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任意角的三角函数公开课教案

任意角的三角函数公开课教案
任意角的三角函数公开课教案

任意角的三角函数(第一课时)

教学目标

1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.

2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验.

3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.

4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度.

一、重点、难点、关键

重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数.

关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化).

二、教学过程

[执教线索:

回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习——回顾小结——布置作业]

(一)复习引入、回想再认

开门见山,面对全体学生提问:

在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?

探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下: (情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?

让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:

传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x 与y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一确定的值和它对应,那么就说y 是x 的函数,x 叫做自变量,自变量x 的取值范围叫做函数的定义域.

现代定义:设A 、B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数,在集合B 中都有唯一确定的数 f (x )和它对应,那么就称映射?:A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数,记作:y= f (x ),x ∈A ,其中x 叫自变量,自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域.

(情景2)我们在初中通过锐角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想:这三个三角函数分别是怎样规定的?

sin α=斜边对边,con α=斜边邻边,tan α=邻边对边

(情景3)我们已经把锐角推广到了任意角,锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗?试试看,可以独立思考和探索,也可以互相讨论!

留时间让学生独立思考或自由讨论,教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导.

能推广吗?怎样推广?针对刚才的问题点名让学生回答. 用角的对边、临边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了,由于前面已经以直角坐标系为工具来研究任意角了,学生一般会想到(否则教师进行提示)继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.

教师对学生回答情况进行点评后布置任务情景:请同学们用直角坐标系重新研究锐角三角函数定义!

把锐角α安装(如何安装?角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴非负半轴重合)在直角坐标系中,在角α终边上任取一点P ,作PM ⊥x 轴于M ,构造一个Rt ΔOMP ,则∠ MOP=α(锐角),设P (x,y )(x >0、y >0),α的临边OM =x 、对边MP=y ,斜边长|OP ∣=r.

根据锐角三角函数定义用x 、y 、r 列出锐角α的正弦、余弦、正切三个比

值,并补充对应列出三个倒数比值:

(情景4)各个比值与角之间有怎样的关系?比值是角的函数吗? 追问:锐角α大小发生变化时,比值会改变吗?

先让学生想象思考,作出主观判断,再用几何画板动画演示,同时作好解释说明:保持r 不变,让P 绕原点O 旋转即α在锐角范围内变化,六个比值 随之变化的直观形象。结论是:比值随α的变化而变化.

引导学生观察图3,联系相似三角形知识,

探索发现:

对于锐角α的每一个确定值,六个比值都是 确定的,不会随P 在终边上的移动而变化. 得出结论(强调):当α为锐角时,六个比值随α的变化而变化;但对于锐角α的每一个确定值,六个比值都是确定的,不会随P 在终边上的移动而变化. 所以,六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.

(三)分析归纳、自主定义

(情境5)能将锐角的比值情形推广到任意角α吗?

水到渠成,师生共同进行探索和推广:

sin α=斜边对边=r y ,con α=斜边邻边=r x ,tan α=邻边对边=x

y ?=y r ?=x r ?=y x

对于一个任意角α,它的终边所在位置包括下列两类共八种情形(投影展示并作分析):

终边分别在四个象限的情形: 终边分别在四个半轴上的情形:

(指出:不画出角的方向,表明角具有任意性)

怎样刻画任意角的三角函数呢?研究它的六个比值:

(板书)设α是一个任意角,在α终边上除原点外任意取一点P (x ,y ),P 与原点O 之间的距离记作r (r=22y x >0),列出六个比值:

r y

r x x y y r

x r

y

x α=k π+π/2时,x=0,比值 y/x 、r/x 无意义;

α= k π时,y=0,比值x /y 、r /y 无意义.

追问:α大小发生变化时,比值会改变吗?

先让学生想象思考,作出主观判断,再用几何画板动画演示,同时作好解释说明:使r 保持不变,P 绕原点O 逆时针、顺时针旋转即角α变化,六个比值随之改变的直观形象。结论是:各比值随α的变化而变化.

再引导学生利用相似三角形知识,探索发现: 对于任意角α的每一个确定值,六个比值都是确定的,不会随P 在终边上的移动而变化.

综上得到(强调):当角α变化时,六个比值随之变化;对于确定的角α, 六(图4) P(x,y) y x O · P(x,y) y x O · P(x,y) y x O · P(x,y) y x O

· (图5)

个比值(如果存在的话)都不会随P 在角α终边上的改变而改变,六个比值是确定的(对应的多值性即诱导公式一留到下节课分析).

因此,六个比值分别是以角α为自变量、以比值为函数值的函数.

根据历史上的规定,对比值进行命名,指出英文记法和读法,记作(承前

作复合板书):

r y =sin α(正弦) r x =cos α(余弦) x

y =tan α(正切) y r =csc α(余割) x r =sec (正弦) y

x =cot α(余切) 教师强调:sin α表示sin 与α的乘积吗?不是,sin α是函数记号,是一个整体,相当于函数记号f (x ). 其它几个三角函数也如此

投影显示图六,指导学生分析其对应关系,进一步体会其函数内涵:

(图六)

指导学生识记六个比值及函数名称.

教师指出:正弦、余弦、正切、余切、正割、余割六个函数统称为三角函数,三角函数有非常丰富的知识和思想方法,我们以后主要学习正弦、余弦、正切三个函数的相关知识和方法,对于余切、正割、余割,只要同学们了解它们的定义就够了(遵循大纲要求).

引导学生进一步分析理解:

已知角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,对于每一个确定的实数,把它看成一个弧度数,就对应着唯一的一个角,从而分别对应着六个唯一的三角函数值. 因此,(板书)三角函数可以看成是以实数为自变量的函数

,这将为以后的应用带来很多方便.

(四)探索定义域

(情景6)(1)函数概念的三要素是什么?

函数三要素:对应法则、定义域、值域.

正弦函数sin α的对应法则是什么?

正弦函数sin α的对应法则,实质上就是sin α的定义:对α的每一个确

定的值,有唯一确定的比值y/r 与之对应,即α→ y/r= sin α.

(2)布置任务情景:什么是三角函数的定义域?请求出六个三角函数的定义

引导学生自主探索:

如果没有特别说明,那么使解析式有意义的自变量的取值范围叫做函数的定义域,三角函数的定义域自然是指:使比值有意义的角α的取值范围.

关于sin α=y/r 、cos α=x/r ,对于任意角α(弧度数),r >0,y/r 、x/r 恒有意义,定义域都是实数集R.

对于tan α=y/x ,α= k π+π/2 时x=0,y/x 无意义,tan α的定义域是:{α|α∈R ,且α≠k π+π/2 }. … … …

教师指出: sin α、cos α、tan α的定义域必须紧扣三角函数定义在理解的基础上记熟,cot α、csc α、sec α的定义域不要求记忆.

(关于值域,到后面再学习).

(五)符号判断、形象识记

(情景7)能判断三角函数值的正、负吗?试试看!

引导学生紧紧抓住三角函数定义来分析,r >0,三角函数值的符号决定于x 、y 值的正负,根据终边所在位置总结出形象的识记口诀:

(同好得正、异号得负)

sin α= y/r :上正下负横为0 cos α=x/r :左负右正纵为0 tan α=y/x :交叉正负

练习巩固、理解记忆

1、自学 例1:已知角α的终边经过点P (2,-3),求α的六个三角函数值. 要求:读完题目,思考:计算什么?需要准备什么?闭目心算,对照解答,模仿书面表达格式,巩固定义.

课堂练习:

p19题1:已知角α的终边经过点P (-3,-1),求α的六个三角函数值. 要求心算,并提问中下学生检验,---- ----

点评:角α终边上有无穷多个点,根据三角函数的定义,只要知道α终边上- y - +

+ x - y + - + x + y - - + x

任意一个点的坐标,就可以计算这个角的三角函数值(或判断其无意义).

补充例题:已知角α的终边经过点P (x ,-3),cos α=4/5,求α的其它五个三角函数值.

师生探索:已知y=-3,要求其它五个三角函数值,须知r=?,x =?.根据定义得22)3(-+x x =54(方程思想), x >0,解得x=4,从而 ---- ----.解答略.

2、自学 例2:求下列各角的六个三角函数值:(1) 0;(2)π/2 ;(3) 3π/2. 提问,据反馈信息作点评、修正.

师生探索:紧扣三角函数定义求解,首先要在终边上取定一点。终边在哪儿呢?取定哪一点呢?任意点、还是特殊点?要灵活,只要能够算出三角函数值,都可以。

取特殊点能使计算更简明。

处理:要求取点用定义求解,针对计算过程提问、点评,理解巩固定义. 强调:终边在坐标轴上的角叫轴线角,如0、π/2 、π、3π/2 等,今后经常用到轴线角的三角函数值,要结合三角函数定义记熟这些值.

(六)回顾小结、建构网络

要求全体学生根据教师所提问题进行总结识记,提问检查并强调:

1.你是怎样把锐角三角函数定义推广到任意角的?或者说任意角三角函数具体是怎样定义的?(建立直角坐标系,使角的顶点与坐标原点重合,---,在终边上任意取定一点P ,---)

2.你如何判断和记忆正弦、余弦、正切函数的定义域?(根据定义,------)

3.你如何记忆正弦、余弦、正切函数值的符号?(根据定义,想象坐标位置, -----)

(七)布置课外作业

1.书面作业:习题4.3第3、4、5题.

2.认真阅读p22“阅读材料:三角函数与欧拉”,了解欧拉的生平和贡献,

任意角的三角函数及基本公式

第 18 讲 任意角的三角函数及基本公式 (第课时) 任意角的三角函数? ? ?? ? ? ? ?? ??? ????? ?? ??????? ±±--?±?+????? ????? ??的函数关系与以及的函数关系 与以及的函数关系与的函数关系与诱导公式倒数关系式 商数关系式平方关系式系式同角三角函数的基本关任意角三角函数定义 弧度制角的概念的扩充三角函数的概念ααπαπααααααα232360180360k 重点:1.任意角三角函数的定义;2.同角三角函数关系式;3.诱导公式。 难点:1.正确选用三角函数关系式和诱导公式;2.公式的理解和应用。 2.理解任意角的正弦、余弦、正切的定义,了解余切、正割、余割的定义;3.掌握同角三角函数的基本关系式;4. 掌握正弦、余弦的诱导公式。 ⑴ 角可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的,射线旋转开始的位置叫做角的始边,旋转终止的位置叫做角的终边,射线的端点叫做角的顶点。 ⑵ 射线逆时针旋转而成的角叫正角。射线顺时针旋转而成的角叫负角。射线没有任何旋转所成的角叫零角。 2.弧度制 ⑴ 等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。用“弧度” 作单位来度量角的制度叫做“弧度制”。 注意:1sin 表示1弧度角的正弦,2sin 表示2弧度角的正弦,它们与?1sin 、?2sin 不是

一回事。 ⑵ 一个圆心角所对的弧长与其半径的比就是这个角的弧度数的绝对值。正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零。 ⑶ 设一个角的弧度数为α,则 r l = α (l 为这角所对的弧长,r 为半径)。 ⑷ 所有大小不同的角组成的集合与实数集是一一对应的,这个对应是利用角的弧度制建立的。 ⑸ 1π=?弧度,1弧度?=)180 ( 。 设扇形的弧长为l ,扇形面积为S ,圆心角大小为α弧度,半径为r , 则 αr l = ,α22 1 21r lr S == 。 3.角的集合表示 ⑴ 终边相同的角 设β表示所有终边与角α终边相同的角(始边也相同),则 αβ+??=360k (也可记为 απβ+=k 2 Z k ∈) 。 ⑵ 区域角 介于某两条终边间的角叫做区域角。例如 ?+??<

高中数学必修四1.2.1任意角的三角函数导学案

1.2.1任意角的三角函数(A 层学案) 学习目标:1.能借助单位圆记住任意角的正弦、余弦、正切函数的定义; 2.记住诱导公式一并会应用。 学习重点:任意角三角函数的定义及诱导公式一的应用。 学习难点:任意角的三角函数的定义。 一、课前预习案 1.任意角三角函数 (1)在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么: ①y 叫做α的________,记作______,即sin α=y ; ②x 叫做α的________,记作______,即cos α=x ; ③ y x 叫做α的________,记作______,即tan α=y x (x ≠0). (2)在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边上任意一点P (x ,y ),它到原点的距离r(r>0),r= ,那么任意角α的三角函数的定义为: sin α= cos α= tan α= 2.正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 记忆口诀: 。 3.诱导公式一 终边相同的角的同一三角函数的值________,即: sin(α+k ·2π)=________,cos(α+k ·2π)=________, tan(α+k ·2π)=________,其中k ∈Z . 4.利用任意角三角函数的定义推导特殊角的三角函数值. 角α 0 π6 π4 π3 π2 23π 34π 56π π 3 2 π 2π sin α cos α tan α

二、课内探究案 知识点一利用定义求角的三角函数值 例1:已知角α的终边经过点P(-4,3),求sin α、cos α、tan α的值.变式训练1: (1)已知角α的终边过点 0(3,4) P--,求角α的正弦、余弦和正切值. (2)已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求sinα、cosα、tanα的值. 知识点二:三角函数值的符号问题 例2. (1)α是第四象限角,则下列数值中一定是正值的是( ) A.sin α B.cos α C.tan α D.cos α或tan α (2)若sin θ·tan θ>0,cos θ·tan θ<0,则sin θ·cos θ______0 (填“>”“<”或“=”). (3)函数的值域是_______. 变式训练2:判断下列各式的符号. (1)sin 370°+cos 370°.

2020年普通高考数学一轮复习第22讲任意角的三角函数及诱导公式精品学案

2020年普通高考数学科一轮复习精品学案 第22讲任意角的三角函数及诱导公式 一?课标要求: 1 .任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化; 2.三角函数 (1)借助单位圆理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; (2)借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(n /2 ±a , n±a的正弦、余弦、正切)。 二.命题走向 从近几年的新课程高考考卷来看,试题内容主要考察三角函数的图形与性质,但解决这类问题的基础是任意角的三角函数及诱导公式,在处理一些复杂的三角问题时,同角的三角函数的基本关系式是解决问题的关键。 预测2020年高考对本讲的考察是: 1.题型是1道选择题和解答题中小过程; 2 .热点内容是三角函数知识的综合应用和实际应用,这也是新课标教材的热点内容。 三.要点精讲 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射 线由原来的位置OA,绕着它的端点O按逆时针方向旋转到终止位置OB,就形成角。旋转开始时的射线OA叫做角的始边,OB叫终边,射线的端点O叫做叫的顶点。 为了区别起见,我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角,按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角。 2.终边相同的角、区间角与象限角 角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合。那么,角的终边(除端点外)在 第几象限,我们就说这个角是第几象限角。要特别注意:如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为非象限角。 终边相同的角是指与某个角a具有同终边的所有角,它们彼此相差2k n (k € Z),即 { 3 | 3 =2k n +a, k€ Z},根据三角函数的定义,终边相同的角的各种三角函数值都相等。 区间角是介于两个角之间的所有角,女口a€ { a| — WaW—}=[_,—]。 6666 3 .弧度制 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角,记作 1 rad , 或1弧度,或1(单位 可以省略不写)。 角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分,如-n, -2n等等,一般地,正角 的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋 转方向来决定。 角的弧度数的绝对值是:丄,其中,|是圆心角所对的弧长,r是半径。 r 角度制与弧度制的换算主要抓住180 rad。 180

任意角的三角函数教案

1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 1.知识与技能 (1)掌握任意角的三角函数的定义. (2)已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值. (3)记住三角函数的定义域. 2.过程与方法 (1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义,最后到直角坐标系中一 般化的三角函数定义,培养学生发现数学规律的思维方法和能力. (2)树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数. (3)通过对定义域介绍,提高学生分析、探究、解决问题的能力. 3.情感、态度与价值观 (1)使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的 一种联系方式. (2)学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神. 重点、难点 教学重点:任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号). 教学难点:利用角的终边上点的坐标刻画三角函数,三角函数的符号以及三角函数的几何意义. 授课类型:新授课 教学模式:启发、诱导发现教学. 新知探究 一、三角函数的定义: 提出问题 问题①:在初中时我们学了锐角三角函数,你能回忆一下锐角三角函数的定义吗? 问题②:你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗? 学习了弧度制,知道了角的集合与实数集是一一对应的,在此基础上,我们来研究任意角的三角函数.

图1 如图1,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合,那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点P(a,b),它与原点的距离22b a >0.过P 作x 轴的垂线,垂足为M,则线段OM 的长度为a,线段MP 的长度为b. 根据初中学过的三角函数定义,我们有 sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OP MP =a b . 讨论结果: ①锐角三角函数是以锐角为自变量,边的比值为函数值的三角函数. ②sinα=OP MP =r b ,cosα=OP OM =r a ,tanα=OM MP =a b . 提出问题 问题①:如果改变终边上的点的位置,这三个比值会改变吗?为什么? 问题②:你利用已学知识能否通过取适当点而将上述三角函数的表达式简化? 最后可以发现,由相似三角形的知识,对于确定的角α,这三个比值不会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变. 过图形教师引导学生进行对比,学生通过对比发现取到原点的距离为1的点可以使表达式简化. 此时sinα=OP MP =b,cosα=OP OM =a,tanα=OM MP =a b . 在引进弧度制时我们看到,在半径为单位长度的圆中,角α的弧度数的绝对值等于圆心角α所对的弧长(符号由角α的终边的旋转方向决定).在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.这样,上述P 点就是α的终边与单位圆的交点.锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示. 同样地,我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数. 图2 如图2所示,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y 叫做α的正弦,记作sinα,即sinα=y; (2)x 叫做α的余弦,记作cosα,即cosα=x; (3)x y 叫做α的正切,记作tanα,即tanα=x y (x≠0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数. 值得注意的是:(1)正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以比值为函数值的函数.(2)sinα不是sin 与α的乘积,而是一个比值;三角函数的记号是一个整体,离开自变量的“sin”“tan”等是没有意义的. 二、例题讲解

高中数学听课评课总结

高中数学听课评课总结 在学校领导的关心下,在教务处的具体指导下,本组教师群策群力,团结进取,在教学教研方面做得了一些成绩,主要有以下几个方面: 本期加大了教学督查的力度。教研组内先后听了,魏丽芳,黄双妹、李哲3位老师的课,针对教育教学中存在的问题,教研组内进行了交流,有效的促进了他们对教育教学的研究以及角色的转变,保证了教学的有效推进。对提高教学质量取得了较好的效果。授课老师通过展示课件、授课技巧,注重相关知识与高考的链接,听后有不少的收获。我们组织评课活动,会上,各位老师各抒己见,指出了授课老师主要优点,并与授课老师交换了意见。阐述教学设计的理念,真诚地提出自己的见解。公开课对教师是一次良好的锻炼机会,也是学习别人的绝佳时机。通过听课,能够及时发现自己的不足之处,提高自己的教学水平,公开课的最大亮点是能够学习别人的先进理念,互帮互助,共同进步。经常利用多媒体教学,对提高教育教学质量起到促进作用,最后,教研组长对公开课中教师的教学设计、班级信息技术的运用、师生互动等方面作了分析,并且针对公开课出现的几个问题提出了改进建议,提出了新的希望。 区级研讨课在我校举行。魏丽芳老师在高三6班举行鲤城区区级研讨课活动,椭圆的应用复习,得到全体参加的数

学教师一致好评,他对多媒体运用熟练、恰当,学生踊跃发言,整节课学习情势高,体现教师较强教学基本功,及引导学生自主学习的能力,老师一题多解,一题多变,利用树壮图展示知识间关系,教学效果明显。 李哲向量的运算,双妹直线方程复习三角公式推导课都给每位教师留下深刻印象,他们认真负责,认真备课,上课,主动请教老教师研讨公开课内容,让听课教师受益。 针对公开课存在问题,我们认真落实常规教学教研。数学组全体老师都能认真深入钻研业务,不断学习新的知识,努力提高教育、教学水平,以课堂教学改革为切入点,以促进学生自主学习为主攻方向,提高了课堂效益。为了能充分挖掘各人的潜能,发挥集体的力量和智慧,我们很注重集体备课,各年段每周至少有两次集体备课时间,并做到有内容和中心发言人,在集中之前,大家必须先钻研教材内容,然后就教材的内容对教学设计、教学的重难点如何去突破、对如何把握例题讲解的深浅程度、习题的选用等等发表个的见解和意见,大家一起学习、研究,取长补短。平时大家经常互相听课,同备课组的老师经常互相推荐自己经过学习后觉得很有收益的教研论文,大家一起共同学习,研究,最终达到共同提高的目的。 全组教师工作十分认真,积极钻研教材,研究教法,在学校教学常规检查中,数学组整体情况良好,多次受到学校

任意角的三角函数教学设计

《任意角的三角函数》第一课时教学设计 会宁县第二中学数学教研组曹蕊 一、教学内容分析 本节课是三角函数这一章里最重要的一节课,它是本章的基础,主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程,从而很好理解任意角的三角函数的定义。在《课程标准》中:三角函数是基本初等函数,它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。二、学生情况分析 本课时研究的是任意角的三角函数,学生在初中阶段曾经研究过锐角三角函数,其研究范围是锐角;其研究方法是几何的,没有坐标系的参与;其研究目的是为解直角三角形服务。以上三点都是与本课时不同的,因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验,发挥其正迁移。 三、教学目标 知识与技能目标:借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义;能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值;能根据定义探究出三角函数值在各个象限的符号。 方法与过程目标:在定义的学习及概念同化和精致的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。 情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合的思想。 四、教学重、难点分析: 重点:理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义。 难点:引导学生将任意角的三角函数的定义同化,帮助学生真正理解定义。 五、教学方法与策略: 教学中注意用新课程理念处理教材,采用学生自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学. 六、教具、教学媒体准备: 为了加强学生对三角函数定义的理解,帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍,本节课准备在计算机的支持下,利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系,构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境,使学生能够更好地数形结合地进行思维. 七、教学过程 (一)教学情景 1.复习锐角三角函数的定义 问题1:在初中,我们已经学过锐角三角函数.如图1(课件中)在直角△POM中,∠M是直角,那么根据锐角三角函数的定义,∠O的正弦、余弦和正切分别是什么?

2018版高中数学三角函数1.2.1任意角的三角函数一导学案新人教A版

1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义,了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解,掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一 任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,在终边上任取一点P ,作PM ⊥x 轴于M ,设P (x ,y ),|OP |=r . 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么? 答案 sin α=y r ,cos α=x r ,tan α=y x . 思考2 对确定的锐角α,sin α,cos α,tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变? 答案 不会.因为三角函数值是比值,其大小与点P (x ,y )在终边上的位置无关,只与角α的终边位置有关,即三角函数值的大小只与角有关. 思考3 在思考1中,当取|OP |=1时,sin α,cos α,tan α的值怎样表示? 答案 sin α=y ,cos α=x ,tan α=y x . 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (x ,y ),那么: ①y 叫做α的正弦,记作sin α, 即sin α=y ; ②x 叫做α的余弦,记作cos α,即cos α=x ; ③y x 叫做α的正切,记作tan α,即tan α=y x (x ≠0). 对于确定的角α,上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,统称为三角函数.

高中数学任意角的三角函数教案

§1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 <一> 知识目标 1、掌握任意角的三角函数的定义。 2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 3、记住三角函数的定义域和诱导公式(一)。 <二> 能力目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。 2、树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 3、通过对定义域,三角函数值的符号,诱导公式一的推导,提高学生分析、探究、解决问题的能力。 <三> 德育目标 1、使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式。 2、学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义 (包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号),以及这三种函数的第一组诱导公式。 教学过程 问题1:你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数(正弦,余弦,正切)的定义吗? 锐角三角函数定义

问题2:在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆 即:锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示 推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则: 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)

所以三角函数可以记为: 我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1: 解: 例2: 事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

巩固练习_任意角的三角函数_基础

【巩固练习】 1.角θ的终边经过点12? ? ? ??? ,那么tan θ的值为( ) A .12 B .- C . D .2.若角0420的终边上有一点()a ,4-,则a 的值是( ) A .34 B .34- C .34± D .3 3.下列三角函数值结果为正的是( ) A .cos100° B .sin700° C .2tan 3π??- ??? D .9sin 4π??- ??? 4.化简0sin 390的值是( ) A . 12B .12-C .5.若42π π θ<<,则下列不等式成立的是( ) A .sin θ>cos θ>tan θ B .cos θ>tan θ>sin θ C .sin θ>tan θ>cos θ D .tan θ>sin θ>cos θ 6.设α角属于第二象限,且2cos 2cos α α -=,则2 α角属于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7.若θ为锐角且2cos cos 1-=--θθ,则θθ1cos cos -+的值为( ) A .22 B .6 C .6 D .4 8.若cos θ>0,且sin2θ<0,则角θ的终边所在象限是( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 9.5sin90°+2cos0°―3sin270°+10cos180°=________。 10.若α为第二象限角,则|sin |cos sin |cos | αααα-=________。 11.已知角α的终边经过点(230,2cos30)P sin -o o ,则cos α=。 12.已知角α的终边在直线2y x =上,则sin α=。

数学人教A版高中必修1任意角的三角函数导学案

2.2.2任意角的三角函数(1) 【学习目标】 1.掌握任意角三角函数的定义,并能借助单位圆理解任意角三角函数的定义 2.会用三角函数线表示任意角三角函数的值 3.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号 【学习重点、难点】 任意角的正弦、余弦、正切的定义 【自主学习】 一、复习旧知,导入新课 在初中,我们已经学过锐角三角函数: 角的范围已经推广,那么对任意角是否也能定义其三角函数呢? 二、建构数学 1.在平面直角坐标系中,设点是角终边上任意一点,坐标为,它与原点的距离,一般地,我们规定: ⑴比值___________叫做的正弦,记作___________,即___________=___________; ⑵比值___________叫做的余弦,记作___________,即___________=___________; ⑶比值___________叫做的正切,记作___________,即___________=___________. 2.当=___________________时, 的终边在轴上,这时点的横坐标等于____________,所以_____________无意义.除此之外,对于确定的角,上面三个值都是______________.所以, 正弦、余弦、正切都是以_________为自变量,以__________为函数值的函数,我们将它们统称为___________________. 3.由于________________________与________________________之间可以建立一一对应关系,三角函数可以看成是自变量为_________________的函数. 4.其中,和的定义域分别是________________;

《任意角的三角函数一》 教案苏教版

数学:1.2.1《任意角的三角函数(一)》教案(苏教版必修4) 第 3 课时:§1.2.1 任意角的三角函数(一) 【三维目标】: 一、知识与技能 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义; 2.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号。 3.树立映射观点,正确理解三角函数是以实数为自变量的函数; 二、过程与方法 1.通过网络载体,利用几何画板的直观演示,培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神; 2.在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神; 3.通过学生积极参与知识的"发现"与"形成"的过程,培养合情猜测的能力,从中感悟数学概念的严谨性与科学性。 三、情感、态度与价值观 1.使学生认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式; 2.学习转化的思想,培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;

3.让学生在任意角三角函数概念的形成过程中,体会函数思想,体会数形结合思想。 【教学重点与难点】: 重点:任意角三角函数的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)。 难点:任意角的三角函数概念的建构过程 【学法与教学用具】: 1. 学法: 2. 教学用具:多媒体、实物投影仪. 3. 教学模式:启发、诱导发现教学. 【授课类型】:新授课 【课时安排】:1课时 【教学思路】: 一、创设情景,揭示课题 用与用坐标均可表示圆周上点,那么,这两种表示有什么内在的联系?确切地说, ● 用怎样的数学模型刻画与之间的关系? 二、研探新知 1.三角函数的定义 【提问】:初中锐角的三角函数是如何定义的? 在平面直角坐标系中,设的终边上任意一点的坐标是,它与原点的距离是。当为锐角时,过作轴,垂足为,在中,,,

完善教学设计,提高课堂效率

完善教学设计,提高课堂效率 ——任意角三角函数概念教学反思 杭州市余杭高级中学 吴寅静 10月18日课题组第七次会议上,观摩了陶维林和白涛两位老师的《任意角三角函数》的概念教学课,使我对任意角三角函数概念的教学有了更深刻的理解。10月28日我到福建三明市上了一堂任意角三角函数的公开课,这一实践使我对这一节教学内容有了更深的认识。 借班上课的困难主要来源于教师对学生不了解,即使像陶老师、白老师这样的专家型教师也出现了没有实现教学设计的目标的状况。为了避免这种情况再次发生,我在陶老师和白老师的教学设计基础上,重新进行教学设计,努力压缩概念的生成时间,减少习题容量,争取一节课达到预设目标。 但在实际教学中,即便是减少了教学容量,降低了教学要求,预设的教学目标和任务还是没有达成,这不由得使我思考其深层原因。为了更好地说明问题,我把整堂课的大致过程呈现如下。 一、教学过程 1.回顾锐角三角函数的定义 师:在初中,我们已学过锐角三角函数,锐角三角函数的正弦是如何定义的? 生:是对边比邻边的比值。 师:哪个对边比邻边? 生:直角三角形中的对边比邻边。 师:对。我们可以在锐角的终边上取一点P ,作与始边垂直的直线,交始边于M ,形成Rt △OMP ,那么OM MP OP OM OP MP ===αααtan ,cos ,sin 。 师:对于一个确定的锐角,上述比值是确定的。对于不同的锐角,是否可以用上述方法确定相应的比值? 生齐答:可以。 利用几何画板进行角的终边变化,学生可以发现当锐角发生变化时,这三个三角函数值也在改变。 师:锐角三角函数的自变量是什么?函数值是什么?自变量变化范围是多少? 生:自变量是角,函数值是比值,自变量范围为 90~0。 师:能用弧度来表示吗? 生:),(2 0π 。 2.任意角三角函数定义的生成 师:角的范围已推广到了任意角,你认为任意角的三角函数该怎样定义比较合理呢? 学生没有反应,有些学生在看书,希望能从书本中找到答案。 师:能不能继续在直角三角形中定义任意角三角函数? 生:能,也可以是比值。 师:那么如果角是钝角呢? 学生沉默。 师:现在角的范围扩大了,你们认为该把角放在哪里研究比较好?

任意角的三角函数和弧度制 基础练习(含解析)

任意角的三角函数和弧度制 基础练习 一、选择题 1.下列选项中与-80°终边相同的角为( ) A. 100° B. 260° C. 280° D. 380° 2.在平面直角坐标系中,角 3πα+ 的终边经过点P (1,2),则sin α=( ) 3.若5sin 13α=- ,且α为第四象限角,则tan α的值等于( ) A. 125 B. 512- C. 512 D. 125 - 4.小明出国旅游,当地时间比中国时间晚一个小时,他需要将表的时针旋转,则转过的角的弧度数是 ( ) A. π3 B. π6 C. -π3 D. -π6 5.已知角α的终边经过点(sin 48,cos48)P ??,则 sin(12)α?-=( ) A. 12 C. 12- D. 6.若12cos 13x = ,且x 为第四象限的角,则tanx 的值等于 A 、125 B 、-125 C 、512 D 、-512 7.若函数 ()cos 2()6f x x xf π=+',则()3f π-与()3f π的大小关系是( ) A. ()()33f f π π-= B. )3()3(ππf f <- C. )3()3(π πf f >- D. 不确定 8.若θ是第四象限角,则下列结论正确的是( ) A .sin 0>θ B .cos 0<θ C .tan 0>θ D .sin tan 0>θθ 9.一扇形的中心角为2,对应的弧长为4,则此扇形的面积为( ) A .1 B .2 C .3 D .4 10.已知tan 2α ,其中α为三角形内角,则cos α=() A. 5 - D.

二、填空题 11.若扇形的面积是1 cm 2,它的周长是4 cm,则扇形圆心角的弧度数为______. 12.已知角2α的终边落在x 轴下方,那么α是第 象限角. 13.在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若sin α=1 3,则 sin β=_________. 14.已知一扇形所在圆的半径为10cm ,扇形的周长是45cm ,那么这个扇形的圆心角为 弧度. 15.弧长为3π,圆心角为135°的扇形,其面积为____. 三、解答题 16.已知角α的终边经过点P (54,5 3-). (1)求 sin α的值. (2) 17.(本小题满分14分)某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点O 为圆心的两个 同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米,其中大圆弧所在圆的 半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米,圆心角为θ(弧度). (1)求θ关于x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为4元/米,弧线部分的装饰费用为 9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ,求y 关于x 的函数关系式,并求出x 为何值时,y 取得最 大值?

高考数学《三角函数》专题 任意角的三角函数学案

高考数学《三角函数》专题 任意角的三角函数学案 一、角的概念的推广 1.与角α终边相同的角的集合为 . 2.与角α终边互为反向延长线的角的集合为 . 3.轴线角(终边在坐标轴上的角) 终边在x 轴上的角的集合为 ,终边在y 轴上的角的集合为 ,终边在坐标轴上的角的集合为 . 4.象限角是指: . 5.区间角是指: . 6.弧度制的意义:圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角,它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系. 7.弧度与角度互化:180o= 弧度,1o= 弧度,1弧度= ≈ o. 8.弧长公式:l = ; 扇形面积公式:S = . 二、任意角的三角函数 9.定义:设P(x, y)是角α终边上任意一点,且 |PO| =r ,则sin α= ; cos α= ;tan α= ; 10.三角函数的符号与角所在象限的关系: 12解析式 y =sinx y =cosx y =tanx 定义 域 值 域 13.三角函数线:在图中作出角α的正弦线、余弦线、正切线. - + - + cos x , + + - - sin x , - + + - tan x , x y O x y O x y O αx y O

例1. 若α是第二象限的角,试分别确定2α,2α ,3α 的终边所在位置. 解: ∵α是第二象限的角,∴k·360°+90°<α<k·360°+180°(k∈Z ). (1)∵2k·360°+180°<2α<2k·360°+360°(k∈Z ), ∴2α是第三或第四象限的角,或角的终边在y 轴的非正半轴上. (2)∵k·180°+45°<2α <k·180°+90°(k∈Z ), 当k=2n (n∈Z )时, n·360°+45°<2α <n·360°+90°; 当k=2n+1(n∈Z )时, n·360°+225°<2α <n·360°+270°. ∴2α 是第一或第三象限的角. (3)∵k·120°+30°<3α <k·120°+60°(k∈Z ), 当k=3n (n∈Z )时, n·360°+30°<3α <n·360°+60°; 当k=3n+1(n∈Z )时, n·360°+150°<3α <n·360°+180°; 当k=3n+2(n∈Z )时, n·360°+270°<3α <n·360°+300°. ∴3α 是第一或第二或第四象限的角. 变式训练1:已知α是第三象限角,问3α 是哪个象限的角? 解: ∵α是第三象限角,∴180°+k·360°<α<270°+k·360°(k∈Z ), 60°+k·120°<3α <90°+k·120°. ①当k=3m(m∈Z )时,可得 典型例题

高中数学教学案例doc

高中数学《诱导公式》教学案例 教材分析:三角函数的诱导公式是普通高中课程标准实验教科书(人教B版)数学必修四,第一章第二节内容,其主要内容是公式(一)至公式(四)。本节课是第二课时, 教学内容是公式(三)。教材要求通过学生在已经掌握的任意角的三角函数定义 和公式(一)(二)的基础上,发现他们与单位圆的交点坐标之间关系,进而发 现三角函数值的关系。同时教材渗透了转化与化归等数学思想方法。 教案背景:通过学生在已经掌握的任意角的三角函数定义和公式(一)(二)的基础上,发现他们与单位圆的交点坐标之间关系,进而发现三角函数值的关系。同时教材渗 透了转化与化归等数学思想方法,为培养学生养成良好的学习习惯提出了要求。 因此本节内容在三角函数中占有非常重要的地位. 教学方法:以学生为主题,以发现为主线,尽力渗透类比、化归、数形结合等数学思想方法,采用提出问题、启发引导、共同探究、综合应用等教学模式。 教学目标:借助单位圆探究诱导公式。 能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数。 教学重点:诱导公式(三)的推导及应用。 教学难点:诱导公式的应用。 教学手段:多媒体。 教学情景设计: 一.复习回顾: 诱导公式(一)(二)。 角(终边在一条直线上) 思考:下列一组角有什么特征?()能否用式子来表示? 二.新课: 已知由 可知 而(课件演示,学生发现) 所以 于是可得:(三) 设计意图:结合几何画板的演示利用同一点的坐标变换,导出公式。

由公式(一)(三)可以看出,角角相等。即: . 公式(一)(二)(三)都叫诱导公式。利用诱导公式可以求三角函数式的值或化简三角函数式。 设计意图:结合学过的公式(一)(二),发现特点,总结公式。 练习 (1) 设计意图:利用公式解决问题,发现新问题,小组研究讨论,得到新公式。 (学生板演,老师点评,用彩色粉笔强调重点,引导学生总结公式。) 三.例题 例3:求下列各三角函数值: (1) (2) (3) (4) 例4:化简 设计意图:利用公式解决问题。 练习: (1) (2)(学生板演,师生点评) 设计意图:观察公式特点,选择公式解决问题。 四.课堂小结:将任意角三角函数转化为锐角三角函数,体现转化化归,数形结合思想的应用,培养了学生分析问题、解决问题的能力,熟练应用解决问题。

人教版高中数学必修四学案 任意角的三角函数(1)

一、复习:锐角三角函数的定义: 如图:设P(x,y)是角α终边上不同于原点的任意一点,P M⊥x 轴,∣OP∣=r , 当α为锐角时sin α= ;cos α= ;tan α= . P αr y x y x O M 二、自主学习:自学14P -16P 完成下面的填空: 1。三角函数的定义:设P(x,y)是角α终边上不同于原点的任意一点,∣OP∣=r ,(r= 22y x +,r >0) 则:sin α= ;cos α= ;tan α= . sec α= ;csc α= ;cot α= . 思考:三角函数是函数吗? 2. 三角函数的定义域:完成下表 三角函数 定 义 域 sin α cos α tan α 3。三角函数符号: sin α= r y :若y >0,则sin α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上;若y <0,则sin α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上.若y=0,则sin α 0;此时α的终边在 轴上。 cos α= r x :若x >0,则cos α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限 或在 上; 若x<0,则cos α 0;此时α的终边在第 象限或第 象限

或在 上.若x=0,则cos α 0;此时α的终边在 轴上。 tan α= x y ,若x 、y 号,则tan α>0,此时α的终边在第 象限或第 象限 若x 、y 号,则tan α<0. 此时α的终边在第 象限或第 象限 若y=0, 则tan α 0;此时α的终边在 轴上。 若x=0, 则tan α不存在,此时α的终边在 轴上。 记忆口诀:“一全正,二正弦,三正切,四余弦” 四、小结: 五、作业: 1.已知α的终边过点P (4,-3),则下面各式中正确的是( ) A.sin α= 5 3 B.cos α=- 5 4 C.tan α=- 4 3 D.cot α=- 4 3 2.若角α的终边上有一点P (k k 54 ,53-)(0?k ),则sin α·tan α的值是( ) A. 15 16 B.-1516 C.1615 D.-16 15 3.已知角α的终边经过点P (a ,b ),其中a <0,b <0,在α的六个三角函数中,符号为正的是( ) A.sin α与csc α B.cos α与sec α C.tan α与cot α D.sec α与csc α 4.若角α的终边与直线y=3x 重合,且sin α<0,又P (m ,n )是α终边上一点,且 10=OP ,则m -n =( ) A.2 B.-2 C.4 D.-4 5.已知点P (3,y )在角α的终边上,且满足y <0,cos α=5 3 ,则tan α的值为( ) A.4 3 - B. 3 4 C. 4 3 D.-3 4 6若sin θcos θ>0,则θ在第 象限。

任意角的三角函数知识点

2.1任意角的三角函数 课前复习: 1. 特殊角的三角函数值记忆 新课讲解: 任意点到原点的距离公式: 1.三角函数定义 在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P (除了原点)的坐标为(,)x y , 它与原点的距离为(0)r r == >,那么 (1)比值y r 叫做α的正弦,记作sin α,即sin y r α=; (2)比值x r 叫做α的余弦,记作cos α,即cos x r α=; (3)比值y x 叫做α的正切,记作tan α,即tan y x α=; (4)比值x y 叫做α的余切,记作cot α,即cot x y α=; 说明:①α的始边与x 轴的非负半轴重合,α的终边没有表明α一定是正角或负角,以及α 的大小,只表明与α的终边相同的角所在的位置; ②根据相似三角形的知识,对于确定的角α,四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小; ③当()2k k Z π απ=+∈时,α的终边在y 轴上,终边上任意一点的横坐标x 都等 于0,所以tan y x α= 无意义;同理当()k k Z απ=∈时,y x =αcot 无意义; ④除以上两种情况外,对于确定的值α,比值 y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。 正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量,比值为函数值的函数,以上四种函数统称为三角函数。

当角的终边上一点(,)P x y 1=时,有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。 有向线段: 坐标轴是规定了方向的直线,那么与之平行的线段亦可规定方向。 规定:与坐标轴方向一致时为正,与坐标方向相反时为负。 有向线段:带有方向的线段。 2.三角函数线的定义: 设任意角α的顶点在原点O ,始边与x 轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点 P (,)x y ,过P 作x 轴的垂线,垂足为M ;过点(1,0)A 作单位圆的切线,它与角α的终边或其反向延长线交与点T . 由四个图看出: 当角α的终边不在坐标轴上时,有向线段,OM x MP y ==,于是有 sin 1y y y MP r α====, cos 1x x x OM r α====,tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。 (Ⅳ) (Ⅲ)

任意角三角函数学案

1.2.1 任意角的三角函数(1) 【学习目标】 1.能举例说明任意角的三角函数的定义;已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值;能记住三角函数的定义域、值域和各种函数值在各象限的符号; 2.通过对三角函数定义的探究,使同学们认识到事物之间是有联系的,三角函数就是角 度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式,明白三角函数又是以实数为自变量的函数; 3.通过探究,明白方程与函数的思想、数形结合的思想、转化的思想在三角函数的运用;提高同学们分析、探究、解决问题的能力,培养同学们严谨治学、一丝不苟的科学精神. 【学习重点】 任意角的正弦、余弦、正切的定义及函数的定义域、函数值在各象限的符号 【难点提示】对用角的终边上的点的坐标(比值)来刻画三角函数的理解. 【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1118P -结合进行自主学习(对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读)、小组讨论,积极思考提出更多、更好、更深刻的问题,为课堂学习做好充分的准备; 2.在学习过程中用好“十二字学习法”即:“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“听”、“问”、“通”、“总”、“研”、“会”,请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达. 【学习过程】 一、学习准备 在前面我们学习了函数的概念、性质,一些特殊函数(包括初中的锐角三角函数、三角形、圆等知识)的概念、性质,任意角的概念等,请同学们回顾后完成下列填空: (1)函数的概念是 ; (2)在Rt ABC ?中,设A 对边为a ,B 对边为b ,C 对边为c ,则sinA= 、CosA= ;tanA= ; (3)任意角指的是 ;象限角指的是 ; (4)与α同终边的角的集合S 为 ; (5)两个三角形相似如何判定、有哪些性质与结论? (6)圆的概念怎样?圆的圆心可为原点吗?圆的半径可以取一个单位吗? 在(2)中显然是锐角的三角函数的定义,怎样将锐角的三角函数推广到任意角呢?这就是我们本节课要研究的问题! 二、学习探究 (一)三角函数定义 思考猜想 我们对上面(2)中的锐角三角函数的定义作深入的思考,这个函数的定义域是什么?值域是什么?对应法则是什么?其中最为核心的什么? 那么在平面坐标系中确定一个任意角α的大小与什么联系的最为紧密?是不是这个角的终边?终边又是什么构成的呢?是不是点?点是不是用坐标表示? 请同学们大胆猜想,能不能用任意角α上任意一点P 的坐标来定义α的三角函数! 归纳概括 在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点P (除了原点) 的坐标为(),x y ,P 到原点的距离为PO =(0)r r ==>,过点P

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