题型
1.定积分与极限的计算
2.计算下列定积分
3.计算下列广义积分
内容
一．定积分的概念与性质
1.定积分的定义
2.定积分的性质
3.变上限函数及其导数
4.牛顿—莱布尼茨公式
5.换元积分公式与分部积分公式
6.广义积分
题型
题型I 利用定积分定义求极限
题型II比较定积分的大小
题型III利用积分估值定理解题
题型IV关于积分上限函数以及牛顿—莱布尼茨公式问题
题型V定积分的计算
题型VI 积分等式证明 题型VII 积分不等式证明 题型VIII 广义积分的计算
自测题五
1.根据极限计算定积分
2.根据定积分求导
3.求极限
4.求下列定积分
5.证明题
4月21日定积分练习题
基础题：
一．选择题、填空题
1．将和式的极限)0(.......321lim
1
>+++++∞→p n n P p
p p p n 表示成定积分
（ ）
A ．dx x ?1
01 B ．dx x p ?10 C ．dx x p ?10)1( D ．dx n
x p
?10)(
2．将和式)21
.........2111(lim n
n n n +++++∞→表示为定积分 ．
3．下列等于1的积分是
（ ）
A ．
dx x ?
1
B ．dx x ?+1
)1(
C ．dx ?
1
1
D ．
dx ?1
021
4．dx x |4|1
02
?
-=
（ ）
A ．
321 B ．322 C ．3
23 D ．
3
25 5．曲线]2
3
,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积
（ ）
A ．4
B ．2
C ．2
5
D ．3
6．
dx e e
x x
?-+1
)(=
（ ）
A ．e e 1+
B ．2e
C ．e 2
D ．e e 1- 7.若10x
m e dx =?，11e n dx x
=?，则m 与n 的大小关系是（ ）
A ．m n >
B ．m n <
C ．m n =
D ．无法确定
8. 按万有引力定律，两质点间的吸引力2
2
1r
m m k
F =，k 为常数，21,m m 为两质点的质量，r 为两点间距离，若两质点起始距离为a ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为b 处，试求所作之功（b >a ） ．
9．由曲线2
1y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ①
1
21
(1)x dx --?
；②121
(1)x dx --?；③120
2(1)x dx -?；④0
21
2(1)x dx --?．
则S 等于（ ） A ．①③ B ．③④ C ．②③ D ．②④
10.0
(sin cos sin )x
y t t t dt =+?
，则y 的最大值是（ ）
A ．1
B ．2
C ．7
2
-
D ．0
11. 若()f x 是一次函数，且1
()5f x dx =?
，1
017
()6xf x dx =?，那么21()f x dx x
?的值是
．
12．???????=≠?=0
,0,)()(2
x c
x x dt t tf x F x
,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ）
。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .
13．???????=≠?=0
,0,)()(2
x c
x x dt t tf x F x
,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （ ）
。 (A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .
14．设0)(=?b
a dx x f 且)(x f 在],[
b a 连续，则（ ）。
(A).0)(≡x f ;
(B).必存在x 使0)(=x f ；
(C).存在唯一的一点x 使0)(=x f ； (D).不一定存在点x 使 0)(=x f 。
15．设??
???
π<≤π=其余0x 3x
sin )x (f ，则=?π0
2cos )(xdx x f ( ) （A ）
4
3 （B ）4
3-
（C ）1 （D ）－1
16．?20
2sin π
dx x dx d =________ 17. 定积分 dx x x ?
-π
3sin sin 等于_______ 18. 定积分
dx x x ?
-π0
3cos cos 等于( )
（A ） 0 （B ）
2
3
（C ） 3
4 （D ） 34
-
19. 定积分
?
-2
|cos sin |π
dx x x 等于( )
（A ） 0 （B ） 1
（C ） 12+ （D ） )12(2- 20.定积分
dx x x ?
-2
2
23}1,,max {等于( )
（A ） 0 （B ） 4 （C ）
316 （D ）12
97 21.设,2arcsin )(,)1ln()(2
02
dt t x g dt t x f x x ??=+=
则当0→x 时,)(x f 是)(x g 的( ) (A) 同阶无穷小,但不等价 (B) 等价无穷小 (C) 低价无穷小 (D) 高价无穷小
22. ?
-=x
t
tdt e x F 0
,cos )(则)(x F 在],0[π上有( )
(A) )2(πF 为极大值,)0(F 为最小值
(B) )2(πF 为极大值,但无最小值 (C) )2(πF 为极小值,但无极大值 (D) )2
(π
F 为最小值,)0(F 为最大值 综合题：
1
1
2
52
2
2
(1)(2)ln(1)(3)(cos )2
x dx x dx
x x x dx x x -+---?
??
2
30
22
2
2220
2
(4)(5)(32)
(6)tan [sin 2ln((7)e dx x x x x x dx
π
π-+-++?
??
2
1
2
(8)()[0,2](2)1'(2)0()4''(2)f x f f f x dx x f x dx
===?
?已知函数在上二阶可导，且：，及
，求：
3212
131
1
2
arctan (9)(10)(11)x x
x
dx dx x
e e +∞
+∞
+-+?
?
?
1
210
1
(12)(1)
x dx --?
2
sin (13)lim(
)x
x tdt x
x
→+
??求极限
22222
lim(
...)12n n n n n n n n
→∞
++++++(14)用定积分定义计算极限： 2
3
30
(15)()ln 40:
x
t dy
y y x x e dt y dx
-=-++=?设隐函数由方程所确定，求 220
2
(1)0(16)(),()00
'(0).
x t e dt x f x A f x x x A x f ?-?≠==??
=??设问当为何值时，在点
处可导，并求出
4
20
(17)()cos 2(),():()f x x f x dx f x f x π
=+?设其中为连续函数，试求
2
410(18)lim()x x x a
a x a xe dx a a x +∞-→-=+?设正整数，且满足关系，试求的值。
4月22日定积分练习题
基础题：
1．积分中值定理?-=b
a a
b f dx x f ))(()(ξ，其中（ ）。
(A) ξ是],[b a 内任一点；
(B). ξ是],[b a 内必定存在的某一点； (C). ξ是],[b a 内唯一的某一点；
(D). ξ是],[b a 的中点。
2.
=-+?
-11
21)1(dx x x ( )
（A ）π
（B ）
2
π
（C ）π2
（D ）
4
π 3. 设]1,0[C f ∈，且2)(10
=?
dx x f ，则=?20
22sin )(cos π
xdx x f ( )
（A ）2
（B ）3
（C ）4 （D ）1
4. 设)(x f 在],[b a 上连续，且?
=b
a
dx x f 0)(，则（ ）。
（A ）在],[b a 的某个子区间上，0)(=x f ；
（B ）在],[b a 上，0)(≡x f ；
（C ）在],[b a 内至少有一点c ，0)(=c f ；
（D ）在],[b a 内不一定有x ，使0)(=x f 。
5.
dx x x x ?
+-2
232=( )
(A) )22(154
+ (B) )22(15
4+-
(C)
52
8324- (D)5
2
8324+-
6. ?+x
x
dt t dx d
ln 2)1ln(=( )
(A)
)21ln(2)ln 1ln(1
x x x +-+ (B) )21ln()ln 1ln(1
x x x
+-+
(C) )21ln()ln 1ln(x x +-+ (D))21ln(2)ln 1ln(x x +-+
7. ?????????>=<-=?x
x dt t x x x x x
x f 0
2
20
cos 101
)cos 1(2
)(,则)(x f 在0=x 点( ) (A) 连续,但不可导
(B) 可导,但导函数不连续 (C) 不连续 (D) 导函数连续
=+?-1
11dx e e x x
( )
(A) 1-
(B) e e
+-11 (C) e
e
-+11
(D) 1- 填空、选择题
8
72200
(1)sin _______,
cos _______,
xdx xdx π
π
==??
0221
10
1
20051sin (2)lim
______;
ln(1)
(3)2_______;
(4)(1)_______;
(5)_______;
(6)()()sin ()()______;(7)(1)()______;
(8x
x x
x x t tdt
x x x dx y t t dt f x f x x f x dx f x x x e e dx π
π→----=+-==-==+=+-=????
??曲线的上凸区间是设是连续函数，且
，则：1
)lim ln(1_______;x
x dt =
2
2
(9)(1)_______;
1(10)()[,]()()()(,)___()0()1()2()3
x t x x
a
b
y t e dt f x a b F x f t dt dt f t a b A B C D =-=+???
设函数的极大值点为设正值函数在上连续，则函数在上至少有个根
2
400(11)(),______;4()16()8()4()2
x
x f t dt f dx A B C D ==??则：
2
2
11
1
(12)_______311()()()()222
(13)________
()0()
()
()2
4
dx x A B C D dx A B C D π
π
-∞=--=-?
?不存在
发散
4月23日定积分练习题
一．计算下列定积分的值 （1）?
--3
1
2
)4(dx x x ；（2）?-2
1
5
)1(dx x ； （3）dx x x ?+20
)sin (π
；（4）dx x ?-
22
2cos π
π；
（5）π
2
20
cos 2d θ
θ?
（6）?+10)32(dx x ； （7）?+-1
022
11dx x x ； （8）?2ln e e x x dx ；
（9）?--1
02dx e e x x ； （10）?302tan π
xdx （11）?+94;)1(dx x x （12）?+40;1x
dx
（13）?e
e
dx x x 12)(ln 1 （14）?205;2sin cos πxdx x （15）?20;sin π
xdx e x （16）?+-102/32;)1(x x dx
（17）
?
+20
2;sin 1cos π
dx x
x （18）?-+10;x x e e dx
二．求下列极限：
（1）?→x x dt t x 02
0;cos 1lim （2）.)(0
22
02
2
lim dt
e dt e x t x
t x ?
?∞→
三．利用定积分求极限
（1）;)(1)2(1)1(122
2lim ?????
?++++++∞→n n n n n n Λ
（2）);21
)2(111(
2
22lim n
n n n n +++++∞
→Λ
四．证明题
1'()(,)(()'())()()x
a d f x x t f t dt f x f a dx
-∞+∞-=-?（）设在上连续，证明：。
33
2200sin cos 2:,sin cos sin cos x x
dx dx x x x x
π
π=++??（）证明并求出积分值。
12120(3)()[0,]()0,()cos 0(0,),,()()0
()(),(0,),x
f x f x dx f x xdx f f F x f t dt x Rolle ππ
ππξξξξπ=====∈???设函数在上连续，且试证明在内至少
存在两个不同的点使（作辅助函数再使用积分中值定理和定理）
1
20
4()[0,1](1)2(),01()
'()(f x f xf x dx f f Rolle ξξξξ
=∈=-
?（）设在上可导，且满足证明：必存在点（，），
使得利用积分中值定理和定理证明）
4月24日定积分练习题
一、填空题：
1. 如果在区间[,]a b 上, ()1f x ≡,则()b a
f x dx =?
.
2.
10
(23)x dx +=?
.
3. 设20()sin x f x t dt =?,则()f x '= .
4. 设2
1
cos ()t x
f x e dt -=?
,则()f x '= .
5.
250
cos sin x xdx π=?
6.
2122
sin n xdx π
π--
=? . 7.
31
1
dx x
+∞=?
. 8. 比较大小,
32
1
x dx ?
331
x dx ?
.
9. 由曲线sin y x =与x 轴,在区间[0,]π上所围成的曲边梯形的面积为 . 10. 曲线2
y x =在区间[0,1]上的弧长为 . 二、选择题：
1. 设函数 f(x)仅在区间[0，4]上可积，则必有
?
3
)(dx x f =[ ]
A ．+?2
0)(dx x f ?3
2
)(dx x f B ．+
?-1
)(dx x f ?
-3
1)(dx x f C ．+
?
5
0)(dx x f ?
3
5
)(dx x f D ．+
?10
)(dx x f ?
3
10
)(dx x f
2.设I 1=
?
1
xdx ，I 2=?2
1
2dx x ，则[ ]
A ． I 1≥I 2
B ．I 1>I 2
C ．I 1≤I 2
D ．I 1
(1)(2)0x
dy
y t t dt x dx
=
--==?
则
A ．2
B ．-2
C ．0
D ．1 4.
[]0
(23)2,a
x x dx a -==?
则
A ．2
B ．-1
C ．0
D ．1
5. 设f （x ）=???≤>)
0()
0(2x x x x 则?-11
)(dx x f =[ ]
A ．2?
-0
1
xdx B ．2?1
2dx x
C ．
?102
dx x
+?-01
xdx D ．+
?1
xdx ?
-0
1
2dx x
6. []20
2
sin lim
x
x t dt x →=?
A ．
21 B ．3
1
C ．0
D ．1 7. ?
-=x
t
tdt e x F 0
,cos )(则)(x F 在],0[π上有( )
(E) )2(πF 为极大值,)0(F 为最小值
(F) )2(πF 为极大值,但无最小值 (G) )2
(π
F 为极小值,但无极大值 (H) )2
(π
F 为最小值,)0(F 为最大值
8. 设方程组??
???==??t
x tdt y tdt
x 00
cos sin 确定了y 是x 的函数，则=dx dy （ ） (A)t cot (B)t tan (C)t sin (D)t cos 9. 设)(x f 是区间[]b a ,上的连续函数，且3)(2
1
2-=?
-x dt t f x ，则=)2(f （ ）
(A) 2 (B) -2
(C) 41
(D)4
1-
10. 定积分
dx x x ?++1
021)
1ln( =（ ）
（A ） 1 （B ）
2π
（C ） 2ln （D ） 2ln 8
π
11. 定积分 dx e x
x ?--+4
4
21tan π
π =（ ）
（A ）
21 （B ） 2
41π
+ （C ） 2
1π+
（D ） 4
1π
-
12.下述结论错误的是 （ ）
(A ) dx x x ?+∞
+0
21 发散 ( B ) dx x ?+∞+0
211收敛
(C ) 012=?+∞+∞-dx x x ( D ) dx x
x ?+∞
+∞-21发散
13. 设函数 ],[b a R f ∈， 则极限 ?+∞
→π
|sin |)(lim
dx nx x f n 等于（ ）
（A ） ?
π
)(2dx x f （B ）
?π
π
)(2
dx x f
（C ）
?π
π
)(1
dx x f （D ） 不存在
14. 设)(x f 为连续函数，且满足
12
)(2
-+-=--?
x x
e x dt x t
f ，则=)(x f （ ）。
（A ）x
e
x ---
（B ）x e x + （C ）x
e
x -+-
（D ）x e x -
15. 设正定函数),[b a C f ∈，?
?
+=x b
x a
dt x f dt t f x F )
(1
)()(，则0)(=x F 在 ),(b a 内根的个数为 ( )
（A ）0 （B ）1 （C ）2
（D ）3
16.定积分的定义为
∑?
=→?=n
i i i b
a
x f dx x f 1
)(lim )(ξλ，以下哪些任意性是错误的( )
(A) 随然要求当0max →?=i i
x λ时，
i
i
i
x f ?∑)(ξ的极限存在且有限，但极限值仍是
任意的。
(B) 积分区间],[b a 所分成的分数n 是任意的。
(C) 对给定的份数n ，如何将],[b a 分成n 份的分法也是任意的，即除区间端点
n x b x a ==,0外，各个分点121-<< (D) 对指定的一组分点，各个],[1i i i x x -∈ξ的取法也是任意的。 17. ?+x x dt t dx d ln 2)1ln(=( ) (D) )21ln(2)ln 1ln(1 x x x +-+ (E) )21ln()ln 1ln(1 x x x +-+ (F) )21ln()ln 1ln(x x +-+ (D))21ln(2)ln 1ln(x x +-+ 18. ()1(21 2=+?dt t t dx d x ） (A ) x x +12 (B ) 212-+x x (C ) 241x x + ( D ) 2 512x x + 三．计算题： 1. 20 x d dx ? 2. 20sin xdx π? 3. 1? 4. 2 2 2 00 20 ()lim x t x x t e dt te dt →?? 5. (0)a a >? 6. 4 1 ? 7. 212 t te dt -? 8. 10 ? 不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则： 不定积分单元测试题https://www.doczj.com/doc/694537051.html,work Information Technology Company.2020YEAR 不定积分单元测试题 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题2分，总计 20 分 ） 1、设12(),()F x F x 是区间I 内连续函数()f x 的两个不同的原函数，且()0f x ≠,则在区间I 内必有（ ） （A ）12()()F x F x C -=； （B ）12()()F x F x C ?=； （C ）12()()F x CF x =； （D ）12()()F x F x C += 2、若()(),F x f x '=则()dF x ?=（ ） （A ）()f x ； （B ）()F x ； （C ）()f x C +； （D ）()F x C + 3、()f x 在某区间内具备了条件（ ）就可保证它的原函数一定存在 （A ）有极限存在； （B ）连续； （C ）有界； （D ）有有限个间断点 4、函数2()(||)f x x x =+的一个原函数()F x = ( ) （A ）343 x ； （B ）243x x ； （C)222()3x x x +； （D ）22()3 x x x + 5、已知一个函数的导数为2y x '=，12x y ==且时,这个函数是（ ） （A ）2;y x C =+ （B ）2 1;y x =+ （C ）2 2x y C =+; （D ）1y x =+. 6、下列积分能用初等函数表出的是（ ） （A ） 2x e dx -?； （B ） （C ）1ln dx x ?； （D ）ln x dx x ?. 7、2ln x dx x =?（ ） （A ）11ln x C x x ++; （B ）11ln x C x x --+; 不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx 上海应用技术学院2007—2008学年第一学期 《 高等数学 》定积分及其应用试卷 班级： 姓名： 学号： 分数： 我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。 试卷共 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。 一、选择题： 21 1()[,]()[,]______()()()()()()()[,]____()()()()3()(),1,2[b a f x a b f x a b B A B C D f x dx f b a a b B A B C D f x dx y f x x x x ξξ-=-==-=??、函数在闭区间上连续是在上可积的必要条件 充分条件 充分必要条件既非充分也非必要条件 2、积分中值定理中是上任意一点必存在的某一点唯一的某点中点 、已知积分表示曲线及轴围成的平面图形面积， 则在01 1,2]()______()0 ()0 ()()421_______11()1 ()0 ()() 2 2 f x A A B C D x dx D A B C D --+=- ?上有大于小于连续 可导 、 2 1212121212 2 2 2 25ln ,ln (0),_______()(),()(),6()(),()lim ()_____()()() ()0 ()70()(x x e e x a x a I tdt I t dt x A A x e I I B x e I I C x e I I D x e I I x f x f t dt f x F x B x a A a B a f a C D x f x x →= = >><≠<<<≠≥=-→=-? ? ?、则仅当时，对一切有仅当时，对一切有、设其中为连续函数，则等于不存在 、若已知时，22 )()(0)_____11()1 () ()1 ()2 2 x t t dt x B A B C D ??=-- ? 的导数与等价，则 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 选修2-2第一章单元测试 (一) 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．函数f (x )＝x ·sin x 的导数为( ) A ．f ′(x )＝2x ·sin x ＋x ·cos x B ．f ′(x )＝2x ·sin x －x ·cos x C ．f ′(x )＝sin x 2x ＋x ·cos x D ．f ′(x )＝sin x 2x －x ·cos x 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e C.ln22 D ．ln2 4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．2 5.图中由函数y ＝f (x )的图象与x 轴围成的 阴影部分的面积，用定积分可表示为( ) A. ???-3 3f (x )d x B.??13f (x )d x ＋??1－3f (x )d x C. ???-31f (x )d x D. ???-3 1f (x )d x －??13f (x )d x 6．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，给出下面四个判断： ①f(x)在区间[－2，－1]上是增函数； ②x＝－1是f(x)的极小值点； ③f(x)在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x＝2是f(x)的极小值点． 其中，所有正确判断的序号是() A．①②B．②③C．③④D．①②③④ 7．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是() A．0≤a≤21 B．a＝0或a＝7 C．a<0或a>21 D．a＝0或a＝21 8．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q，则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)() A．30元B．60元C．28 000元D．23 000元 9．函数f(x)＝－x e x(a 题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ）)(2 122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 （2小题，共5分） 得分 阅卷人 重庆大学 高等数学Ⅱ-1-2 课程试卷 juan 2012 ~2013 学年 第 1学期 开课学院： 数学 课程号： 10019565 考试日期： 20121215 考试方式： 考试时间： 120 分钟 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若lim ()x f x k →∞ '=，则lim[()()]x f x a f a →∞ +-为【A 】 A ．ka B ．k C ．a D ．不存在 2.若()x f x e -=，则(ln ) f x dx x '=? 【A 】 A ．1c x + B ．1 c x -+ C ．x c + D ．x c -+ 3.曲线221 x x y x +=-渐近线的条数为【C 】 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4.极限2 lim ln ()() x x x x a x b →+∞=-+【C 】 A ． 0 B ．1 C ．a b - D ．b a - 5.设曲线2 x y e -=，则其拐点的个数为【B 】 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.设ln sin y x =，在5[ ,]66 ππ 上满足罗尔中值定理中的ξ= 2 π 2. = ln(x c ++ 3.若()f x 的一个原函数为 tan x x ，则()xf x dx '=? 2 2t a n s e c x x c x -+ 4.极限011lim ln(1)x x x →??-=? ?+? ? 1 2 5.曲线2 ()sin()f x x =，则(6) (0)f = 120- 解法1：2()sin(),(0)0f x x f == 2()2cos(),(0)0f x x x f ''== 22222()2cos 4sin 2cos 4(),(0)2f x x x x x x f x f ''''=-=-= 222()4sin 8()4()12()4(),(0)0f x x x xf x x f x xf x x f x f ''''''''=---=--= (4)2()12()12()8()4()f x f x xf x xf x x f x ''''=---- 212()20()4()f x xf x x f x '''=--- (5)2()12()20()20()8()4()f x f x f x xf x xf x x f x '''''''''=----- 232()28()4()f x xf x x f x ''''''=--- (6)2(4)()32()28()28()8()4()f x f x f x xf x xf x x f x ''''''''''=----- 2(4)60()36()4()f x xf x x f x '''''=--- .(6) (0)120f =- 解法2：35 11sin 3!5!x x x x =- ++ 2261011 ()sin 3!5! f x x x x x ==-++ (6)1 (0)6!1203! f =-?=- 三、计算题（一）（每小题8分，共24分） 命 题人： 组 题人： 审题人： 命题时间： 教 务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密 上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 高等数学第四章不定积分测试题2套（附答案） 一、选择题（每小题4分，共20分） 1、已知函数2(1)x +为()f x 的一个原函数，则下列函数中是()f x 的原函数的是 [ ] (A) 21x - (B) 21x + (C) 22x x - (D) 22x x + 2、已知 ()sin x x e f x dx e x C =+?，则()f x dx ?= [ ] (A) sin x C + (B) cos x C + (C) cos sin x x C -++ (D) cos sin x x C ++ 3、若函数 ln x x 为()f x 的一个原函数，则不定积分()xf x dx '?= [ ] (A) 1ln x C x -+ (B) 1ln x C x ++ (C) 12ln x C x -+ (D) 12ln x C x ++ 4、已知函数()f x 在(,)-∞+∞内可导，且恒有()f x '=0，又有(1)1f -=，则函数 ()f x = [ ] (A) -1 (B) -1 (C) 0 (D) x 5、若函数()f x 的一个原函数为ln x ，则一阶导数()f x '= [ ] (A) 1x (B) 21 x - (C) ln x (D) ln x x 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、函数2x 为 的一个原函数. 2、已知一阶导数 (())f x dx '=? ，则(1)f '= 3、若()arctan xf x dx x C =+?，则 1 () dx f x ? = 4、已知()f x 二阶导数()f x ''连续，则不定积分()xf x dx ''? = 5、不定积分cos cos ()x xd e ? = 三、解答题 1、（7分）计算 22(1)dx x x +?. 2、（7分）计算 1x dx e +?. 3、（7分）计算 321 x dx x +?. 4、（7分）计算 254 dx x x ++? . 5、（8分）计算 . 6、（7分）计算 2 3x x e dx ?. 7、（8分）已知222 (sin )cos tan 01f x x x x '=+<< ，求()f x . 8、（9分）计算 cos ax I e bxdx =? . 高中数学选修第一章导 数测试题 Document number：PBGCG-0857-BTDO-0089-PTT1998 选修2-2第一章单元测试 (一) 时间：120分钟 总分：150分 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．函数f (x )＝x ·sin x 的导数为( ) A ．f ′(x )＝2x ·sin x ＋x ·cos x B ．f ′(x )＝2x ·sin x －x ·cos x C ．f ′(x )＝sin x 2x ＋x ·cos x D ．f ′(x )＝sin x 2x －x ·cos x 2．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－1 D ．a ＝－1，b ＝－1 3．设f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．e D ．ln2 4．已知f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，则f ′(0)等于( ) A ．0 B ．－4 C ．－2 D ．2 5.图中由函数y ＝f (x )的图象与x 轴围成的阴影部分的面积，用定积分可表示为( ) A. ???-33 f (x )d x f (x )d x ＋??1－3f (x )d x C. ???-31f (x )d x D. ???-3 1f (x )d x －??13f (x )d x 6．如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，给出下面四个判断： ①f (x )在区间[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点； ③f (x )在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点． 其中，所有正确判断的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①②③④ 7．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( ) A ．0≤a ≤21 B ．a ＝0或a ＝7 C ．a <0或a >21 D ．a ＝0或a ＝21 8．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P 元，销售量为Q ，则销量Q (单位：件)与零售价P (单位：元)有如下关系：Q ＝8 300－170P －P 2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)( ) A ．30元 B ．60元 C ．28 000元 D ．23 000元 9．函数f (x )＝－x e x (a f (b ) D ．f (a )，f (b )大小关系不能确定 10．函数f (x )＝－x 3＋x 2＋x －2的零点个数及分布情况为( ) A ．一个零点，在? ? ???－∞，－13内 题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 （8小题，共26分） 得分 阅卷人 1． 4)(2 x dt t f x =? ，则=?dx x f x 40)(1（ ） A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2．设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续，则函数dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有（ ）个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3． =+? dx x x 3 1 ( ) A ．18 B ． 3 8 C ． 1 D ．0 4．设 )(x ?''在[b a ,]上连续，且a b =')(?，b a =')(?，则 ?='''b a dx x x )()(??（ ） （A ）b a - （B ）21(b a -) （C ）)(2 1 22b a + （D ） )(2122 b a - 5． 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、 3 2 3xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 2 3xdx --? 6．sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ，上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7．2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 ． 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数，且已知，，则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、 1 2 导数与定积分测试卷 一、 选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1.曲线2)(3 -+=x x x f 在点P 处的切线平行于直线14-=x y ，则点P 的坐标为（ ） )0,1.(A )8,2.(B )0,1.(C 和)4,1(-- )8,2.(D 和)4,1(-- 2.若2)(0'-=x f ，则=--+→h h x f h x f h ) ()(000 lim （ ） 2.-A 4.-B 6.-C 8.-D 3.函数13)(3 +-=x x x f 在]0,3[-上的最大、最小值分别是（ ） 1,1.-A 17,1.-B 17,3.-C 19,3.-D 4.若函数b bx x x f 33)(3 +-=在)1,0(内有极小值，则b 的取值范围是（ ） 10.<b C 2 1.< b D 5.由曲线x x f = )(和3 )(x x g =所围成图形的面积可用定积分表示为（ ） dx x dx x A ? ? + 1 3 1 . dx x dx x B ? ?- 1 1 03 . dx x dx x C ? ? - - 1 1 3 . dx x dx x D ? ? - 1 3 1 . 6.设))(()(),...,()(),()(,sin )('1'12'010N n x f x f x f x f x f x f x x f n n ∈====+，则=)(2011x f （ ） x A sin . x B sin .- x C cos . x D cos .- 7.设653 1)(2 3+++= x ax x x f 在区间]3,1[上为单调函数，则实数a 的取值范围为（ ） ),5.[+∞- A ]3,.(--∞ B ),5[]3,.(+∞- ?--∞C ]5, 5.[- D 8.已知函数2 2 3 )(a bx ax x x f +++=在1=x 处有极值10，则b a +的值为（ ） 07.或-A 16-.或B 0.C 7.-D 9.设)100)...(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则=)1(' f （ ） 99.-A ！ 100.-B ！ 100.C ！ 0.D 10.由曲线1,2,===y x e y x 围成的区域的面积为（ ） e e A -2 . 1.2 --e e B 3.2 -e C e D -3. 一. 单项选择题 1 ( D ); (A) (B) (C) (D) 2 设 的一个原函数是，则（ ） (A) (B) (C) (D) 3 ，则（ ） (A) (B) (C) (D) 4 ( ); (A) (B) (C) (D) 5下列等式中正确的是 ( ); (A) (B) (C) (D) 6 ( ) (A) (B) (C) (D) 7 设且，则（ ） (A) (B) (C) (D) 8 设存在，则下式不正确的是( ) =?)(arcsin x d x sin C x +sin x arcsin C x +arcsin x x f 2tan 3 4 )(-=)2ln(cos x k ?=k 32- 3234-3 4C x x dx x f +=?ln )(=)(x f 1ln +x x x +ln 1ln +x x x x x +ln ?=xdx dx d cot x 2sec x tan x sec ln x cot 2 3 x dx x C =+?3 44x dx x C ---=+?sin cos xdx x C =-+?33x x dx C =+? 1 12dx x =-?ln |12|x C -+1 ln |12|2 x C - -+2 1 (12)C x +-1ln |12|2x --2 /11)(x x F -= 2 3)1(π = F =)(x F 2 arcsin π + x π+x arcsin 2 12π + -x π+-21x )(/ x f (A) (B) (C) (D) 9若 ,则( ) (A) (B) (C) (D) 10 已知是的一个原函数，则( A ) （A ） (B) (C) (D) 二, 求下列不定积分 １） ２） ３） ４） ５） ６） ７） ８） 9） 10） 11） 12） 13） 14） 15） 16） )()(/x f dx x f ?=? +=c x f dx x f dx d )()(c x f dx x f +=? )2()2(/? =)2()2(x f dx x f dx d ? +=c e x dx x f x 22)(=)(x f x xe 22x e x 222x xe 2)1(22x xe x +x x +2 )(x f =? dx x xf )(/ c x +2 x x 21323+343 1 41x x +c x +22?2x dx ?x x dx 2dx x ?-2)2(dx x x ?+22 1??-?dx x x x 32532dx x x x ?22sin cos 2cos ?-++dx x x x 103322dx x x ?+33 dx x ?-3 )23(?-3 32x dx dt t t ? sin ?-+x x e e dx dx x x )cos(2?dx x x ?-4313dx x x ?3cos sin dx x ?3cos 不定积分-定积分复习题及答案-精品 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则() f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx = ? ，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 二、填空题：（每小格3分，共30分） 定积分单元测试题 一、填空题 1、 dx x ? +4 1 1=___________。 2、广义积分43 x dx - +∞ =? 3、________1 1 02=+?dx x x 。 4、()________1202 =-?dx x 。 5、设 ()32 1 2-=? -x dt t f x ，则()=2f 。6、=+? 3 1 ln 1e x x dx 。 7、()=?? ????++++??-dx x x x x x π πcos 113sin 222 4 。8、x dt t x x ?→0 20cos lim =____________ 9、12 12|| 1x x dx x -+=+? 。 10、= -?dx x 201. 11、2 22sin 1cos x x dx xdx π π-+=+? 12、已知()2 cos ,x F x t dt =?则()F x '= 13、已知()2 x t x F x te dt -=?，则()F x '= 二、单项选择 1、若连续函数 ()x f 满足关系式()2ln 220+?? ? ??=?x dt t f x f ，则()x f 等于（ ）。 （A ）2ln x e ； （B ） 2ln 2x e ； （C ） 2ln +x e ； （D ） 2ln 2+x e 。 2、设 )(x f 连续，则=-?x dt t x tf dx d 0 22)(（ ） （A ）)(2x xf ； （B ）)(2x xf -； （C ）)(22x xf ； （D ）)(22x xf -。 3、设 )(x f 是连续函数，且?+=10 )(2)(dt t f x x f ，则)(x f =（ ） （A ）1-x ； （B ）1+x ； （Ｃ）1+-x ； （D ）1--x 。 4、设()()x a x F x f t dt x a = -?，其中()f x 为连续函数，则lim ()x a F x →=（ ） （A ）a （B ）)(a af （C ）)(a f （D ）0 5、 =?dt e dx d b x t 2( ) (A)2x e (B)2x e - (C)22x b e e - (D)2 2x xe - 6、=-+?→x dt t x x cos 1)1ln(lim 2sin 0 ( ) (A)8 (B)4 (C)2 (D)1 7、反常积分收敛的是( ) 不定积分练习题 一、选择题、填空题： 1、 ((1—sin 2 X )dx = 2 ------------- 2、 若 e x 是f (x)的原函数，贝x 2f(lnx)dx = ________ 3、sin (I n x)dx 二 __ 12、若 F '(x)工 f(x), ? '(x)工 f (x),则 f(x)dx = _______________________________________________ (A)F(x) (B) ： (x) (C) ： (x) - c (D)F(x) (x) c 13、下列各式中正确的是： (A) d[ f(x)dx]二 f(x) (B) —[ f(x)dxp f(x)dx dx L (C) df(x)二 f(x) (D) df(x)二 f(x) c 14、设 f(x)=e ：则： f(lnx) dx = _____________ 2 已知e 公是f (x)的一个原函数，贝V f (tan x)sec xdx 二__ 在积分曲线族(卑中，过(1,1点的积分曲线是y=_ 'x\!x F'(x)= f (x),贝》J f'(ax+b)dx = ________ ; 设 [f (x)dx =丄 + c ，贝叮 "号)dx = _________ ; e 「dx= ____ ; "f(x) f '(ln x) =1 x,则f (x)二 ______ ; 10、 若 f (x)在(a, b)内连续，则在(a, b)内 f (x) ___ ; (A)必有导函数 (B)必有原函数 (C)必有界(D)必有极限 11、 ______________________________________________ 若 Jxf (x)dx = xs in x — [sin xdx,贝 V f (x) = ________ ; 4、 5、 6、 7、 9、 设 xf (x)dx =arcsin x c,贝V 不定积分练习题 2 11sin )_________ 2x dx -=?一、选择题、填空题： 、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin(ln )______x dx =?、 2 224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______()x x x e f x f x xdx y F x f x f ax b dx f e f x dx c dx x e xf x dx x c dx f x --===+==+==+=??????、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族点的积分曲线是、则、设则、设则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κ??=+==-====???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]()()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx dx C df x f x D df x f x c ====+????、下列各式中正确的是： (ln ) 14(),_______11 () ()ln ()()ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+?、设则： 精品文档 高等数学单元测试6——定积分及应用 第一卷 基础练习 一、选择题（每小题3分，共30分） 1、 函数在上可积的必要条件是在上 A 有界 B 无界 C 单调 D 连续 2、 设()x f 在[]b a ,上可积，下列各式中不正确的是 A ()()dt t f dx x f b a b a ?? = B ()()dx x f dx x f a a b a ?? = C ()()dx x f dx x f a a b b ??= D ()()dt t f dx x f a b b a ??-= 3、下列积分中可以用牛顿—莱布尼兹公式计算的是 A dx x x ?+5 023 1 B dx x x ? --1 1 2 1 C dx x x ? -4 2 2 3) 5( D dx x x e e ?1ln 1 4、设 ()x x a dt t f 20 =?，则()x f 等于A x a 22 B a a x ln 2 C 122-x xa D a a x ln 22 5、积分上限函数 ()dt t f x a ?是 A 常数 B 函数()x f C ()x f 的一个原函数 D ()x f 的全体原函数 6、设()x f 为连续函数，则积分dt t t f t n n ?? ? ??+??? ? ?- ?11112等于 A 0 B 1 C n D n 1 7、=? 1 arccos x dx A ?0 2 πx dx B ?2 sin π dx x x C dx x x ?0 2 sin π D ?2 cos π dx x x 8、设()x f '在[]2,1上可积，且()11=f ，()12=f ， ()12 1 -=?dx x f ，则()='?dx x f x 2 1 A 2 B 1 C 0 D -1 9、设函数()x f '在[]b a ,上连续，则曲线()x f y =与直线0,,===y b x a x 所围成的平面图形的面积等于 A ()dx x f b a ? B ()?b a dx x f C ()dx x f b a ? D {}()()b a a b f <<-'ξξ 10、广义积分 ?∞ -0 dx e kx 收敛，则k A 0>k B 0≥k C 0不定积分练习题及答案
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