矩阵求导法则
在网上看到有人贴了如下求导公式： Y = A * X --> DY/DX = A' Y = X * A --> DY/DX = A Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B' Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A' 于是把以前学过的矩阵求导部分整理一下： 1. 矩阵Y对标量x求导： 相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了 Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx] 2. 标量y对列向量X求导： 注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量 y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)' 3. 行向量Y'对列向量X求导： 注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。 将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。 重要结论： dX'/dX = I d(AX)'/dX = A' 4. 列向量Y对行向量X’求导： 转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。 注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。 dY/dX' = (dY'/dX)' 5. 向量积对列向量X求导运算法则： 注意与标量求导有点不同。 d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX) d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U' 重要结论： d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A
d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X 6. 矩阵Y对列向量X求导： 将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。 注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。 7. 矩阵积对列向量求导法则： d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX) d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX) 重要结论： d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A 8. 标量y对矩阵X的导数： 类似标量y对列向量X的导数， 把y对每个X的元素求偏导，不用转置。 dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ] 重要结论： y = U'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是dy/dX = = UV' y = U'X'XU 则dy/dX = 2XUU' y = (XU-V)'(XU-V) 则dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U' 9. 矩阵Y对矩阵X的导数： 将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。
基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间 x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则
设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出． 可以推出下表列出的公式：
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) ， (13) (14) (15) (16) 函数的和、差、积、商的求导法则 设，都可导，则 （ 1）（ 2）（是常数） （ 3）（ 4） 反函数求导法则 若函数在某区间内可导、单调且，则它的反函数在对应区间内也可导，且 或 复合函数求导法则 设，而且及都可导，则复合函数的导数为 或 ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．
可以推出下表列出的公式： 常用积分公式表·例题和点评 ⑴kdx kx c ( k 为常数) ⑵x dx( 1) 1 x 1 c 1 特别， 1 dx 1 c , x d x 2 x23 c , 1 dx 2 x c x 2 x 3 x ⑶1 dx ln | x | c x ⑷ a x d x a x c , 特别，e x d x e x c ln a
⑸ sin x dx cos x c ⑹ cos x d x sin x c ⑺ 1 d x csc 2 x dx cot x c sin 2 x ⑻ 1 d x sec 2 x dx tan x c cos 2 x ⑼ 1 dx x c ( a 0) , 特别， a 2 x 2 arcsin a ⑽ 1 dx 1 x c (a 0) , 特别， a 2 x 2 arctan a a ⑾ 1 1 a x a 2 x 2 d x 2a ln a x c ( a 0) 或 1 1 x a x 2 a 2 dx 2a ln x a c ( a 0) ⑿ tan x dx ln cos x c ⒀ cot x dx ln sin x c 1 arcsin x c 1 d x x 2 1 1 x 2 dx arctan x c 1 ln csc x cot x c ⒁ csc x d x x dx ln tan c sin x 2 1 ln sec x tan x c ⒂ secx d x x dx c cos x ln tan 4 2 1 ( a 0) x 2 a 2 ⒃ a 2 dx ln x c x 2 ⒄ a 2 x 2 dx ( a 0) a 2 x x a 2 x 2 c arcsin 2 2 a ⒅ x 2 2 (a 0) x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 c a d x 2 2
矩阵求导 在网上看到有人贴了如下求导公式： Y = A * X --> DY/DX = A' Y = X * A --> DY/DX = A Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B' Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A' 于是把以前学过的矩阵求导部分整理一下： 1. 矩阵Y对标量x求导： 相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了 Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx] 2. 标量y对列向量X求导： 注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)' 3. 行向量Y'对列向量X求导： 注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。 将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。 重要结论： dX'/dX = I d(AX)'/dX = A' 4. 列向量Y对行向量X’求导： 转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。 注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。 dY/dX' = (dY'/dX)' 5. 向量积对列向量X求导运算法则：
注意与标量求导有点不同。 d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX) d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U' 重要结论： d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X 6. 矩阵Y对列向量X求导： 将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。 7. 矩阵积对列向量求导法则： d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX) d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX) 重要结论： d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A 8. 标量y对矩阵X的导数： 类似标量y对列向量X的导数， 把y对每个X的元素求偏导，不用转置。 dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ] 重要结论： y = U'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是dy/dX = [u(i)v(j)] = UV' y = U'X'XU 则dy/dX = 2XUU'
1. 矩阵Y对标量x求导： 相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了 Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx] 2. 标量y对列向量X求导： 注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量 y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)T 3. 行向量Y T对列向量X求导： 注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。 将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。 重要结论： dX T/dX = I d(AX)T/dX = A T 4. 列向量Y对行向量X T求导： 转化为行向量Y T对列向量X的导数，然后转置。 注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。 dY/dX T = (dY T/dX)T 5. 向量积对列向量X求导运算法则： 注意与标量求导有点不同。 d(UV T)/dX = (dU/dX)V T + U(dV T/dX) d(U T V)/dX = (dU T/dX)V + (dV T/dX)U 重要结论： d(X T A)/dX = (dX T/dX)A + (dA/dX)X T = IA + 0X T = A d(AX)/dX T = (d(X T A T)/dX)T = (A T)T = A d(X T AX)/dX = (dX T/dX)AX + (d(AX)T/dX)X = AX + A T X 6. 矩阵Y对列向量X求导： 将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。 注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。 7. 矩阵积对列向量求导法则： d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX) d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX) 重要结论：
一．基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2 v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且
)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx =g 或()()y f u x ?'''=g 二、基本积分表 （1）kdx kx C =+? （k 是常数） （2）1 ,1 x x dx C μμ μ+= ++? (1)u ≠- （3）1 ln ||dx x C x =+? （4）2 tan 1dx arl x C x =++? （5） arcsin x C =+ （6）cos sin xdx x C =+? （7）sin cos xdx x C =-+? （8）21 tan cos dx x C x =+? （9）21 cot sin dx x C x =-+? （10）sec tan sec x xdx x C =+? （11）csc cot csc x xdx x C =-+?
矩阵函数求导 首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵 （1） 函数矩阵，简单地说就是多个一般函数的阵列，包括单变量和多变量函数。 函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。 单变量函数矩阵的微分与积分 考虑实变量t 的实函数矩阵 ()()()ij m n X t x t ×=，所有分量函数()ij x t 定义域相同。 定义函数矩阵的微分与积分 0()(),()().t t ij ij t t d d X t x t X d x d dx dx ττττ?????????==????????????∫∫ 函数矩阵的微分有以下性质： （1） ()()()()()d d d X t Y t X t t dt dt dt +=+； （2） ()()()()()()()d dX t dY t X t Y t t X t dt dt dt =+； 特殊情形 （a ） 若K 是常数矩阵，则()()()d d KX t K X t dt dt =； （b ） 若()X t 是方阵，则2()()()()()d dX t dX t X t X t X t dt dt dt =+； （3） () 111()()()()d dX t X t X t X t dt dt =－－－－； （4） 对任意的方阵A 和时变量t ，恒有At At At d e Ae e A dt ==； （5） 若AB BA =，则A B B A A B e e e e e +==。如果,A B 可交换，则许多三角不等 式可以推广到矩阵上。如sin(),sin(2)A b A +等。 参考文献：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社。
复合函数求导方法和技巧 毛涛 （理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班， 723000） 指导老师：延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的 定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现 的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的 有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言 复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向层逐层求导（或者也可以由层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义 如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数[]()y f g x =叫做函数()y f x =和()a g x =的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。 3导数的四则运算
6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 2010-08-19 16:30 杨爽赵晓婷高璞译人民邮电出版社我要评论(0)字号：T | T 综合评级： 想读(0)在读(0)已读(7)品书斋鉴(2)已有7人发表书评 《普林斯顿微积分读本》阐述了求解微积分的技巧, 详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，第6章讲述如何求解微分问题。本节说的是通过乘积法则求积函数的导数。 AD： 6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 处理函数乘积的时候要更有技巧的, 你不能只是将两个导数乘在一起. 例如,不做展开 (那样将会太费时 间了),我们想要求 的导数. 我们设 f(x) = x5+2x?1及 g(x) = 3x8?2x7?x4?3x.函数 h 是 f和 g 的乘积. 我们可以很容易地写出 f 和 g 的导数, 它们是 f0(x) = 5x4+2及g0(x)=24x7?14x6?4x3?3.正如我说的,乘积h的导数是这两个导数的乘积,这是不正确的. 即h0(x)6=?5x4+2￠?24x7?14x6?4x3?3￠.说h0(x)不是什么是没有用的,我们需要说它是什么！ 这表明你需要混合匹配. 这就是说,你取f 的导数并用它和g 相乘(不是g 的导数). 然后, 你也需要取 g 的导数并用它和 f 相乘. 最后, 将它们加在一起. 这就是法则： 因此, 对于我们例子中的 h(x) =?x5+2x?1￠?3x8?2x7?x4?3x￠,我们将h写成f 和g 的乘积并求它们的导数,就像我们上面做的一样. 将我们的发现总结一下,取每一列分别对应 f 和 g：
基本求导公式、矩阵公式、数学建模 1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1 )(-='n n nx x ；一般地，1 )(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2 ='，2 1 )1(x x - ='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln = '；一般地，)1,0( ln 1)(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2 ≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）? ?=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ??? +=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则
1．基本求导公式 ⑴ 0)(='C （C 为常数）⑵ 1 )(-='n n nx x ；一般地，1 )(-='αααx x 。 特别地：1)(='x ，x x 2)(2 ='，21 )1(x x - ='，x x 21)(='。 ⑶ x x e e =')(；一般地，)1,0( ln )(≠>='a a a a a x x 。 ⑷ x x 1)(ln = '；一般地，)1,0( ln 1 )(log ≠>='a a a x x a 。 2．求导法则 ⑴ 四则运算法则 设f (x )，g (x )均在点x 可导，则有：（Ⅰ）)()())()((x g x f x g x f '±'='±； （Ⅱ）)()()()())()((x g x f x g x f x g x f '+'='，特别)())((x f C x Cf '='（C 为常数）； （Ⅲ）)0)(( ,) ()()()()())()(( 2≠'-'='x g x g x g x f x g x f x g x f ，特别21() ()()()g x g x g x ''=-。 3．微分 函数()y f x =在点x 处的微分：()dy y dx f x dx ''== 4、 常用的不定积分公式 （1） ?????+==+=+=-≠++=+c x dx x x dx x c x xdx c x dx C x dx x 4 3,2,),1( 114 3 32 21αααα ； （2） C x dx x +=?||ln 1； C e dx e x x +=?； )1,0( ln ≠>+=?a a C a a dx a x x ； （3）? ?=dx x f k dx x kf )()(（k 为常数） 5、定积分 ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? ⑴ ???+=+b a b a b a dx x g k dx x f k dx x g k x f k )()()]()([2121 ⑵ 分部积分法 设u (x )，v (x )在[a ，b ]上具有连续导数)(),(x v x u ''，则 ??-=b a b a b a x du x v x v x u x dv x u )()() ()()()( 6、线性代数
举例说明函数的积的求导法则 山东省临朐县第二中学 刘海涛 李本习 在导数这一章中，导数的运算是非常重要的内容，也是这一章中的重点，在这里我们讨论一下函数积的求导法则。 （一）、函数积的求导法则是： 设f(x)、g(x)是可导的，则 [()()]f x g x '=()()f x g x '+()()f x g x ' 即：两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数加上第一个函数乘上第二个函数的导数。 例：（1）求y=x 2cosx 的导数 分析：此题就是简单的积的求导，在此过程中要注意x 2与cosx 这两个基本函数的导数公式。 解：y '=2(cos )x x ' =2()cos x x '+2(cos )x x ' =22cos sin x x x x - (2) 求y=(x 2 解：y ' =2[(x '+ =2(1)x + 2(x + =2 21x + =251x +
利用此法则需要注意：（1）必须是f(x)、g(x)可导的 （2）要正确掌握应用此公式，不要用错此法则， 如： [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+ （3）此题的关键是要正确的掌握基本初等函数的导数公式。如：y=c y=x n y=a x y=sinx 等 （二）、要灵活的应用法则以简便的方法求解 例：求2311()y x x x x =++的导数 分析：直接应用积的求导法则时，中间有一个和的求导法则，若我们把此题的式子进行一下化简，那么此题将会是直接的和的求导法则。 解：法一：应用积的求导法则 22331111()()y x x x x x x x x '''=+++++ =3x 2 - 32x 法二：应用和的求导法则 3211y x x =++ 所以2323y x x '=- 显然法二相对来说比较简单明了。 （三）、若f(x)g(x)中，f(x)g(x)有一个为常数，则此求导法则为： 常数与函数之积的导数等于常数乘以函数的导数
矩阵函数求导 符号说明 ?d/dx (y) 是一个向量，其第(i) 个元素是dy(i)/dx ?d/d x (y) 是一个向量，其第(i) 个元素是dy/dx(i) ?d/d x (y T) 是一个矩阵，其第(i,j) 个元素是dy(j)/dx(i) ?d/dx (Y) 是一个矩阵，其第(i,j) 个元素是dy(i,j)/dx ?d/d X (y) 是一个矩阵，其第(i,j) 个元素是dy/dx(i,j) 注意 Hermitian 转置不能应用，因为复共轭不可解析，x,y 是向量，X，Y 是矩阵，x,y 是标量。 在下面的表达中 A, B, C 是不依赖于 X 的矩阵，a,b 是不依赖于x 的向量，线性积 ?d/dx (AYB) =A * d/dx (Y) * B o d/dx (Ay) =A * d/dx (y) ?d/d x (x T A) =A o d/d x (x T) =I o d/d x (x T a) = d/d x (a T x) = a ?d/d X (a T Xb) = ab T o d/d X (a T Xa) = d/d X (a T X T a) = aa T ?d/d X (a T X T b) = ba T ?d/dx (YZ) =Y * d/dx (Z) + d/dx (Y) * Z 二次积 ?d/d x (Ax+b)T C(D x+e) = A T C(Dx+e) + D T C T(Ax+b)
o d/d x (x T Cx) = (C+C T)x [C: symmetric]: d/d x (x T Cx) = 2Cx d/d x (x T x) = 2x o d/d x (Ax+b)T (D x+e) = A T (Dx+e) + D T (Ax+b) d/d x (Ax+b)T (A x+b) = 2A T (Ax+b) o [C: symmetric]: d/d x (Ax+b)T C(A x+b) = 2A T C(Ax+b) ?d/d X (a T X T Xb) = X(ab T + ba T) o d/d X (a T X T Xa) = 2Xaa T ?d/d X (a T X T CXb) = C T Xab T + CXba T o d/d X (a T X T CXa) = (C + C T)Xaa T o [C:Symmetric] d/d X (a T X T CXa) = 2CXaa T ?d/d X ((Xa+b)T C(Xa+b)) = (C+C T)(Xa+b)a T 三次积 ?d/d x (x T Axx T) = (A+A T)xx T+x T AxI 逆 ?d/dx (Y-1) = -Y-1d/dx (Y)Y-1 迹 Note: matrix dimensions must result in an n*n argument for tr(). ?d/d X (tr(X)) = I ?d/d X (tr(X k)) =k(X k-1)T ?d/d X (tr(AX k)) = SUM r=0:k-1(X r AX k-r-1)T ?d/d X (tr(AX-1B)) = -(X-1BAX-1)T o d/d X (tr(AX-1)) =d/d X (tr(X-1A)) = -X-T A T X-T ?d/d X (tr(A T XB T)) = d/d X (tr(BX T A)) = AB
模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 计算模块 三级模块名称 复合函数的求导法则（链式法则） 模块编号 2-6 先行知识 导数的四则运算 模块编号 2-4 复合函数 1-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、复合函数的求导法则的证明 1、了解复合函数的求导法则的证明 熟练掌握 2、复合函数的求导法则（链式法则） 2、掌握复合函数的求导法则（链式法则） 能力目标 1、培养学生的计算能力 2、知识拓展的能力 时间分配 45分钟 编撰 陈亮 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点 思路：先让学生犯错，目的的是让学生记忆深刻，然后解决错误，在解决错误的过程中使得学生理解复合函数求导法则，最后通过例题由浅到深逐步理解复合函数的求导法则。 特点：通过犯错让学生记忆深刻。 二、授课部分 （一）、预备知识 1、导数的四则运算 2、复合函数 简单介绍复合函数的定义(由多个初等函数复合而成的函数称为复合函数) 复合函数的分解，重点介绍复合函数的分解。 sin 2y x = 分解成 sin ;2y u u x == lnsin y x = 分解成 ln ;sin y u u x == ln cos x y e = 分解成 ln ;cos ;x y u u v v e === 1 sin x y e = 分解成 1;sin ;u y e u v v x ===
2 arcsin 2x y ? ?= ?? ? 分解成 2;sin ;2x y u u arc v v === 课堂练习： () 4 1 arctan 23arccos x y e y x y x ==-= lntan ln ln ln 2 x y y x y x x x ===++ （二）、新课讲授 1、新课导入 提问： (sin 2)?x '=（目的是让学生犯错） 解决错误：()(sin 2)2sin cos x x x ''=? ()()() 222sin cos 2sin cos 2cos sin 2cos 2x x x x x x x '' =+=-= 为什么？为什么不等于cos 2x 而是2cos 2x ？ 解决问题： 先回顾一下求导公式,例如:()sin cos x x '= 即说明 sin sin sin 2cos cos cos 22d x d y d x x y x dx dy d x =?=?= 而()sin 2sin 2d x x dx '=，于是有： ()sin 22sin 2cos 222d x d x x x d x dx '= ?=? 类似()x x e e '=，即说明333x y x x y x de de de e e e dx dy d x =?=?= sin sin sin x x de e d x ?=2 2 2x u x u de de e e dx du ?=?=? 等等，可以多列举几个例子说明。 例1． sin x y e =求y '（一级）
第二节 函数的求导法则 教学目的：1.使学生掌握函数的和、差、积、商的求导法则； 2使学生掌握反函数的导数法则、复合函数的求导法则； 3使学生熟练掌握初等函数的求导公式。 教学重点：初等函数的求导公式、复合函数的求导法则 教学过程： 一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理 1：若函数)(x u 和)(x v 在点0x 都可导，则)()()(x v x u x f ±=在0x 点也可导，且 )()()(000x v x u x f '±'='。 证明：0 0000)] ()([)]()([lim )()(lim 00 x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x -±-±=--→→ =0 000)()(lim )()(lim 00x x x v x v x x x u x u x x x x --±--→→=)()(00x v x u '±' 所以)()()(000x v x u x f '±'='。 注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去。 2：本定理的结论也常简记为v u v u '±'='±)(。 定理2：若)(x u 和)(x v 在0x x =点可导，则)()()(x v x u x f =在0x 点可导，且有 )()()()()(00000'+'='x v x u x v x u x f 。 证明：0 0000) ()()()(lim )()(lim 00 x x x v x u x v x u x x x f x f x x x x --=--→→ =0 0000) ()()()()()()()(lim 0x x x v x u x v x u x v x u x v x u x x --+-→ =0 0000) ()()(lim )()()(lim 00x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x --+--→→ =0 0000) ()(lim )()(lim )()(lim 000x x x v x v x u x v x x x u x u x x x x x x --+--→→→
转载]矩阵求导公式【转】 (2011-11-15 11:03:34) 转载▼ 标签： 转载 原文地址：矩阵求导公式【转】作者：三寅 今天推导公式，发现居然有对矩阵的求导，狂汗--完全不会。不过还好网上有人总结了。吼吼，赶紧搬过来收藏备份。 基本公式： Y = A * X --> DY/DX = A' Y = X * A --> DY/DX = A Y = A' * X * B --> DY/DX = A * B' Y = A' * X' * B --> DY/DX = B * A' 1. 矩阵Y对标量x求导： 相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了 Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx] 2. 标量y对列向量X求导： 注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量 y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)' 3. 行向量Y'对列向量X求导： 注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。 将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。 重要结论： dX'/dX = I d(AX)'/dX = A' 4. 列向量Y对行向量X’求导： 转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。 注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。 dY/dX' = (dY'/dX)' 5. 向量积对列向量X求导运算法则： 注意与标量求导有点不同。 d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)
d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U' 重要结论： d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X 6. 矩阵Y对列向量X求导： 将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。 注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。 7. 矩阵积对列向量求导法则： d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX) d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX) 重要结论： d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A 8. 标量y对矩阵X的导数： 类似标量y对列向量X的导数， 把y对每个X的元素求偏导，不用转置。 dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ] 重要结论： y = U'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是dy/dX = [u(i)v(j)] = UV' y = U'X'XU 则dy/dX = 2XUU' y = (XU-V)'(XU-V) 则dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U' 9. 矩阵Y对矩阵X的导数： 将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。 10.乘积的导数 d(f*g)/dx=(df'/dx)g+(dg/dx)f' 结论 d(x'Ax)=(d(x'')/dx)Ax+(d(Ax)/dx)(x'')=Ax+A'x （注意：''是表示两次转置）
主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间： §5简单复合函数的求导法则 【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。 【重点、难点】 重点：简单复合函数的求导法则； 难点：复合函数的导数。 【使用说明与学法指导】 1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 1、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论； 【自主探究】 1.复合函数 对两个函数)(x f y =和)(x g y =，如果通过变量u ，y 表示成______的函数，我们称这个函数为函数)(x f y =和)(x g y =的复合函数，记作，_________其中为________变量. 2.复合函数的导数 如果函数)(x f 、)(x u 有导数,那么_____='x y 【合作探究】 求下列函数的导数 （1）82)21(x y += （2）33x x y += （3）)(cos 2b ax y += （4） )12ln(+-=x y 1、 )ln 1(2x xe y x += （6）x x y -+=11ln 2、曲线x e y x 3cos 2=在)1,0(处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程。 3、已知函数2()(2)2x f x ln x a =--，a 为常数。(1)求(3)f '的值；（2）当3x =时，曲线() y f x =在点0(3)y ，处的切线经过点(11)--，，求a 的值。 【巩固提高】 1、求下列函数的导数
（1）y = 2)13(1-x （2）y =21sin2x +sin x （3）y =sin 3(3x +4π) （4）22cos 53sin x x y += 2、已知,)1()(102x x x f ++=求)0()0(f f ' 3、已知曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线1l 平行直线014=--y x ，且点0P 在第三象限 （1）求点0P 的坐标 （2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程。 【课堂小结】
矩阵导数 1. 矩阵Y=F(x )对标量x 求导 相当于每个元素求导数 11112221221 2()()()()() ()() ()()n n m m m n d f x d f x d f x d x d x d x d f x d f x d f x d d x d x d x d x d f x d f x d f x d x d x d x ?? ? ?? ? ?? ??=? ?? ? ?? ? ?? ? Y 2. 标量y 对列向量x 求导 注意与上面不同，这次括号内是求偏导，对m×1向量求导后还是m×1向量 1 2 ()m f x f d y x y f d f x ??? ????????? ??=→=?????????????? x x 3. 行向量y T 对列向量x 求导 注意1×n 向量对m×1向量求导后是m×n 矩阵。 将y 的每一列对x 求偏导，将各列构成一个矩阵。 12111 1222212()()()()()()()()()n n T n m m m f x f x f x x x x f x f x f x d x x x d f x f x f x x x x ????? ? ????? ? ????? ? ????=????? ? ??????????? ? y x 重要结论： ()T T T d d d d ==x I x A x A x
4. 列向量y 对行向量x T 求导 转化为行向量y T 对列向量x 的导数，然后转置。 注意m×1向量对1×n 向量求导结果为m×n 矩阵。 12111 1222212()() ()()()()()()()T m T m T T m n n n f x f x f x x x x f x f x f x d d x x x d d f x f x f x x x x ????? ? ????? ? ????? ?? ? ????== ????? ??? ? ??????????? ? y y x x 重要结论： ()T T d d d d ==x I x A x A x 5. 向量积对列向量x 求导运算法则 注意与标量求导有点不同。 ()()()T T T d d d d d d = ?+ ?u v u v v u x x x 重要结论： ()()()2() ()() ()T T T T T T T T d d d d d d d d d d d d = ?+ ?== ?+ ?=+x x x x x x x x x x x A x x x A A x x A A x x x x 6. 矩阵Y 对列向量x 求导 将Y 对x 的每一个分量求偏导，构成一个超向量。 注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。