动： 1、简谐运动的特征： 1）运动学特征：振动物体离开平衡位置的位移随时间按正弦规律变化 在振动中位移常指是物体离开平衡位置的位移 2）动力学特征：回复力的大小与振动物体离开平衡的位移成正比， 方向与位移方向相反（指向平衡位置） kx F -= ①回复力：使振动物体回到平衡位置的力叫做回复力。 ②回复力是根据力的效果来命名的。 ③回复力的方向总是指向平衡位置。 ④回复力可以是物体所受的合外力，也可以是几个力的合力，也可以是一个力，或者某个力的分力。 ⑤由回复力产生的加速度与位移成正比，方向与位移方向相反x m k a -= ⑥证明一个物体是否是作简谐运动，只需要看它的回复力的特征 2、简谐运动的运动学分析： 1）简谐运动的运动过程分析： （1）常用模型：弹簧振子（其运动过程代表了简谐运动的过程） （2）运动过程： 简谐运动的基本过程是两个加速度减小的加速运动过程和两个加速度增大的减速运动过程 （3）简谐运动的对称性： 做简谐运动的物体在经过关于平衡位置对称的两点时，两处的加速度、速度、回复力大小相等 （大小相等、相等）。动能、势能相等（大小相等、
相等）。 2）表征简谐运动的物理量： （1）振幅：振动物体离开平衡位置的最大距离叫做振动的振幅。 ①振幅是标量。 ②振幅是反映振动强弱的物理量。 （2）周期和频率： ①振动物体完成一次全振动所用的时间叫做振动的周期。 ②单位时间内完成全振动的次数叫做全振动的频率。 它们的关系是T=1/f 。 在一个周期内振动物体通过的路程为振幅的4倍；在半个周期内振动物体通过的路程为振幅2倍；在1/4个周期内物体通过的路程不一定等于振幅 3）简谐运动的表达式：)sin(?ω+=t A x 4）简谐运动的图像： 振动图像表示了振动物体的位移随时间变化的规律。 反映了振动质点在所有时刻的位移。 从图像中可得到的信息： ①某时刻的位置、振幅、周期 ②速度：方向→顺时而去；大小比较→看位移大小 ③加速度：方向→与位移方向相反；大小→与位移成正比 3、简谐运动的能量转化过程： 1）简谐运动的能量：简谐运动的能量就是振动系统的总机械能。 ①振动系统的机械能与振幅有关，振幅越大，则系统机械能越大。 ②阻尼振动的振幅越来越小。 2）简谐运动过程中能量的转化： 系统的动能和势能相互转化，转化过程中机械能的总量保持不变。
机械振动 时间：90分钟 分值：100分 一、选择题(1～5题为单选，6～10题为多选，每小题4分，共40分) 1．对于做简谐运动的弹簧振子，下述说法中不正确的是( B ) A ．振子通过平衡位置时，速度最大 B ．振子在最大位移处时，加速度最小 C ．振子在连续两次通过同一位置时，位移相同 D ．振子连续两次通过同一位置时，动能相同，机械能相同 解析：振子经过平衡位置时加速度为零，但速度最大，选项A 正确；振子在最大位移处时速度为零，但加速度最大，选项B 错误；同一位置相对于平衡位置的位移相同，选项C 正确；动能是标量，振子经过同一位置时速度的大小相同，则动能相同，选项D 正确． 2．做简谐运动的物体，其位移随时间的变化规律为x ＝2 sin(50πt ＋π 6)cm ，则下列 说法正确的是( D ) A ．它的振幅为4 cm B ．它的周期为0.02 s C ．它的初相位是π 3 D ．它在1 4 周期内通过的路程可能是2 2 cm 解析：对照简谐运动的一般表达式x ＝A sin(2πT t ＋φ)知A ＝2 cm ，T ＝0.04 s ，φ＝π 6， 故ABC 错；由表达式可以看出振动物体从相位为3π4到相位为5π4这1 4 周期内通过的路程为2 A ，故D 正确． 3．如图所示，弹簧振子在M 、N 之间做简谐运动．以平衡位置O 为原点，建立Ox 轴．向右为x 轴正方向．若振子位于N 点时开始计时，则其振动图象为( A ) 解析：由题意，向右为x 轴的正方向，振子位于N 点时开始计时，因此t ＝0时，振子的位移为正的最大值，振动图象为余弦函数，A 项正确．
高中物理学习材料 （马鸣风萧萧**整理制作） 选修3-4第十一章机械振动试题 本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共计100分。考试时间90分钟。 第I 卷（选择题 共40分） 一、本题共10小题；每小题4分，共计40分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项正确，全部选对得4分，选对但不全得2分，有错选得0分. 1．弹簧振子作简谐运动，t 1时刻速度为v ，t 2时刻也为v ，且方向相同。已知（t 2-t 1）小于周期T ，则（t 2-t 1） （ ） A ．可能大于四分之一周期 B ．可能小于四分之一周期 C ．一定小于二分之一周期 D ．可能等于二分之一周期 2．有一摆长为L 的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被小钉挡住，使摆长发生变化，现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M 至左边最高点N 运动过程的闪光照片，如右图 所示，(悬点和小钉未被摄入)，P 为摆动中的最低点。已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点的距离为 （ ） A ．L /4 B ．L /2 C ．3L /4 D ．无法确定 3．A 、B 两个完全一样的弹簧振子，把A 振子移到A 的平衡位置右边10cm ，把B 振子移到B 的平衡位置右边5cm ，然后同时放手，那么： （ ） A ．A 、 B 运动的方向总是相同的. B ．A 、B 运动的方向总是相反的. C ．A 、B 运动的方向有时相同、有时相反. D ．无法判断A 、B 运动的方向的关系. 4 ．铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行列车经过轨端接缝处时，车轮就
专题十一 概率与统计 第三十三讲 回归分析与独立性检验 一、选择题 1．（2017山东）为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关 系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相 关关系，设其回归直线方程为???y bx a =+．已知101 225i i x ==∑，10 1 1600i i y ==∑，?4b =．该 班某学生的脚长为24，据此估计其身高为 A ．160 B ．163 C ．166 D ．170 2．（2015福建）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户 家庭，得到如下统计数据表： 收入x （万元） 8．2 8．6 10．0 11．3 11．9 支出y （万元） 6．2 7．5 8．0 8．5 9．8 根据上表可得回归本线方程???y bx a =+ ，其中???0.76,b a y bx ==- ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为 A ．11．4万元 B ．11．8万元 C ．12．0万元 D ．12．2万元 3．（2014重庆）已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本的平均数3x =， 3.5y =， 则由该观测数据算得的线性回归方程可能为 A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 4．（2014湖北）根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 0.5 得到的回归方程为?y bx a =+，则 A ．0a >，0b < B ．0a >，0b > C ．0a <，0b < D ．0a <，0b > 5．（2012新课标）在一组样本数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）（n ≥2，x 1,x 2,…,x n 不 全相等）的散点图中，若所有样本点（x i ，y i ）(i =1,2,…,n )都在直线1 12 y x =+上，则这组样本数据的样本相关系数为
第十一章 学业质量标准检测 本卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分100分，时间90分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共40分) 一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，第1～6小题只有一个选项符合题目要求，第7～10小题有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选不全的得2分，有选错或不答的得0分) 1．(2016·北京理综，15)如图所示，弹簧振子在M 、N 之间做简谐运动。以平衡位置O 为原点，建立Ox 轴。向右为x 轴正方向。若振子位于N 点时开始计时，则其振动图象为( A ) 解析：由题意，向右为x 轴的正方向，振子位于N 点时开始计时，因此t ＝0时，振子的位移为正的最大值，振动图象为余弦函数，A 项正确。 2．做简谐运动的物体，其位移随时间的变化规律为x ＝2sin(50πt ＋π 6)cm ，则下列说法正 确的是( D ) A ．它的振幅为4cm B ．它的周期为0.02s C ．它的初相位是π 3 D ．它在1 4 周期内通过的路程可能是22cm 解析：对照简谐运动的一般表达式x ＝A sin(2πT t ＋φ)知A ＝2cm ，T ＝0.04s ，φ＝π 6，故ABC 错；由表达式可以看出振动物体从相位为3π4到相位为5π4这1 4 周期内通过的路程为2A ，故D 正确。 3．如图所示，将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx ，释放后振子在AB 间振动。设AB ＝20cm ，振子由A 到B 时间为0.1s ，则下列说法正确的是( C ) A ．振子的振幅为20cm ，周期为0.2s B ．振子在A 、B 两处受到的回复力分别为k Δx ＋mg 与k Δx －mg C ．振子在A 、B 两处受到的回复力大小都是k Δx D ．振子一次全振动通过的路程是20cm 解析：AB 之间距离为20cm ，所以振幅为10cm ，选项A 错误。由F ＝－kx 可知，在A 、B 两处
第十一章机械振动 （一）机械振动 物体（质点）在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。 产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。b、阻力足够小。 （二）简谐振动 1. 定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。简谐振动是最简单，最基本的振动。研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置（平衡位置）为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即F=－k x，其中“－”号表示力方向跟位移方向相反。 2. 简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。 3. 简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化。 （三）描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。 1. 振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A”表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。 2. 周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。振动的周期T跟频率f之间是倒数关系，即T=1/f。振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。 （四）单摆：摆角小于5°的单摆是典型的简谐振动。 细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。单摆做简谐振动的条件是：最大摆角小于5°，单摆的回复力F是重力在圆弧切线方向的分力。 单摆的周期公式是T=。由公式可知单摆做简谐振动的固有周期与振幅，摆球质量无关，只与L 和g有关，其中L是摆长，是悬点到摆球球心的距离。g是单摆所在处的重力加速度，在有加速度的系统中（如悬挂在升降机中的单摆）其g应为等效加速度。 （五）振动图象。 简谐振动的图象是振子振动的位移随时间变化的函数图象。所建坐标系中横轴表示时间，纵轴表示位移。图象是正弦或余弦函数图象，它直观地反映出简谐振动的位移随时间作周期性变化的规律。要把质点的振动过程和振动图象联系起来，从图象可以得到振子在不同时刻或不同位置时位移、速度、加速度，回复力等的变化情况。 （六）阻尼振动、受迫振动、共振。 简谐振动是一种理想化的振动，当外界给系统一定能量以后，如将振子拉离开平衡位置，放开后，振子将一直振动下去，振子在做简谐振动的图象中，振幅是恒定的，表明系统机械能不变，实际的振动总是存在着阻力，振动能量总要有所耗散，因此振动系统的机械能总要减小，其振幅也要逐渐减小，直到停下来。振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动，阻尼振动虽然振幅越来越小，但振动周期不变，振幅保持不变的振动叫无阻尼振动。
2019-2020年高考数学一轮复习第九章概率与统计第11讲回归分析与独 立性检验课时作业理 1．(xx 年河南开封一模)下列说法错误的是( ) A ．当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 B ．在线性回归分析中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强 C ．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高 D ．在回归分析中，R 2为0.98的模型比R 2为0.80的模型拟合的效果好 2．(xx 年湖北)已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关．下列结论正确的是( ) A ．x 与y 负相关，x 与z 负相关 B ．x 与y 正相关，x 与z 正相关 C ．x 与y 正相关，x 与z 负相关 D ．x 与y 负相关，x 与z 正相关 3．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了60名高中 ) A ．没有充足的理由认为课外阅读量较大与作文成绩优秀有关 B ．有0.5%的把握认为课外阅读量较大与作文成绩优秀有关 C ．有99.5%的把握认为课外阅读量较大与作文成绩优秀有关 D ．有99.9%的把握认为课外阅读量较大与作文成绩优秀有关 4．(xx 年重庆)已知变量x ， 若y 与x 线性相关，且线性回归方程为y ＝b x ＋2，则b ^的值为( ) A ．1 B.32 C.45 D.56 5．甲、乙、丙、丁四名同学各自对A ，B 两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 6．(xx 年福建)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5 根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区
3简谐运动的回复力和能量 一、简谐运动的回复力 1．简谐运动 如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动． 2．回复力 (1)定义：使振动物体回到平衡位置的力． (2)方向：总是指向平衡位置． (3)表达式：F＝－kx. 二、简谐运动的能量 1．能量转化 弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程． (1)在最大位移处，势能最大，动能为零． (2)在平衡位置处，动能最大，势能最小．
2．能量特点 在简谐运动中，振动系统的机械能守恒，而在实际运动中都有一定的能量损耗，因此简谐运动是一种理想化的模型． 1．判断下列说法的正误． (1)回复力的方向总是与位移的方向相反．(√) (2)回复力的方向总是与加速度的方向相反．(×) (3)水平弹簧振子运动到平衡位置时，回复力为零，因此能量一定为零．(×) (4)回复力的大小与速度大小无关，速度增大时，回复力可能增大，也可能减小．(×) 2.如图1所示的弹簧振子，O为平衡位置，B、C为最大位移位置，以向右的方向为正方向，则振子从B运动到O的过程中，位移方向为________，大小逐渐________；回复力方向为________，大小逐渐________；振子速度方向为________，大小逐渐________；动能逐渐________；势能逐渐________．(选填“正”“负”“增大”或“减小”)
图1 答案正减小负减小负增大增大减小 一、简谐运动的回复力 如图所示为一个水平方向的弹簧振子模型(水平杆光滑)，O点为振子的平衡位置，A、O间和B、O间距离都是x.
第5节外力作用下的振动 阻尼振动 1．固有振动和固有频率 (1)固有振动：不受外力作用的振动。 (2)固有频率：固有振动的频率。 2．阻尼振动 (1)阻尼：当振动系统受到阻力作用时，振动受到了阻尼。 (2)阻尼振动：振幅逐渐减小的振动，如图所示。 [辨是非](对的划“√”，错的划“×”) 1．阻尼振动的振幅是逐渐减小的。(√) 2．做阻尼振动的物体机械能可能不变。(×) 3．做阻尼振动的物体频率是不变的。(√) [释疑难·对点练] 1．阻尼振动的特点 阻尼振动中振幅逐渐减小，其机械能逐渐减小，但振动的频率不会变化，此频率称为固有频率，由振动系统决定。 2．阻尼振动与简谐运动的比较 阻尼振动简谐运动 产生原因受到阻力作用不受阻力作用 振幅如果没有能量补充，物体的振幅会越来越小振幅不变 振动能量有损失保持不变 振动图象 实例汽车上的减振器的振动弹簧振子在光滑面上的振动
[试身手] 1．(多选)一单摆做阻尼振动，则在振动过程中( ) A．振幅越来越小，周期也越来越小 B．振幅越来越小，周期不变 C．在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变 D．振动过程中，机械能不守恒，周期不变 解析：选BD 因单摆做阻尼振动，根据阻尼振动的定义可知，其振幅越来越小。而单摆振动过程中的周期是其固有周期，是由本身条件决定的，是不变的，故A项错误，B项正确；又因单摆做阻尼振动的过程中，振幅逐渐减小，振动的能量也在减小，即机械能在减少，所以C项错误，D项正确。 受迫振动 1．自由振动 在没有任何阻力的情况下，给振动系统一定能量，使它开始振动，这样的振动叫自由振动。自由振动的周期是系统的固有周期。如果把弹簧振子拉离平衡位置后松手，弹簧振子的振动就是自由振动。 2．驱动力 如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动。为了使系统持续振动下去，对振动系统施加周期性的外力，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，这种周期性的外力叫做驱动力。 3．受迫振动 (1)定义：系统在驱动力作用下的振动，叫做受迫振动。 (2)受迫振动的频率(周期)：做受迫振动的物体，其振动频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。 [辨是非](对的划“√”，错的划“×”) 1．做受迫振动的物体的振动频率等于驱动力的频率。(√) 2．物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率无关。(√) 3．做受迫振动的系统的机械能守恒。(×) [释疑难·对点练] 受迫振动的特点 (1)做受迫振动的物体，其振动频率由驱动力频率决定，即其振动频率总等于驱动力的频率，驱动力频率改变，物体做受迫振动的频率就改变，与系统的固有频率无关。 (2)物体的固有频率对其所做的受迫振动也有影响，表现在其振幅的大小上，驱动力频率越接近物体的固有频率，其振幅越大。 [试身手]
第十一章机械振动 一．简谐运动 1、机械振动：物体在某一位置附近的运动即为机械振动，简称振动。物体原来静止的位置叫做。 2、弹簧振子: 把一个有孔的小球装在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球穿在光滑的杆上,能够自由滑动,两者之间的可以忽略,弹簧的与小球相比也可忽略。这样的系统称为弹簧振子。弹簧振子是一种理想模型。 3、简谐运动及其图象： 如果质点的位移与时间的关系遵从，即它的振动图象（x－t图象）是一条，这样的振动叫做简谐运动。 典例例题： 例、如图所示是某质点做简谐运动的振动图象，根据图象中的信息，回答下列问题： 1）在2s、4s、8s这三个时刻，质点的位移是多少？ 2）在4s、6s、10s这三个时刻，质点各在 哪里？ 3）在1s、3s、5 s这三个时刻，质点向哪 个方向运动？ 4）质点在前4s内走过的路程是多少？ 5）从2s到4s弹簧振动子的位移、速度、 加速度、动能、弹性势能如何变化？ 课后练习： 1、如图所示是某质点做简谐运动的振动图象。根据图象中的信息，回答下列问题。 (1)质点离开平衡位置的最大距离有多大? (2)在1.5s和2.5 s这两个时刻，质点的位置各在哪里? (3)在1.5 s和2.5 s这两个时刻，质点向哪个方向运动? 2、如上题图所示，在t＝O到t＝4s的范围内回答以下问题。 (1)质点相对平衡位置的位移方向在哪些时间内跟它瞬时速度的方向相同?在哪些时间内跟瞬时速度的方向相反? (2)质点在第2 s末的位移是多少? (3)质点在前2 s内走过的路程是多少?
二.简谐振动的描述 1．振幅： 1）物理意义：振幅是描述振动 的物理量。 2）定义：振动物体离开平衡位置的 ，叫做振动的振幅。 3）单位：在国际单位制中，振幅的单位是米（m ）。 4）振幅和位移的区别: ①振幅是指振动物体离开平衡位置的 距离，是标量；而位移是振动物体所在位置相对平衡位置的位移，是矢量。 ②对于一个给定的振动，振子的位移是时刻变化的，但振幅是不变的。 ③振幅等于最大位移的数值 2．周期和频率 1）全振动： 从O 点开始，一次全振动的完整过程为：O →A →O →A ／ →O 。 从A 点开始，一次全振动的完整过程为：A →O →A ／ →O →A 。 从A ／点开始，一次全振动的完整过程为：A ／→O →A →O →A ／ 。 2）周期和频率 ①周期：做简谐运动的物体完成一次 所需的时间，叫做振动的周期，单位：s 。 ②频率：单位时间内完成的 的次数，叫频率，单位：Hz ，1Hz=1s -1 。 ③周期和频率之间的关系：T ＝1 f 3. 简谐运动的表达式: 1）简谐运动的振动方程 既然简谐运动的位移和时间的关系可以用正弦曲线或余弦曲线来表示，那么若以x 代表质点对于平衡位置的位移，t 代表时间，根据三角函数知识，x 和t 的函数关系可以写成 x=Asin （ωt+?） 公式中的A 代表振动的 ，ω叫做 ，它与频率f 之间的关系为：ω=2πf ；公式中的（ωt+?）表示简谐运动的相位，t=0时的相位?叫做初相位，简称 。 2）两个同频率简谐运动的相位差： 设两个简谐运动的频率相同，则据ω=2πf ，得到它们的圆频率相同，设它们的初相分别为?1和?2，它们的相位差就是=??（ωt+?2）－（ωt+1?）=?2－?1 讨论： 一个物体运动时，其相位变化多少就意味着完成了一次全振动? 典例例题： 例题1、两个简谐振动分别为x 1=4asin （4πbt+ 21π）和x 2=2asin （4πbt+2 3 π） 求：它们的振幅之比、各自的频率，以及它们的相位差。
11.5 一家物流公司的管理人员想研究货物的运输距离和运输时间的关系，为此，他抽出了公司最近10个卡车运货记录的随机样本，得到运送距离(单位：km)和运送时间(单位：天)的数据如下： 要求： (1)绘制运送距离和运送时间的散点图，判断二者之间的关系形态： (2)计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 (3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。 解：（1） 可能存在线性关系。 （2） 相关性 x运送距离（km）y运送时间（天） x运送距离（km）Pearson 相关性 1 .949(**) 显著性（双侧）0.000 N 10 10 y运送时间（天）Pearson 相关性.949(**) 1 显著性（双侧）0.000 N 10 10 **. 在 .01 水平（双侧）上显著相关。
有很强的线性关系。 （3） 系数(a) 模型 非标准化系数标准化系数 t 显著性B 标准误Beta 1 （常量）0.118 0.355 0.333 0.748 x运送距离 （km） 0.004 0.000 0.949 8.509 0.000 a. 因变量: y运送时间（天） 回归系数的含义：每公里增加0.004天。 (1)人均GDP作自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并说明二者之间的关系形态。 (2)计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。 (3)利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。 (4)计算判定系数，并解释其意义。 (5)检验回归方程线性关系的显著性(a=0.05)。 (6)如果某地区的人均GDP为5 000元，预测其人均消费水平。 (7)求人均GDP为5 000元时，人均消费水平95％的置信区间和预测区间。 解：（1）
第十一章 机械振动 11-1 一质量为m 的质点在力F = -π2x 的作用下沿x 轴运动．求其运动的周期． （答案：m 2） 11-2 质量为2 kg 的质点，按方程)]6/(5sin[2.0π-=t x (SI)沿着x 轴振动．求： (1) t = 0时，作用于质点的力的大小； (2) 作用于质点的力的最大值和此时质点的位置． （答案：5 N ；10 N ，±0.2 m （振幅端点）） 11-3 一物体在光滑水平面上作简谐振动，振幅是12 cm ，在距平衡位置6 cm 处速度是24 cm/s ，求 (1)周期T ； (2)当速度是12 cm/s 时的位移． （答案：2.72s ；±10.8cm ） 11-4 一个轻弹簧在60 N 的拉力作用下可伸长30 cm ．现将一物体悬挂在弹簧的下端并在它上面放一小物体，它们的总质量为4 kg ．待其静止后再把物体向下拉10 cm ，然后释放．问： (1) 此小物体是停在振动物体上面还是离开它？ (2) 如果使放在振动物体上的小物体与振动物体分离，则振幅A 需满足何条件？二者在何位置开始分离？ （答案：小物体不会离开；g A >2 ω，在平衡位置上方19.6 cm 处开始分离） 11-5 在竖直面内半径为R 的一段光滑圆弧形轨道上，放一小物体，使其静止于轨道的最低处．然后轻碰一下此物体，使其沿圆弧形轨道来回作小幅度运动. 试证： (1) 此物体作简谐振动； (2) 此简谐振动的周期g R T /2π= 11-6 一质点沿x 轴作简谐振动，其角频率ω = 10 rad/s ．试分别写出以下两种初始状态下的振动方程： (1) 其初始位移x 0 = 7.5 cm ，初始速度v 0 = 75.0 cm/s ； (2) 其初始位移x 0 =7.5 cm ，初始速度v 0 =-75.0 cm/s ． （答案：x =10.6×10-2cos[10t -(π/4)] (SI)； x =10.6×10-2cos[10t +(π/4)] (SI)） 11-7 一轻弹簧在60 N 的拉力下伸长30 cm ．现把质量为4 kg 的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体向下拉10 cm ，然后由静止释放并开始计时．求 (1) 物体的振动方程； (2) 物体在平衡位置上方5 cm 时弹簧对物体的拉力； x F 0 m O R