第一章. 线形规划及单纯形法习题
1. 某炼油厂根据计划每季度需供应合同单位汽油15万吨，煤油12万吨，重油12万
吨。该厂从A ，B 两处运回原油提炼，已知两处原油成分如下表所示。又如从A 处采购原油每吨价格（包括运费，下同）为200元，B 处原油每吨为300元。试求：1）选择该炼油厂采购原油的最优决策；2）如A 处价格不变，B 处降为290元/吨，
12218.2万元。
2）改为每季度从A 处采购15万吨，从B 处采购30万吨，总费用11700万元。
2. 已知线性规划问题：
下表中所列的解（a ）— （f ）均满足约束条件1-3，试指出表中哪些是可行解，哪些是
3. 已知某线性规划问题的约束条件为
判断下列各点是否为该线性规划问题可行域的凸集的顶点：
（a ） (b) (c )
213max x x z +=???????≥=+=++=+4
,,342
10215.5152421
31x x x x x x x x x st ??????
?=≥=---+=-+=-+)5,,1(0852********.54321421321 j x x x x x x x x x x x x st j ），，，，（0200155=X ），，，，（80079=X ），，，，（0010515=X
答：
该线性规划问题中
（a ） 因有，故不是凸集顶点； （b ） （9，7，0，0，8）为非可行域的点
（c ） 因线性相关，故非凸集的顶点。
4. 在单纯形法迭代中，任何从基变量中替换出来的变量在紧接着的下一次迭代中会不
会立即再进入基变量，为什么？
答：不可能，因刚从基中被替换出来的变量在下一个单纯形表中，其检验数一定为负。
5. 求解线性规划问题当某一变量
的取值无约束时，通常用
来替换，
其中
，
。试说明
，
能否在基变量中同时出现，为什么？
答：不可能，因为，故
6. 下表为用单纯形法计算时某一步的表格。已知该线性规划的目标函数为
，约束形式为，为松弛变量，表中解代入目标函数后得
(b) 表中给出的解是否为最优解。
答：a=2, b=0, c=0, d=1, e=4/5, f=0, g= -5,
表中给出的解为最优解。
7. 线性规划问题，，，如是该问题的最优解，又
为某一常数，分别讨论下列情况时最优解的变化。 （a ） 目标函数变为 （b ） 目标函数变为
（c ） 目标函数变为
，约束条件变为 答：(a) 仍为最优解，
(b) 除C 为常数向量外，一般不再是问题的最优解
(c) 最优解变为，目标函数值不变。
??
??
? ??=4121p ??
??
? ??=7312p ??
??
? ??--=1013p ????? ??--=2104p ??
??? ??-=1005p 0421=++-p p p 321,,p
p p j
x '
''j
j j x x x -=0
'
≥j x 0
'
'≥j x '
j
x '
'j
x '
''
j j p p -=0
'
''
=+j j p p 2135max x x z +=≤43,x x 10=z CX z =max b AX =0≥X *
X 0 λCX z λ=max X C z )(max λ+=X
C
z λ=
max b AX λ=*
X CX z λ=max *
X *
X λ
8. 试将下述问题改写成线性规划问题
答：令
，则问题可化为
9. 线性回归是一种常用的数理统计方法，这个方法要求对图上的一系列点
选配一条合适的直线拟合。方法通常是先定直线方程为
，然后按某种准则求定。通常这个准则为最小二乘法，但也可用其
他准则。试根据以下准则建立这个问题的线性规划模型：
答：令
，可能为正，也可能为负
设
，
所以这个问题的线性规划模型为：
10．线性规划问题,设为问题的最优解，若目标函数中用
后，问题的最优解变为，求证：
证明：
（1） ????
????? ??∑∑∑===m
i i in m i i i m i i i x x a x a x a i
11211,,,min max ??
?=≥=+++m
i x x x x st i m ,,2,1,01.21 )
,,,min(1
1
1
21∑∑∑====m
i i in m i m
i i i i i x a x a x a v v z =max ?
??
??????=≥==≥∑∑==),,1(01),,1(11m i x x m j v x a st i m i i m
i i ij ),(),)(,2211n n y x y x y x （bx a y +=b a ,∑=+-n
i i bx a y 1
)
(min )(i i i bx a y u +-=i u ???+≤+≥+-=i i i i i
i bx a y bx a y bx a y u 当当,0),('
??
?+≤-++≥=i i i i i i i bx a y y bx a bx a y u 当当,)(,0'
'∴)('''i i i i bx a y u u +-=-'
''i i i u u u +='i u ''i u 0≥??
????+∑=n i i i u u 1)'''(min ??
?=≥=+-=-),2,1(0'','),,2,1()('''n i u u n i bx a y u u i i i i i i 0,,max ≥==X b AX CX z 0
X C C 代替**X 00**≥--））（（X X C C *0CX CX ≥ 0)(0*≤-∴X X C
又， 有 (2) (2)–(1)得
11.某医院昼夜24H 各时段内需要的护士数量如下：2:00~6:00 10人，6：00~10：00 15人，10：00~14：00 25人，14：00~18：00 20人，18：00~22：00 18人，22：00~2：00 12人。护士分别于2：00，6：00，10：00，14：00，18：00，22：00分6批上班，并连续工作8H 。 试确定：
（a ） 该医院至少应设多少名护士，才能满足值班需要
（b ） 若医院可聘用合同工护士，上班时间同正式工护士。若正式工护士报酬为10元/H ，
合同工护士为15元/H ，问医院是否应聘用合同工护士及聘多少名？
答：（a ）设分别代表于早上2：00，6：00直至晚上22：00开始上班的护士数，
则可建立如下数学模型：
解得 ，总计需53名护士。 （b ）在(a)的基础上设分别为早上2：00，6：00直至晚上22：00开
始上班的合同工护士数，则有：
解得，的数字同上。
12. 某人有一笔30万元的资金，在今后的三年内有以下投资项目：
（1） 三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年
的投资；
（2） 只允许第一年年初投入，第二年末可收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资
额不超过15万元；
（3） 于三年内第二年初允许投资，可于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，这类
投资限额20万元；
（4） 于三年内的第三年初允许投资，一年回收，可获利40%，投资限额为10万元。 试为该人确定一个使第三年末本利和为最大的投资计划。 答：设
为第年初投放到项目的资金数，其数学模型为
0***X C X C ≥00
**≥-）
（X X C 00**≥--））（（X X C C 621,,,x
x x 654321min x x x x x x z +++++=??????
?=≥≥+≥+≥+≥+≥+≥+)6,,1(0122518152010.653254214316 j x x x x x x x x x x x x x st j 10,2,16,10,15,0654321
======x x x x x x ',,','62
1x x x ∑∑==+=61
6
1
'
12080min j j j j x x z ??????
?=≥≥+++≥+++≥+++≥+++≥+++≥+++)
6,,1(0',12''25''18''15''20''10''.665533225544221144331166 j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x st j j )6,,1(0' ==j x j 6
1x x 至ij
x i j 34
23314.16.12.1max x x x z ++=
解得 ，，，，第三年末本利总和为580000元。
13.某糖果厂用原料A ，B ，C 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A ，B ，C 的含量，原料成本，各种原料每月的限制用量，三种牌号糖果的单位加工费及售
规划数学模型。
答：设
为生产种糖果所使用的种原材料数，分别代表甲、乙、丙，
分别代表A ，B ，C 。其数学模型为：
14. 某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700g 蛋白质，30g 矿物质，100mg 维生???
???
??
??
?≥≤≤≤+=+=+=+01000002000001500005.12.12.1300000.342312122134311123211211ij x x x x x x x x x x x x x st ,7.166666
11=x 3.13333312=x 021=x 20000023=x ,10000031=x 10000034=x ij
x i j 3,2,1=i 3,2,1=j )
)(3.025.2())(4.085.2())(5.04.3(max 333231232221131211x x x x x x x x x z ++-+++-+++-=)(0.1)(5.1)(0.2332313322212312111x x x x x x x x x ++-++-++-??
??
???
??????≥≤++≤++≤++≥++≥++≤++≤++≤++05
.06.02.015.06.012002500
2000.333231
3323222123
13
12111323
222121
13121111332313322212
312111ij x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x st
线性规划模型，不求解）
解：设每天用饲料1的量为,用饲料2的量为.用饲料3的量为，用
饲料4的量为，用饲料5的量为
。根据题意得：
15000H, 生产Ⅰ,Ⅱ, Ⅲ产品每件分别需时2,4,3H. 因更换工艺装备, 产品Ⅰ在2季度无法生产。规定当产品不能按期交货时，产品Ⅰ，Ⅱ每件每迟交一个季度赔偿20元，产品Ⅲ赔偿10元；又生产出的产品不在本季度交货的，每件每季度的库存费用为5元。问该厂应如何安排生产，使总的赔偿加库存的费用为最小。（建立数学模型，不需要求解） 答：设
为第季度生产的产品的数量，为季度末需库存的产品的数量，为第季度末交货的产品的数量，
为第季度对产品的预定数，则有：
16. 某厂生产Ⅰ，Ⅱ两种食品，现有50名熟练工人，已知一名熟练工人可生产10kg/h 食品Ⅰ或6kg/h 食品Ⅱ。据合同预定，该两种食品每周得需求量将急剧上升，见下表。为此该厂决定到第8周末需培训出50名新的工人，两班生产。已知一名工人每周工作40H ，一名熟练工人用二周时间可培训出不多于三名新工人（培训期间熟练工人和培训人员均不参加生产）。熟练工人每周工资360元，新工人培训期间工资每周120元，培训结束参加工作后工资每周240元，生产效率同熟练工人。在培训的过渡期间，很多熟练工人愿加班工作，工厂
1x 2x 3
x 4x 5
x 5
43218.03.04.07.02.0m in x x x x x z ++++=?
???
???
≥≥++++≥++++≥++++0
,,,,1008.022.05.0305.022.05.070018623.54321543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x st ij
x j i ij s j i ij F
j
i ij
R j i ∑∑∑===+++=3
13
1
3
1
3215)51020(min i j ij
j j j j s F F F z ????
??
?????≥==-+=+===≤++∑∑∑∑====0,,)3,2,1()3,2,1(1500)4,3,2,1(150003421
14141
12321ij ij ij j k j k ik
ij ij ik j j ij ij j j j F s x i R s F x i R x x j x x x st
决定安排部分工人每周工作60H ，工资每周540元。又若预定的食品不能按期交货，每推迟交货一周每KG 的赔偿费：食品Ⅰ为0.50元，食品Ⅱ为0.60元。在上述各条件下，工厂应
答：设分别为第周内用于生产食品Ⅰ和Ⅱ的工人数；为第周内加班工作的工人数；
为从周开始抽出来培训新工人的原来工人数；为从周起开始接受培训的新工人数；分别为第周末未能按期交货的食品Ⅰ和食品Ⅱ的数量；分
别为第周内对食品Ⅰ和Ⅱ的需求量，则有：
17. 某厂在今后四个月内需租用仓库堆存物资。已知各个月所需的仓库面积数字列于表1
i i y x ,i i z i i w i i n i 21
i i F
F 和i i i R R 21和i ∑∑∑===-++++=7
1
8
1
7
1
21)]7(240240[)6.05.0(540min k k
i i i i i n k F F z z ?
??????????
?
?
?
???
????
?
?
≥≤==≤≤++=++++=++++≤++===+==+∑∑∑∑∑∑∑∑=-=-======0,,,,,,3500)
83(5.0505.0505.05079200240)
7,,1(240116000400400.217182
112212211118
111
2281
11
11i i i i i i i i i i i i t i t i i i i i i i t i t t i t i i i t i
t t
i t F F n w z y x w n n w i z n w w y x z w w y x z w y x y t R F y x R F x st
租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同，且每次办理时，可签一份，也可同时签若干份租用面积和租借期限不同的合同，总的目标时使所付的租借费用最小。试根据上述要求，建立一个线性规划的数学模型。 答：
设（为第个月初签订的租借期限为个月的合同租借面积
（单位：100m 2；表示第个月所需的仓库面积；表示每100m 2仓库面积租期为个月
的租借期。则问题的线性规划模型为：
18.某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品。产品Ⅰ依次经A 、B 设备加工，产品Ⅱ经A 、C 设备加工，
答：用
表示第种产品的生产数量，使该厂获利最大的线性规划模型为：
19. 战斗机是一种重要的作战工具，但要使战斗机发挥作用必须有足够的驾驶员。因此生产出来的战斗机除一部分直接用于战斗外，需抽一部分用于培训驾驶员。已知每年分配每年生产的战斗机数量为，又每架战斗机每年能培训出K 名驾驶员，问应该如何分配每年生产出来的战斗机，使在年内生产出来的战斗机为空防作出最大贡献。 答：用
表示第年生产出来分配用于作战的战斗机数；为第年已培训出来的驾驶员
总数；为第年用于培训驾驶员的战斗机数；为第年用于培训驾驶员的战斗
机总数。问题的线性规划模型为：
ij x )14,,1;4,,1+-==i j i i j i r
i j
c j ∑∑=+-==41
1
41
min i i j ij
j x c z ??
???+-==≥=≥∑∑=+-+-=)
14,,1;4,,1(0)
4,3,2,1(.11
41
i j i x k r x st ij k i i i k j k ij j
j 321321)20
200
10100()5020020200()2010020200(
)1045()25100()1550(max x x x x x x z +-+-+--+-+-=?????????=≥≤+≤+≤+3,2,1060205451020502010.3
2312
1j x x x x
x x x st j
)
,,1(n j a j =n j
x j j y
j )
(j
j x a -j j
z j n
n x x x n nx z +++-+=-1212)1(max
20.某公司有三项工作需分别招收技工和力工来完成。第一项工作可由一个技工单独完成，或由一个技工和两个力工组成的小组来完成。第二项工作可由一个技工或一个力工单独去完成。第三项工作可由五个力工组成的小组完成，或由一个技工领着三个力工来完成。已知技工和力工每周工资分别为100元和80元，他们每周都工作48H ，但他们每人实际的有效工作时间分别为42和36H 。为完成这三项工作任务，该公司需要每周总有效工作时间为：第一项工作10000H ，第二项工作20000H ，第三项工作30000H ，能招收到的工人数为技工不超过400人，力工不超过800人。试建立数学模型，确定招收技工和力工各多少人。使总的工资支出为最小。
答：设为用种方式完成第（项工作时招收的工人组数（第一项工作用第一种方式完成时，每个工人组内含技工1人，如用第二种方式完成时，每个组含技工1人，力工2个等）。则问题的线性规划模型可写为：
注：实际招收的技工数为人，力工人数为人。
第二章.对偶理论与灵敏度分析
1. 已知线性规划问题：
用单纯形法求解得最终单纯形表如下表所示： （a ） 求和
???
???
?=≥=≤+++=+==-+=---)
,,1(0,,),,1(),,1(),,1()(.21111n j z y x n j y x x x n j kz y y n j z a z z st j j j j j j j j j j j j ij x
j )2,1(=j i )3,2,1=i )352(80)(100min 3231221232211211x x x x x x x x z +++++++=??
??
??????
?==≥≤+++≤+++≥?++?≥+≥?++)2,1;3,2,1(080035240030000)36342()365(20000364210000)36242(42.32312212322112113231222112
11j i x x x x x x x x x x x x x x x st ij )(32211211
x x x x +++)352(32312212x x x x +++332211max x c x c x c z ++=?????=≥??????=??????+??????+??????+??????+??????)5,,1(01001.2154323132221212111 j x b b x x x a a x a a x a a st j 232221131211,,,,,a a a a a a 21,b b 321,,c c c
2. 已知矩阵A 及其逆矩阵如下：
试根据改进单纯形法中求逆矩阵的方法原理求下述矩阵B 的逆矩阵，已知
答：先设
有
3. 已知线性规划的原问题与对偶问题分别为：
（P ）原问题： (D)对偶问题：
若为对偶问题最优解，又原问题约束条件右端项用替换之后其最优解为，试证明
有
证明：原问题右端项用替换后，新的原问题及对偶问题为：
设的最优解为，因有，有是的可行解，故有，由此
8,4,7,5,8,2,4,1,1,2/5,2/932121231322122111===========c c c b b a a a a a a 1
-A ??????????=104020012A ??
???
?????--=-11202/1004/12/11
A 1
-B
??
????????-=144210152B ??
????????-=144010052C ?????
?????--=??????????-?-72/14/114151
A ∴??
???
?????--=???????????--=--16201002/52/1114002002/11111A C ??????????-=144210152B ??
???
?????--=???????????-1322/111211
C ∴??
???
?????-----=???????????--=--26/226/1226/426/426/226/826/1126/126/913/10013/21026/110111
C B CX z =max Yb w =min ???≥≤0.X b AX st ??
?≥≥0Y C YA st *
Y b X b Y X C *
≤b b '
P '
D :'P ???≥≤=0.'max Z b AZ st CZ
z :'D ??
?≥≤=0.min 'Y C
YA st b
Y w 'D Y b Y Z C =*Y '
D b Y b Y *≤
4. 已知下表为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中
为松弛变量，问题的约束
(b) 直接由表写出对偶问题的最优解。 答：（a ）原线形规划问题如下：
(b )对偶问题最优解为
5. 已知线性规划问题：
（a ） 写出其对偶问题
（b ） 已知原问题用两阶段法求解时得到的最终单纯形表如下
b Y Z C *≤54,x x 12323123123
max 621025.310,,0z x x x x x st x x x x x x =-++≤??
-+≤??≥?(4,2)Y *
=123
123123123123max 5362182316.10,0,z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤??++=??
++=??≥?
无约束
（a ） 其对偶问题为
（b ） 设第（1）个约束条件的松弛变量为，第（2）个约束条件的松弛变量为，
由原问题用两阶段法求得之最终单纯形表知
，代入
约束条件（1）~(3)有
解得：
6.已知线性规划问题：
其最优解为
（a ）求k 的值；
（b ）写出并求其对偶问题的最优解。 解：先写出其对偶问题如下：
123123123123123min 18161025
(1)23(2).36
(3)0,,w y y y y y y y y y st y y y y y y =++++≥??++≥??
++=??≥?无约束1s y 2s y 1210,1,0s s y y y ===1231231232521336
y y y y y y y y y ++=??
++-=??++=?123
(,,)(0,1,3)y y y =3
2122min x x x z ++=???
??≥≤≤-+-=++-无约束
321
321321,0,06
4.x x x kx x x x x x st 1
,0,5321-==-=x x x 2
164max Y y w +=??????
?≤=--≤+≥--0
,212.2121212
1y y ky y y y y y st 无约束
由
机互补松弛性质得
解得
7.已知线性规划问题分别说明发生下列情况
时，其对偶问题的解的变化：
(a)问题的第个约束条件乘上常数（）
； (b)将第个约束条件乘上常数（）后加到第个约束条件乘
上；
(c)目标函数改变为（）
； (d)模型中全部
代换。
解：
（a ）对偶变量第个约束条件乘上常数，即的列
将为变化前的，由此对偶问题变化后的解
（b ）与前类似，
（c ）;
（d ）
不变。
8.已知线性规划问题：
*
*y z =??
?=+=--12
6422121y y y y .1,2,021=-==k y y 代入求得,0,,max ≥==X b AX CX z k λ0≠λk λ0≠λγCX z λ=max 0≠λ/
113x x 用 ,1-=B C Y B k λ1-B k λ1
);
,...1,...2,(),...,...,(1/
//2/1m k m k y y y y y y y y λ
=);
(,//r i y y y b b b y i i r r
r r
r ≠=+=λi i y y λ=/),...,1(m i =i y ),...,1(m i =j
j n
j x c ∑==1max ?????=≥=≤∑=),...,1(0),...,1(.1
n j x m i b x a st i
i j n
j ij
若（
为其对偶问题的最优解。又若原问题约束条件的右端项变换为，这时原问题的最优解变为（
，试证
明
解：原问题右端项变为后，其对偶问题为：
由于约束条件不变，（必为上述问题的可行解。根据对
偶理论有：
9.已知线性规划问题：
试应用对偶理论证明上述线性规划问题无最优解。
解：该问题存在可行解，如；又上述问题的对偶问题为：
由第一个约束条件知对偶问题无可行解，由此可知其原问题无最优
解。
10．已知线性规划问题：
)
,...,,**2*1m y y y i b /
i b )
,...,,/
/2/1m x x x ∑∑
==≤m
i i i j
j n
j y b x c 1
*
//
1
/
i b ∑==m
i i
i y b z 1/min ?????
=≥=≥∑=),...,1(0),...,1(.1
m i y n j c y a st i
j i m
i ij )
,...,,*
*2*1m y y y ∑∑
==≤m
i i i j
j n
j y b x c 1
*
//
1
2
1max x x z +=???
??≥≤-+-≤++-0,,122.3
21321321x x x x x x x x x st )0,0,0(=X 2
12min y y w +=???????≥≥-≥+≥--0
,011
2.212121
21y y y y y y y y st
其对偶问题最优解为试根据对偶理论求出原问题的最优解。
解：写出对偶问题并根据互补松弛性质可求得原问题最优解为
2.11 已知某实际问题的线性规划模型为：
若第i 资源的影子价格为y i ，
（a ） 若第一个约束条件两端乘以2，变为 ，
是对应这个新的
约束条件的影子价格，求
与的关系；
（b ） 令 用 替换模型中所有的，问影子价格是否变化？若x 1
不可
能在最优基中出现，问有否可能在最优基中出现；
（c ） 如目标函数变为 ，问影子价格有何变化？
解：（a ）
=1/2；
（b ） 影子价格不变，又不在最优解中出现， 也不可能在
最优解中出现，（c ）影子价格也增大两倍。
2.12 下述线性规划问题
已知最优解中的基变量为
且已知
4
321432max x x x x z +++=???
??≥≤+++≤+++0,,,2023220322.4
32143214321x x x x x x x x x x x x st ,2.0,2.121==y y )4,4,0,0(*=X ()1
1
max (1,2....):0(1,2....n
j j
j n
ij j i j j z c X a X b i m st X i n ===?==????≥=??∑∑11
(2)2n
j
j i
j a
X b ==∑1Y 1Y 1y 11'3x x =1('/3)x 1x i y 1'x 1
max 2n
j j
j z c X ==∑1Y 1y i y 1x 1'x i y 12345
123451234512345max 846392333180(2333270
.323180
z x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x x =++++++++≤??
++++≤??
++++≤??≥?j
资源1）（资源2）（资源3）x 0(j=1.2...5)315 x
x x
要求根据上述信息确定三种资源各自的影子价格。 解：三种资源的影子价格分别为4/3，1，8/3。
2.13 若线性规划问题 约束于，具有最优解，试运用对偶性质证明下述线性规划问题不可能具有无界解，约束与是可以取任意值的向量。
解： 分别写出两个问题的对偶问题见L1，L2：
显然 的最优解是的可行解，由此 的原问题具有下界。
2.14 用对偶单纯形法求下列线性规划问题
(a)
(b)
-1
31311311241 =693272132310-????
? ?
-- ? ? ? ?
-?
???min z cX =,0AX b x =≥min z cX =,0AX b x =≥1:max L w Yb =2:max L w Yd =:0YA C st Y ≥??≥?:0YA C st Y ≥??≥?1L 2L 2L 12312312313
min 234232340z x x x x x x x x x x -=++++≥??
-+≥??≥?123132313
min 41218332250z x x x x x x x x -=+++≥??
+≥??≥?
2.15 证明当用对偶单纯形法求解线性规划问题时，若有而（，则对偶问题具有无界解。
解：设用迭代前对偶问题的目标函数值，用替换后，新解的目标函数值为w’，
有
因 ，故 可任意大不受限制，又
，故 可无限减小。 2.16 已知线性规划问题
用单纯形法求解时得到的最终的单纯形表如下：
其中约束条件（3）变为，试分析最优解的变化。
解： 变化后直接反映到表中如下所示：
再用对偶单纯形迭代最优解为X=（0，400，0，1000，100），maxz=3200。
0r b <0
rj a ≥1,2,...)j n =w k x r x '()r r w w b w b θθ=+=--min /0j j rj rj
c z a a θ?-??=
???0ij a ≥θ()0r b ->'w ()()()12122122416001621800235030x x x x x x x ?+≤?
?+≤???
≤??
?≥??，2500
x ≤
2.17某厂生厂甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表，试回答下面的问题：
（a ） 建立线性规划模型，求使得该厂获利最大的生产计划？
（b ） 若产品乙、丙的单件利润不变，则产品的利润在什么范围变动时，上述最优解是不
变的；
（c ） 若有一种新产品丁，其原料消耗定额，A 为3单位，B 为2单位，单件利润为2.5
单位。问该种产品是否值得安排生产，并求新的最优计划？
（d ） 若原材料A 市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原料B 如数量不足可以去市场
购买，单价为0.5，问该厂是否购买？购买多少为宜？
（e ） 由于某种原因，该厂决定暂停甲产品的生产，试从新确定新的生产计划. 解：(a) 以
分别代代表甲、 乙、丙产品产量，则有
最大盈利
；
（b ）产品甲的利润变化范围是[3,6]；
（c ）安排生产丁有利，最优化计划为了安排生产产品丁15件，而；
（d ） 购进原材料B15单位最为合适； (e) 最新计划为
。
2.18 某厂生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品，分别经过A 、B 、C 三种设备加工，已知生产单位各种产品所需要的设备台时，设备的现有加工能力以及每件产品的预期的利润如下表： （a ） 求获利最大的产品计划？
（b ） 产品Ⅲ每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如果产品Ⅲ的每件利润增加到
50/6元，求最优计划的变化？
（c ） 产品Ⅰ的利润在多大范围变化时，原最优计划保持不变？
（d ） 设备A 的能力如为，确定保持最优基不变的的变化范围？
（e ） 如有一种新产品，加工一件设备A 、B 、C 的台时为1、4、3小时，预期每件的利润
为8元，是否值得安排生产？
（f ） 如合同规定该厂至少生产10件产品Ⅲ，试确定最优的变化？ 1,2,3
x x x ()
*5,0,3X =*35Z =1230x x x ===()**0,0,6,30
X Z ==10010θ+θ
解： 分别代代表Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品的产量，则有：
(a) ; (b)
;
;
（d ）;
(e) 该新产品值得安排生产。
(f)
2.19 某文教用品厂用原材料白坯纸生产原稿纸、日记本和练习本三种产品.该厂现有工人100人,每月白坯纸的供应量为30000千克.已知工人的劳动生产率为:每人每月可生产原稿纸30捆,或生产日记本30打,,或练习本30箱.已知原材料的消耗为:每捆原稿纸用白坯纸10/3千克,每打日记本用白坯纸40/3千克,每练习本用白坯纸70/3千克.又知道每生产一捆原稿纸可以获利2元,生产一打日记本获利3元,生产一箱练习本获利1元.试确定:
(1) 现有生产条件下的获利最大的方案.
(2) 如白坯纸的供应量不变,当工人数不足可以招收临时工,临时工的工资支出为每人
每月40天,则该厂要不要招收临时工,招多少最为合适?
解: (1)分别用代表原稿纸,日记本和练习本的每月生产量。建立线性规划模型并求解得最终的单纯形表如下：
(2)临时工影子价格高于市场价格，故应招工。用参数规划计算确定招200人最为合适。 2.20 某厂准备生产A,B,C 三种产品，它们都消耗劳动力和材料，有关数据见表所示： （a ） 所确定获利最大的产品生产计划：
（b ） 产品A 的利润在什么变动时，上述最优计划不变；
（c ） 如设计一种新的产品D ，单件劳动力消耗为8单位，材料消耗为2单位，每件
可获利3元，问该种产品是否值得生产？
（d ） 如劳动力数量不变，材料不足时可以从市场上购买，每单位0.4元，问该厂要
1,2,3
x x x ()
*100/3,200/3,0X =()
*175/6,275/6,25X =()1615c c ≤≤45θ-≤≤*(95/3,175/3,10)x =1,2,3x x x
解: (a) 建立线性规划模型，模型中代表A 、B 、C 的生产量。用单纯形法求
解得最优计划的单纯形表如下：
(b)产品A 的利润在 范围内变化时，最优计划不变。
(c)安排生产新产品D 时合算的。
(d)材料市场价格低于影子价格，故购进是合理的。用参数规划计算时确定购15单位最为合适。
第三章 运输问题
3.1 判断表3－1(a),(b),(c)中给出的调运方案能否作为作业法求解时的初始解，为什么？
表3－1(c)
1,2,3
x x x 2,455???
???
运筹学习题库 数学建模题（5） 1、某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需要A 、B 、C 三种资源，每种产品的资源消耗量及单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备如下表所示： 试建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：设甲、乙产品的生产数量应为x1、x2，则x1、x2≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =70x 1+120x 2 . 2、某公司生产甲、乙两种产品，生产所需原材料、工时和零件等有关数据如下： 建立使利润最大的生产计划的数学模型，不求解。 解：设甲、乙两种产品的生产数量为x 1、x 2， 设z 为产品售后总利润，则max z = 4x 1+3x 2 . 3、一家工厂制造甲、乙、丙三种产品，需要三种资源——技术服务、劳动力和行政管理。每种产品的资源消耗量、单位产品销售后所能获得的利润值以及这三种资源的储备量如下表所示：
建立使得该厂能获得最大利润的生产计划的线性规划模型，不求解。 解：建立线性规划数学模型： 设甲、乙、丙三种产品的生产数量应为x 1、x 2、x 3，则x 1、x 2、x 3≥0，设z 是产品售后的总利润，则 max z =10x 1+6x 2+4x 3 . 4、一个登山队员，他需要携带的物品有：食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相器材、通信器材等。每种物品的重量合重要性系数如表所示。设登山队员可携带的最大重量为25kg,试选择该队员所应携 试建立队员所能携带物品最大量的线性规划模型，不求解。 解：引入0—1变量x i , x i =1表示应携带物品i ，,x i =0表示不应携带物品I 5、工厂每月生产A 、B 、C 三种产品，单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如下图所示： 根据市场需求，预测三种产品最低月需求量分别是150、260、120，最高需求量是250、310、130，试建立该问题数学模型，使每月利润最大，为求解。 解：设每月生产A 、B 、C 数量为321,,x x x 。 6、A 、B 两种产品，都需要经过前后两道工序，每一个单位产品A 需要前道工序1小时和后道工序2小时，每单位产品B 需要前道工序2小时和后道工序3小时。可供利用的前道工序有11小时，后道工序有17小时。 每加工一个单位产品B 的同时，会产生两个单位的副产品C ，且不需要任何费用，产品C 一部分可出售盈利，其余只能加以销毁。 出售A 、B 、C 的利润分别为3、 7、2元，每单位产品C 的销毁费用为1元。预测表明，产品C 最多只能售出13个单位。试建立总利润最大的生产计划数学模型，不求解。
运筹学习题精选
运筹学习题精选 第一章线性规划及单纯形法 选择 1．在线性规划模型中，没有非负约束的变量称为……………………………………………………( C ) A．多余变量 B．松弛变量 C．自由变量 D．人工变量 2．约束条件为0 AX的线性规划问题的可行解集 b ,≥ =X 是………………………………………( B ) A．补集 B．凸集 C．交集 D．凹集 3．线性规划问题若有最优解，则一定可以在可行域的（ C）上达到。 A．内点 B．外点 C．顶点 D．几何点 4．线性规划标准型中bi（i=1，2，……m）必须是…………………………………………………( B) A．正数 B．非负数 C．无约束 D．非零的 5．线性规划问题的基本可行解X对应于可行域D 的………………………………………………( D) A．外点 B．所有点 C．内点 D．极点 6．基本可行解中的非零变量的个数小于约束条件数时，该问题可求得……………………………( B ) A．基本解 B．退化解 C．多重解 D．无解 7．满足线性规划问题全部约束条件的解称为…………………………………………………( C ) A．最优解 B．基本解 C．可行解 D．多重解 8．线性规划一般模型中，自由变量可以用两个非负变量的（B ）代换。 A．和 B．差 C．积 D．商 9．当满足最优检验，且检验数为零的变量的个数大于基变量的个数时，可求得………………………( A ) 第 2 页共 30 页
第 3 页 共 30 页 A ．多重解 B ．无解 C ．正则解 D ．退化解 10．若线性规划问题有最优解，则必定存在一个( D )是最优解。 A ．无穷多解 B. 基解 C. 可行解 D. 基可行解 填空 计算 1． 某厂生产甲、乙、丙三种产品，已知有关数据如下表所示,求使该厂获利最大的生产计划。 2． 目标函数为max Z =28x4+x5+2x6，约束形式为“≤”，且x1，x2，x3为松弛变量， 表中的解代入目标函数中得Z=14，求出a~g 的值，并判断→j c 0 0 0 28 1 2 B C 基 b 1x 2x 3x 4x 5x 6x 2 6x A 3 0 -14/3 0 1 1 0 2x 5 6 D 2 0 5/2 0 28 4x 0 0 E F 1 0 0 j j z c - B C 0 0 -1 G
第一章线性规划 1．1将下述线性规划问题化成标准形式 1)min z＝－3x1＋4x2－2x3＋5 x4 －x2＋2x3－x4＝－2 4x st. x1＋x2－x3＋2 x4 ≤14 －2x1＋3x2＋x3－x4 ≥ 2 x1，x2，x3≥0，x4无约束 2)min z ＝2x1－2x2＋3x3 ＋x2＋x3＝4 －x st. －2x1＋x2－x3≤6 x1≤0 ，x2≥0，x3无约束 1．2用图解法求解LP问题，并指出问题具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解还是无可行解。 1)min z＝2x1＋3x2 4x1＋6x2≥6 st2x1＋2x2≥4 x1，x2≥0 2)max z＝3x1＋2x2 2x1＋x2≤2 st3x1＋4x2≥12 x1，x2≥0 3)max z＝3x1＋5x2 6x1＋10x2≤120 st5≤x1≤10 3≤x2≤8 4)max z＝5x1＋6x2 2x1－x2≥2 st－2x1＋3x2≤2 x1，x2≥0 1．3找出下述LP问题所有基解，指出哪些是基可行解，并确定最优解 （1）min z＝5x1－2x2＋3x3＋2x4 x1＋2x2＋3x3＋4x4＝7 st2x1＋2x2＋x3 ＋2x4＝3 x1，x2，x3，x4≥0
1．4 分别用图解法与单纯形法求解下列LP 问题，并对照指出最优解所对应的顶点。 1) maxz ＝10x 1＋5x 2 3x 1＋4x 2≤9 st 5x 1＋2x 2≤8 x 1，x 2≥0 2) maxz ＝2x 1＋x 2 3x 1＋5x 2≤15 st 6x 1＋2x 2≤24 x 1，x 2≥0 1．5 分别用大M 法与两阶段法求解下列LP 问题。 1) minz ＝2x 1＋3x 2＋x 3 x 1＋4x 2＋2x 3≥8 st 3x 1＋2x 2 ≥6 x 1，x 2 ，x 3≥0 2) max z ＝4x 1＋5x 2＋ x 3 . 3x 1＋2x 2＋ x 3≥18 St. 2x 1＋ x 2 ≤4 x 1＋ x 2－ x 3＝5 3) maxz ＝ 5x 1＋3x 2 +6x 3 x 1＋2x 2 －x 3 ≤ 18 st 2x 1＋x 2 －3 x 3 ≤ 16 x 1＋x 2 －x 3＝10 x 1，x 2 ，x 3≥0 123123 123123123 4)max 101512539561515.25,,0z x x x x x x x x x st x x x x x x =++++≤??-++≤?? ++ ≥??≥? 1．6
第七章决策论 1.某厂有一新产品，其面临的市场状况有三种情况，可供其选择的营销策略也是 三种，每一钟策略在每一种状态下的损益值如下表所示，要求分别用非确定型 （1）悲观法：根据“小中取大”原则，应选取的经营策略为s3； （2）乐观法：根据“大中取大”原则，应选取的经营策略为s1； （3）折中法（α=0.6）：计算折中收益值如下： S1折中收益值=0.6?50+0.4?(-5)=28 S2折中收益值=0.6?30+0.4?0=18 S3折中收益值=0.6?10+0.4?10=10 显然，应选取经营策略s1为决策方案。 （4）平均法：计算平均收益如下： S1:x_1=（50+10-5）/3=55/3 S2:x_2=(30+25)/3=55/3 S3:x_3=(10+10)/3=10 故选择策略s1,s2为决策方案。 （5）最小遗憾法：分三步 第一，定各种自然状态下的最大收益值，如方括号中所示； 第二，确定每一方案在不同状态下的最小遗憾值，并找出每一方案的最大遗憾值如圆括号中所示； 第三，大中取小，进行决策。故选取S1作为决策方案。
2．如上题中三种状态的概率分别为: 0.3, 0.4, 0.3, 试用期望值方法和决策树方法决策。 （1）用期望值方法决策：计算各经营策略下的期望收益值如下： 故选取决策S2时目标收益最大。 （2）用决策树方法，画决策树如下： 3. 某石油公司拟在某地钻井，可能的结果有三：无油(θ1)，贫油（θ2）和富油（θ3）， 估计可能的概率为：P (θ1) =0.5, P (θ2)=0.3，P (θ3)=0.2。已知钻井费为7万元，若贫油可收入12万元，若富油可收入27万元。为了科学决策拟先进行勘探，勘探的可能结果是：地质构造差(I1)、构造一般(I2)和构造好(I3)。根据过去的经验，地质构造与出油量间的关系如下表所示： P (I j|θi) 构造差(I1) 构造一般(I2) 构造好(I3) 无油(θ1) 0.6 0.3 0.1 贫油(θ2) 0.3 0.4 0.3 富油(θ3) 0.1 0.4 0.5 假定勘探费用为1万元, 试确定：
运筹学A卷) 一、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,答案选错或未选者,该题不得分。每小题1分,共10分) 1.线性规划具有唯一最优解就是指 A.最优表中存在常数项为零 B.最优表中非基变量检验数全部非零 C.最优表中存在非基变量的检验数为零 D.可行解集合有界 2.设线性规划的约束条件为 则基本可行解为 A.(0, 0, 4, 3) B.(3, 4, 0, 0) C.(2, 0, 1, 0) D.(3, 0, 4, 0) 3.则 A.无可行解 B.有唯一最优解medn C.有多重最优解 D.有无界解 4.互为对偶的两个线性规划, 对任意可行解X 与Y,存在关系 A.Z > W B.Z = W C.Z≥W D.Z≤W 5.有6 个产地4个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有10个变量24个约束
B.有24个变量10个约束 C.有24个变量9个约束 D.有9个基变量10个非基变量 6、下例错误的说法就是 A.标准型的目标函数就是求最大值 B.标准型的目标函数就是求最小值 C.标准型的常数项非正 D.标准型的变量一定要非负 7、m+n－1个变量构成一组基变量的充要条件就是 A.m+n－1个变量恰好构成一个闭回路 B.m+n－1个变量不包含任何闭回路 C.m+n－1个变量中部分变量构成一个闭回路 D.m+n－1个变量对应的系数列向量线性相关 8.互为对偶的两个线性规划问题的解存在关系 A.原问题无可行解,对偶问题也无可行解 B.对偶问题有可行解,原问题可能无可行解 C.若最优解存在,则最优解相同 D.一个问题无可行解,则另一个问题具有无界解 9、有m个产地n个销地的平衡运输问题模型具有特征 A.有mn个变量m+n个约束…m+n-1个基变量 B.有m+n个变量mn个约束 C.有mn个变量m+n－1约束 D.有m+n－1个基变量,mn－m－n－1个非基变量 10.要求不超过第一目标值、恰好完成第二目标值,目标函数就是
运筹学试题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
运筹学试题 一、填空题(本大题共8小题，每空2分，共20分) 1．线性规划闯题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加___的方法来产生初始可行基。 2．线性规划模型有三种参数，其名称分别为价值系数、___和___。 3．原问题的第1个约束方程是“=”型，则对偶问题相应的变量是___变量。 4．求最小生成树问题，常用的方法有：避圈法和 ___。 5．排队模型M／M／2中的M，M，2分别表示到达时间为___分布，服务时间服从负指数分布和服务台数为2。 6．如果有两个以上的决策自然条件，但决策人无法估计各自然状态出现的概率，那么这种决策类型称为____型决策。 7．在风险型决策问题中，我们一般采用___来反映每个人对待风险的态度。 8．目标规划总是求目标函数的___信，且目标函数中没有线性规划中的价值系数，而是在各偏差变量前加上级别不同的____。 二、单项选择题(本大题共l0小题，每小题3分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。多选无分。 9．使用人工变量法求解极大化线性规划问题时，当所有的检验数在基变量中仍含有非零的人工变量，表明该线性规划问题【】 A．有唯一的最优解 B．有无穷多最优解 C．为无界解 D．无可行解 10．对偶单纯形法解最大化线性规划问题时，每次迭代要求单纯形表中【】 A．b列元素不小于零 B．检验数都大于零 C．检验数都不小于零 D．检验数都不大于零
11．已知某个含10个结点的树图，其中9个结点的次为1，1，3，1，1，1，3，1，3，则另一个结点的次为【】 A．3 B．2 C．1 D．以上三种情况均有可能 12．如果要使目标规划实际实现值不超过目标值。则相应的偏离变量应满足【】 13．在运输方案中出现退化现象，是指数字格的数目【】 A．等于 m+n B．等于m+n-1 C．小于m+n-1 D．大于m+n-1 14．关于矩阵对策，下列说法错误的是【】 A．矩阵对策的解可以不是唯一的 C．矩阵对策中，当局势达到均衡时，任何一方单方面改变自己的策略，都将意味着自己更少的赢得和更大的损失 D．矩阵对策的对策值，相当于进行若干次对策后，局中人I的平均赢得或局中人Ⅱ的平均损失值 【】 A．2 8．—l C．—3 D．1 16．关于线性规划的原问题和对偶问题，下列说法正确的是【】 A．若原问题为元界解，则对偶问题也为无界解
第一章线性规划1、 由图可得：最优解为 2、用图解法求解线性规划： Min z=2x1+x2 ? ? ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≤ ≥ + ≤ + - 10 5 8 24 4 2 1 2 1 2 1 x x x x x x 解： 由图可得：最优解x=1.6,y=6.4
Max z=5x 1+6x 2 ? ?? ??≥≤+-≥-0 ,23222212 121x x x x x x 解： 由图可得：最优解Max z=5x 1+6x 2, Max z= + ∞
Maxz = 2x 1 +x 2 ????? ? ?≥≤+≤+≤0,5242261552121211x x x x x x x 由图可得：最大值?????==+35121x x x ， 所以?????==2 3 21x x max Z = 8.
12 12125.max 2328416412 0,1,2maxZ .j Z x x x x x x x j =+?+≤? ≤?? ≤??≥=?如图所示，在（4，2）这一点达到最大值为2 6将线性规划模型化成标准形式： Min z=x 1-2x 2+3x 3 ????? ??≥≥-=++-≥+-≤++无约束 321 321321321,0,05232 7x x x x x x x x x x x x 解：令Z ’=-Z,引进松弛变量x 4≥0，引入剩余变量x 5≥0，并令x 3=x 3’-x 3’’,其中x 3’≥ 0,x 3’’≥0 Max z ’=-x 1+2x 2-3x 3’+3x 3’’ ????? ? ?≥≥≥≥≥≥-=++-=--+-=+-++0 ,0,0'',0',0,05 232 '''7'''543321 3215332143321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
基础课程教学资料祝福您及家人身体健康、万事如意、阖家欢乐！祝福同学们快乐成长，能够取得好成绩，为祖国奉献力量 运筹学填空/选择/简答题题库 第一章运筹学概念部分欢迎使用本资料，祝您身体健康、万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。欢迎使用本资料，祝您身体健康、万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学 决策的依据。欢迎使用本资料，祝您身体健康、万事如意，阖家欢乐。愿同学们健康快乐的成长。早日为祖国的繁荣昌盛奉献自己的力量 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定义待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，s.t表示约束（subject to 的缩写）。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 1．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量 B．销售价格 C．顾客的需求D．竞争价格 2．我们可以通过（C）来验证模型最优解。 A．观察 B．应用 C．实验 D．调查 3．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。 A．观察环境 B．数据分析 C．模型设计 D．模型实施 1
某昼夜服务的公交线路 解：设x i 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.t. x1 + x6≥60 x1 + x2≥70 x2 + x3≥60 x3 + x4≥50 x4 + x5≥20 x5 + x6≥30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥0 解得50,20,50,0,20,10（x1到x6）一共需要150人 一家中型的百货商场 解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥28 x2 + x3 + x4 + x5 + x6≥15 x3 + x4 + x5 + x6 + x7≥24 x4 + x5 + x6 + x7 + x1≥25 x5 + x6 + x7 + x1 + x2≥19 x6 + x7 + x1 + x2 + x3≥31 x7 + x1 + x2 + x3 + x4≥28 x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥0 解得12.0.11.5.0.8.0(x1到x7) 最小值36 某工厂要做100套钢架 设x1,x2,x3,x4,x5 分别为5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。 目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 s.t. x1 + 2x2 +x4≥100 2x3+2x4 +x5≥100 3x1+x2+2x3+3x5≥100 x1,x2,x3,x4,x5≥0 解得30,10,0,50,0 只需要90根原料造100钢架某工厂要用三种原料1、2、3 设设x ij 表示第i 种（甲、乙、丙）产品中原料j 的含量。 目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13≥0 -0.25x11+0.75x12 -0.25x13≤0 0.75x21-0.25x22 -0.25x23≥0 -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23≤0 x11+x21 +x31≤100 x12+x22 +x32≤100 x13+x23+x33≤60 x ij≥0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3 解得x11=100,x12=50,x13=50原料分别为第1种100 第2种50 第3种50 资源分配 解：将问题按工厂分为三个阶段，甲、乙、丙三个厂分别编号为1、2、3厂。设sk= 分配给第k个厂至第3个厂的设备台数（k=1、2、3）。xk=分配给第k个工厂的设备台数。 已知s1=5, 并有S2=T1(s1,x1)=s1-x1,S3=T2(s2,x2)=s2-x2从Sk与Xk的定义，可知s3=x3 以下我们从第三阶段开始计算。Maxr3(s3,x3)=r3(s3,x3)即F3（s3）= Maxr3(s3,x3)=r3(s3,x3). 第二阶段F2（s2）=max[r2(s2,x2)+f3(s3)]第一阶段当s1=5时最大盈利为f1(5)=max[r1(5,x1)+f2(5-x1)] 得出2个方案⑴分配给甲0台乙0台丙3台⑵分配甲2台乙2台丙1台，他们的总盈利值都是21. 背包 设Sk＝分配给第k种咨询项目到第四种咨询项目的所有客户的总工作日Xk=在第k种咨询项目中处理客户的数量已知s1=10,有S2=T1(s1,x1)=s1-x1. S3=T2(s2,x2)=s2-3x2. S4=T3(s3,x3)=s3-4x3,第四阶段F4(s4)=maxr4(s4,x4)=r4(s4,[s4/7])第三阶段F3(s3)=max[r3(s3,x3)+f4(s3-4x3)]第二阶段F2(s2)=max[r2(s2,x2)+f3(s2-3x2)]第一阶段已知s1=10，又因s2=s1-x1有F1(10)=max[r1(10,x1)+f2(10-x1)] 综上当x1*=0,x2*=1,x3*=0,x4*=1,最大盈利为28 京城畜产品 解：设：0--1变量xi = 1 (Ai 点被选用）或0 (Ai 点没被选用）。这样我们可建立如下的数学模型：Max z =36x1+40x2+50x3+22x4+20x5+30x6+25x7+48x8+58x9+61x10 s.t. 100x1+120x2+150x3+80x4+70x5+90x6+80x7+140x8+160x9+180x10 ≤720 x1 + x2 + x3 ≤2 x4 + x5 ≥1 x6 + x7 ≥1 x8 + x9 + x10 ≥2 xi≥0 且xi为0--1变量，i = 1,2,3,……,10 函数值245 最优解1,1,0,0,1,1,0,0,1,1（x1到x10的解） 高压容器公司
运筹学习题 1.某商业集团公司在A1，A2，A3三地设有三个仓库，它们分别存40，20，40个单位产品，而其零售店分布在地区B i，i=1，┅，5，他们需要的产品数量分别是25 2.某饲养场所用混合饲料由n种配料组成，要求这种混合饲料必须含有m种不同的营养成分，并且每一份混合饲料中第i种营养成分的含量不能低于b j。已知每单位的第j种配料中所含第i种营养成分的量为a ij，每单位的第j种配料的价格为c j。在保证营养的条件下，应如何配方，使混合饲料的费用最省。试建立这个营养问题的数学模型，然后将其化成标准形式的线性规划问题。 3.用图解法求解下列线性规划问题： (1) 12 12 1 2 min3 ..20 612 2 x x s t x x x x + ? ?+≥ ? ? ≤≤ ? ?≥ ? (2) 12 12 12 1 2 min2 ..2512 28 4 3 x x s t x x x x x x + ? ?+≥ ?? +≤ ? ?≤≤ ? ?≤≤ ? 4.用单纯形法求解下列线性规划问题： (1) 123 123 123 123 min2 ..360 210 20 0,1,2,3 j z x x x s t x x x x x x x x x x j ?=--+ ? ++≤ ? ? -+≤ ? ?+-≤ ? ?≥= ? (2) 1234 123 124 min3 ..224 6 0,1,2,3,4 j z x x x x s t x x x x x x x j =+++ ? ?-++= ? ? ++= ? ?≥= ? 3 5.用两阶段法求解下列问题： (1) 123 1234 1234 2 max342 ..30 4 0,1,2,3,4 j z x x x s t x x x x x x x x x x j ?=++ ? +++≤ ? ? ++≤ ? ?≥ ? ?≥= ? 36 -2(2) 12 12 12 12 min24 ..232 3 ,0 z x x s t x x x x x x =+ ? ?-≥ ? ? +≥ ? ?≥ ? -
运筹学试题库 一、多项选择题 1、下面命题正确的是（）。 A、线性规划的标准型右端项非零； B、线性规划的标准型目标求最大； C、线性规划的标准型有等式或不等式约束； D、线性规划的标准型变量均非负。 2、下面命题不正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本解； B、基本可行解一定是基本解； C、线性规划有可行解则有最优解； D、线性规划的最优值至多有一个。 3、设线性规划问题（P），它的对偶问题（D），那么（）。 A、若（P）求最大则（D）求最小； B、（P）、（D）均有可行解则都有最优解； C、若（P）的约束均为等式，则（D）的所有变量均无非负限制； D、（P）和（D）互为对偶。 4、课程中讨论的运输问题有基本特点（）。 A、产销平衡； B、一定是物品运输的问题； C、是整数规划问题； D、总是求目标极小。 5、线性规划的标准型有特点（）。 A、右端项非零； B、目标求最大； C、有等式或不等式约束； D、变量均非负。 6、下面命题不正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本可行解； B、基本可行解一定是基本解； C、线性规划一定有可行解； D、线性规划的最优值至多有一个。 7、线性规划模型有特点（）。 A、所有函数都是线性函数； B、目标求最大； C、有等式或不等式约束； D、变量非负。 8、下面命题正确的是（）。 A、线性规划的最优解是基本可行解； B、基本可行解一定是最优； C、线性规划一定有可行解； D、线性规划的最优值至多有一个。 9、一个线性规划问题（P）与它的对偶问题（D）有关系（）。 A、（P）有可行解则（D）有最优解； B、（P）、（D）均有可行解则都有最优解； C、（P）可行（D）无解，则（P）无有限最优解； D、（P）（D）互为对偶。 10、运输问题的基本可行解有特点（）。 A、有m＋n－1个基变量； B、有m+n个位势； C、产销平衡； D、不含闭回路。
第一章习题 1.思考题 （1）微分学求极值的方法为什么不适用于线性规划的求解？ （2）线性规划的标准形有哪些限制？如何把一般的线性规划化为标准形式？ （3）图解法主要步骤是什么？从中可以看出线性规划最优解有那些特点？ （4）什么是线性规划的可行解，基本解，基可行解？引入基本解和基可行解有什么作用？ （5）对于任意基可行解，为什么必须把目标函数用非基变量表示出来？什么是检验数？它有什么作用？如何计算检验数？ （6）确定换出变量的法则是什么？违背这一法则，会发生什么问题？ （7）如何进行换基迭代运算？ （8）大M法与两阶段法的要点是什么？两者有什么共同点？有什么区别？ （9）松弛变量与人工变量有什么区别？试从定义和处理方式两方面分析。 （10）如何判定线性规划有唯一最优解，无穷多最优解和无最优解？为什么？ 2.建立下列问题的线性规划模型： （1）某厂生产A，B，C三种产品，每件产品消耗的原料和设备台时如表1-18所示： 润最大的模型。 （2）某公司打算利用具有下列成分（见表1-19）的合金配制一种新型合金100公斤，新合金含铅，锌，锡的比例为3：2：5。 如何安排配方，使成本最低？ （3）某医院每天各时间段至少需要配备护理人员数量见表1-20。
表1-20 假定每人上班后连续工作8小时，试建立使总人数最少的计划安排模型。能否利用初等数学的视察法，求出它的最优解？ （4）某工地需要30套三角架，其结构尺寸如图1-6所示。仓库现有长6.5米的钢材。如何下料，使消耗的钢材最少？ 图1-6 3. 用图解法求下列线性规划的最优解： ?????? ?≥≤+-≥+≥++=0 ,425.134 1 2 64 min )1(21212 12121x x x x x x x x x x z ?????? ?≥≤+≥+-≤++=0 ,82 5 1032 44 max )2(21212 12121x x x x x x x x x x z ????? ????≥≤≤-≤+-≤++=0 ,6 054 4 22232 96 max )3(2122 1212121x x x x x x x x x x x z ??? ??≥≤+-≥+ +=0,1 12 34 3 max )4(2 12 12121x x x x x x x x z
第一章 第一章 1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量（Decision Variable）是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2.（1）设立决策变量； （2）确定极值化的单一线性目标函数； （3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量； （4）非负约束。 3.（1）唯一最优解：只有一个最优点 （2）多重最优解：无穷多个最优解 （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大 （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集 无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0 , 决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 5. 可行解：满足约束条件AX =b,X≥0的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 6. 计算步骤： 第一步，确定初始基可行解。 第二步，最优性检验与解的判别。 第三步，进行基变换。 第四步，进行函数迭代。 判断方式： 唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即σj< 0 无穷多最优解：若所有非基变量的检验数σj≤ 0 ，且存在某个非基变量xNk 的检验数σk= 0 ，让其进基，目标函数的值仍然保持原值。如果同时存在最小θ值，说明有离基变量，则该问题在两个顶点上同时达到最优，为无穷多最优解。无界解：若某个非基变量xNk 的检验数σk> 0 ，但其对应的系数列向量P k' 中，每一个元素a ik' (i=1,2,3,…,m)均非正数，即有进基变量但找不到离基变量。
运筹学题库 一、选择题 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.科技预测的短期预测时间为【】 A.1～3年 B.3～5年 C.5～10年 D.3～7年 2.下述预测方法中，不属于 ．．．定量方法的是【】 A.算术平均数预测法 B.特尔斐法 C.非线性回归预测法 D.指数平滑法 3.适用在风险条件下进行决策的方法是【】 A.最大最小决策标准 B.保守主义决策标准 C.期望利润标准 D.现实主义决策标准 4.在不确定 ．．．条件下的决策标准中，最大最小决策标准把每个可行方案在未来可能遇到最佳的自然状态的概率定为【】 A.1 B.0 C.0.5 D.0～1间任意值 5.投入库存物资方面的资金应属于【】 A.订货费用 B.保管费用 C.进厂价 D.其它支出 6.用单纯形法求解线性规划问题时引入的松弛变量在目标函数中的系数为【】 A.0 B.很大的正数 C.很大的负数 D.1 7.为建立运输问题的改进方案，在调整路线中调整量应为【】 A.负号格的最小运量 B.负号格的最大运量 C.正号格的最小运量 D.正号格的最大运量 8.求解某运输问题过程中得到如下运输方案： 以下说法错误 ．．的是【】
A.该方案中出现了退化现象 B.对于这种方案，表上作业法无法继续往下求解 C.这是一个供需平衡问题 D.对于这种方案，表上作业法仍可继续往下求解 9.下列选项中结果一定为0的是【 】 A.虚活动的作业时间 B.活动的总时差减去专用时差 C.活动的局部时差减去专用时差 D.结点时差 10.已知某一活动i →j 开始的最早时间ES i,j =3，该活动的作业时间为5，则结点j 的最迟完成时间LF j 为【 】 A.3 B.8 C.不确定 D.2 11.若u=(u 1,u 2,……,u n )为概率向量，则【 】 A.u i ≥0,(i=1,2,……,n) B. ∑=n 1 i i u =0 C.u i ≠0,(i=1,2,……,n),且 ∑=n 1 i i u =1 D.u i ≥0,(i=1,2,……,n),且 ∑=n 1 i i u =1 12.要用最少费用建设一条公路网，将五个城市连接起来，使它们可以相互到达，已知建设费用与公路长度成正比，那么该问题可以看成是【 】 A.最小枝杈树问题求解 B.树的生成问题求解 C.最短路线问题求解 D.最大流量问题求解 13.据教材介绍，不属于．．．盈亏平衡分析在企业管理中应用研究的内容是【 】 A.产品规划 B.厂址选择、设备选择 C.推销渠道的选择、自制或外购选择 D.预测人口变动情况 14.“计划性能法”是盈亏平衡分析的基础。作为“计划性能法”的第一步，是把固定成本分为【 】 A.预付成本和计划成本 B.预付成本和可变成本 C.可变成本和计划成本 D.总成本和计划成本 15.处理等待时间问题，应该运用【 】 A.随机系统的模拟方法 B.仓库系统的模拟方法 C.网络系统的模拟方法 D.排队系统的模拟方法 16．下列向量中的概率向量是【 】 A ．（0.1,0.4,0,0.5） B ．（0.1,0.4,0.1,0.5） C ．（0.6,0.4,0,0.5） D ．（0.6,0.1,0.8,-0.5） 17．当企业盈亏平衡时，利润为【 】 A ．正 B ．负 C ．零 D ．不确定 18．最小最大遗憾值决策准则用来解决【 】条件下的决策问题 A ．不确定性 B ．确定 C ．风险 D ．风险或不确定 19．在不确定的条件下进行决策，下列哪个条件是不必须具备的【 】 A ．确定各种自然状态可能出现的概率值 B ．具有一个明确的决策目标
3）若问题中 x2列的系数变为（3，2）T，问最优解是否有变化； 4）c2由 1 变为 2，是否影响最优解，如有影响，将新的解求出。 Cj CB 0 0 Cj-Zj 0 4 Cj-Zj 3 4 Cj-Zj最优解为 X1=1/3,X3=7/5,Z=33/5 2对偶问题为Minw=9y1+8y2 6y1+3y2≥3 对偶问题最优解为 y1=1/5,y2=3/5 3若问题中 x2列的 3y1+4y2≥1 5y1+5y2≥4 y1,y2≥0 系数变为（3，2）T则P2’=(1/3,1/5 σ2=-4/5＜0所以对最优解没有影响 4）c2由 1 变为2 σ2=-1＜0所以对最优解没有影响 7.求如图所示的网络的最大流和最小截集 ）。（10分） V1 (9,5 (4,4 V3 (6,3 T 3 XB X4 X5 (割集，每弧旁的数字是（cij , fij b 9 8 X1 6 3 3 X4 X3 1 8/5 3 3/5 3/5 X1 X3 1/3 7/5 1 0 0 1 X2 3 4 1 -1 4/5 -11/5 -1/3 1 2 4 X 3 5 5 4 0 1 0 0 1 0 0 X4 1 0 0 1 0 0 1/3 -1/ 5 -1/5 0 X5 0 1 0 -1 1/5 -4/5 -1/3 2/5 解： (5,4 (7,5 V4 V1 (9,7 (4,4 V3 (6,4 (3,2 Vs (5,4 (4,0 Vt VS (3,1 (3,0 (4,1 Vt (5,3 V2 (7,7 6/9 V2最大流＝11 (5,5 V4 8.某厂Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种产品分别经过 A、B、C三种设 备加工。已知生产单位各种产品所需的设备台时，设备的现有加工能力及每件产 单 品的预期利润见表：ⅠⅡⅢ设备能力(台.h A 1 1 1 100 B 10 4 5 600 C 2 2 6 300
《运筹学》习题答案 一、单选题 1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）B A.任意网络 B.无回路有向网络 C.混合网络 D.容量网络 2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）B A.非线性问题的线性化技巧 B.静态问题的动态处理 C.引入虚拟产地或者销地 D.引入人工变量 3.静态问题的动态处理最常用的方法是？B A.非线性问题的线性化技巧 B.人为的引入时段 C.引入虚拟产地或者销地 D.网络建模 4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）D A.状态变量的选取 B.决策变量的选取 C.有虚拟产地或者销地 D.目标函数取乘积形式 5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。C A.降低的 B.不增不减的 C.增加的 D.难以估计的 6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上C A.最远 B.较远 C.最近 D.较近 7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。D A.结点不占用时间也不消耗资源 B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始 C.箭线代表活动 D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间 8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。C A.1200 B.1400 C.1300 D.1700 9.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。D A.最短路线—定通过A点 B.最短路线一定通过B点 C.最短路线一定通过C点 D.不能判断最短路线通过哪一点 10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )A A.存在一个圈 B.存在两个圈 C.存在三个圈 D.不含圈 11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。C A.大于 B.小于 C.等于 D.不一定等于
课程名称:《运筹学》 课程号: 2007120 说明: 1、本导出系统可导出你题库中录入的所有本课程试题信息，但只提供单选、多选、判断题答案，其他题型答案可在试题采集系统中查询； 2、答案选项ABCDEF不区分大小写； 3、判断题答案A为正确，B为错误； 4、答案为RetEncryption(**))样式的为RetEncryption算法加密，括号中的为选项答案. 一、单项选择题(共246小题） 1、试题编号：200712001001010,答案：RetEncryption(D)。 运筹学的主要内容包括： A.线性规划 B.非线性规划 C.存贮论 D.以上都是 2、试题编号：200712001001110,答案：RetEncryption(D)。 下面是运筹学的实践案例的是： A.丁谓修宫 B.田忌赛马 C.二战间，英国雷达站与防空系统的协调配合 D.以上都是 3、试题编号：200712001001210,答案：RetEncryption(D)。 规划论的内容不包括： A.线性规划 B.非线性规划 C.动态规划 D.网络分析 4、试题编号：200712001001310,答案：RetEncryption(B)。
关于运筹学的原意，下列说法不正确的是： A．作业研究B．运作管理C．作战研究D．操作研究 5、试题编号：200712001001410,答案：RetEncryption(B)。 运筹学模型： A．在任何条件下均有效 B.只有符合模型的简化条件时才有效 C．可以解答管理部门提出的任何问题 D．是定性决策的主要工具 6、试题编号：200712001001510,答案：RetEncryption(A)。 最早运用运筹学理论的是： A.二次世界大战期间，英国军事部门将运筹学运用到军事战略部署 B.美国最早将运筹学运用到农业和人口规划问题上 C.二次世界大战后，英国政府将运筹学运用到政府制定计划 D.50年代，运筹学运用到研究人口，能源，粮食，第三世界经济发展等问题上 7、试题编号：200712001001610,答案：RetEncryption(D)。 下列哪些不是运筹学的研究范围： A.库存控制 B.动态规划 C.排队论 D.系统设计 8、试题编号：200712001002910,答案：RetEncryption(B)。 对运筹学模型的下列说法，正确的是： A．在任何条件下均有效 B．只有符合模型的简化条件时才有效 C．可以解答管理部门提出的任何问题 D．是定性决策的主要工具 9、试题编号：200712001003010,答案：RetEncryption(A)。 企业产品生产的资源消耗与可获利润如下表。
《运筹学》--- 数据、模型与决策练习题 2010年9月 一、线性规划：基本概念 1、下面的表格总结了两种产品A和B的关键信息以及生产所需的资源Q, R, S： 满足所有线性规划假设。 （1）在电子表格上为这一问题建立线性规划模型； （2）用代数方法建立一个相同的模型； （3）用图解法求解这个模型。 2、今天是幸运的一天，你得到了10000美元的奖金。除了将4000美元用于交税和请客之外，你决定将剩余的6000美元用于投资。两个朋友听到这个消息后邀请你成为两家不同公司的合伙人，每一个朋友介绍了一家。这两个选择的每一个都将会花去你明年夏天的一些时间并且要花费一些资金。在第一个朋友的公司中成为一个独资人要求投资5000美元并花费400小时，估计利润（不考虑时间价值）是4500美元。第二个朋友的公司的相应数据为4000美元和500小时，估计利润为4500美元。然而每一个朋友都允许你根据所好以任意比例投资。如果你选择投资一定比例，上面所有给出的独资人的数据（资金投资、时间投资和利润）都将乘以一个相同的比例。 因为你正在寻找一个有意义的夏季工作（最多600小时），你决定以能够带来最大总估计利润的组合参与到一个或全部朋友的公司中。你需要解决这个问题，找到最佳组合。 （1）为这一问题建立电子表格模型。找出数据单元格、可变单元格、目标单元格，并且用SUMPRODUCT函数表示每一个输出单元格中的Excel等式。 （2）用代数方法建立一个同样的模型。 （3）分别用模型的代数形式和电子表格形式确定决策变量、目标函数、非负约束、函数约束和参数。 （4）使用图解法求解这个模型。你的总期望利润是多少 3、伟特制窗（Whitt Window）公司是一个只有三个雇员的公司，生产两种手工窗户：木框窗户和铝框窗户。公司每生产一个木框窗户可以获利60美元，一个铝框窗户可以获利30