点集拓扑练习题
一、单项选择题（每题1分）
1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T
③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③
2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T
③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：②
3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T
③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案：①
4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T
③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：②
5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T
③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案：④
6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.
① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T
③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③
7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④
8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④
9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）
①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：②
10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）
①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：④
11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）
①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②
12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）
①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案：④
13、设{,,,}X abcd =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（
） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①
16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③
17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
18、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}
X a b a b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）
① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：①
20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ?是（ ）
① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④
21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）
① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：①
22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ?是（ ）
① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：②
23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）
① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③
24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）
① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③
25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）
① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④
26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）
① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B ?=?
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A = 答案: ③
27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B -=-
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A = 答案: ①
28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）
① ()d A B A B ?=? ② A B A B -=-
③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ (())()d d A A d A ?? 答案: ④
29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）
① ()d A φ= ② ()d A X A =- ③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①
30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（ ）
① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-
③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④
31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ）
① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =
③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①
32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ）
① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}
③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①
33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=?∈?T 是X 的拓扑，则（ ）是
T 的基.
① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈
③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③
34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.
① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}
③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ } 答案：②
35、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③
36、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④
37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：②
38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41,……},则A ＝（ ） ①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③
39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）
① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：①
40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）
① 整数集Z ② 有理数集 ③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '
答案：④
41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④
42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）
① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④
43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个
① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④
44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )
①T , T X φ∈? ② T ,T X φ?∈
③当T T '?时,
T T U U '∈∈ ④ 当T T '?时,T T U U '
∈∈ 答案：③
45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③
46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ?,且满足()d A B A ??,则B 是（ ）
① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②
47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为
( )
① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=
③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③
48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为
( )
① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=
③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：②
49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为
( )
① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=
③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案：②
50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为
( )
① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①
51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为
( )
① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ= ③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案：②
52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为
( )
① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=
③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④
53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）
① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案：②
54、设126X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）
① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
55、设126X X X X
=??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 56、设126X X X X
=??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 57、设126
X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
58、设126X X X X
=??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④ 59、设126
X X X X =??? 是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射 ③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④
60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ?是它们的积空间,1A X ?，2B X ?，则有（ ） ①A B A B ?≠? ②A B A B ?=? ③()A B A B ?≠? ④()()()A B A B ??=??? 答案：②
61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①
62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①
63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）
① 不连通子集 ② 连通子集 ③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①
64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ??, 则Z 为( )
①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集 答案：②
65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ?是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是平庸空间 ③ 平庸空间 ④ 不连通空间 答案：③
66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ?是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是离散空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：①
67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ?是（ ）
① 离散空间 ② 不一定是连通空间 ③ 平庸空间 ④ 连通空间 答案：④
68、实数空间R 中的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对 答案：④
69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对 答案：③
70、实数空间R 中的连通子集E 为( )
① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点 答案：④
71、下列叙述中正确的个数为（ ）
（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的
（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②
72、实数空间R ( )
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
73、整数集Z 作为实数空间R 的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
74、有理数集Q 作为实数空间R 的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
75、无理数集作为实数空间R 的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
76、正整数集Z +作为实数空间R 的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
77、负整数集Z -作为实数空间R 的子空间（ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
78、2维欧氏间空间2R （ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
79、3维欧氏间空间3R （ ）
① 仅满足第一可数性公理 ② 仅满足第二可数性公理
③ 既满足第一又满足第二可数性公理 ④ 以上都不对 答案：③
80、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 平庸性 ② 连通性 ③ 离散性 ④ 第一可数性公理 答案：②
81、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 第一可数性公理 ② 连通性 ③ 第二可数性公理 ④ 平庸性 答案：②
82、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 第一可数性公 ② 可分性 ③ 第二可数性公理 ④ 离散性 答案：②
83、下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
① 平庸性 ② 可分性 ③ 离散性 ④ 第二可数性公理 答案：②
84、设X 是一个拓扑空间，若对于,,x y X x y ?∈≠,均有{}{}x y ≠,则X 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：①
85、设{1,2}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：①
86、设{1,2}X =，{,,{2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 道路连通空间 答案：①
87、设{1,2,3}X =，{,,{1}}X φ=T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④
88、设{1,2,3}X =，{,,{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④
89、设{1,2,3}X =，{,,{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( )
① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④
90、设{1,2,3}X =，{,,{1
2}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ① 0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：④
91、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( )
①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 以上都不对 答案：①
92、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，
则X 是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：③
93、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个有限子集都是闭集，
则X 是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：③
94、设X 是一个拓扑空间，若对x X ?∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得V U ?,则X 是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：①
95、设X 是一个拓扑空间，若对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个开邻域V ,使得V U ?,则X 是（ ）
①正则空间 ②正规空间 ③ 1T 空间 ④ 4T 空间 答案：②
96、设{1,23}X =，
，{,,{1},{23}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案：④
97、设{1,23}X =，
，{,,{2},{13}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正规空间 答案：④
98、设{1,23}X =，
，{,,{3},{12}}X φ=，T ，则(,)X T 是( ) ①0T 空间 ② 1T 空间 ③ 2T 空间 ④ 正则空间 答案：④
99、设{1,23}X =，
，{,,{1},{2},{1,2}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案：④
100、设{1,23}X =，
，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案：④
101、设{1,23}X =，
，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是( ) ①2T 空间 ② 正则空间 ③ 4T 空间 ④ 正规空间 答案：④
102、若拓扑空间X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个（ ）
① 连通空间 ② 道路连通空间 ③ 紧致空间 ④ 可分空间 答案：③
103、紧致空间中的每一个闭子集都是（ ）
① 连通子集 ② 道路连通子集 ③ 紧致子集 ④ 以上都不对 答案：③
104、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是（ ）
① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③
105、紧致的Hausdorff 空间中的紧致子集是（ ）
① 连通子集 ② 开集 ③ 闭集 ④ 以上都不对 答案：③
106、拓扑空间X 的任何一个有限子集都是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③ 非紧致子集 ④ 开集 答案：②
107、实数空间R 的子集{1,2,3}A =是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案：②
108、实数空间R 的子集{1,2,3,4}A =是（ ）
① 连通子集 ② 紧致子集 ③开集 ④ 非紧致子集 答案：②
109、如果拓扑空间X 的每个紧致子集都是闭集，则X 是（ ）
① 1T 空间 ② 紧致空间 ③ 可数补空间 ④ 非紧致空间 答案：①
二、填空题（每题1分）
1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=
2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ=
3同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ;答案：拓扑不变性质
4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________.答案： R
5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;答案： ({})U A x φ?-≠
6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X
7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X
8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X
9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X
10、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部
为 ;答案：{2}
11、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{2T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部
为 ;答案：{1}
12、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{2T X φ=,则X 的子集{1,2A = 的内部
为 ;答案：{1}
13、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{2},{2T X φ
=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：φ
14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=
15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=
16、设{1,2,3X =,
X 的拓扑{,,{2},{3},{T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{3}
17、设{1,2,3X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部
为 ;答案：{1}
18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入
19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射
20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 ;答案：开映射
21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 ;答案：闭映射
22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一个 ；答案：不连通空间
23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一个 ；答案：不连通空间
24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 ；答案：不连通空间
25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ?满足Y Z Y ??，则Z 也是X 的一个 ;
答案：连通子集
26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则
称这个性质是一个 ；答案：在连续映射下保持不变的性质
27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性
质是一个 ；答案：可商性质
28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ??? 也具有性质P ，则性质P 称为 ; 答案：有限可积性质
29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ?=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.
30、若12,X X 满足第一可数性公理，则积空间12X X ?满足 ;答案：第一可数性公理
31、若12,X X 满足第二可数性公理，则积空间12X X ?也满足 ;答案：第二可数性公理
32、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个子空间也具有性质P ,则称性质P 为 ;答案：可遗传性质
33、设D 是拓扑空间X 的一个子集，且D X =,则称D 是X 的一个 ；答案：稠密子集
34、若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个 ；答案：可分空间
35、设X 是一个拓扑空间，如果它的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖，则称X 是一个 ；
答案：Lindel ?ff 空间
36、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个开子空间也具有性质P ,则称性质P
为 ;答案：对于开子空间可遗传性质
37、如果一个拓扑空间具有性质P ,那么它的任何一个闭子空间也具有性质P ,则称性质P
为 ;答案：对于闭子空间可遗传性质
38、设X 是一个拓扑空间，如果 则称X 是一个0T 空间;
答案：X 中任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点
39、设X 是一个拓扑空间，如果 则称X 是一个1T 空间;
答案：X 中任意两个不相同的点中每一点都有一个开邻域不包含另一点
40、设X 是一个拓扑空间，如果 则称X 是一个2T 空间;
答案：X 中任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交
41、正则的1T 空间称为 ；答案：3T 空间
42、正规的1T 空间称为 ；答案：4T 空间
43、完全正则的1T 空间称为 ；答案： 3.5T 空间或Tychonoff 空间
44、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一
个 . 答案：紧致空间
45、设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑
空间X 的一个 .答案：紧致子集
46、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一
个 .答案：可数紧致空间
47、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一
个 .答案：列紧空间
48、设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一
个 .答案：序列紧致空间
三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）
1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√
理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ?，都有1)f A X -?（,
由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.
2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( )答案:×
理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ?；
（２）对任意的∈B A ,T 1?T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈?B A T 1且∈?B A T 2，从而∈?B A T 1?T ２；
（３）对任意的21T T T ??'，则21,T T T T ?'?'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1?T ２；综上有T 1?T ２也是X 的拓扑．
3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√
理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.
4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√
理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，
所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-= ，即()p d A ?,从而 ()d A φ=.
5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：×
理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈?-,从而()X A x φ?-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ?-=,所以有()d A X A φ=-≠.
6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√
理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ?-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.
7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=（ ）答案：√ 理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ?=,显然A B φ= ，并且这时有:()()B B X B A B B B =?=???= 从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ?=?=.
8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )案：√
理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ?=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.
9、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ）答案：√
理由:设拓扑空间X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基，对于每一个x X ∈,易知{} B B|x B x B =∈∈是点x 处的一个邻域基，它是B 的一个子族所以是可数族，从而X 在点x 处有可数邻域基，故X 满 足第一可数性公理.
10、若拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第二可数性公理（ ）答案：√
理由：由于X 满足第二可数性公理，所以它有一个可数基B ，因为Y 是X 的子空间，则{|}B| B Y B Y B =?∈是Y 的一个可数基，从而X 的 子空间Y 也满足第二可数性公理.
11、若拓扑空间X 满足第一可数性公理，则X 的子空间Y 也满足第一可数性公理（ ）答案：√
理由：由于X 满足第一可数性公理，所以对x Y ?∈,X 在点x 处有一个可数邻域基V x ，因为Y 是X 的子空间，则{
|}V | V x Y x V Y V =?∈是Y 在点x 的一个可数邻域基，从而X 的子空间Y 也满足第一可数性公理.
12、设{1,2,3}X =，{,,{2},{3},{2,3}}X φ=T ，则(,)X T 是3T 空间.( )答案：×
理由：因为{1,3}是X 的一个闭集，对于点２和{1,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是3T 空间. 注：也可以说明X 不是1T 空间．
13、设{1,2,3}X =，{,,{1},{2},{1,2}}T X φ=，则(,)X T 是3T 空间.( )答案：×
理由：因为{2,3}是X 的一个闭集，对于点１和{2,3}没有各自的开邻域互不相交，所以X 不是正则空间，从而不是3T 空间.注：也可以说明X 不是1T 空间．
14、设{1,23}X =，
，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是1T 空间.( )答案：× 理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间．
注：也可以考虑点２和点３.
15、设{1,23}X =，
，{,,{1},{3},{1,3}}X φ=T ，则(,)X T 是4T 空间.( )答案：× 理由：因为对于点１和点２，２没有开邻域不包含１，从而X 不是1T 空间．故(,)X T 是4T 空间. 注：也可以考虑点２和点３.
16、3T 空间一定是2T 空间.（ ）答案：√
理由：因为3T 空间是正则的1T 空间，所以对于3T 空间X 中的任意不同的两点,x y X ∈，{}y 是X 中的闭集，由于X 是正则空间，从而对于,{}x y 它们有各自的开邻域,U V 使得U V φ?=，所以X 是
2T 空间.
17、4T 空间一定是3T 空间.（ ）答案：√
理由：因为4T 空间是正规的1T 空间，所以对于4T 空间X 中的任意点x 和不包含x 的闭集A ，由于{}x 也是一个闭集及X 是正规空间，故存在{},x A 的开邻域,U V 使得U V φ?=，这说明X 是正则空间，因此X 是3T 空间.
18、设,A B 是拓扑空间X 的两个紧致子集，则A B ?是一个紧致子集.( )答案：√
理由：设A 是一个由X 中的开集构成的A B ?的覆盖，由于A 和B 都是X 的紧致子集，从而存在A
的有限子族 A 1 A 2 分别是A 和B 的覆盖，
故12?A A 是A 的有限子族且覆盖A B ?，所以A B ?是紧致子集.
19、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集.( )答案：√
理由：设A 是Hausdorff 空间X 的一个紧致子集，则对于任何x X ∈，若x A ?，则易知x 不是A 的凝聚点，因此A A =，从而A 是一个闭集.
四．名词解释(每题2分)
1．同胚映射 答案：设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射或同胚.
2、集合A 的内点 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ?.如果A 是点x X ∈的一个邻域，则称点x 是集合A 的一个内点.
3、集合A 的内部 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ?.则集合A 的所有内点构成的集合称为集合A 的内部.
4．拓扑空间(,)T X 的基 答案：设(,)T X 是一个拓扑空间，B 是T 的一个子族.如果T 中的每一个元素是B 中的某些元素的并，则称B 是拓扑T 的一个基.
5．闭包 答案：设X 是一个拓扑空间，A X ?.集合A 与集合A 的导集()d A 的并()A d A ?称为集合A 的闭包.
6、序列 答案：设X 是一个拓扑空间，每一个映射:S Z X +→叫做X 中的一个序列.
7、导集 答案：设X 是一个拓扑空间，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.
8、不连通空间 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ?=,则称X 是一个不连通空间.
9、连通子集 答案：设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个连通空间，则称Y 是X 的一个连通子集.
10、不连通子集 答案：设Y 是拓扑空间X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个不连通空间，则称Y 是X 的一个不连通子集.
11、1 A 空间 答案：一个拓扑空间如果在它的每一点处有一个可数邻域基，则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间，简称为1 A 空间.
12、2 A 空间 答案：一个拓扑空间如果有一个可数基，则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间，简称为2 A 空间.
13、可分空间 答案：如果拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个可分空间.
14、0T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是0T 空间.
15、1T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点中每一个点都有一个开邻域不包含另一点，则称拓扑空间X 是1T 空间.
16、2T 空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任意两个不相同的点各自有一个开邻域使得这两个开邻域互不相交，则称拓扑空间X 是2T 空间.
17、正则空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正则空间.
18、正规空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何两个无交的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正规空间.
19、完全正则空间： 答案：设X 是一个拓扑空间，如果对于x X ?∈和X 中任何一个不包含点x 的闭集B 存在一个连续映射:[0,1]f X →使得()0f x =以及对于任何y B ∈有()1f y =，则称拓扑空间X 是一个完全正则空间.
20、紧致空间 答案：设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间.
21、紧致子集 答案：设X 是一个拓扑空间，Y 是X 的一个子集.如果Y 作为X 的子空间是一个紧致空间，则称Y 是拓扑空间X 的一个紧致子集.
22、可数紧致空间 答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个可数紧致空间.
23、列紧空间 答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个列紧空间.
24、序列紧致空间 答案：设X 是一个拓扑空间. 如果X 中的每一个序列都有一个收敛的子序列，则称拓扑空间X 是一个序列紧致空间.
五．简答题（每题4分）
1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ?.试说明()()d A d B ?.
答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ?-≠,由于A B ?，从而({})({})U B x U A x φ?-??-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ?.
2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z → 也是连续映射.
答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---= 是X 的开集，所以:g f X Z → 是连续映射.
3、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集.
答案：对于x A '?∈,则x A ?，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ?-=,因此U A φ?=，即U A '?,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.
4、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集.
答案：设x A ?,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'?=,因此
x A ?,从而A A ?,即有A A =，这说明A 是一个闭集.
5、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T.
答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T
6、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ?
]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x 设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=
7、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T.
答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--
8、在实数空间R 中给定如下等价关系：
~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T.
答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--
9、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .
答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=
10、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .
答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=
11、在实数空间R 中给定如下等价关系:
~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x
设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .
答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=
12、离散空间是否为2A 空间?说出你的理由.
答案：因为离散空间的每一个基必定包含着单点集，所以包含着不可数多个点的离散空间不是2A 空间.至多含有可数多个点的离散空间是2A 空间.
13、试说明实数空间R 是可分空间.答案: 因为Q 是可数集，且R 的任何一个非空的开集至少包含一个球形邻域,从而与Q 都有非空的交，因此R Q =，故实数空间R 是可分空间.
14、试说明每一个度量空间都满足第一可数性公理.
答案: 设X 是一个度量空间, 对X x ∈?，则所有的以x 为中心，以正有理数为半径的球形邻域构成x
处的一个可数邻域基，从而X 满足第一可数性公理.
15、设X 是一个1T 空间，试说明X 的每一个单点集是闭集.
答案：对x X ?∈，由于X 是1T 空间，从而对每一个,y X y x ∈≠，点y 有一个邻域U 使得x U ?，即{}U x φ?=，故{}y x ?，因此{}{}x x =,这说明单点集{}x 是一个闭集.
16、设X 是一个拓扑空间，若X 的每一个单点集都是闭集，试说明X 是一个1T 空间.
答案：对于任意,,x y X x y ∈≠，{},{}x y 都是闭集，从而{}x '和{}y '分别是y 和x 的开邻域，并且有{}x x '?,{}y y '?.从而X 是一个1T 空间.
17、设(,)X T 是一个1T 空间，∞是任何一个不属于X 的元素.令*{}X X =?∞和*
X =?*T T {}，试
说明拓扑空间*(,)X *T 是一个0T 空间. 答案：对任意*,,x y X x y ∈≠,若x ,y 都不是∞，则
,x y X ?.由于X 是一个1T 空间，
从而,x y 各有一个开邻域,U V ,使得,x V y U ??;若x ,y 中有一个是∞，不妨设x =∞,则y 有开邻域X 不包含∞.由以上的讨论知，对*X 中任意两个不同点必有一个点有一个开邻域不包含另一点，从而X 是0T 空间.
18、若X 是一个正则空间，试说明：对x X ?∈及x 的每一个开邻域U ，都存在x 的一个开邻域V ,使得
V U ?. 答案: 对x X ?∈,设U 是x 的任何一个开邻域，则U 的补集U '是一个不包含点x 的一个闭集.由于X 是一个正则空间，于是x 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ?=，因此V W '?，所以V W W U -''?=?.
19、若X 是一个正规空间，试说明：对X 的任何一个闭集A 及A 的每一个开邻域U ，都存在A 的一个
开邻域V ,使得V U ?. 答案：设A 是X 的任何一个闭集，若A 是空集，则结论显然成立.下设A 不是空集，则对A 的任何一个开邻域U ，则U 的补集U '是一个不包含点A 的一个闭集. 由于X 是一个正规空间，于是A 和U '分别有开邻域V 和W ,使得V W φ?=，因此V W '?，所以V W W U -''?=?.
20、试说明1T 空间X 的任何一个子集的导集都是闭集.
答案：设A 是X 的任何一个子集，若A 是空集，则()d A φ=，从而A 的导集是闭集.下设A 不是空集，则对(())x d A '?∈,则x 有开邻域U ,使得({})U x A φ-?=，由于X 是1T 空间，从而{}U x -是开集，故
{}(())U x d A '-?,于是(())U d A '?,所以(())d A '是它每一点的邻域，故(())d A '是开集，因此
()d A 是闭集.
21、试说明紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.
答案：如果X 的无穷子集的A 没有凝聚点，则对于任意x X ∈，有开邻域x U ，使得(){}x U A x φ?-=，于是X 的开覆盖{|}x U x X ∈没有有限子覆盖，从而X 不是紧致空间，矛盾.故紧致空间X 的无穷子集必有凝聚点.
22、如果X Y ?是紧致空间，则X 是紧致空间.
答案：考虑投射1:P X Y X ?→，由于1:P X Y X ?→是一个连续的满射，
从而由X Y ?紧致知X 是一个紧致空间.
23、如果X Y ?是紧致空间，则Y 是紧致空间.
答案：考虑投射2:P X Y Y ?→，由于2:P X Y Y ?→是一个连续的满射，从而由
X Y ?紧致知Y 是
一个紧致空间.
24、试说明紧致空间X 的每一个闭子集Y 都是紧致子集.
答案：如果A 是Y 的任意一个由X 中的开集构成的覆盖，则{}Y '?B =A 是X 的一个开覆盖.设1 B 是B 的一个有限子族并且覆盖X .则1{}Y '- B 便是A 的一个有限子族并且覆盖Y ，从而Y 是紧致子集.
六、证明题（每题8分）
1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集.
证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =? …………………………………………… 3分
于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：
111111111(()())(()())
(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ
---------???????=???=
所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外，1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----?=?==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分
2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y
??,则或者A Y ?,或者B Y ?.
证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ??,是子空间Y 的开集.
又因B A Y ??中，故)()(Y B Y A Y ???= ………………… 4分
由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ??,中必有一个是空集. 若Φ=?Y B ,则A Y ?;若Φ=?Y A ,则B Y ?………………… 8分
3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y
??,则或者A Y ?,或者B Y ?.
证明：因为B A ,是X 的闭集，从而Y B Y A ??,是子空间Y 的闭集.
又因B A Y ??中，故)()(Y B Y A Y ???= ………………… 4分
由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ??,中必有一个是空集. 若Φ=?Y B ,则A Y ?;若Φ=?Y A ,则B Y ?………………… 8分
4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ?满足Y Z Y ??，则Z 也是X 的一个连通子集.
证明：若Z 是X 的一个不连通子集，则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =?.因此
Y A B ?? ………………………………… 3分
由于Y 是连通的，所以Y A ?或者Y B ?,如果Y A ?，由于Z Y A ??，所以Z B A B φ???=，因此 B Z B φ=?=,同理可证如果Y B ?，则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分
5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果
Y γγφ∈Γ≠ ,则Y γγ∈Γ 是X 的一个连通子集.
证明：若Y γγ∈Γ 是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得Y A B γγ∈Γ=? ………………………………………… 4分
任意选取x Y γγ∈Γ∈ ,不失一般性，设x A ∈,对于每一个γ∈Γ，由于Y γ连通，从而Y A γγ∈Γ? 及B φ=,矛盾，
所以Y γγ∈Γ 是连通的. ………………………………………… 8分
6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ?≠,则A B ?.
证明：若B X =,则结论显然成立.
下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ?是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分
由于A B φ?≠及A 连通，所以A B A ?=，故A B ?.………… 8分
7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ?≠.
证明：若()A φ?=,由于()A A A --'?=?,从而
()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=?=???=???,
故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分
因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ?≠. ……………………………………………… 8分
8、设X 是一个含有不可数多个点的可数补空间.证明X 不满足第一可数性公理.
证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，设为V x
,因为X 是可数补空间，因此对x y X y ≠∈?,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈? ,使得}{y X V y -?. 于是'
?y V y }{, …………………………………………………4分
由上面的讨论我们知道： }{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'?=
-
因为}{x X -是一个不可数集，而
}{x X y u V -∈' 是一个可数集，矛盾.
从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分
9、设X 是一个含有不可数多个点的有限补空间.证明:X 不满足第一可数性公理.
证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，设为V x
,因为X 是有限补空间，因此对x y X y ≠∈?,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈? ,使得}{y X V y -?.于是'
?y V y }{, …………………………………………………4分
由上面的讨论我们知道： }{}{}{}{y X y y x X y V y x X -∈-∈'?=
- 因为}{x X -是一个不可数集，而
}{x X y u V -∈' 是一个可数集，矛盾.
从而X 不满足第一可数性公理. ………………………………8分
10、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第二可数性公理，证明：Y 也
满足第二可数性公理.
证明：设X 满足第二可数性公理，B 是它的一个可数基.由于:f X Y →是一个开映射，{()|}B B f B B =∈ 是由Y 中开集构成的一个可数族. …………………………………………………………3分
下面证明B 是Y 的一个基.设U 是Y 的任意开集，则1()f U -是X 中的一个开集.因此存在1 B B ?,使得11() B B f U B -∈= .由于f 是一个满射，所以有11(())() B B U f f U f B -∈== ,从而U 是B 中
某些元素的并，故B 是Y 的一个基.这说明Y 也满足第二可数性公理. ……8分
11、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个满的连续开映射.X 满足第一可数性公理，证明：Y 也
满足第一可数性公理.
证明：对y Y ?∈,由于:f X Y →是一个满射，所以存在x X ∈,使得()f x y =,由于X 满足第一可数性公理，故在点x 处存在一个可数邻域基，设为 V x ,又由于:f X Y →是一个开映射，则{()|}
V V y x f V V =∈ 是Y 中点y 的一个可数邻域族. …………3分 下面证明 V y 是Y 中点y 的一个邻域基.设U 是Y 中点y 的任意邻域，则1()f U -是X 中点x 的一个邻
域.因此存在 V x V ∈,使得1()V f U -?.因此()f V U ?,从而
V y 是Y 中点y 的一个邻域基.这说明Y 也满足第一可数性公理. ……………………………………………………8分
12、A 是满足第二可数性公理空间X 的一个不可数集。求证：A 至少有一个凝聚点.
证明：若A 没有凝聚点，则对任x A ∈,一定存在x 的一个邻域x U ，
使得：{}x U A x ?=,由于X 满足第二可数性公理，设B 是它的可数基，故一定存在一个B x B ∈,使得：x x x B U ∈?,
更有x B ?A ={x }, ……………………………………………………4分
若令C ={|x B x ∈A , x B ∈ B, x B ?x U },则有C ? B ，从而C 必可数.于是 A = A x x ∈}{=()x x B C
B A ∈? .这样A 就是可数集，这与题设A 为不可数集相矛盾，故A 至少有一个凝聚点. …………………8分
13、证明满足第二可数性公理的空间中每一个由两两无交的开集构成的集族都是可数族.
证明：设A 是满足第二可数性公理的空间X 中由两两无交的开集构成的集族, 由于X 满足第二可数性公理，
设B 是X 的可数基 ………………………………………………3分
对A 的每一个元素A ,因为B 是X 的基,存在B B ∈使得B A ?.因为A 中的元素两两无交,从而A 中不同元素包含B 中的元素也不相同.因为B 可数, 故A 是可数族. ………………………………8分
14、设X 是一个1T 空间,A X ?,()x d A ∈,证明：x 的每一个邻域U 中都含有A 中的无限多个点.
证明：设()x d A ∈，若x 有一个开邻域U 含有A 中的有限多个点，设{}B U A x =?-,则B 是一个有限集，从而B 是一个闭集，故U B -是一个开集且是x 的一个开邻域. …………………………………4分
又易知()({})U B A x φ
-?-=,从而()x d A ?，矛盾.故U 含有A 中的无限多个点. ………………………………………………………8分
15、设X 是一个1T 空间,A X ?,()x d A ∈,证明：对x 的每一个邻域U 有U A ?是无限集.
证明：设()x d A ∈，若x 有一个开邻域U 含有A 中的有限多个点，设{}B U A x =?-,则B 是一个有限集，从而B 是一个闭集，故U B -是一个开集且是x 的一个开邻域. …………………………………4分
又易知()({}U B A x φ-?-=,从而()x d A ?，矛盾.故U A ?是无限
集. …………………………………………………………………8分
16、设{}i x 是2T 空间X 的一个收敛序列,证明：{}i x 的极限点唯一.
证明：若极限点不唯一，不妨设1lim i i x y →∞=,2lim i i x y →∞
=,其中12y y ≠，由于X 是2T 空间，故1y 和2y 各自的开邻域,U V ，使得U V φ?=.因1lim i i x y →∞
=，故存在10N >，使得当1i N >时，i x U ∈；同理存在20N >，使得当2i N >时，i x V ∈.…………………………………………4分
令12max{,}N N N =,则当i N >时，i x U V ∈?，从而U V φ?≠,矛盾，故{}i x 的极限点唯
一. ……………………………………………8分
17、设X 是一个拓扑空间，证明X 是hausdorff 空间当且仅当积空间X X ?的对角线
{(,)|}
x x X X x X ?=∈?∈是一个闭集. 证明：充分性：对任意,,x y X x y ∈≠，于是(,)x y '∈?,由于?是闭集，所以'?是开集，从而有X 的开邻域,U V 使得(,)x y U V '∈???，于是,U V 分别是,x y 的开邻域,且U V φ?=，从而X 是Hausdorff 空间. ……………………………………………………………4分
必要性：若X 是hausdorff 空间，对(,)x y '?∈?，则x 和y 分别有开邻域,U V ，使得U V φ?=，从而(,)x y U V '∈???，由于U V ?是X X ?中的开集，所以'?是其每一点的邻域，故'?是开集，从而?是闭集. ……………………………………………………………8分
18、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集.
证明：对于x A '?∈，则()f x x ≠，从而(),f x x 有互不相交的开邻域U 和V ，设1()W f U V -=?，…………………………………4分
则W 是x 的开邻域，并且x W A '∈?,故A '是开集，
从而A 是闭集. …………………………………………………8分
19、设X 是一个正则空间，A 是X 的闭子集,A x ?，证明：x 和A 分别有开邻域U 和V 使得φ=?V U
. 证明：由于X 是一个正则空间，从而x 和A 分别有开邻域W 和V 使得φ=?V W
，故W V '?，因此W V '?. ………………4分
又由正则空间的性质知：存在x 的开邻域U 使得W U ?,从而
φ=?V U . ……………………………………………………8分
20、设X 是一个正规空间，A ，B 是X 的两个无交的闭子集.证明：A 和B 分别有开邻域U 和V 使得
φ=?V U .
证明：由于X 是一个正规空间，从而A 和B 分别有开邻域W 和V 使得φ=?V W
，故W V '?，因此W V '?.………………4分
由正规空间的性质知：存在A 的开邻域U 使得W U ?,从而
φ=?V U . ……………………………………………………8分
21、设X 是一个拓扑空间，[0,1]是闭区间，若对X 的任何两个无交的闭集,A B 都存在一个连续映射
点集拓扑学 注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。 又比如：
练习（第二章）参考答案： 一.判断题(每小题2分) 1.集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( × ) 2.拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( √ ) 3.实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( × ) 4.T 1、T 2是X 的两个拓扑，则T 1UT 2是一个拓扑.( × ) 5.平庸空间中任一个序列均收敛，且收敛于任一个点。（ √ ） 6.从（X ，T 1）到（X ，T 2）的恒同映射必是连续的。（ × ） 7．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( √ ) 8．设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( × ) 9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ √ ） 10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ √ ） 11.设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ × ） 12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ √ ） 二．填空题：(每空格3分) 1、X=Z +,T={Z 1,Z 2,…Z n …},其中 Z n ={n,n+1,n+2,…}, 则包含3的所有开集为 321,,Z Z Z 包含3的所有闭集为 ,...,,,/ 6/5/41Z Z Z Z 包含3的所有邻域为 3321}1{,,,Z Z Z Z ? 设A={1,2,3,4,5} 则A 的导集为{1,2,3,4} ，A 的闭包为{1,2,3,4,5}
2、设X 为度量空间,x ∈X,则d （{x}）=? 3、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是____ R ____. 4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ; 答案： ({})U A x φ?-≠ 5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ; A = ; 答案：X ；X 7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ; 答案：{2} 三、单项选择题（每题2分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 3、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ） ①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②
《点集拓扑》复习题 一、概念叙述 1、拓扑空间 2、邻域、邻域系 3、集合A 的凝聚点 4、闭包 5、基 子基 6、子空间 7、（有限）积空间 8、隔离子集 9、连通集 10、连通集 11、连通分支 12、局部连通空间 13、1A 空间 14、2A 空间 15、可分空间 16、Lindeloff 空间 17、i T 空间（1,2,3,4i =） 18、正则空间 19、正规空间 20、紧致空间 21、可数紧空间 22、列紧空间 23、序列紧空间 24、局部紧空间 二、判断题 1、有限集不可能有聚点 （ ） 2、拓扑空间X 的子集A 是闭集的充要条件是A A = （ ） 3、如果A B ?≠?，则A B A B ?=? （ ） 4、设Y 是拓扑空间X 的子空间，A 是Y 的子集，则A 在Y 中的导集是A 在X 中的导集与Y 的交。 （ ） ５、若:f X Y →是同胚映射，则()f X Y = （ ） ６、离散空间中任意子集的导集都是空集 （ ） ７、拓扑空间中每个连通分支都是既开集又是闭集 （ ） ８、度量空间必是2A 空间 （ ） ９、在l R 中，(],a b 是开集 （ ） １０、映射:f X Y →是连续映射的?若拓扑空间Ｘ中序列{}i x 收敛于 x X ∈，则扑拓空间Ｙ中相应序列(){}i f x 收敛于()f x （ ） １１、设Ｘ为拓扑空间，Ｃ为连通分支，Ｙ是Ｘ的一个连通子集，则Y C ? （ ） １２、2A 空间必为可分空间 （ ） １３、正则且正规空间必为0T 空间 （ ） １４、紧致空间的闭子集必为它的紧致子集 （ ） １５、设Ｘ是一个拓扑空间，A X ?，则点x 是集合Ａ的一个凝聚点 ?在{}A x -中有一个序列收敛于x （ ） １６、度量空间也是拓扑空间 （ ） １７、如果一个空间中有每个单点集都是闭集，那么这个空间必是离散空间 （ ） １８、拓扑空间X 是一个连通空间当且仅当X 中不存在既开又闭的非空真子集. ( ) 19、若拓扑空间中的子集A 是连通集，则它的闭包A 也是一个连通集。
《点集拓扑学》教学大纲 一、课程的教学目的和任务 本课程为数学系师范成人专升本选修课程，课程内容为点集拓扑学的一些基本概念、基本理论和基本方法。通过本课程的学习要求学生在掌握基本内容和基本方法的前提下，能以一般的观点总结和提高在一、二年级所学过的课程中有关的概念、理论和方法，进一步培养和提高学生的抽象思维和逻辑推理能力，同时，为进一步学习拓扑学、几何学、泛函和微分方程等课程提供所需用的最基础的知识。本课程总课时为72学时，习题课及机动课时约占总课时的四分之一。由于点集拓扑学是一门理论性强且较为抽象的课程，同时作为几何学的一个分支它的许多概念又有直观的几何背景，因此在教学中特别要注意概念的引入、具体例子和反例的选配，以便更好地阐明各个基本概念的含义从而使学生能准确把握各个基本概念，同时搞清这些例子和反例也是加深理解抽象概念的重要途径之一。带*号的内容可根据学生实际情况自由舍取。 二、课程内容及学时分配建议 第一章集合论的基本知识*12学时这部分内容是研究后续内容的一个知识平台，应该熟练掌握。如果学生对集合论内容熟悉且知识够用可采用复习方式，否则应采用讲授方式。 1.集合的基本概念及运算（包括集族的概念和运算） 2.关系、等价关系和映射 3.可数集与不可数集、基数 4.选择公理* 第二章拓扑空间和连续映射20学时这一部分重点在于建立拓扑结构，理解拓扑空间的概念，掌握拓扑空间的基本性质，为进一步学习拓扑性质打好基础。在教学中应多给一些具体的例子从具体到抽象并通过度量空间的模形来突破抽象空间建立的难点。 1. 度量空间 （1）度量空间的定义和例子 （2）连续函数的ε-δ定义与开集的刻划
1．集合X 的一个拓扑不只一个基，一个基也可以生成若干个拓扑。（ ） 2．每一个度量空间都满足第一可数性公理。（ ） 3．拓扑空间中的连通分支是既开又闭的子集。（ ） 4．从拓扑空间()1,X T 到()2,X T 的恒同映射必是连续映射。（ ） 5．设i T 是拓扑空间i X 的拓扑()1,2i =,则12?T T 是积空间12X X ?的拓扑。（ ） 二、填空题（30分） 1．设A 为是离散空间X 的子集，则A = 。 2．对于拓扑空间(),X T 一个子空间()1,Y T ，T 与1T 满足 。 3．设A 为是拓扑空间X 的子集，则()x d A ∈? 。 4．任何一族连通空间的积空间是 空间。 5．称拓扑空间X 是可分空间，若 。 6．设12n X X X X =???是1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X 的积空间，T 是X 的积拓扑，i T 是空间i X 的拓扑()1,2,,n i =， 则积拓扑的一个子基=S 。 7．称拓扑空间X 是Lindel ?ff 空间，若 。 8．设R 是实数空间，Q 是有理数集，则()d =Q ,=Q 。 三、设集合X 有拓扑12,,,n T T T ，则 1n i i =T 是X 的一个拓扑。 （10分） 四、设,X Y 为拓扑空间，映射:f X Y →在X 上连续的充要条件是Y 有一个基B 满足 ()1,B f B -?∈B 是X 中开集。 （10 分） 五、证明：离散度量空间的每个子集是开集。（10分） 六、证明：每一个满足第二可数性公理的空间都满足第一可数性公理。（10分） 七、证明：若Y 是拓扑空间X 的连通子集，则Y 也是X 的连通子集。（10 分） 八、证明：满足第二可数公理的空间必定为可分空间。（10分）
下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。 二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例） 1、拓扑空间中有限集没有聚点。 答：这个说法是错误的。 反例：{}c b a X ,,= ，规定拓扑 {}{}a X ,,φτ=，则当{}a A =时，b 和c 都是A 的聚点。因为b 和c 的领域只有X 一个，它包含a ，a 不是A 的聚点，因为{}φ=a A \。 2、欧式直线1E 是紧致空间。 答：这个说法是错误的。 反例：对1E 而言，有开覆盖(){}+∈-=Z n n n |,μ，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。 3、如果乘积空间Y X ?道路连通，则X 和Y 都是道路
连通空间。 答：这个说法是正确的。 证明：对于投射有()X Y X P =?1，()Y Y X P =?2，由投射是连续的，又知Y X ?是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X 和Y 都是道路连通空间。 4、单位闭区间I 与1S 不同胚。 答：这个说法是正确的。 下面用反证法证明，反设I 与1S 同胚，则 ? ???????? ??→????????????21\21\2:21\2|1f S f 也是同胚映射，??????21\I 不连通，则 ? ?????21\1S 不连通，故矛盾，所以单位闭区间I 与1S 不同胚。 5、紧致性具有可遗传性质。 答：这个说法是错误的。 反例 ：[]1,0紧致但()1,0不紧致。 三、证明题（每题10分，共50分）
1、规定[)111,0\:E E f →为()???≥-<=110,x x x x x f ，证明f 是连续映射，但不是同胚映射。 证明：由于f 限制在()0,∞-与()+∞,1上连续，由粘接引 理，f 连续。但1-f 不连续，如()0,∞-是[)1,0\1E 的闭集， 但()()()()()()()0,0,0,11∞-=∞-=∞---f f 不是1E 的闭集，所以f 不是同胚映射。 2、证明：Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。 证明：设X 是Hausdorff 空间，Y 是X 的任一子空间，需证Y 是Hausdorff 空间。Y y x ∈?,，由X 是Hausdorff 空间，所以存在y x ,在X 的开邻域U 、V 使得φ=?V U ，Y U ?是x 在Y 中开邻域，Y V ?是y 在Y 中开邻域，()()φ=??=???Y V U Y V Y U ，故Y 是Hausdorff 空间。 3、证明：从紧致空间到Hausdorff 空间的连续双射是同胚。
拓扑学测试题一 一、选择题（每小题2分，共10分） 下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（ ） A. 列紧 B. 序列紧 C. 可数紧 D. 紧致 下列拓扑性质中，没有遗传性的是（ ） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间 下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（ ） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间 设X 多于两点， 21,ττ是X 的两个拓扑，则下列命题不成立的是（ ） (A) 21ττ?是X 的某个拓扑的基; (B) 21ττ?是X 的一个拓扑; (C) 21ττ?是X 的一个拓扑; (D) 21ττ?是X 的某个拓扑的基。 设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是（ ） (A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-= (B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A = (C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d . 二、 二、判断题（每小题5分，共25分） 三、 仿紧空间是度量空间.（） 四、 商映射一定是闭映射或开映射. （） 五、 局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （）
六、 连通空间一定是局部连通空间. （） 七、 若 11:f S →连续，则 1t ?∈，使 1()f t -不可数. （） 八、 三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分） 九、 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、 设 {}0,1,2X =，试写出 X 上的所有拓扑. 十一、 四、证明题（每小题10分，共40分） 十二、 若 X 满足 1T 公理，则 X 中任一子集的导集都是闭集. 十三、 证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的. 十四、 证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集. 十五、 证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ?=∈是 X X ?的闭集. 答案 一 、 选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B 二 、 是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√ 三 、 解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 解 例如 {}0,1X =， {},0,X τ=?， {}{}01'=. 2. 设 {}0,1,2X =，试写出X 上的所有拓扑. 解 2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个： {Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}}，{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个： {Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}，
大学拓扑学考试试卷参考答案（A ） 一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑. A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T B. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T C. {,,{},{,}}X a a b φ=T D. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 2、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的 个数为（ ） & A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ） A. φ B. Z C. R -Z D. R 4、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） A. 若A φ=,则d A φ= B. 若0{}A x =,则d A X = C. 若A={12,x x },则d A X A =- D. 若12{,}A x x =,则d A A = 5、平庸空间的任一非空真子集为( ) A. 开集 B. 闭集 C. 既开又闭 D. 非开非闭 & 二、简答题（每题3分，共15分） 1、2 A 空间 2、1T 空间： 3、不连通空间 4、序列紧致空间 … 5、正规空间 三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）
1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ） 2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（ ） 3、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则d A φ=（ ） 4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集 ( ) < 四、证明题（共50分） 1、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试证明 :g f X Z →也是连续映射。(10分) 2、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个 连通子集. (10分) 3、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集. (10分) ) 4、设X 为非空集合，令 {}{}|,C A A X C ==-??余可数 其中为至多可数集 试证：(1) (), X 余可数 是一个拓扑空间；(5分) (2) 若X 不可数，(),X 余可数 是连通空间；(5分) (3) ()X,余可数 为1 T 但非2 T 空间；(5分) (4) (), X 余可数 是Lindel?ff 空间(提示： 即证X 的任一个开覆盖有至多可数覆盖)。(5分) /
点集拓扑学~非同凡响畅想系列 注明：（拓扑学的语言表达准确性很重要），这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后研究的那些不变性和不变量，比如连通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这些都和弹性变形下的拓扑不变性有关，这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸关系，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 第一节：关系与映射 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来作为一个群体来研究，这个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体，或一个抽象的概念，或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不完全相同，也可能是没有包涵关系的子集，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母代表，其中元素用小写代表。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,,Λc b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，或者用数学表达方式来抽象的替代构成集合的要求，为了便于数学分析与研究我们一般用这种数学表达方式来抽象的描述集合，如下： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者
§5.2可分空间 本节重点: 掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系； 掌握稠密子集的定义及性质. 定义5.2.l 设X是一个拓扑空间，D X．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集. 以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义． 定理5.2.1 设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．又设f,g：X→Y都是连续映射．如果，则f=g(本定理说明两个映射只须在稠密子集上相等,就一定在整个空间相等) 证明设．如果f≠g，则存在x∈X使得 f(x)≠g（x）．令：ε=|f(x)-g(x)|， 则ε＞0．令 ＝（f(x)-ε/2,f(x)+ε/2) ＝（g(x)-ε/2,g(x)+ε/2) 则根据映射f和g的连续性可知都是x的邻域，从而U ＝也是x的一个邻域．由于子集D是稠密的，所以U∩D≠．对于任意一个y∈U∩D，我们有， f（y）=g（y）∈，矛盾． 我们也希望讨论有着较少“点数”稠密子集的拓扑空间，例如具有有限稠密点集的拓扑空间．但这类拓扑空间比较简单，大部分我们感兴趣的拓扑空间都不是这种情形，讨论起来意思不大．例如一个度量空间如果有一个有限的稠密子集的话，那么这个空间一定就是一个离散空间．相反，后继的讨论表明，许多重要的拓扑空间都有可数稠密子集．
定义5.2.2 设X是一个拓扑空间．如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间． 定理5.2.2 每一个满足第二可数性公理的空间都是可分空间． 证明设X是一个满足第二可数性公理的空间，B是它的一个可数基．在B中的每一个 非空元素B中任意取定一个点∈B．令 D={|B∈B，B≠} 这是一个可数集．由于X中的每一个非空开集都能够表示为B中若干个元素（其中当然至少会有一个不是空集）之并，因此这个非空开集一定与D有非空的交，所以可数集D是X的一个稠密子集． 包含着不可数多个点的离散空间一定不是可分的．这是因为在这样一个拓扑空间中，任何一个可数子集的闭包都等于它的自身而不可能等于整个空间． 可分性不是一个可遗传的性质，也就是说一个可分空间可能有子空间不是可分的．例子见后面的例5.2.1．然而由于满足第二可数性公理是一个可遗传的性质，因此根据定理5.2.2我们立即得到： 推论5.2.3 满足第二可数性公理的空间的每一个子空间都是可分空间． 特别，n维欧氏空间中的每一个子空间（包括它自己）都是可分空间． 例5.2.1 设(X，T)是一个拓扑空间，∞是任何一个不属于X的元素（例如我们可以取∞=X）．令X*=X∪{∞}和T*={A∪{∞}|A∈T}∪{}．容易验证（请读者自己证明）（X*,T*）是一个拓扑空间． 我们依次给出以下三个论断： （1）（X*，T*）是可分空间．这是因为∞属于（X*，T*）中的每一个非空开集，所以单点集{∞}是（X*，T*）中的一个稠密子集． （2）（X*，T *）满足第二可数性公理当且仅当（X，T）满足第二可数性公理． 事实上，B是（X，T）的基当且仅当B*={B∪{∞}|B∈B}是（X*，T*）的一个基，而B 与B*有相同的基数则是显然的． （3）（X，T）是（X*，T*）的一个子空间．因为T*T.
| | | | | | 密| | | | | | | | | 封| | | | | | | | | 线| | | | | | | | | | | | 点集拓扑试题样卷2 一二三四总分 代号学院专业 年级 学号 姓名 备注: ①试卷首页必 须用统一的考试 命题专用纸,第 二页以后用专用 纸续页。 ②试卷必须打 印成卷字迹要工整、清楚。 ③各题留出答 案空白。 ④试卷打印后 应认真校对，避 免卷面错误。 得分阅卷人 一、选择题(将正确答案填入题后的括号内,每题3分， 共18分) 1、已知{,,,,} X a b c d e =,下列集族中，是X上的拓扑.……（） ①{,,{},{,},{,,}} X a a b a c e φ = T ②{,,{,,},{,,},{,,,}} X a b c a b d a b c e φ = T ③{,,{},{,}} X a a b φ = T ④{,,{},{},{},{},{}} X a b c d e φ = T 2、已知{,} X a b =，拓扑{,,{}} X a φ = T,则{}a是………………（） ①φ②X③{}a④{}b 3、在实数空间R中给定如下等价关系: ~ x y?]1, ( ,-∞ ∈ y x或者]2,1( ,∈ y x或者) ,2( ,+∞ ∈ y x 设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[3]} Y=,则Y的商拓扑是（） ①{,,{[3]},{[2],[3]}} Y φ②{,,{[3]}} Y φ ③{,,{[3]},{[1],[2]}} Y φ④{,} Y φ 4、下列拓扑学的性质具有可遗传性的是………………………（） ①连通性② 2 T③正则④正规 5、设{1,2} X=，{,,{2}} Xφ = T，则(,) X T是………………（） ① T空间② 1 T空间③ 2 T空间④ 3 T 6、下列拓扑学的性质具有有限可积性的是……………………（） ①连通性②紧致性③正则性④可分性 得分阅卷人 二、简答题（每题4分，共32分） 1、写出同胚映射的定义. 2、什么是不连通空间? 3、什么是正则空间？ 4、写出紧致空间的定义. 5、写出可分空间的定义 6、写出列紧空间的定义.
点集拓扑学练习题 一、单项选择题(每题1分) 1、已知X {a,b,c,d,e},下列集族中，( )是X上的拓扑? ① T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c,e}} ② T {X, ,{ a,b, c},{ a,b,d},{ a,b, c,e}} ③ T {X, ,{a},{a,b}} ④ T {X, ,{a},{ b},{ c},{ d},{ e}} 答案：③ 2、设X {a,b,c}，下列集族中,( )是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a,b},{ c}} ②T {X, ,{a},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 3 、 已知X {a,b,c,d},下列集族中，' ( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a, b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b,c},{ a,b, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{b}} 答案：① 4、设X {a, b, c}，下列集族中,（）是X上的拓扑. ①T {X, ,{b},{ c},{ a,b}} ②T {X, ,{a},{ b},{ a,b},{ a,c}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c}} ④T {X, ,{a},{ b},{ c}} 答案：② 5、已 知 汨X {a,b,c,d},下列集 :族中， （( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a,b},{ a,c,d}} ②T {X, ,{a,b},{ a,c, d}} ③T {X, ,{a},{ b},{ a,c,d}} ④T {X, ,{a},{ c},{ a,c}} 答案：④ 6、设X {a, b, c}，下列集族 中 ,( ）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ b},{ b,c}} ②T {X, ,{a,b},{ b, c}} ③T {X, ,{a},{a,c}} ④T {X, ,{a},{b},{c}} 答案：③ 7、已知X {a,b,c,d}，拓扑T {X, ,{a}},贝U{b}=() ①?②X ③{b} ④{b, c, d} 答案：④
| | | | | | 密 | | | | | | | | | 封 | | | | | | | | 点集拓扑试题样卷2 一二三四总分 代号学院 专业 年级 学号 姓名 备注: ①试卷首页必 须用统一的考试 命题专用纸,第 二页以后用专用 纸续页。 ②试卷必须打 印成卷字迹要工整、清楚。 ③各题留出答 案空白。 ④试卷打印后 应认真校对，避 免卷面错误。 得分阅卷人一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分， 共18分) 1、已知{,,,,} X a b c d e =,下列集族中，是X上的拓扑.……（ 3 ） ①{,,{},{,},{,,}} X a a b a c e φ = T ②{,,{,,},{,,},{,,,}} X a b c a b d a b c e φ = T ③{,,{},{,}} X a a b φ = T ④{,,{},{},{},{},{}} X a b c d e φ = T 2、已知{,} X a b =，拓扑{,,{}} X a φ = T,则{}a是………………（ 2 ） ①φ②X③{}a④{}b 3、在实数空间R中给定如下等价关系: ~ x y?]1, ( ,-∞ ∈ y x或者]2,1( ,∈ y x或者) ,2( ,+∞ ∈ y x 设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[3]} Y=,则Y的商拓扑是（ 1 ） ①{,,{[3]},{[2],[3]}} Y φ②{,,{[3]}} Y φ ③{,,{[3]},{[1],[2]}} Y φ④{,} Y φ 4、下列拓扑学的性质具有可遗传性的是………………………（） ①连通性② 2 T③正则④正规 5、设{1,2} X=，{,,{2}} Xφ = T，则(,) X T是………………（ 1 ） ① T空间② 1 T空间③ 2 T空间④ 3 T 6、下列拓扑学的性质具有有限可积性的是……………………（） ①连通性②紧致性③正则性④可分性 得分阅卷人 二、简答题（每题4分，共32分） 1、写出同胚映射的定义. 2、什么是不连通空间 3、什么是正则空间 4、写出紧致空间的定义. 5、写出可分空间的定义 共 6 页，第 1 页共 6 页，第 2 页
(点集拓扑学拓扑)知识点
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第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉 及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2）， 尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两 个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述 不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对 于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的， 而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的． 定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l ）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求． （2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集， 则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要
《点集拓扑》试卷B 卷 第1页 （共4页） 《点集拓扑》试卷B 卷 第2页 （共4页） 2011 至 2012 学年第 1 学期 点集拓扑 试卷B 卷 出卷教师：谢萍丽 适应班级：信计0801、0802 考试方式：开卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的100% 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 核分人 得分 复查总分 总复查人 一、填空：（每题3分，共15分） 1. 设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 . 2. 设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = . 3. :f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 . 4. 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =______________. 5. 拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质 是一个 . 二、判断对错，并说明理由：（每题5分，共15分） 1、从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射. ( ) 2、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ?≠,则A B ?. （ ） 3、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=。（ ） 三、名词解释： （每题4分，共16分） 1. 紧致空间 2. 正则空间 3. 可分空间 4. Lindeloff 空间 四、 （本题10分）设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ??,则或者A Y ?,或者B Y ?. 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 得分 评卷人 学院名称 专业班级： 姓名： 学号： 我 密 封 线 内 不 要 答 题 ┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃ 密 ┃┃┃┃┃┃┃┃┃ 封 ┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃ 线 ┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃┃
第7章 紧致性 §7.1 紧致空间 本节重点： 掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．（这些方法哪些是充要条件）； 掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的． 在§5.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的Heine－Borel定理断言：实数空间R的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3中我们将要推广这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中． 定义7.1.1 设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间． 明显地，每一个紧致空间都是Lindeloff空间．但反之不然，例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff空间，但它不是一个紧致空间． 例7.1.1 实数空间R不是一个紧致空间．这是因为如果我们设 A＝{（－n，n）R|b∈Z+},则A的任何一个有限子族 { },由于它的并为 (-max{},max{}) 所以不是R的一个子覆盖．因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖． 定义7.1.2 设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集． 根据定义，拓扑空间X中的一个子集Y是X的紧致子集意味着每一个由子空间Y中的开集构成的Y的开覆盖有一个有限子覆盖，这并不明显地意味着由X中的开集构成的每一个Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要的． 定理7.1.1 设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集．则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．（此定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）
一、证明下列是否为拓扑 1、Tf={U包含于X|X-U有限}∪{空集} 满足①全集、空集包含于Tf ②任意A、B∈Tf 若A、B中有一个为空集，A∩B=空集∈T。若不是，（A∩B）′=A′∪ B′，A∪B∈T ③设T1∈T，令T2=T1-{空集}。显然有∪A∈T1(A)=∪A∈T2(A).如果T2=空集，则∪A ∈T1(A)=∪A∈T2(A)=空集∈T。设T2≠空集。任取A0∈T2.这时（∪A∈T1(A)）′=（∪A∈T2(A)）′=∪A∈T2(A′)∈A0′是X的一个有限子集，所以∪A∈T1(A) ∈T。所以为拓扑。 2、Tc={U包含于X|X-U可数}∪{空集} 3、T∞={U包含于X|X-U无限}∪{空集}∪{X} 二、计算实值标准拓扑R子空间Y=（0，1]，子集（0.1/2）=A。求A在Y、R中的闭包、内 部。 Y中：闭包（0,1/2].内部（0，1/2） R中：闭包[0,1/2].内部（0，1/2） 三、A包含于Y，Y包含于X，为闭子空间。若A包含于Y则A为X中闭集。 Y包含于X闭，所以存在X中闭集B使得A=Y∩B（子空间闭集定义），所以Y包含于X 闭，所以A为X中闭集。 四、设A、B、Aa包含于X，证明：1、A包含于B=A的闭包包含于B的闭包。2、A∪B= A∪B。 3、∪Aa包含∪Aa。 1、 五、X、Y有子集A包含于X，B包含于Y，则A*B=A*B
六、R:K={1/n|n∈R+}求在T1、T2、T3、T4、T5中的闭包。 f（A）。4、任意B包含于Y，f-1（B）包含f-1（B）。5、任意B包含于Y，f-1（B°） 包含于（f-1（B））°证明1~5等价。 八、连续的满的闭映射为商映射。
《基础拓扑学试卷》 试卷2 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 设A 为离散空间X 的子集, 那么()i A =_________________________. 2. 设A 为度量空间(,)X ρ的子集, 若,(,)0x X x A ρ∈>, 则准确表示x 与A 的关系的式子是x ∈__________________. 3. 拓扑空间X 的每一个有限集是闭集当且仅当X 是____________空间. 4. 设X 为拓扑空间,A 为X 的子集, x X ∈, 如果_________________________________, 则称x 是A 的凝聚点. 5. 点集拓扑学的中心任务是研究____________________________________________. 6. 对于拓扑空间(,)X τ的一个子空间(,)Y τ', τ与τ'满足: (________________)τ'=. 7. 设X 为满足第一可数公理的拓扑空间, 那么每一个x X ∈有一个的邻域基具有如下特点:_________________________________________. 8. 设12n X X X X =???为拓扑空间12,,,n X X X 的积空间, X φ≠, X 是紧拓扑空间, 则每一个j X 为_______________________空间. 9. 任何一族连通空间的积空间都是_________________________空间. 10. 一个拓扑空间的可分性定义为________________________________. 二、单项选择题 (每小题2分, 共20分) 11. 设:,,f X Y A B Y →?, 则下面不正确的命题是（ ） A. 1(())A f f A -= B. 111()()()f A B f A f B ---= C. 111()()()f A B f A f B ----=- D. 111()() ()f A B f A f B ---= 12. 设X 为拓扑空间, B A ?, 则下面不正确的命题是( ) A. d d B A ? B. 00B A ? C. B A ''? D. B A ? 13. 设X 为拓扑空间, {}n x 是X 中的收敛序列, 则下面正确的命题是( ) A. 对于任何拓扑空间X , {}n x 的极限唯一. B. 若X 是Hausdorff 空间, 则{}n x 的极限唯一.