当前位置：文档之家› 量子力学

量子力学

工科基对杨理学（下）

14．3 量子力学基础

描述微观粒子运动规律的系统理论时量子力学，它是薛定谔、海森伯等人在1925-192年期间初步建立，波尔等人不断完善起来的。量子力学的主要任务是研究微观粒子的状态随时间变化的规律，建立微观粒子遵从的动力学方程。

14.3.1微观粒子状态的描述

19世纪，通过光的干涉、衍射等实验，人们已认识到光是一种波动——电磁波，并建立了光的电磁理论——麦克斯韦理论。进入20世纪，从爱因斯坦起，人们又认识到光是粒子流——光子流。综合起来，关于光的本性的全面认识就是：光既具有波动性，又具有粒子性，相辅相成。在有些情况下，光突出地显示其波动性，而在另一些情况下，则突出地显示其粒子性。光的这种两重性被称为波粒二象性。为了找到一种既能反应波动性，又能反应粒子性的描述方法，物理学家们作了大量工作并取得一定成果，1925年，海森伯放弃了经典轨道模型，用矩阵描述微观粒子状态，建立矩阵力学；1926年薛定谔提出用波函数描述微观粒子状态，建立波动力学；1948年，费曼建立了通过路径积分来描述的量子力学。而这里我

们主要介绍薛定谔的波动力学。

薛定谔将德布罗意的关系同某种波函数(),r t

组合起来，提出了描述微观粒子运动状态的物理量——波函数：

0cos2()

E x

h h p

ψ=ψ-（14.1）

式（14.1）既有反应的波函数的形式，又有反应粒子性特征的能量E和动量p，它不再是经典意义下的波函数，而是量子力学中描述自由粒子状态的波函数。

14.3.2波函数的统计解释

波函数与它所描写的粒子之间的关系曾经有过不同的看法。有人提出波是由它所描写的粒子组成的，即是由大量粒子分布于空间而形成的疏密波，如果是这样，那么粒子的衍射图样就是由粒子之间的相互作用而产生的。而实验发现，衍射图样和入射粒子流强无关，即使把粒子流强减小到使得粒子一个一个地通过，只要经过足够长的时间，所得到的衍射图样也还是一样的。这说明波函数不是由它所描写的粒子组成的，粒子的波动性并不依存于大量粒子的聚集，单个电子就具有波动性;还有人把波理解为它所描写的粒子的某种实际结构，即把粒子看成在三维空间连续分布的物质波包，波包的群速度即是粒子的速度。但理论分析发现，这样的波包即使原来很窄，在经历一段时间后必然要扩散，这与实验是矛盾的。

波函数的统计解释是1926年玻恩在研究散射问题时提出的。他认为德布罗意波或后面薛定谔方程中的波函数所描述的波，并不像经典波那样代表某个实在的物理量的波动，而只不过是刻画粒子在空间的概率分布的概率波而已，即波函数在空间中某点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的概率成比例。

除了由波函数振幅绝对值的平方可以得出粒子在空间任意一点出现的概率以外，由波函数还可以得出体系的各种力学量，如能量、动量、坐标等，因此人们用波函数来描写体系所处的量子状态。但是与经典力学不同，由于粒子具有波粒二象性，粒子的许多力学量不能同时具有确定值。当粒子处于某一量子态时，它的力学量一般有多个可能值，这些可能值各自以一定的概率出现，并且这些概率都可以从描述体系所处量子态的波函数得出。

一般来说，波函数在全空间应满足归一化条件和标准化条件：所谓归一化，就是波函数模的平方对整个空间积分应为1；而标准化则指应具有单值性，连续性和有界性。单值性表明空间某一位置对应概率是唯一的；连续性指粒子在空间不同处出现概率是连续变化的；有界性指波函数模的平方不能取无穷大，即粒子在整个空间出现的概率之和为一个固定值。

14.3.3薛定谔方程

如果选择波函数(,)r t ψ来描述微观粒子的状态，则微观粒子遵从的动力学方程应该是关于(,)?r t t ψ?=?的微分方程。找到微分方程的形式，在具体问题中，求这个

微分方程，得出(,)r t ψ，也就能知道这个微观粒子的所有性质了。

一般情况下，质量为m 的粒子在外电场中运动时，其势能V 可能是空间坐标和时间的函数，即(,)V V r t =，薛定谔给出的微观粒子的动力学方程的形式为

22(,)(,)(,)2r t i V r t r t t m ψ???=-?+ψ ????

（14.2）式中

22222z y x ??+??+??=?为拉普拉斯算符；2h π=，h 为普朗克常量。至于如何得到这个方程，实际上薛定谔本人也没有详细论述过，而是以一种假设提出的，只不过他把这种假设用来求解氢原子里的电子运动并获得了巨大成功，从而被逐渐接受。

量子力学认为，若粒子在势场中的势能只是坐标的函数，与时间无关，即

()V V r =不显含时间，这时粒子处于定态，描述定态的波函数称为定态波函数。利

用分离变量法，可以将定态波函数(),r t ψ写成空间坐标函数和时间坐标函数的乘

积，即：

()(),()r r t r f t ?ψ= (14.3)

式中，()r ?所满足的方程为

222()()()0m r E V r ???+-= （14.4）

式（14.4）称为定态薛定谔方程，也称不含时间的薛定谔方程。由薛定谔方程加上标准化条件和归一化条件，一般可以解出波函数的具体形式。

量子力学基本问題的争论

人们通过经验和猜测建立了量子理论，这是科学的幸运，但也因此导致了这个理论的异常神秘和不可捉摸。在量子力学建立之后，它的缔造者们希望进一步理解它的真实含义。围绕这个问题产生了两种不同的观点：正统观点和反对观点。两种不同的观点相互斗争，共同促进了量子力学的不断发展和完善。

玻恩的概率波解释、海森伯的不确定关系和玻尔的互补原理共同形成了理解量子力学含义的正统观点。玻恩认为“粒子的运动遵循概率定律”，这里，概率的出现并不是由观察者的无知或理论本身的无能所导致，而必须看作是自然的一种本性。这样，量子力学一般只预言一个事件的概率，而对这个事件的发生不作任何决定论的断言。海森伯的不确定关系对经典的物理概念，如位置和速度，施加了一种限制，他认为，利用量子力学中的波函数所表示的电子态一般不允许人们赋予电子以确定的性质，人们所能做的仅仅是谈论概率。泡利对海森伯的不确定关系曾给出过一个更通俗的陈述“一个人可以用眼来看世界，也可以用9 眼来看世界，但是当他睁开双眼时，他就会头昏眼花了”。玻尔认为对微观现象的说明必须利用互补性思想，粒子图像和波动图像是对同一微观客体的两种互补描述。即，用不同实验装置得到的关于微观客体的资料可以详尽无疑地概括关于微观客体的一切可设想的知识，但是，当企图把这些资料结合成单独一种图像时，它们却显得相互矛盾。于是，任何一幅单独的经典实在图像，如粒子或波，都无法提供关于微观现象的详尽说明，人们只能用互补的经典图像来提供这种完备的说明。如果单独使用粒子图像或波动图像，它们的应用必将受到限制，这种限制由海森伯

的不确定关系所精确表征。正统观点指出“量子力学是一个完备的理论，它的基本的物理和数学的假设不再允许修正”。

持反对观点的代表人物是爱因斯坦和薛定谔,他们曾经是量子探索的旗手，然而他们并不满意量子力学目前的形式，以及关于量子力学的正统观点。他们不断寻找量子力学理论本身的缺陷，希望从新的方向来完善量子力学。反对派攻击正统观点的两个最著名的思想实验：爱因斯坦的EPR论证和薛定谔的量子猫，至今仍为人们所津津乐道。爱因斯坦的EPR论证对量子力学的完备性提出了质疑。他设想了一个涉及两个粒子的思想实验。在实验中，两个粒子经过短暂的相互作用后分离，这一相互作用产生了两个粒子之间的位置关联和动量关联。由于通过对粒子1的位置测量可以知道粒子2的位置，而根据相对论的定域性假设,这一测量不会立即影响粒子2的状态，从而粒子2的位置在测量之前是确定的，同理，粒子2的动量在测量之前也是确定的。于是，粒子2的位置和动量在测量之前都具有确定的值，而一个完备的理论应当同时给出粒子2在测量之前的位置值和动量值，但量子力学只能给出关于这些值的统计信息。因此，量子力学是不完备的。薛定谔猫实验是说，一只猫被关在一个金属盒内，盒中放置一小块辐射物质，它在一个小时内可能有一个原子发生衰变，或者没有原子发生衰变，两者的发生几率相同。如果发生衰变，计数器便放电并通过继电器释放一个重锤，进而击碎一个盛有氢氰酸的小瓶。如果人们将整个系统放置一个小时，那么人们知道，如果在此期间没有原子衰变，这只猫是活的，而一次原子衰变后猫必定被毒死。根据量子力学，盒内的猫将#于奇怪的活与死的叠加态。然而，根据我们的宏观经验，盒中的猫要么活着，要么死了，两者必居其一。那么，猫的状态到底是怎样的呢？它又是何时从又死又活的状态转变成我们所看到的或死或活的状态的呢？对于第一个问题，正统派认为谈论这样的问题没有意义，因为他们只关心实验测量，对于没有测量时猫的状态不感兴趣。这正如玻尔所宣扬的“一个物理量只有当它被测量之后才是实在的”，对此，爱因斯坦无论如何也不能同意，他回敬道“难道月亮只有在我看它时才存在吗?”。对于第二个问题，正统派似乎怎么也说不清，因为他们无法说出经典与量子之间的精确边界。

量子力学中由波函数所描述的系统一般不具有确定的性质，只有对这种性质进行测量后才能得到一个唯一的确定值。这一事实似乎意味着在测量之前不存在真实的、确定的世界。1952年，玻姆提出了一个最直接的补救办法就是给波函数增加额外的隐变量，从而可以赋予系统的性质以确定值，这就是隐变量理论。隐变

量理论虽然为粒子找回了轨迹，但却是一条永远不可见的轨迹，因为理论中引人的隐变量原则上不可测知。1964年，贝尔意外地发现了著名的“贝尔不等式”，并证明量子力学竟然禁止定域隐变量理论的存在，这一结论被称为贝尔定理。贝尔定理首次清晰地揭示了量子世界的非定域性。至今，它已被大量实验所证实。贝尔定理排除了人们最熟悉的一类隐变量——定域隐变量，指出，隐变量如果存在将必然包含一种难以理解的非定域性，这种隐变量被称为非定域隐变量。贝尔的发现进一步显示，隐藏在量子现象背后的物理实在将更加微妙，更加不可捉摸，而量子探索之路无疑也将更加艰辛。

14.4原子结构理论

在20世纪初，从实验事实已经知道电子是一切原子的组成部分。但物质通常是中性的，足见原子中还有带正电的部分。又从电子的荷质比的测量，知道一个电子的质量差不多是氢原子质量的两千分之一。

汤姆孙设想原子的带正电部分是一个原子那么大的、具有弹性的、冻胶状的球，正电荷均匀分布，电子嵌于球内或球上。这些电子能在它们的平衡位置上作简谐振动。原子所发光谱的各种频率认为就相当于这些振动的频率。但随后的《粒子散射实验否定了汤姆孙的模型。

14.4.1原子的有核模型

1909年，在a 粒子流在原子核附近散射实验时观察到一个重要现象(见图4-1)，就是a 粒子受铂的薄膜散射时，大多数a 粒子平均只有2°?3°的偏转，但约有八千分之一的a 粒子偏转大于90°，甚至接近 180°，并且这些大角度偏转多数是一次碰撞

的结果。这一现象不可能在汤姆孙模型那样的原子

中发生。

1911年，卢瑟福（E. Rutherford)提出了原子的有

核模型，他设想，原子的中心有一带正电的原子

核，核的尺寸与整个原子相比是很小的，但它几乎

集中了原子的全部质量，电手围绕这个核旋转。

在核式模型框架下，假设由于靶很薄,耙中原子

核前后不相互遮蔽，同时由于原子核很小，核间空

间很大，粒子穿过薄耙发生多次碰撞的机会很小。卢瑟福的有核模型，当时成功解释了a 粒子流大角散射现象。并在1912年得到盖勒和马斯顿的实验论证，至此原子的核式结构逐渐被人们接受。

但需要指出的是，这一模型与经典物理有着深刻的矛盾。根据经典电磁理论，加速运动的电子会不断向外辐射能量，因而原子应该是一个不稳定的系统，同时由于所辐射能量的连续性，原子发射的光谱也应该是连续光谱，这些都与实验观测矛盾。

14.4.2氢原子的玻尔理论

氢原子在与外界交换能量时，将伴随着电子运动状态在各能级之间的变化。这个过程以吸收或放出光子的方式进行。吸收光子时氢原子从低能级跃迁到高能级，从高能级跃迁澳低能级时则放出光子。吸收或放出的光子，其能量之差等于两个能

级的能量之差。设i E 和f E 分别为高能级和低能级的能量值，则氢原子放出的光子

的频率为

h E E f

i -=ν （14.5）

这个公式称为频率条件。

将氢原子的能量公式带入上式，得氢原子发光的频率为

???? ??-???? ??22342011441i f

n n h me ππεν＝

用波数表示为 ???

? ??-???? ??223420114411~i f n n c h me c ππενλν＝＝＝令 c h me R 342

0441ππε???

? ??＝

则 ???? ??-2211~i f

n n R ＝ν （14.6）其中，1710097.1-?m R ＝称为里德伯常数。在氢原子光谱中，在可见光部分、紫外光部分和红外光部分发现的光谱线系如下：

莱曼系： 1=f n ,4,32 111~22，=??? ??-=n n R H

ν 紫外光部分巴尔末系：2=f

n ,5,4,3 121~22=??? ??-=n n R H ν 可见光部分帕邢系： 3=f

n ，6,5,4 131~22=??? ??-=n n R H ν 红外光部分布拉开系：4=f

n ，，76,5 141~22=??? ??-=n n R H ν 红外光部分普丰德系：5=f n ,8,7,6 15

1~22=??? ??-=n n R H ν 红外光部分至此，零乱无序的光谱线，显现出简明的规律性，每一条谱线的波数都可以表示为二光谱相差。这些规律实际上揭示了原子内部固有的规律性。

经典原子模型的困难：

在1911年卢瑟福关于原子的核式模型结构得到证明以前，人们对原子的结构所知甚少，当时的实验基础只知电子是分立的、不连续的，或者说是量子化的，因此，氢原子光谱的上述线状光谱规律在相当长时间内未能从理论上给予说明。归纳起来，有下面两点：

1. 不能解释电子轨道运动的穗定性

根据经典电磁理论，绕核运动的电子有加速度，将不断地向外辐射与其圆运动频率相同的电磁波，因此原子体系的能量将不断减少，导致电子的轨道半径将不断

减小，电子最终将落到原子核上，就像卫星在大气中运动落人地球一样。因此，不可能存在稳定的原子，可是事实并非如此，原子很稳定。

2. 不能解释为什么原子光谱是线状的

按经典电磁理论，电子绕核旋转时，能量的减少应该是连续的，原子发光的频率等于原子中电子运动的频率，电子作圆运动的频率（亦即辐射频率）将连续增大。因此，原子光谱应是连续的带状光谱，事实上，原子发光为线状光谱。这些结论与实验事实的客观实际不符，表明依据经典理论无法解释原子的线状光谱，需要建立一种新的理论来解释原子的线状光谱等规律。

丹麦物理学家玻尔把卢瑟福的原子有核模型、普朗克量子假设、里德伯 - 里兹合并原则结合起来, 于1913年创立了氢原子结构的半经典量子理论,提出了三个重要假设，成功解释了氢原子光谱的规律性。

（1）定态假设。原子只能处在一系列具有不连续能量的稳定状态（简称定态），相应于这些状态，核外电子是在一系列分立的圆轨道上运动，并不向外辐射电磁波。

（2）跃迁条件假设。当原子从一个定态跃迁到另一个定态时要吸收或放出能

量。例如，从能量为i E 的高能态向能量为f E 的低能态跃迁时，发射单色光的频率

满足式（14.5）。（3）量子化条件假设。电子绕核运动时，只有电子角动量为2h

π整数倍的那些

轨道上才是稳定的。即 2nh L π=

（n=1,2,3…） (14.7) 式中，h 为普朗克常量，n 称为量子数。

上述三个假设说明了原子的能量状态不是连续的，电子在各能量状态（也称为能级）上运动是稳定的，不辐射能量。按照波尔假设，可以很方便的推算出电子的轨道半径和氢原子的定态能量。

玻尔理论的意义和缺陷

玻尔的半经典量子理论在说明光谱线状结构方面取得了前所未有的成功，在历史上，玻尔理论处于非常重要的地位。

1) 成功地把氢原子结构和光谱线状结构联系起来，从理论上说明了氢原子和

类氢离子的光谱线结构。 2) 基于玻尔氢原子理论的里德伯常量的理论值与实验值符合得相当好。

3) 揭示了微观体系的量子化规律，为建立量子力学奠定了基础。

玻尔理论的局限性表现在如下几方面： 1)

以经典理论为基础，是半经典半量子的理论。

2) 角动量量子化的假设以及电子在稳定轨道上运动时不辐射电磁波的结论是

十分生硬的。 3) 无法解释光谱线的精细结构。

4) 不能预言光谱线的强度、宽度及偏振性等。

不能处理复杂原子的问题。

14.4.3氢原子的量子理论

1. 能量量子化与主量子数由于波函数满足单值、有限和连续的条件，可得电子（或者说整个原子）的能量只能是：

() ,3,2,1 12422204=-=n n

me E n πε 由于 ()13.6eV 242204=

πεme

所以 ,3,2,1 eV 6.132=-=n n

E n （14.8）式中n 称为主量子数。由解Schrodigner 方程得到的能量公式与Bohr 理论的结果相同，因而氢原子的能量只能取分立值，即能量是量子化的。

1=n 的能级称为基态能级，基态能量为 13.6eV 1-=E ； ,3,2=n 的能级称为

激发态能级，激发态态能量为 3.4eV 4/12-==E E ，eV 51.19/13-==E E ，当n 很大

时，能级间隔消失而变为连续。

2. 角动量量子化与角量子数（或副量子数）：

求解薛定鄂方程可以得到电子绕核运动的角动量大小为：

()()1,,2,1,0 121-=+=+=n l l l h l l L π

（14.9）其中l 叫做副量子数或角量子数。

此式表明氢原子的角动量也是量子化的。角量子数要受到主量子数得限制：处于能级n E 的原子，其角动量共有n 种可能的取值，即1,,2,1,0 -=n l 。

,,,,f d p s 通常还用主量子数和代表角量子数的字母一起来表示原子的状态。

用1s 表示原子的基态：0,1==l n ，能量为13.6eV 1-=E ，角动量为0=L ； 2p 表示原子处于第一激发态：1,2==l n ，能量为eV 4.31-=E ，角动量为π2/2h L =

3. 空间量子化与磁量子数：

计算结果表明。氢原子中电子绕核运动的角动量不仅大小只能取分立值，其方向也有一定的限制。取空间某一特定的方向（如外磁场B 的方向）为Z 轴，则角动量L 在这个方向的投影z L 只能是：

l m h m L l l z ±±±== ,2,1,0 2π

（14.10） l

m 叫做磁量子数。角动量的这种取向特性叫做空间取向量子化。

对于一定的角动量，l m l ±±±=,,2,1,0 ，共有12+l 种可能的取值。对每一个l m ，

角动量L 与Z 轴的夹角θ应满足()

1cos +==l l m L L l z θ。例1、设氢原子处于p 2态，求氢原子的能量、角动量大小以及角动量的空间取向。

解：p 2态表示2=n ，1=l 。由氢原子的能级公式，可得

eV E 40.32

6.1322-=-= 角动量的大小为 ()ππ2221h h l l L =+=

当1=l 时，

l m 的可能值是1,0,1-，所以角动量方向与外磁场方向的夹角可能值

为 ()?????????=+=4

41arccos π

ππθl l m l 例2、分别计算量子数2=n ，1=l 和2=n 的电子的可能状态数。

解：对于2=n ，1=l 的电子，可取1,0,1-=l m ，共三种状态，对每一种l m ，又

可取

21±=s m ，故共有6种状态。对于2=n 的电子，可取0=l 和1=l 。当0=l 时，

21,0±==s l m m ，有两种状态；当1=l 时，如上所示有6种状态，所以处于2=n 的电子的可能的状态数为862=+种。

4．四个量子数

电子的稳定运动可以用四个量子数来表示，其中三个决定电子的轨道运动，一个决定电子自旋的运动状态，这四个量子数分别为：

主量子数n ， ,3,2,1=n ，决定原子中电子的能量；

角量子数l ，()1,,2,1,0-=n l ，决定电子绕核运动的角动量的大小；

磁量子数m l ，l m l ±±±=,,2,1,0 ，决定电子绕核运动的角动量在外磁场中的取向；自旋量子数m s ，2/1±＝s m ，决定电子自旋角动量在外磁场的取向。

14.4.4原子中的电子分布

除了氢原子以外，其他原子都有两个以上的电子。元素的性质取决于原子中电子所处的状态和电子的分布情况。电子的状态由四个量子数标记，即主量子数(1,2,3,)n n =，它代表总能量的主要部分和电子运动区域的大小；轨道角动量量子数l (0,1,2,,1l n =-)，它表示轨道的形状和轨道角动量的大小，也与总能量有关;轨道磁量子数(,1,,0,,)l l m m l l l =--它表示轨道在空间的取向，或者说，表

示轨道角动量在某方向上的分量；自旋角动量量子数12(12,12)s s S m m ==-,s m 表

示它在某方向上的分量。按照这四个量子数可以标记原子中的电子组态。

在多电子原子中电子是分层分布的，这种电子的分布层次叫做电子壳层。壳层由主量子数n 来区分，1n =称K 壳层，2n =称L 壳层，3n =称为M 壳层，4n =称

为N 壳层等。在每个壳层上，对应于0,1,2,3,

l =，又可分为,,,,s p d f 等分壳层。在每个壳层上只能容纳一定数目的电子，电子的分布由下面的两个原则确定，即泡

利不相容原理和能量最低原理。由于电子作为微观粒子是全同的，不可分辨，相互交换应不改变电子概率分布。其自旋为1/2,满足交换对称性要求的波函数必须是反对称的，因此在原子中不能有两个电子处在同一单粒子状态，即不能有两个电子具有完全相同的四个置子数。这被称为泡利不相容原理。在原子中具有相同主量子数的电子构成一个壳层，在每个壳层中，又分成几个不同的次壳层。按泡利不相容原理可以推算每个壳层和每个

次壳层最多可以容纳的电子数。对于每个次壳层l ，可以有21l +个l m ，对于每个l

m 又可以有两个s m ，即可以容纳的电子数为2(21)l N l =+。对于壳层n ，可以有n 个

不同

l 值，则可以容纳的最大电子总数为每个次壳层可以容纳的最大电子数之和，即

22n N n (14.11)

能量最低原理是说，在原子系统中，每个电子趋向于占有最低的能级。当原子中电子的能量最小时,整个原子的能量最低，这时原子处于最稳定的状态，即基态。由于能量的高低主要取决于主量子数，主量子数越小，能量越低。因此，一般来说，电子总是从最内层（主量子数最小的壳层）开始逐步向外排列的。由于原子能级除了由主量子数决定以外，还与其他量子数有关，所以电子并不是完全按照,,,K L M N 等壳层次序来排列的，而是按下列量子态次序在各个次壳层上排列：1,2,2,3,3,4,3,4,5,4,5,6,4,5,6,7,6,s s p s p s d p s d p s f d p s d

原子中电子的壳层分布，使人们窥见了原子的内部结构，以及对为什么某些

原子具有相似性质等问题有了更本质的认识，同时还为新元素的寻找提供了线索。

20世纪40年代的实验分析发现，原子核的许多性质也有类似于原子的周期性变化，受原子壳层结构的启发，人们提出了原子核的壳层结构模型。但原子核中的壳结构比原子中的电子壳结构要复杂得多，因为原子核中有两类全同粒子(质子和中子），它们有各自的壳结构，它们之间的相互作用又使两种壳结构相互影响。

14.5固体的量子理论

本节定性介绍固体（主要是晶体）的能带结构，并定性说明导体、半导体和绝缘体的能带差异。

14.5.1固体的能带

晶体中的原子（原子、分子或离子）在空间呈现完全有规则的周期性排列，形成空间点阵。这种周期性的结构，使晶体中原子的能级与孤立原子不同，要形成所谓的“能带”。

1．能带的形成

原子核外的电子呈壳层分布，不同的壳层对应于原子的不同能级。位于外层的电子，距离核较远，与核的结合较弱，但在未被激发时，这种外层电子仍然被束缚在母原子中。当大量原子排列形成晶体时，彼此距离很近，处于外层的电子，就不仅要受到母原子电场的作用，也要受到相邻原子电场的作用，从而使外层电子不再被束缚于母原子，而是可以由一个原子转移到其它原子上去，于是电子可以在整个晶体中运动。这种特性称为电子共有化。价电子受母原子束缚最弱，共有化程度最高；内层电子受母原子束缚较强，共有化程度较小；最内层电子的共有化程度最小，与孤立原子的情况相近。

对于相同的各个孤立原子，它们有完全相同的能级分布，但是当N 个原子结

合形成晶体而发生电子共有化时，由于原子之间的相互影响，每一个相似的壳层的能级不再具有完全相同的能量，而要分裂成N个新能级。这些新能级的能量与原有能级的能量很接近，因而相邻新能级间的能量差就非常小（当N很大时，其数量级小于10-23eV），甚至可以看成是连续的。这种由原子的某个能级分裂形成的、能量呈准连续分布的新能级，称为与该能级相对应的能带。所以，晶体中的能带是由原子中的能级分裂而成的，每个能带中的能级个数和晶体中的原子个数相等；并且电子在能带中的填充方式也遵从能量最小原理和泡利不相容原理。

原子的的外层电子因原子间的相互影响较强，能级分裂造成的能量范围大，能级较宽，内层电子则因相互影响较弱而能带较窄。

2．禁带

由于原子的每个能级在晶体中要分裂成相应的一个能带，所以在两个相邻能带间，可能有一个不被允许的能量间隔，这个能量间隔称为禁带。若两个相邻能带相互重叠，则禁带消失。

3. 能带的分类：满带、不满带和空带

1）满带：若能带中各个能级全部被电子填满，则称为满带。由于满带中所有可能的能级都已被电子填满，因此当有外电场作用于晶体时，满带中若有任一电子自它原来占据的能级向同一能带中的其它任一能级转移，则由于受到泡利不相容原理的限制，必有另一电子沿相反方向转移。这时满带中虽有不同能级的电子交换，但总效果与没有电子交换一样。因此满带中的电子不能参与导电过程。一般说来，内层电子能级所分裂的能带都是满带。

2）不满带：若能带中只有一部分能级填入电子，则称为不满带。根据能量最小原理，在正常情况下，不满带中的电子填充在下方的部分能级，上方的能级空着，当受到外场的作用时，不满带中的电子可以进入未被填充的高能级，从而形成电流。所以不满带中的电子参与导电过程。通常所说的金属中的“自由电子”，就是指不满带中的电子。

3）空带：若能带中各个能级都没有电子填充，则称为空带。若电子受到某种因素激励而进入了空带，则在外场作用下，这种电子可在该空带中向高能级转移，从而表现一定的导电性。

不满带和空带都称为导带。与价电子填充的能级相对应的能带称为价带。价带可以是满带，也可以是不满带。

14.5.2绝缘体、导体、半导体

从能带的角度可以说明绝缘体、导体和半导体的区别。

1．绝缘体

绝缘体的能带有两个特征：（1）只有满带和空带；（2）满带和空带之间有较

宽的禁带，禁带宽度一般大于3eV。由于满带中的电子不参与导电，一般外加电场又不足以将满带中的电子激发到空带，所以此类晶体导电性极差，称为绝缘体。禁带宽度越大，绝缘性能越好。

2．导体

导体的能带不尽相同，有的如一价碱金属，价带为不满带；有的如二价碱金属，价带为满带，但满带与空带紧密相接或部分重叠；其它金属的能带，其价带为不满带，且与空带方式重叠。当外电场作用于晶体时，价带中的电子可以进入较高能级，从而可以形成电流，这正是导体具有良好导电性能的原因。

3．半导体

导电能力介于导体与绝缘体之间的晶体称为不同，它的能带结构也只有满带和空带，与绝缘体的能带相似，差别在于禁带宽度不同，

半导体的禁带宽度一般较小，在2eV以下。

14.5.3半导体的导电机理

1．本征半导体导电机理：

纯净无杂质的半导体称为本征半导体，如硅、锗等。由于本征半导体的禁带宽度较小，所以当外场作用于晶体时，少量电子可以由价带进入空带，同时在价带中留下一个空位，称为空穴，它相当于一个带正电的粒子。半导体中的电子和空穴总是成对出现的，称为电子－空穴对。进入空带的电子可以导电，称为电子导电，满带中的空穴也能导电，称为空穴导电。所以电子和空穴统称为载流子。当满带中出现空穴时，在外电场的作用下，满带中的其它电子将去填充空穴，从而有留下新的空穴。显然，这将引起空穴的定向移动，从而形成空穴导电。空穴的定向移动，其效果如同带正电粒子的定向移动。由此可见，本征半导体的导电机制是电子和空穴的混合导电。

2．杂质半导体导电机理：

在纯净半导体中，用扩散的方法掺入少量其它元素的原子。这些掺入的原子，对纯净半导体基体而言可称为杂质。掺有杂质的半导体称为杂质半导体。杂质半导体的导电性能比本征半导体有很大的改变，且导电机构也是不同的。

1）P型半导体（空穴型）：四价元素Si，Ge，掺三价元素B，Al，In 三价原子将在晶体中代替四价元素的原子的位置，构成与硅或锗相同的四电子结构时，缺少一个电子，这相当于由于杂质原子的存在而出现了空穴。相应于这些空穴的能级处于禁带中，且靠近满带。因而满带中的电子容易被激发到杂质能级，同时在满带中形成空穴。杂质能级吸收从满带跃迁来的电子，所以这种杂质原子称为受主原子，相应的杂质能级称为受主能级。因而P型半导体的导带机构是主要依靠满带中的空穴导电。

2）N型半导体（电子型）：四价元素Si，Ge，掺五价元素P，Sb，Td 五价原子将在晶体中代替四价元素的原子的位置，构成与硅或锗相同的四电子结构，而多出的一个价电子只在杂质离子的电场范围内运动。理论证明，这种多余的价电子的能级处于禁带中，且靠近空带。这种杂质价电子很容易被激发到导带中去，所以这类杂质原子称为施主原子，相应的杂质能级称为施主能级。当加上外电场时，施主能级上的电子可以激发到导带中。因而N型半导体的导带机构是主要依靠施主能级激

发到导带中的电子导电。

14.5.4 P-N节

1．P－N结的形成

在一片本征半导体的两侧分别掺入适当的高价和低价杂质，则在交界面两侧的深层内形成P－N结。

P－N结界面的两侧，正负载流子的浓度是不同的。P型中，正载流子（空穴）的浓度大，负载流子（电子）的浓度大。于是，就有电子从N型扩散到P型中，而空穴则从P型扩散到N型中去。这样，在P型和N型之间的界面上，出现了一个偶电层。由于偶电层的存在，在P－N结的界面附近就有一由N指向P的电场，它将阻碍空穴和电子的扩散，直到达到动态平衡为止。这时P－N结的分界面上就存在一定的电势差。此时，P－N结的能带结构发生了变化。

2．P－N结的导电规律

1）实验规律（P－N结的伏安特性）：

P－N结两端没有加电压时，半导体中没有电流；当P－N结两端加上电压时，就有电流通过，但电流的大小和方向与外加电压有关。当P型接正极，N型结负极，即电压为正向电压时，电流为正，叫做正向电流；而且随着正向电压的增加，正向电流也随之指数上升。若P型结负极，N型结正极，即电压为反向电压，电流为负值，称为反向电流，但是随着反向电压的增加，反向流很快达到饱和。这就是P－N结的单向导电性。

2）定性说明：

当在P－N结两端加上正向电压时，P－N结的势垒降低，电子和空穴容易通过势垒，形成电流。当正向电压增大时，势垒进一步降低，电流也进一步增大。当P－N结加上反向电压时，P－N结之间的势垒增大，电子和空穴难以越过势垒。但仍有少量的电子和空穴越过势垒，形成微弱的电流。因为在通常温度下，由于热激发产生的电子和空穴较少，所以随着外电场的增加，电路中的电流很快就达到饱和。

3．P－N结的作用：

P－N结具有单向导电性，可以制成晶体二极管作整流器件，也可以把各种类型的半导体适当组合，制成各种晶体管。随着超精细小型化技术的发展，已制成各种规模的集成电路，并广泛应用于电子计算机、通讯、雷达、宇航、电视等技术领域。

量子力学选择题1

量子力学选择题 (1)原子半径的数量级是： A．10－10cm; B.10-8m C. 10-10m D.10-13m (2)若氢原子被激发到主量子数为n的能级,当产生能级跃迁时可能发生的所有谱线总条数应为： A．n-1 B .n(n-1)/2 C .n(n+1)/2 D .n (3)氢原子光谱赖曼系和巴耳末系的系线限波长分别为： A.R/4 和R/9 B.R 和R/4 C.4/R 和9/R D.1/R 和4/R (4)氢原子赖曼系的线系限波数为R,则氢原子的电离电势为： A．3Rhc/4 B. Rhc C.3Rhc/4e D. Rhc/e (5)氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是： A．13.6V和10.2V; B –13.6V和-10.2V; C.13.6V和3.4V; D. –13.6V和-3.4V (6)根据玻尔理论,若将氢原子激发到n=5的状态,则： A.可能出现10条谱线，分别属四个线系 B.可能出现9条谱线，分别属3个线系 C.可能出现11条谱线，分别属5个线系 D.可能出现1条谱线，属赖曼系 (7)欲使处于激发态的氢原子发出Hα线，则至少需提供多少能量（eV）? A.13.6 B.12.09 C.10.2 D.3.4 (8)氢原子被激发后其电子处在第四轨道上运动,按照玻尔理论在观测时间内最多能看到几条线？ A.1 B.6 C.4 D.3 (9)氢原子光谱由莱曼、巴耳末、帕邢、布喇开系…组成.为获得红外波段原子发射光谱,则轰击基态氢原子的最小动能为: A .0.66 eV B.12.09eV C.10.2eV D.12.75eV (10)用能量为12.75eV的电子去激发基态氢原子时,受激氢原子向低能级跃迁时最多可能出现几条光谱线（不考虑自旋）； A.3 B.10 C.1 D.4 (11)按照玻尔理论基态氢原子中电子绕核运动的线速度约为光速的： A.1/10倍 B.1/100倍 C .1/137倍 D.1/237倍 (12)已知一对正负电子绕其共同的质心转动会暂时形成类似于氢原子的结构的

曾谨言量子力学(卷I)第四版(科学出版社)2007年1月...

曾谨言《量子力学》（卷I ）第四版（科学出版社）2007年1月摘录第三版序言我认为一个好的高校教师，不应只满足于传授知识，而应着重培养学生如何思考问题、提出问题和解决问题。这里涉及到科学上的继承和创新的关系。“继往”中是一种手段，而目的只能是“开来”。讲课虽不必要完全按照历史的发展线索讲，但有必要充分展开这种矛盾，让学生自己去思考，自己去设想一个解决矛盾的方案。要真正贯彻启发式教学，教师有必要进行教学与科学研究。而教学研究既有教学法的研究，便更实质性的是教学内容的研究。从教学法来讲，教师讲述一个新概念和新原理时，应力求符合初学者的认识过程。在教学内容上，至少对于像量子力学这样的现代物理课程来讲，我信为还有很多问题并未搞得很清楚，很值得研究。量子力学涉及物质运动形式和规律的根本变革.20世纪前的经典物理学(经典力学、电动力学、热力学与统计物理学等)，只适用于描述一般宏观从物质波的驻波条件自然得出角动量量子化的条件及自然理解为什么束缚态的能量是量子化的：P17~18；人类对光的认识的发展历史把原来人们长期把物质粒子看作经典粒子而没有发现错误的启发作用：P18；康普顿实验对玻尔电子轨道概念的否定及得出“无限精确地跟踪一个电子是不可能的”：P21；在矩阵力学的建立过程中，玻尔的对应原理思想起了重要的作用；波动力学严于德布罗意物质波的思想：P21；微观粒子波粒二象性的准确含义：P29；电子的双缝衍射实验对理解电子波为几率波的作用：P31 在非相对论条件下（没有粒子的产生与湮灭），概率波正确地把物质粒子的波动性与粒子性联系起来，也是在此条件下，有波函数的归一化及归一化不随时间变化的结果：P32；经典波没有归一化的要领，这也是概率波与经典波的区别之一：P32；波函数归一化不影响概率分布：P32 多粒子体系波函数的物理意义表明：物质粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，而一般说来是多维的位形空间中的概率波。例如，两个粒子的体系，波函数刻画的是六维位形空间中的概率波。这个六维空间，只不过是标志一个具有6个自由度体系的坐标的抽象空间而已。动量分布概率： 1 波包的频谱分析具有一定波长的平面波可表示为： ()e x p ()k x i k x ψ= （A1.1）波长2/k λπ=,其特点是是波幅(或强度)为常数.严格的平面波是不存在的,实际问题中碰到的都是波包,它们的强度只在空间有限区域不为0.例如,高斯波包 221()exp()2x a x ψ=- (A1.2) 其强度分布222()exp()x a x ψ=-,如图A.1所示.可以看出,波包主要集中在1 x a < 区域中. 所以波包宽度可近似估计为:

量子力学考试题

量子力学考试题（共五题，每题20分） 1、扼要说明：（a ）束缚定态的主要性质。（b ）单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。 2、设力学量算符（厄米算符）∧ F ，∧ G 不对易，令∧K ＝i （∧F ∧G -∧G ∧ F ），试证明：（a ）∧ K 的本征值是实数。（b ）对于∧ F 的任何本征态ψ，∧ K 的平均值为0。（c ）在任何态中2F +2 G ≥K 3、自旋η/2的定域电子（不考虑“轨道”运动）受到磁场作用，已知其能量算符为 S H ??ω= ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S （ω，ν>0，ω?ν）（a ）求能级的精确值。（b ）视ν∧ x S 项为微扰，用微扰论公式求能级。 4、质量为m 的粒子在无限深势阱（0

（a ）能量有确定值。力学量（不显含t ）的可能测值及概率不随时间改变。（b ）（n l m m s ）→（n’ l’ m’ m s ’）选择定则：l ?＝1±，m ?＝0,1±，s m ?＝0 根据：电矩m 矩阵元-e → r n’l’m’m s ’，n l m m s ≠0 2、（a ）6分（b ）7分（c ）7分（a ）∧ K 是厄米算符，所以其本征值必为实数。（b ）∧ F ψ＝λψ，ψ∧ F ＝λψ K ＝ψ∧ K ψ＝i ψ∧F ∧ G -∧ G ∧F ψ ＝i λ｛ψ∧ G ψ-ψG ψ｝＝0 （c ）(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )=∧ F 2 +∧ G 2 -∧ K ψ(∧F +i ∧G )(∧F -i ∧G )ψ=︱(∧ F -i ∧ G )ψ︱2≥0 ∴<∧ F 2 +∧ G 2-∧ K >≥0，即2F +2 G ≥K 3、(a)，(b)各10分 (a) ∧ H ＝ω∧ z S +ν∧ x S ＝2ηω［1001-］+2ην［0110］＝2η［ων ν ω -］ ∧ H ψ＝E ψ，ψ＝［b a ］，令E ＝2η λ，则［λωννλω---］［b a ］＝0，︱λων ν λω---︱＝2λ-2ω-2ν＝0 λ＝±22νω+，E 1＝-2η22νω+，E 2＝2η 22νω+ 当ω?ν，22νω+＝ω（1+22ων）1/2≈ω（1+222ων）＝ω+ων22 E 1≈-2η［ω+ων22］，E 2 ＝2η ［ω+ων22］（b ）∧ H ＝ω∧z S +ν∧ x S ＝∧H 0+∧H ’，∧ H 0＝ω∧ z S ，∧ H ’＝ν∧ x S ∧ H 0本征值为ωη21± ，取E 1（0）＝-ωη21，E 2（0）＝ωη21 相当本征函数（S z 表象）为ψ1(0)＝[10]，ψ2(0)＝[01 ] 则∧ H ’之矩阵元（S z 表象）为

量子力学初步-作业(含答案)

量子力学初步 1. 设描述微观粒子运动的波函数为(),r t ψ ，则ψψ*表示______________________________________；(),r t ψ 须满足的条件是_______________________________；其归一化条件是 _______________________________. 2. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将_______________________________. (填入：增大D 2倍、增大2D 倍、增大D 倍或不变) 3. 粒子在一维无限深方势阱中运动（势阱宽度为a ），其波函数为 ()()30x x x a a πψ= << 粒子出现的概率最大的各个位置是x = ____________________. 4. 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a =0.1 nm (1 nm = 10-9 m)，电子束垂直射在单缝面上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量y p ?= _________N·s. (普朗克常量h =6.63×10-34 J·s) 5. 波长λ= 5000 ?的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量λ?= 10-3 ?，则利用不确定关系式x p x h ??≥可得光子的x 坐标的不确定量至少为_________. 6. 粒子做一维运动，其波函数为 ()00 x Axe x x x λψ-≥= ≤ 式中λ>0，粒子出现的概率最大的位置为x = _____________. 7. 量子力学中的隧道效应是指______________________________________ 这种效应是微观粒子_______________的表现. 8. 一维无限深方势阱中，已知势阱宽度为a ，应用测不准关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为____________. 9. 按照普朗克能量子假说，频率为ν的谐振子的能量只能为_________；而

量子力学练习题

一. 填空题 1．量子力学的最早创始人是，他的主要贡献是于 1900 年提出了假设，解决了的问题。 2．按照德布罗意公式，质量为21,μμ的两粒子，若德布罗意波长同为λ，则它们的动量比p 1:p 2= 1:1；能量比E 1：E 2= 。 3．用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长，若电子的能量E= kT 2 3（k 为玻尔兹曼常数），要能看到它的德布罗意波长，则电子所处的最高温度T max = 。 4．阱宽为a 的一维无限深势阱，阱宽扩大1倍，粒子质量缩小1倍，则能级间距将扩大(缩小) ；若坐标系原点取在阱中心，而阱宽仍为a ，质量仍为μ，则第n 个能级的能量E n = ，相应的波函数=)(x n ψ() a x a x n a n <<=0sin 2πψ和。 5．处于态311ψ的氢原子，在此态中测量能量、角动量的大小，角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6.132 -=；L= ；L z = ，轨道磁矩M z = 。 6．两个全同粒子组成的体系，单粒子量子态为)(q k ?，当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ；玻色体系为费米子时 =),(21q q A ψ ；费米体系 7．非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() ) +-'+'+∑ ≠0 2 0m n n m mn mn n E E H H E ， )(x n ψ = () ) () +-'+ ∑ ≠00 2 0m m n n m mn n E E H ψ ψ ，其中微扰矩阵元 ' mn H =()() ?'τψψ d H n m 00?；而 ' nn H 表示的物理意义是。该方法的适用条件是本征值，。

量子力学考试题

' 11 H =0，'22 H =0，'12H ＝'21 H ＝ν η21 E 1＝E 1（0）+'11H +)0(2)0(12 '21 E E H -＝-ωη21+0-ωνηη2241＝-ωη21-ων241η E 2＝E 2 （0） +' 22H + )0(1)0(22'12 E E H -＝ωη21 +ων241η 4、E 1＝2 22 2ma ηπ，)(1x ψ＝?????0sin 2a x a π a x x a x ≥≤<<,00 x ＝dx x a ?021ψ＝2sin 20 2a dx a x x a a =?π x p ＝-i η?=a dx dx d 011ψψ-i ?=a a x d a 020)sin 21(2πη x xp ＝-i η??-=a a a x d a x x a i dx dx d x 00 11)(sin sin 2ππψψη ＝ ?-a a x xd a i 02) (sin 1πη ＝0sin [12a a x x a i πη--?a dx a x 0 2]sin π ＝0+?=a i dx ih 0 2 122ηψ 四项各5分 5、（i ），（ii ）各10分（i ）s ＝0，为玻色子，体系波函数应交换对称。 ),(21→ →r r ψ有：)(1→ r a ψ→ )(2r a ψ，)(1→ r b ψ→ )(2r b ψ，)(1→ r c ψ→ )(2r c ψ， )] ()()()([21 2121→ →→→+r r r r a b b a ψψψψ a c c a b c c b 共6种。（ii ）s ＝21 ，单粒子态共6种： ? ?????0 1a ψ， ? ?????1 0a ψ， ? ?????0 1b ψ， ? ?????1 0b ψ， ? ?????0 1c ψ， ? ?????1 0c ψ。

量子力学史简介

近代物理学史论文题目：量子力学发展脉络及代表人物简介姓名：学号：学院： 2016年12月27

量子力学发展脉络量子力学是研究微观粒子运动的基本理论，它和相对论构成近代物理学的两大支柱。可以毫不犹豫的说没有量子力学和相对论的提出就没有人类的现代物质文明。而在原子尺度上的基本物理问题只有在量子力学的基础上才能有合理地解释。可以说没有哪一门现代物理分支能离开量子力学比如固体物理、原子核粒子物理、量子化学低温物理等。尽管量子力学在当前有着相当广阔的应用前景，甚至对当前科技的进步起着决定性的作用，但是量子力学的建立过程及在其建立过程中起重要作用的人物除了业内人对于普通得人却鲜为人知。本文主要简单介绍下量子力学建立的两条路径及其之间的关系及后续的发展，与此同时还简单介绍了在量子力学建立过程中起到关键作用的人物及其贡献。通过本文的简单介绍使普通人对量子力学有个简单认识同时缅怀哪些对量子力学建立其关键作用的科学家。旧量子理论量子力学是在旧量子论的基础上发展起来的旧量子论包括普朗克量子假说、爱因斯坦光电效应光电子假说和波尔的原子理论。在19世纪末，物理学家存在一种乐观情绪，他们认为当时建立的力学体系、统计物理、电动力学已经相当完善，而剩下的部分不过是提高重要物理学常数的观测精度。然而在物理的不断发展中有些科学家却发现其中存在的一些难以解释的问题，比如涉及电动力学的以太以及观测到的物体比热总小于能均分给出的值。对黑体辐射研究的过程中，维恩由热力学普遍规律及经验参数给出维恩公式，但随后的研究表明维恩公式只在短波波段和实验符合的很好，而在长波波段和实验有很大的出入。随后瑞利和金森根据经典电动力学给出瑞利金森公式，而该公式只在长波波段和实验符合的很好，而在短波波段会导致紫外光灾。普朗克在解决黑体辐射问题时提出了一个全新的公式普朗克公式，普朗克公式和实验数据符合的很好并且数学形式也非常简单，在此基础上他深入探索这背后的物理本质。他发现如果做出以下假设就可以很好的从理论上推导出他和黑体辐射公式：对于一定频率f的电磁辐射，物体只能以hf为单位吸收

量子力学知识点总结(精.选)

1光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 2光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v 0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 3爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= h ν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子 4康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律：射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ；波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大 5戴维逊-革末实验证明了德布罗意波的存在 6波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波 7波函数的归一化条件 1),,,( 2 ?∞=ψτd t z y x 8定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定

态波函数：描述定态的波函数称为定态波函定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变 9算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。 10厄密算符的定义：如果算符 F ?满足下列等式() ? ?dx F dx F φψφψ**??=，则称F ?为厄密算符。式中ψ和φ为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。 11厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。 12简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。 13量子力学中力学量运动守恒定律形式是： 01=??????+??=H F i t F dt F d ?,?η 量子力学中的能量守恒定律形式是01=??????=H H i dt H d ?,??η 14 15斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由 16黑体辐射揭示了经典物理学的局限性。 17玻尔的量子化条件：在量子理论中，角动量必须是h 的整数的近似求解方法。求出，由求出微扰论：由n n n n E E ψψ)0()0(

量子力学试题

量子力学试题（一）及答案一. （20分）质量为m 的粒子，在一维无限深势阱中 ()???><∞≤≤=a x x a x x V ,0 ,0 ,0 中运动，若0=t 时，粒子处于 ()()()()x x x x 3212 1 31210,???ψ+-= 状态上，其中，()x n ?为粒子能量的第n 个本征态。（1）求0=t 时能量的可测值与相应的取值几率；（2）求0>t 时的波函数()t x ,ψ及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为 ()x a n a x n n m a E n n π ?πsin 2,3,2,1 ,222 2 2=== （1）首先，将()0,x ψ归一化。由 12131212222=???? ???????? ??+???? ??+???? ??c 可知，归一化常数为 13 12=c 于是，归一化后的波函数为 ()()()()x x x x 32113 31341360,???ψ++-= 能量的取值几率为 ()()()13 3 ;13 4 ;136321=== E W E W E W 能量取其它值的几率皆为零。（2）因为哈密顿算符不显含时间，故0>t 时的波函数为

()()()()?? ? ??-+?? ? ??-+??? ??-= t E x t E x t E x t x 332211i e x p 133i exp 134i exp 136, ???ψ （3）由于哈密顿量是守恒量，所以0>t 时的取值几率与0=t 时相同。二. （20分）质量为m 的粒子在一维势阱 ()?? ? ??>≤≤-<∞=a x a x V x x V ,00 ,0 .0 中运动()00>V ，若已知该粒子在此势阱中有一个能量2 V E -=的状态，试确定此势阱的宽度a 。解：对于02 <- =V E 的情况，三个区域中的波函数分别为 ()()()()??? ??-===x B x kx A x x αψψψexp sin 03 21 其中， E m V E m k 2 ;) (20=+= α 在a x =处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 ()()()() a a a a '3 '2 32ψψψψ== 得到 ()() a B ka Ak a B ka A ααα--=-=exp cos exp sin 于是有 α k ka -=tan 此即能量满足的超越方程。当02 1 V E -=时，由于 1t a n 00 0-=-=??? ? ?? mV mV a mV

量子力学总结

量子力学总结第一部分量子力学基础（概念）量子概念所谓“量子”英文的解释为：a fixed amount (一份份、不连续)，即量子力学是用不连续物理量来描述微观粒子在微观尺度下运动的力学，量子力学的特征简单的说就是不连续性。描述对象：微观粒子微观特征量以原子中电子的特征量为例估算如下： ○1“精细结构常数”（电磁作用常数）， 1371~ 10297.73 2-?==c e α ○ 2原子的电子能级 eV a e me c e mc E 27~~02242 2 2==??? ? ?? 即：数10eV 数量级 ○ 3原子尺寸：玻尔半径： 53.0~2 2 0me a =?，一般原子的半径1?

○4速率：26 ~~ 2.210/137 e c V c m s c ?-? ○5时间：原子中外层电子沿玻尔轨道的“运行”周期秒 160 0105.1~2~-?v a t π 秒角频率16 102.4~~?a v c ω，即每秒绕轨道转1016圈（电影胶片21张/S ，日光灯频率50次/S ） ○6角动量： =??2 2 20~~e m me mv a J 基本概念： 1、光电效应 2、康普顿效应 3、原子结构的波尔理论波尔2个假设：定态轨道定态跃迁 4、物质波及德布洛意假设（德布洛意关系）

“任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”，认为物体若以大小为P 的动量运动时，则伴随有波长为λ的波动。 P h =λ，h 为普朗克常数同时满足关系ω ==hv E 因为任何物质的运动都伴随这种波动，所以称这种波动为物质波（或德布罗意波）。称P h h E v ==λ 德布罗意波关系例题：设一个粒子的质量与人的质量相当，约为50kg ，并以12秒的百米速度作直线运动，求粒子相应的德布罗意波长。说明其物理意义。答：动量v p μ= 波长m v h p h 3634101.1)1250/(1063.6)/(/--?=??===μλ 晶体的晶格常数约为10－10m ，所以，题中的粒子对应的德布罗意波长<<晶体的晶格常数，因此，无法观测到衍射现象。 5、波粒二象性（1）电子衍射实验 1926年戴维逊（C ·J ·Davisson ）和革末（L ·H ·Gevmer ）第一个观察到了电子在镍单晶表面的衍射现象，证实了电子的波动性，求出电子的波长λ

量子力学思考题及解答

量子力学思考题 1、以下说法是否正确：（1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系；（2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于可以忽略的体系。解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。（2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。（1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=；（2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。（2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=

量子力学基本原理

量子力学基本原理量子力学的基本原理包括量子态的概念，运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。状态函数物理体系的状态由状态函数表示，状态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方程，该方程预言体系的行为，物理量由满足一定条件的、代表某种运算的算符表示；测量处于某一状态的物理体系的某一物理量的操作，对应于代表该量的算符对其状态函数的作用；测量的可能取值由该算符的本征方程决定，测量的期望值由一个包含该算符的积分方程计算。（一般而言，量子力学并不对一次观测确定地预言一个单独的结果。取而代之，它预言一组可能发生的不同结果，并告诉我们每个结果出现的概率。也就是说，如果我们对大量类似的系统作同样地测量，每一个系统以同样的方式起始，我们将会找到测量的结果为A出现一定的次数，为B出现另一不同的次数等等。人们可以预言结果为A或B的出现的次数的近似值，但不能对个别测量的特定结果做出预言。）状态函数的模平方代表作为其变量的物理量出现的几率。根据这些基本原理并附以其他必要的假设，量子力学可以解释原子和亚原子的各种现象。根据狄拉克符号表示，状态函数，用<Ψ|和|Ψ>表示，状态函数的概率密度用ρ=<Ψ|Ψ>表示，其概率流密度用（?/2mi）（Ψ*▽Ψ－Ψ▽Ψ*）表示，其概率为概率密度的空间积分。状态函数可以表示为展开在正交空间集里的态矢比如，其中|i>为彼此正交的空间基矢，为狄拉克函数，满足正交归一性质。态函数满足薛定谔波动方程， ,分离变数后就能得到不显含时状态下的演化方程，En是能量本征值，H是哈密顿算子。于是经典物理量的量子化问题就归结为薛定谔波动方程的求解问题。

清华大学《大学物理》习题库试题及答案----10-量子力学习题解读

一、选择题 1．4185：已知一单色光照射在钠表面上，测得光电子的最大动能是1.2 eV ，而钠的红限波长是5400 ?，那么入射光的波长是 (A) 5350 ? (B) 5000 ? (C) 4350 ? (D) 3550 ? ［］ 2．4244：在均匀磁场B 内放置一极薄的金属片，其红限波长为λ0。今用单色光照射，发现有电子放出，有些放出的电子(质量为m ，电荷的绝对值为e )在垂直于磁场的平面内作半径为 R 的圆周运动，那末此照射光光子的能量是： (A) (B) (C) (D) ［］ 3．4383：用频率为ν 的单色光照射某种金属时，逸出光电子的最大动能为E K ；若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时，则逸出光电子的最大动能为： (A) 2 E K (B) 2h ν - E K (C) h ν - E K (D) h ν + E K ［］ 4．4737：在康普顿效应实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则散射光光子能量 ε与反冲电子动能E K 之比ε / E K 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 ［］ 0λhc 0λhc m eRB 2)(2+0λhc m eRB +0λhc eRB 2+

5．4190：要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线，至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV (B) 3.4 eV (C) 10.2 eV (D) 13.6 eV ［］ 6．4197：由氢原子理论知，当大量氢原子处于n =3的激发态时，原子跃迁将发出： (A) 一种波长的光(B) 两种波长的光(C) 三种波长的光(D) 连续光谱［］ 7．4748：已知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19 eV，当氢原子从能量为－0.85 eV的状态跃迁到上述定态时，所发射的光子的能量为 (A) 2.56 eV (B) 3.41 eV (C) 4.25 eV (D) 9.95 eV ［］ 8．4750：在气体放电管中，用能量为12.1 eV 的电子去轰击处于基态的氢原子，此时氢原子所能发射的光子的能量只能是 (A) 12.1 eV (B) 10.2 eV (C) 12.1 eV，10.2 eV和1.9 eV (D) 12.1 eV，10.2 eV和 3.4 eV ［］ 9．4241：若粒子(电荷为2e)在磁感应

量子力学练习题

第五篇第一章波粒二象性玻尔理论一、选择题 1. 已知某单色光照射到一金属表面产生了光电效应，若此金属的逸出电势是U 0 (使电子从金属逸出需作功eU 0)，则此单色光的波长λ必须满足： [ A ] (A) 0eU hc ≤ λ (B) 0 eU hc ≥λ (C) hc eU 0≤λ (D) hc eU 0≥λ 解：红限频率与红限波长满足关系式hv 0= λhc =eU 0，即0 0eU hc = λ 0λλ≤才能发生光电效应，所以λ必须满足0 eU hc ≤ λ 2. 在X 射线散射实验中，若散射光波长是入射光波长的1.2倍，则入射光光子能量0ε与散射光光子能量ε之比ε0 为 [ B ] (A) 0.8 (B) 1.2 (C) 1.6 (D) 2.0 解： λ εhc = ，0 0λεhc = ，02.1λλ= ，所以 2.10 0==λλεε 3. 以下一些材料的功函数(逸出功)为铍 -----3.9 eV 钯 ---- 5.0 eV 铯 ---- 1.9 eV 钨 ---- 4.5 eV 今要制造能在可见光(频率范围为3.9×1014 Hz ~ 7.5×1014Hz)下工作的光电管，在这些材料中应选 [ C ] (A) 钨 (B) 钯 (C) 铯 (D) 铍解：可见光的频率应大于金属材料的红限频率0νh , 才会发生光电效应。这些金属的红限频率由A h =0ν可以得到： 1419 34 )(01086.101063.610 6.15.4?=???= --钨ν(Hz) 1419 34 )(01007.121063.610 6.10.5?=???= --钯ν(Hz) 1419 34 ) (01059.41063.610 6.19.1?=???= --铯ν(Hz) 1419 34 )(01041.91063.610 6.19.3?=???= --铍ν(Hz) 可见应选铯

11大物C量子力学基础选择题答案

量子力学基础选择题（参考答案） 1.下面的各种物体如果对光都没有透射，那么，哪种是绝对黑体？（） A.不辐射可见光的物体； B.不辐射任何光强的物体； C.不反射可见光的物体； D.不反射任何光线的物体答（D） 2.实验发现热辐射的波长与温度有关，它们的关系是：（） A.温度越高，辐射波长越短 B.温度越高，辐射波长越长 C.温度越低，辐射波长越短 D.温度与波长变化呈线形关系答（A） 3.黑体辐射的峰值波长与黑体本身温度T的关系：（） A. λm与T成正比 B. λm与T2成正比 C. λm与T4成正比 D. λm与T成反比答（D） 4. 为了证实德布罗意假设,戴维孙—革末于1927年在镍单晶体上做了电子衍射实验从而证明了：（ B ） A.电子的波动性和粒子性 B.电子的波动性 C.电子的粒子性 D.所有粒子具有二项性答（B） 5.普朗常数的数值和单位: （） A.6.626 ?10-34焦耳/秒 B.6.626 ?10-34焦耳?秒 C.6.626 ?10-36焦耳/秒 D.6.626 ?10-36焦耳?秒答（B） 6.原子半径的数量级是: （） A.10-10 cm B.10-8 m C.10-10 m D.10-13 m 答（C） 7.已知金属钠的逸出功是2.30eV，光电效应中波长为2000A的紫外线照射钠时，光电子的最大动能越为（eV）：（） A.1.50 B.3.90 C.15.0 D.39.0 答（B）（hc/λ-W）

8.设某金属的逸出功为A ，h 和C 分别为普朗克常数和光速，则该金属光电效应的红限波长为：（） A.hc/A B.h/A C.A/h D.A/hc 答（A ） 9.氢原子光谱赖曼系和巴尔末系的系限（最短）波长分别是：（） A.R/4和R/9 B.R 和R/4 C.4/R 和9/R D.1/R 和4/R 答（D ） 10.氢原子基态的电离电势和第一激发电势分别是：（） A.13.6V 和10.2V B.-13.6V 和-10.2V C.13.6V 和3.4V D.-13.6V 和-3.4V 答（A ） 11.若赖曼系帕邢系巴尔末系第一条谱线的波长分别为λ赖，λ帕和λ巴，则它们之间满足：（） A. λ赖>λ帕>λ巴 B. λ赖<λ帕<λ巴 C. λ赖< λ巴<λ帕 D. λ巴<λ赖<λ帕答（C ） 12.如果粒子以速度运动v 时的德布罗意波长为λ,当它的速度增至2v 时,其德布罗意波长应是: （） A. 2 λ B. 3λ C. λ /2 D. λ/3 答（C ） 13.微观粒子的状态用波函数表示，对波函数模的平方的统计解释是：（） A 、表示微观粒子在时刻的坐标位置； B 、表示时刻，坐标处物质波的强度； C 、表示时刻，坐标处物质波的振幅； D 、表示微观粒子时刻在处单位体积中出现的几率。答（D ） 14.波函数的三个标准条件是:（） A.连续、归一、有限； B.单值、连续、有限； C.单值、归一、有限; D.单值、连续、归一。答（B ） 15．定态薛定谔方程的解是波函数:（） A ．()(,)iEt r t r e ψ-ψ=； B ．()(,)()r t r T t ψψ=； C ．()(,)r t r ψψ=； D ．(,)iEt r t e -ψ=。答（A ）

量子力学选择题库

量子力学选择题 1.能量为100ev 的自由电子的DeBroglie 波长是A A.1.2 A 0.B.1.5A 0.C.2.1A 0.D.2.5A 0 . 2.能量为0.1ev 的自由中子的DeBroglie 波长是 A.1.3 A 0 .B.0.9A 0 .C.0.5A 0 .D.1.8A 0 . 3.能量为0.1ev ，质量为1g 的质点的DeBroglie 波长是 A.1.4A 0 .B.1.9?10 12 -A 0 .?1012-A 0 .D.2.0A 0 . 4.温度T=1k 时，具有动能E k T B =32(k B 为Boltzeman 常数)的氦原子的DeBroglie 波长是 A.8 A 0.B.5.6A 0.C.10A 0.D.12.6A 0 . 5.用Bohr-Sommerfeld 的量子化条件得到的一维谐振子的能量m 为（ ,2,1,0=n ）A A.E n n = ω. B.E n n =+()1 2 ω .C.E n n =+()1 ω.D.E n n =2 ω. 6.在0k 附近，钠的价电子的能量为3ev ，其DeBroglie 波长是 A.5.2 A 0.B.7.1A 0.C.8.4A 0.D.9.4A 0 . 7.钾的脱出功是2ev ，当波长为3500 A 0 的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为 A. 0.25?1018-J. B.1.25?1018-J. C.0.25?1016-J. D.1.25?1016 -J. 8.当氢原子放出一个具有频率ω的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为 A. 2μc .B. 22μc .C. 22 2μc .D. 22μc . https://www.doczj.com/doc/685979838.html,pton 效应证实了 A.电子具有波动性. B.光具有波动性. C.光具有粒子性. D.电子具有粒子性. 10.Davisson 和Germer 的实验证实了 A.????电子具有波动性. B.光具有波动性. C.光具有粒子性. D.电子具有粒子性. 11.粒子在一维无限深势阱 U x x a x x a (),,,=<<∞≤≥???000中运动，设粒子的状态由ψπ()sin x C x a =描写，其归一化常数C 为B A.1a . B.2a . C.12a . D.4 a . 12.设ψδ()()x x =，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为D A.δ()x . B.δ()x dx . C.δ 2 ()x .D.δ2()x dx . 13.设粒子的波函数为ψ(,,)x y z ，在dx x x +-范围内找到粒子的几率为C A. ψ(,,)x y z dxdydz 2 .B.ψ(,,)x y z dx 2 .C.dx dydz z y x )),,((2 ??ψ.D.dx dy dz x yz ψ(,) ???2 . 14.设ψ1()x 和ψ2()x 分别表示粒子的两个可能运动状态，则它们线性迭加的态c x c x 1122ψψ()()+的几率分布为D

量子力学的产生与发展

量子力学的产生与发展量子力学是描述微观世界结构、运动与变化规律的物理科学。它是20世纪人类文明发展的一个重大飞跃，量子力学的发现引发了一系列划时代的科学发现与技术发明，对人类社会的进步做出重要贡献。量子的诞生 19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个地发现了。德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。1900年德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以hV为最小单位，一份一份交换的。普朗克利用内插法,将适用于短波的维恩公式和适用于长波的瑞利―金斯公式衔接起来.在1900年提出了一个新的公式。量子论就这样随着二十世纪开始由伟大的物理学家普朗克把它带到我们这个世界来。虽然在围绕原子论的争论过程中，玻尔兹曼(1844—1966年)在反驳唯能论时说过“怎么能说能量就不像原子那样分立存在呢？”这样的话，马赫(1838—1916年)曾经表明化学运动不连续性的观点，但真正把能量不连续的概念引入物理学的是普朗克。因为能量不连续的概念与古典物理学格格不入，物理学界对它最初的反映是冷淡的。物理学家们只承认普朗克公式是同实验一致的经验公式，不承认他的理论性的量子假说。普朗克本人也惴惴不安，因为他的量子假设是迫不得已的“孤注一掷的举动”。他本想在最后的结果中令h→0，但却发现根本办不到。他其后多年试图把量子假说纳入古典物理学框架之内，取消能量的不连续性，但从未成功。只有爱因斯坦最早认识到普朗克能量子概念在物理学中的革命意义。

著名科学家爱因斯坦经过认真思考，于1905年提出了光量子说。1916年美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。量子的青年时代杂乱的数字以及有趣的台阶想法从光谱学中，我们知道任何元素都产生特定的唯一谱线。这些谱线呈现什么规律以及为什么会有这些规律，却是一个大难题。拿氢原子的谱线来说吧，这是最简单的原子谱线了。它就呈现为一组线段，每一条线都代表了一个特定的波长。比如在可见光区间内，氢原子的光谱线依次为：656，484，434，410，397，388，383，380……纳米。这些数据无疑不是杂乱无章的，1885年，瑞士的一位数学教师巴尔末（Johann Balmer）发现了其中的规律，并总结了一个公式来表示这些波长之间的关系，这就是著名的巴尔末公式。将它的原始形式稍微变换一下，用波长的倒数来表示，则显得更加简单明了：ν＝R（1/2^2 - 1/n^2） 1913年丹麦物理学家玻尔疑惑于卢瑟福原子行星模型的不稳定，建了一所“诺贝尔奖幼儿园”的卢瑟福向他推荐了这个公式。在玻尔眼里，这无疑是一个晴天霹雳，它像一个火花，瞬间点燃了玻尔的灵感，所有的疑惑在那一刻变得顺理成章了，玻尔知道，隐藏在原子里的秘密，终于向他嫣然展开笑颜。一个大胆的想法在玻尔的脑中浮现出来：如同具有一定势能的人从某一层台阶上跳下来一样。台阶数“必须”是整数，就是我们的量子化条件。原子内部只能释放特定量的能量，说明电子只能在特定的“势能位置”之间转换。也就是说，电子只能按照某些“确定的”轨道运行，这些轨道，必须符合一定的势能条件，从而使得电子在这些轨道间跃迁时，只能释放出符合巴耳末公式的能量来。氢原子的光谱线代表了电子从一个特定的台阶跳跃到另外一个台阶所释放的能量。因为观测到的光谱线是量子化的，所以电子的“台阶”（或者轨道）必定也是量子化的，它不能连续而取任意值，而必须分成“底楼”，“一楼”，“二楼”等，在两层“楼”之间，是电子的禁区，它不可能出现在那里。正如一个人不能悬在两级台阶之间漂浮一样。如果现在电子在“三楼”，它的能量用W3表示，那么当这个电子突发奇想，决定