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空间图形的基本关系和公理(基础+复习+习题+练习)

课题:空间图形的基本关系和公理

考纲要求:①理解空间直线、平面位置关系的定义;②了解可以作为推理依据的公理和定理;③理解两条异面直线所成的角;④能证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 教材复习

1.平面的基本性质:

公理1作用:①作为判断和证明是否在平面内的依据;②证明点在某平面内的依据;③检验某面是否平面的依据.

公理2作用:①作为判断和证明两平面是否相交;②证明点在某直线上;③证明三点共线;④证明三线共点.

公理3及其推论作用:公理3及其推论是空间里确定平面的依据,也是证明两个平面重合的依据,还为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体办法.

2.直线与直线的位置关系:

()1位置关系的分类:共面直线: 、 ;异面直线: . ()2异面直线所成的角:

①定义:设a ,b 是两条异面直线,经过空间中任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ,a '把与b '所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).

②范围: .

l β=且l

A B α A

B C

3.直线与平面的位置关系:

A α=

l ∥α

4.两个平面的位置关系:

5.平行公理:平行于 的两条直线 .

6.定理:

空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角 . 基本知识方法

1.证明共线、共面、共点问题的方法:

A

2.证明三点均在两个平面的交线上,可以推证三点共线.

3.证明直线共面通常的方法:()1先由其中两条直线确定一个平面,再证明其余的直线都在此平面内(纳入法);()2分别过某些点作多个平面,然后证明这些平面重合(同一法、

重合法);也可利用共面向量定理来证明.

4.公理2是证明直线共点的依据,应该这样理解:()1如果A 、B 是交点,那么AB 是交线;()2如果两个不同平面有三个或者更多的交点,那么它们共面;()3如果l αβ=,点P 是α、β的一个公共点,那么P l ∈

5.证明两直线为异面直线的方法:

①定义法(不易操作).②反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两直线平行或相交,由假设的条件出发,经过严密的推理,导出矛盾,从而否定假设肯定两条直线异面.此法在异面直线的判定中经常用到.③客观题中,也可用下述结论:过平面外一点和平面内一点的直线,与平面内不过该点的直线是异面直线

6.求两条异面直线所成的角,首先要判断两条异面直线是否垂直,若垂直,则它们所成的

角为90?;若不垂直,则利用平移法求角,一般的步骤是“作(找)—证—算-取舍”.注意,异面直线所成角的范围是π0,2

?? ??

?

;求异面直线所成角的方法:①平移法:一般情况下应用

平行四边形的对边、梯形的平行对边、三角形的中位线进行平移.②向量法:设a 、b 分别

为异面直线a 、b 的方向向量,则两异面直线所成的角α=arccos

a b a b

;③补体法.典例

分析:

考点一 平面基本性质的应用

问题1.()1①空间中不同的三点确定一个平面;②有三个公共点的两个平面必重合;

③空间两两相交的三条直线确定一个平面;④三角形是平面图形;⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形;⑥两组对边相等的四边形是平行四边形.其中正确的 命题是

()2(06上海)若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一直线上”

是“这四个点在同一平面上”的

.A 充分非必要条件;.B 必要非充分条件;.C 充要条件;.D 非充分非必要条件.

()3如图,l α

β=,A 、B α∈,C β∈,

且C l ?,直线AB

l M =,过A 、B 、C 三点

的平面记作γ,则γ与β的交线必通过

.A 点A ;

.B 点B ;

.C 点C 但不通过点M ; .D 点C 和点M

()4(09湖南文)平面六面体1111ABCD A B C D -中,既与AB 共面也与1CC 共面的棱的

条数为 .A 3 .B 4 .C 5 .D 6

()5(07江苏)如图,已知1111ABCD A B C D -是棱长

为3的正方体,点E 在1AA 上,点F 在1CC 上,

且11AE FC ==.①求证:1,,,E B F D 四点共面;(4分) ②略;③略.

α

β

l

M

A B C

A

D

1D

1C

1B

F

E

1A

问题2.

()1如图所示,空间四边形ABCD 中,E 、F 、G 分别在AB 、

BC 、CD 上,

且满足::2:1AE EB CF FB ==,:3:1CG GD =,过E 、F 、G 的平面交AD 于H ,

连接EH .()1求:AH HD ;()2求证:EH 、FG 、BD 三线共点.

()2空间四条直线,每两条都相交,每三条不共点,求证:这四条直线共面。

考点二:空间图形的基本关系

问题3. ()1(09安徽文)对于四面体ABCD ,下列命题正确的是_____ (写出所

有正确命题的编号).①相对棱AB 与CD 所在的直线是异面直线; ②由顶点A 作四面体的高,其垂足是BCD △的三条高线的交点; ③若分别作ABC △和ABD △的边AB 上的高,则这两条高的垂足重合; ④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积;

⑤分别作三组相对棱中点的连线,所得的三条线段相交于一点.

()2(2012安徽文)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等,即AB CD =,AC BD =,

AD BC =,则 (写出所有正确结论编号)

①四面体ABCD 每组对棱相互垂直;②四面体ABCD 每个面的面积相等;

③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90?而小于180?;④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互垂直平分;⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.

考点二:异面直线的判定 问题4. (09辽宁文)如图,已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内,M ,N 分别为AB ,DF 的中点.()1若2CD =,平面ABCD ⊥平面DCEF ,求直线MN 的长;()2用反证法证明:直线ME 与BN 是两条异

面直线.

问题5.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,

棱长1AA a =,求证:1AA 与1BD 是异面直线;

1A

1B

1C

1D

考点三:异面直线所成的角

问题6.(07上海春)在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D 中,E 、F 分别是11A B 、

AB 的中点,求异面直线1A F 与CE 所成的角( 要求用传统方法和向量法,注意书写的规

范性).

解法1(传统方法):

解法2(向量法):

课后作业:

1.若直线a 与b 是异面直线,直线b 与c 是异面直线,则直线a 与c 的位置关系是

A

B

C

D

1A 1B

1C

1D

F

E A

B

C

D

1A

1B

1C

1D

F E

2.(09年广东省湛江师范学院附中高考模拟)已知直线a b 、是异面直线,直线c d 、分别

与a b 、都相交,则直线c d 、的位置关系

.A 可能是平行直线 .B 一定是异面直线

.C 可能是相交直线 .D 平行、相交、异面直线都有可能

3.(09年广东省湛江市实验中学高三第四次月考)给出下面四个命题:

①过平面外一点,作与该平面成θ角的直线一定有无穷多条

②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行 ③对确定的两异面直线,过空间任一点有且只有一个平面与两异面直线都平行

④对两条异面直线都存在无数多个平面与这两条直线所成的角相等

其中正确的命题序号为

4.(08届安徽省皖南八校高三第一次联考)已知1111ABCD A B C D -

为长方体,对角线1AC 与平面1A BD 相交于点G ,则G 为

1A BD △的 A.垂心 B.重心 C.内心 D.外心

5.如图,B 、F 、G 、H 分别是空间四边形AB 、BC 、CD 、DA 上的点,

且EH 与FG 相交于点O .求证:,,B D O 三点共线.

A B

C 1

A 1B

1C

1D

6.正方体1111ABCD A B C D -中,对角线1A C 与平面1BDC 交于

AC 、BD 交于点M .求证:点1C 、O 、M 共线.

7.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别 是AB 、1AA 的中点,求证: ①E 、C 、1D 、F 四点共面;

②CE 、1D F 、DA 三线共点.

8.如图,在空间四边形ABCD 中,已知1AD =,

BC =,且AD BC ⊥,对角线2

BD =

, 2

AC =

,求AC 与BD 所成的角.

A A

B

C

D

1A

1B

1C

1D

E

F

A

B

C

走向高考:

1.(2013安徽)在下列命题中,不是公理..

的是 .A 平行于同一个平面的两个平面相互平行

.B 过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面

.C 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内 .D 如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线

2.(2013安徽)如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,P 为BC 的中点,Q 为线

段1CC 上的动点,过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是

(写出所有正确命题的编号).

①当102CQ <<

时,S 为四边形;②当12

CQ =时,S 为等腰梯形;③当3

4

CQ =时,S 与11C D 的交点R 满

足113C R =;④当3

14

CQ <<时,S 为六边形;⑤当

1CQ =时,S

3.(2013北京)如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,点P 在线段DE 上,点P 到直线1CC 的距离的

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