七 1、梯形（35分钟）
一、选择题
1．梯形ABCD中，AD∥BC，则∠A：∠B：∠C：∠D可能是（）A．4：6：2：8 B．2：4：6：8 C．4：2：8：6 D．8：4：2：6 2．如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB=DC，AD∥BC，AC、BD相交于点O，则图中面积相等的三角形有（）
A．1对B．2对C．3对D．4对3．（2006·长沙）如图2，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，
∠B=60°，AD=2，BC=8，则此等腰梯形的周长为（）
A．19 B．20 C．21 D．
22
(1) (2) 4．四边形ABCD中，若∠A：∠B：∠C：∠D=2：2：1：3，则这个四边形是（）
A．梯形B．等腰梯形C．直角梯形D．任意四边形5．梯形的对角线（）
A．有可能被交点所平分B．不可能被交点所平分
C．不相等D．不可能互相垂直
6．在梯形中，以下结论：①两腰相等；②两底平行；③对角线相等；④两底相等，正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
7．若等腰梯形的两底之差等于一腰的长，那么它的下底角为（）A．75°B．60°C．45°D．30°
8．顺次连接等腰梯形各边中点，得到的四边形为（）A．梯形B．矩形C．菱形D．平行四边形
9．下列命题中，真命题有（）
①有两个角相等的梯形是等腰梯形;
②有两条边相等的梯形是等腰梯形;
③两条对角线相等的梯形是等腰梯形;
④等腰梯形上、下底中点连线，把梯形分成面积相等的两部分. A．1个B．2个C．3个D．4个
(3) (4) 10．（2006·天津）如图3，在梯形ABCD中，AB∥CD，中位线EF 与对角线AC、BD交于M、N两点，若EF=18cm，MN=8cm，则AB的长等于（）
A．10cm B．13cm C．20cm D．26cm
二、填空题
11．梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=55°，∠C=78°，则∠D=______，∠A=______．
12．梯形ABCD中，AD∥CB，AB⊥BC，∠C=60°，BC=CD=4cm，则AD=______，AB=_____，S梯形ABCD=_______．
13．直角梯形的一条腰长12cm，这条腰与上底的夹角为135°，则这个梯形的上、下底相差为______cm．
14．（2011·湖北常德）等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm、6cm，则等腰梯形的下底角为________．15．（2012·河南课改）如图4，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端A和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD=6km，则AB=______km．
16．写出等腰梯形ABCD（AB∥CD）特有而一般梯形不具有的三个特性：__________________________．
三、解答题
17．（2009·北京）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=45°，BE⊥CD于点E，AD=1，
BE的长．
18．（2011·河南）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，E为底边BC的中点，且DE∥AB．试判断△ADE的形状，并给出证明．
19．（2011·贵州课改）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=DC，P为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PA=PD．
（1）写出图中三对全等的三角形（不再添加辅助线）；
（2）选择（1）中写出的全等三角形中任意一对进行证明．
2、锐角三角函数（35分钟）
一．回顾
sinA = =
=
cosA= = =
tanA= = =
1
（1）cos60°+tan60°=
(2) =
(3) =
=
一、填空题
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cosA＝，sinB
＝，tanB＝。
2、直角三角形ABC的面积为24cm2，直角边AB为6cm，∠A是锐角，
则sinA＝。
3、已知tanα＝
12
5
，α是锐角，则sinα＝。
4、cos2(50°＋α)＋co s2(40°－α)－tan(30°－α)tan(60°＋α)
＝；
5、如图1，机器人从A点，沿着西南方向，行了个42单位，到达
B点后观察到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐
标为 .（结果保留根号）．
（3）
6、等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值
为.
7、某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面米高。
斜边
的对边
A
∠
斜边
的邻边
A
∠
邻边
的对边
A
∠
?
?
?
?
-
?
30
cos
60
sin
60
cos
45
tan
?
+
?
+
?
30
tan
1
60
sin
1
60
cos
().
45
cos
2
60
cos
30
sin
2
2
40
2
2
2-
+
C
B
b
a
c
9、在△ABC 中，∠ACB＝90°，cosA=3
3
，AB ＝8cm ，则△ABC 的面
积为______ 。 二、选择题：
11、sin 2θ＋sin 2(90°－θ) (0°＜θ＜90°）等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.2sin 2θ
12、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A 的三角函数值
（ ）A.也扩大3倍 B.缩小为原来的3
1
C. 都不变
D.有的扩大，有的缩小
13、以直角坐标系的原点O 为圆心，以1为半径作圆。若点P 是该圆上第一象限内的一点，且OP 与x 轴正方向组成的角为α，则点P 的坐标为（ ）
A.(cos α,1)
B.(1,sin α)
C.(sin α,cos α)
D.(cos α,sin α) 14、如图4，在△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm ，AB 的垂直平分线MN
交AC 于D ，连结BD ，若cos ∠BDC=5
3
，则BC 的长是（ ）
A 、4cm
B 、6cm
C 、8cm D
、
10cm
(4) (5) (6) 15、已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ） A.200
B.300
C.400
D.500
16、若tan(a+10°)=3，则锐角a 的度数是 ( ) A 、20° B 、30° C 、35° D 、50° 17、如果α、β都是锐角，下面式子中正确的是 （ ）
A 、sin(α+β)=sin α+sin β
B 、cos(α+β)=
1
2
时，α+β=600 C 、若α≥β时，则cos α≥cos βD 、若cos α>sin β,则α+β>900 18、如图5,小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30o角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为
( )
A ．29.53英尺
B ．28米
C ．()37+米 D.()
3214+米 19、如图6,两建筑物的水平距离为am,从A 点测得D 点的俯角为a,测得C 点的俯角为β,则较低建筑物CD 的高为 ( ) A.a m B.(a ·tan α)m C.
tan a
α
m D.a(tan α－tan β)m 20、△ABC 中，∠C ＝90°.
(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B 、a 、b ．
(2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B 、b 、c.
3、解直角三角形(35分钟)
一、选择题
1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，下列式子不一定成立的是（ ） A ．sinA=sinB B ．cosA=sinB C ．sinA=cosB D ．∠A+∠B=90 2．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ） A ．10 B ．
2．10或
．无法确定 3．已知锐角α，且tan α=cot37°，则a 等于（ ） A ．37° B ．63° C ．53° D ．45°
4．在Rt △ABC 中，∠C=90°，当已知∠A 和a 时，求c ，应选择的
关系式是（ ）
A ．c=sin a A
B ．c=cos a
A
C ．c=a ·tanA
D ．c=a ·cotA
5．如图是一个棱长为4cm 的正方体盒子，一只蚂蚁在
D 1C 1的中点M 处，它到BB 的中点N 的最短路线是（
）
A ．
8 B ． C ．．6．已知∠A 是锐角，且A 等于（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 7．当锐角α>30°时，则cos α的值是（ ） A ．大于
12 B ．小于12 C 8．小明沿着坡角为30°的坡面向下走了2米，那么他下降（ ） A ．1米 B C ．．3
9．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4
3
，BC=8，则AC 等于（ ） A ．6 B ．32
3
C ．10
D ．12 二、填空题
11．如图，3×3?网格中一个四边形ABCD ，?若小方
格正方形的边长为1，?则四边形ABCD 的周长是
_______．
12．计算2sin30°+2cos60°+3tan45°=_______．
13．若sin28°=cosα，则α=________．
14．已知△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则tanA=______．
15．某坡面的坡度为1
_______度．
16．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，?最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是________厘米．
三、解答题
17．计算下列各题．
（1）s in230°+cos245°
°.tan45°=
（2）
22
cos30cos60
tan60cot30
?+?
??
+tan60°=
（3）tan2°tan4°·tan6°…tan88°
四、解下列各题
19．如图所示的燕服槽一个等腰梯形，外口AD宽10cm，燕尾槽深
10cm，AB的坡度i=1：1，求里口宽BC及燕尾槽的截面积．
20．如图，AB是江北岸滨江路一段，长为3千米，C为南岸一渡口，
?为了解决两岸交通困难，拟在渡口C处架桥．经测量得A在C北偏
西30°方向，B在C的东北方向，从C处连接两岸的最短的桥长多
少？（精确到0.1）
1、梯形答案:
1．A 2．C 3．D 4．C 5．B6．A 点拨：正确的是②．7．B 点拨：平移一对角线，可得出等边三角形．
8．C 点拨：由等腰梯形对角线相等可得出．
9．B 点拨：真命题有③④．10．D 11．102°125°
12．2cm
6 2 13．
14．60°
15．
16．AD=BC；∠A=∠B；∠C=∠D
17．点拨：过D作DF⊥BC于F，在等腰Rt△DFC中，用勾股定理求出FC=2，所以BC=3，?在等腰Rt△BEC中，再由勾股定理求出
BE=3
2
18．解：△ADE是等边三角形．理由如下：
∵AB=CD，∴梯形ABCD为等腰梯形，∴∠B=∠C．
∵E为BC的中点，∴BE=CE．
在△ABE和△DCE中，
∵
AB DC
B C
BE CE
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△ABE≌△DCE，∴AE=DE．
∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形．
∴AB=DE．
∵AB=AD，∴AD=AE=DE．
∴△ADE为等边三角形．
19．解：（1）△APB≌△DPC，△ABE≌△DCF，△BEP≌△CFP，△BFP ≌△CEP
（2）假设是△ABP≌△DCP
证明：∵PA=PD，∴P点在线段AD的中垂线上．
又∵ADCB 为等腰梯形，AD 、BC 分别为上下底， 由对称轴可知P 点也是在BC 的中垂线上，
∴PB=PC ，∴△ABP ≌△CDP ． 2、锐角三角函数 1、
13133，13
13
3，23 2、54 3、135 4、0
5、(0,4+334)
6、512
7、25
8、35
9、3
2
32 10、a
11、B 12、C 13、D 14、A 15、C 16、D
17、B 18、D 19、D 20、（1）∠B=30°，a=12，
（2）∠B=30°，b=92，c=66
3、解直角三角形 1．A 2．C [点拨]长为8的边即可能为直角边，也可能为斜边． 3．C [点拨]tan α=cot37°，所α+37°=90°即α=53°． 4．A [点拨]sinA=a c ，所以c=sin a A
． 5．C [点拨]利用展开图得
MN=
6．C
7．D [点拨]余弦值随着角度的增大而减小，α>30°，cos30°
所以
． 8．A 9．A [点拨]tanA=BC AC ，AC=8
4
tan 3
BC A ==6． 11．
3
+2
[点拨]四边形ABCD 的周长
为
=3
12．
[点拨]原式=2×12+2
×2
+3×
13．62°
14．125 [点拨
，tanA=BC AC =125
．
15．30° 16．6 [点拨]根据条件可得筷子长为12
厘米，
如图AC=10，
=6．
17．解：（1）原式=（12）2+
（2）2
+
××1=14+12
3
（
2）原式
22
1()
+13（3）原式=tan2°·tan4°·tan6°·…cot6°·cot4°·cot2°
=（tan2°·cot2°）（tan4°·cot4°）·
（tan6°·cot6°）…
=1 21．解：如下图，作DF ⊥BC 于点F ．由条件可得四边形AEFD 是矩形，AD=EF=10．
AB的坡角为1：1，所以AE
BE
=1，所以BE=10．同理可得CF=10．
里口宽BC=BE+EF+FC=30（厘米）．
截面积为1
2
×（10+30）×10=200（平方厘米）．
22．过点C作CD⊥AB于点D．
CD就是连接两岸最短的桥．设CD=x米．
在直角三角形BCD中，
∠BCD=45°，所以BD=CD=x．
在直角三角形ACD中，∠ACD=30°，
所以AD=CD×tan∠ACD=x·tan30°．
因为AD+DB=AB，所以x=3， 1.9（米）．
直角三角形边角关系知识点考点总结 考点一、直角三角形的性质 （3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC=2 1 AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC
考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 21 0 tan α 0 3 3 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3
第20题图 课题：解直角三角形的运用 【学习目标】1、理解锐角三角函数的概念。2、掌握30°、45°、60°的三角函数值。3、能熟练的运用锐角三角函数解决实际问题 【学习重点】能熟练的运用锐角三角函数解决实际问题 【教学难点】能熟练的运用锐角三角函数解决实际问题 【学习过程】 一、课堂前置 1、锐角三角函数的概念 ：如图，在△ABC 中，∠C =90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin =∠=斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A 锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数 2、特殊角的三角函数值 3．如图（2）仰角是____________,俯角是____________． 4．如图（3）方向角：OA ：_____，OB ：_______，OC ：_______，OD ：________． 5．如图（4）坡度：AB 的坡度i AB ＝_______，∠α叫_____，tan α＝i ＝____． 图（2） 图（3） 图（4） 二、小组交流 （2011年楚雄）20．（本小题8分）如图，甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以60海里/时的速度沿北偏东60°方向航行，乙船沿北偏 西30°方向航行，半小时后甲船到达C 点，乙船正好到达甲船正西方向的B 1.7≈）． O A B C
60°30° F E M D C B A M C A B N B （2013年楚雄）20．（6分）如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A 附近沿正东方向航行，船在B 点时测得钓鱼岛A 在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C 点，此时钓鱼岛A 在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A 的距离最近？ 三、分享表达： （2014年云南）21.（6分）如图，小明在M 处用高为1米（DM=1米）的测角仪测得旗杆AB 的顶端B 的仰角为30°，再向旗杆方向前进10米到F 处，又测得旗杆的顶端B 的仰角为60°，请求出旗杆AB 的高度。（取3≈1.73，结果保留整数。） （2012年云南）20．（本小题6分）如图，某同学在楼房的A 处测得荷塘的一端B 处的俯角为30°，荷塘另一端D 与点C 、B 在同一直线 上，已知AC=32米，CD=16米，求荷塘宽BD 1.73≈，结果保留整数） 四、拓展提升 （2015年云南）19．为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥．建桥过程中需测量河的宽度（即两平行河岸AB 与MN 之间的距离）．在测量时，选定河对岸MN 上的点C 处为桥的一端，在河岸点A 处，测得∠CAB=30°，沿河岸AB 前行 30米后到达B 处，在B 处测得∠CBA=60° ．请你根据以上测量数据求出河的宽度． 1.41≈ 1.73≈；结果保留整数） （2010年楚雄）20．（本小题8分）如图，河流的两岸PQ 、MN 互相平行，河岸PQ 上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米， 某人在河岸MN 的A 处测得∠DAN = 35°，然后沿河岸走了120米到达B 处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE(结果保留两个有效数字)． （参考数据： sin35°≈ 0.57, cos35°≈ 0.82, tan35°≈ 0.70 sin 70°≈ 0.94, cos70°≈ 0.34, tan70°≈ 2.75 ）
课 题 解直角三角形 授课时间： 备课时间： 教学目标 1. 了解勾股定理 2. 了解三角函数的概念 3. 学会解直角三角形 重点、难点 三角函数的应用及解直角三角形 考点及考试要求 各考点 教学方法：讲授法 教学内容 （一）知识点（概念）梳理 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 7.图中角α可以看作是点A 的 角 也可看作是点B 的 角； （1）
9、（1）坡度（或坡比）是坡面的 铅直 高度（h ）和水平长度（l ）的比。 记作i,即i = l h ； （2）坡角——坡面与水平面的夹角。记作α，有i ＝l h =tan α （3）坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 大 ，坡面就越 陡 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即 b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 21 22 23 1 cos α 1 23 2 2 21 0 tan α 0 33 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3 0 4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系 1cos sin 22=+A A （3）倒数关系 tanA ?tan(90°—A)=1
中考解直角三角形 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余：可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 4、勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2 ＋b 2 ＝c 2 . 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 A B C a b c 弦股 勾 勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2 ＋b 2 ＝c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。 考点二、直角三角形的判定 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形、有两个角互余的三角形是直角三角形 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2 +b 2 =c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是： （1）确定最大边（不妨设为c ）； （2）若c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形； 若a 2 ＋b 2 ＜c 2 ，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）； 若a 2 ＋b 2 ＞c 2 ，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边） 4. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。 （3）用于证明线段平方关系的问题。 （4）利用勾股定理，作出长为n 的线段 考点三、锐角三角函数的概念 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan = ∠∠= 的邻边的对边A A A
锐角三角函数及解直角三角形 29.1 锐角三角函数以及特殊角 （2011江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（ ） A. 12 B. 2 D.1 【解析】sin45° = 2 【答案】B 【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。 （2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 A ．12 B C D 【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝CD AC 【答案】B 【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义． 29.2 三角函数的有关计算 图4 图4
（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A ．200米 B. C. D. 1)米 解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tan ,tan CD CD A B AD DB = =，又CD=100，因此 AB=AD+DB= 00100100100tan tan tan 30tan 45 CD CD A B +=+=。 答案：D 点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。 ( 2012年浙江省宁波市,8,3)如图，Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23 ,则BC 的长为 （A ）4 (B)2 5 (C) 18 1313 (D) 121313 【解析】由三角函数余弦的定义cosB=BC AB =23 ，又∵AB=6∴BC=4,故选A 【答案】A 【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易. （2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是 ， cosA 的值是 .（结果保留根号） 8题图 A B C
《锐角三角函数》全章复习与巩固--巩固练习（基础） 一、选择题 1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则BC的长是 （）A． B．4 C．8 D．4 2．等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（）A．60° B．90° C．120° D．150° 第2题第3题第4题 3．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，cos∠DCA ，BC＝10，则AB的值是 ( ) ＝4 5 A．3 B．6 C．8 D．9 4．如图所示，在菱形ABCD中，DE⊥AB，3 A ， tan∠DBE的值 cos 5 是 ( ) A. 1 2 5．如图所示，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF
＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 等于 ( ) A ．3 4 B ．43 C ．3 5 D ．45 第5题图 第7题图 6．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B =，则cosA 的值为（ ） A ．1 2 B ．2 C ．2 D ．3 7．如图所示，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树 之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB 为 ( ) A ．5cos α米 B ．5cos α米 C ．5sin α米 D ．5sin α 米 8．等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1:2，则等腰三角形顶角的度数为 （ ） A ．30° B ．50° C ．60°或120° D ．30°或150° 二、填空题 9．计算：1 01|245| 1.41)3-??--+= ???°________．
解直角三角形应用题 考点一、直角三角形的性质 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC= 2 1AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即2 2 2 c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC 考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系2 2 2 c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A
解直角三角形 本章知识结构梳理 一、锐角三角函数 1、梯子越陡——倾斜角＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——水平宽度与梯子的比＿＿＿＿＿ 倾斜角越大——铅直高度与水平宽度的比＿＿＿＿ 2、直角三角形AB 1C 1 和直角三角形ABC 有什么关系? 边之间的关系呢？ 3、三角函数定义： 注意：sinA ，cosA ，tanA 都是一个完整的符号，单独的sin ，cos ，tan 是没有意义的，其中A 前面的“∠”一般省略不写 例1、把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A ，A ′的余弦值的关系为（ ） A ．cosA=cosA ′ B ．cosA=3cosA ′ C ．3cosA=cosA ′ D ．不能确定 例2、在△ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，则下列各项中正确的是（ ） A ．a=c ·sin B B ．a=c ·cosB C ．a=c ·tanB D ．以上均不正确 例3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA= 23 ，则tanB 等于（ ） 锐角三角函数 1锐角三角函数的定义 ⑴、正弦； ⑵、余弦； ⑶、正切。 2、30°、45°、60°特殊角的三角函数值。 3、各锐角三角函数间关系 ⑴、定义； ⑵、直角三角形的依据 ⑶、解直角三角形的应用。 ①、三边间关系； ②、锐角间关系； ③、边角间关系。
A ． 35 B ．3 C ．2 5 D ． 2 例4、已知：α是锐角，tan α= 7 24 ，则sin α=_____，cos α=_______． 4、取值范围：0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1，tanA ＞0 解直角三角形的知识在生活和生产中有广泛的应用，如在测量高度、距离、角度，确定方案时常用到解直角三角形。解这类题关键是把实际问题转化为数学问题，常通过作辅助线构造直角三角形来解决。 坡度（坡比） 方向角度 俯角仰角 例6、如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，求AB ?的值． 例7、如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB=BD ，根据此图求tan15°的值．
中考复习锐角三角函数及解直角三角形教学设计 吉林省白山市靖宇县景山学校高芝红 义务教育课程标准人教版教科书《数学》九年级下《锐角三角函数及解直角三角形》专题复习。 根据数学新课标及吉林省中考数学考纲制定以下教学目标： 教学目标 知识与技能使学生掌握特殊角三角函数值，理解直角三角形的边角关系，并能运用这些关系解直角三角形。 过程与方法在学生经历“回顾—应用—归纳”直角三角形相关知识过程中，体会数形结合、转化、化归、抽象的思想。 情感态度与价值观通过运用直角三角形相关知识解决问题,培养学生的综合运 用知识解决问题的能力，体验运用数学知识解决一些简单的 实际问题，培养学生用数学的意识。 重点特殊角的三角函数值及选择正确关系式运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。 难点将实际问题抽象为数学问题，选择正确关系式运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题。 教法数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，九年级学生具备一定的探究能力，因此我采用学生独立思考、阐述解题思路、 合作探究、引导启发等方法突破难点。 学法通过学生独立思考、师生合作等方法认识到数与形相结合的意义和作用，提高学生将千变万化的实际问题转化为数学问题解决的能力， 体验到学好知识，能应用于社会实践，从而培养学生用数学的意识。教具课件三角板 教学过程设计 师生通过回忆与直角三角形有关的知识引出课题——设计意图 锐角三角函数及解直角三角形专题复习充分利用学生知活动1 【知识梳理】识最近发展区进1.锐角三角函数的定义：入主题。 若在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为 a、b、c，则sinA＝___，cosA＝___，tanA＝ ___，cotA=___. 2.特殊角的三角函数值：
（苏科版)九年级数学第二学期锐角三角函数同步达标训练 ☆选择题（请在下面的四个选项中将正确的答案选在括号里） 1．如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）． A ． 1 2 B ． 22 C ． 32 D ． 33 2．如图，在Rt ABC V 中，90B ∠=?，5AB =，12BC =，将ABC V 绕点A 逆时针旋转得到ADE V ，使得点D 落在AC 上，则tan ECD ∠的值为（ ） A ． 23 B ． 32 C ． 137 D ． 57 3．tan 60?的值等于（ ） A ．3 B ． 33 C ． 22 D ． 12 4．如图，△ABC 的顶点都在正方形网格的格点上，则cos ∠BAC 的值为（ ） A ． 34 B ． 25 C ． 35 D ． 45 5．如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝ 3 5 ，则cos ∠DBE 的值是（ ）
A ． 12 B ． 54 C ． 55 D ． 33 6．如图，一块矩形木板ABCD 斜靠在墙边，（OC OB ^，点A 、B 、C 、D 、O 在同一平面内），已知AB a =，AD b =，DCF x ?.则点A 到OC 的距离等于（ ） A ．sin sin a x b x + B ．cos cos a x b x + C ．sin cos a x b x + D ．cos sin a x b x + 7．在Rt ABC V 中，C Rt ∠=∠，若30A ∠=o ，则cos sin A B +等于（ ） A ． 31 + B ．1 C ．3 D ． 21 2 + 8．小华和妈妈到大足北山游玩，身高1.5米的小华站在坡度为1:2i =的山坡上的B 点观看风景，恰好看到对面的多宝塔，测得眼睛A 看到塔顶C 的仰角为30°，接着小华又向下走了105米，刚好到达坡底B '，这时看到塔顶C 的仰角为45?，则多宝塔的高度CD 约为（ ）．（精确到0.1米，参考数据：3 1.732≈） A ．51.0米 B ．52.5米 C ．27.3米 D ．28.8米 9．如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B 出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C ，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD 到达点D ，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E （A ，B ，C ，D ，E 均在同一平面内）．在E 处测得建筑物顶端A 的仰角为24°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24° =0.45）（ ）
一、直角三角形的性质： 1、两个锐角互余 ∵∠C=90°∴∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∵∠C=90°∠A=30°∴ BC= 2 1 AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∵∠ACB=90° D 为AB 的中点 ∴ CD= 2 1 AB=BD=AD 4、勾股定理：222c b a =+ ：22 2 a b c +=还可以变形为2 2 2 a c b =-，2 2 2 b c a =-． 5、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ∵∠ACB=90°CD ⊥AB ∴ BD AD CD ?=2 AB AD AC ?=2 AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得：AB ?CD=AC ?BC 二、锐角三角函数 1、锐角三角函数定义：在RT ABC ?中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则： sin A a A c ∠= =的对边斜边 cos A b A c ∠==的邻边斜边 tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边 c o t A b A A a ∠==∠的邻边的对边 常用变形：sin a c A = ；sin a c A =等，由同学们自行归纳 2、锐角三角函数的有关性质： （1）当 °<∠A<90°时，0sin 1A <<；0cos 1A <<；tan 0A >；cot 0A > （2）在0° 90°之间，正弦、正切（sin 、tan ）的值，随角度的增大而增大；余弦、余切（cos 、cot ）的值，随角度的增大而减小。 3、同角三角函数的关系： A C B D
第18题图 C B A 锐角三角函数及解直角三角形的应用 一、选择题 1.如图折叠直角三角形纸片的直角，使点C 落在斜边AB 上的点E 处. 已知AB=38, ∠B=30°, 则DE 的长是( ). A. 6 B. 4 C. 34 D. 23 2.如图，修建抽水站时，沿着倾斜角为30°的斜坡铺设管道，若量得水管AB 的长度为80米，那么点B 离水平面的高度BC 的长为（ ） A 80 3 3米 B ．403米 C ．40米 D ．10米 3．一个斜坡的坡角为30°，则这个斜坡的坡度为（ ） A ． 1：2 B. 3 ：2 C. 1： 3 D. 3 ：1 4．等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ）513 （B ）1213 （C ）10 13 （D ）512 5．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)1 (B)2 （C ）2 2 (D)22 6．在△ABC 中，三边之比为2:3:1::=c b a ，则sinA+tanA 等于（ ） （A ） 6323+ （B ）32 1 + （C ）233 （D ）213+ 7．在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD ∶AC 等于（ ） （A ）2:3 （B ）3:3 （C ）1∶2 （D ）1:2 8．如图是一束平行的光线从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成的∠AMC=30°，在教室地面的影长MN=32米，若窗户的下檐到教室地面的距离BC=1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC 为（ ） （A ）32米 （B ）3米 （C ）3.2 米 （D ） 2 3 3米 A B C M N
锐角三角函数 检测卷 （满分：120分 时间：90分钟） 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A ，关于∠A 的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是 ( ) A ．sinA 的值越大，梯子越陡 B ．cosA 的值越大，梯子越陡 C ．t a nA 的值越小，梯子越陡 D ．陡缓程度与∠A 的函数值无关 2．如果a 是等腰直角三角形的一个锐角，那么t a n a 的值是 ( ) A ． 12 B ．2 C ．1 D 3．若∠A 是锐角，且cos (A ＋15°)＝sin (A ＋15°)，则∠A 的度数是 ( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．不能确定 4．在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则6cos B 的值为 ( ) A ．3 B ．2 C ． D ．5．一艘船向东航行，上午8时到达B 处，看到一座灯塔在它的南偏东60°，距离为72海里的A 处，上午10时到达C 处，看到灯塔A 在它的正南方向，则这艘船航行的速度为 ( ) A ．18海里／时 B ． C ．36海里／时 D ． 6．（2011．潍坊）身高相等的四名同学甲、乙、丙、丁参加放风筝比赛，四人放出风筝的线长、线与地面的夹角如下表（假设风筝线是拉直的），则四名同学所放的风筝中最高的是 ( ) A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 7．从边长为1的等边三角形内一点分别向三边作垂线，则三条垂线段长的和为 ( ) A B ． C ． D ． 8．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝45°，∠C ＝120°，AB ＝8，则CD 的长为 ( ) A B ．4 C D ．
解直角三角形 一、选择题 1、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长 线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ） (A)．1 (B)．2 (C)． 2 2 (D)．22 2、如果α是锐角，且5 4 cos = α，那么αsin 的值是（ ）． （A ） 259 （B ） 54 （C ）53 （D ）25 16 3、等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）． （A ） 513 （B ） 1213 （C ）10 13 （D ）512 4、. 以下不能构成三角形三边长的数组是 ( ) （A ）（1，3，2） （B ）（3，4，5） （C ）（3，4，5） （D ）（32，42，52） 5、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，下列式子中正确的是（ ）． （A ）B A sin sin = （B ）B A cos sin = （C ）B A tan tan = （D ）B A cot cot = 6、在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α，且5 3 cos =α, AB = 4, 则AD 的长为（ ）． （A ）3 （B ） 316 （C ）320 （D ）5 16 7、某市在“旧城改造”中计划在一 块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美 化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元 8、已知α为锐角，tan （90°－α）=3，则α的度数为（ ） （A ）30° （B ）45° （C ）60° （D ）75° 9、在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AB =13，则sin A 的值是( ) （A ）13 5 （B ）1312 （C ）125 （D ）512 A B C D E ?15020米30米
学习必备 欢迎下载 锐角三角函数 1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、 b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a 2 b 2 c 2 2、如下图，在 Rt △ABC 中，∠ C 为直角，则∠ A 的锐角三角函数为 ( ∠A 可换成∠ B)： 定 义 表达式 取值范围 正 A 的对边 0 sin A 1 sin A 斜边 ( ∠A 为锐角 ) 弦 余 A 的邻边 0 cos A 1 cos A 斜边 ( ∠A 为锐角 ) 弦 正 A 的对边 tan A 0 tan A A 的邻边 ( ∠A 为锐角 ) 切 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦 值。 由 A B 90 B 得 B 90 A 斜边 c 对 sin A sin A cos(90 A) a 边 cosB b cos A sin B cos A sin(90 A) A C 邻边 4、 0°、 30°、 45°、 60°、 90°特殊角的三角函数值 ( 重要 ) 三角函数 30° 45° 60° sin cos tan 5 、正弦、余弦的增减性： 当 0°≤ ≤ 90°时， sin 随 的增大而增大， cos 随 的增大而减小。 6 、正切、余切的增减性： 当 0° < <90°时， tan 随 的增大而增大 注意：一定要记住上面的公式与特殊三角函数的值。
解直角三角形 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。依据：①边的关系：a2 b2 c 2； ②角的关系： A+B=90°； ③边角关系：三角函数的定义。 A的对边 cos A A的邻边 A的对 边 sin A 斜边tan A 斜边A的邻边 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 视线 铅垂线 仰角水平线 俯角 视线h i h : l α l (2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度 (坡比 )。用字母i表示，即i h 。坡度 一般写成 1: m的形式，如 i 1:5 等。 l 把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角 )，那么i h tan 。l 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图 3，OA、OB、OC、 OD 的方向角分别是： 45°、 135 °、 225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图 4,OA、 OB、OC、 OD 的方向角分别是：北偏东 30°（东北方向），南偏东 45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西 60°（西北方向）。
第七章《锐角三角函数》选择题苏州历年试题汇编1．（2019秋?工业园区期末）如图所示的网格是正方形网格，则sin A的值为（） A．B．C．D． 2．（2019秋?常熟市期末）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝2，sin A的值为（）A．B．C．D．2 3．（2019秋?吴江区期末）如图是一斜坡的横截面，某人沿斜坡从M出发，走了13米到达N处，此时在铅垂方向上上升了5米，那么该斜坡的坡度是（） A．1：5B．12：13C．5：13D．5：12 4．（2018秋?吴江区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，则sin A的值是（） A．B．C．D． 5．（2018秋?太仓市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，则下列结论中正确的是（）
A．B．sin B＝C．cos A＝D．tan B＝2 6．（2018秋?苏州期末）如图，护林员在离树8m的A处测得树顶B的仰角为45°，已知护林员的眼睛离地面的距离AC为1.6m，则树的高度BD为（） A．8m B．9.6m C．（4）m D．（8+1.6）m 7．（2018秋?苏州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，CD平分∠ACB，则∠BDC的度数是（） A．45°B．60°C．70°D．75° 8．（2018秋?张家港市期末）如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB的长）为（） A．4km B．（+1）km C．2（+1）km D．（+2）km 9．（2018春?苏州期末）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝0.75，BC＝6，则AC等于（）A．6B．8C．10D．12 10．（2017秋?常熟市期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC＝2，那么cos B的值是（）
《解直角三角形》典型例题 例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，a=4，解这个三角形． 分析 本题实际上是要求∠A 、b 、c 的值．可根据直角三角形中各元素间的关系解决． 解 （1） ； （2）由a b B = tan ，知 ； （3）由c a B = cos ，知860cos 4 cos =? == B a c ． 说明 此题还可用其他方法求b 和c ． 例 2在Rt △ABC 中, ∠C=90°，∠A=30°，3=b ,解这个三角形． 解法一 ∵ ∴ 设 ,则 由勾股定理,得 ∴ ． ∴ ． 解法二 13 3 330tan =? =?=b a 说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角三角形的方法,也可以用以前学的性质解题． 例 3 设 中， 于D ，若 ，解三 角形ABC ．
分析“解三角形ABC”就是求出的全部未知元素．本题CD不是 的边，所以应先从Rt入手． 解在Rt中，有： 在Rt中，有 说明（1）应熟练使用三角函数基本关系式的变形，如： （2）平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用，本例中 “”就是利用“对30°角的直角边等于斜边的一半”这一定理．事实上，还可以用面积公式求出AB的值： 所以解直角三角形问题，应开阔思路，运用多种工具． 例4在中，，求． 分析（1）求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长，也可以根据其中规则面积的和或差； （2）不是直角三角形，可构造直角三角形求解．
解如图所示，作交CB的延长线于H，于是在Rt△ACH中，有 ，且有 ； 在中，，且 ， ∴； 于是，有 ， 则有 说明还可以这样求：
第二十章 锐角三角函数及解直角三角形 29.1 锐角三角函数以及特殊角 （2011江苏省无锡市，2，3′）sin45°的值是（ ） A. 12 B. 2 C. 2 D.1 【解析】sin45° =2 【答案】B 【点评】本题主要考查常见锐角三角函数值。需要学生记忆，这是对基础知识的考查，属于容易题。 （2012四川内江，11，3分）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 A ． 1 2 B C D 【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝ CD AC 【答案】B 【点评】在斜三角形中求三角函数值时往往需要作高构造直角三角形，将这类问题以格点图形为背景 展现时，要注意利用格点之间连线的特殊位置灵活构造．解决这类问题，一要注意构造出直角三角形，二要熟练掌握三角函数的定义． 29.2 三角函数的有关计算 图4 图4
（2012福州，9，4分，）如图，从热气球C 处测得地面A 、B 两点的俯角分别为30°、45°，如果此时热气球C 处的高度CD 为100米，点A 、D 、B 在同一直线上，则AB 两点的距离是（ ） A ．200米 B. C. D. 1)米 解析：由题意，∠A=30°，∠B=45°，则tan ,tan CD CD A B AD DB ==，又CD=100，因此 AB=AD+DB=00 100100 100tan tan tan 30tan 45 CD CD A B +=+=。 答案：D 点评：本题考查了俯角概念、30°、45°的正切三角函数值，考察了用三角函数模型解决实际问题的能力，难度中等。 ( 2012年浙江省宁波市,8,3)如图，Rt △ABC,∠C=900 ,AB=6,cosB=23 ,则BC 的长为 （A ）4 (B)2 5 (C) 18 1313 (D) 1213 13 【解析】由三角函数余弦的定义cosB=BC AB =2 3 ，又∵AB=6∴BC=4,故选A 【答案】A 【点评】本题考查三角函数的定义，比较容易. （2012福州,15，4分，）如图，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，则AD 的长是 ， cosA 的值是 .（结果保留根号） 8题图 A B C
第七章《锐角三角函数》单元测试 班级：＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿学号：＿＿＿得分：＿＿＿ 一、选择题：(3分×10) 1.在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大3倍,那么锐角A 的各个三角函数值 ( ) A ．都缩小 3 1 B ．都不变 C ．都扩大3倍 D ．无法确定 2.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，tanA=4 3 ，BC=8，则AC 等于 （ ） A ．6 B ．32 3 C ．10 D ．12 3．如图，在正方形网格中,直线AB ．CD 相交所成的锐角为α，则sinα的值是（ ） A. 34 B. 43 C. 35 D. 45 & 4.如图,已知⊙O 的半径为与⊙O 相切于点A,OB 与⊙O 交于点C,CD ⊥OA,垂足为D, 则cos ∠AOB 的值等于 （ ） 5.如图是一个中心对称图形，A 为对称中心，若∠C=90°， ∠B=30°，BC=1，则BB ’的长为（ ） A ．4 B ．33 C ．332 D ．3 34 : 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 6．如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为 ，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是 O D C A B C 。 D
F E D C B A （ ） A. αsin 1 B.α cos 1 C.αsin 7.如图，AC 是电杆AB 的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=52°，则拉线AC 的长为 （ ） A. ?526sin 米 B. ?526tan 米 C. 6·cos52°米 D. ? 526 cos 米 [ 8．直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将ABC △如图那样折叠，使点A 与点 B 重合，折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是 （ ） A ．247 B 7 C ． 724 D ．13 第7题图 第8题图 - 二、填空题：（3分×8） 9. 在Rt △ABC 中，∠ACB=900，sinB=2 7 则cosB= . 10.若321θ=，则θ= , 11．在△ABC 中，若23 |tan 1|( cos )0A B -+=，则∠C 的度数为 ． 12．如图，△ABC 中，AB=AC=5，BC ＝8，则tanB= ． 13.用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°________cos50°。 14．在坡度为1:2的斜坡上，某人前进了100米，则他所在的位置比原来升高了 米． 15.如图，王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地_________． — 16．如图，菱形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，BE=DF=1 4BD ，若四边形AECF 为正方形，则tan ∠ABE=_________． A B C ┐ A C 6 | C E A B D