简谐运动的对称性
在高中物理模型中，有很多运动模型有对称性，如（类）竖直上抛运动的对称性，简谐运动中的对称性，电路中的对称性，带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动中几何关系的对称性.
简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。(从某点到达最大位置和从最大位置再回到这一点所需要的时间相等、从某点向平衡位置运动的时间和它从平衡位置运动到这一点的对称点所用的时间相等).理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。
下面我们分别从五个方面说明对称性在简谐运动中的应用:
一、运动时间的对称性
例1.如下图所示，一个质点在平衡位置O 点附近做简谐运动，若从O 开始计时，经过3s 质点第一次过M 点；再继续运动，又经过2s 它第二次经过M 点；则该质点第三次经过M 点所需要的时间是（ ）
A. 8s
B. 4s
C. 14s
D. s 310
【解析】设图中a 、b 两点为质点运动过程中的最大位移处，若开始计时时刻质点从O 点向右运动，O →M 运动过程历时3s ，M →b →M 过程历时2s ，由运动时间的对称性知：s 16T ,s 44T ==质点第三次经过M 点所需时间：△s 14s 2s 16s 2T t =-=-=，故C 正确；若开始计时时刻质点从O 点向左运动，O →a →O →M ，运动过程历时3s ，M →b →M 过程历时
2s ，有：s 316T ,s 44
T 2T ==+，质点第三次经过M 点所需时间： △
s 310s 2s 316s 2T t =-=-=，故D 正确，应选CD 。
二、速度的对称性
例2.做简谐运动的弹簧振子，其质量为m ，运动过程中的最大速率为v ，从某一时刻算起，在半个周期内（ ）
A. 弹力做的功一定为零
B. 弹力做的功可能是0到2
mv 21之间的某一值
C. 弹力的冲量一定为零
D. 弹力的冲量可能是0到2mv 之间的某一值
【解析】由速度的对称性知，无论从什么时刻开始计时，振子半个周期后的速度与原来的速度大小相等，方向相反。由动能定理知，半个周期内弹力做的功为零，A 正确；半个周期内振子速度变化量的最大值为2mv 。由动量定理知，弹力的冲量为0到2mv 之间的某一值，故D 正确，应选AD 。
三、位移的对称性
例3.一弹簧振子做简谐动动，周期为T ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 若t 时刻和（t+△t ）时刻振子运动的位移大小相等、方向相同，则△t 一定等于T 的整数倍
B. 若T 时刻和（t+△t ）时刻振子运动的速度大小相等、方向相反，则△t 一定等于T/2的整数倍
C. 若△t=T ，则t 时刻和（t+△t ）时刻，振子运动的加速度一定相等
D. 若△t=2T
，则t 时刻和（t+△t ）时刻，弹簧的长度一定相等
【解析】两时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，说明振子位于同一位置，△t 不定等于T 的整数倍，A 错；振子两次经过同一位置时的速度大小相等、方向相反，但△t 不一定等于2T
的整数倍，B 错；在相隔一个周期T 的两个时刻振子位于同一位置，振子运动的
加速度一定相等，C 正确；相隔△t=2T
的两个时刻，振子位于对称位置，位移大小相等方向相反，这时弹簧的长度不同，D 错，应选C 。
四、回复力的对称性
例4.如下图在质量为M的支架上用一轻质弹簧挂有质量均为m（M≥m）的A、B两物体，支架放在水平地面上，开始各物体都静止，突然剪断A、B间的连线，此后A做简谐运动，当A运动到最高点时，支架对地面的压力为（）
A. Mg
B. (M－m)g
C. (M+m)g
D. (M+2m)g
【解析】剪断细线的瞬间，弹簧对A的弹力为kx=2mg，A受到向上的合外力为mg。当A 运动到上方最大位移处，由简谐运动的回复力的对称性知，A将受到竖直向下的合外力，其大小仍为mg，此时弹簧中没有弹力，所以木箱对地面的压力大小为Mg。应选A。
例5.质量为M的框架，如图放置，用轻弹簧连接质量为m的A物体，A下面
用细线吊一质量为2m物体B，上端固定在框架上，剪断细线，在A运动的过程中，
框架对地面的最小压力是多大？(M≥m)
解答：剪断细线后，A将作简谐运动，设弹簧劲度系数为k，其平衡位置在自然长度下X0=mg/k时，刚开始，弹簧伸长X=3mg/k，故振幅为A=2mg/k，由对称性，在最高点，弹簧将压缩X’=mg/k，弹簧对框架的作用力的kX’=mg，向上，故框架对地面的最小压力为(M-m)g。
例6.在水中有一木块A，其上置一质量为m物块B，当拿去B后，A恰能跳
离水面，求A物体的质量。
解答：拿走B后，A物体将作上下的简谐运动，刚开始，A处于最低振幅位置，其回复力的大小应等于B物体的重力，向上。由于A恰能跳离水面，故最高点就是此位置，其回复力应等于A物体所受的重力，由于最高位置和最低位置的对称性，回复力应相等，故A物质量
应等于B物的质量，∴M A=M B
例7.质量为m1、m2两物块间有一轻质弹簧如图所示放在水平地面上，在m1上
加一竖直向下的外力F，撤去F后，m2恰能离开地面，求F的大小。
解答：这一问题，用机械能守恒可解，但要用到弹性势能的公式，解答过程中也
较繁。
我们利用简谐运动的对称性来分析这一问题。
撤去F后，m1将作简谐运动。
初始，在最低位置，回复力为F 向上，由于m 2恰能离开地面，此时m 1在最高位置，弹簧由于伸长对m 2的拉力为m 2g ，对m 1的向下拉力也为m 2g 。M 1所受合力即回复力为(m 1+m 2)g 。最高点与最低点对称，故F=(m 1+m 2)g
解答物理题有很多方法，但如果一个问题有对称性，首先考虑用对称法来解题，将能起到事半功倍的效果。
五、加速度的对称性
例8.如下图所示，一劲度系数为k 的轻弹簧下端固定于水平地面上，弹簧的上端固定一质量为M 的薄板P ，另有一质量为m 的物块B 放在P 的上表面。向下压缩B ，突然松手，使系统上下振动，欲使B 、P 始终不分离，则轻弹簧的最大压缩量为多少？
【解析】将B 、P 看成一个简谐振子，当B 、P 在平衡位置下方时，系统处于超重状态，B 、P 不可能分离，分离处一定在平衡位置上方最大位移处，当B 、P 间弹力恰好为零时两物体分离，此时B 的回复力恰好等于其重力mg ，其最大加速度为
g a max =。由加速度的对称性可知，弹簧处于压缩量最大处的加速度也为g a max =。由牛顿第二定律得max max a )m M (g )m M (kx +=+-，解得k g
)m M (2x max +=。
由此可见，灵活运用简谐活动的对称性解题，可使解题过程简捷明了，达到事半功倍的效果。
简谐运动是质点运动的一种基本模型，它的基本特点就是周期性和对称性。在解答某些问题时，如果能充分利用其对称性，不仅物理过程简单明了，而且解答也很简洁。
例9.一个铁球从竖直在地面轻弹簧的正上方某处自由下落，接触弹簧后将弹簧压缩到最大时( )
A 、球所受的合力最大，但不一定大于重力值
B 、球的加速度最大，且一定大于重力加速度值
C 、球的加速度最大，有可能小于重力加速度值
D 、球所受弹力最大，但不一定大于重力值
如果仅从力、加速度和速度的变化来分析也很难得到结果。而利用简谐运动的对称性解题则简单明了。设想铁球轻放于弹簧上端。理想情况下，它将上下简谐运动，平衡位置在其中点合力为0处。在最高点时，合力为mg ，弹簧提供的回复力在最低点与最高点对称，合力也为mg 处同。从高处下落压缩量必大于轻放时的压缩量，故合力必大于重力且向上，故本题只能选(B)。也可设想小球与弹簧接触时即与弹簧连接，以后将是简谐运动，在最高处合力大于重力，故最低点合力与最高处相等，且必大于重力。这样分析，就避免了用功能观点分析这一问题，清楚简洁。
例10.如图所示，三角形架质量为M ，沿其中轴线用两根轻弹簧
相栓接一质量为m 的小球，原来三角形架静止在水平面上，现使
小球上、下振动，已知三角形架对水平面的最小压力为零。
求：（1）当三角形架对水平面的压力为零时，小球的瞬时加速度：
（2）若上、下两弹簧的劲度系数均为k ，则小球做简谐运动的最
大位移为多大？
（3）三角形架对水平面的最大压力？
六:能量的对称性: 例11.原长为30cm 的轻弹簧竖立于地面，下端固定在地面上（如图3a ），质量为kg m 1.0=的物体放到弹簧顶部，物体静止，平衡时弹簧长为26cm 。如果物体从距离地面130cm 处自由下落到弹簧上，当物体压缩弹簧到距离地面22cm 时，（不计空气阻力，取g=10m/s2，重物在地面时，重力势能为零）则（ ） A. 物体的动能为1J B. 物体的重力势能为1.08J C. 弹簧的弹性势能为0.08J D. 物体的动能和重力势能之和为
2.16J
解析 由题分析可知，当弹簧距离地面26cm 时的位置O 即是物体做简谐运动的平衡位置。根据动能的对称性可知，物体与地面相距30cm 时C 位置的动能和距离22cm 时B 位置的动能相等（如图3b ）。因此只要求出物体自由下落到刚接触弹簧时的动能即可。
由机械能守恒定律可得：k E mgh =1
J
E k 110)30130(101.02=?-??=- 对于C 到B 的过程，根据机械能守恒定律有：
弹E mgh ?=2
J
E 08.0108101.02=???=-弹 所以正确答案为：A 、C 。
C h 1
O h 2
图3b
mg kx =1mg kx =22
52123mv mgd mgd ?=-gd v 5
2=例12.如图所示，一轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端与物体A 连接，
物体A 又与一跨过定滑轮的不可伸长的轻绳一端相连，绳另一端悬挂着物
体B ，B 的下面又挂着物体C ，A 、B 、C 均处于静止状态。现剪断B 和C 之
间的绳子，则A 和B 将做简谐运动。已知物体A 质量为3m ，B 和C 质量均
为2m ，A 和B 振动的振幅为d 。试求：
（1）物体A 振动的最大速度；
（2）振动过程中，绳对物体B 的
最大拉力和最小拉力。
【分析】（1）绳剪断前，弹簧伸长量为x1，剪断后，在振动的平
衡位置，弹簧压缩x2，
由于x1=x2，
两个状态的弹性势能相等 （振动的振幅 d=x1+x2）； 由机械能守恒定律，有：
解得
（2）B 振动到最低点时拉力最大为F1；振动到最高点时拉力最小为F2；
B 在振动过程的最低点：
对B:F1-2mg=2ma
对A:3mg-kx1-F1=3ma
解得：F1=2.8mg
B 在振动过程的最高点：
对B:2mg-F2=2ma
解得：F2=1.2mg
【点评】:象这种利用简谐运动的对称性的能量类综合题，近几年来也时有出现。基本思路为: （1）利用某两位置弹簧变化量的对称性从而推知该两位置弹性势能的对称性，如此题中最高点与平衡位置弹簧的压缩量与伸长量相同，故此两位置弹性势能相同。（2）利用在最高点与最低点这两位置的对称性：包括振动过程相对平衡位置两侧的最大位移值相等、回复力、加速度大小相等。
例13.如图所示,在倾角为30°的光滑斜面上,一劲度系数为k 的轻质弹簧一端固定在固定挡板C 上,另一端连接一质量为m 的物体A,一轻细绳通过定滑轮,一端系在物体A 上,另一端有一细绳套,细绳与斜面平行,物体A 处于静止状态.现在细绳套上轻轻挂上一个质量也为m 的物体B,A 将在斜面上做简谐运动。试求:
(1)物体A 的最大速度值。
(2)物体B 下降到最低点时,细绳对物体B 的拉力值。
例14.如图甲所示，竖直放置轻弹簧下端与放在水平地面上的物
块A相连，上端与物块B相连。物块C在B的正上方某处自由下
落，与B碰后黏合在一起后继续下降(C与B碰后黏合后的速度是
黏合C速的一半)。在物块C正上方放置一个速度传感器，以测定
C下落的速度；在物块A的正下方放置一个压力传感器，以测
量物块A对地面的压力F N，得到如图乙所示的―t和F N―t图，
图中纵坐标上的F N1、、均为已知量。已知弹簧的劲度系数为，A、B、C三个物块的质量均相等且都可视为质点，重力加速度为g。
（1）每个物块的质量m；
（2）求从t1到t2时间内，B、C黏合体对弹簧做功的大小？
（3）为使B、C黏合体向上反弹到最大高度时，物块A对地面的压力恰好为零，则C物块开始下落时与B物块间的距离H应为多大？
例15.如图所示,质量为m的物体A用一轻弹簧与下方地面上质量也为m的物体B相连,开始时A和B均处于静止状态,此时弹簧压缩量为X0,一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物体A，另一端C握在手中, 各段绳均刚好处于伸直状态，物体A上方的一段绳沿竖直方向且足够长.现在C端加水平恒力F使物体A从静止开始向上运动.(整个过程弹簧始终处于弹性限度内)
(1)如果在C端所加的恒力大小为3mg,则在物体B刚要离开地面时物体A的速度为多大?
(2)若将物体B的质量增加到2m,为了保证运动中B始终不离开地面,则F最大不超过多少?
例16.如图，质量为1m 的物体A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为2m 的物
体B 相连，弹簧的劲度系数为k ，A 、B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻
绳绕过轻滑轮，一端连物体A ，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直
状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。现在挂钩上挂一质量为3m 的物体C 并从
静止状态释放，已知它恰好能使B 离开地面但不继续上升。若将C 换成另一
个质量为)(31m m 的物体D ，仍从上述初始位置由静止状态释放，则这次B
刚离地时D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为g 。
例17.如图所示，挡板P 固定在足够高的水平桌面上，
小物块A 和B 大小可忽略，它们分别带有+QA 和+QB 的
电荷量，质量分别为mA 和mB 。两物块由绝缘的轻弹簧
相连，一不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B 连接，另
一端连接一轻质小钩。整个装置处于场强为E 、方向水
平向左的匀强电场中。A 、B 开始时静止，已知弹簧的劲
度系数为k ，不计一切摩擦及A 、B 间的库仑力，A 、B 所带电荷量保持不变，B 不会碰到滑轮。
(1) 若在小钩上挂一质量为M 的物块C 并由静止释放，可使物块A 恰好能离开挡板P ，求物块C 下落的最大距离；
(2) 若C 的质量改为2M ，则当A 刚离开挡板P 时，B 的速度多大？
例18.如图所示，将质量均为m 厚度不计的两物块A 、B 用轻质弹簧相连接。
第一次只用手托着B 物块于H 高度，A 在弹簧弹力的作用下处于静止，现将弹
簧锁定，此时弹簧的弹性势能为Ep ，现由静止释放A 、B ，B 物块刚要着地前
瞬间将弹簧瞬间解除锁定（解除锁定无机械能损失），B 物块着地后速度立即
变为0，在随后的过程中B 物块恰能离开地面但不继续上升。第二次用手拿着
A 、
B 两物块，使得弹簧竖直并处于原长状态，此时物块B 离地面的距离也为H ，然后由静止同时释放A 、B ，B 物块着地后速度同样立即变为0。求：
（1）第二次释放A 、B 后，A 上升至弹簧恢复原长时的速度v1;
（2）第二次释放A 、B 后，B 刚要离地时A 的速度v2.