高二数学复习讲义—导数及其应用
知识归纳
1．导数的概念
函数 y=f(x),如果自变量 x 在 x 0 处有增量 ?x ，那么函数 y 相应地有增量 ?y =f （x 0 + ?x ）
－f （x 0 ），比值 ?y
叫做函数 y=f （x ）在 x 0
?x
到 x 0 + ?x 之 间 的 平 均 变 化 率 ， 即 ?y = f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) 。如果当 ?x → 0 时， x ?x ?
y 有极限，我们就说函数 y=f(x)在点 x 处 ?x
可导，并把这个极限叫做 f （x ）在点 x 0 处
的导数，记作 f’（x 0 ）或 y’| x =x 0 。
即 f （x
）= lim ?y = lim f (x 0 + ?x ) - f (x 0 ) 。 0
?x →0 ?x ?x →0 ?x 说明：（1）函数 f （x ）在点 x 0 处可导，是指 ?x → 0 时，
??y x 有极限。如果 ??y
x 不存在极
限，就说函数在点 x 0 处不可导，或说无导数。（2）?x 是自变量 x 在 x 0 处的改变量，?x ≠ 0
4．两个函数的和、差、积的求导法则法则 1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： ( u ± v )' = u ' ± v '
. 法则 2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函 数 乘 以 第 二 个 函 数 的 导 数 ， 即 ：
(uv )' = u ' v + uv ' . 若 C 为常数, (Cu )' = C 'u + Cu ' = 0 + Cu ' = Cu ' .
即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： (Cu )' = Cu '
. 法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的
? u ? u ' v - uv ' 积再除以分母的平方：
? ‘ =
v 2 ? v ?
（v ≠ 0）。
形如 y=f [?(x ) ]的函数称为复合函数。复合
函数求导步骤：分解——求导——回代。法
时，而 ?y 是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的步骤：（1）求函数的增量 ?y =f （x 0 + ?x ）－f （x 0 ）； （2）求平均变化率
?y
=
f (x
+ ?x ) - f (x 0
) ；
?x
?x
（3）取极限，得导数 f’(x 0 )= lim
?y
。
?x →0
?x
2．导数的几何意义
函数 y=f （x ）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线 y=f （x ）在点 p （x 0 ，f （x 0 ））处的切线的斜率。也就是说，曲线 y=f （x ）在点 p
（x 0 ，f （x 0 ））处的切线的斜率是 f’（x 0 ）。
/
相应地，切线方程为 y －y 0 =f （x 0 ）（x －x 0 ）。
3．几种常见函数的导数:
① C ' = 0;
② (x n
)'
= nx n -1; ③ (sin x )' = cos x ;④ (cos x )' = -sin x ; ⑤ (e x )' = e x ; ⑥ ( a x )' = a x ln a ;
⑦ (ln x )'
= 1 ; ⑧ (l o g a x )' = 1 log a e .
x x
则：y＇| X = y＇| U·u＇| X
5.单调区间：一般地，设函数y=f(x)在某个区间可导，如果f'(x)>0，则f(x)为增函数；
如果f'(x)<0，则f(x)为减函数；如果在某区间内恒有f'(x)=0，则f(x)
为常数；
6.极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为 0，极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
7．最值：
一般地，在区间[a，b]上连续的函数 f (x)在
[a，b]上必有最大值与最小值。
①求函数? (x)在(a，b)内的极值；
②求函数? (x)在区间端点的值?(a)、
?(b)；
③将函数? (x)的各极值与?(a)、?(b)比较，
其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
高考题型
解 ： y / = ( x - a ) ( 3 x - 2a - ，b ) 由 y / = 0 得
1.导数定义的应用
例 1 (北京高考）如图，函数 f ( x ) 的图象是 x = a , x =
2a + b
，∴当 x = a 时， y 取极大值
3
折线段 ABC ，其中 A ，B ，C 的坐标分别为 0 ，当 x = 2a + b
时 y 取极小值且极小值为
(0，4)，(2，0)，(6，4) ，
3
lim f (1 + ?x )- f (1)
负．故选 C ．或当 x < b 时 y < 0 ，当 x > b 时， = _________．
y > 0 选 C ．
?x →0
?x
y
4
A
C
点评:通过导数研究函数图像的变化规律,也
3
是考试的热点题型.
2
3.利用导数解决函数的单调性问题
1
B
x
例 5 （ 全 国 高 考 ） 已 知 函 数
O 1 2 3 4 5 6
解：由图可知 f (x ) = ?- 2x + 4 0 ≤ x ≤ 2
f ( x ) = x 3 + ax 2 + x +1， a ∈R ．
? ，根
?x - 2
2 < x ≤ 3
（Ⅰ）讨论函数 f ( x ) 的单调区间；
据导数的定义
知 lim f (1 + ?x )- f (1) = f '(1) = -2 ．
（Ⅱ）设函数 f ( x ) 在区间 ? - 2 ，- 1 ??
内是减函
?x →0
?x
? 3 3 ?
例 ２ ( 重 庆 高 考 ) 已 知 函 数 f (x ) = (x 2 + bx + c )e x ,其中 b , c ∈ R ，（Ⅰ）略， （Ⅱ）若 b 2 ≤ 4(c -1), 且 lim f (x )- c = 4 ，试 x
x →0
证： - 6 ≤ b ≤ 2 ．
解 ： '
2
+ (b + 2)x + b + c )e x ， 易 知 f (0) = c ．故
f (x )- f (0)
f (x )- c '
， x x - 0 x →0
x →0 ?b + c = 4, 解得 - 6 ≤ b ≤ 2 ． 所以 ?
b 2 ≤ 4(
c -1),
? 2. 利用导数研究函数的图像 例 3 （ 安 徽 高 考 ） 设 a ＜ b, 函 数
y = ( 2
( x - 的b )图像可能是 x - a )
数，求 a 的取值范围．
解 ：（ 1 ） f ( x ) = x 3 + ax 2 + x +1 求 导 得
f '( x )= 2 +x 1
3 x + 2a
当 2 ≤ 3 时， ? ≤ 0 ， ' ≥ 0 ， f ( x ) 在 R 上 a f ( x ) 递增； 当 2 > 3 ， ' 求 得 两 根 为 a f ( x ) = 0
x =
- a ± a 2
- 3 ，
3
?
?
即 f ( x )
- a - a 2
- 3
在 -∞，
? 递 增 ，
3
?
?
?
? ? - a - a 2 - 3 - a + a 2 - 3
递 减
，
3 ， 3 ?
?
? ?
? ? - a + a 2 - 3
3 ，+ ∞? 递增。
?
? ?
（2）因为函数 f ( x ) 在区间 ?
- 2 ，- 1 ?? 内是减
? 3 3 ?
? 2
1 ?
函数，所以当 x ∈ -
，-
? 时 f '(x ) ≤ 0 恒成
3 3 ? ?
? ? 2 ?
? f ' - ? ≤ 0 3 ? ?
? 解 立，结合二次函数的图像可知 ? ? 1
? ?
?
? 3 ?
?
得 a ≥ 2 ．
点评：函数在某区间上单调转化为导函数 f
'(x ) ≥ 0 或 f '(x ) ≤ 0 在区间上恒成立问题，
是解决这类问题的通法．本题也可以由函数
? ?
- a - a 2 - 3 - a + a 2 - 3 在 3 ， 3
? 上递减，所以
? ? ? ? - a - a 2 - 3 ≤ - 2
?
3 3 ?
求解． ?
? - a + a 2 - 3 ≥ - 1
?
3 3
? 【 变 式 1 】（ 全 国 高 考 ） 若 函 数
f (x ) =
13 x 3 - 1
2 ax 2 + (a -1)x +1 在区间 (1,4)
上是减函数，在区间 (6,+∞)上是增函数，求
实数 a 的取值范围．
解： f (x ) = x 2 - ax + (a -1) ，令 f '(x ) = 0 得 x = 1或 x = a -1，结合图像知 4 ≤ a -1 ≤ 6 ，
故 a ∈[5,7]．
点评：本题也可转化为 f '(x )≤ 0，x ∈(1,4)恒
成立且 f '(x )≥ 0，x ∈(6,+∞)恒成立来解．
【 变 式 2 】（ 浙 江 高 考 ） 已 知 函 数
f ( x ) = x 3 + (1 - a ) x 2 - a ( a + 2)x + b
( a , b ∈ R ) ．若函数 f ( x ) 在区间 ( -1,1) 上不
．
单调，求 a 的取值范围． ．．
解：函数 f (x ) 在区间 (-1,1) 不单调，等价于
f (x ) = 0
在区间 (-1,1)
上有实数解，且无重 ' 根．
+ 2(1 - a )x - a (a + 2)
又
' 2
， 由
f '(x ) = 0 ，得 x 1 = a , x 2 = - a +3 2
。从而
?-1 < a < 1,
?
-1 < - a + 2 < 1,
?
a + 2 或
?
3
解 得
?
?
a + 2
?a ≠ -
,
?
3
3 .
?
?-1 < a < 1, ?- 5 < a < 1, ? 1 ? 1
? 或 ?
?a ≠ - ,
?a ≠ - ,
2 2 ? ?
? - 5,- 1 ? ? - 1 ?
所以 a 的取值范围是 ? ,1?.
? 2 ? ? 2 ?
点评：这种逆向设问方式是今后高考命题的
一种趋势，充分体现高考“能力立意”的思想，高考中应高度重视。 （4）利用导数的几何意义研究曲线的切线问 题
例 6 （江西高考）若存在过点 (1, 0) 的直线与
曲线 y = x 3 和 y = ax 2 + 15
x - 9 都相切，则 a 等
4
于
A ． -1 或 - 25
B ． -1 或 21 4 64
C ． - 7 或 - 25
D ． - 7 或 7
4 4
解：设过 ( 1, 0 )的直线与 y = x 3 相切于点
( x 0 , x 03 )
， 所 以 切 线 方 程
为
y - x 0 3 = 3 x 0 2 ( x - x 0 )
即 y = 3 x 0 2 x - 2x 03 ，又 (1, 0)在切线上，则
x 0 = 0 或 x 0 = -
32 ，
当 x 0 = 0 时，由 y = 0 与 y = ax 2 +
15
4 x - 9 相切可得 a = - 64
25
，
3
2 7 2 7 当 x
0 = - 时 ， 由 y =
x -
与 2 4 4
y = ax 2+15
4 x -9相切可得a= -1，
所以选A .
点评：函数的切线问题，切点是关键，因为它是联结曲线和其切线的“桥梁”，在做题中往往需要设出切点．
【变式】（ 辽宁高考）设 P 为曲线 C ：
y = x 2 + 2 x + 3 上的点，且曲线 C 在点 P 处切
线倾斜角的取值范围为 ? π ?
?
0，
? ，则点 P 横坐
? 4 ?
标的取值范围为（ ）
A ． ?
-1，- 1 ?
B ． [
-1，0
?
? 2 ?
[ ]
? 1 ?
? 2
? 解：由曲线 C 在点 P 处切线倾斜角的取值范
? π ?
围为 ? 0，
? ，可得曲线 C 在点 P 处切线的斜
? 4 ?
率范围为 [0 1] y = 2x + 2 ，设点 P
的横坐
，，又 ' 标 为 x 0 ， 则 0 ≤ 2x 0 + 2 ≤ 1 ， 解 得 -1 ≤ x 0 ≤ -
1
2 ，故选 A ．
5. 利用导数求函数的极值与最值
例 7 （ 天 津 高 考 ） 已 知 函 数
f ( x ) = x 4 + ax 3 + 2x 2 + b （ x ∈ R ）， 其 中
a ,
b ∈ R ．若函数 f ( x ) 仅在 x = 0 处有极值，
求 a 的取值范围．
解： f '( x ) = x (4 x 2 + 3ax + 4) ，显然 x = 0 不是
方程 4 x 2 + 3ax + 4 = 0 的根．
为 使 f ( x ) 仅 在 x = 0 处 有 极 值 ， 必 须
4 x 2 + 3ax + 4 ≥ 0 成立，即有 ? = 9a 2 - 64 ≤ 0 ．
解不等式，得 -
83 ≤ a ≤ 83 ．这时， f (0) = b 是
唯一极值．因此满足条件的 a 的取值范围是
[ -
83 , 8
3] ．
6.利用导数解决实际问题
例 8 用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体
形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解：设长方体的宽为 x （m ），则长为 2x (m)，
高为 h = 18 -12x = 4.5 - 3x (m)
? 3 ?
0＜x ＜
? .
4 ?
2 ?
故 长 方 体 的 体
积 为
2
2
3 3
? 3 ?
V (x ) = 2x
(4.5 - 3x )
= 9x -
6x (m )
< x
<
?
?
2 ?
从而 V '(x ) =18x -18x 2 (4.5 - 3x ) =18x (1 - x ).
令V '(x ) = 0 ，解得 x = 0（舍去）或 x = 1，因
此 x = 1.
当 0 < x < 1 时， V '(x ) > 0 ；当 1 < x <
3
2 时，
V '(x )< 0 ，故在 x = 1处V (x )取得极大值，并
且这个极大值就是V (x )的最大值，从而最大
体积V = V '(x ) = 9 ?12 - 6 ?13 (m 3 )，此时长方
体的长为 2 m ，高为 1.5 m
导数及其应用[基础训练 A 组]
一、选择题
1．若函数y=f(x)在区间 ( a , b) 内可导，且x0∈( a, b) 则 lim f ( x0+ h )- f ( x0- h)
h
h→0
的值为（ B ）
A．f ' ( x ) B．2f ' ( x ) C．-2f'(x) D．0
0 0 0
lim f (x0+ h )- f (x0 - h ) = lim 2[ f (x0 + h )- f (x0 - h) ]
h 2h
h →0 h→0
= 2lim f (x0 + h )- f (x0 - h) = 2 f' (x )
h→0 2h 0
2．一个物体的运动方程为s=1-t+t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（C）
A． 7 米/秒B． 6 米/秒
C．5米/秒D．8米/秒
s '(t )=2t -1, s'(3)=2?3-1=5
3．函数y=x3+x的递增区间是（C ）
A．(0,+∞) B．(-∞,1)
C．(-∞,+∞) D．(1,+∞)
y '=3x2+1>0对于任何实数都恒成立
4．f (x ) =ax3+ 3x2+ 2 ,若f' (-1) = 4 ,则a的值等于（D ）
A．19 B．16
3 3
C．13 D．10
3 3
f '(x )=3ax 2+6x, f '(-1)=3a -6=4, a = 10 3
5．函数y=f(x)在一点的导数值为0是函数y=f(x)在这点取极值的（ D ）A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．必要非充分条件
对于f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,不能推出f(x)在x=0取极值，反之成立