§9.7抛物线
2014高考会这样考 1.考查抛物线的定义、标准方程；2.考查抛物线的几何性质、焦点弦问题；3.考查直线与抛物线的位置关系．
复习备考要这样做 1.熟练掌握抛物线的定义和四种形式的标准方程；2.能根据抛物线的方程研究抛物线的几何性质；3.掌握直线与抛物线位置关系问题的一般解法．
1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(F?l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程与几何性质
1．抛物线的定义
抛物线的定义实质上给出了一个重要的内容：可将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，可以使运算化繁为简．
2． 抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，p
2
等于焦点到抛物线
顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
3． 求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物
线的标准方程．
1． 动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________．
答案 y 2
＝4x
解析 设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2
＝4x .
2． 若抛物线y 2
＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 2
2
＝1的右焦点重合，则p 的值为________．
答案 4
解析 因为椭圆x 26＋y 2
2＝1的右焦点为(2,0)，所以抛物线y 2
＝2px 的焦点为(2,0)，
则p ＝4.
3． (20122重庆)过抛物线y 2
＝2x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AB |＝2512
，
|AF |<|BF |，则|AF |＝________. 答案 56
解析 由于y 2
＝2x 的焦点坐标为? ????12，0，设AB 所在直线的方程为y ＝k ? ??
??x －12，A (x 1，
y 1)，B (x 2，y 2)，x 1 ?? ?? x －12代入y 2＝2x ，得k 2? ?? ?? x －12 2＝2x ， ∴k 2x 2 －(k 2 ＋2)x ＋k 2 4＝0.∴x 1x 2＝1 4 . 而x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋1＝25 12， ∴x 1＋x 2＝1312.∴x 1＝13，x 2＝3 4 . ∴|AF |＝x 1＋p 2＝13＋12＝5 6 . 4． (20122四川)已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若 点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM |＝ ( ) A ．2 2 B ．2 3 C ．4 D ．2 5 答案 B 解析 由题意设抛物线方程为y 2 ＝2px (p >0)，则M 到焦点的距离为x M ＋p 2＝2＋p 2＝3， ∴p ＝2，∴y 2 ＝4x .∴y 2 0＝432＝8， ∴|OM |＝4＋y 20＝4＋8＝2 3. 5． 设抛物线y 2 ＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 ( ) A.???? ??－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1] D ．[－4,4] 答案 C 解析 Q (－2,0)，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2 ＋(4k 2 －8)x ＋4k 2 ＝0， 由Δ＝(4k 2 －8)2 －4k 2 24k 2 ＝64(1－k 2 )≥0， 解得－1≤k ≤1. 题型一 抛物线的定义及应用 例1 已知抛物线y 2 ＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF | 的最小值，并求出取最小值时点P 的坐标． 思维启迪：由定义知，抛物线上点P 到焦点F 的距离等于点P 到准线l 的距离d ，求|PA |＋|PF |的问题可转化为求|PA |＋d 的问题． 解 将x ＝3代入抛物线方程 y 2＝2x ，得y ＝± 6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部，如图． 设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－1 2 的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF | ＝|PA |＋d ，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为72，即|PA |＋|PF |的最小值为7 2 ，此时 P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，∴点P 的坐标为(2,2)． 探究提高 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径． (20112辽宁)已知F 是抛物线y 2 ＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF | ＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A.3 4 B ．1 C.5 4 D.74 答案 C 解析 ∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋1 2＝3， ∴x A ＋x B ＝5 2 . ∴线段AB 的中点到y 轴的距离为 x A ＋x B 2 ＝5 4 . 题型二 抛物线的标准方程和几何性质 例2 抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，它与圆x 2 ＋y 2 ＝9相交，公共弦MN 的长为25， 求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程． 思维启迪：首先确定方程的形式，根据条件列方程确定方程中的系数． 解 由题意，抛物线方程为x 2 ＝2ay (a ≠0)． 设公共弦MN 交y 轴于A ，N 在y 轴右侧， 则|MA |＝|AN |，而|AN |＝ 5. ∵|ON |＝3，∴|OA |＝32 －52 ＝2，∴N (5，±2)． ∵N 点在抛物线上，∴5＝2a 2(±2)，即2a ＝±5 2， 故抛物线的方程为x 2＝52y 或x 2 ＝－52 y . 抛物线x 2 ＝52y 的焦点坐标为? ????0，58，准线方程为y ＝－58. 抛物线x 2 ＝－52y 的焦点坐标为? ????0，－58，准线方程为y ＝58. 探究提高 (1)由抛物线的标准方程，可以首先确定抛物线的开口方向、焦点的位置及p 的值，再进一步确定抛物线的焦点坐标和准线方程． (2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程． 如图，已知抛物线y 2 ＝2px (p >0)有一个内接直角三角 形，直角顶点在原点，两直角边OA 与OB 的长分别为1和8，求抛 物线的方程． 解 设直线OA 的方程为y ＝kx ，k ≠0，则直线OB 的方程为 y ＝－1 k x ， 由????? y ＝kx ，y 2 ＝2px ， 得x ＝0或x ＝2p k 2. ∴A 点坐标为? ?? ??2p k 2，2p k ，B 点坐标为(2pk 2 ，－2pk )， 由|OA |＝1，|OB |＝8， 可得????? 4p 2k 2 ＋1k 4＝1， ①4p 2k 2k 2＋1＝64， ② ②÷①解方程组得k 6 ＝64，即k 2 ＝4. 则p 2 ＝ 16k 2 k 2 ＋1＝4 5 . 又p >0，则p ＝255，故所求抛物线方程为y 2 ＝455x . 题型三 直线与抛物线的位置关系 例3 (20112江西)已知过抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1， y 1)，B (x 2，y 2)(x 1 (1)求该抛物线的方程． (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB → ，求λ的值． 思维启迪：(1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A 、B 坐标，利用关系式表示出点C 坐标，再利用点C 在抛物线上求解． 解 (1)直线AB 的方程是y ＝22(x －p 2)，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2 ＝0， 所以x 1＋x 2＝5p 4 . 由抛物线定义得|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2 ＝8x . (2)由p ＝4知4x 2 －5px ＋p 2 ＝0可化为x 2 －5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)． 设OC → ＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42) ＝(4λ＋1，42λ－22)， 又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2 ＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2 ＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2. 探究提高 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 设抛物线C ：y 2 ＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点． (1)设l 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →2OB → 是一个定值． (1)解 ∵F (1,0)，∴直线l 的方程为y ＝x －1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由??? ?? y ＝x －1，y 2 ＝4x 得x 2 －6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. ∴|AB |＝x 2－x 12 ＋y 2－y 12 ＝22x 1＋x 22 －4x 1x 2 ＝2236－4＝8. (2)证明 设直线l 的方程为x ＝ky ＋1， 由? ???? x ＝ky ＋1， y 2 ＝4x 得y 2 －4ky －4＝0. ∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA → ＝(x 1，y 1)，OB → ＝(x 2，y 2)． ∵OA →2OB → ＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2 y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2 ＋4k 2 ＋1－4＝－3. ∴OA →2OB → 是一个定值． 直线与抛物线的位置关系问题 典例：(12分)(20112湖南)已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差 等于1. (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →2EB → 的最小值． 审题视角 (1)依题设可知，利用直接法求轨迹方程；(2)先设直线l 1的斜率为k ，依题设条件可求出AD →2EB → 关于k 的解析式，利用基本不等式求最值． 规范解答 解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有x －12 ＋y 2 －|x |＝ 1. 化简得y 2 ＝2x ＋2|x |. 当x ≥0时，y 2 ＝4x ；当x <0时，y ＝0. 所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2 ＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)．[5分] (2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)． 由? ???? y ＝k x －1， y 2 ＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2 ＝0.[7分] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根， 于是x 1＋x 2＝2＋4 k 2，x 1x 2＝1. 因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1 k . 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)， 则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2 ，x 3x 4＝1.[9分] 故AD →2EB →＝(AF →＋FD →)2(EF →＋FB →) ＝AF →2EF →＋AF →2FB →＋FD →2EF →＋FD →2FB → ＝|AF →|2|FB →|＋|FD →|2|EF →| ＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1) ＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋x 3x 4＋(x 3＋x 4)＋1 ＝1＋? ?? ??2＋4k 2＋1＋1＋(2＋4k 2 )＋1 ＝8＋4? ?? ??k 2＋1k 2≥8＋432 k 221 k 2＝16.[11分] 当且仅当k 2 ＝1k 2，即k ＝±1时，AD →2EB →取最小值16.[12分] 答题模板 第一步：联立方程，得关于x 或y 的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出Δ>0时参数范围(或指出直线过曲线内一点) 第三步：建立关于所求问题的目标函数； 第四步：最值问题常结合函数单调性或基本不等式求出；定值问题只证明函数为常数函 数，与变量无关； 第五步：反思回顾，有无忽略特殊情况． 温馨提醒 解决直线与圆锥曲线位置关系问题，要注意以下几点： (1)理解数形结合思想，掌握解决此类问题的一般方法； (2)不要忽略对Δ>0的限制或验证； (3)涉及平面向量运算时，要注意垂直、中点等几何性质的应用； (4)最值范围问题，要确定目标函数；探索性问题要先假设存在，然后推理求解． 方法与技巧 1． 认真区分四种形式的标准方程 (1)区分y ＝ax 2 与y 2 ＝2px (p >0)，前者不是抛物线的标准方程． (2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2 ＝mx 或 x 2＝my (m ≠0)． 2． 抛物线的焦点弦：设过抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点的直线与抛物线交于A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)，则： (1)y 1y 2＝－p 2 ，x 1x 2＝p 2 4 ； (2)若直线AB 的倾斜角为θ，则|AB |＝2p sin 2θ； (3)若F 为抛物线焦点，则有1 |AF |＋1|BF |＝2p . 失误与防范 1． 求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方 程，以及是哪一种标准方程． 2． 注意应用抛物线的定义解决问题． A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分) 1． 抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 2 4 ＝1的一个焦点重合，则该抛物线的标准 方程可能是 ( ) A ．x 2 ＝4y B ．x 2 ＝－4y C ．y 2＝－12x D ．x 2 ＝－12y 答案 D 解析 由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2 ＝12y 或x 2 ＝－12y . 2． 已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝12， P 为C 的准线上一点，则△ABP 的面积为 ( ) A ．18 B ．24 C ．36 D ．48 答案 C 解析 不妨设抛物线的标准方程为y 2 ＝2px (p >0)，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为x ＝p 2.代入y 2 ＝2px 得y ＝±p ，即|AB |＝2p ，又|AB |＝12，故p ＝6，所以 抛物线的准线方程为x ＝－3，故S △ABP ＝1 2 36312＝36. 3． 设抛物线y 2 ＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直 线AF 的斜率为－3，那么|PF |等于 ( ) A ．4 3 B ．8 C ．8 3 D ．16 答案 B 解析 设P ? ?? ??y 2 8，y ，则A (－2，y )， 由k AF ＝－3，即y －0 －2－2 ＝－3， 得y ＝43， |PF |＝|PA |＝y 2 8 ＋2＝8. 4． 从抛物线y 2 ＝4x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦 点为F ，则△MPF 的面积为 ( ) A ．5 B ．10 C ．20 D.15 答案 B 解析 由抛物线方程y 2 ＝4x 易得抛物线的准线l 的方程为x ＝－1，又由|PM |＝5可得点 P 的横坐标为4，代入y 2＝4x ，可求得其纵坐标为±4，故S △MPF ＝1 2 3534＝10，选B. 5． 若点P 到直线y ＝－1的距离比它到点(0，3)的距离小2，则点P 的轨迹方程是_______． 答案 x 2 ＝12y 解析 由题意可知点P 到直线y ＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，故点P 的轨迹是以点(0,3)为焦点，以y ＝－3为准线的抛物线，且p ＝6，所以其标准方程为x 2 ＝12y . 6． 已知抛物线y 2 ＝4x 上一点M 与该抛物线的焦点F 的距离|MF |＝4，则点M 的横坐标x ＝ ________. 答案 3 解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1.根据抛物线的定义，点M 到准线的距离为4，则M 的横坐标为3. 7． 设P 是曲线y 2 ＝4x 上的一个动点，则点P 到点B (－1,1)的距离与点P 到直线x ＝－1的 距离之和的最小值为______． 答案 5 解析 ∵抛物线的顶点为O (0,0)， p ＝2，∴准线方程为x ＝－1，焦点F 坐标为(1,0)，∴点P 到点B (－ 1,1)的距离与点P 到准线x ＝－1的距离之和等于|PB |＋|PF |. 如图，|PB |＋|PF |≥|BF |，当B 、P 、F 三点共线时取得最小值， 此时|BF |＝－1－12 ＋1－02 ＝ 5. 三、解答题(共22分) 8． (10分)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被 抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程． 解 如图，依题意设抛物线方程为y 2 ＝2px (p >0)， 则直线方程为y ＝－x ＋1 2 p . 设直线交抛物线于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由抛物线定义得|AB |＝|AF |＋|FB |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2， 即x 1＋p 2＋x 2＋p 2 ＝8.① 又A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是抛物线和直线的交点， 由??? ?? y ＝－x ＋12p ， y 2＝2px ，消去y 得x 2 －3px ＋p 2 4 ＝0. ∴x 1＋x 2＝3p . 将其代入①得p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2 ＝4x . 当抛物线方程设为y 2＝－2px 时，同理可求得抛物线方程为y 2 ＝－4x . 综上，抛物线的方程为y 2 ＝±4x . 9． (12分)已知定点A (1,0)和直线x ＝－1上的两个动点E ，F ，且AE →⊥AF →，动点P 满足EP →∥OA → ， FO → ∥OP → (其中O 为坐标原点)． (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)过点B (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 相交于两个不同的点M ，N ，若AM →2AN → <0，求直线l 的斜率的取值范围． 解 (1)设P (x ，y )，E (－1，y E )，F (－1，y F )． ∵AE →2AF → ＝(－2，y E )2(－2，y F )＝y E 2y F ＋4＝0， ∴y E 2y F ＝－4，① 又EP →＝(x ＋1，y －y E )，FO →＝(1，－y F )，且EP →∥OA →，FO →∥OP → ，∴y －y E ＝0且x (－y F )－y ＝0， ∴y E ＝y ，y F ＝－y x ，代入①得y 2 ＝4x (x ≠0)， ∴动点P 的轨迹C 的方程为y 2 ＝4x (x ≠0)． (2)设l ：y －2＝kx (易知k 存在)，联立y 2 ＝4x 消去x ， 得ky 2 －4y ＋8＝0，令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4k ，y 12y 2＝8 k ， AM → 2AN → ＝(x 1－1，y 1)2(x 2－1，y 2) ＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2 ＝ y 212y 2216 － y 21＋y 2 2 4 ＋1＋y 1y 2 ＝? ?? ??y 1y 242－y 1＋y 22 4＋3 2 y 1y 2＋1 ＝12 k ＋1<0，∴－12 B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分) 一、选择题(每小题5分，共15分) 1． 已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于 A 、 B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，则弦AB 的中点坐标为 ( ) A ．(1,0) B ．(2,2) C ．(3,2) D ．(2,4) 答案 C 解析 依题意得，抛物线C 的方程是y 2 ＝4x ，直线l 的方程是y ＝x －1.由??? ?? y 2 ＝4x y ＝x －1 消 去y 得(x －1)2＝4x ，即x 2 －6x ＋1＝0，因此线段AB 的中点的横坐标是62 ＝3，纵坐标是 y ＝3－1＝2，所以线段AB 的中点坐标是(3,2)，因此选C. 2． 设F 为抛物线y 2 ＝4x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →| ＋|FB →|＋|FC → |等于 ( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．3 答案 B 解析 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3)，又F (1,0)． 由FA →＋FB →＋FC → ＝0知(x 1－1)＋(x 2－1)＋(x 3－1)＝0， 即x 1＋x 2＋x 3＝3， |FA →|＋|FB →|＋|FC → |＝x 1＋x 2＋x 3＋32 p ＝6. 3． 已知抛物线C ：y 2 ＝4x 的焦点为F ，准线为l ，过抛物线C 上的点A 作准线l 的垂线，垂 足为M ，若△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A 的坐标为 ( ) A ．(2,22) B ．(2，－22) C ．(2，±2) D ．(2，±22) 答案 D 解析 如图所示，由题意，可得|OF |＝1，由抛物线的定义，得|AF |＝|AM |， ∵△AMF 与△AOF (其中O 为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴ S △AMF S △AOF ＝1 2 3|AF |3|AM |3sin∠MAF 1 2 3|OF |3|AF |3sin π－∠MAF ＝3， ∴|AF |＝|AM |＝3，设A ? ?? ??y 2 04，y 0， ∴y 204 ＋1＝3，解得y 0＝±2 2. ∴y 20 4＝2，∴点A 的坐标是(2，±22)． 二、填空题(每小题5分，共15分) 4． 已知点P 是抛物线y 2 ＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y 轴上的射影是 M ，点A ? ?? ??72 ，4，则|PA |＋|PM |的最小值是________． 答案 92 解析 设抛物线y 2 ＝2x 的焦点为F ，则F ? ????12，0，又点A ? ?? ??72，4在抛物线的外侧，抛物线 的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －1 2，又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋ |PM |≥9 2 . 5． 设抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，点A (0,2)，连接FA 交抛物线于点B ， 过B 作l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p 的值为________． 答案 2 解析 由抛物线定义可知|BM |＝|BF |，又由平面几何知识得|BM |＝|BA |，所以点B 为AF 的中点，又B ? ?? ??p 4，1在抛物线上，所以12＝2p 3p 4，即p 2 ＝2，又p >0，故p ＝ 2. 6． 设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，FA →与x 轴正 向的夹角为60°，则|OA → |＝________. 答案 212 p 解析 过A 作AD 垂直于x 轴于点D ，令|FD |＝m ， 则|FA |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p . ∴|OA → |＝ ? ?? ??p 2＋p 2＋3p 2 ＝ 21 2 p . 三、解答题 7． (13分)已知A (8,0)，B 、C 两点分别在y 轴上和x 轴上运动，并且满足AB →2BP →＝0，BC → ＝CP → ， (1)求动点P 的轨迹方程； (2)是否存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M 、N 两点，且满足QM →2QN → ＝97，其中 Q (－1,0)，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)设B (0，b )，C (c,0)，P (x ，y )； 则AB →＝(－8，b )，BP → ＝(x ，y －b )， BC → ＝(c ，－b )，CP → ＝(x －c ，y )． ∴AB →2BP → ＝－8x ＋b (y －b )＝0.① 由BC →＝CP → ，得? ?? ?? c ＝x －c ，－b ＝y ， ∴b ＝－y 代入①得y 2 ＝－4x . ∴动点P 的轨迹方程为y 2 ＝－4x . (2)当直线l 的斜率不存在时，x ＝8与抛物线没有交点，不合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －8)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则QM →＝(x 1＋1，y 1)，QN → ＝(x 2＋1，y 2)， 由QM →2QN → ＝97， 得(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝97. 即x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2 (x 1－8)(x 2－8)＝97， ∴(1＋k 2 )x 1x 2＋(1－8k 2 )(x 1＋x 2)＋1＋64k 2 ＝97.② 将y ＝k (x －8)代入y 2 ＝－4x 得k 2x 2 ＋(4－16k 2 )x ＋64k 2 ＝0. ∵直线l 与y 2 ＝－4x 交于不同的两点， ∴Δ＝(4－16k 2)2 －43k 2 364k 2 >0， 即－ 24 ， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝16k 2 －4k 2 ，x 1x 2＝64. 代入②式得： 64(1＋k 2 )＋(1－8k 2 )16k 2 －4k 2 ＋1＋64k 2＝97. 整理得k 2 ＝14，∴k ＝±12. ∵k ＝±12?? ???? －24，24， ∴这样的直线l 不存在． 选修4－5不等式选讲 1．两个实数大小关系的基本事实 a>b?________；a＝b?________；a 5．基本不等式 (1)定理：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立． (2)定理(基本不等式)：如果a ，b >0，那么a ＋b 2________ab ，当且仅当________时，等号成 立．也可以表述为：两个________的算术平均________________它们的几何平均． (3)利用基本不等式求最值 对两个正实数x ，y ， ①如果它们的和S 是定值，则当且仅当________时，它们的积P 取得最________值； ②如果它们的积P 是定值，则当且仅当________时，它们的和S 取得最________值． 6．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理 如果a ，b ，c 均为正数，那么a ＋b ＋c 3________3 abc ，当且仅当________时，等号 成立． 即三个正数的算术平均____________它们的几何平均． (2)基本不等式的推广 对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均__________它们的几何平均，即 a 1＋a 2＋…＋a n n ________n a 1a 2…a n ， 当且仅当________________时，等号成立． 7．柯西不等式 (1)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时等号成立． (2)设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2 n )≥(a 1b 1 ＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立． (3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立． 8．证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 知道a >b ?a －b >0，a b ，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 由a >b >0?a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时要证明a >b ，只要证明________即可，这 种方法称为求商比较法． 选修4－4 坐标系与参数方程 1．极坐标系 (1)极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，叫做________，从O 点引一条射线Ox ，叫做________，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极坐标系． 设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离OM 叫做点M 的________，记为ρ，以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)． (2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝______，y ＝________. 另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________. 2．简单曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程 θ＝α (ρ∈R )表示过极点且与极轴成α角的直线； ρcos θ＝a 表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ρsin θ＝b 表示过??? ?b ，π 2且平行于极轴的直线； ρsin(α－θ)＝ρ1sin(α－θ1)表示过(ρ1，θ1)且与极轴成α角的直线方程． (2)圆的极坐标方程 ρ＝2r cos θ表示圆心在(r,0)，半径为|r |的圆； ρ＝2r sin θ表示圆心在????r ，π 2，半径为|r |的圆； ρ＝r 表示圆心在极点，半径为|r |的圆． 3．曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变量t 的函数? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t ). 并且对于t 的每一个允许值上式所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________________，其中变量t 称为________． 4．一些常见曲线的参数方程 (1)过点P 0(x 0，y 0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为________________(t 为参数)． (2)圆的方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为________________________(θ为参数)． (3)椭圆方程x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程为________________(θ为参数)． (4)抛物线方程y 2＝2px (p >0)的参数方程为________________(t 为参数)． 1．在极坐标系中，直线ρsin(θ＋π 4 )＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 2．极坐标方程ρ＝sin θ＋2cos θ能表示的曲线的直角坐标方程为____________________． 3．已知点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线? ???? x ＝4t 2 ， y ＝4t (t 为参数)上，则PF ＝________. 4．直线? ???? x ＝－1＋t sin 40° ，y ＝3＋t cos 40°(t 为参数)的倾斜角为________． 5．已知曲线C 的参数方程是? ???? x ＝3t ， y ＝2t 2 ＋1(t 为参数)．则点M 1(0,1)，M 2(5,4)在曲线C 上的是________． 题型一 极坐标与直角坐标的互化 例1 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π 3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点． (1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； 第十二章 推理证明、算法初步、复数 第1讲 归纳与类比一、选择题 1．观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为 ( )． A ．76 B ．80 C ．86 D ．92解析 由|x |＋|y |＝1的不同整数解的个数为4，|x |＋|y |＝2的不同整数解的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x |＋|y |＝n 的不同整数解的个数为4n ，故|x |＋|y |＝20的不同整数解的个数为80.故选B.答案 B 2．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( )．A ．289 B ．1 024C ．1 225 D ．1 378解析 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{a n }，则a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，…，a n ＝a n －1＋n .∴a 1＋a 2＋…＋a n ＝(a 1＋a 2＋…、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 §5.4复数 1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C ＝{a ＋b i|a ，b ∈R }中的数，即形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)． (2)分类： (3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ?a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭?a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (5)模：向量OZ → 的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R )． 2．复数的几何意义 复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ → ＝(a ，b )(a ，b ∈R )是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R . (2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→ ，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→. 概念方法微思考 1．复数a＋b i的实部为a，虚部为b吗？ 提示不一定．只有当a，b∈R时，a才是实部，b才是虚部． 2．如何理解复数的加法、减法的几何意义？ 提示复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( × ) (2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．( × ) (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点．( √ ) (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( √ ) 题组二 教材改编 2．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A 解析 ∵z 为纯虚数，∴????? x 2－1＝0， x －1≠0， ∴x ＝－1. 3．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA → 对应的复数是( ) A ．1－2i B ．－1＋2i C ．3＋4i D ．－3－4i 答案 D 解析 CA →＝CB →＋BA → ＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i. 4．若复数z 满足()3＋4i z ＝1－i(i 是虚数单位)，则复数z 的共轭复数z 等于( ) A ．－15－75 i B ．－15＋75 i 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第3讲平面向量 的数量积 第3讲平面向量的数量积 一、选择题 1．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝() A.5 B.10 C．2 5 D．10 解析∵a⊥b，∴x－2＝0，∴x＝2.∴|a＋b|＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2＝4＋1＋1＋4＝10.故选B. 答案 B 2．设向量a＝(1，cos θ)与b＝(－1,2cos θ)垂直，则cos 2θ等于() A. 2 2 B. 1 2 C．0 D．－1 解析∵a⊥b，∴1×(－1)＋cos θ·2cos θ＝0，即2cos2θ－1＝0.又cos 2θ＝2cos2θ－1. 答案 C 3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝ ()．A．4 B．3 C．2 D．0 解析由a∥b及a⊥c，得b⊥c，则c·(a＋2b)＝c·a＋2c·b＝0. 答案 D 4．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0.向量a，b的夹角为60°，且|b|＝|a|，则向量a与c的夹角为() A．60°B．30° C．120°D．150°解析由a＋b＋c＝0得c＝－a－b， ∴|c|2＝|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos 60°＝3|a|2， ∴|c|＝3|a|， 又a ·c ＝a ·(－a －b )＝－|a |2－a ·b ＝－|a |2－|a ||b |cos 60°＝－32|a |2. 设a 与c 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·c |a ||c |＝ －32|a |2 |a |·3|a |＝－32， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°. 答案 D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上取一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是 ( )． A ．(－3,0) B ．(2,0) C ．(3,0) D ．(4,0) 解析 设P 点坐标为(x,0)， 则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1. 当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1. ∴此时点P 坐标为(3,0)，故选C. 答案 C 6．对任意两个非零的平面向量α和β，定义αβ＝α·ββ· β.若平面向量a ，b 满足 |a |≥|b |>0，a 与b 的夹角θ∈? ????0，π4，且a b 和b a 都在集合???? ??n 2| n ∈Z 中，则a b ＝ ( )． A.12 B ．1 C.3 2 D.52 解析 由定义αβ＝α·ββ2可得b a ＝a ·b a 2＝|a |·|b |cos θ|a |2＝|b |cos θ |a |，由|a |≥|b |>0，及 2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第三章 3.1 §3.1导数的概念及运算 1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率 Δy Δx＝f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导 数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim x1→x0f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝ lim Δx→0f(x＋Δx)－f(x) Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为 导数． 4．基本初等函数的导数公式 5． (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0)． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同． ( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)． ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1x ＝2. ( × ) 2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2 解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1 t ＋1，∴f ′(1)＝2. 3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是 ( ) A ．－1 B ．±1 C ．1 D ．±3 答案 B 第2课时参数方程 1．参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程． (2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一 个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t )就是曲线的参数方程． 2．常见曲线的参数方程和普通方程 概念方法微思考 1．在直线的参数方程? ???? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)中， (1)t 的几何意义是什么？ (2)如何利用t 的几何意义求直线上任意两点P 1，P 2的距离？ 提示 (1)t 表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的数量． (2)|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2. 2．圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？ 提示 θ的几何意义为该圆的圆心角． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)参数方程? ???? x ＝f (t )， y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数．( √ ) (2)方程? ???? x ＝2cos θ， y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( √ ) (3)已知椭圆的参数方程? ???? x ＝2cos t ，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π 3，点O 为原 点，则直线OM 的斜率为 3.( × ) (4)参数方程??? ?? x ＝2cos θ，y ＝5sin θ ????θ为参数且θ∈????0，π2表示的曲线为椭圆．( × ) 题组二 教材改编 2．曲线? ???? x ＝－1＋cos θ， y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( ) A ．在直线y ＝2x 上 B ．在直线y ＝－2x 上 C ．在直线y ＝x －1上 D ．在直线y ＝x ＋1上 答案 B 解析 由????? x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得????? cos θ＝x ＋1， sin θ＝y －2. 所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上． 3．直线????? x ＝t ＋1，y ＝t (t 为参数)与圆? ???? x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)的位置关系为( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交且直线过圆心 D ．相交但直线不过圆心 答案 D 解析 消去参数，得直线方程为x －y －1＝0， 圆的方程为(x －2)2＋y 2＝1，圆心为(2,0)，半径R ＝1， 圆心到直线的距离为d ＝|2－0－1|2 ＝2 2<1， 专题一 高考中的导数应用问题 1． 函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是 ( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4) D ．(2，＋∞) 答案 D 解析 函数f (x )＝(x －3)e x 的导数为f ′(x )＝[(x －3)·e x ]′＝1·e x ＋(x －3)·e x ＝(x －2)e x . 由函数导数与函数单调性的关系，得当f ′(x )>0时，函数f (x )单调递增，此时由不等式f ′(x )＝(x －2)e x >0，解得x >2. 2．若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有最小值，则实数b 的取值范围是 ( ) A ．(0,1) B ．(－∞，1) C ．(0，＋∞) D.??? ?0，1 2 答案 D 解析 f (x )在(0,1)内有最小值，即f (x )在(0,1)内有极小值，f ′(x )＝ 3x 2－6b ， 由题意，得函数f ′(x )的草图如图， ∴????? f ′(0)<0，f ′(1)>0， 即????? －6b <0， 3－6b >0， 解得0 §4.4三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，????π2，1，(π，0)，??? ?3π2，－1，(2π，0)． (2)在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，????π2，0，(π，－1)，??? ?3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 概念方法微思考 1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期． 2．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件分别是什么？ 提示 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π 2＋k π(k ∈Z )． (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × ) (2)由sin ????π6＋2π3＝sin π6知，2π 3是正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的一个周期．( × ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) 题组二 教材改编 2．函数f (x )＝cos ????2x ＋π 4的最小正周期是________． 答案 π 3．y ＝3sin ????2x －π6在区间????0，π 2上的值域是________． 答案 ??? ?－3 2，3 解析 当x ∈????0，π2时，2x －π 6∈????－π6，5π6， sin ????2x －π6∈????－1 2，1， 故3sin ? ???2x －π6∈????－3 2，3， 即y ＝3sin ????2x －π6在????0，π2上的值域为??? ?－3 2，3. 4．函数y ＝－tan ????2x －3π 4的单调递减区间为________________． 答案 ???? π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ) 选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系 一、填空题 1．在极坐标系中，点P (ρ0，θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是________． 解析 设点P (ρ0，θ0)关于极点的对称点为(ρ，θ)，则ρ＋ρ0＝0，θ＝θ0＋π，∴对称点为(－ρ0，θ0)． 答案 (－ρ0，θ0) 2．过点(2，π4)平行于极轴的直线的极坐标方程是________． 解析 设直线上点坐标P (ρ，θ)， 则ρsin θ＝2cos (90°－45°)＝ 2. 答案 ρsin θ＝ 2 3．在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆的极坐标方程，则点A ? ?? ??4，π6到圆心C 的距离是________． 解析 将圆的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0，圆心 坐标为(0,2)．又易知点A ? ?? ??4，π6的直角坐标为(23，2)，故点A 到圆心的距离为(0－23)2＋(2－2)2＝2 3. 答案 2 3 4．在极坐标系中，点M ? ????4，π3到曲线ρcos ? ????θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________． 解析 依题意知，点M 的直角坐标是(2,23)，曲线的直角坐标方程是x ＋3y －4＝0，因此所求的距离的最小值等于点M 到该直线的距离，即为 |2＋23×3－4| 12＋(3) 2＝2. 答案 2 5．从极点作圆ρ＝2a cos θ的弦，则各条弦中点的轨迹为________． 解析 设所求曲线上动点M 的极坐标为(r ，φ)， 由图可知???φ＝θ r ＝12ρ . 把θ＝φ和ρ＝2r 代入方程ρ＝2a cos θ， 得2r ＝2a cos φ，即r ＝a cos φ.(? ????－π2 ≤φ≤π2， 这就是所求的轨迹方程． 由极坐标方程可知，所求轨迹是一个以(a 2，0)为圆心，半径为a 2的圆． 答案 以(a 2，0)为圆心，以a 2为半径的圆 6．在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、 B 两点，则线段AB ＝________. 解析 曲线C 1与C 2均经过极点，因此极点是它们的一个公共点．由??? ρ＝2cos θ， θ＝π4得??? ρ＝2，θ＝π4，即曲线C 1与C 2的另一个交点与极点的距离为2，因此AB ＝ 2. 第1课时集合 1．元素与集合 (1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． (2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b?A. (3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法． (4) 2. A B或 B A ?B且B≠?3． (1) U (2) ①A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B. ②A∩A＝A，A∩?＝?. ③A∪A＝A，A∪?＝A. ④A∩?U A＝?，A∪?U A＝U，?U(?U A)＝A. 4．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A，B，C表示同一个集合．(×) (2)若a在集合A中，则可用符号表示为a?A.(×) (3)若A B，则A?B且A≠B.(√) (4)N*N Z.(√) (5)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×) (6)对于任意两个集合A，B，都有(A∩B)?(A∪B)成立．(√) (7)?U(A∪B)＝(?U A)∩(?U B)，?U(A∩B)＝(?U A)∪(?U B)．(√) (8)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×) (9){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√) (10)若A∪B＝A∪C，则B＝C.(×) 考点一集合的概念 第一章 集合与常用逻辑用语大一轮复习 数学(理)[例1] (1)已知集合A ＝{0,1,2}，则集合B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．5 D ．9 解析：∵A ＝{0,1,2}，∴B ＝{x －y |x ∈A ，y ∈A }＝{0，－1，－2,1,2}．故集合B 中有5个元素． 答案：C (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B.98 C ．0 D ．0或98 解析：当a ＝0时，显然成立；当a ≠0时，Δ＝(－3)2－8a ＝0，即a ＝98 . 答案：D [方法引航] (1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件.当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么. (2)对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性. 1．已知a ∈R ，若{－1,0,1}＝??????1a ，a 2，0，则a ＝________. 解析：由题意1a ≠0，a ≠0，a 2≠－1，所以只有a 2＝1. 当a ＝1时，1a ＝1，不满足互异性，∴a ＝－1. 答案：－1 2．(2017·福建厦门模拟)已知P ＝{x |2＜x ＜k ，x ∈N }，若集合P 中恰有3个元素，则k 的取值范围为________． 解析：因为P 中恰有3个元素，所以P ＝{3,4,5}，故k 的取值范围为5＜k ≤6. 答案：(5,6] 考点二 集合间的关系及应用 [例2] (1)设P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }A ．P ?Q B ．Q ?P C ．?R P ?Q D ．Q ??R P 解析：因为P ＝{y |y ＝－x 2＋1，x ∈R }＝{y |y ≤1}，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y ＞0}，所以?R P ＝{y |y ＞1}，所以?R P ?Q ，选 C. 答案：C (2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ?A ，则实数m 的取值范围为________． 解析：∵B ?A ， ∴①若B ＝?，则2m －1＜m ＋1，此时m ＜2. ②若B ≠?，则????? 2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2， 2m －1≤5. 解得2≤m ≤3. 由①、②可得，符合题意的实数m 的取值范围为(－∞，3]． 答案：(－∞，3] [方法引航] 1.集合间基本关系的两种判定方法 (1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系 (2)用列举法(或图示法等)表示各个集合，从元素(或图形)中寻找关系． 2．根据两集合的关系求参数的方法 已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解． (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性； (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． 1．在本例(1)中，集合P 变为P ＝{y |y ＝x 2 ＋1}，Q 不变，如何选答案． 解析：P ＝{y |y ≥1}，Q ＝{y |y ＞0}，∴P ?Q ，选A. §3.1导数的概念及运算 1．函数y＝f(x)从x0到x1的平均变化率 Δy Δx＝f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝ f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. 2．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 (1)定义 当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率．在数学中，称瞬时变化率为函数y＝f(x)在x0点的导数， 通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝lim x1→x0f(x1)－f(x0) x1－x0 ＝lim Δx→0 f(x0＋Δx)－f(x0) Δx. (2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函数f(x)的导函数 如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝lim Δx→0 f(x＋Δx)－f(x) Δx，则f′(x)是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．4．基本初等函数的导数公式 5． (1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)?? ??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x ) [g (x )]2 (g (x )≠0)． 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f ′(x 0)与(f (x 0))′表示的意义相同． ( × ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)再求f ′(x 0)． ( × ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点． ( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( × ) (5)若f (x )＝a 3＋2ax －x 2，则f ′(x )＝3a 2＋2x . ( × ) (6)函数f (x )＝x 2ln x 的导函数为f ′(x )＝2x ·1 x ＝2. ( × ) 2． (2013·江西)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________. 答案 2 解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ∴f ′(t )＝1 t ＋1，∴f ′(1)＝2. 3． 已知曲线y ＝x 3在点(a ，b )处的切线与直线x ＋3y ＋1＝0垂直，则a 的值是 ( ) A ．－1 B ．±1 C ．1 D ．±3 答案 B 解析 由y ＝x 3知y ′＝3x 2， ∴切线斜率k ＝y ′|x ＝a ＝3a 2.高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)选修45 不等式选讲
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