3.1变化率与导数
3.1.1变化率问题与导数概念
学习目标
1．知识与技能：理解函数在某点的平均变化率的概念并会求此变化率． 2．过程与方法：理解函数在0x 处的瞬时变化率，理解导数的概念和定义．
学习重、难点
重点：函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导数的概念． 难点：导数的概念的理解． 知识梳理
1．在高台跳水运动中，运动员在t 1≤t ≤t 2这段时间里的位置为s 1≤s ≤s 2，则他的平均速度为 .
2．已知函数y ＝f(x)，令Δx ＝ ，Δy ＝ ，则当Δx ≠0时，比值 ＝Δf
Δx ，
称作函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率． 3．物体在某一时刻的速度称为 ．
4．一般地，如果物体的运动规律是s ＝s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在
t 到t ＋Δt 这段时间内，当Δt →0时平均速度的极限，即v ＝lim Δt →0 Δs
Δt
＝ 5．一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 ＝lim Δx →0 Δf
Δx
，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ . 学习过程
1.平均变化率
[例1] 求函数y ＝x 3
在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12
时平均变
化率的值．
[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
应用变式1
某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x 表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为 ( )
A ．－4
B ．－8
C ．6
D ．－6 2.瞬时变化率
[例2] 以初速度v 0(v 0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12
gt 2
，求物体在
时刻t 0处的瞬时速度．
应用变式2
一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度．
3.利用定义求函数某点处的导数
[例3] 根据导数定义求函数y ＝x 2
＋1x
＋5在x ＝2处的导数．
应用变式3
求y ＝f(x)＝123
++x x 在x ＝1处的导数．
[例4] 设f (x )在x 0处可导，求lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x )
Δx
的值．
课堂巩固训练 一、选择题
1．若函数f (x )＝2x 2
－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx
等于( )
A ．4
B ．4x
C ．4＋2Δx
D ．4＋2(Δx)2
2．如果质点A 按规律s ＝2t3运动，则在t ＝3秒时的瞬时速度为 ( )
A ．6
B ．18
C ．54
D ．81
3．当自变0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A ．在区间[0x ，1x ]上的平均变化率 B ．在0x 处的变化率 C ．在1x 处的导数 D ．在区间[0x ，1x ]上的导数
4．已知f(x)＝x x 32-，则f ′(0)＝ ( )
A ．Δx －3
B ．(Δx)2－3Δx
C ．－3
D ．0 二、填空题
5．已知函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于______．
6．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________． 三、解答题
7．枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝53105m/s2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6310－3s.求枪弹射出枪口时的瞬时速度．
课后强化作业 一、选择题
1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( )
A ．Δx ＜0
B ．Δx ＞0
C ．Δx ＝0
D ．Δx ≠0 2．函数在某一点的导数是( )
A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比
B ．一个函数
C ．一个常数，不是变数
D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率
3．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ②y ＝x 2③y ＝x 3
④y ＝1x
中，平均变化率最
大的是( )
A ．④
B ．③
C ．②
D ．①
4．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2
，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( )
A ．4＋4t 0
B ．0
C ．8t 0＋4
D ．4t 0＋4t 2
5．函数y ＝x ＋1
x
在x ＝1处的导数是( )
A ．2
B.5
2
C ．1
D ．0 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )
A ．f (x 0＋Δx )
B ．f (x 0)＋Δx
C ．f (x 0)2Δx
D ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)
7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2
，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．7
8．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)
Δx
( ) A ．与x 0，Δx 有关 B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关 C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，Δx 均无关
9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2
(a ，b 为常数)，则( )
A ．f ′(x )＝a
B ．f ′(x )＝b
C ．f ′(x 0)＝a
D ．f ′(x 0)＝b
10．f (x )在x ＝a 处可导，则lim h →0 f (a ＋3h )－f (a －h )
2h
等于( ) A ．f ′(a ) B.1
2
f ′(a ) C ．4f ′(a ) D ．2f ′(a )
二、填空题
11．f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝4，则lim Δx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)
Δx
＝________. 12．某物体做匀速运动，其运动方程是s ＝vt ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．
13．设x 0∈(a ，b )，y ＝f (x )在x 0处可导是y ＝f (x )在(a ，b )内可导的________条件．
14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S ＝t 2
(S 的单位：m ，t 的单位：s)，则小球在 t ＝5时的瞬时速度为______． 三、解答题
15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12
gt 2
.(1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两
段内的平均速度；2)求t ＝3秒时的瞬时速度．
16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0
f (x ＋h )－f (x －2h )
h
.
17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．
18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．
3.1.2导数的几何意义
学习目标
1．知识与技能：了解导函数的概念，理解导数的几何意义．
2．过程与方法：会求导函数，根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 学习重、难点
重点：导数的几何意义．
难点：对导数几何意义的理解． 知识梳理
1．导数的几何意义 ①割线斜率与切线斜率
设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点
B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是
Δy
Δx
＝ 当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ =
②导数的几何意义
函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ． 2．函数的导数 学习过程
1.求割线的斜率
[例1] 过曲线y ＝f(x)＝3
x 上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．
2.用定义求切线方程
[例2] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋4
3
.(1)求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程；
(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？
应用变式1 已知曲线y ＝23x 上一点A(1,2)，则点A 处的切线斜率等于 ( ) A ．2
B ．4
C ．6＋6Δx2
D ．6
3.求切点坐标
[例3] 抛物线y ＝2
x 在点P 处的切线与直线2x －y ＋4＝0平行，求P 点的坐标及切线方程．
应用变式2 若抛物线y ＝2
x 与直线2x －y ＋m ＝0相切，求m.
4.导数几何意义的应用
[例4] 若抛物线y ＝42
x 上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，求点P 的坐标．
应用变式3 求抛物线y ＝42
x 上的点到直线y ＝4x －5的距离的最小值．
[例5] 曲线y ＝3
x 在x 0＝0处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．
应用变式4
已知曲线y ＝4
x
在点(1,4)处的切线与直线l 平行且距离等于17，则直线l 的方程为( )
A ．4x －y ＋9＝0或4x －y ＋25＝0
B ．4x －y ＋1＝0
C ．4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0
D ．以上都不对 [例6] 试求过点M(1,1)且与曲线y ＝3
x ＋1相切的直线方程．
课堂巩固训练 一、选择题
1．曲线y ＝－22
x ＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )
A ．－4
B ．0
C ．4
D ．不存在
2．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－3
2
)处切线的倾斜角为( )
A ．1 B.π4 C.5π4 D ．－π
4
3．若曲线y ＝h(x)在点P(a ，h(a))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么 ( ) A ．h ′(a)＝0 B ．h ′(a)<0 C ．h ′(a)>0 D ．h ′(a)不确定 4．曲线y ＝3
x 在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为
( )
A ．(－2，－8)
B ．(1,1),(－1，－1)
C ．(2,8)
D ．(－12，－1
8
)
二、填空题
5．已知曲线y ＝1x －1上两点A (2，－12)，B (2＋Δx ，－1
2
＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的
斜率为________．
6．P 是抛物线y ＝x 2
上一点，若过点P 的切线与直线y ＝－12
x ＋1垂直，则过点P 的切线方
程为________． 三、解答题
7．求曲线y ＝1x －x 上一点P (4，－7
4
)处的切线方程．
课后强化训练 一、选择题
1．曲线y ＝x 3
－3x 在点(2,2)的切线斜率是( )
A ．9
B ．6
C ．－3
D ．－1
2．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－7
3
)处切线的倾斜角为( )
A ．30°
B ．45°
C ．135°
D ．60°
3．函数y ＝－1x 在点(1
2
，－2)处的切线方程是( )
A ．y ＝4x
B ．y ＝4x －4
C ．y ＝4(x ＋1)
D ．y ＝2x ＋4 4．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )
A ．f ′(x 0)＞0
B ．f ′(x 0)＜0
C ．f ′(x 0)＝0
D ．f ′(x 0)不存在 5．下列说法正确的是( )
A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线
B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在
C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在
D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线
6．设f (x )为可导函数且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x )
2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )
A ．2
B ．－1
C ．1
D ．－2
7．在曲线y ＝x 2
上的点________处的倾斜角为π4
( )
A ．(0,0)
B ．(2,4)
C ．(14，116)
D ．(12，1
4
)
8．若函数f (x )的导数为f ′(x )＝－sin x ，则函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角
9．曲线y ＝x 3
＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标是( )
A ．(0,1)
B ．(－1，－5)
C ．(1,0)或(－1，－4)
D ．(0,1)或(4,1)
10．设曲线y ＝ax 2
在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )
A ．1 B.12 C ．－1
2
D ．－1
二、填空题
11．已知函数f (x )＝x 3
＋2，则f ′(2)＝________.
12．曲线y ＝x 2
－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．
13．曲线y ＝x 3
在点(1,1)处的切线与x 轴，x ＝2所围成的三角形的面积为________．
14．曲线y ＝x 3
＋x ＋1在点(1,3)处的切线是________． 三、解答题
15．求曲线y ＝x 2
＋3x ＋1在点(1,5)处的切线的方程．
16．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2
＋1相切．(1)求a 的值；(2)求切点的坐标．
17．求过点(2,0)且与曲线y ＝1
x
相切的直线方程．
18．曲线y ＝x 2
－3x 上的点P 处的切线平行于x 轴，求点P 的坐标．
3.2导数的计算
3.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式
学习目标
1．知识与技能：了解常数函数和幂函数的求导方法和规律，会求任意y ＝x α(α∈Q)的导数．
2．过程与方法:掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 学习重、难点
重点：常数函数、幂函数的导数
难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式． 知识梳理
1．若f(x)＝c ，则f ′(x)＝ .若f(x)＝n
x (n ∈N*)，则f ′(x)＝ .
2．若f(x)＝sinx ，则f ′(x)＝ .若f(x)＝cosx ，则f ′(x)＝ . 3．若f(x)＝x
a ，则f ′(x)＝
．若f(x)＝x
e ，则
f ′(x)＝ .
4. 若f (x )＝log a x ，则f ′(x )= ．若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝ . 学习过程
1.导数公式的直接应用
[例1] 求下列函数的导数．
(1)y ＝2
a (a 为常数)． (2)y ＝12
x . (3)y ＝cosx.
应用变式1求下列函数的导数(1)y ＝1x
2 (2)y ＝3x (3)y ＝2x
(4)y ＝log 2x
2.求某一点处的导数 [例2] 求函数f (x )＝1
x
在x ＝1处的导数．
应用变式2 已知f (x )＝
n x 1
，且f ′(1)＝－13，求n .
3.利用导数求切线的斜率及方程 [例3] 求过曲线y ＝cos x 上点P ??
?
???21,3π且与在这点的切线垂直的直线方程．
应用变式3 求曲线y ＝32
x 的斜率等于12的切线方程．
课堂巩固训练 一、选择题
1．函数f(x)＝0的导数是 ( )
A ．0
B ．1
C ．不存在
D ．不确定
2．抛物线y ＝14
x 2
在点(2,1)处的切线方程是( )
A ．x －y －1＝0
B ．x ＋y －3＝0
C ．x －y ＋1＝0
D ．x ＋y －1＝0
3．已知函数f (x )＝1
x
，则f ′(－2)＝( )
A ．4
B.14 C ．－4 D ．－14
4．下列结论中不正确的是 ( )
A ．若y ＝3，则y ′＝0
B ．若y ＝1x
，则y ′＝－1
2x
C ．若y ＝－x ，则y ′＝－1
2x
D ．若y ＝3x ，则y ′|x ＝1＝3
二、填空题
5．曲线y ＝xn 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 6．若函数y ＝sint ，则y ′|t ＝6π＝________. 三、解答题
7．求抛物线y ＝2
x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．
课后强化训练 一、选择题
1.lim Δx →0 (1＋Δx )2
－1
Δx
表示( ) A ．曲线y ＝x 2的斜率 B ．曲线y ＝x 2
在点(1,1)处的斜率
C ．曲线y ＝－x 2的斜率
D ．曲线y ＝－x 2
在(1，－1)处的斜率
2．若y ＝cos 2π
3，则y ′＝( )
A ．－32
B ．－1
2
C ．0
D.12
3．下列命题中正确的是( )
①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x ②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1 ③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos x
A ．①
B ．②
C ．③
D ．①②③ 4．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( )
A ．1
B ．0
C ．2
D.12
5．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( )
6．已知函数f (x )＝2
1x ，则'
??
?
?????? ??21f ＝( )
7．y ＝1
x
在点A (1,1)处的切线方程是( )
A ．x ＋y －2＝0
B ．x －y ＋2＝0
C ．x ＋y ＋2＝0
D ．x －y －2＝0
8．下列结论中正确的个数为( )
①y ＝ln2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227
③y ＝2x ，则y ′＝2x
ln2 ④y ＝log 2x ，
则y ′＝1
x ln2
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 9．下列结论中不正确的是( )
A ．若y ＝0，则y ′＝0
B ．若y ＝33x ，则y ′＝－1
x 3
x
C ．若y ＝－x ，则y ′＝－12x
D ．若y ＝3x 3，则y ′＝3x 2
10．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π
3＝( )
A.12 B ．－12 C.3
2
D ．－
32
二、填空题
11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是 ．
12．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝32时的速度等于 ．
13．在曲线y ＝4
x
2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为 ．
14．y ＝10x
在(1,10)处切线的斜率为 ．
三、解答题 15．已知曲线C ：y ＝x 3(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其它公共点？
16．求下列函数的导数(1)y ＝ln x (2)y ＝1
x
4 (3)y ＝55x
17．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2
的切线方程．
18．求过曲线y ＝sin x 上的点P ??
?
???22,
4
π且与在这点处的切线垂直的直线方程．
3.2.2 导数的运算法则
学习目标
能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数 学习重、难点
重点：导数的四则运算及其运用． 难点：导数的四则运算法则的推导． 知识梳理
1．设函数f(x)、g(x)是可导函数，(f(x)±g(x))′＝ ；(f(x)2g(x))′＝ ．
2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，()()'?
?
?
???x g x f ＝ 学习过程
1.导数公式法则的直接应用 [例1] 求下列函数的导数：
(1)y ＝()()112-+x x ；(2)y ＝x x sin 2
；(3)y ＝1x ＋2x 2＋3x 3；(4)y ＝x tan x －2cos x .
应用变式1求下列函数的导数：
(1)y ＝2x －2＋3x －3 (2)y ＝(2x 2
＋3)(3x －2) (3)y ＝x －sin x 22cos x 2
2.求导法则的灵活运用
[例2] 求函数y ＝sin 4
x
4＋cos 4
x
4
的导数．
应用变式2求函数y ＝－sin x
2(1－2sin 2
x
4)的导数．
3.利用导数求有关参数
[例3] 偶函数f(x)＝e dx cx bx ax ++++2
3
4
的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．
应用变式3已知抛物线y ＝72
-+bx ax 通过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．
[例4] 给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3
x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x
2，
则y ′＝－2x －3
；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 课堂巩固训练 一、选择题
1．函数y ＝2sinxcosx 的导数为 ( ) A ．y ′＝cosx B ．y ′＝2cos2x C ．y ′＝2(sin2x －cos2x) D ．y ′＝－sin2x
2．函数f (x )＝1
x 3＋2x ＋1
的导数是( )
A.1(x 3＋2x ＋1)2
B.3x 2＋2(x 3＋2x ＋1)2
C.－3x 2－2(x 3＋2x ＋1)2
D.－3x
2
(x 3＋2x ＋1)2 3．函数y ＝(x －a)(x －b)在x ＝a 处的导数为 ( )
A ．ab
B ．－a(a －b)
C ．0
D ．a －b 4．函数y ＝x 2lnx 的导数是 ( )
A ．x B.1
x
C ．ln x ＋1
D ．ln x ＋x
二、填空题
5．函数y ＝14322
3
-+-x x x 的导数为 6．函数y ＝xsinx －cosx 的导数为__________________． 三、解答题
7．函数f(x)＝12
3
+--x x x 的图象上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f(x)的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB.
课后强化作业 一、选择题
1．函数y ＝cos x
x
的导数是( )
A ．－sin x x 2
B ．－sin x
C ．－x sin x ＋cos x x 2
D ．－
x cos x ＋cos x
x 2
2．已知f (x )＝ax 3＋3x 2
＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )
A.
19
3
B.163
C.133
D.103 3．曲线运动方程为s ＝1－t t
2＋2t 2
，则t ＝2时的速度为( )
A ．4
B ．8
C ．10
D ．12
4．函数y ＝(2＋x 3)2
的导数为( )
A ．6x 5＋12x 2
B ．4＋2x 3
C ．2(2＋x 3)2
D ．2(2＋x 3
)23x 5．下列函数在点x ＝0处没有切线的是( )
A ．y ＝3x 2
＋cos x B ．y ＝x sin x C ．y ＝1x ＋2x D ．y ＝1cos x
6．函数y ＝sin ???
??-x 4π的导数为( ) A ．－cos ??? ??+x 4π B ．cos ??? ??-x 4π C ．－sin ??? ??-x 4π D ．－sin ??
?
??+x 4π
7．已知函数f (x )在x ＝x 0处可导，函数g (x )在x ＝x 0处不可导，则F (x )＝f (x )±g (x )在x
＝x 0处( )
A ．可导
B ．不可导
C ．不一定可导
D ．不能确定 8．(x －5
)′＝( )
A ．－15x －6 B.15
x －4 C ．－5x －6 D ．－5x 4
9．函数y ＝3x (x 2
＋2)的导数是( )
A ．3x 2＋6
B ．6x 2
C ．9x 2＋6
D ．6x 2
＋6 10．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )
A ．f (x )＝(x －1)2＋3(x －1)
B ．f (x )＝2(x －1)
C ．f (x )＝2(x －1)2
D ．f (x )＝x －1 二、填空题
11．若函数f (x )＝1－sin x
x
，则f ′(π)= ．
12．曲线y ＝1x
和y ＝x 2
在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 ．
13．设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，若已知f ′(x )＝x cos x ，则f (x )＝ .
14．设f (x )＝ln a 2x
(a >0且a ≠1)，则f ′(1)＝ . 三、解答题
15．求下列函数的导数．
(1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2
＋8x －5)；(2)1＋x 1－x ＋1－x 1＋x
；(3)f (x )＝ln x ＋2x
x 2.
16．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2
＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )，且f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30，求g (4)．
17．(20102湖北文，21)设函数f (x )＝13x 3－a 2
x 2
＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，
f (0))处的切线方程为y ＝1.求b ，c 的值．
18．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2
＋c 的图象都过点 P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．
3.3导数在研究函数中的应用 3.3.1函数的单调性与导数
学习目标
1．知识与技能:结合实例，借助几何直观发现函数的单调性与导数的关系．
2．过程与方法:能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 学习重、难点
重点：利用求导的方法判断函数的单调性． 难点：函数的导数与单调性的关系． 知识梳理
1．设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，
(1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)≥0，则f(x)在此区间是 的；
(2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)≤0，则f(x)在此区间内是 的．
2．如果函数y ＝f(x)在x 的某个开区间内，总有f ′(x)＞0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间为 ；如果函数当自变量x 在某区间上，总有f ′(x)＜0，则f(x)在这个区间为 ． 学习过程
1.用导数求函数的单调区间 [例1] 求下列函数的单调区间
(1)f(x)＝133
+-x x (2)f (x )＝x ＋b x
(b ＞0)
应用变式1求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x x x 9323
-+ (2)f(x)＝sinx －x ，x ∈(0，π)
2.利用导数证明不等式
[例2] 已知x ＞1，求证x ＞lnx.
应用变式2已知：x ＞0，求证：x ＞sinx.
3.已知函数的单调性，确定参数的取值范围
[例3] 若函数f (x )＝13x 3－12
ax 2
＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单
调递增，试求a 的范围．
应用变式3
已知f (x )＝13x 3＋12
ax 2
＋ax －2(a ∈R )．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，
求a 的取值范围．
[例4] 已知函数f(x)＝3
2x a x
-，x ∈(0,1]，a>0，若f(x)在(0,1]上单调递增，求a 的取值范围．
课堂巩固训练 一、选择题
1．函数f(x)＝2x －sinx 在(－∞，＋∞)上 ( ) A ．是增函数 B ．是减函数
C ．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增
D ．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 2．函数y ＝xlnx 在区间(0,1)上是 ( )
A ．单调增函数
B ．单调减函数
C ．在(0，1e )上是减函数，在(1
e
，1)上是增函数
D ．在(0，1e )上是增函数，在(1
e
，1)上是减函数
3．若在区间(a ，b)内有f ′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a ，b)内有 ( )
A ．f(x)＞0
B ．f(x)＜0
C ．f(x)＝0
D ．不能确定 4．在下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．sin2x
B ．x
xe C ．3x x -3
D ．－x ＋ln(1＋x)
二、填空题
5．函数f(x)＝x x -3
的增区间是 和 ，减区间是 ． 6．已知函数y ＝322++x ax 在(－1，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是 ． 三、解答题
7．已知函数f(x)＝83++ax x 的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的递增区间．
课后强化作业 一、选择题
1．设f (x )＝ax 3＋bx 2
＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的一个充分条件是( )
A ．b 2－4ac ＞0
B ．b ＞0，c ＞0内部
C ．b ＝0，c ＞0
D ．b 2
－3ac ＞0
2．函数f (x )＝2x 2
－ln x 的单调递增区间是( )
A ．(0，12)
B ．(0，24)
C ．(12，＋∞)
D ．(－12，0)及(0，1
2
)
3．(20092广东文，8)函数f (x )＝(x －3)e x
的单调递增区间是( )
A ．(－∞，2)
B ．(0,3)
C ．(1,4)
D ．(2，＋∞) 4．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( )
A.??? ??-
-2,ππ和??? ??2,0π B.??? ??-0,2π和??? ??2,0π C.??? ??--2,ππ和??? ??ππ,2 D.??? ??-0,2π和??
?
??ππ,2
5．函数f (x )＝ax 3
－x 在R 上为减函数，则( )
A ．a ≤0
B ．a <1
C ．a <2
D ．a ≤1
3
6．已知a >0，函数f (x )＝－x 3
＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 7．设f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )<0是f (x )在(a ，b )上单调递减的( )
A ．充分不必要条件你
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
8．若函数y ＝x 2
－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则( )
A ．b ≤2
B ．b ＜2
C ．b ≥2
D ．b ＞2 9．(20092湖南文，7)若函数y ＝f (x )的导函数．．．
在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )
10．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )
二、填空题
11．函数y ＝x 3－x 2
－x 的单调递增区间为 ．
12．若函数y ＝x 3－ax 2
＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是 ．
13．若函数f (x )＝x 3＋x 2
＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是 ．
14．若函数y ＝－43
x 3
＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围 ．
三、解答题 15．讨论函数f (x )＝
bx
x 2
－1
(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性．
16．已知曲线y ＝x 3＋3x 2
＋6x －10，点P (x ，y )在该曲线上移动，在P 点处的切线设为l . (1)求证：此函数在R 上单调递增；(2)求l 的斜率的范围．
17．已知向量a ＝(x 2
，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a 2b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．
18．设函数f (x )＝(ax 2－bx )e x
(e 为自然对数的底数)的图象与直线ex ＋y ＝0相切于点A ，且点A 的横坐标为1.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．
3.3.2函数的极值与导数，函数的最大（小）值与导数
学习目标
1．知识与技能：结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．
2．过程与方法：会用导数求不超过三次的多项式函数的极值，以及在给定区间上求最大值、最小值．
学习重、难点
重点：利用导数的知识求函数的极值． 难点：函数的极值与导数的关系． 知识梳理
1．已知函数y ＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在内的开区间内的所有点x ，如果都
有
，则称函数f(x)在点0x 处取得
，并把0x 称为函数f(x)的一个
；
如果都有
，则称函数f(x)在点0x 处取得 ，并把0x 称为函数f(x)的一
个 ．极大值与极小值统称为 ，极大值点与极小值点统称为 ．
2．假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条 ，该函数在[a ，b]上一定能够取得 与 ，该函数在(a ，b)内是 ，该函数的最值必在 取得． 3．当函数f(x)在点0x 处连续时，判断f(0x )是否存在极大(小)值的方法是： (1)如果在0x 附近的左侧
，右侧
，那么f(0x )是极
值；
(2)如果在0x 附近的左侧 ，右侧 ，那么f(0x )是极 值； (3)如果f ′(x)在点0x 的左右两侧符号不变，则f(0x ) 函数f(x)的极值． 学习过程
1.利用导数求函数的极值
[例1] 求函数y ＝133
+-x x 的极值．
应用变式1函数y ＝x x x 932
3
--(－2＜x ＜2)有
( )
A ．极大值为5，极小值为－27
B ．极大值为5，极小值为－11
C ．极大值为5，无极小值
D ．极大值为－27，无极小值 2.利用导数求函数的最大值与最小值
[例2] 求函数f(x)＝122
3
+-x x 在区间[－1,2]上的最大值与最小值．
应用变式2求函数f(x)＝282
4
+-x x 在[－1,3]上的最大值与最小值．
3.求函数极值的逆向问题
[例3] 已知f(x)＝cx bx ax ++23
(a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f(1)＝－1， (1)试求常数a 、b 、c 的值；
(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．
应用变式3设a >0，(1)证明f (x )＝ax ＋b
1＋x
2取得极大值和极小值的点各有1个； (2)当极大值为1，极小值为－1时，求a 和b 的值．
[例4] 已知函数f(x)＝c bx x ax -+4
4
ln (x>0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a 、b 、c 为常数．(1)试确定a ，b 的值；(2)若对任意x>0，不等式f(x)≥2
2c -恒成立，求c 的取值范围．
[例5] 已知f(x)＝2
2
3
3a bx ax x +++在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值．
课堂巩固训练 一、选择题 1．若函数y ＝f(x)是定义在R 上的可导函数，则f ′(x)＝0是x0为函数y ＝f(x)的极值点( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
2．函数f (x )＝x 2
－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为 ( )
A ．最大值为13，最小值为3
4
B ．最大值为1，最小值为－17
C ．最大值为3，最小值为－17
D ．最大值为9，最小值为－19 3．函数y ＝3
x ＋1 的极大值是
( )
A ．1
B ．0
C ．2
D ．不存在
4．y ＝f(x)＝a x x +-2
3
32的极大值是6，那么a 等于 ( ) A ．6
B ．0
C ．5
D ．1
二、填空题
5．(20092辽宁文，15)若函数f (x )＝x 2＋a
x ＋1
在x ＝1处取极值，则a ＝ .
6．函数y ＝x 2ex 的最小值为________． 三、解答题
7．设y ＝f (x )为三次函数，且图象关于原点对称，当x ＝1
2
时，f (x )的极小值为－1，求出函
数f (x )的解析式．
课后强化作业 一、选择题
1．设x 0为f (x )的极值点，则下列说法正确的是( )
A ．必有f ′(x 0)＝0
B ．f ′(x 0)不存在
C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在
D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 2．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．函数y ＝2－x 2－x 3
的极值情况是( )
A ．有极大值，没有极小值
B ．有极小值，没有极大值
C ．既无极大值也无极小值
D ．既有极大值也有极小值
4．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
5．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②可导函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到，其中正确命题的序号是( )
A ．①④
B ．②④
C ．①②
D ．③④ 6．函数y ＝|x －1|，下列结论中正确的是( )
A ．y 有极小值0，且0也是最小值
B ．y 有最小值0，但0不是极小值
C ．y 有极小值0，但不是最小值
D ．因为y 在x ＝1处不可导，所以0既非最小值也非极值
7．函数f (x )＝x (1－x 2
)在[0,1]上的最大值为( )
A.239
B.229
C.329
D.38
8．已知函数f (x )＝x 3－px 2
－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( )
A ．极大值为427，极小值为0
B ．极大值为0，极小值为4
27
C ．极大值为0，极小值为－427
D ．极大值为－4
27
，极小值为0
9．已知函数y ＝|x 2
－3x ＋2|，则( )
A ．y 有极小值，但无极大值
B ．y 有极小值0，但无极大值
C ．y 有极小值0，极大值14
D ．y 有极大值1
4
，但无极大值
10．设f (x )＝x (ax 2
＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )
A ．(a ，b )
B ．(a ，c )
C ．(b ，c )
D ．(a ＋b ，c ) 二、填空题
11．函数y ＝2x
x 2＋1的极大值为____________，极小值为____________．
12．函数y ＝x 3
－6x ＋a 的极大值为____________，极小值为____________．
13．函数y ＝x －x 3
(x ∈[0,2])的最小值是________．
14．已知函数f (x )＝x (x －c )2
在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________． 三、解答题
15．已知函数f (x )＝x 3－3x 2
－9x ＋11.
(1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值．
16．求下列函数的最值
(1)f (x )＝3x －x 3
(－3≤x ≤3)； (2)f (x )＝sin2x －x ??? ??≤≤-
22
ππ
x .
17．已知a ∈R ，讨论函数f (x )＝e x (x 2
＋ax ＋a ＋1)的极值点的个数．
18．(20102江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )－ax (a >0)．
(提示：[ln(2－x )]′＝－1
2－x
)(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的
最大值为1
2
，求a 的值．
3.4生活中的优化问题举例
学习目标
1．知识与技能：了解导数在实际问题中的应用，对给出的实际问题，如使利润最大、效率最高、用料最省等问题，体会导数在解决实际问题中的作用． 2．过程与方法：能利用导数求出某些特殊问题的最值． 学习重、难点
重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题．
难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型． 知识梳理
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 ． 学习过程
1．3.1函数的单调性与导数 学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间． 知识点一函数的单调性与导函数正负的关系 思考1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象及h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别． 答案从起跳到最高点，h随t的增加而增加，h(t)是增函数，h′(t)>0；从最高点到入水，h(t)是减函数，h′(t)<0. 思考2观察图中函数f(x)，填写下表． 导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性 >0>0锐角上升递增 <0<0钝角下降递减
梳理一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上， (1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增； (2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减． 知识点二函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 思考观察下图，填写下表． 注：表的最右一列填“平缓”或“陡峭”，函数值变化一栏中填快或慢. 区间导数的绝对值函数值变化函数图象 (－∞，a)较小较慢比较“平缓” (a,0)较大较快比较“陡峭” (0，b)较大较快比较“陡峭” (b，＋∞)较小较慢比较“平缓” 梳理一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值函数值变化函数的图象 越大快比较“陡峭”(向上或向下) 越小慢比较“平缓”(向上或向下) 类型一导数与单调性的关系 命题角度1根据原函数图象确定导函数图象 例1已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的()
导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( )
3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题． 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象 上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号) ①在[x0，x1]上的平均变化率； ②在x0处的变化率； ③在x1处的变化率； ④以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________. 3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________. 4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________． 7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______． 8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________． 二、解答题 9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．
1 变化率与导数 1．变化率 函数的平均变化率为 Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0 ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，它是用来刻画函数值在区间[x 0，x 1]上变化快慢的量．式中Δx ，Δy 的值可正、可负，当函数f (x )为常数函数时，Δy 的值为0，但Δx 不能为0.当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点处的瞬时变化率． 例1 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人在时间段[0，t 0]内的平均速度的大小？ 解 比较在相同的时间段[0，t 0]内，两人速度的平均变化率的大小便知结果． 在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 所以s 1(t 0)－s 1(0)t 0最新3.1-3.2导数学案汇总
3.1-3.2导数学案
第三章导数及其应用 3.1导数（刘骏宇） 第1课时平均变化率、瞬时速度与导数 学习要求 1．了解函数的平均变化率的概念 2．会求函数的平均变化率 3．知道函数的瞬时速度的概念 4．理解导数的概念，能利用导数的定义求导数 自学评价 1、已知函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?及其附近 有定义，令?Skip Record If...?_______, ?Skip Record If...?,则当?Skip Record If...?时，比值______=?Skip Record If...?,称作自变量在?Skip Record If...?附近的平均变化率. 2、一般地，如果物体的运动规律是?Skip Record If...?，那么物体在 时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到?Skip Record If...?这段时 间内，当?Skip Record If...?时__________，即 v=______=________ 3、设函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?附近有定义， 当自变量在?Skip Record If...?处有增量?Skip Record If...? 时，函数?Skip Record If...?相应地有增量?Skip Record If...?=________.如果?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的比?Skip Record If...?（也叫做 函数的______）有极限（即?Skip Record If...?无限趋近于某个常 数），我们就把这个极限值叫做函数?Skip Record If...?在?Skip Reco rd If...?处的导数，记做______或_______，于是可写作 ______=?Skip Record If...?. 4、如果函数?Skip Record If...?在开区间(a,b)内的每点处都有导 数，此时对于每一个?Skip Record If...?，都对应着一个确定的导 数?Skip Record If...?，从而构成了一个新的函数?Skip Record If...?，称这个函数?Skip Record If...?为函数?Skip Record If...?在开区间(a,b)内的______，简称______. 【精典范例】 例1：（1）求?Skip Record If...?在?Skip Record If...?到?Skip Record If...?之间的平均变化率.
第二课时 导数的运算法则 预习课本P15～18，思考并完成下列问题 (1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？ (2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？ [新知初探] 1．导数的四则运算法则 (1)条件：f (x )，g (x )是可导的． (2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． ②[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． ③???? ??f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ](g (x )≠0)． [点睛] 应用导数公式的注意事项 (1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． (3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导． (4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导， 可简化求导过程． 2．复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义：①一般形式是y ＝f (g (x ))． ②可分解为y ＝f (u )与u ＝g (x )，其中u 称为中间变量． (2)求导法则：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为： y x ′＝y u ′·u x ′. [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2 .( ) (2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( ) (3)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×
函数与导数练习题（高二理科） 1．下列各组函数是同一函数的是 （ ） ①()f x = ()g x =()f x x = 与()g x =； ③0()f x x =与01 ()g x x = ；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--. A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 2．函数2 4 ++= x x y 的定义域为 . 3．若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = . 4．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 5．下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ） A ．12 log (1)y x =+ B ．2 log y =C ．2 1log y x = D ．2 log (45)y x x =-+ 6．)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当0>x 时，,1 )(x x f =则当2- [A组学业达标] 1．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的改变量为() A．－0.29 B．－2.9 C．0.29 D．2.9 解析：f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2. f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71. 所以函数值的改变量为 f(－0.9)－f(－1)＝－1.71－(－2)＝0.29.故选C. 答案：C 2．将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于() A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2 C．4πRΔR＋4π(ΔR)2D．4π(ΔR)2 解析：球的表面积S＝4πR2，则ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2，故选B. 答案：B 3．一质点的运动方程为s＝3－5t2，则在时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为() A．－2－Δt B．2＋Δt C．－10－5Δt D．10＋5Δt 解析：v＝3－5(1＋Δt)2－(3－5×12) Δt ＝－10－5Δt，故选C. 答案：C 4．给定函数f(x)，则lim Δx→0f(x0－Δx)－f(x0) Δx等于() A．f′(x0) B．f′(－x0) C．－f′(x0) D．－f′(－x0) 解析：lim Δx→0f(x0－Δx)－f(x0) Δx ＝－lim Δx→0 f(x0－Δx)－f(x0) (x0－Δx)－x0 ＝－lim －Δx→0 f(x0－Δx)－f(x0) －Δx ＝ －f′(x0)，故选C. 答案：C 5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是() A．1 B．－1 C．±1 D．3 3 解析：因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx2)＋(Δx)3， 所以Δy Δx ＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2， 所以f′(x0)＝lim Δx→0 [3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20， 由f′(x0)＝3得3x20＝3，所以x0＝±1，故选C. 答案：C 6．甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s＝s1(t)，s＝s2(t)，图象如图，则在时间段[0，t0]内甲的平均速度________乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”)． 解析：由图象知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)＞s2(0)， 所以 s1(t0)－s1(0) t0 ＜ s2(t0)－s2(0) t0 ，即v甲＜v乙． 答案：小于 7．一物体的运动方程为s＝ 3 t，则当t＝2时该物体的瞬时速度为________． 解析：瞬时速度即为s对t的导数， 所以v＝s′|t＝2＝lim Δt→0 3 2＋Δt －3 2 Δt ＝lim Δt→0 －3Δt 2(2＋Δt)Δt ＝lim Δt→0 －3 4＋2Δt ＝－3 4. 答案：－ 3 4 高二导数部分测试卷 一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分） 1．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 2．在曲线2 y x =上的切线的倾斜角为4 π 的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416?? ??? D ．11,24?? ??? 3．已知函数)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如右图，则（ ） A ．函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点 B ．函数)(x f 有2个极大值点，2个极小值点 C ．函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点 D ．函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点 4. 函数32 (2)y x =+的导数是（ ） A ．5 2 612x x + B ．3 42x + C ．332(2)x + D ．3 2(2)3x x +? 5.曲线3cos (0)2y x x π =≤≤ 与坐标轴围成的面积是：（ ） A.4 B. 5 2 C.3 D.2 6. 直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为 A ．1- B ．e C ．ln 2 D ．1 7.若函数3 2 ()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是: （ ） A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3 -∞ 8. 若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或 C ．22<<-k D ．不存在这样的实数k 9. ()f x 与()g x 是R 定义在上的两个可导函数，若()f x 与()g x 满足()()f x g x ''=， 则()f x 与()g x 满足: （ ） Ａ．()()f x g x = Ｂ．()()f x g x -为常数函数 Ｃ．()()0f x g x == Ｄ．()()f x g x +为常数函数 10、设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ） 11．点P 在曲线3 2 3 y x x =- +上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α 的取值范 围是（ ） A ．0,2π?????? B ．30,,24πππ???????????? C ．3,4ππ?????? D ．3,24ππ?? ??? 12．设函数()m f x x tx =+的导数()21f x x '=+，则数列1(*)()n N f n ?? ∈???? 的前n 项 和为（ ）． A ． n n 1- B ．n n 1 + C ． 1 +n n D ． 1 2 ++n n 二、填空题 13．函数2cos y x x =+在区间[0,]2 π 上的最大值是 14. 已知函数2)(2 3 -=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线 33+-=x y 在点（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为 __ __. 15.（08北京卷理）如图函数()f x 的图像是折线段， 其中A 、B 、C 的坐标分别是(0,4)、(2,0)、(6,4)， 则((0))f f =________； (1)(1li ) m x x f x f ?→?-?+=______（用数字作答）． A B C D 1.3.2 极大值与极小值 数的极大、极小值. 1．极值 (1)观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P 处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调________变为单调________)，这时在点P 附近，点P 的位置最高，亦即f (x 1)比它附近点的函数值都要大，我们称f (x 1)为函数f (x )的一个________． (2)类似地，上图中f (x 2)为函数的一个________． (3)函数的极大值、极小值统称为函数的______． 预习交流1 做一做：函数y ＝－|x |有极______值______． 2．极值点与导数的关系 观察上面的函数的图象，发现： (1) (2) 预习交流做一做：函数f (x )＝3x －x 3的极大值为________，极小值为________． 预习交流3 议一议：(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？ (2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？ (3)一个函数在一个区间的端点处可以取得极值吗？ (4)一个函数在给定的区间上是否一定有极值？若有极值，是否可以有多个？极大值一定比极小值大吗？ 预习导引 1．(1)递增递减极大值(2)极小值(3)极值 预习交流1：提示：大0 2．(1)＞0 ＝0 ＜0 (2)＜0 ＝0 ＞0 预习交流2：提示：f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0得x＝±1，由极值的定义可得函数的极大值为f(1)＝2，极小值为f(－1)＝－2. 预习交流3：提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件． (2)不一定，例如函数f(x)＝|x－1|，它在x＝1处取得极小值，但它在x＝1处不可导，就更谈不上导数等于0了． (3)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义． (4)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小． 一、求函数的极值 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝2x x2＋1 －2. 思路分析：首先从方程f′(x)＝0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点． 1．函数y＝1＋3x－x3有极大值__________，极小值__________． 2．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值． 利用导数求函数极值的步骤： (1)求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的所有实数根； (3)考察在每个根x0附近，从左到右导函数f′(x)的符号如何变化： ①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值； ②如果由负变正，则f(x0)是极小值； ③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧f′(x)的符号不变，则不是极值点． 二、已知函数的极值求参数范围 导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32 ()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 （）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为 导数的概念及运算 一、预习案 （一）高考解读 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数，通过图像直观地理解导数的几何意义，会求在某点和过某点的切线方程。 （二）知识清单 2、求导法则 ①运算 （1）=±' )]()([x g x f 。 （2）=?')]()([x g x f 。 （3）=?? ????' )()(x g x f 。 ②复合函数的导数：设)(x v u =在x 处可导，)(u f y =在点u 处可导， 则复合函数)]([x v f 在点x 处可导，且=)('x f 。 （三）预期效果及存在困惑 二、导学案 （一）完成《新亮剑（红色）》第50页查缺补漏。 （二）高考类型 考点一、导数运算 1、已知函数ax x x x f +=sin )(，且1)2 ('=π f ，则a 的值等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 2、函数)(x f 的定义域是R ，2)0(=f ，对任意1)()(,'>+∈x f x f R x ，则不等式1)(+>?x x e x f e 的解集为 考点二、导数几何意义的应用 3、已知函数454)(23-+-=x x x x f 。 （1）求曲线)(x f 在点))2(,2(f 处的切线方程； （2）求经过点)2,2(-A 的曲线)(x f 的切线方程。 练习： 1（2018课标I ）设函数ax x a x x f +-+=23)1()(。若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在)0,0(处的切线方程为（ ） A. x y 2-= B.x y -= C.x y 2= D.x y = 2.（2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 课堂总结： 三、巩固案 1.（2016北京节选）设函数bx xe x f x a +=-)(，曲线)(x f y =在))2(,2(f 处的切线方程为4)1(+-=x e y ，求b a ,的值。 2.（2015全国II ）设函数)('x f 是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当 0>x 时，0)()('<-x f x xf ，解不等式0)(>x f 。 1．3.3函数的最大(小)值与导数 学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值． 知识点函数的最大(小)值与导数 如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象． 思考1观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值． 答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)． 思考2结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ 答案存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)． 思考3函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？ 答案不一定，也可能是区间端点的函数值． 思考4怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？ 答案比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值． 梳理(1)函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 类型一求函数的最值 命题角度1不含参数的函数求最值 例1已知函数f(x)＝x3－3x，x∈R. (1)求f(x)的单调区间； (2)当x∈[－3，3]时，求f(x)的最大值与最小值． 解 (1)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1 变化率与导数、导数的计算 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义：f ′(x 0)是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 二、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝lo g a x f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1x 三、导数的运算法则 1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)． 1.函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 1．用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x 2. [自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2 Δx 3.3.3 函数的最值与导数 【学习目标】 是多少？最小值是多少? 2.函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系是什么？能列表的应采用列表的方法. 3.利用导数求函数的最大值和最小值的方法是什么？ 4.利用导数求函数的最值步骤是什么？ 5.不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，f(x)≥c对x∈R 恒成立，常怎么转化？ f(x)≤c对x∈R恒成立，常怎么转化？【自主检测】 1．下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2．函数y=f(x)在区间［a,b ］上的最大值是M ，最小值是m,若M=m, 则f ′(x) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 【典型例题】 例1．（1）求()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值; （2）求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值; (3)求函数x x x y -+=23在闭区间]1,2[-上的最大值与最小值． 例2.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23 与x ＝1时都取得极值 (1)求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间; (2)若对x ∈[]12－，，不等式f （x ） 1．1第二课时 导数的概念 一、课前准备 1．课时目标 (1) 从位移的变化、速度的变化等具体现象到本节研究函数的改变量、变化率，经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，为学习导数概念打下坚实的基础； （2）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数； （3）掌握函数()x f y =在0x x =处的导数及求导数的方法； 2．基础预探 (1)函数x y = 在1=x 处的导数为 ． (2) 已知函数()x f 在a x =的导数为A ，求()()x x a f x a f x ??--?+→?0 lim ． 二、学习引领 1． 瞬时变化率 设函数()x f y =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变量为 =?y ()()00x f x x f -?+，如果当x ?趋近于0时，平均变化率 x y ??=()()x x f x x f ?-?+00趋 近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()x f 在点0x 的瞬时变化率，比如，运动的瞬时速度就是路程函数()t s y =的瞬时变化率． 2．导数与导函数 一般地，设函数()x f y =在点0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变量为()x x f y ?+=?0()0x f -；如果当x ?趋近于零时，平均变化率 =??x y ()()x x f x x f ?-?+00趋近于一个常数l ，则常数l 称为函数()x f 在点0x 处的变化率，而函数在点0x 处的瞬时变化率则称为()x f 在 0x x =处的导数，又称函数在该点处可导，记作()0x f '，即 ()0x f '=0 lim →?x x y ??=0lim →?x ()x x f x x f ?-?+00)(． 如果()x f 在开区间内每一点都是可导的，则称()x f 在区间()b a ,可导．在区间()b a ,内， ()x f '则构成一个新的函数，我们则把这个函数称为函数()x f 的导函数，简称为导数． 3．函数()x f y =在0x x =处的导数及求导数的方法 （1）函数()x f y =在0x x =处的导数()0x f '=0lim →?x x y ??=0lim →?x ()x x f x x f ?-?+00)(． 一．解答题（共9小题） 1．已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明． 2．已知函数f（x）=xlnx﹣2x+a，其中a∈R． （1）求f（x）的单调区间； （2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围； （3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n﹣1）2，其中n≥2． 3．已知函数f（x）=axlnx（a≠0）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最值； （Ⅱ）若m＞0，n＞0，a＞0，证明：f（m）+f（n）+a（m+n）ln2≥f（m+n） 4．已知函数f（x）=2e x﹣x （1）求f（x）在区间[﹣1，m]（m＞﹣1）上的最小值； （2）求证：对时，恒有． 5．设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R． （1）求f（x）的单调区间及极值； （2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1． 6．已知函数f（x）=ln（x+2）﹣a（x+1）（a＞0）． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若x＞﹣2，证明：1﹣≤ln（x+2）≤x+1． 7．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）若x＞﹣1，证明：． 8．已知函数 （1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数； （2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围． 9．已知函数f（x）= （1）当a＜0，x∈[1，+∞）时，判断并证明函数f（x）的单调性 （2）若对于任意x∈[1，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案与试题解析 3、1、1平均变化率 课时目标1、理解并掌握平均变化率得概念、2、会求函数在指定区间上得平均变化率、3、能利用平均变化率解决或说明生活中得实际问题． 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上得平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx瞧作就是相对于x1得一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)得平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)得平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 得几何意义就是：表示连接函数y＝f(x) 图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))得割线得________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值得增量与相应自变量得增量之比就是函数________．(填序号) ①在[x0，x1]上得平均变化率； ②在x0处得变化率； ③在x1处得变化率； ④以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数得增量Δy＝______________、 3．已知函数f(x)＝2x2－1得图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________、 4．某物体做运动规律就是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内得平均速度就是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间得平均变化率就是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0、1时，Δy得值为________．第一章 1.1 1.1.1 1.1.2 导数的概念(优秀经典导学案课时作业及答案详解)
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