选修4－1几何证明选讲
第一节相似三角形的判定及有关性质
[考情展望] 1.理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理.2.会证明和应用直角三角形射影定理．
1．平行线等分线段定理
(1)定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
(2)推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
(3)推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
2．平行线分线段成比例定理
(1)定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
3．相似三角形的判定
(1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．
(2)预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．
(3)判定
定理1：两角对应相等，两三角形相似．
定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
定理3：三边对应成比例，两三角形相似．
4．相似三角形的性质
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
(2)相似三角形周长的比等于相似比．
(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方．
(4)相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．
5．直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项.
考向一 平行线分线段成比例定理
如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF 经过梯形对角线的交点
O ，且EF ∥AD .
图1
(1)求证：OE ＝OF .
(2)求OE AD ＋OE BC 的值．
【解】 (1)证明：∵EF ∥AD ，AD ∥BC ，
∴EF ∥AD ∥BC ，∴OE BC ＝AE AB ，OF BC ＝DF DC .
∵EF ∥AD ∥BC ，∴AE AB ＝DF DC .
∴OE BC ＝OF BC ，∴OE ＝OF .
(2)∵OE ∥AD ，∴OE AD ＝BE AB .
由(1)知，OE BC ＝AE AB .
∴OE AD ＋OE BC ＝BE AB ＋AE AB ＝BE ＋AE AB ＝1.
规律方法1 1.利用平行线分线段成比例定理来计算或证明，首先要观察平行线组，再确定所截直线，进而确定比例线段及比例式，同时注意合比性质、等比性质的运用．
2．平行线分线段成比例定理及推论是证明两条线段相等的重要依据，特别是在应用推论时，一定要明确哪一条线段平行于三角形的一边，是否过一边的中点．
对点训练 如图2，在?ABCD 中，E 是AB 延长线上一点，DE 交AC 于G ，交BC 于F .
图2
求证：(1)DG 2＝GE ·GF ；
(2)CF CB ＝AB AE .
【证明】 (1)∵CD ∥AE ，∴DG GE ＝CG AG .
又∵AD ∥CF ，∴GF DG ＝CG AG .
∴DG GE ＝GF DG ，即DG 2＝GE ·GF .
(2)∵BF ∥AD ，∴AB AE ＝DF DE .
又∵CD∥BE，∴CF
CB＝
DF
DE.∴
CF
CB＝
AB
AE.
考向二相似三角形的判定与性质
(2015·开封模拟)如图3，在平行四边形ABCD中，过点B作BE ⊥CD，垂足为E，连结AE，F为AE上一点，且∠BFE＝∠C.
图3
(1)求证：△ABF∽△EAD；
(2)若AB＝4，∠BAE＝30°，AD＝3，求BF的长．
【解】(1)证明：∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠AED.
又∵∠BFE＝∠C，∠BFE＋∠BF A＝∠C＋∠EDA，
∴∠BF A＝∠ADE.∴△ABF∽△EAD.
(2)∵∠BAE＝30°，∴∠AEB＝60°，
∴AB
AE＝sin 60°，AE＝
4
sin 60°＝
83
3，
又BF
AD＝
AB
AE，∴BF＝
AB
AE·AD＝
33
2.
规律方法2 1.相似三角形的证明方法：(1)先找两对内角对应相等；(2)若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；(3)若无角对应相等，就要证明三边对应成比例．
2．利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时，要善于联想变换比例式，通过添加辅助线构造相似三角形，同时注意面积法的应用．
对点训练如图4，在△ABC中，AB＝AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC的延长线于点D.
图4
(1)求证：PC AC ＝PD BD
； (2)若AC ＝3，求AP ·AD 的值．
【解】 (1)证明：因为∠CPD ＝∠ABC ，∠PDC ＝∠PDC ，所以△DPC ∽△
DBA ，所以PC AB ＝PD BD .
又AB ＝AC ，所以PC AC ＝PD BD .
(2)因为∠ABC ＋∠APC ＝180°，∠ACB ＋∠ACD ＝180°，∠ABC ＝∠ACB ，所以∠ACD ＝∠APC .
又∠CAP ＝∠DAC ，所以△APC ∽△ACD ，
所以AP AC ＝AC AD .所以AP ·AD ＝AC 2＝9.
考向三 直角三角形的射影定理及其应用
如图5，Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分
∠ABC 交AC 于E ，EF ⊥BC 于F .
求证：EF ∶DF ＝BC ∶AC .
图5
【解】 ∵∠BAC ＝90°，且AD ⊥BC ，
∴由射影定理得AC 2＝CD ·BC ，∴AC CD ＝BC AC .
①
∵EF ⊥BC ，AD ⊥BC ，∴EF ∥AD ，∴AE DF ＝AC CD .
又BE 平分∠ABC ，且EA ⊥AB ，EF ⊥BC ，
∴AE ＝EF ，∴EF DF ＝AC CD .
② 由①②得EF DF ＝BC AC ，即EF ∶DF ＝BC ∶AC .
规律方法3 已知条件中含直角三角形且涉及直角三角形斜边上的高时，应首先考虑射影定理，注意射影与直角边的对应法则，根据题目中的结论分析并选择射影定理中的等式，并分清比例中项．
对点训练 如图6所示，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 是
∠ABC 的平分线，交AD 于F ，求证：DF AF ＝AE EC .
图6
【证明】 由三角形的内角平分线定理得，
在△ABD 中，DF AF ＝BD AB ，
① 在△ABC 中，AE EC ＝AB BC ，
②
在Rt △ABC 中，由射影定理知，
AB 2＝BD ·BC ，即BD AB ＝AB BC .
③ 由①②③得：DF AF ＝AE EC .
课时检测 相似三角形的判定及有关性质
(建议用时：45分钟)
1．已知△ABC 中，BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E ，BF 和CE 相交于点P ，求证：
图7
(1)△BPE ∽△CPF ；
(2)△EFP ∽△BCP .
【证明】 (1)∵BF ⊥AC 于点F ，CE ⊥AB 于点E .
∴∠BFC ＝∠CEB ＝90°，
又∵∠CPF ＝∠BPE ，∴△CPF ∽△BPE .
(2)由(1)得△CPF ∽△BPE ，∴EP BP ＝FP CP .
又∵∠EPF ＝∠BPC ，∴△EFP ∽△BCP .
2．如图8，在⊙O 中，弦CD 垂直于直径AB ，求证：CB CO ＝CD CA .
图8
【证明】 连结AD ，由同弧所对圆周角相等可得∠ADC ＝∠ABC ，
???
AB 为直径AB ⊥CD
?AD ＝AC ?∠ADC ＝∠ACD ， OB ＝OC ?∠OCB ＝∠OBC ?△CAD ∽△COB ?CB CO ＝CD CA .
3．如图9，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD ＝∠B ，若AD ＝6，AB ＝10，BD ＝8，求CD 的长．
图9
【解】 ∵BD 2＋AD 2＝82＋62＝102＝AB 2，∴∠ADB ＝90°，
又∵∠CAD ＝∠B ，∠B ＋∠BAD ＝90°，
∴∠BAD ＋∠CAD ＝90°，即∠BAC ＝90°，
由射影定理，得AD 2
＝BD ·DC ，∴CD ＝AD 2BD ＝368＝92. 4．(2015·抚顺模拟)如图10所示，⊙O 为△ABC 的外接圆，且AB ＝AC ，过点A 的直线交⊙O 于D ，交BC 的延长线于F ，DE 是BD 的延长线，连结CD .
求证：(1)∠EDF ＝∠CDF ；
(2)AB 2＝AF ·AD .
图10
【证明】 (1)∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB .
∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠CDF ＝∠ABC .
又∠ADB 与∠EDF 是对顶角，∴∠ADB ＝∠EDF .
又∠ADB ＝∠ACB ，∴∠EDF ＝∠CDF .
(2)由(1)知∠ADB ＝∠ABC .
又∵∠BAD ＝∠F AB ，∴△ADB ∽△ABF ，
∴AB AF ＝AD AB ，∴AB 2＝AF ·AD .
5．如图11所示，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，F 为AB 上任意一点，CF 交AD 于点E .求证：AE ·BF ＝2DE ·AF .
图11
【证明】 取AC 的中点M ，连结DM 交CF 于点N ，
则DM 为△ABC 的中位线，
在△BCF 中，D 是BC 的中点，DN ∥BF ，
∴DN ＝12BF ，
∵DN ∥AF ，∴△AFE ∽△DNE ，
∴AE AF ＝DE DN .
又DN ＝12BF ，∴AE AF ＝2DE BF ，
即AE ·BF ＝2DE ·AF .
6．如图12，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 交BC 于点D ，若E 是AC
的中点，ED 的延长线交AB 的延长线于F ，求证：AB AC ＝DF AF .
图12
【证明】 ∵E 是Rt △ADC 斜边AC 的中点，∴AE ＝EC ＝DE .
∴∠EDC ＝∠ECD ，又∠EDC ＝∠BDF ，∴∠EDC ＝∠C ＝∠BDF .
又AD ⊥BC 且∠BAC ＝90°，∴∠BAD ＝∠C ，
∴∠BAD ＝∠BDF ，∴△DBF ∽△ADF .
∴DB AD ＝DF AF .
又Rt △ABD ∽Rt △CBA ，因此AB AC ＝DB AD .∴AB AC ＝DF AF .
7．如图13所示，已知：在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，M 是BC 的中点，CN ⊥AM ，垂足是N ，求证：AB ·BM ＝AM ·BN .
图13
【证明】 ∵在Rt △ACM 中，CM 2＝MN ·AM ，
又∵M 是BC 的中点，即CM ＝BM ，
∴BM 2＝MN ·AM ，∴BM AM ＝MN BM ，
又∵∠BMN ＝∠AMB ，∴△AMB ∽△BMN ，
∴AB BN ＝AM BM ，∴AB ·BM ＝AM ·BN .
8．如图14所示，AD 、BE 是△ABC 的两条高，DF ⊥AB ，垂足为F ，直线FD 交BE 于点G ，交AC 的延长线于H ，求证：DF 2＝GF ·HF .
图14
【证明】 ∵∠H ＋∠BAC ＝90°，∠GBF ＋∠BAC ＝90°，
∴∠H ＝∠GBF .
∵∠AFH ＝∠GFB ＝90°，∴△AFH ∽△GFB .∴HF BF ＝AF GF ，
∴AF ·BF ＝GF ·HF .
因为在Rt △ABD 中，FD ⊥AB ，∴DF 2＝AF ·BF ，
所以DF 2＝GF ·HF .
9．(2013·江苏高考)如图15，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .求证：AC ＝2AD .
图15
【证明】 连结OD .因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，
所以∠ADO ＝∠ACB ＝90°.
又因为∠A ＝∠A ，所以Rt △ADO ∽Rt △ACB .
所以BC OD ＝AC AD .
又BC ＝2OC ＝2OD ，故AC ＝2AD .
10．如图16，已知在△ABC 中，D 是BC 边的中点，且AD ＝AC ，DE ⊥BC ，DE 与AB 相交于点E ，EC 与AD 相交于点F .
图16
(1)求证：△ABC ∽△FCD ；
(2)若S △FCD ＝5，BC ＝10，求DE 的长．
【解】 (1)证明：因为DE ⊥BC ，D 是BC 的中点，所以EB ＝EC ，
所以∠B ＝∠1.
又因为AD ＝AC ，所以∠2＝∠ACB .
所以△ABC ∽△FCD .
(2)如图，过点A 作AM ⊥BC ，垂足为点M .
因为△ABC ∽△FCD ，BC ＝2CD ，所以
S △ABC S △FCD ＝? ??
??BC CD 2＝4. 又因为S △FCD ＝5，所以S △ABC ＝20.
因为S △ABC ＝12BC ·AM ，BC ＝10，所以20＝12×10×AM ，所以AM ＝4.
因为DE ∥AM ，所以DE AM ＝BD BM .
因为DM ＝12DC ＝52，BM ＝BD ＋DM ，BD ＝12BC ＝5，
所以DE
4＝
5
5＋
5
2
，解得DE＝
8
3.
第二节直线与圆的位置关系
[考情展望] 1.会证明和应用圆周角定理；圆的切线的判定定理与性质定理.2.会证明和应用相交弦定理；圆内接四边形的性质定理与判定定理；切割线定理．
1．圆周角定理
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
2．圆心角定理及推论
定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．3．圆内接四边形的性质与判定定理
(1)圆内接四边形的性质定理
①定理1：圆的内接四边形的对角互补．
②定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
(2)圆内接四边形的判定定理及推论
①判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．
②推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
4．圆的切线的性质及判定定理
(1)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
(2)切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．5．弦切角定理
定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．6．与圆有关的比例线段
考向一 圆周角与弦切角定理的应用
(2013·课标全国卷Ⅰ)如图17，直线AB 为圆的切线，切点为B ，
点C 在圆上，∠ABC 的角平分线BE 交圆于点E ，DB 垂直BE 交圆于点D .
图17
(1)证明：DB ＝DC ；
(2)设圆的半径为1，BC ＝3，延长CE 交AB 于点F ，求△BCF 外接圆的半径．
【解】 (1)证明：如图，连结DE ，交BC 于点G .
由弦切角定理，得∠ABE ＝∠BCE ，
而∠ABE ＝∠CBE ，故∠CBE ＝∠BCE ，所以BE ＝CE .
又因为DB ⊥BE ，所以DE 为直径，∠DCE ＝90°.
由勾股定理可得DB ＝DC .
(2)由(1)知，∠CDE ＝∠BDE ，DB ＝DC ，
故DG 是BC 的中垂线，所以BG ＝32.
设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°，从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE
＝30°，所以CF⊥BF，故Rt△BCF外接圆的半径等于
3 2.
规律方法1 1.圆周角定理常用的三种转化
(1)圆周角与圆周角之间的转化．
(2)圆周角与圆心角之间的转化．
(3)弧的度数与圆心角和圆周角之间的转化．
2．圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段的长度或角的大小．
对点训练如图18，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BD＝DC，连结AC，AE，DE.求证：∠E＝∠C.
图18
【解】连结AD.
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD.
又∵BD＝DC，∴AD是线段BC的中垂线．
∴AB＝AC，∴∠B＝∠C，
又∵∠E和∠B为同弧所对的圆周角，∴∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C.
考向二圆内接四边形的判定与性质
(2015·贵阳模拟)如图19所示，D ，E 分别为△ABC 的边AB ，
AC 上的点，且不与△ABC 的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n .AD ，AB 的长是关于x 的方程x 2－14x ＋mn ＝0的两个根．
图19
(1)证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；
(2)若∠A ＝90°，且m ＝4，n ＝6，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．
【解】 (1)证明：连结DE ，根据题意在△ADE 和
△ACB 中，AD ·AB ＝mn ＝AE ·AC ，即AD AC ＝AE AB .
又∠DAE ＝∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB .因此∠
ADE ＝∠ACB .所以C ，B ，D ，E 四点共圆．
(2)m ＝4，n ＝6时，方程x 2－14x ＋mn ＝0的两根为
x 1＝2，x 2＝12.故AD ＝2，AB ＝12.
取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，
AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连结DH .因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH .
由于∠A ＝90°，故GH ∥AB ，HF ∥AC .从而HF ＝AG ＝5，DF ＝12×(12－2)
＝5.
故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为5 2.
规律方法2 1.解答本题(1)时，根据等积式得三角形相似是解题的关键，求解本题(2)时，找到圆心是解题的突破口．
2．判断四点共圆的步骤
(1)观察几何图形，找到一对对角或一外角与其内对角；(2)判断四边形的一
对对角的和是否为180°或判断四边形一外角与其内对角是否相等；(3)下结论．对点训练如图20，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B ＝60°，F在AC上，且AE＝AF.证明：
图20
(1)B，D，H，E四点共圆；
(2)CE平分∠DEF.
【证明】(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.
因为AD、CE分别是∠BAC、∠DCF的平分线，
所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.
于是∠EHD＝∠AHC＝120°.
所以∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B，D，H，E四点共圆．
(2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝
30°.
由(1)知B，D，H，E四点共圆，
所以∠CED＝∠HBD＝30°.
又∠AHE＝∠EBD＝60°，
由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°.
所以CE平分∠DEF.
考向三相交弦定理、切割线定理的应用
(2014·课标全国卷Ⅱ)如图21，P是⊙O外一点，P A是切线，A 为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2P A，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.
图21
证明：(1)BE＝EC；
(2)AD·DE＝2PB2.
【解】(1)证明：连结AB，AC.由题设知P A＝PD，故∠P AD＝∠PDA.
因为∠PDA＝∠DAC＋∠DCA，∠P AD＝∠BAD
所以∠DAC＝∠BAD，从而BE＝EC.因此BE＝
EC.
(2)由切割线定理得P A2＝PB·PC.
因为P A＝PD＝DC，所以DC＝2PB，BD＝PB.
由相交弦定理得AD·DE＝BD·DC，
所以AD·DE＝2PB2.
规律方法3 1.解决与圆有关的成比例线段问题
的两种思路
(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．
对点训练(2015·开封模拟)如图22所示，已知P A与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B，C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE
上一点，且DE2＝EF·EC.
B C D O A P 1.如图，点P 在圆O 直径AB 的延长线上， 且PB=OB=2,PC 切圆O 于C 点，CD ⊥AB 于D 点，则PC= ， CD= . 2．如图，AB 是⊙O 的直径，P 是AB 延长线上的一点，过P 作⊙O 的切线，切点为C ， ,32=PC 若∠CAP ＝30°，则⊙O 的直径AB ＝___________ 答案4 3．已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线AD 和割线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线AD 的长为 _____。 解：依题意，BC =，∴AC =5，2 AD =.AB AC =15， ∴AD =15 4．如图，PA 切O 于点A ，割线PBC 经过圆心O ，OB=PB=1, OA 绕点O 逆时针旋转60°到OD ，则PD 的长为 . 解：∵PA 切O 于点A ，B 为PO 中点，∴AB=OB=OA, ∴60AOB ∠= ,∴120POD ∠= , 在 △ POD 中 由 余 弦 定 理 ， 得 2222cos PD PO DO PO DO POD =+-?∠=1 414()72 +-? -= ∴PD 5．如图，在⊙O 中，AB 为直径，AD 为弦，过B 点的切线与AD AD=DC ，则 sin ∠ACO=_________ 解：由条件不难得ABC ?为等腰直角三角形，设圆的半径为1，则1OB =，2BC =， OC =
sin BCO ∠= = ，s co BCO ∠= ∴ sin ∠ACO=0sin(45BCO -∠）=1010 6．如图，PT 是O 的切线，切点为T ，直线PA 与O 交于A 、B 两点，TPA ∠的平分线分别交直线TA 、 TB 于D 、E 两点，已知2PT =，PB =，则PA = ， TE AD = ． ； 7．已知AB 是圆O 的直径，EF 切圆O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 长为_______. 、23； 8．已知AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD AB ⊥于点D ，且4AD DB =，设 COD θ∠=，则cos 2θ＝ ． 解：()44,AD DB OC OD OC OD =∴+=- 即35OC OD =， 22 2 37cos 22cos 12121525OD OC θθ???? =-=?-=?-=- ? ? ???? 9．如图，圆O 是 ABC ?的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =3AB BC ==。则BD 的长______________ ， AC 的长______________． 4，； 10．如图，⊙O 的直径AB =6cm ，P 是AB 延 长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ， 若CPA ∠=30°，PC = 。 解：连接OC ，PC 是⊙O 的切线，∴∠OCP=Rt ∠． ∵CPA ∠=30°，OC= 2AB =3， ∴0 3tan 30PC =，即PC= 11．如右图所示，AB 是圆O 的直径， AD DE =，10AB =，8BD =，则cos BCE ∠= ． 35 12．如图：PA 与圆O 相切于A ，PCB 为圆O 的割线， P
高中数学选修4-4，几何证明选讲相关 知识点 相似三角形的判定及有关性质 知识点1：比例线段的有关定理 平行线等分线段定理： 推论1： 推论2： 平行线等分线段成比例定理： 推论：(1) (2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边． 知识点2：相似图形 1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形. 叫做相似比（或相似系数） 2、相似三角形的判定方法 预备定理：平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例． 定理的基本图形语言：
数学符号语言表述是：BC DE // ∴ADE ∽ABC ． 判定定理1：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似. 判定定理2：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. 判定定理3：如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两个三角形相似. 判定定理4：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似． 三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下： 从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的“对应边相等”的条件改为“对应边成比例”就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法. 3、相似三角形的性质定理： （1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 ； （2）相似三角形的周长比等于 ； （3）相似三角形的面积比等于 ； （4）相似三角形内切圆与外接圆的直径比、周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 4、直角三角形的射影定理 从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这条直线上的正射影；一条线段在直线上的正射影，是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段. 点和线段的正射影简称为射影 直角三角形的射影定理：
实用标准文案 1、如图，已知空间四边形ABCD 中，BC AC , AD BD ，E是AB的中点。 求证：（ 1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。A E B C 2、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AA1的中点，D 求证： AC1 // 平面 BDE 。A D1 B1C E A 3、已知ABC 中ACB 90o,SA面ABC,AD SC , D B C 求证： AD面 SBC ．S D A B ABCD A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.C 4、已知正方体 D1C1求证： (１ ) C1O∥面AB D； (2) AC面 AB D ． B1 1 11 1 1 A1 D C O A B 5、正方体ABCD A ' B 'C ' D ' 中，求证： （1） AC 平面 B ' D ' DB ； （2） BD ' 平面 ACB ' . 6、正方体 ABCD —A B C D中． 1111 D 1C 1 (1) 求证：平面 A1 BD∥平面 B1D1C； A B1 (2) 若 E、 F 分别是 AA ， CC的中点，求证：平面 EB D1F ∥平面 FBD ． 1111 E G C
实用标准文案 2o 7、四面体ABCD 中，AC BD , E, F 分别为 AD , BC 的中点，且 EF AC ，BDC 90 ， 求证： BD平面ACD 8、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 、F、G分别是AB、AD、 C1 D1的中点.求证：平面 D1EF ∥平面 BDG . 9、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， E 是 AA1的中点. （1）求证：A1C //平面BDE； （2）求证：平面A1AC平面BDE . 10、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB 2 ， PA AD 4 ， E 为 BC 的中点． （ 1）求证：DE平面PAE； （ 2）求直线DP与平面PAE所成的角． 11、如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 是DAB 600且边长为 a 的菱形， 侧面 PAD 是等边三角形，且平面 PAD 垂直于底面 ABCD ．（ 1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD； （ 2）求证：AD PB． 12、如图 1,在正方体ABCD A B C D中， M 为 CC的中点， AC 交 BD 于点 O，求证：AO平面 MBD ． 1 1 1 111 13 、如图２，在三棱锥Ａ－ BCD 中， BC＝ AC， AD＝ BD， 作BE⊥ CD，Ｅ为垂足，作 AH⊥ BE 于 Ｈ．求证： AH⊥平面 BCD．
高中数学-《几何证明选讲》知识点归纳与练习（含答案） 一、相似三角形的判定及有关性质 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理2 :经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。 平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。 相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似 系数）。 由于从定义岀发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给岀过如下几个判定两个三角形相似的简单方法： （1 ）两角对应相等，两三角形相似； （2 ）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3 ）三边对应成比例，两三角形相似。 预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。 判定定理1 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三 角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。 判定定理2 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等， 那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理3 :对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个 三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；
如何做几何证明题 知识归纳总结： 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 一. 证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的 系来证，也可通过边对应成比例、三角形中位线定理证明。证两条直线垂直，可转化为证一个角等于90°，或利用两
的角平分线AD、CE相交于O。 （补
AE＝BD，连结CE、DE。
求证：BC＝AC＋AD B、C作此射线的垂线BP和CQ。 设M为BC的中点。求证：MP＝MQ
1.如图4所示,圆O的直径AB=6, C为圆周上一点，BC=3过C作 圆的切线I ,过A作I的垂线AD垂足为D，则/ DAC=（） A 15 B. 30 C 45 D. 60 C 66cm D. 99cm 【解析】由弦切角定理得◎，戈AD丄匚故如C二3兀 故选& 2?在肋URC中，CD、CE分别是斜边朋上的高和中线，是该图中共有x个三甬形与WC相僦则“（） A.0 B. 1 C.2 D. 3【解析】2个;AACD和人仙此故选U 3. 一个圆的两眩相交，一条眩被分为辽和辽ea两段.另一弦被分为3:乳则另一 弦的长为〔） XL 1 lrw B. 33ci^ 【解析】设另一弦被分的两段长分别为魏昭L叽由相交弦定理得 3Jl?jt=12kL83解得k = h故所求弦长为3Jt+8/t =llJt = 33 COT.故选 B. 4?如图」在ilSC和AZZSE孔一=—=—=-,若3C与D￡ BE DE 3 M)￡E^周长之差为Wm,则WC的周长为( 25 「0 S .?_、cm U —cm ■+ ~ 3 几20 cm D. 25 cm 【解祈】利用相似三角形的村似比等于周长比可得答峯良 5. Zl O的割线PAB交心O于凤月两点，割线PCD经过圆心】已知 __ ______ 22 3 ,则00的半径为（） PA 6,PO 12, AB A.4 C.6 .14 D8 【解析】U O 22 半径为r,由割线定理有6（622）（12 r）（12 r） 6.如图，AB是半圆0的直径，点C在半圆上，CD AB于点D ,
tan2— 且AD 3DB ,设COD ,则2 =（） 1 1 A. 3 B. 4 C. 4 2y/3 D 3 Off析】设半径为九则AD^-r.BD^丄儿由CD1 AD得= 从而 2 2 2 0 = —.ifctan2—= 3 2 3 匸在辺?中，D=E分别为AB=ACh的点，且DE^BC3 MDE的面积是曲,梯^DBCE的面积为弘存，则C的值为〔） A1;击 B.1;2 G 1;3 D. 1:4 【解折】仙丘-WC、和用面积比等于相似比的平方可得答案良 8. 半径分别为1和2的两圆外切，作半径为3的圆与这两圆均相切，一共可作（）个. A.2 B3 C.4 D5 【解析】一共可作5个，其中均外切的2个，均内切的1个，一外切一内切的2个，故选D. 9. 如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD .由4个这样的 等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形 则四边形ABCD中A度数为（）
F E D C B A E C B A 选修4-1 几何证明选讲习题一 相似三角形的判定及有关性质 1、如图4-1-1，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，若AC=6，DB=5，则 图4-1-3 2、如图4-1-2，已知在△ABC中，∠C=90°，正方形CDEF内接于△ABC，AC=1，BC=2，则AF与FC比值为； 3、如图4-1-3，在直角梯形ABCD中，DC//AB，CB⊥AB，AB=AD=2CD=a，点E、F分别为线段AB、AD的中点，则EF= ； 4、在△ABC中，点D在边BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，则CD= ； 5、在梯形ABCD中，上底AB的长为2，下底CD的长为6，对角线AC和BD相交于点P，（1）若P A的长为4，则PC的长为，（2）△P AB与△PCD的面积比为； 6、如图4-1-4，在△ABC中，AD//BC，连接DB，E是边AB上一点，过E作EG//BC， 分别与DB、AC相交于F、G，若AD=6，BC=9， 3 2 = AE ，则FG的长为； 图4-1-6 7、如图4-1-5，△ABC是一块锐角三角形钢板，边BC=12cm，边BC上的高AH=8cm，由它截出一个正方形DEFG，D、E在边BC上，G、F分别在边AB、AC上，则正方形DEFG的边长为cm； 8、如图4-1-6，在△ABC中，AB=AC，若边BC上的高AD=10，边AC上的高AD=12. （1）求证： 3 5 = BD AB ；（2）求△ABC的周长。 2021年1月21日星期四
a 答案：1、4；2、0.5；3、 ；4、4；5、（1）12，（2）1：8；6、4；7、4.8；8、9、10、 2
高三第一轮复习资料（个人汇编请注意保密） 引言 1.课程内容： 必修课程由5个模块组成： 必修1：集合、函数概念与基本初等 函数（指、对、幂函数） 必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、三角恒等变换。必修5：解三角形、数列、不等式。 以上是每一个高中学生所必须学习的。 上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。 此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。 选修课程有4个系列： 系列1：由2个模块组成。 选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线 与方程、导数及其应用。选修1—2：统计案例、推理与证明、 数系的扩充与复数、框图系列2：由3个模块组成。 选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 空间向量与立体几何。选修2—2：导数及其应用，推理与证 明、数系的扩充与复数选修2—3：计数原理、随机变量及其 分布列，统计案例。 系列3：由6个专题组成。 选修3—1：数学史选讲。 选修3—2：信息安全与密码。 选修3—3：球面上的几何。 选修3—4：对称与群。 选修3—5：欧拉公式与闭曲面分类。选修3—6：三等分角与数域扩充。系列4：由10个专题组成。 选修4—1：几何证明选讲。 选修4—2：矩阵与变换。 选修4—3：数列与差分。 选修4—4：坐标系与参数方程。 选修4—5：不等式选讲。 选修4—6：初等数论初步。 选修4—7：优选法与试验设计初步。选修4—8：统筹法与图论初步。 选修4—9：风险与决策。 选修4—10：开关电路与布尔代数。 2．重难点及考点： 重点：函数，数列，三角函数，平 面向量，圆锥曲线，立体几 何，导数 难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点： ⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运 算、简易逻辑、充 要条件 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与 定义域、值域与最值、反函 数、三大性质、函数图象、 指数与指数函数、对数与对 数函数、函数的应用
高一数学常考立体几何证明题 1、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 2、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点， 求证： 1// A C 平面BDE 。 3、已知ABC ?中90ACB ∠=,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥, 求证：AD ⊥面SBC ． 4、已知正方体 1111 ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C1O ∥面11 AB D ；(2) 1 AC ⊥面 11 AB D ． 5、正方体''''ABCD A B C D -中，求证： ''AC B D DB ⊥平面； 6、正方体ABCD —A1B1C1D1中． (1)求证：平面A1BD ∥平面B1D1C ； (2)若E 、F 分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD ． 7、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点，且 22EF AC = ，90BDC ∠=， A E D B C A E D 1 C B 1 D C B A S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C A 1 A B 1 B C 1 C D 1 D G E F
求证：BD ⊥平面ACD 8、如图，在正方体 1111 ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、AD 、 11 C D 的中点.求证：平面 1D EF ∥平面BDG . 9、如图，在正方体1111 ABCD A B C D -中，E 是 1 AA 的中点. （1）求证： 1// A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥ 平面BDE . 10、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==， E 为BC 的中点． 求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 11、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是0 60DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥． 12、如图1,在正方体 1111 ABCD A B C D -中，M 为 1 CC 的中点，AC 交BD
相似三角形的判定及有关性质一一备课人：李发 知识点1比例线段的相关概念 比例线段：对于四条线段a b c、d ,如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即- - b d （或a:b=cd ）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位. ⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式. ⑶比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：b d c a 知识点2:比例的性质 基本性质：(1) a: b c: d ad bc；(2) a : c c: b c a b . 反比性质（把比的前项、后项交换）： a c b d b d a c b a d c a c a b cd 合比性质：?.发生同样和差变化比例仍成立.如： a c a c等等. b d b d a b c d a b c d o p p m八，，小、a c e m a 等比性质：如果一(b d f n 0)，那么 b d f n b d f n b 注意：实际上，由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如ad be,除 了可化为a:b c:d，还可化为a:c b:d , c: d a : b , b:d a : c , b:a d:c, c:a d:b, d : c b: a , d:b c:a. 知识点3:比例线段的有关定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等?推论1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边?（三角形中位线定理的逆定理） 推论2 :经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰?（梯形中位线定理的逆定理） 平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 推论：（1）平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例. （2）平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边. 知识点：4 :黄金分割 把线段AB分成两条线段AC,BC（AC BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线 段AB的黄金分割点，其中AC AB 0.618AB . 2 知识点5:相似图形 1、相似图形的定义：把形状相同的图形叫做相似图形（即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比值叫 做相似比（或相似系数） （1 ）相似三角形是相似多边形中的一种;
几何证明选讲 沙市五中高三数学组 一、填空题(每小题6分，共48分) 1．如图所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正确的有________(填序号)． (1)AD DF ＝ CE BC ；(2) AD BE ＝ BC AF ；(3) CE DF ＝ AD BC ；(4) AF DF ＝ BE CE . 2．如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，过D点作DE∥BC交AC于E.已 知AD DB ＝ 2 3 ，则 S △ADE S 四边形BCED ＝ __________________________________________________________________. 3．如图，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则EF BC ＋ FG AD ＝________.
4．在直角三角形中，斜边上的高为6，斜边上的高把斜边分成两部分，这两部分的比为3∶2，则斜边上的中线的长为________． 5．(2010·苏州模拟)如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于点O，过点O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________. 6．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE于G，EC 的长为4，则EG＝________. 7．(2010·天津武清一模)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF ∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE＝________. 8．如图所示，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ BC ＝ ________. 二、解答题(共42分) 9．(14分)如图所示，在△ABC中，∠CAB＝90°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC 的平分线，交AD于F，求证：DF AF ＝ AE EC .
高中数学立体几何常考证明题汇总 1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点 （1） 求证：EFGH 是平行四边形 （2） 若 BD=AC=2，EG=2。求异面直线AC 、BD 所成的角和EG 、BD 所成的角。 考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角 2、如图，已知空间四边形ABCD 中，,BC AC AD BD ==，E 是AB 的中点。 求证：（1）⊥AB 平面CDE; （2）平面CDE ⊥平面ABC 。 考点：线面垂直，面面垂直的判定 3、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点， 求证： 1//A C 平面BDE 。 考点：线面平行的判定 4、已知ABC ?中90ACB ∠=o ,SA ⊥面ABC ,AD SC ⊥,求证：AD ⊥面SBC ． 考点：线面垂直的判定 5、已知正方体1111ABCD A B C D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1 AC ⊥面11AB D ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定 A E D C B D C B A A H G F E D C B A E D B C S D C B A D 1 O D B A C 1 B 1 A 1 C
N M P C B A 6、正方体''''ABCD A B C D -中， 求证：（1）''AC B D DB ⊥平面；（2）''BD ACB ⊥平面. 考点：线面垂直的判定 7、正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ； (2)若E 、F 分别是AA 1，CC 1的中点，求证：平面EB 1D 1∥平面 FBD ． 考点：线面平行的判定（利用平行四边形） 8、四面体ABCD 中，,,AC BD E F =分别为,AD BC 的中点， 且2 2 EF AC = ， 90BDC ∠=o ，求证：BD ⊥平面ACD 考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形 9、如图P 是ABC ?所在平面外一点，,PA PB CB =⊥平面PAB ，M 是PC 的中点，N 是AB 上的点，3AN NB = （1）求证：MN AB ⊥；（2）当90APB ∠=o ，24AB BC ==时， 求MN 的长。 考点：三垂线定理 10、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 分别是AB 、 AD 、11C D 的中点.求证：平面1D EF ∥平面BDG . 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线） 11、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ； （2）求证：平面1A AC ⊥平面BDE . 考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定 12、已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点． （1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 考点：线面垂直的判定,构造直角三角形 A 1 A B 1 C 1 D 1 D G E F
(一)几何证明选讲 1.如图，O 是△ABC 外接圆的圆心，∠ACB ＝54°，求∠ABO 的值． 解 连结OA ，因为O 是圆心，所以∠AOB ＝2∠ACB ， 所以∠ABO ＝12(180°－∠AOB ) ＝12 (180°－2∠ACB ) ＝90°－∠ACB ＝90°－54°＝36°. 2.如图，已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，BE 切圆O 于点B ，D 是CE 与圆O 的交点，若∠BAC ＝60°，BE ＝2，BC ＝4，求线段CD 的长． 解 因为BE 切圆O 于点B ，所以∠CBE ＝∠BAC ＝60°. 因为BE ＝2，BC ＝4，由余弦定理得EC ＝2 3. 又BE 2＝EC ·ED ，所以DE ＝ 233， 所以CD ＝EC －ED ＝23－233＝433 . 3．如图，已知点C 在圆O 的直径AB 的延长线上，CD 是圆O 的一条切线，D 为切点，点D 在AB 上的射影是点E ，CB ＝3BE . 求证：(1)DB 是∠CDE 的平分线； (2)AE ＝2EB . 证明 (1)连结AD ，∵AB 是圆O 的直径， ∴∠DAB ＋∠DBA ＝90°，
∵DE ⊥AB ，∴∠BDE ＋∠DBA ＝90°， ∴∠DAB ＝∠BDE ， ∵CD 切圆O 于点D ， ∴∠CDB ＝∠DAB ， ∴∠BDE ＝∠CDB ， ∴DB 是∠CDE 的平分线． (2)由(1)可得DB 是∠CDE 的平分线， ∴CD DE ＝CB BE ＝3，即CD ＝3DE . 设BE ＝m (m >0)，DE ＝x (x >0)，则CB ＝3m ，CD ＝3x ， 在Rt △CDE 中， 由勾股定理可得(3x )2＝x 2＋(4m )2，则x ＝2m ， 由切割线定理得CD 2＝CB ·CA ，(32m )2＝3m ·CA ， CA ＝6m ，AB ＝3m ，AE ＝2m ， 则AE ＝2EB . 4．(2018·江苏海安中学质检)如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，它的内切圆分别与边BC ，CA ，AB 相切于点D ，E ，F ，连结AD ，与内切圆相交于另一点P ，连结PC ，PE ，PF ，已知PC ⊥PF ， 求证：(1)PF FD ＝PD DC ；(2)PE ∥BC . 证明 (1)连结DE ， 则△BDF 是等腰直角三角形， 于是∠FPD ＝∠FDB ＝45°， 故∠DPC ＝45°. 又∠PDC ＝∠PFD ，则△PFD ∽△PDC ， 所以PF FD ＝PD DC .① (2)由∠AFP ＝∠ADF ，∠AEP ＝∠ADE ， 知△AFP ∽△ADF ，△AEP ∽△ADE . 于是，EP DE ＝AP AE ＝AP AF ＝FP DF . 故由①得EP DE ＝PD DC ，②
高中数学高考总复习几何证明选讲习题 (附参考答案) 一、选择题 1．已知矩形ABCD ，R 、P 分别在边CD 、BC 上，E 、F 分别为AP 、PR 的中点，当P 在BC 上由B 向C 运动时，点R 在CD 上固定不变，设BP ＝x ，EF ＝y ，那么下列结论中正确的是( ) A ．y 是x 的增函数 B ．y 是x 的减函数 C ．y 随x 的增大先增大再减小 D ．无论x 怎样变化，y 为常数 [答案] D [解析] ∵E 、F 分别为AP 、PR 中点，∴EF 是△P AR 的中位线，∴EF ＝12 AR ，∵R 固定，∴AR 是常数，即y 为常数． 2．(2010·湖南考试院)如图，四边形ABCD 中，DF ⊥AB ，垂足为F ，DF ＝3，AF ＝2FB ＝2，延长FB 到E ，使BE ＝FB ，连结BD ，EC .若BD ∥EC ，则四边形ABCD 的面积为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 [答案] C [解析] 由条件知AF ＝2，BF ＝BE ＝1， ∴S △ADE ＝12AE ×DF ＝12 ×4×3＝6， ∵CE ∥DB ，∴S △DBC ＝S △DBE ，∴S 四边形ABCD ＝S △ADE ＝6. 3．(2010·广东中山)如图，⊙O 与⊙O ′相交于A 和B ，PQ 切⊙O 于P ，交⊙O ′于Q
和M ，交AB 的延长线于N ，MN ＝3，NQ ＝15，则PN ＝( ) A ．3 B.15 C ．3 2 D ．3 5 [答案] D [解析] 由切割线定理知： PN 2＝NB ·NA ＝MN ·NQ ＝3×15＝45， ∴PN ＝3 5. 4．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，CD ＝6，且AD BD ＝32，则斜边AB 上的中线CE 的长为( ) A ．5 6 B.56 C.15 D.3102 [答案] B [解析] 设AD ＝3x ，则DB ＝2x ，由射影定理得CD 2＝AD ·BD ，∴36＝6x 2，∴x ＝6，∴AB ＝56， ∴CE ＝12AB ＝562 . 5．已知f (x )＝(x －2010)(x ＋2009)的图象与x 轴、y 轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是( ) A ．(0,1) B ．(0,2)
专题：几何证明选讲 【知识梳理】 1.相似三角形的判定定理： 判定定理1.两角对应相等的三角形相似。 判定定理2.三边对应成比例的两个三角形相似。 判定定理3.两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似。 2.相似三角形的性质 性质定理1.相似三角形对应边上的高、中线和它们的周长的比都等于相似比。 性质定理2.相似三角形的面积比等于相似比的平方。 3.平行截割定理 三条平行线截任意两条直线，所截出的对应线成比例。 4.射影定理 直角三角形中，每一条直角边是这条直线边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项。 5.圆周角与弦切角 圆的切线判定定理：经过圆的半径的外端切垂直于这条半径的直线，是圆的切线。 圆的切线的性质定理：圆的切线垂直过圆的半径。 推论1.从圆外的一个已知点所引的两条切线长相等。 推论2.经过圆外的一个已知点和圆心的直线，平分从这个点向圆所做的两条切线所夹的角。 6.圆周角定理 圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。 推论1.直径所对的圆周角都是直角 推论2.同弧或等弧所对的圆周角相等。 推论3.等于直角的圆周角所对的弦是圆的直径。 7.弦切角定理 弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。 推论：弦切角等于它所夹弧所对的圆周角。 8.圆幂定理 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线短长的积相等。 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。圆幂定理：（不用掌握） 9.圆内接四边形的性质 定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 10.圆内接四边形的判定 定理：如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形内接于圆。 【知识梳理】 平行线等分线段定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。相似三角形的判定及性质
高考专题训练二十八 几何证明选讲(选修4－1) 班级________ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：100分 总得分_______ 一、填空题(每小题6分，共30分) 1．(2011·陕西)如图，∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，∠ACD ＝90°，且AB ＝6，AC ＝4，AD ＝12，则BE ＝________. 解析：由∠B ＝∠D ，AE ⊥BC ，知△ABE ∽△ADC ， ∴AE AC ＝AB AD ，∴AE ＝AB AD ·AC ＝6×412 ＝2，∴BE ＝AB 2－AE 2＝32＝4 2. 答案：4 2 2.(2011·湖南)如图，A 、E 是半圆周上的两个三等分点，直线BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________． 解析：
如图所示，∵A 、E 是半圆周上两个三等分点， ∴△ABO 和△AOE 均为正三角形． ∴AE ＝BO ＝12 BC ＝2.∵AD ⊥BC ， ∴AD ＝22－12＝3，BD ＝1. 又∠BOA ＝∠OAE ＝60°，∴AE ∥BD . ∴△BDF ∽△EAF ，∴DF AF ＝BD AE ＝12 . ∴AF ＝2FD ，∴3AF ＝2(FD ＋AF )＝2AD ＝23， ∴AF ＝233 . 答案：233 3．(2011·深圳卷)如图，A ，B 是两圆的交点，AC 是小圆的直径，D 和E 分别是CA 和CB 的延长线与大圆的交点，已知AC ＝4，BE ＝10，且BC ＝AD ，则DE ＝________. 解析：连接AB ，设BC ＝AD ＝x ，结合图形可得
第1题图 第6题图 高二数学选修4-1《几何证明选讲》综合复习题 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图4所示,圆O 的直径AB =6,C 为圆周上一点,BC =3过C 作 圆的切线l ,过A 作l 的垂线AD ,垂足为D ,则∠DAC =( ) A .15? B .30? C .45? D .60? 【解析】由弦切角定理得60DCA B ∠=∠=?,又AD l ⊥,故30DAC ∠=?, 故选B . 2.在Rt ABC ?中,CD 、CE 分别是斜边AB 上的高和中线,是该图中共有x 个三角形与ABC ?相似,则x =( ) A .0 B .1 C .2 D .3 【解析】2个:ACD ?和CBD ?,故选C . 3.一个圆的两弦相交,一条弦被分为12cm 和18cm 两段,另一弦被分为3:8,则另一弦的长为( ) D .99cm 【(0)k k >,由相交弦定理得 33k =cm .故选B . 4.ABC ?与 cm D . 5.P C D 经过圆心,已知 C .6 )(12)r r -+,解得8r =.故选6.如图,AB 是半圆O 的直径,点C 在半圆上,CD AB ⊥于点D , 且DB AD 3=,设COD θ∠=,则2 tan 2θ＝( ) A .13 B .14 C .4- D .3 A B C D E 第4题图
第11题图 第10题图 第9题图 【解析】设半径为r ,则31,22AD r BD r ==,由2CD AD BD =?得2 CD r =,从而3π θ=, 故21tan 23 θ=,选A . 7.在ABC ?中,,D E 分别为,AB AC 上的点,且//DE BC ,ADE ?的面积是22cm ,梯形DBCE 的面积为26cm ,则:DE BC 的值为( ) A . B .1:2 C .1:3 D .1:4 【解析】ADE ABC ?? ,利用面积比等于相似比的平方可得答案B . 8.半径分别为1和2的两圆外切,作半径为3的圆与这两圆均相切,一共可作( )个. A .2 B .3 C .4 D .5 1个,一外切一内切的2个,9..由4个这样的 , ( ) D .4 mm , AC ,AQ ＝23AB ＋14AC , A . 15 B . 45 C . 14 D . 13 【解析】如图,设25AM AB = ,15AN AC = ,则AP AM AN =+ .
几何证明选讲专题 1．如图所示，在四边形ABCD 中，//,//EF BC FG AD ，则 EF FG BC AD += 1 由平行线分线段成比例可知 ,EF AF FG FC BC AC AD AC ==，所以1EF FG AF FC BC AD AC ++== 2．在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且:1:2,AE EB DE =与AC 交于点F ，若 AEF ?的面积为6cm 2，则ABC ?的面积为 cm 2 72 不妨设,AEF ABC ??,AE AB 边上的高分别为12,h h ，因为四边形ABCD 为平行四边 形，:1:2,AE EB =，所以12:1:3,:1:3,:1:4AE AB EF FD h h ===，所以 :1:12AEF ABC S S ??=，从而ABC ?的面积为72 cm 2 3．如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，4,8CD BD ==，则圆O 的半径等于 5 由直角三角形射影定理2 CD BD DA =?可知2DA =，10AB =，即半径为5 4．如图，从圆O 外一点P 作圆O 的割线,,PAB PCD AB 是圆O 的直径，若 4,5,3PA PC CD ===，则CBD ∠=
30 由割线定理知PA PB PC PD ?=?，即4(4)5(53)AB ?+=?+，得6AB = 即圆O 的半径为3，因为弦3CD =，所以60COD ∠= ，从而1 302 CBD COD ∠= ∠= 5．已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，2,PA AC =是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ， 1PB =，则圆O 的半径R = 由切割线定理知2PA PB PC =?，即221PC =?，4PC =，所以AC = 6．如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦C D A B ⊥于E ，4,8PC PB ==，则CD = 245 由切割线定理知2 PC PA PB =?得2,826PA AB ==-=，圆O 半径为3，连接CO ，则在直角三角形PCO 中，有3512,235CO CP OP CE CE ??=?= =+，从而24 5 CD = 7．如图，,AB CD 是圆O 的两条弦，交点为E 且AB 是线段CD 的中垂线，已知 6,AB CD ==AD 的长度为