一、选择题
1．在定量分析中，精密度与准确度之间的关系是（C）
A. 精密度高，准确度必然高
B. 准确度高，精密度必然高
C. 精密度是保证准确度的前提
D. 准确度是保证精密度的前提
2. 从精密度好即可推断分析结果可靠的前提是（B）
A. 偶然误差小
B. 系统误差小
C. 标准偏差小
D. 平均偏差小
3. 下列叙述正确的是（BC）
A. 系统误差影响分析结果的精密度
B. 方法误差属于系统误差
C. 精密度是保证准确度的前提
D. 准确度是保证精密度的前提
4. 下系列叙述错误的是（AB）
A. 偶然误差影响分析结果的准确度
B. 绝对值相近的正、负偶然误差出现的机会均等
C. 偶然误差的数值大小具有单向性
D.偶然误差在分析中是无法避免的
5. 下列情况所引起的误差中，不属于系统误差的是（BD）
A. 称量时所用的砝码锈蚀
B. 移液管转移液体之后残留量稍有不同
C. 滴定刻度未经校正
D. 读取滴定读数时，最后一位数字估计不准
6. 下列措施中，可以减小偶然误差的是（B）
A. 进行量器的校准
B. 增加平均滴定的次数
C. 进行对照试验
D.进行空白试验
7. 如果要分析结果达到0.1%的准确度，使用一般电光天平称取试样时至少
应称取的质量为（C）
A. 0.05g
B. 0.1g
C. 0.2g
D. 1.0g
8. 某一分析方法由于试剂带入的杂质量大而引起较大误差，此时应采取哪
种方法来消除（D）
A. 对照试验
B. 空白试验
C. 分析效果校正
D. 提纯试剂
9. 下列计算式的结果应以几位有效数字报出（B）？
0.1026（25.00-21.36）/0.900
A. 2位
B. 3位
C. 4位
D. 5位
10. 对置信区间的正确理解是（B）
A. 一定置信度下以总体平均值为中心包括测定结果在内的可信范围
B. 一定置信度下测定结果为中心包括总体平均值在内的可信范围
C. 真值落在某一可靠区间的几率
D. 一定置信度下以真值为中心的可信范围
11. 下列表述中错误的是（A）
A. 置信水平越高，测定的可靠性越高
B. 置信水平越高，置信区间越宽
C. 置信区间的大小与测定次数的平方根成反比
D. 置信区间的位置取决于测定的平均值
12. 有2组分析数据，要比较它们的精密度有无显著性差异，应采用（A）
A. F检验
B. t检验
C. Q检验
D. G检验
13. 有2组分析数据，要判断它们的均值间是否存在系统误差，应采用（C）
A. F检验
B. t检验
C. F检验+t检验
D. G检验
14. 下列情况中，导致分析结果产生正误差的是（B）
A. 已失去部分结晶水的硼砂为基准物标定盐酸溶液的浓度
B. 以重铬酸钾滴定亚铁时滴定管未用重铬酸钾标准溶液淋洗
C. 标定氢氧化钠溶液的邻苯二甲酸氢钾含有少量邻苯二甲酸
D. 以硫酸钡重量法测定钡时，沉淀剂硫酸加入量不足
15. 滴定反应tT+bB=cC+dD达计量点时，T的物质的量与B的物质的量的
关系是（B）
A. 1:1
B. t:b
C. b:t
D. 不确定
16. 某弱酸A的分布系数与（ABC）
A. B. C. D. 酸总
17. cmol/L的S溶液的质量平衡式是（CD）
A. [S]=C
B. []=C
C. []=2C
D.[S]+[HSO3—]+[S]=C
18. 某二元酸A的=1.2,=4.2。欲使H为主要存在形式，则需
将溶液ＰＨ控制在（Ｂ）
A. 小于１.２
B. １.２—４.２
C. 大于１.２
D. 大于５.２
19. 在滴定分析中，关于滴定突跃范围的叙述不正确的是（D）
A. 被滴定物的浓度越高，突跃范围越大
B. 滴定反应的平衡常数越大，突跃范围越大
C. 突跃范围越大，滴定越准确
D.指示剂的变色范围越大，突跃范围越大
20. tmol的滴定剂T与bmol的被测物B完全反应的点是（AC）
A. 化学计量点
B. 滴定终点
C. /=t/b
D. T与B的质量相
21. 滴定误差TE（%）（ABC）
A. 与有关
B. 是相对误差
C. 越大，误差越小
D. ，误差越大
22. 定量分析中的基准物质含义是（D）
A. 纯物质
B. 标准物质
C. 组成恒定的物质
D. 纯度高、组成稳定、性质稳定且摩尔质量较大的物质
. 23. 强酸滴定强碱时，酸和碱的浓度均增大10倍时，则滴定突跃范围将（D）
A. 不变
B. 增大0.5个PH单位
C. 增大1个PH单位
D. 增大2个PH单位
24. 某弱酸HA的=1.0x10^-3，1.0mol/L的该水溶液的ＰＨ（Ｃ）
A. ３.０
B. ２.０
C. １.５
D. ６.０
25. 某弱碱（0.1mol/L），其HB的=1.0x10^-9,该水溶液的PH为（D）
A.3.0
B. 5.0
C. 9.0
D. 11.0
26. 用纯水将下列溶液稀释10倍时，①其中PH变化最小的是（D），②变
化最大的是（C）
A. N.O溶液（1.0mol/L ）
B. H溶液（1.0mol/L）
C. HCl溶液（1.0mol/L）
D. H（1.0mol/L）+（0.1mol/L）
27. 浓度均为0.1mol/L的P（P）与HP（P），则（B）
A. P>P
B. P< P
C. .P= P
D. P P
28.选择指示剂是可以不考虑（A）
A. 指示剂相对分子大小
B. 指示剂的变色范围
C. 指示剂的颜色变化
D. 滴定突跃范围
29. 某酸碱指示剂的=1x10^-5,其理论变色范围为（C）
A. 4-5
B. 5-6
C. 4-6
D. 5-7
30. 用OH溶液（0.1mol/L）滴定同浓度的甲酸（=1.8x10^-4）溶液，
应选用的指示剂是（D）
A. 百里酚酞（=1.65）
B. 甲基橙（=3.45）
C. 中性红（=7.4）
D. 酚酞（=9.1）
31. 下列物质（均为0.1mol/L），不能用强碱标准溶液直接滴定的是（CD）
A. 一氯醋酸（K a=1.4x10^-3）
B.邻苯二甲酸氢钾（=3.1x10^-6）
C. 苯酚（ 1.3x10^-10）
D. N Cl(=1.8x10^-5)
32. NaOH溶液的标签浓度为0.3000mol/L，该溶液在放置中吸收了C，
现以酚酞为指示剂，用HCl标准溶液滴定，其标定结果比标签浓度（B）
A. 高
B. 低
C. 不变
D. 基本无影响
33. 下列滴定的终点误差为正值的是（CD）
A. NaOH滴定HCl，用甲基橙为指示剂
B. HCl滴定NaOH，用酚酞为指示剂
C. 蒸馏法测N时，用HCl吸收N，以NaOH标准液反滴定PH=7
D. NaOH滴定至PH=5.5时（第一计量点）
34. 下列何种试剂中醋酸，苯甲酸，盐酸及高氯酸的酸强度都相同（C）
A. 纯水
B. 浓硫酸
C. 液氨
D. 甲基异丁酮
35. 用已知浓度NaOH滴定相同浓度的不同弱酸时，若弱酸的越大，则
（B）
A. 消耗的NaOH越多
B. 滴定突跃越大
C. 滴定突跃越小
D. 指示剂颜色变化越不明显
36. 标定NaOH滴定液时常用的基准物质是（D）
A. 草酸钠
B. 苯甲酸
C. 硼酸
D. 邻苯二甲酸氢钾
37. 滴定分析中已知准确浓度的试剂称为（A）
A. 滴定液
B. 指示剂
C. 溶液
D. 被滴定液
38. 按任务分类的分析方法为（B）
A. 无机分析和有机分析
B. 定性、定量分析和结构分析
C. 常量分析和微量分析
D. 化学分析与仪器分析
39. 用万分之一天平进行称量时，结果应记录到以克为单位小数点后几位
（D）
A. 一位
B. 二位
C. 三位
D. 四位
40.以下各项措施中，可以消除分析测试中系统误差的是（A）
A. 进行仪器校正
B. 增加测定次数
C. 增加称样量
D. 提高分析人员水平
二、填空题
1. 0.05020是 4 位有效数字，
2.30x10^-4是 3 位有效数字。
2. 决定偶然误差正态分布曲线的2 个重要参数是和，
它们分别表示测量结果的集中趋势和离散程度。
3. 定量分析中，系统误差影响结果的准确度，偶然误差影响测
定结果的精密度。
4.在一次滴定中，常量滴定管读数常有ml的误差，如果要求
分析结果达到0.1%的准确度，滴定时消耗滴定剂的体积应控制在20 ml以上。
5. 由于系统误差是以固定的方向和大小出现，并且具有重复性，
故可用加校正值的方法予以消除，但不能增加平均测定次数的方法避免。
6. 在消除系统误差的前提下，平行测量的次数越多，则测量值的算术平
均值越接近真值。
7. 由于实际测量中的测量次数是有限的，故其偶然误差的分布服从
t分布。
8.某人测定纯明矾后报出结果，=10.790.04%（置信度为95%），此结果
的含义是。
9. 对照试验是检验系统误差的有效方法，但在进行对照试验时，应尽
量选择与试剂组成相近的标准试样进行对照分析。
10. F检验是通过比较两组数据的方差S2以确定它们的精密度
是否存在显著性差异。
11. 已知磷酸的p=2.12，p7.21，p=12.66，若控制磷酸盐的
pH=6.0，则按浓度大小顺序，溶液中2种主要存在型体
12.某二元酸（）的p=4.19，p=5.57，在pH4.0时，的分
布系数为0.60 。
13. 加入滴定剂后不能立即定量完成的滴定反应可采用返滴定进行滴定。
14. 以0.1000mol/L的HCl滴定0.1000mol/LN.O，化学计量点时的质
子条件是[或[-[N] 15.酸碱指示剂的变色范围大约是 2 个pH单位，变色范围与p的
关系是pH= p。
16.某酸碱指示剂的p=8.1，该指示剂的理论变色范围为7.1
17. 已知=40.00g/mol，0.60g/LlNaOH溶液的pH= 12.18 。
18. 已知=63.01g/mol，0.20g/LHN溶液的pH= 2.50 。19．酸碱滴定曲线描述了滴定过程中溶液pH变化的规律新性。滴定突跃的大小与溶液浓度和离解常数有关。
20. 枸橼酸离解常数分别为p= 3.14，p p=6.39，如用
0.1mol/LNaOH滴定同浓度的枸橼酸溶液，滴定曲线上有几个突跃
1个
21. 检验2个分析结果间是否存在显著性差异时，用双侧检验；若
检验某分析结果是否明显高于（或低于）某值，则用单侧检验。23. 进行数据统计处理的基本步骤是，首先进行可疑数据的取舍（Q检验
或G检验），而后进行精密度检验（F检验），最后进行准确度检验（t检验）。
24.强酸滴定强碱时，酸和碱的浓度均增大10倍时，则滴定突跃范围将增
大2个pH单位。
25. 置信一定时增加测定次数n，置信区间变小；n不变时，置信度提高，
置信区间变宽。
26. 用丁二酮肟总量法测定Ni的含量，得到下列结果：10.48%、10.37%、
10.43%、10.40% 10.47%已求得单次测定结果的平均偏差为0.036% 则
相对平均偏差为0.35% ；标准偏差为0.046% ；相对标准偏
差为0.44% 。
27. 0.908001有 6 位有效数字，0.024有2 位有效数字。
28. 常用于标定HCl溶液浓度的基准物质有和
；常用于标定NaOH的基准物质有
和KH。
三、判断题
1. 酚酞和甲基橙都有可用于强碱滴定弱酸的指示剂。（x）
2. 缓冲溶液在任何pH值条件下都能起缓冲作用。（x）
3. 一个试样经过10次以上的测试，可以去掉一个最大值和一个最小值，然
后求平均值。（x）
4. 随机误差的分布遵从正态分布规律。（）
5. 滴定时眼睛应当观察滴定管体积变化。（x）
6. 酸式滴定管活塞尾端接触在手心的皮肤表面。（x）
7. 酸式滴定管的活塞和碱性滴定管的玻珠下端有汽泡。（x）
8. 系统误差是大小和正负可测定的误差，可通过增加测定次数，取平均值加
以消除。（x）
9. 可疑值通常是指所测得的数据中的最大值或最小值。（）
10. 两性物质的酸度与它的浓度无关。（x）
11. 用Q 检验法进行数据处理时，若Q计≤Q0.90时，该可疑值应舍去。
（x）
12. 指示剂的选择原则是：变色敏锐、用量少。（x）
13. 标定某溶液的浓度（单位：mol/L）得如下数据：0.01906、0.01910，其
相对相差为0.2096%。（x）
14.用C(NaOH) = 0.1000mol/L的NaOH溶液20.00ml滴定相同体积、
相同浓度的HCl溶液，当滴加的NaOH溶液为19. 98ml时，体系的
pH = 3.30。（x）
15. 在分析测定中，测定的精密度越高，则分析结果的准确度越高。（x）
16. 精密度是指测定值与真实值之间的符合程度。（x）
17. 可疑值通常是指所测得的数据中的最大值或最小值。（）
18. 强酸滴定弱碱达到化学计量点时pH>7。（X）
19.相对于偏差，标准偏差可以使大偏差能更显著地反映出来。（）
20. 系统误差是可测误差，因此总能用一定的方法加以消除。（）
四、计算题
1. 用0.01000mol·L-1NaOH溶液滴定20.00mL 0.01000mol·L-1HAc溶液，计
算：（1）滴定前pH值；（2）化学计量点时pH值。
解：（1）滴定前，溶液中的H+ 主要来自HAc的解离。HAc，Ka=1×10-5
因C·Ka=0.010×1.8×10-5>20 Kw，C/ Ka>500
所以]==4.2mol/L
pH=3.38
（2）化学计量点时，NaOH与HAc定量反应全部生成NaAc。此时溶液的H+主要由Ac-的解离所决定。
Kb=Kw/Ka
=1.0×10-14/(1.8×10-5)=5.6×10-10，C(NaAc)= 0.005000mol·L-1
因C·Kb=0.005000×5.6×10-10 >20 Kw，C/ Kb>500
所以[O]===1.7
pOH=5.77，pH=8.23
2. 计算下列各溶液的pH值：（1）0.10 mol·L-1(2)0.10mol·L-1
N a2HPO4
解：（1）Ka=Kw/Kb=1.0×10-14/(1.8×10-5)=5.6×10-10 ，
C·Ka=0.10×5.6×10-10>20 Kw，C/ Ka>500
所以]==7.5
pH=5.12
（2）因C·Ka3=0.10×4.4×10-13<20 Kw, C>20Ka2
所以] ==
==1.8×10-10 mol·L-1
pH=9.14
3.测定铁矿石中铁的质量分数（以3 2OFeW表示），5次结果分别为：
67.48%，67.37%，67.47%，67.43%和67.40%。计算：（1）平均偏差（2）
相对平均偏差（3）标准偏差；（4）相对标准偏差；（5）极差。
解：（1）==67.43%
= = =0.04%
（2）===0.06%
（3）S === 0.05%
（4） = %100x S = 0.07%
（5）
= -= 67.48%-67.37% = 0.11%
4. 某人分析来自国家标准局的一份血铅试样，得到一些数据：6次的平均结 果=16.82μg/100g ，S=0.08μg/100g ，标准局提供的标准数值为16.62μ g/100g ，这些结果在95%置信水平是有显著差异吗？
（） 解：t ==
= 6.12
因为
所以这些结果在95%置信水平有显著差异。
5. 称取混合碱试样0.9476g ，以酚酞为指示剂，用0.2785mol/L HCl 标准溶液滴
定至终点，用去酸溶液34.12ml 。再加甲基橙指示剂，滴定至终点，又消耗 酸溶液23.66mL ，求试样中各组分的质量分数
（=84.01g/mol,=40.01g/mol ） 解：因为混合碱组成为和NaOH
酚酞：Na 2CO 3+HCl==NaHCO 3+NaCl
NaOH+HCl==NaCl+
甲基橙：NaHCO 3+HCl==CO 2+H 2O+NaCl
= = 73.71%
=
= = 12.30%
6. 用0.1000 mol ·L -1 NaOH 溶液滴定0.1000 mol ·L -1的甲酸溶液，化学计量点 pH 是多少？计算用酚酞做指示剂(pH ＝9.0）时的终点误差。
解：
7. 用mol·L-1的HCl溶液滴定20.00 mL mol·L-1的，化学计量点前后0.1%的pH是多少？若用酚酞做指示剂（PT为9.0）计算终点误差。解：化学计量点前0.1％：
8. 用0.1000 mol·L-1 HCl溶液滴定20.00 mL 0.1000 mol·L-1的NaOH，
若NaOH溶液中同时含有0.1000 mol·L-1的NaAc。计算化学计量点
以及化学计量点前后0.1%时的pH。若滴定到pH7.0，终点误差有多大？
解：(1) 化学计量点时，体系中有0.0500 mol·L-1 NaAc。
9. 用0.2000 mol·L-1 HCl溶液滴定0.2000 mol·L-1一元弱碱B(p K b=6.0),计
算化学计量点的pH和化学计量点前后0.1%的pH。若所用溶液的浓度都是0.0200 mol·L-1，结果又如何？
解： (1)化学计量点时
(2)当浓度为0.0200 mol?L-1时
10.下列物质能否用酸碱滴定法直接测定？使用什么标准溶液和指示剂。如果不
能，可用什么方法使之适用于酸碱滴定法进行测定？
(1) 乙胺； (2) ; (3) HF ;
(4) NaAc ;
(5) ; (6) 硼砂；
(7) 苯
胺 ; (8) 解：
11. 标定HCl 溶液时，准确称取0.3042克，灼烧成以后，溶
于水用HCl 滴定，用甲基橙作指示剂，用去HCl 22.38 mL,计算HCl 溶 液的浓度。
解：
12. 某碱试样可能含有Na 2CO 3、NaHCO 3、NaOH 或它们的混合物，还含有一 些惰 性杂质，称取该试样2.2335g 溶于250mL 容量瓶中。
移取2份25.00mL 的该溶液，用0.1000mol ·L -1HCl 溶液滴至终点。其中 以甲基红作指示剂，消耗HCl 溶液32.62mL ；以酚酞为指示剂，消耗HCl 溶液10.15mL 。问试样中含有何种成分？其质量分数各为多少？
解：
析 遇到试样组分未直接给出的问题，首先应根据每一步滴定所消耗的滴定 剂的体积来判断试样中含有哪些成分，不含哪些成分。根据题意，把以 酚酞为指示剂(即将Na 2CO 3滴定至NaHCO 3)和以甲基红为指示剂(即将 NaHCO 3滴定至H 2CO 3)这两步滴定所消耗的HCl 的体积进行比较可判 断出试样的组成，即
（1）若V HCl (酚酞)>0，V HCl (甲基红)＝0，则试样中，只含有NaOH ；
（2）若V HCl (酚酞) >V HCl (甲基红) >0，则试样中只含有NaOH 和Na 2CO 3；
（3）若V HCl (甲基红) > V HCl (酚酞) >0，则试样中只含有Na 2CO 3和NaHCO 3；
（4）若V HCl (酚酞)＝0，V HCl (甲基红)>0，则试样中只含有NaHCO 3。 根据V HCl (甲基红)>V HCl (酚酞)>0，可以判断该试样中不含NaOH ，只 含有Na 2CO 3和NaHCO 3。
4816.0250.0mL 25.00mL 2.2335g mol 106.0g L 1010.15L 0.1000mol )
()
CO Na ()CO Na (1
31-3232=??????==--试样m m ω
4816.0250.0mL 25.00mL 2.2335g mol g 00.84L 10)15.10260.32(L 0.1000mol )
()
NaHCO ()NaHCO (131-33=?????-??==--试样m m ω
13. 柠檬酸（H 3Cit ）的三级解离常数分别为p K a1＝3.14、p K a2＝4.77、p K a3 ＝
6.39。
0.1000 mol ·L -1柠檬酸溶液，用0.1000 mol ·L -1NaOH 标准溶液滴定时，将有几个滴定突跃？应选用说明指示剂？
解： c ×K a1＝0.1000×10－3.13＝7.2×10－5
c ×K a2＝0.1000×10－4.77＝1.7×10－6
c ×K a3＝0.1000×10－6.39＝4.1×10－8
7.4110107.42101039.677
.4a3a277
.414
.3a2a1====----K K K K
由于c ×K a1>10-8、c ×K a2>10-8，所以H 3Cit 溶液可用NaOH 标准溶液直接 滴定到Cit 3-。但K a1/K a2 < 4、K a2/K a3 < 4,只能形成一个滴定突跃，可按一元酸一次被滴定。
化学计量点时溶液的OH -浓度和pH 值分别为：
1
5139.614
1
3b13L mol 105.2L mol 10100.141000.0 L mol )Cit ()Cit (]OH [---------??=???=??=K c
pH ＝14.00＋lg2.5×10－5＝9.40
14. 某矿石中钨的质量分数（%）测定结果为：20.39，20.41，20.43。计算标准偏差s 及置信度为95%时的置信区间。
解：x =343.2041.2039.20++%=20.41% s=13)02.0()02.0(22-+%=0.02% 查表知，置信度为95%，n=3时，t=4.303
∴ μ=(302.0303.441.20?±)% =(20.41±0.05)%
15. 用Q 检验法，判断下列数据中，有无舍去？置信度选为90%。
（1）24.26，24.50，24.73，24.63；
（2）6.400，6.416，6.222，6.408；
（3）31.50，31.68，31.54，31.82．
解：（1）将数据按升序排列：24.26，24.50，24.63，24.73
可疑值为24.26 Q 计算=112x x x x n --=26.2473.2426
.2450.24--=0.51
查表得：n=4时，Q 0.90=0.76 Q 计算＜Q 0.90表 故24.26应予保留。
（2）将数据按升序排列：6.222，6.400，6.408，6.416
可疑值为6.222 Q 计算=112x x x x n --=222.6416.6222
.6400.6--=0.92 Q 计算＞Q 0.90表故6.222应舍
去
（3）将数据按升序排列：31.50，31.54，31.68，31.82
可疑值为31.82 Q 计算=
11x x x x n n n ---=50.3182.3168.3182.31--=0.44 Q 计算＜Q 0.90表
故31.82应予保留。
16. 欲配制0.2500 mol · L -1HCl 溶液，现有 0.2120 mol ·L -1HCl 溶液1000mL,应加入1.121mol ·L -1HCl 溶液多少毫升？
解：设应加入1.121mol ·L -1HCl 溶液x mL ,则
0.2500(1000+x)=0.2120×1000+1.121x
(1.121-0.2500)x=(0.2500-0.2120)×1000 x=43.63mL
17. 假如有一邻苯二甲酸氢钾试样，其中邻苯二甲酸氢钾含量约为90%，余为不与碱作用的杂质，今用酸碱滴定法测定其含量。若采用浓度为1.000 mol ·L -1的NaOH 标准溶液滴定之，欲控制滴定时碱溶液体积在25mL 左右， 则：
（1） 需称取上述试样多少克？
（2） 以浓度为0.0100 mol ·L -1的碱溶液代替1.000 mol ·L -1的碱溶液滴定，重
复上述计算。
（3） 通过上述（1）（2）计算结果，说明为什么在滴定分析中常采用的滴定剂
浓度为0.1～0.2 mol ·L -1。
解：滴定反应为 KHC 8H 4O 4+ NaOH =NaKC 8H 4O 4 + H 2O
448O H KHC NaOH n n =
则
448448O H K H C N a O H N a O H O H K H C M V C m =
m 试样=%90448O H KHC m =%90448O H KHC Na OH Na OH M V C
（1）当C NaOH =1.000 mol ·L -1时 m 试样 = %
902
.2041025000.13???-≈5.7g （2）当C NaOH =0.0100 mol ·L -1时 m 试样 =%902
.20410250100.03???-≈0.057g
（3）上述计算结果说明，在滴定分析中，如果滴定剂浓度过高（如1 mol ·L -1），消耗试样量较多，浪费药品。如果滴定剂浓度过低（如0.01mol ·L -1），则称样量较小，会使相对误差增大。所以通常采用的滴定剂浓度为0.1～0.2 mol ·L -1 .
18. 计算下列溶液滴定度，以g ·mL -1表示：
（１）以0.2015 mol ·L -1HCl 溶液，用来测定Na 2CO 3 ,NH 3
（２）以0.1896 mol ·L -1NaOH 溶液，用来测定HNO 3,CH 3COOH
解：（1）化学反应为
Na 2CO 3+2HCl=2NaCl+H 2CO 3 NH 3+HCl=NH 4Cl
根据T A/B =a
b C B M A ×10-3 则有 H C l CO Na T /32=3211032-?C O N a HC l M C =21×0.2015×105.99×10-3=0.01068g/mL
H C l NH T /3 =3NH HCl M C ×10-3=0.2015×17.03×10-3=0.003432g/mL
(2) 化学反应为 HNO 3 +NaOH=NaNO 3+H 2O
CH 3COOH+NaOH= CH 3COONa+H 2O
N a O H H N O T /3 =3HNO NaOH M C ×10-3=0.1896×63.01×10-3=0.01195g/mL N a O H C O O H CH T /3=COOH CH NaOH M C 3×10-3=0.1896×60.04×10-3=0.01138g/mL
19. 分析不纯CaCO 3（其中不含干扰物质）时，称取试样0.3000g ，加入浓度为0.2500 mol ·L -1的HCl 标准溶液25.00mL 。煮沸除去CO 2，用浓度为0.2012 mol ·L -1的NaOH 溶液返滴过量酸，消耗了5.84mL 。计算试样中CaCO 3的质量分数。 解：主要反应为 CaCO 3+2HCl=CaCl 2+H 2O+CO 2 HCl CaCO n n 213= HCl+NaOH=NaCl+H 2O NaOH HCl n n =
与CaCO 3作用的HCl 的物质的量应为加入的HCl 的总的物质的量减去与 NaOH 作用的HCl 的物质的量，则有
)(21213N a O H N a O H H C l H C l H C l C a C O V C V C n n -==
W=s CaCO m m 3=s CaCO NaOH NaOH HCl HCl m M V C V C 3
21)(-
3000.0209.10010)84.52012.000.252500.0(3????-?-=＝0.8466＝84.66%
数学分析期末考试题 一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分， 共20分） 1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数 2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ?? =-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( B 0)(=?-a a dx x f C ?? -=-a a a dx x f dx x f 0 )(2)( D )(2)(a f dx x f a a =?- 3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A ? 1 1dx x B ? ∞ +1 1dx x C ? +∞ sin xdx D ?-1 131dx x 4、级数 ∑∞ =1 n n a 收敛是 ∑∞ =1 n n a 部分和有界且0lim =∞ →n n a 的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A ∑∞ =1n n a 和 ∑∞ =1 n n b 收敛， ∑∞ =1 n n n b a 也收敛 B ∑∞ =1 n n a 和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 C ∑∞ =1n n a 收敛和 ∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =+1 )(n n n b a 发散 D ∑∞=1 n n a 收敛和∑∞ =1 n n b 发散， ∑∞ =1 n n n b a 发散 6、 )(1 x a n n ∑∞ =在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ） A )()('1'x a x a n n =∑∞ = B a （x ）可导 C ?∑? =∞ =b a n b a n dx x a dx x a )()(1 D ∑∞ =1 )(n n x a 一致收敛，则a （x ）必连续 7、下列命题正确的是（ ）
June21,2006 2002 1.(10) lim x→0( sin x1?cos x . 2.(10)a≥0x1=√2+x n n=1,2,... lim n→∞ x n 3.(10)f(x)[a,a+α]x∈[a,a+α]f(x+α)?f(x)= 1 1?x2+arcsin x f′(x). 5.(10)u(x,y)u ?2u ?x?y + ?2u x2+y2dx dy dz,?z=
x2+y2+z2=az(a>0) 8.(10) ∞ n=1ln cos1 ln(1+x2) 2 √ (2).{n . ?x (4). L(e y+x)dx+(xe y?2y)dy.L O(0,0),A(0,1),B(1,2) O B OAB. √ 2.(15)f(x)=3
4. 15 f (x )[0,1] sup 0 (5).e x=1+x+x2 n1 4≤e x+y?2. 5.(12)F(x)= Γf(xyz)dxdydy,f V={(x,y,z)|0≤x≤t,0≤y≤t,0≤z≤t}(t>0), F′(t)=3 a+n √ 2 n(a>0,b>0) (2).lim n→∞ 10x n√ 2 0dx 3 . (5).F(t)= x2+y2+z2=t2f(x,y,z)dS, f(x,y,z)= x2+y2,z≥ x2+y2 数据分析期末试题及答案 一、人口现状.sav数据中是1992年亚洲各国家和地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)的数据，试用多元回归分析的方法分析各国家和地区平均寿命与人均GDP、成人识字率、一岁儿童疫苗接种率的关系。(25分) 解： 1.通过分别绘制地区平均寿命(y)、按购买力计算的人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间散点图初步分析他们之间的关系 上图是以人均GDP(x1)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系。尝试多种模型后采用曲线估计，得出 表示地区平均寿命(y)与人均GDP(x1)的对数有线性关系 上图是以成人识字率(x2)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间基本呈正线性关系。 上图是以疫苗接种率(x3)为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，由图可知，他们之间没有呈线性关系 。 x）为横轴，地区平均寿命(y)为纵轴的散点图，上图是以疫苗接种率(x3)的三次方（3 3 由图可知，他们之间呈正线性关系 所以可以采用如下的线性回归方法分析。 2.线性回归 先用强行进入的方式建立如下线性方程 设Y=β0+β1*（Xi1）+β2*Xi2+β3* X+εi i=1.2 (24) 3i 其中εi（i=1.2……22）相互独立，都服从正态分布N（0，σ^2）且假设其等于方差 R值为0.952，大于0.8，表示两变量间有较强的线性关系。且表示平均寿命(y)的95.2%的信息能由人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)一起表示出来。 建立总体性的假设检验 提出假设检验H0：β1=β2=β3=0，H1,：其中至少有一个非零 得如下方差分析表 上表是方差分析SAS输出结果。由表知，采用的是F分布，F=58.190，对应的检验概率P值是0.000.，小于显著性水平0.05，拒绝原假设，表示总体性假设检验通过了，平均寿命(y)与人均GDP(x1)、成人识字率(x2)，一岁儿童疫苗接种率(x3)之间有高度显著的的线性回归关系。 《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 .计算题(共8题，每题9分，共72分)。 因为 lim 3 xsin — 3 ysin —与 lim 3 xsin — 3 ysin -均不存在， x 0 y x y 0 y x 故二次极限均不存在。 4.要做一个容积为1m 3的有盖圆桶，什么样的尺寸才能使用料最省？ 解：设圆桶底面半径为r ,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的 最小值，其中 目标函数：S 表2 rh 2 r 2, 1. 解: 1 1 求函数f (x, y) V^sin — 济sin-在点(0,0)处的二次极限与二重极限. y x f (x, y) Vxs in 丄 羽 si n 丄 y x |3X |3y|，因此二重极限为0.……(4分) (9分) 2. 解: 设y y(x)，是由方程组z xf(x z z(x) F(x, y,z) 具有连续的导数和偏导数,求空. dx 对两方程分别关于x 求偏导： y 0'所确定的隐函数’其中f 和F 分别 dz 丁 f (x dx F F 矽 x y dx y) xf (x y)(dX 1 ), 解此方程组并整理得竺 dx F z dz 0 dx F y f(x y) xf (x y)(F y F x ) (4分) 3. 取，为新自变量及 2 z x y x y 2 解: 2 z 2 x x y J 2 z 看成是 w z y F y xf (x y)F z w( ,v)为新函数，变换方程 ze y (假设出现的导数皆连续) x, y 的复合函数如下： / 、 x y w w(,), , 2 代人原方程，并将x, y, z 变换为，，w 2 2 w W c 2 2w 。 x y 。 2 整理得: (9分) (4分) (9分) 《数学分析》(三）――参考答案及评分标准 一． 计算题（共8题,每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限． 解: 11 (,)f x y y x = +=， 因此二重极限为0．……(4分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在, 故二次极限均不存 在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0 z xf x y F x y z =+??=?所确定的隐函数，其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: , ……(4分) 。?解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续). 解:z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4 分） 代人原方程,并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得: 222 2w w w μμν??+=???。 ……（9分） 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省？ ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=?? 运城学院应用数学系 2011—2012学年第二学期期末考试 数学分析2试题（A ） 适用范围：数学与应用数学专业1101\1102班 命题人：常敏慧、王文娟 审核人： 一、判断题（每题2分，共20分） 1、实轴上的任一有界点集至少有一个聚点. ( ) 2、开区间集合1,11,2,1n n ????=?? ?+???? 构成了开区间()0,1的一个无限开覆盖. ( ) 3、初等函数的原函数仍是初等函数. ( ) 4、积分和与达布和都与分割有关. ( ) 5、黎曼函数在[]0,1上可积. ( ) 6、若f 在[],a b 上可积，则f 在[],a b 上可积. ( ) 7、瑕积分 ()b a f x dx ?收敛，则()2b a f x dx ?也收敛. ( ) 8、设n u ∑为收敛的正项级数，则lim 0n n u →∞=. ( ) 9、若函数项级数()n u x ∑在[],a b 上内闭一致收敛，且每一项()n u x 都连续，则()()b b n n a a u x dx u x dx =∑∑?? . ( ) 10、幂级数101n n n a x n ∞+=+∑与幂级数11 n n n na x ∞-=∑有相同的收敛半径. ( ) 二、填空题（每题2分，共20分） 1、设闭区间列[]{},n n a b 满足(i) ，(ii)()lim 0n n n b a →∞-=， 则称[]{} ,n n a b 为闭区间套. 2、()()21f x dx f x '=??+??? . 3、()20ln 1x d t dt dx +=? . 4、光滑曲线:C ()()[],,,x x t y y t t αβ==∈的弧长为 . 5、直线上任一点的曲率为 . 6、无穷积分 1sin p x dx x +∞?当 时条件收敛. 7、级数11p n n ∞=∑当 收敛. 8、幂级数()()1321n n n n x n ∞=+-+∑的收敛半径R = . 9、设函数项级数()n u x ∑定义在数集D 上，n M ∑为收敛的正项级数，若对一切x D ∈，有 ，则称函数项级数()n u x ∑在D 上一致收敛. 10、设幂级数n n x a ∑在0=x 某邻域上的和函数为()x f ，则n a 与()()0n f 之间的关系 是 . 三、求解下列各题（每题5分，共30分） 1、243dx x x ++? . 2、4tan xdx ?. 3 、1 2dx x . 4、112lim p p p p n n n +→∞++ (p 为正整数). 5、讨论无穷积分111x dx x α-+∞ +?的收敛性. 数学分析（2）期末试题 课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业 一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分） 1、 下列级数中条件收敛的是（ ）． A ．1(1)n n ∞ =-∑ B ． 1n n ∞ = C ． 21(1)n n n ∞=-∑ D ． 11(1)n n n ∞ =+∑ 2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数 在 它的间断点x 处 （ ）． A ．收敛于()f x B ．收敛于1 ((0)(0))2f x f x -++ C ． 发散 D ．可能收敛也可能发散 3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）． A ．有界 B ．连续 C ．单调 D ．存在原函 数 4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ） A ． 1x B ．ln x x C ． 21 x - D ． x e 5、已知反常积分2 (0)1dx k kx +∞ >+? 收敛于1，则k =（ ） A ． 2π B ．22π C ． 2 D ． 24π 6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+L L 收敛，则（ ） A ． x e < B ．x e > C ． x 为任意实数 D ． 1e x e -<< 二、填空题（每小题3分，3×6＝18分） 1、已知幂级数1n n n a x ∞ =∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ． 2、若数项级数1 n n u ∞ =∑的第n 个部分和21 n n S n = +，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1 y x = 与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1 ()()b x x a e f e dx f x dx =??，则a = ，b = ． 5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n n n n ?? -=??+?? L 的聚点为 ． 6、函数2 ()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ． 65 数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε- 定义证明1n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) 用ε三 (n x n n = ++ ?+四()f x x = 在五六七八九. )b ,使 (f ''数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常 数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=. 三. (10分)设0n a >,且1 lim 1n n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞ =. 四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续?()f x 在(,)a b 连续,且 lim ()x a f x + →,lim ()x b f x - →存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理. 六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2 [()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导. 七. 八. ,都有 f 九. 一.(各1. x ?3. ln 0 ? 二.(10三. (10四. (15分)证明函数级数 (1)n x x =-在不一致收敛, 在[0,](其中)一致收敛. 五. (10分)将函数,0 (),0x x f x x x ππππ + ≤≤?=? - <≤?展成傅立叶级数. 六. (10分)设22 22 0(,)0,0 xy x y f x y x y ? +≠?=?? +=? 1 北京理工大学2012-2013学年第一学期 工科数学分析期末试题(A 卷) 一. 填空题（每小题2分, 共10分） 1. 设?????<≥++=01arctan 01)(x x x x a x f 是连续函数，则=a ___________. 2. 曲线θρe 2=上0=θ的点处的切线方程为_______________________________. 3. 已知),(cos 4422x o bx ax e x x ++=- 则_,__________=a .______________=b 4. 微分方程1cos 2=+y dx dy x 的通解为=y __________________________________. 5. 质量为m 的质点从液面由静止开始在液体中下降, 假定液体的阻力与速度v 成正比, 则质点下降的速度)(t v v =所满足的微分方程为_______________________________. 二. (9分) 求极限 21 0)sin (cos lim x x x x x +→. 三. (9分) 求不定积分?+dx e x x x x )1arctan (12. 四. (9分) 求322)2()(x x x f -=在区间]3,1[-上的最大值和最小值. 五. (8分) 判断2 12arcsin arctan )(x x x x f ++= )1(≥x 是否恒为常数. 六. (9分) 设)ln(21arctan 22y x x y +=确定函数)(x y y =, 求22,dx y d dx dy . 七. (10分) 求下列反常积分. (1);)1(1 22?--∞+x x dx (2) .1)2(1 0?--x x dx 八. (8分) 一垂直立于水中的等腰梯形闸门, 其上底为3m, 下底为2m, 高为2m, 梯形的上底与水面齐平, 求此闸门所受 到的水压力. (要求画出带有坐标系的图形) 九. (10分) 求微分方程x e x y y y 3)1(96+=+'-''的通解. 十. (10分) 设)(x f 可导, 且满足方程a dt t f x x x f x a +=+?)())((2 ()0(>a , 求)(x f 的表达式. 又若曲线 )(x f y =与直线0,1,0===y x x 所围成的图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积为,6 7π 求a 的值. 十一. (8分) 设)(x f 在]2,0[上可导, 且,0)2()0(==f f ,1sin )(1 21 =?xdx x f 证明在)2,0(内存在ξ 使 .1)(='ξf 第三学期《数学分析》期末试题 一、 选择题：（15分，每小题3分） 1、累次极限存在是重极限存在的（ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 D 无关条件 2、 =??),(00|) ,(y x x y x f （ ） A x y x f y y x x f x ?-?+?+→?),(),(lim 00000 ； B x y x x f x ??+→?) ,(lim 000； C x y x x f y y x x f x ??+-?+?+→?),(),(lim 00000 ； D x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000。 3、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）可偏导，则（ D ） A f (x,y )在（x 0,,y 0）可微 ； B f (x,y )在（x 0,,y 0）连续； C f (x,y )在（x 0,,y 0）在任何方向的方向导数均存在 ； D 以上全不对。 4、2 222 2) (),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限各为（ B ） A 、0，0，0； B 、不存在，0，0，； C 、0，不存在，0； D 、0，0，不存在。 5、设y x e z =，则=??+??y z y x z x （ A ） A 、0； B 、1； C 、-1； D 、2。 二、计算题（50分，每小题10分） 1、 证明函数?? ? ??=+≠++=0 00),(22222 2y x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导， 但它在该点不可微； 2、 设 ??'=-x x t x f x f dt d e x f 0) (),(,)(2 求ττ； 3、 设有隐函数,0 x y F z z ??= ???,其中F 的偏导数连续,求z x ??、z y ??； 4、 计算 (cos sin ) x C e ydx ydy -? ，其中C 是任一条以为(0,0)A 起点、(,)B a b 为终点 的光滑曲线； 5、 计算 zdS ∑ ??，其中∑为22 z x y =+在 1 4z ≤ 的部分； 三、验证或解答（满分24分，每小题8分） 数学分析三试卷及答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 《数学分析》(三)――参考答案及评分标准 一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x = =，因此二重极限为0.……(4分) 因为11x y x →+ 与11 y y x →+均不存在， 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+??=? 所确定的隐函数,其中f 和F 分别 具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解： 对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。 解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。 设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-==== 。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 5. 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中 ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=?? 2012 –2013学年第一学期期末考试题 11数学教育《数学分析》（三） 一、单项选择（将正确答案的序号填在括号内，每题2分，共20分） 1. 下列数项级数中收敛的是 （ ） A. 211 n n ∞ =∑； B. 2 1n n n ∞ =+∑； C. 1 1 n n ∞ =∑； D. 0 1 23n n n ∞ =++∑. 2. 下列数项级数中绝对收敛的是 （ ） A. 1(1)n n n ∞ =-∑ B. 1n n n ∞=1n n n n ∞= D. 1 sin n n n ∞ =∑ 3.函数项级数1n n x n ∞ =∑的收敛域是 （ ） A. (1,1)- B. (1,1]- C. [1,1)- D. [1,1]- 4.幂级数0 21n n n x n ∞ =+∑的收敛半径是 （ ） . A B C D 1 ．2 ．1 ．02 5. 下列各区域中，是开区域的是 （ ） 2. {(,)|}A x y x y > . {(,)|||1}B x y xy ≤ 22.{(,)|14}C x y x y <+≤ .{(,)|1}D x y x y +≥ 6.点集11{,|}E n N n n ?? =∈ ??? 的聚点是 （ ） A. ){0,0} B.()0,0 C. 0,0 D.{}{}0,0 7.点函数()f P 在0P 连续，是()f P 在0P 存在偏导数 （ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 条件 8. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微，则(,)f x y 在()00,x y 不一定 ( ) A.偏导数连续 B.连续 C. 偏导数存在 D. 存在方向导数 9. 设函数)()(y v x u z =，则 z x ??等于 （ ） A. ()()u x v y x y ???? B. ()()du x v y dx y ?? C. () ()du x v y dx D. ()()u x v y x y ??+?? 10. 函数(,)f x y 在()00,x y 可微的充分必要条件是 ( ) A. 偏导数连续; B. 偏导数存在; C.存在切平面; D. 存在方向导数. 二、填空题（将正确答案填在横线上，每题2分，共20分） 11. 若数项级数1 1n p n n ∞ =-∑（） 绝对收敛，则p 的取值范围是 ； 12. 幂级数0(1)n n n x ∞ =+∑的和函数是 ； 13．幂级数2 01 (1)n n x n ∞ =-∑ 的收敛域是 . ； 14．平面点集22{(,)|14}E x y x y =<+≤的内点是_________ ___ __ _______； 15．函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值点是 ______________________. 16．曲面221z x y =+-在点（2,1,4）的切平面是 ______________________ 17．函数y z x =，则 z y ?=? ______________________； 18．函数u xyz =在（1,1,1）沿方向(cos ,cos ,cos )l αβγ= 的方向导数是 ___________； 19．设cos sin x r y r ? ?=??=?，则 x x r y y r ?? ????=???? ； 20．若22arctan y x y x +=，则dy dx =______________________。 三、判断题（请在你认为正确的题后的括号内打“√”，错误的打“×”，每题 1分，共10 题号 一 二 三 四 五 总分 复核人 分值 20 20 10 32 18 100 得分 评卷人 得分 得分 得分 数学分析1 期末考试试卷（A 卷） 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3 π =x 处取得极值，则（ ）。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 30x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ?=),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2_______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。 2、 设),(2x y y x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。 3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。 数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日 班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。 一、填空题(每空3分，共24分) 1、 设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、 设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、 设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、 在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关 于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。 二、计算题(每题8分，共56分) 1、 讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。 （二十一）数学分析期终考试题 一 叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续， 但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。 四 证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。 参考答案 一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。 中央财经大学2014—2015学年 数学分析期末模拟考试试卷（A 卷） 姓名： 学号： 学院专业： 联系方式： 一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设 82lim =?? ? ??-+∞→x x a x a x ， 则 =a 。 2、设函数) 2(1 )(--=x x e x f x ，则函数的第一类间断点是 ，第二类间断点 是 。 3、设)1ln(2 x x y ++=，则=dy 。 4、设)(x f 是连续函数，且dt t f x x f )(2)(1 0?+=，则=)(x f 。 5、xdx arctan 1 ?= 。 二、单项选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分） 1、设数列n x 与数列n y 满足0lim =∞ →n n n y x ，则下列断言正确的是（ ）。 （A ）若n x 发散，则n y 必发散。 （B ）若n x 无界，则n y 必无界。 （C ）若n x 有界，则n y 必为无穷小。 （D ）若n x 1 为无穷小，则n y 必为无穷小。 2、设函数x x x f =)(，则)0(f '为（ ）。 （A ） 1。 （B ）不存在。 （C ） 0。 （D ） -1。 3、若),() ()(+∞<<-∞=-x x f x f 在)0(，-∞内0)(,0)(<''>'x f x f ，则 )(x f 在),0(+∞内有（ ）。 （A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。 （B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。 （C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。 （D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。 4、设)(x f 是连续函数，且? -=dt t f x F x e x )()(，则)(x F '等于（ ） 。 （A ）() )(x f e f e x x ----。 （B ）() )(x f e f e x x +---。 （C ） () )(x f e f e x x --- 。 （D ）() )(x f e f e x x +--。 5、设函数x x a x f 3sin 31sin )(+ =在3 π =x 处取得极值，则（ ） 。 （A ）)3(,1πf a =是极小值。 （B ）)3 (,1π f a =是极大值。 （C ）)3(,2πf a =是极小值。 （D ）)3 (,2π f a =是极大值。 三、计算题（本题共7个小题，每小题6分，满分42分） 1、求 ) 1ln(sin 1tan 1lim 3 x x x x ++-+→ 2、设4lim 221=-++→x x b ax x x ，求 b a 、。 数学分析题库（1-22章） 五．证明题 1．设A ，B 为R 中的非空数集，且满足下述条件： （1）对任何B b A a ∈∈,有b a <； （2）对任何0>ε，存在B y A x ∈∈,，使得ε<-x Y . 证明：.inf sup B A = 2.设A ，B 是非空数集，记B A S ?=，证明： （1）{}B A S sup ,sup max sup =； （2）{}B A S inf ,inf min inf = 3. 按N -ε定义证明 3 52325lim 22=--+∞→n n n n 4.如何用ε-N 方法给出a a n n ≠∞ →lim 的正面陈述？并验证|2n |和|n )1(-|是发散数列. 5.用δε-方法验证： 3) 23(2lim 221-=+--+→x x x x x x . 6． 用M -ε方法验证： 2 11lim 2- =-+-∞ →x x x x . 7 . 设a x x x =→)(lim 0 ?，在0x 某邻域);(10δx U ?内a x ≠)(?，又.)(lim A t f a t =→证明 A x f x x =→))((lim 0 ?. 8.设)(x f 在点0x 的邻域内有定义.试证：若对任何满足下述条件的数列{}n x ， （1）)(0x U x n ?∈，0x x n →， （2）0010x x x x n n -<-<+，都有A x f n n =∞ →)(lim ， 则A x f x x =→)(lim 0 . 9. 证明函数 ? ? ?=为无理数为有理数x ， x x x f ,0,)(3 在00=x 处连续，但是在00≠x 处不连续. 数学分析期末考试题 一、叙述题：(每小题5分，共10分） 1、 叙述反常积分 a dx x f b a ,)(? 为奇点收敛的cauchy 收敛原理 2、 二元函数),(y x f 在区域D 上的一致连续 二、计算题：（每小题8分，共40分） 1、)21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ 2、求摆线]2,0[)cos 1() sin (π∈? ??-=-=t t a y t t a x 与x 轴围成的面积 3、求?∞+∞-++dx x x cpv 211) ( 4、求幂级数∑∞ =-12 )1(n n n x 的收敛半径和收敛域 5、),(y x xy f u =， 求y x u ???2 三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、y x y x y x f +-=2 ),(，求),(lim lim ),,(lim lim 0000y x f y x f x y y x →→→→；),(lim )0,0(),(y x f y x →是否存在？为 什么？ 2、讨论反常积分 ? ∞ +0 arctan dx x x p 的敛散性。 3、讨论∑∞ =-+1 33))1(2(n n n n n 的敛散性。 四、证明题：（每小题10分，共20分） 1、 设f （x ）在[a ,b ]连续，0)(≥x f 但不恒为0，证明0)(>? b a dx x f 2、 设函数u 和v 可微，证明grad (uv )=ugradv +vgradu 参考答案 一、1、,0.0>?>?δε使得δδδ<<?>?δε使得 D x x x x ∈<-?2,121,δ，成立ε<-)()(21x f x f 二、1、由于 x +11 在[0，1]可积，由定积分的定义知（2分） )21 2111( lim n n n n +++++∞ →Λ=2ln 11)11211111( 1lim 10=+=+++++?∞→dx x n n n n n n Λ（6分） 2、 、所求的面积为：220 23)cos 1(a dx x a ππ =-? （8分） 3、 解：π=++=++??-+∞→∞ +∞-A A A dx x x dx x x cpv 2 211lim 11) ( (3分） 4、解：11 lim 2=∞ →n n x ，r=1（4分） 由于x =0，x =2时，级数均收敛，所以收敛域为[0，2]（4分） 5、解： y u ??=221y x f x f -（3分）3 22112212y x f xy f y f f y x u -++=???（5分） 三、1、解、 0lim lim lim ,1lim lim lim 2 02000200==+-==+-→→→→→→y y y x y x x x y x y x y x y x y x （5分）由于沿kx y =趋于（0，0）极限为k +11 所以重极限不存在（5分） 2、解：???∞+∞++=1100arctan arctan arctan dx x x dx x x dx x x p p p （2分），对?10arctan dx x x p ，由于 )0(1arctan 1+→→-x x x x p p 故p <2时?10arctan dx x x p 收敛（4分）；?∞+1arctan dx x x p ，由于)(2arctan +∞→→x x x x p p π （4分）故p >1?∞+1arctan dx x x p 收敛，综上所述1
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