B . 1
2
C.e 2
1
2017年甘肃成人高考专升本高等数学(一)真题及答案
一．选择题（1-10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 当 X→0 时,下列变量是无穷小量的为（C ）
A. 1
B.2X
X 2
C. sin x
D.
l n(X+e ） Lim(1+ 2
)x =
2.
x X→
（
C ）
A.e
B.e -1
D.e -2
3. 若函数
f (x )
1 e -x,
,x 0 ,
2 a,x=0
,
在x 0 处连续，则常数a= （B ）
A.0 C.1 D.2
4. 设函数 f (x ) x ln x ，则 f (e ) =（ D ） A. -1
B.0
C.1
D.2
5. 函数 f (x ) x 3-3 x 的极小值为（ A ）
A.-2
B.0
C.2
D.4
6. 方程 x 2+2 y 2+3 z 2=1 表示二次曲面是（ D ） A. 圆锥面 B.旋转抛物面 C.球面
D.椭球面
7. 若
(2x k )dx 1 ，则常数k= ( C )
f (x )dx >0
a b
? ?
π
A. -2
B.-1
C.0
D.1
8. 设函数 f (x ) 在
a , b
上连续且 f
x >0，则( A )
A. B.
a
b b f (x )dx <0
B.
a f (x )dx =0 D. a
f (x )dx 的符号无法确定
9. 空间直线
x 1
y 2
z 3
的方向向量可取为（ A ）
3
1
2
A.(3，-1，2) B(1，-2，3)
A. (1,1，-1) D （1，-1，-1）
10. 已知 a 为常数，则级数
(1)n
(B )
n 1 n a 2
A.发散
B.条件收敛
C.绝对收敛
D.收敛性与a 的取值有关
二．选择题（11-20 小题，每小题 4 分，共 40 分）
11. lim
x 2
1
x 2 sin( x 2)
12. 曲线 y
x 1
的水平渐近线方程为
2x
1
y 1
2 13.若函数 f (x ) 满足 f (1) 2 ，则lim
f (x ) f (1)
1
x 1 x 2 1
14.设函数 f (x ) x 1
，则 f (x )
x
1 1
x 2 15. 16.
2 (sin x cos x )dx
2
2
1
dx
b
∞
百度文库资料店
01x22
17.已知曲线y x 2 x 2 的切线l 斜率为 3，则l 的方程为3x y 3 0
18.设二元函数z ln(x2 y) ，则z
x
2x
x2 y
百度文库资料店
?
∞
x 19. 设
f (x ) 为连续函数，则
x
f (t )dt
f (x )
n 20. 幂级
x 的收敛半径为 3
n
0 3n
三、解答题（21-28 题，共 70 分解答颖写出推理、演算步骤）
21.
求lim
e x
sin x 1 x 0
x 2
e x sin x
1
【答案解析】lim
2
x
= lim
x 0 e x
cos x
2x
= lim e x sin x
x 0
2
1 = 2
x 1t 2
22.
设
y 1t 3
dy ，求 dy dx dy dt 3t 2
3 =
= = t dx
dx 2t 2
dt
23.
已知
sin x 是
f (x )
的一个原函数，求 xf (x )dx 。
因 为 sin x 是
f (x )
的 一 个 原 函 数 ， 所 以
【答案解析】
【 答 案 解 析 】
百度文库资料店
x
? xf (x )dx xf (x ) f (x )dx
xf (x ) sin x C
24.
计算
4 1
dx
0 1
【答案解析】
百度文库资料店
x
2
0 0 设 t ，则x t 2
， d x
2tdt ， 0 t 2 . 4 1 dx 2 2t dx 1 )dt = 2t 2 ln(1 t )
2
2 (2 ln 3)
4 2 ln 3 0 1 0 1
t
2 (1
1
t
25.
设二元函数z 【答案解析】
x 2 y 2 x
y
1 ，求
z
及 y 2 z x y 因为z x 2 y
2
x y 1 ，所以z = 2x 2 y y 1 ， z
zxy 2 x
2 z 1， x y = 4xy 26.
计算二重积分
D
x
2
y
2
dxdy ，其中区域 D= (x , y ) x 2 y 2
4
【答案解析】
D 可表示为0
2， 0 r 2
x 2
y 2
dxdy
r rdrd D
D
= 2d 2 r 2
dr
= 2 1 r 3 2
3 0 = 16 3 27.
求微分方程 y dy x 2
的通解。
dx
【答案解析】 y dy x 2 ， ydy
x 2
dx ，
dx
两边同时积分， 1 y
2
1 x 3 C ，
3y
2
zx 3 C , 即 y 2
2 x 2 C 。
2
3
1
1
3
28.
用铁皮做一个容积为V 的圆柱形有盖桶，证明当圆柱的高等于
底面直径时，所使用的铁皮面积最小。 【答案解析】
设圆柱形的底面半径为 r,高为 h,则V
r 2 h ，
x
百度文库资料店所用铁皮面积S 2r2 2r h，
百度文库资料店
ds
4r 2h 0
dr
2r h
d 2 s
4 0
dr 2
于是由实际问题得，S 存在最小值，即当圆柱的高等于底面直径时，所使用的铁皮面积最小。