第三讲变型鸡兔同笼问题与假设法
【专题知识点概述】1500 大约在问题吗？这个问题，是我国古代着名趣题之一。你以前听说过“鸡兔同笼”年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，
问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一只脚。求笼中各有几只鸡和兔？个头；从下面数，有94 个笼子里，从上面数，有35 古人常用的这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”！
【授课批注】本节课意让在探究中体会解题思想，在策略多样性中体验最优思想，培养学生多手段、多层面、多角度地探索问题，解决问题的基本方法和一般方法，体验了解决问题策略的多样同时体会解题过程性，使学生感受“鸡兔同笼”问题的变式及其在生活中的广泛的应用，中化难为易、化繁为简的思想方法，发展了学生创新意识，开拓了学生解题思路，发展了学生的个性，使学生在各种数学思想的渗透中形成良好的数学解题能力。
鸡兔同笼”问题基本解题公式
1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（= 兔数；每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）- （总脚数= 鸡数。总头数-兔数鸡数；-每只鸡脚数）= 或者是（每只兔脚数×总头数- 总脚数）÷（每只兔脚数兔数。- 鸡数= 总头数）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用式（ 2 兔数；每只兔的脚数）= （每只鸡脚数×总头数-
脚数之差）÷（每只鸡的脚数+ = 鸡数- 总头数兔数= 鸡数；鸡兔脚数之差）
÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）+ 或（每只兔脚数×总头数兔数。-总头数鸡数= ）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可
用公式。（3 =每只兔的脚数）兔数；（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+
鸡数。兔数总头数-=
鸡每只兔的脚数）= 鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数或（每只兔的脚数×总头数-+ 数；兔数。=鸡数-总头数
（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：
（1 只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）= 不合格品数。
或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+ 实得总分数）÷（每只合格品得分数+ 每只不合格品扣分数）= 不合格品数。
（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+ （两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷ 2= 鸡数；
〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）- （两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷ 2= 兔数。
重点难点解析】
1. 通过不同的方法研究解决鸡兔同笼问题
2. 对“假设法”的理解和应用，渗透假设的思想方法
【竞赛考点挖掘】
1. 假设法的应用
2. 理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的的算理
【习题精讲】
【例1】（难度等级※）
工人运青瓷花瓶250 个，规定完整运一个到目的地给运费20 元，损坏一个要倒赔100 元，运完这批花瓶后，工人共得4400 元.问共损坏了几个花瓶？【分析与解】
假设250 个能够完整运达目的地。将得运费250 ×20=5000 （元），与实际所得相差5000-4400=600 （元）。损坏个数600 ÷（100+20 ）=5 （个）。【例2】（难度等级※※）松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采20 个，雨天每天只能采12 个.它一连几天采了112 个松果，平均每天采14 个.问这几天中有几个雨天？
【分析与解】．
因松鼠妈妈共采松果112 个，平均每天采14 个，所以实际用了112 ÷14＝8（天）. 假设这8 天全是晴天，松鼠妈妈应采松果20×8＝160 （个），比实际采的多了160 －112 ＝48（个），因雨天比晴天少采20－12＝8（个），所以共有雨天48 ÷ 8＝6（天）.
【例3】（难度等级※※）
四年级四班有60 个学生参加下棋活动老师准备了象棋、跳棋20 副，2 人下一幅象棋，6 人下一副跳棋，问象棋和跳棋各多少副？
【分析与解】
假设20 副均为象棋，共有20 × 2=40 （人）在玩，还有20 人没参加活动。跳
棋数20 ÷（6-2 ）=5 （副），象棋数20-5=15 （副）。
【例4】（难度等级※※）
实验小学四年级举行数学竞赛，一共出了10 道题目，答对一道得10 分，答错
一题反扣 5 分（没有不答的情况）。张华得了70 分，他答对了几道题？【分析与解】
假设所有问题全部答对，得分10 ×10=100 （分），比实际得分多100-70=30 （分），错题数：30÷（10+5 ）=2 （道），正确题数：10-2-8 （道）。
【例5】（难度等级※※※）
蜘蛛有8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在这
三种小虫共18 只，有118 条腿和20 对翅膀。每种小虫各几只？
【分析与解】
因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“ 8 条腿” 与“6 条腿”两种。
利用公式就可以算出8 条腿的蜘蛛数（118 －6×18）÷（8－6）＝5（只）。因此就知道 6 条腿的小虫共18 －5＝13（只）。
也就是蜻蜓和蝉共有13 只，它们共有20 对翅膀。
蝉数（13×2－20）÷（2－1）＝6（只）。
因此蜻蜓数是13 －6＝7（只）。
【例6】（难度等级※※※）
一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10 小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7 小时.甲打字用了多少小时？【分析与解】
我们把这份稿件平均分成30 份（30 是 6 和10 的最小公倍数）,甲每小时打
30 ÷
6=5（份）,乙每小时打30 ÷10=3（份）. 现在把甲打字的时间看成兔头数,乙打字的时间看成鸡头数,总头数是?兔的脚数是?鸡的脚数是3,总脚数是30, 就把问题转化成鸡兔同笼问题了. 根据前面的公式
（5-3） =4.5,
÷ 7）×=（30-3 数兔
鸡数=7-4.5 =2.5,
也就是甲打字用了 4.5 小时,乙打字用了 2.5 小时.
【例7】（难度等级※※※※）
有50 位同学前往参观,乘电车前往每人 1.2 元, 乘小巴前往每人 4 元, 乘地下铁路前往每人 6 元.这些同学共用了车费110 元,问其中乘小巴的同学有多少位？【分析与解】
由于总钱数110 元是整数,小巴和地铁票也都是整数,因此乘电车前往的人数一定是 5 的整数倍. 如果有30 人乘电车, 110-1.2 × 30=74（元）.
还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够.说明假设的乘电车人数少了.
如果有40 人乘电车110-1.2 ×40=62（元）.
还余下50-40=10（人）都乘地下铁路前往,钱还有多（62>6 ×10）. 说明假设的乘电车人数又多了.30 至40 之间,只有35 是 5 的整数倍. 现在又可以转化成鸡兔同笼了:
总头数50-35=15, 总脚数110-1.2 × 35=68.
因此,乘小巴前往的人数是（6×15-68）÷（6-4）=11. 【例8】（难度等级※※※※）商店出售大,中,小气球,大球每个3元,中球每个 1.5元,小球每个1元.张老师用120 元共买了55 个球,其中买中球的钱与买小球的钱恰好一样多.问每种球各买
几个？
【分析与解】
因为总钱数是整数,大,小球的价钱也都是整数,所以买中球的钱数是整数,而且还是3的整数倍.我们设想买中球,小球钱中各出3元.就可买2个中球,3 个小球.因此,可以把这两种球看作一种,每个价钱是
（1.5 ×2+1 ×3）÷（2+3）=1.2（元）.
从公式可算出,大球个数是
（120-1.2 ×55）÷（3-1.2）=30（个）. 买中,小球钱数各是
（120-30 ×3）÷2=15（元）.
可买10 个中球,15 个小球.
答:买大球30 个,中球10 个,小球15 个.
【例9】（难度等级※※※※）
使用甲种农药每千克要兑水20 千克，使用乙种农药每千克要兑水40 千克．根据农科院专家的意见，把两种农药混起来用可以提高药效，现有两种农药共50 千克，要配药水1400 千克，那么，其中甲种农药用了多少千克？
【分析与解】
假设50 千克都是乙种农药，那么需要兑水40 ×50 ＝2000（千克）．但题目要求配药水1400
水，又已知）千克650（＝1350 －2000 ．多用了）千克1350（＝50 －1400 即实际兑水千克，
使用乙种农药每千克兑水需要比使用甲种农药多兑水40-20 ＝20（千克），所以推知，在混合农药中甲种农药有650÷20＝32.5（千克）．
例10 】（难度等级※※※）
某工厂的27 位师傅带徒弟40 名，每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名
徒弟，如果带一名徒弟的师傅的人数是其他师傅的人数的两倍，那么带两名徒弟的师傅有几位？
【分析与解】
2=18（位）；带两名或三名徒弟的师傅有27-18=9（位×带一名徒弟的师傅的人数是：27），3他们共带40-18=22（名）徒弟，如果这9 位师傅带两名徒弟，他们只能带18 名徒弟，还有22-18=4（名）徒弟没人带，所以应有 4 位师傅每人带三名徒弟，带两名师傅有 5 位。
【例11 】（难度等级※※※）
某商场为招揽顾客举办购物抽奖.奖金有三种:一等奖1000 元,二等奖250 元,三等奖50 元.共有100 人中奖,奖金总额为9500 元.问二等奖有多少名？
【分析与解】
假设全是三等奖，共有：9500/50=190 （人）中奖，比实际多：190-100=90 （人）
1000/50=20 ，也就是说：把20 个三等奖换成一个一等奖，奖金总额不变，而人数减少了：20-1=19 （人）250/50=5 ，也就是说：把 5 个三等奖换成一个二等奖，奖金总额不变，而人数减少了：5-1=4 （人）。因为多出的是90 人，而：90=19*2+4*13.
即：要使总人数为100 ，只需要把20*2=40 个三等奖换成 2 个一等奖，把
5*13=65 个三等奖换成13 个二等奖就可以了。所以，二等奖有13 个人。
【例12 】（难度等级※※※※）
今年是1998 年,父母年龄（整数）和是78 岁,兄弟的年龄和是17 岁.四年后（2002
年）父的年龄是弟的年龄的 4 倍,母的年龄是兄的年龄的 3 倍.那么当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时,是公元哪一年？
【分析与解】
4 年后,两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25, 父母年龄之和是
78+8=86. 我们可以把兄的年龄看作鸡头数,弟的年龄看作兔头数.25 是总头
数.86是总脚数.根据公式,兄的年龄是（25 ×4-86）÷（4-3）=14（岁）. 1998 年,兄年龄是14-4=10（岁）.
父年龄是（25-14）×4-4=40（岁）.
因此,当父的年龄是兄的年龄的 3 倍时,兄的年龄是（40-10）÷（3-1）=15（岁）,这是2003 年.
【例13 】（难度等级※※※）
有一辆货车运输2000 只玻璃瓶,运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角,如有破损,破损瓶子不给运费,还要每只赔偿1元.结果得到运费379.6 元,问这次搬运中玻璃瓶？破损了几只
【分析与解】
如果没有破损,运费应是400 元.但破损一只要减少1+0.2=1.2（元）.因此破损只数是
（400-379.6）÷ （1+0.2）=17（只）.
【例14 】（难度等级※※※※）
从甲地至乙地全长45千米,有上坡路,平路,下坡路.李强上坡速度是每小时3千米, 平路上速度是每小时 5 千米,下坡速度是每小时 6 千米.从甲地到乙地,李强行走了10小时;从乙地到甲地,李强行走了11小时.问从甲地到乙地,各种路段分别是多
少千米？
【分析与解】把来回路程45 ×2=90（千米）算作全程.去时上坡,回来是下坡;
去时下坡回来时上
坡.把上坡和下坡合并成一种路程,根据例15,平均速度是每小时 4 千米.现在形成一个非常简单的鸡兔同笼问题.头数10+11=21, 总脚数90, 鸡,兔脚数分别是4 和 5.因此平路所用时间是
（90-4 ×21）÷（5-4）=6（小时）.
单程平路行走时间是6÷2=3（小时）. 从甲地至乙地,上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走路程是
45-5 ×3=30（千米）. 又是一个鸡兔同笼问题.从甲地至乙地,上坡行走的时间是（6×7-30）÷（6-3）=4（小时）.
行走路程是3×4=12（千米）. 下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走路程是6×3=18（千米）. 答:从甲地至乙地,上坡12 千米,平路15 千米,下坡18 千米.
【例15 】（难度等级※※※※）
某次数学考试考五道题,全班52人参加,共做对181 道题,已知每人至少做对1道题,做对1道的有7人,5道全对的有6人,做对2道和3道的人数一样多,那么做对 4 道的人数有多少人？
【分析与解】
对 2 道,3 道,4 道题的人共有52-7-6=39（人）. 他们共做对181-1 ×7-5 × 6=144（道）.
由于对 2 道和 3 道题的人数一样多,我们就可以把他们看作是对 2.5 道题的人（（2+3）÷2=2.5）. 这样兔脚数=4, 鸡脚数=2.5, 总脚数=144, 总头数=39.
对 4 道题的有(144-2.5 ×39) ÷(4-1.5)=31( 人).
作业】
1. 东湖小学六年级举行数学竞赛,共20道试题. 做对一题得5分,没有做一题或做错一题倒扣 3 分.刘刚得了60分,则他做对了几道题？
【答案】15
米的平14米的山路和每段长9 千米，全长由每段长220自行车进行越野赛。赛程全长 2.
路两种组成，整个赛程共有20 个赛段，求山路共有多少千米？
【答案】108
3. 摩托车赛全程长281千米,全程被划分成若干个阶段,每一阶段中,有的是由一段上坡路（3千米）,一段平路（4千米）, 一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的;有的是由一段上坡路（3千米）, 一段下坡路（2千米）和一段平路（4千米）组成的.已知摩托车跑完全程后,共跑了25段上坡路.全程中包含这两种阶段各几段？
【答案】14, 11.
4. 大、小猴共35 只，它们一起云采摘水蜜桃，猴王不在的时候，一只大猴子一小时可采摘15 千克，一只小猴子一小时可采摘11 千克，猴王在场监督的时候，每只猴子不论大小每小时都以多采摘12千克，一天，采摘了8 小时，其中第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共采摘4400 千克水蜜桃，在这个猴群中，共有小猴子___ 只。
【答案】20
5. 春风小学 3 名云参加数学竞赛，共10 道题，答对一道题得10 分，答错一道题扣3分，这3名同学都回答了所有的题，小明得了87分，小红得了74分，小华得了9 分，他们三人一共答对了___ 道题。
【答案】20
挑战自己※※※※※）（难度等级
有一水池,只打开甲水龙头要24分钟注满水池, 只打开乙水龙头要36分钟才注满水池.现在先打开甲水龙头几分钟,然后关掉甲,打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26 分钟. 问注满水池总共用了多少分钟？
34【答案】．