一元二次方程
点击一：一元二次方程的定义
一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程． 针对练习1: 下列方程是一元二次方程的有__________。 （1）x 2+
x
1－5=0 （2）x 2－3xy+7=0
（3）x+12-x =4
（4）m 3－2m+3=0 （5）
2
2x 2－5=0
（6）ax 2－bx=4
针对练习2: 已知（m+3）x 2－3mx －1=0是一元二方程，则m 的取值范围是 。 点击二：一元二次方程的一般形式
元二次方程的一般形式是ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），其中ax 2是二次项，bx 是一次项，c 是常数项，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数.任何一个一元二次方程都可以通过整理转化成一般形式.由此，对于一个方程从形式上，应先将这个方程进行整理，看是否符合ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的一般形式.其中，尤其注意a ≠0的条件，有了a ≠0的条件，就能说明ax 2+bx +c ＝0是一元二次方程.若不能确定a ≠0，并且b ≠0，则需分类讨论：当a ≠0时，它是一元二次方程；当a ＝0时，它是一元一次方程.
针对练习3: 把方程(1－3x )(x +3)=2x 2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.
点击三：一元二次方程的根的定义的意义
一元二次方程的根的定义可以当作性质定理使用，即若有实数m 是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）的根，则m 必然满足该方程，将m 代入该方程，便有am 2+bm +c ＝0（a ≠0）；定义也可以当作判定定理使用，即若有数m 能使am 2+bm +c ＝0（a ≠0）成立，则m 一定是ax 2+bx +c ＝0的根.我们经常用定义法来解一些常规方法难以解决的问题，能收到事半功倍的效果.
针对练习3: 若m 是方程x 2+x －1＝0的一个根，试求代数式m 3+2m 2+2009的值.
类型之一：一元二次方程的定义
例1.关于x 的方程232
2
+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？
类型之二：考查一元二次方程一般形式
一元二次方程的一般形式是ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 是已知数，a≠0），其中a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数c 叫做常数项．只有将方程化为一般形式之后，才能确定它的二次项系数、一次项系数和常数项．这里特别要注意各项系数的符号。
例2一元二次方程（x+1）2－x==3（x 2－2）化成一般形式是 . 类型之三：考查一元二次方程的解
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。
例3已知关于x 的一元二次方程（m －2）x 2+3x+（m 2－4）=0有一个解是0，求m 的值。
类型之四：综合应用
例4. 已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程）
1.下列方程中的一元二次方程是( )
A.3(x+1)2=2(x －1)
B.
21x +x
1
－2=0 C.ax 2+bx+c=0 D.x 2+2x=(x+1)(x －1) 2.把方程－5x 2+6x+3=0的二次项系数化为1,方程可变为( ) A.x 2+
56x+53=0 B.x 2－6x －3=0 C.x 2－56x －53=0 D.x 2－56x+5
3=0 3. 已知关于x 的方程(m －3)7
2
m
x
－x=5是一元二次方程，求m 的值.
1.将方程3x 2＝2x －1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项系数可以是( ) A. 3,2,－1 B. 3,－2,－1 C. 3,－2,1 D. －3,－2,1
2.下列方程中，是关于x 的一元二次方程的有___________. ①x 2＋2x ＋y ＝1 ②－5x 2＝0 ③2x 2－1=3x
④（m 2＋1）x ＋m 2＝6 ⑤3x 3－x ＝0 ⑥x 2+
1
x
－1=0 3.已知方程(m+2)x 2+(m+1)x －m=0，当m 满足__________时，它是一元一次方程；当m 满足___________时，它是二元一次方程.
4.把方程x(x+1)=4(x －1)+2化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数、常数项.
1. a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项，且满足1 a +(b －2)2+|a+b+c|=0，求满足条件的一元二次方程.
课时作业：
A 等级
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． （A ）x 2－
1
x
=1 （B ）x 2+y=2 （C 2x 2=2 （D ）x+5=（－7）2 2．方程3x 2=－4x 的一次项系数是（ ）．
（A ）3 （B ）－4 （C ）0 （D ）4
3．把一元二次方程（x+2）（x －3）=4化成一般形式，得（ ）．
（A ）x 2+x －10=0 （B ）x 2－x －6=4 （C ）x 2－x －10=0 （D ）x 2－x －6=0 4．一元二次方程3x 23－2=0的一次项系数是________，常数项是_________． 5．x=a 是方程x 2－6x+5=0的一个根，那么a 2－6a=_________． 6．根据题意列出方程：
（1）已知两个数的和为8，积为12，求这两个数．如果设一个数为x ，?那么另一个数为________，根据题意可得方程为___________．
（2）一个等腰直角三角形的斜边为1，求腰长．如果设腰长为x ，根据题意可得方程为______________． 7．填表：
方程
x 2－
1=2x
x
－
7x 2=0 6－
3y 2=0
（x －2）（2x+3）=6
一般形式
8．判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的解： （1）x 2
+5x+4=0 （x 1=－1，x 2=1，x 3=－4）；
（2
）（3x －1）2=3（x+2）2=7－6x （x 1=3，x 2=2，x 3=1，x 4=－1）．
9．根据题意，列出方程：
有一面积为60m 2的长方形，将它的一边剪去5m ，另一边剪去2m ，恰好变成正方形，?试求正方形的边长．
10．当m 满足什么条件时，方程m （x 2+x ）2－（x+1）是关于x 的一元二次方程？当m 取何值时，方程m （x 2+x ）x 2－（x+1）是一元一次方程？
B 等级
11．把方程2
(21)(1)(1)x x x x +-=+-化成一般形式是 ．
12．一元二次方程2
26x x -=的二次项系数、一次项系数及常数之和为 ． 13．已知1x ≠-是方程2
60x ax -+=的一个根，则a = ．
14．关于x 的方程2
(1)230m x mx ++-=是一元二次方程，则m 的取值范围是 ． 15．已知236x x ++的值为9，则代数式2
392x x +-的值为 ． 16．下列关于x 的方程：①20ax bx c ++=；②2
4
30x x
+-=；③2540x x -+=；④23x x =中，一元二次方程的个数是（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
17．若2
530ax x -+=是关于x 的一元二次方程，则不等式360a +>的解集是（ ） A ．2a >-
B ．2a <-
C ．2a >-且0a ≠
D ．12
a >
18．关于x 的一元二次方程2
2
(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1
B ．1-
C ．1或1-
D ．
12
19．已知2是关于x 的方程2
3202
x a -=的一个解，则21a -的值是（ ） A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
20．如下图所示，相框长为10cm ，宽为6cm ，内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为32cm 2，则相框的边缘宽为多少厘米？我们可以这样来解：
（1）若设相框的边缘宽为cm x ，可得方程 （一般形式）； （2）分析并确定x 的取值范围； （3）完成表格：
x
0 1 2 3 （1）中2
ax bx c ++
（4）根据上表判断相框的边框宽是多少厘米？
C 等级
21. 关于x 2=－2的说法，正确的是 （ ） A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程 B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程 C.x 2=－2是一个一元二次方程
D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解
22. 若3x =是方程2
360x mx m -+=的一个根，则m 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
23．无论a 为何实数，下列关于x 的方程是一元二次方程的是（ ） A ．(a 2－1)x 2+bx+c=0 B.ax 2+bx+c=0 C ． a 2x 2+bx+c=0 D.(a 2+1)x 2+bx+c=0 24. 方程x 2+3x －x+1=0的一次项系数是（ ） A ．3 B.－1 C.3－1 D.3x －x
25. 把方程2336222--=+-kx x k x kx 整理为
02=++c bx ax 的形式，并指出各项的系数.
26. 某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1185 元降到了580元，设平均每次降价的百分率为x ，则列出方程为_________________________________.
27. 如图①，在一幅矩形地毯的四周镶有宽度相同的花边． 如图17②，地毯图案长8米、宽6米，整个中央的矩
形地毯的面积是40平方米．求花边的宽
28. 若220x x --=22223()13
x x x x -+--+
课前预习
1．利用平方根的定义，将方程2
49x =直接开平方，所得方程的解为（ ） A ．497x =
= B 。497x ==-
C ．497x ==±
D 。497x =
±=±
2.用配方法解方程2
420x x -+=，下列配方正确的是（ ） A ．2
(2)2x -=
B ．2(2)2x +=
C ．2
(2)2x -=-
D ．2
(2)6x -=