1998 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.)
(1) 2
2
lim
x x
→= . (2) 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = .
(3)
2ln sin sin x
dx x =? .
(4) 设()f x 连续,则220
()x
d tf x t dt dx -=? . (5) 曲线1
ln()(0)y x e x x
=+>的渐近线方程为 .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1) 设数列n x 与n y 满足lim 0n n n x y →∞
=,则下列断言正确的是 ( )
(A) 若n x 发散,则n y 发散 (B) 若n x 无界,则n y 必有界 (C) 若n x 有界,则n y 必为无穷小 (D) 若
1
n
x 为无穷小,则n y 必为无穷小 (2) 函数23
()(2)f x x x x x =---的不可导点的个数是 ( )
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (3) 已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2
,1y x
y x α??=
++其中α是比(0)x x ??→高阶的无穷小,且(0),y π=,则(1)y = ( )
(A) 4
e ππ (B) 2π (C) π (D) 4
e π (4) 设函数()
f x 在x a =的某个邻域内连续,且()f a 为其极大值,则存在0δ>,当
(,)x a a δδ∈-+时,必有 ( )
(A) ()[()()]0x a f x f a --≥ (B) ()[()()]0x a f x f a --≤
(C) 2()()lim
0()()t a
f t f x x a t x →-≥≠- (D)
2
()()
lim 0()()t a f t f x x a t x →-≤≠-
(5) 设A 是任一(3)n n ≥阶方阵,A *
是其伴随矩阵,又k 为常数,且0,1k ≠±,则必有
()kA *= ( )
(A) kA *
(B) 1
n k A -* (C) n k A * (D) 1k A -*
三、(本题满分5分)
求函数tan()
4
()(1)x x f x x π
-=+在区间(0,2)π内的间断点,并判断其类型.
四、(本题满分5分)
确定常数,,a b c 的值,使30sin lim
(0).ln(1)x x b ax x
c c t dt
t →-=≠+?
五、(本题满分5分)
利用代换cos u y x
=将方程cos 2sin 3cos x
y x y x y x e '''-+=化简,并求出原方程的通解.
六、(本题满分6分)
计算积分
3212
?
.
七、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y (从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m ,体积为B ,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0)k k >.试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式()y=f v .
八、(本题满分8分)
设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在0(0,1)x ∈,使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在0[,1]x 上以
()y f x =为曲边的梯形面积.
(2) 又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()
()f x f x x
'>-,证明(1)中的0x 是唯一的. 九、(本题满分8分)
设有曲线y =
过原点作其切线,求由此曲线、切线及x 轴围成的平面图形绕x
轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.
十、(本题满分8分)
设()y y x =是一向上凸的连续曲线,其上任意一点(,)x y
,且此曲
线上点(0,1)处的切线方程为1y x =+,求该曲线的方程,并求函数()y y x =的极值.
十一、(本题满分8分)
设(0,1)x ∈,证明： (1) 22(1)ln (1);x x x ++< (2)
11111.ln 2ln(1)2
x x -<-<+
十二、(本题满分5分)
设1
1
(2)T
E C B A C ---=,其中E 是4阶单位矩阵,T
A 是4阶矩阵A 的转置矩阵,
12321
2
010*******,,001200120
0010
00
1B C --????????-?
???==???????
?????
求A .
十三、(本题满分8分)
已知123(1,4,0,2),(2,7,1,3),(0,1,1,),(3,10,,4)T T T T
a b αααβ===-=,问： (1) ,a b 取何值时,β不能由123,,ααα线性表示？
(2) ,a b 取何值时,β可由123,,ααα线性表示？并写出此表达式.
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1)【答案】14
-
【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,
原式
2
2
x
→=
2
4
x →-=
)2
2
1lim
4x x →=
22
201121
1
2lim 24
x x
x x →-
- =-.
方法2：采用洛必达法则.
原式)
()
22
lim
x x →'
'
洛0
x →= 0
x →=0
x →=0
x → 洛 14
==-.
方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至2
x 项,
()22111128x x o x =+-+()22211
128x x o x =--+,
从而 原式()()222212201111
1122828lim x x x o x x x o x x →+-++--+-= ()()22212201
4lim x x o x o x x
→-++=1
4=-. (2)【答案】37
12
【分析】求曲线与x 轴围成的图形的面积,应分清楚位于x 轴上方还是下方,为此,要先求此曲线与x 轴交点.
【解析】322y x x x =-++与x 轴的交点,即322(2)(1)0x x x x x x -++=--+=的根为1,0,2.x =-
当10x -<<时,0y <；当02x <<时,0y >,从而
020
2
32
321
1
2
43
43
2210
(2)(2)434311858370(1)(44).
43312312
A ydx ydx x x x dx x x x dx
x x x x
x x ---=-+=--+-++????=----- ? ?????=-+----=+=????
(3)【答案】cot ln sin cot .x x x x C -?--+ 【解析】因为()2
cot csc x x '=-21
sin x
=-
,所以 2ln sin sin x
dx x ?()lnsin cot x x dx '=-?ln sin cot xd x =-?
[cot ln sin cot ln sin ]x x xd x -?-?分部
cos cot ln sin cot sin x
x x x dx x
=-?+?
? 22cos cot ln sin sin x
x x dx x =-?+?
22
1sin cot ln sin sin x
x x dx x -=-?+? 2cot ln sin 1sin dx
x x dx x =-?+-?
?
()cot lnsin cot x x x dx x '=-?+--?
cot ln sin cot x x x x C =-?--+.
(4)【答案】2
()xf x
【解析】作积分变量代换22
,u x t =-2
:0:0t x u x →?→,
()222du d x t tdt =-=-1
2dt du t
?=-
, 2
2
0()x
tf x t dt -?22
u x t =-20
1()2x tf u du t ??
=- ????220011()()22x x f u du f u du ??=-= ???
??,
222001()()2x x d d tf x t dt f u du dx dx -=??()221()2f x x '=?22
1()2()2
f x x xf x =?=. 【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若()
()
()()t t F t f x dx βα
=?,()t α,()t β均一
阶可导,则
[][]()()()()()F t t f t t f t ββαα'''=?-?.
(5)【答案】1
y x e
=+
【解析】题中未说什么渐近线,所以三类渐近线都要考虑.
由曲线方程1ln()y x e x =+知,铅直渐近线可能在两处：1x e +
??
→- ???
及0x →,但题设
0x >,所以1x e +
??
→- ???
不予考虑,考虑0x +→的情况.当0x +→时,
01ln()1
lim ln()1lim lim 0t t x e t x e x t x t
e t +→+∞→+∞→++ = =≠∞+洛,
所以无铅直渐近线；
因 1lim ()lim ln()lim ln ,x x x y x x e x e x
→+∞
→+∞
→+∞
=+==+∞
故无水平渐近线.
再考虑斜渐近线:
1
lim
lim ln()1x x y e x x
→+∞
→+∞=+=, ()11lim lim ln()1lim ln ln(1)1111
lim ln(1)lim ,x x x x x y x x e x e x ex x x ex ex e
→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞????-=+-=++-????????=+=?=
(x →+∞时,11ln(1)ex ex +
) 所以有斜渐近线y 1x e
=+
. 【相关知识点】1.铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0
lim ()x x f x →=∞,则
0x x =是函数的一条铅直渐近线；
水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞
=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.
斜渐近线：若有()
lim
,lim[()]x x f x a b f x ax x
→∞
→∞==-存在且不为∞,则y ax b =+为斜渐近线.
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题
目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)【答案】(D)
【解析】方法1:直接利用无穷小量的性质可以证明(D)是正确的.
由1
()n n n n
y x y x =?及1lim 0,lim 0n n n n n x y x →∞→∞==可知n y 为两个无穷小之积,故n y 亦为无穷小,应选(D). 方法2:排除法.
(A)的反例:22111
,,lim lim lim 0n n n n
n n n x n y x y n n n n
→∞→∞→∞===?==满足题设,但lim 0n n y →∞=不发散；
(B)的反例:21,21,0,21,
1,2,
0,2,2,
2,n n k n k n k x y k n k k n k -=-=-??===?
?==??,
满足lim 0n n n x y →∞
=,但n y 不是有界数列；
(C)的反例:11
1:1,,,
,,23n x n
有界数列,1(1,2,
),n y n ==满足
1
lim lim
0n n n n x y n
→∞
→∞==,但n y 不是无穷小； 排除掉(A)、(B)、(C),故选(D). (2)【答案】(B)
【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是
分段函数.22
()(2)1f x x x x x =---,当0,1x ≠±时()f x 可导,因而只需在0,1x =±处
考察()f x 是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.
由 2222
2
2
22(2)(1),1,
(2)(1),
10,()(2)(1),01,(2)(1),
1,
x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x ?---<-?----≤
? ()()22111(2)(1)0
(1)lim lim 011
x x f x f x x x x f x x -
--→-→-------'-===++, ()()22111(2)(1)0
(1)lim lim 011
x x f x f x x x x f x x +++→-→-------'-===++,
即()f x 在1x =-处可导.又
()()22000(2)(1)0
(0)lim lim 2x x f x f x x x x f x x
---→→-----'===,
()()22000(2)(1)0
(0)lim lim 2x x f x f x x x x f x x
+++→→-----'===-,
所以()f x 在0x =处不可导.
类似,函数()f x 在1x =处亦不可导.因此()f x 只有2个不可导点,故应选(B). 评注：本题也可利用下列结论进行判断：
设函数()()f x x a x ?=-,其中()x ?在x a =处连续,则()f x 在x a =处可导的充要条件是()0a ?=. (3)【答案】(A) 【解析】由2,1y x y x α??=
++有2
.1y y x x x
α
?=+?+? 令0,x ?→得α是x ?的高阶无穷小,则0
lim
0x x
α
?→=?,
0lim
x y x ?→??20lim 1x y
x x α?→??=+ ?+???200lim lim 1x x y x x α?→?→=++?21y x =+ 即
21dy y
dx x
=+. 分离变量,得
2,1dy dx y x
=+ 两边积分,得 ln arctan y x C =+,即arctan 1.x y C e = 代入初始条件(0),y π=得()arctan0
110.y C e C π===所以,arctan x y e π=.
故 arctan 1
(1)x
x y e
π==arctan1
e π=4.e π
π=
【相关知识点】无穷小的比较：
设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()
lim ()
x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()
()x x αβ；
(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()
lim
()
x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较.
(4)【答案】(C)
【解析】由x a =是()f x 的极大点,知存在0δ>,当(),x a a δδ∈-+时,()()f x f a ≤,即()()0f x f a -≤.因此,
当(),x a a δ∈-时,[]()()()0;x a f x f a --≥ 当(),x a a δ∈+时,[]()()()0x a f x f a --≤. 所以,(A)与(B)都不正确.
已知()f x 在x a =处连续,由函数在一点连续的定义可知,lim ()()x a
f x f a →=,再由极限
四则运算法则可得
22
()()()()
lim
0()()()t a
f t f x f a f x x a t x a x →--=≥≠--.
应选(C).
(5)【答案】(B) 【解析】对任何n 阶矩阵都要成立的关系式,对特殊的n 阶矩阵自然也要成立.那么,当A 可逆时,由1
A A A *
-=,有
11
1111()()n n n kA kA kA k A A k A A k A k
*-----*==?
==. 故应选(B).
一般地,若()ij n n A a ?=,有()ij n n kA ka ?=,那么矩阵kA 的第i 行j 列元素的代数余子式为
11
1,11,111,11,11,11,1,11,11,11,1
,1
,1
11
1,11,111,11,11,11,1
(1)(1)j j n i i j i j i
n i j
i i j
i j i n n n j n j nn j j n i i j i j i n i j
n i ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka a a a a a a a a k
a -+----+-+++-+++-+-+----+-+-+-=-1,11,11,11,1
,1
,1
,
i j i j i n n n j n j nn
a a a a a a a +-+++-+
即kA 中每个元素的代数余子式恰好是A 相应元素的代数余子式的1
n k
-倍,因而,按伴随矩
阵的定义知*()kA 的元素是*
A 对应元素的1
n k
-倍.
【相关知识点】1.行列式的性质：若A 是n 阶矩阵,则.n kA k A = 2.矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠,且1
1A
A A
-*
=
.
三、(本题满分5分) 【分析】由间断点的定义可知,函数无定义的点一定是间断点,故可以先找出函数无定义的点,再讨论判断出间断点的类型.
【解析】()f x 在区间(0,2)π内的间断点为
1tan()
4
x π
-无定义的点,即357,,,4444
x ππππ
=
各点.
在4
x π
=
处,4
lim ()x f x π
+→
=+∞；在54x π=
处,54
lim ()x f x π+→
=+∞,故5,44x ππ=为()
f x 的第二类间断点；
在34x π=
处,34
lim ()1x f x π→
=；在74x π
=处,74
lim ()1x f x π→=,但相应的函数值在该点无定
义,故()f x 在37,44
x ππ=
处为可去间断点. 【相关知识点】设lim (),lim ()x a x a f x A g x →→==+∞,则()0,01
lim (),1
g x x a
A f x A →<
+∞>?.
2.函数()f x 的间断点或者不连续点的定义：设函数()f x 在点0x 的某去心邻域内有定义,只要满足一下三种情况之一即是间断点. (1) 在0x x =没有定义；
(2) 虽在0x x =有定义,但0
lim ()x x f x →不存在；
(3) 虽在0x x =有定义,且0
lim ()x x f x →存在,但0
0lim ()();x x f x f x →≠
3.通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()f x 的间断点,但左极限0()f x -及右极限0()
f x +
都存在,那么0x 称为函数()f x 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.
四、(本题满分5分)
【分析】解决这类问题,原则上与求极限差不多,但是因为其中含有某些参数,比如在用洛必
达法则前,极限是否为“
00”型或“∞
∞
”型,要先行讨论,通过讨论,有时就可以推断出其中参数的特点,然后再求极限,这是一类常考的题目. 【解析】当0x →时sin 0ax x -→,又由题设30sin lim
(0),ln(1)x x b ax x
c c t dt
t →-=≠+?所以应有
30ln(1)
lim 0x
b
x t dt t
→+=?
(否则与3
0sin lim
(0)ln(1)x x b ax x
c c t dt
t →-=≠+?矛盾),从而只有0b =,因此3
sin lim
ln(1)x x b ax x
t dt
t →-+?满足洛必达法则的条件,用洛必达法则求其极限. 332
000sin cos cos 0lim lim lim .ln(1)ln(1)x x x x b ax x a x a x
c t x x dt t x
→→→---≠===++?洛等 (当0x →时,ln(1)x x +~)
如果1a ≠,则右边极限为∞,与原设左边矛盾,故1a =,于是上述等式成为
201cos 10lim .2x x c x →-≠==等(当0x →时,
2
11cos 2
x x -~) 所以最后得1
1,0,2
a b c ===．
五、(本题满分5分) 【解析】方法１：由sec cos u
y u x x
=
=,有 23sec sec tan ,
sec 2sec tan (sec tan sec ),
y u x u x x y u x u x x u x x x ''=+'''''=+++
代入原方程cos 2sin 3cos x
y x y x y x e '''-+=,得
4x u u e ''+=. (*)
先求其相应齐次方程的通解,由于其特征方程为2
40λ+=,则特征方程的根为
2i λ=±.所以通解为 12()cos2sin 2,u x C x C x =+(12,C C 为任意常数).
再求非齐次方程的特解,特解应具有形式()x
u x Ae *
=,代入(*)式,得
()4x
x
Ae Ae
''+45x x x Ae Ae Ae =+=x e =
解得,15A =
,因此1()5
x u x e *
=. 故(*)的通解为
121
()cos 2sin 25
x u x C x C x e =++,(12,C C 为任意常数).
所以,原微分方程的通解为
12cos 22sin cos 5cos x
x e y C C x x x
=++.
方法２：由cos cos u
y u y x x
=
=有,于是 cos sin ,
cos 2sin cos ,
u y x y x u y x y x y x ''=-'''''=--
原方程化为4x
u u e ''+=(以下与方法１相同)． 【相关知识点】两函数乘积的求导公式：
[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+?.
六、(本题满分6分)
【解析】当1x =时,
被积函数的极限1
x →=∞,即1x =是被积函数的无穷间断点,
故所给的是广义积分.
22
2
,01,
(1),0 1.
x x x x x x x x x x x ?-≤≤-=-=?-<>?或
331
2211
2
31
1
1
3102
arcsin(21)ln(sec tan )ln(22
x t t π
π
==+=-++=
++?
?
?
其中,
11
11
1
1
2
arcsin(21)
x
=
==
=-
求
3
1?
：
设
113
sec,:1,
222
x t x
-=→则
111
:0,(sec)sec tan
3222
t dx d t t tdt
π
→=+=
,
===
1
tan
2
t,
于是
,
3
333
0 100
1
sec tan
2sec ln(sec tan)
1
tan
2
t tdtdx
tdt t t
t
πππ
===+
???.
七、(本题满分6分)
【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点O,铅直向下作为Oy轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：mg,浮力的大小：F B
ρ
=-
浮
；阻力：kv
-,则由牛顿第二定律得
2
00
2
,0,0.
t t
d y
m mg B g kv y v
dt
ρ
==
=--== (*) 由
2
2
,
dy d y dv dv dy dv dy
v v v
dv
dt dt dt dy dt dy
===?==,代入(*)得y与v之间的微分方程
1
,0
y
dy
mv mg B kv v
dv
ρ
-
=
??
=--=
?
??
.
分离变量得
mv
dy dv
mg B kv
ρ
=
--
,
两边积分得
mv
dy dv
mg B kv
ρ
=
--
??,
2222
()()()
Bm m g Bm m g mv k k k k y dv mg B kv m Bm m g mg B kv k
k k dv mg B kv m g Bm m k dv
k mg B kv m m mg B dv dv
k k mg B kv ρρρρρρρρρρ+--+
=------+
=--??- ?
=-+ ?-- ? ???-=-+--?
????
1
()()()()
m mg B m k v d mg B kv k k mg B kv ρρρ-?-=-+----? (第一类换元法) 2
()ln()m m mg B v mg B kv C k k ρρ-=-
---+.
再根据初始条件0|0,y v ==即
22
()()
ln()0ln()m mg B m mg B mg B C C mg B k k ρρρρ---
-+=?=-.
故所求y 与v 函数关系为
()2ln .m mg B m mg B kv y v k k mg B ρρρ-??--=-
- ?-??
八、(本题满分8分)
【解析】(1)要证0(0,1)x ?∈,使0
1
00()()x x f x f x dx =
?
；令1
()()()x
x xf x f t dt ?=-?,要证
0(0,1)x ?∈,使0()0x ?=.可以对()x ?的原函数0
()()x x t dt ?Φ=?使用罗尔定理：
(0)0Φ=,
1111
11
11000(1)()()(())()()()0,x
x x x x dx xf x dx f t dt dx
xf x dx x f t dt xf x dx ?==Φ==-??
=-+=????
???????分部
又由()f x 在[0,1]连续()x ??在[0,1]连续,()x Φ在[0,1]连续,在(0,1)可导.根据罗尔定
理,0(0,1)x ?∈,使00()()0x x ?'Φ==.
(2) 由()()()()()2()0x xf x f x f x xf x f x ?'''=++=+>,知()x ?在(0,1)内单调增,故(1)中的0x 是唯一的.
评注：若直接对()x ?使用零点定理,会遇到麻烦：
1
(0)()0,(1)(1)0f t dt f ??=-≤=≥?.
当()0f x ≡时,对任何的0(0,1)x ∈结论都成立；
当()f x ≡0时,(0)0,?<但(1)0?≥,若(1)0?=,则难以说明在(0,1)内存在0x .当直接对()x ?用零点定理遇到麻烦时,不妨对()x ?的原函数使用罗尔定理. 【相关知识点】1.罗尔定理：如果函数()f x 满足 (1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导；
(3) 在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.
九、(本题满分8分)
【解析】先求切线方程：00(,)x y 处的切线为
000
1
()
2y y x x y -=
-. 以0,0x y ==代入切线方程,解得002,
1x y ==切线方程为1
2
y x =
.(见右图) 由曲线段2)y x ≤≤绕x 轴的旋转面面积
2
2
11
1
2321
1
2221
(43)
1).
34
6
S x ππ
ππ====??-=
???
而由曲线段1
(02)2
y x x =
≤≤绕x 轴的旋转面面积
2
2
20
2
2
200
221
.2S xdx x ππ===
?=???
由此,旋转体的表面积为
121).6
S S S π
=+=
十、(本题满分8分)
【解析】由题设及曲率公式,有
()
()
31222
2
1
11y y y ''
-=
''++
(因曲线()y y x =向上凸,0,y y y ''''''<=-),化简得
2
11y y ''
=-'
+. 改写为
21dy dx y
'
=-'+, 两边积分得
21dy dx y '
=-'+??,
解得 1arctan y x C '=-+.
由题设,曲线上点(0,1)处的切线方程为1y x =+,可知(0)1,(0)1y y '==.
以0x =代入上式,得14C π=
.于是有arctan 4y x π
'=-+,故有 3tan(),.444y x x πππ
'=--<<
(上式中注明区间是344
x ππ
-<<的原因：本题中使正切函数有意义的区间有很多,一般可
以写成32244n x n ππππ-+<<+,本题选择344
x ππ
-<<是因为题设曲线在0x =处有值,
又已知曲线是一条连续曲线,因此解的范围应该包含0x =在内并且使()y x 连续的一个区间.) 再积分得
2sin()
4tan()4cos()
4
1cos()ln cos().
44cos()4
x y x dx dx
x d x x C x π
ππππ
π-=-=-=-=-+-??? 又由题设可知(0)1y =,代入确定21
1ln cos 1ln 242
C π=-=+,于是所求的曲线方程为
13ln cos 1ln 2,.4244y x x πππ??
=-++-<< ???
由于cos 1,4x π??-≤
???且ln x 在定义域内是增函数,所以当且仅当cos 14x π??
-= ???
时,即4
x π
=
时y 取得最大值,由于
3,444π
ππ??
∈- ???
,所以此时也是y 取极大值,极大值为11ln 22y =+；显然y 在344
x ππ-<<没有极小值.
【相关知识点】曲线()y y x =在其上任意一点(,)x y 处的曲率公式：()
3
22
1y k y ''
=
'+.
十一、(本题满分8分) 【分析】不等式的证明一般用单调性来证明,除此之外,还可以用拉格朗日中值公式、拉格朗日余项泰勒公式、最大(小)值来证明. 【解析】(1)方法1：利用单调性证明.
令2
2
()(1)ln (1),x x x x ?=-++则
[]22
()2ln (1)2ln(1),
2
()ln(1),
12ln(1)
()0(01).(1)
x x x x x x x x
x x x x ???'=-+-+''=
-+++'''=><<+ ()x ?''?在(0,1)内单调递增,()(0)0(01)x x ??''''>=<<；
()x ?'?在(0,1)内单调递增,()(0)0(01)x x ??''>=<<；
()x ??在(0,1)内单调递增,()(0)0(01)x x ??>=<<,
即22(1)ln (1)x x x ++<.
方法2：改写原不等式,当(0,1)x ∈时,10x +>,故可在不等式两边同时除以(1)x +,有
2
2
ln (1)1x x x
+<+,
两边开平方
, ln(1)x +<
.
令()ln(1)g x x =+
, (
)(
))
()
33
22
2
3
2
1()1211
212110,(0)
21g x x x x x x x x '=+-+-==-++=-
<>+当 故函数()g x 在区间[0,1]上单调减少,由(0)0g =,可知当0x >时,()(0)0g x g <=,即
ln(1)x +<
从而原不等式成立,证毕. 方法3：由方法1,22
()(1)ln (1),x x x x ?=-++已证(0)0,(0)0,()0,x ???'''==>(0)x >
于是由()x ?的1阶麦克劳林公式(拉格朗日余项)有
2211
()(0)(0)()()0.2!2
x x x x ????ξ?ξ'''''=++
=> 即2
2
(1)ln (1)x x x ++<,证毕. (2)令11ln(1)
(),ln(1)ln(1)
x x f x x x x x -+=
-=++
22
222
2
11(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)
x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++,
由(1),()0(01)()f x x f x '<<
?<<<<,而
1
(1)1ln 2
f =
-,且 20
0ln(1)ln(1)
(0)lim ()lim lim ln(1)x x x x x x x f f x x x x ++
+
+→→→-+-+==+等 0
01
1111lim lim 22(1)2
x x x x x +
+
→→-
+==+洛, 故
111(),ln 22f x -<<即1111
1.ln 2ln(1)2
x x -<-<+证毕.
十二、(本题满分5分)
【解析】由矩阵运算法则,将等式11(2)T E C B A C ---=两边左乘C ,得
11(2)T C E C B A CC ---=,即(2)T C B A E -=.
对上式两端取转置,有(2)T T A C B E -=.
由可逆矩阵及逆矩阵的定义,可知矩阵2,T T C B A -均可逆,因为A 是4阶方阵,故
1
11000100
02
1002100(2)321012104
321012
1T T A C B --????
????-?
??
?=-==????-???
?-????
.
十三、(本题满分8分)
【分析】β能由(不能由)12,,,s ααα线性表出?,1,2,
,i i s αβ=为列向量的非齐次线
性方程组1122s s x x x αααβ+++=有解(无解),从而将线性表出的问题转化为方程组解
的情况的判定与求解.
【解析】令[][]123123,,,,,T
A X x x x ααα==,作方程组AX β=,并对此方程组的增广矩阵进行初等变换：
[]121203120
34
71
100112()0110112
3
401212030112().00100
002A b b a a a b β????????--?
??
?=*????--???
?--????
????--?
?*??
-??
-??
其中,1()*变换：将第1行乘以-4加到第2行,再将第1行乘以-2加到第4行；
2()*变换：第2行加到第1行,再将第2行乘以-1加到第4行,最后3,4行互换.
由非齐次线性方程组有解的判定定理,可得
(1)当2b ≠时,线性方程组AX β=无解,此时β不能由123,,ααα线性表出. (2)当2,1b a =≠时,()()3r A r A ==,线性方程组AX β=有唯一解,下面求此唯一解.
由以上增广矩阵变换可得线性方程组AX β=的同解方程组为
12233232(1)0
x x x x a x +=??
-+=-??-=?
, 解得唯一解为[]1,2,0T
X =-.故β能由123,,ααα线性表出为122.βαα=-+
(3)当2,1b a ==时,()()23r A r A ==<,线性方程组AX β=有无穷多解.求齐次线性方程组0AX =的基础解系.
齐次线性方程组0AX =的同解方程组为
1223
20
0x x x x +=??
-+=?, 基础解系所含向量的个数为()321n r A -=-=,选2x 为自由未知量,取21x =,解得基础解系为(2,1,1)T
ξ=-.取30x =,解得的一个特解为(1,2,0)T
η*
=-,则由非齐次线性方程组解的结构可知,方程组AX β=的通解为
()21,2,T
X k k k k ξη*=+=--+,k 是任意常数.
2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学二真题分析 （word 版） 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1） ）若函数10(),0x f x ax b x ?->?=??≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答案】A 【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a ++→→-==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ） 【答案】B 【解析】 ()f x 为偶函数时满足题设条件，此时01 10()()f x dx f x dx -=??，排除C,D. 取2()21f x x =-满足条件，则()112112()2103 f x dx x dx --=-=-
【答案】D 【解析】特值法：（A ）取n x π=，有limsin 0,lim n n n n x x π→∞→∞ ==，A 错； 取1n x =-，排除B,C.所以选D. （4）微分方程的特解可设为 （A ）22(cos 2sin 2)x x Ae e B x C x ++ （B ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ （C ）22(cos 2sin 2)x x Ae xe B x C x ++ （D ）22(cos 2sin 2)x x Axe e B x C x ++ 【答案】A 【解析】特征方程为：2 1,248022i λλλ-+=?=± 故特解为：***2212(cos 2sin 2),x x y y y Ae xe B x C x =+=++选C. （5）设(,)f x y 具有一阶偏导数，且对任意的(,)x y ，都有(,)(,)0,0f x y f x y x y ??>>??，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < 【答案】C 【解析】(,)(,)0,0,(,)f x y f x y f x y x y ??>
考研数学二真题及答案 解析 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是 符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2 (B)∫lnx x +∞2 dx (C)∫1 xlnx +∞ 2 dx (D) ∫x e x +∞2dx 【答案】D 。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫√x 2 =2√x|2 +∞ =+∞； ∫lnx x +∞2dx = ∫lnx +∞ 2d(lnx)=1 2(lnx)2| 2 +∞=+∞； ∫1xlnx +∞2dx =∫1 lnx +∞2 d(lnx)=ln?(lnx)|2+∞=+∞； ∫x e x +∞2 dx =?∫x +∞ 2 de ?x =?xe ?x |2+∞+∫e ?x +∞2 dx =2e ?2?e ?x |2 +∞ =3e ?2， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D 。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2t 在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2t =e lim t→0x 2t (1+ sin t x ?1)=e x lim t→0sint t =e x (x ≠0), f (x )在x =0处无定义， 且lim x→0 f (x )=lim x→0 e x =1,所以 x =0是 f (x )的可去间断点，选B 。 综上所述，本题正确答案是B 。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1 x β,x >0， 0,x ≤0 (α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则
2008年研究生入学统一考试数学二试题与答案 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）设2()(1)(2)f x x x x =--，则'()f x 的零点个数为（） ()A 0 ()B ()C ()D 3 （2）曲线方程为()y f x =函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分0 ()a t af x dx ?（） ()A 曲边梯形ABCD 面积. ()B 梯形ABCD 面积. ()C 曲边三角形ACD 面积. ()D 三角形ACD 面积. （3）在下列微分方程中，以123cos 2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（） （5）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（） ()A 若{}n x 收敛，则{}()n f x 收敛. ()B 若{}n x 单调，则{}()n f x 收敛. ()C 若{}()n f x 收敛，则{}n x 收敛. ()D 若{}()n f x 单调，则{}n x 收敛. （6）设函数f 连续，若22(,)uv D F u v =?? ，其中区域uv D 为图中阴影部分， 则 F u ?=? （7）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵.若30A = ()A E A -不可逆，E A +不可逆. ()B E A -不可逆，()C E A -可逆，E A +可逆. ()D E A -可逆，E A +不可逆. （8）设1221A ?? = ??? ，则在实数域上与A 合同的矩阵为（）
2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ； ； ； ， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-∞,+∞)内 (A) (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“”型极限，直接有 , 在处无定义， 且所以是的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数().若 (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】易求出 再有 于是，存在此时. 当，， = 因此，在连续。选A 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-∞,+∞)内连续，其 二阶导函数的图形如右图所示， 则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-∞,+∞)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。 的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧，对应的点就是的拐点。
虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足则与依次是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】先求出 令 于是 因此 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分 (6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在 D上连续，则 (A) (B) (C) (D) 【答案】 B
( 全国统一服务热线：400—668—2155 1 Born to win 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若2 1 2 lim() 1x x x e ax bx →++=,则（ ） ()A 1 ,12 a b ==- ()B 1,12a b =-=- ()C 1,12a b == ()D 1 ,12 a b =-= 【答案】B （2）下列函数中,在0x =处不可导是（ ） ()()()()sin ()()()cos ()A f x x x B f x x x C f x x D f x x == == 【答案】D （3）设函数10()10x f x x -时, 1()02f < （D ）当()0f x '>时, 1 ()02 f < 【答案】D （5）设22 22(1)1x M dx x π π-+=+?,22 2 21x x N dx e ππ-+=?,22 (1cos )K x dx π π- =+?,则,,M N K 的大小关系为 （A ）M N K >> （B ）M K N >> （C ）K M N >> （D ）K N M >> 【答案】C
考研数学二真题及答案 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的. 1 若1) (lim 2 12 =++→x x x bx ax e ,则（ ） A 1,21-== b a B 1,21 -=-=b a C 1,21==b a D 1,2 1 =-=b a 2下列函数中不可导的是（ ） A. )sin()(x x x f = B.)sin()(x x x f = C. x x f cos )(= D.) cos()(x x f = 3设函数?? ? ??≥-<<--≤-=???≥<-=0 011 ,2)(0,10,1)(x b x x x x ax x g x x x f 若) ()(x g x f +在R 上连续，则（ ） A 1 ,3==b a B 2 ,3==b a C 1 ,3=-=b a D 2 ,3=-=b a 4 设函数 ) (x f 在 ] 1,0[上二阶可导，且 )(1 =? dx x f 则 （ ） A 当0 )(<'x f 时，0)21(
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析 一、选择题:1:8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1)下列反常积分收敛的是( ) (A) 2 +∞ ? (B) 2 ln x dx x +∞ ? (C)21 ln dx x x +∞?(D) 2 x x dx e +∞ ? 【答案】(D) 【解析】(1)x x x dx x e e -=-+? ，则222 2(1)3lim (1)3x x x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞ =-+=-+=?. (2) 函数()2 sin lim(1) x t t t f x x →=+ 在(,)-∞+∞内( ) (A) 连续 (B) 有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B) 【解析】2 2 0sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x t t t f x e e x →→=+ ==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0 x x x f x x α β?>?=?? ≤?(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ->(D)02αβ<-≤ 【答案】(A) 【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'= ()10 01 cos 010lim lim cos x x x x f x x x αβαβ + +-+→→-'== 0x >时，()()()11 111cos 1sin f x x x x x x αα βββαβ-+'=+-- 11 11cos sin x x x x ααβββαβ---=+
绝密★启用前 2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二） （科目代码302） 考生注意事项 1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。 3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。 5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ） ()()111 101011010()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>>??，则 （A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ） （A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t >
2006年考研数学二真题 一、填空题（1~6小题，每小题4分，共24分。） (1)曲线y = x+4sinx 5x?2cosx 的水平渐近线方程为_________。 【答案】y =1 5。 【解析】lim x→∞x+4sinx 5x?2cosx =lim x→∞1+4 sinx x 5?2cosx x =1 5 故曲线的水平渐近线方程为y =1 5。 综上所述，本题正确答案是y =1 5 【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 (2)设函数f (x )={1 x 3∫sint 2 dt,x ≠0,x 0a,x =0 在x =0处连续，则a =_________。 【答案】1 3。 【解析】a =lim x→0 1 x 3∫sint 2dt x 0=lim x→0 sinx 23x 2 =1 3. 综上所述，本题正确答案是1 3 【考点】高等数学—函数、极限、连续—初等函数的连续性 (3)反常积分∫xdx (1+x 2)2 +∞ =_________。 【答案】1 2。 【解析】 ∫ xdx (1+x 2)2+∞ =lim b→+∞∫xdx (1+x 2)2b 0=lim b→+∞12∫d (1+x 2)(1+x 2)2=12b 0lim b→+∞(?1 1+x 2)| b = 1lim b→+∞(1?12)=1 综上所述，本题正确答案是12 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (4)微分方程y ′= y(1?x)x 的通解为__________。 【答案】y =Cxe ?x ，C 为任意常数。 【解析】dy y = 1?x x dx ?ln |y |=ln |x |?lne x +ln |C | 即y =Cxe ?x ，C 为任意常数 综上所述，本题正确答案是y =Cxe ?x 。
2015年考研数学二真题 一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnx x +∞2 dx (C)∫1xlnx +∞ 2 dx (D) ∫x e x +∞2 dx 【答案】D 。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ∫√x +∞2 dx =2√x|2 +∞ =+∞； ∫lnx x +∞2dx = ∫lnx +∞ 2d(lnx)=1 2(lnx)2| 2 +∞=+∞； ∫1xlnx +∞ 2 dx =∫1 lnx +∞2d(lnx)=ln?(lnx)|2 +∞=+∞； ∫x e +∞2dx = ?∫x +∞2 de ?x = ?xe ?x |2 +∞ + ∫e ?x +∞2 dx =2e ?2?e ?x |2 +∞=3e ?2 ， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D 。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2 t 在(-∞,+∞)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0 (1+ sin t x )x 2t
=e lim t→0x 2t (1+sin t x ?1) =e x lim t→0sint t =e x (x ≠0), f (x )在x =0处无定义， 且lim x→0 f (x )=lim x→0 e x =1,所以 x =0是 f (x )的可去间断点，选B 。 综上所述，本题正确答案是B 。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1 x β,x >0， 0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则 (A)α?β>1 (B)0<α?β≤1 (C)α?β>2 (D)0<α?β≤2 【答案】A 【解析】易求出 f′(x )={αx α?1cos 1 x +βx α?β?1sin 1 x ,x >0， 0,x ≤0 再有 f +′(0)=lim x→0 + f (x )?f (0) x =lim x→0 + x α?1 cos 1x = {0, α>1, 不存在，α≤1， f ?′(0)=0 于是，f ′(0)存在?α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0 x α?1cos 1x β =0， lim x→0 βx α?β?1 sin 1x β ={0, α?β?1>0, 不存在，α?β?1≤0， 因此，f′(x )在x =0连续?α?β>1。选A 综上所述，本题正确答案是C 。
https://www.doczj.com/doc/6718176940.html,/ 2015年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题及答案解析 一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的。） (1)下列反常积分中收敛的是 (A) (B) (C) (D) 【答案】D。 【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。 ； ； ； ， 因此(D)是收敛的。 综上所述，本题正确答案是D。 【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数在(-,+)内 (A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B 【解析】这是“”型极限，直接有 , 在处无定义， 且所以是的可去间断点，选B。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数， ().若在处连续，则 (A) (B) (C) (D)【答案】A
https://www.doczj.com/doc/6718176940.html,/ 【解析】易求出 ， 再有 不存在，， 于是，存在，此时. 当时，， = 不存在，， 因此，在连续。选A 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限 (4)设函数在(-,+)内连续，其 二阶导函数的图形如右图所示， 则曲线的拐点个数为 A O B (A) (B) (C) (D) 【答案】C 【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。的可疑拐点是的点及不存在的点。 的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧 异号，对应的点就是的拐点。 虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。 综上所述，本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点 (5)设函数满足，则与依次是 (A)(B) (C)(D) 【答案】D 【解析】先求出 令 于是 因此
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. （1） ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12 ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答案】A 【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a ++→→==在0x =处连续11 .22 b ab a ∴ =?=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ） ()()1 1 110 1 1 1 10()()0 ()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>
2019考研数学二真题及答案 一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个 选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．． 指定位置上. 1、当0x →时，若tan x x -与 k x 是 同阶无穷小量，则k =（ ） A 、 1. B 、2. C 、 3. D 、 4. 选：C . 点拨：因为 3 tan ~3 x x x --，所以3k =，选 C . 2、曲线3sin 2cos y x x x x π π? ? =+<< ??? －２ ２的拐点是（ ） A 、, ππ?? ??? ２２ . B 、()0,2 . C 、(),2π- . D 、33,ππ?? ??? ２２. 选：C . 点拨：cos sin y x x x '=- ，sin y x x ''=-，令 sin 0y x x ''=-=，解得0x =或x π=。 当x π>时，0y ''>；当x π<时，0y ''<，所以(),2π- 是拐点。故选 C . 3、下列反常积分发散的是（ ） A 、0 x xe dx +∞ -? . B 、 2 x xe dx +∞ -? . C 、 2 tan 1arx x dx x +∞ +? . D 、
2 1x dx x +∞ +? . 选：D . 点拨：A 、0000 1x x x x xe dx xde xe e dx +∞+∞+∞ +∞----=-=-+=???，收敛； B 、2 220011 22 x x xe dx e dx +∞ +∞--==??，收敛； C 、22 200 tan 1arctan 128 arx x dx x x π+∞ +∞==+? ，收敛； D 、22220 00 111(1)ln(1)1212x dx d x x x x +∞ +∞ +∞=+=+=+∞++? ?，发散，故选D 。 4、已知微分方程的x y ay by ce '''++=通解为12()x x y C C x e e -=++，则 ,,a b c 依次为（ ） A 、 1,0,1. B 、 1,0,2. C 、2,1,3. D 、 2,1,4. 选：D. 点拨： 由题设可知1r =-是特征方程20r ar b ++=的二重根，即特征方程为2(1)0r +=， 所以2,1a b == 。又知*x y e =是方程2x y y y ce '''++=的特解，代入方程的4c =。故选D 。 5、已知积分区域(),2 D x y x y π?? =+≤??? ? ，1D I = ，2sin D I =??，
2007年考研数学二真题一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。） (1)当时，与等价的无穷小量是 (A)(B) (C)(D) 【答案】B。 【解析】 时 几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。 综上所述，本题正确答案是B。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较 (2)函数在上的第一类间断点是 (A)0 (B)1 (C)(D) 【答案】A。 【解析】
A：由得 所以是的第一类间断点； B： C： D： 所以都是的第二类间断点。 综上所述，本题正确答案是A。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数间断点的类型 (3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直 径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是 (A) (B) (C)
(D) 【答案】C。 【解析】 【方法一】 四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何 意义确定 【方法二】 由定积分几何意义知,排除(B) 又由的图形可知的奇函数，则为偶函数， 从而 显然排除(A)和(D),故选(C)。 综上所述，本题正确答案是C。
【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用 (4)设函数在处连续，下列命题错误 ．．的是 (A)若存在，则 (B)若存在，则 (C)若存在，则存在 (D)若存在，则存在 【答案】D。 【解析】 (A)：若存在，因为,则,又已知函数 在处连续，所以,故,(A)正确； (B)：若存在，则 ,则，故(B)正确。 (C)存在，知，则 则存在，故(C)正确 (D)存在， 不能说明存在 例如在处连续，
2017考研数学二真题及答案解析 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分） （1）若函数?? ? ??≤>-=0,,0,cos 1)(x b x ax x x f 在0=x 处连续，则（ ） )(A 21= ab 。 )(B 2 1-=ab 。 )(C 0=ab 。 D (2=ab 。 【答案】)(A 【解】a ax x f x 21 cos 1lim )00(0=-=++→，b f f =-=)00()0(， 因为)(x f 在0=x 处连续，所以)00()0()00(-==+f f f ，从而2 1 = ab ，应选)(A 。 （2）设二阶可导函数)(x f 满足1)1()1(=-=f f ，1)0(-=f ，且0)(>''x f ，则（ ） ) (A ? ->1 1 0)(x f 。 ) (B ? -<1 1 0)(x f 。 )(C ??->1 01 )()(dx x f x f 。 )(D ??-<1 1 )()(dx x f x f 。 【答案】)(B 【解】取12)(2 -=x x f ，显然 ? -<1 1 0)(x f ，应选)(B 。 （3）设数列}{n x 收敛，则 （ ） )(A 当0sin lim =∞ →n n x 时，0lim =∞ →n n x 。 )(B 当0)||(lim =+∞ →n n n x x 时，0lim =∞ →n n x 。 )(C 当0)(lim 2 =+∞ →n n n x x 时，0lim =∞→n n x 。)(D 当0)sin (lim =+∞→n n n x x 时，0lim =∞ →n n x 。
2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符 合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 曲线 22 1 x x y x +=-渐近线的条数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】C 【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★ 【详解】本题涉及到的主要知识点： （i ）当曲线上一点M 沿曲线无限远离原点时，如果M 到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。 （ii ）渐近线分为水平渐近线（lim ()x f x b →∞ =，b 为常数）、垂直渐近线（0 lim ()x x f x →=∞） 和斜渐近线（lim[()()]0x f x ax b →∞ -+=，,a b 为常数）。 （iii ）注意：如果 （1）() lim x f x x →∞不存在； （2）() lim x f x a x →∞=，但lim[()]x f x ax →∞-不存在，可断定()f x 不存在斜渐近线。 在本题中，函数221 x x y x +=-的间断点只有1x =±. 由于1 lim x y →=∞，故1x =是垂直渐近线. （而1 1(1)1 lim lim (1)(1)2 x x x x y x x →-→-+==+-，故1x =-不是渐近线）. 又2 1 1lim lim 11 1x x x y x →∞→∞+ ==-，故1y =是水平渐近线.（无斜渐近线） 综上可知，渐近线的条数是2.故选C. (2) 设函数2()(1)(2)()x x n x f x e e e n = -- -,其中 n 为正整数,则(0)f '=
2017数学2考研真题及答案详解
绝密★启用前 2017年全国硕士研究生入学统一考试 数学（二） （科目代码302） 考生注意事项 1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。 3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。 5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1 ）若函数 0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（ ） (A)12ab = (B)1 2 ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（ ） ()()1 1 11 01 01 1 10()()0 ()0 ()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>